Kap 1. Procent og Rentesregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kap 1. Procent og Rentesregning"

Transkript

1 Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6. Gældsuitet...6 Kp. Ekspoetilfuktioer...8. Potesbegrebet...8. Potesregeregler...8. Udvidelse f potesbegrebet til egtive heltl og ul...9. Udvidelse f potesbegrebet til rtiol ekspoet...0 Kp 4. Logritmefuktioer...4. Logritmefuktioer...4 Kp Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer...7. Ekspoetielle fuktioer...7. Løsig f ekspoetielle ligiger...7. Fordobligs- og hlverigskostt...8. Logritmisk skl Potesfuktioer...

2 Procet og retesregig Kp. Procet og Retesregig. Regig med proceter M hr idført symbolet % til t betege /00. Vil m f.eks. udrege,5% f 450, sker det på følgede måde: % /00 f 450 er 4,50.,5%,5 4,50 5,75.,5% 0,05, så,5% f 450 udreges fr u f ltid som 450 0,05 5,75 M veder ofte bogstvet p til t betege e procetsts. M k d skrive p% p/00. p/00 beteges ofte med r. Der gælder således smmehæge: r p% p/00. r kldes for retefode eller vækstrte. Skl m berege rete R f kpitle K, år retefode er r, så gælder der formle: R K r Dee formel gælder turligvis også selv om, der ikke er tle om rete f e kpitl, me blot lmidelig procetregig. Skl m fide p% r f e størrelse k, og kldes resulttet i (iterestrete), gælder formle: i k r Med dee formel k m f.eks. også besvre spørgsmålet: Hvor mge procet udgør 7 f 79?. Idsætter m emlig i 7 og k 79 i formle og isolerer m r fås: i r k ,508 5,08% Vi vil u vise e vigtig formel, der udtrykker hvor meget e kpitl K (e størrelse) er vokset til, år de er forøget med p% svrede til retefode r. Kldes de forøgede kpitl for K, er K lig med kpitle K plus rete R, som er K r. K K + R K + K r K(+r), så K K( + r) Der gælder turligvis de smme formel, selv om det ikke drejer sig om rete og kpitl. Skl vi fide, hvor meget e størrelse k er vokset til, år de er forøget med p% r, gælder: k k(+r) Bemærk, t r godt k være egtiv, selv om vi bruger ordet "vokser". At e størrelse ftger med 5% er det smme som t sige, t de vokser med -5%

3 Procet og retesregig Eksempel:. I et stormgsi oceres med t e vre er edst med 0 %. Vre sælges u for 457,- kr. Hvd kostede vre før edsættelse. Vi veder formle (.5) med k 457, r - 0% - 0. og bestemmer k. k 457/(-0.) 57,5.. Et år hvde e virksomhed idtægter på ,- kr. og udgifter på kr. Det følgede år vokser idtægtere med 5%, udgiftere med %. Hvor mge procet er uderskuddet vokset/ftget med? Kldes uderskuddee u og u hr vi: u og u Vi veder d formle (.5): (+r) (+r) 4080/ ,9 r 0,9- -0,0868 Uderskuddet er reduceret med 8,68 %.. Reteformle Når e kpitl står til forretig i et pegeistitut, tilskrives der rete med kostte tidsitervller. E periode mellem to retetilskriviger kldes e termi. M k hve helårlige, hlvårlige, kvrtårlige eller måedlige termier. Retefode gives lligevel æste ltid som de årlige retefod, selv om termiere er kortere. Hvis bke f.eks. lover 5% p.. (pro.um årlig), og der er hlvårlige retetilskriviger, vil rete pr. termi være,5%. Som det vil fremgå f det følgede, vil dette ikke svre til e effektiv årlig rete på 5 %. Hvis kpitle K er blevet forretet med retefod r i termier, kue m måske umiddelbrt tro t de tilskreve rete vr K r ( gge rete i e termi). Dette er imidlertid ikke rigtigt, fordi kpitle K vokser, år de forretes, så det beløb der skl bereges rete f i de æste termi er større, og såd fremdeles. Dette kldes for retes rete. Rete bliver emlig også forretet. Vi vil u opstille e formel for K, de ideståede kpitl efter -termier, år strtkpitle er K og retefode r. Vi ved, t vi fider hvd e kpitl er vokset til i termi ved t gge med (+r). Herf følger: K K (+r) K K (+r) K (+r) K K (+r) K (+r) K K - (+r) K (+r) (kpitle efter. termi) (kpitle efter. termier) (kpitle efter. termier)... kpitle efter termier) Vi fider d de vigtige reteformel K K (+r) K er ideståede, år e kpitl K er blevet forretet i -termier til retefod r. De udledte formel er ikke begræset til forretig f e kpitl.

4 Procet og retesregig Hvis e størrelse b hr e vækstrte r i e periode, vil de efter -perioder være vokset til: b b(+r) Opftter vi dette som e fuktio f, k vi skrive f() b(+r). M hr trditio for t sætte: +r. kldes for fremskrivigsfktore, og vi k således skrive: f() b(+r) f() b hvor +r eller r - Smmehæge mellem reteformle og ekspoetielle fuktioer f() b, skulle d være idlysede, idet det hele tl blot er erstttet f e reel vribel.. Eksempel.. I e bk idsættes.000,- kr. til 4,5% p.. Der er hlvårlige retetilskriviger. Fid ideståede efter 7 år. Atllet f termier 4. retefode r 0,05 og k 000. Ved t idsætte i (.) fås: k (,05) 4.70,97 kr.. Ved e fbetligshdel tilbydes der et lå med e måedlig rete på,5%. Det skulle jo give c.,5% 8% i årlig rete...? Bereg de korrekte effektive årlige rete. Vi veder (.) med k, for t se hvor meget kr. vil vokse til på termier med retefod,5% 0,05. k (,05),956 Som er e forøgelse med 9,56% På grud f retes rete, vil de effektive rete i termier være større ed gge rete i termi... Sildebestde i Østersøe i mill. Tos., k side 987 beskrives e ekspoetiel fuktio, : f() (0,8). Bestem vækstrte. 0,8, så r 0,8- -0,8-8%. De er ltså ftget med 8% om året.. Geemsitlig retefod (vækstrte) De geemsitlige retefod (vækstrte) er defieret som: De kostte retefod, som giver de smme vækst i det smme tl perioder. Begrebet geemsitlig rete illustreres bedst ved et eksempel. Eksempel Vækste i produktioe for e virksomhed er % fr 980-8, 5,5% fr 98-85,,5% fr , -4,% fr og -,8% fr 988 til 990. Hvd e de geemsitlige vækstrte over dee periode på 0 år? Vi fider først hvor meget vækste hr været i de 0 år. Ifølge formle ovefor er det: (+r ) (+r ) (+r ) (+r 4 ) (+r 5 ) (,0) (,055) (,05) (0,957) (0,98),0907. Ved de geemsitlige vækstrte (retefod), forstår m de kostte vækstrte r, som giver de smme vækst i det smme tl termier. Der må ltså gælde:

5 Procet og retesregig (+r) 0 (+r ) (+r ) (+r ) (+r 4 ) (+r 5 ) <> (+r) 0, ( + r ),0907,0087 r 0,0087 0,87 % (De geemsitlige vækstrte) De smme fremggsmåde k vedes i lle dre eksempler. Det er turligvis muligt t opskrive e geerel formel til beregig f de geemsitlige rete, me de er ikke så let t vede, hvis m ikke forstår pricippet. Der fides e (tvivlsom) formel i formelsmlige, me det er fktisk lettere t opstille udtrykket direkte, ved hvert eksempel. 4

6 Opsprigs- og gældsuiteter Kp Opsprigs- og gældsuiteter. Auiteter E uitet er e række f idbetliger, der foretges med kostt tidsitervl. Periode mellem to idbetliger kldes e termi. Det idbetlte beløb forretes med e retefod r pr. termi. For t de efterfølgede formler skl være korrekte, skl idbetligere foretges smtidig med retetilskrivige. I det følgede vil betege tllet f idbetliger, og A skl betege værdie f ideståede efter idbetliger. Dette vil, som vi skl se edefor svre til - termier. De kostte idbetlig kldes for ydelse og beteges y. For t føre e kpitl termi frem, skl der som sædvlig multipliceres med (+r). Nedefor er opskrevet værdie f ideståede, efter 0. termier,. termi,. termier,...,efter - termier. A y A y(+r) + y A (y(+r) + y)(+r) + y y(+r) + y(+r) + y... A y(+r) - + y(+r) y(+r) + y Eller, hvis vi skriver leddee i de omvedte rækkefølge A y + y(+r) y(+r) - + y(+r) - Bemærk, t der er led i række, svrede til idbetliger, og t ekspoete i det sidste led er - og ikke. Bemærk edvidere, t m kommer til det efterfølgede led ved t multiplicere med +r. E række f tl, hvor m kommer fr ethvert led til det efterfølgede ved t gge med de smme fktor kldes for e kvotietrække. Hvd vi øsker er derfor, t fide e formel for summe f e kvotietrække.. Sumformel for e kvotietrække Vi opskriver u e kvotietrække, hvor det første led kldes og kvotiete kldes for k. Summe f de første led beteges s. S + k + k + k k - + k - For t udlede e sumformel, multiplicerer vi række med k, og subtrherer S fr ks. ks k + k + k k - + k ks - S k + k + k k - + k - ( + k + k + k k - + k - ) 5

7 Opsprigs- og gældsuiteter Ved subtrktioe vil lle leddee k, k k...k - ud mod hide, og vi fider: ks - S k - S (k-) (k -) formle for S bliver således: S k k Bemærk, t beteger tllet f led i række.. Opsprigsuitet Vi veder u dee formel på vores uitet. Vi skl d blot idsætte tllet f idbetliger), y (ydelse) og k +r. Efter e triviel omskrivig f ævere fider m: A y ( + r ) r Bemærk, t står for tllet f idbetliger. Idbetler m f.eks. 000 kr. hver termi i år er der termier og idbetliger.. Gældsuitet Et uitetslå er et lå, der betles tilbge med e kostt ydelse, hvorf e del er rete og reste fdrg. Afdrget er ltså det beløb, hvormed gælde edbriges. I begydelse f låets løbetid er hovedprte f ydelse reter, (som m k frtrække i skt), me i slutige f løbetide er hovedprte fdrg. Vi øsker t udlede e formel for restgældes størrelse efter termier. Låets opridelige størrelse kldes for hovedstole og beteges G. Restgælde efter termier (lig med idbetliger) beteges G. Retefode pr. termi beteges r, og ydelse beteges y. Vi opskriver u et udtryk for restgælde efter 0,,.., termier. G 0 G G G(+r) - y G G (+r) - y (G(+r)-y))(+r) - y G(+r) - y(+r) - y ; Kpitle G er vokset til G(+r), hvorefter der idbetles y G G (+r) - y G(+r) - y(+r) - y(+r) - y... G G(+r) - y(+r) - - y(+r) y(+r) - y Vi ser u, t der gælder formle: G G(+r) A. 6

8 Opsprigs- og gældsuiteter Hvor A beteger de tidligere udledte uitetsformel. Idsættes dee formel fås: G G ( + r) ( + r ) y r Med dee formel, k m udrege restgælde efter termier. Vi er specielt iteresserede i e formel, hvor G 0, ltså hvor restgælde er 0, det vil sige, hvor lået er betlt tilbge: ( + r) 0 G( + r) y r ( + r) G y r For t opå det sidste udtryk, hr vi divideret med (+r) og flyttet G over på de de side f lighedsteget. De sidste formel giver smmehæge mellem hovedstol G (Låets opridelige størrelse), ydelse y pr. termi, retefode r og løbetide (tllet f termier tllet f idbetliger) 7

9 Ekspoetilfuktioer Kp. Ekspoetilfuktioer. Potesbegrebet Symbolet, hvor R og Z + er defieret ved: (-fktorer) kldes e potes. kldes for rode og kldes for ekspoete. For poteser gælder følgede. Potesregeregler Hvis, b R og, m Z + gælder. M multiplicerer to poteser med smme rod ved t ddere ekspoetere m + m. M dividerer to poteser med smme rod ved t subtrhere æveres ekspoet fr tælleres ekspoet. m Hvis > m: m. M opløfter e potes til potes ved t multiplicere ekspoetere ( m ) m 4. M opløfter et produkt til potes ved t opløfte hver f fktorere. ( b) b 5. M opløfter e brøk til potes, ved t opløfte tæller og æver hver for sig b b Bevis for.: m fktorer m fktorer + m fktorer + m 8

10 Ekspoetilfuktioer Bevis for.: Bevis for. m fktorer m fktorer m ( m ) m m m m fktorer m fktorer m Bevis for 4. ( b) b 4 b 4 b4 4 b 44 b44 b b fktorer fktorer fktorer b Beviset for 5. lves helt tilsvrede. Udvidelse f potesbegrebet til egtive heltl og ul Hvis m øsker t udvide potesbegrebet til t omftte egtive heltl og ul, så vil vi stille det (idlysede) krv, t potesregereglere -5 fortst skl være gyldige. Vi foretger d det m klder e lyse, idet vi veder potesregereglere -5 for t fstlægge betydige f f.eks. 0 og -5. Først ser vi på 0, hvor er et reelt tl forskelligt fr 0. Der gælder ifølge (.): 0. Vi k herf se, t hvis (.). stdig skl gælde må vi sætte 0 for lle forskellig fr 0. Vi ser deræst på: 0 0. Vi ser d, t hvis de de potesregel fortst skl være gyldig, må vi sætte: Vi mgler d blot t godtgøre, t lle potesreglere fktisk stdig er gyldige, ved disse fstsættelser. (Hvis det ikke vr tilfældet, ville de ye defiitioer være meigsløse). 9

11 Ekspoetilfuktioer Vi øjes med t vise dette ved t pr eksempler, hvor m og her beteger hele positive tl: m m (Ifølge de opridelige potesregler) m m (Ifølge udvidelse til egtive ekspoeter) m ) m m m ( ) ( (Ifølge de opridelige potesregler) m m ( ) (Ifølge udvidelse til egtive ekspoeter) m m ( ). Udvidelse f potesbegrebet til rtiol ekspoet Vi mider om defiitioe f symbolet, hvor R \ og Z +. (.8) er det ikke egtive tl, som opløftet til te potes giver. Eksempler. b b 0 b 8 i det 0 og i det 0 og 8 Bemærk i det sidste eksempel t betigelse b 0 er ødvedig, idet såvel 4 8 og (-) 4 8. R - Vi vil u søge t fstlægge e betydig f symbolet p q, hvor p, q Z +. Betigelse for t foretge e udvidelse f potesbegrebet er som før, t regereglere 5 fortst skl være gyldige. Helt på smme måde som før, foretger vi e lyse ved hjælp f disse regeregler. Vi ser først på q, hvor ekspoete er e stmbrøk. q q q q (. regeregel) 0

12 Ekspoetilfuktioer På de de side, gælder der også ifølge defiitioe f : ( ) hvorf vi fstsætter: q q, q q Og fortsætter, p p q q q ( ) p Vi mgler blot t godtgøre t regereglere for poteser stdig er opfyldt med de ye fstsættelser. Det k i pricippet gøres, som ved de første udvidelse. Regigere er ligetil, me lidt sørklede, så vi spriger det over. Udvidelse f potesbegrebet til egtive rtiole ekspoeter er helt ligetil. p q p q 0 p q p q Bemærk i øvrigt følgede omskrivig, som m ofte med fordel k gøre brug f. p p q q p q p q p ( ) ( ) q ( ) Eksempel ( ) At foretge e udvidelse f potesbegrebet til lle reelle ekspoeter, er ikke så ligetil, idet det kræver kedskb til ogle lidt dybere sætiger vedrørede de reelle tls legeme, hvis det skl gøres mtemtisk korrekt. M k f.eks. ikke fr regereglere slutte sig til betydige f f.eks. π eller. Der gælder imidlertid e sætig fr tlteorie, t ethvert irrtioelt tl, k tilærmes vilkårligt øjgtigt med et rtiolt tl. D potesere er defieret for lle rtiole tl, vil vi derfor tge, t de også k defieres for irrtiole tl og dermed t potesreglere også gælder for poteser med irrtiol ekspoet. Vi defierer d for positiv reel rod og reel ekspoet et geerelt potesbegreb hvor R + og R

13 Ekspoetilfuktioer Hvorledes m udreger, år er irrtiol, må vi foreløbig vete med til vi hr idført logritmefuktioer, me k turligvis fides på e mtemtisk lommereger. Vi udskyder defiitioe f logritmefuktioer, til slutige f itegrlregige) opfttet som e fuktio f, kldes for ekspoetilfuktioe med grudtl, og skrives f ( ) hvor R+ og R Ifølge det foregåede gælder potesregereglere for lle ekspoetilfuktioer, og vi repeterer dem derfor ige: y + y y y y ( ) y ( b) b b Der gælder, t er voksede for > og ftgede for 0 < < : Bevis: b E fuktio f er voksede i et itervl I, hvis der for lle, I gælder: < f ( ) < f ( ) Vi begyder med de sidste betigelse vedt på. Vi oterer os først, t for > 0 og > er >. Og for > 0 og 0 < < er < Deræst For > er voksede idet: < > 0 > < < < For 0 < < er ftgede idet: < > 0 > > > > Vi oterer til slut, (ude bevis, d det kræver kedskb til logritmer) t: for > : for og 0 for for 0 < < : 0 for og for På figure edefor er skitseret grfere for grfer er symmetriske om y-kse, idet ( ) ( ) f ( ) og f ( ). M bemærker t de to

14 Ekspoetilfuktioer

15 Logritmefuktioer Kp 4. Logritmefuktioer. Logritmefuktioer Idet f() for er mooto dvs. voksede eller ftgede, så hr de e omvedt fuktio. De omvedte fuktio kldes for logritmefuktioe med grudtl og skrives: (.) f() log () Om e fuktio og des omvedte fuktio, gælder følgede: (.) y f() f - (y) Dm(f - ) Vm(f) og Vm(f - ) Dm(f) Når vi veder dette på f(), får m: y log (y) og y log () y Dm(log ) R + og Vm(log ) R Specielt får m: 0 log () 0 og log () Grfere for y og log (y) er idetiske, d de to udtryk er esbetydede, me år m ombytter med y, spejler m i liie y, så grfe for y log () er grfe for y spejlet i liie y. Det viser sig, t lle logritmefuktioer er proportiole, som vist edefor med et eksempel. Vi skl ku beskæftige os med to logritmefuktioer, emlig de logritmefuktio med grudtl 0, som skrives log (titlslogritme), og som hr været vedt til umeriske beregiger, side 600- tllet og idtil computere for lvor blev tget i brug i strte f 970, smt logritmefuktio med grudtllet e, e er et irrtiolt tl (egl. trcedet). Dee logritmefuktio skrives l og kldes de turlige logritme. Forklrige på dette vil først blive givet i slutige f itegrlregige. Ekspoetilfuktioe med grudtl e skrives e. Såvel l(), e, log() og 0 fides på lle grfregere, og mtemtiske lommeregere. Som for lle fuktioer og deres omvedte fuktioer, gælder der for ethvert. y e l(y) og y 0 log(y) For lle logritmefuktioer, gælder der de smme logritmeregeregler. Vi vil øjes med t bevise dem for de turlige logritme l, d det letter beviset lidt, og d lle logritmefuktioer er proportiole. For lle, b R og, y R : + 4

16 Logritmefuktioer l( b ) l( ) + l( b) l( l( Bevis for: l( b ) l( ) + l( b). b ) ) l( ) l( b) l( ) Vi sætter l() e og y l(b) b e y. Herf får m: b e e y e + y + y l( b) l( b) l( ) + l( b) b Bevis for l( ) l( ) l( b) b b l( ) l( b) l( ) + l( b) l( ) l( ) l( b) Bevis for: l( ) l( ). Vi sætter y l() e y b y y ( e ) e y l( ) l( ) l( ) Specielt gælder der for positiv og hel, og positiv og reel l( ) l( ) l ( ) Edvidere gælder der de vigtige idetiteter, som m ofte hr brug for. l( e ) og e l og log(0 ) og 0 log der gælder lidt overrskede t lle logritmefuktioer er proportiole. Vi viser dette med et eksempel, idet vi viser, t l() og log() er proportiole. Idet vi veder de udledte logritmeregler og k vi skrive: log log l( ) 0 l( ) l(0 ) log l(0) log l(0) l(0),0585 Nedefor er vist grfere for l(), log(), e og 0. 5

17 Logritmefuktioer Eksempel. Der gælder de lidt overrskede sætig. ( + e for ) Dette er et eksempel på e følge f rtioelle tl, der går mod et trscedet tl. Vi beviser det ved t vise, t l( + ) for. D l er kotiuert og ijektiv, følger t tllet selv vil gå imod e. l(+ ) l( + ) l( + ) Sætter vi h således t h 0 for, og veder t l 0 får m: l(+ h) l h for h 0 d l er differetibel i med differetilkvotiete. Herf følger sætige 6

18 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer Kp 5. Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer. Ekspoetielle fuktioer E ekspoetiel fuktio (oge gge tler m om e ekspoetiel udviklig) er e fuktio, der er proportiol med e ekspoetilfuktio. Hvis, b R+ defieres de som: f() b D e ekspoetiel fuktio er proportiol med e ekspoetilfuktio, liger grfere hide meget. Ekspoetielle fuktioer optræder tlrige steder i ture. I fysik, i biologi, i økoomi. Ofte får m stillet de opgve, t bestemme og b, således t grfe for e ekspoetiel fuktio, går geem to pukter (,y ) og (,y ). Metode illustreres lettest ved et eksempel. Eksempel. Vi vil bestemme de ekspoetielle fuktio, e går geem puktere (-, ½) og (,4). Der gælder følgelig ligigere: f() 4 b 4 og f(-) ½ b - ½ Ved divisio f de ederste ligig op i de øverste, får m b b Dette idsætte i e f ligigere til t bestemme b 4 b 4 b ( 5 8) 4 b f ( ) ( 5 8 ) ( 5 8) For lle ekspoetielle fuktioer gælder: f(0) b 0 b, så grfe for y b går geem (0,b).. Løsig f ekspoetielle ligiger E ligig f forme f() c b c, løses ved t isolere ekspoetilfuktioe og tge logritme på begge sider. b c b c b log( ) b b log log( ) log log( ) c c c log I dette tilfælde, hr vi vedt 0-tls logritme, me vi kue lige så vel ersttte de med l. Eksempel 7

19 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer 7 l( ) l l( ) 5 0,06 5 l. Fordobligs- og hlverigskostt Ekspoetielle fuktioer hr de egeskb, t de hr e kostt reltiv (procetisk) vækst, for e kostt tilvækst på de ufhægige vribel. Hvis vi smmeliger e ekspoetiel fuktio med reteformle, og ersttter k med f(), k med b, +r med og med, ses dette klrt. k k(+r) bliver til f() b med k b og +r r kldes som bekedt for vækstrte og for fremskrivigsfktore. Me vi k også vise de kostte reltive (procetiske) vækst direkte. Giver vi emlig e tilvækst på h, vil vi udrege først de bsolutte tilvækst på f() og deræst de reltive tilvækst på f(). Absolut tilvækst: f(+h) f() b +h - b b ( h -) De reltive tilvækst fider m ved t dividere med f()b. f ( + h h) f ( ) f ( ) Hvorf det ses, t de reltive vækst er ufhægig f. (For e lieær fuktio gælder det omvedt t de reltive tilvækst er fhægig f, mes de bsolutte tilvækst er ufhægig f og lig med h, hvor er hældigskoefficiete). For e voksede ekspoetiel fuktio er fordobligskostte defieret som de tilvækst, m skl give de ufhægige vribel () for t fuktioe bliver fordoblet. Vi k ikke på forhåd vide, t fordobligskostte er ufhægig f, me det viser sig t være tilfældet. E fordoblig f fuktioe, svrer til e reltiv tilvækst på (stigig på 00%). Beteges fordobligskostte med T, skl der derfor gælde: f ( + h) f ( ) f ( ) T T l T l log log Helt tilsvrede defierer m for e ftgede ekspoetiel fuktio hlverigskostte som de tilvækst T ½, m skl give de ufhægige vribel () for t fuktioe bliver hlveret. E hlverig f fuktioe, svrer til e reltiv tilvækst på -½. Vi får derfor ligesom før: T f ( + h) f ( ) T l log T f ( ) l log 8

20 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer. Logritmisk skl Ovefor er vist et udsit f e tlliie i itervllet [0,]. Nederst er givet de lmidelige koordit, som vi i dette tilfælde skriver med et mærke. Øverst er fst det tl, hvis logritme er. Der gælder således: log(). F.eks. er der ud fr 0,00 givet, fordi log() 0,00. kldes for de logritmiske koordit, så logritme til de logritmiske koordit er lig med e lmidelige koordit. E tlliie, hvor der ku er givet de logritmiske koorditer, kldes for e logritmisk skl. Fortsætter m de logritmiske skl fr 0 til 00, vil de lmidelige skl være itervllet [,] og iddelige vil se ligesåd ud. Dette følger f t f.eks. log(0) log(0 ) log()+log(0) log() +. Når de logritmiske koorditer bliver multipliceret med 0, sker der blot e forskydig på + i de lmidelige koorditer. Tilsvrede med 0,, idet log(0,) log(/0) log() - Når de logritmiske koorditer bliver divideret med 0, sker der blot e forskydig på - i de lmidelige koorditer. [/00,/0] vil fbildes i [-,-]. [/0,] -> [-,0]. [,0] -> [0,]. [0,00] -> [,]. Et fsit f de logritmiske skl f.eks. [/00,/0] eller [,0], kldes for e dekde. Før lommeregeres tid (97) vedte m logritmiske skler til t foretge multipliktioer, divisioer, potesopløftig, roduddrgig, smt sius og cosius f decimlkommtl. Det skete ved hjælp f e såkldt regestok, hvor m hvde (fktisk flere) logritmiske skler, der kue forskydes i forhold til hide. Se figure edefor. De ederste skl, er plceret på stokke, mes de øverste, som er forskydelig kldes for tuge. På regestokke fides også e glider, der k forskydes på stokke med ogle tyde lodrette streger, bereget til t idstille to tl på stokke og tuge øjgtig ud for hide. Skl m multiplicere med b, så idstiller m -tllet på tuge ud for. Flytter deræst glidere he, så strege står ud for b på tuge. På stokke, k m d flæse b, idet fstdee (de lm. koor.) til og b er heholdsvis log() og log(b). Summe f disse fstde er log()+log(b) log( b), er plceret på stokke ud fr et pukt, som hr de logritmiske koordit b. 9

21 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer Fordele ved t vede logritmisk ppir i forbidelse med ekspoetielle fuktioer er, t såde fuktioer lle der e ret liie i ekelt logritmisk fbildig. Dette følger idet, mærkede koorditer, som hidtil beteger de lmidelige koorditer, mes umærkede beteger logritmiske koorditer. y b log y log b + log y + b D det sidste udtryk fremstiler e ret liie i de lmidelige (geometriske) koorditer følger påstde. Det er såd, t de eeste kurve m med sikkerhed k gekede visuelt er e ret liie. Hvis m hr et observtiosmterile, og vil udersøge om det svrer til e ekspoetiel fuktio, så fsætter m det (,y) i et ekelt logritmisk koorditsystem. Hvis puktere med tilærmelse k siges, t ligge på e ret liie, så repræseterer observtiosmterilet med stor sikkerhed e ekspoetiel fuktio. Hvis fuktioe hedder f() b, k m bestemme og b ved t flæse to pukter på liie, (ikke to pukter f observtiosmterilet), og bestemme og b, på smme måde, som vi viste det i et eksempel ovefor. Ofte vælger m t bestemme fordobligskostte (hlverigskostte) på følgede måde: M vælger to pukter på. kse, som svrer til e fordoblig. For eksempel y og y 4 eller y 9 og y 8, og fider derefter de tilsvrede pukter og på.kse. Fordobligskostte er d lig med: T -. På helt tilsvrede vis fider m hlverigskostte T ½, som forskelle - mellem to - værdier, som svrer til e hlverig f fuktioe. F.eks. og 6 På det ekeltlogritmiske ppir edefor er geemført e såd bestemmelse f og b. 0

22 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer 4. Potesfuktioer E potesfuktio er e fuktio, der er givet ved udtrykket: (5.) f ( ) b ;, b R og R + Når er et helt positivt tl, k defiitiosmægde udvides til R, og år er et helt egtivt tl, k defiitiosmægde udvides til R\{0}. I det geerelle tilfælde er e potesfuktio defieret ved omskrivige: l (5.) f ( ) b be ;, b R og R + Vi hr tidligere beskæftiget os med ogle simple potesfuktioer, f.eks.:

23 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer f ( ), f ( ), f ( ) 4 4 f ( ), f ( ) 4 l Det ses f udtrykket: f ( ) b be, t f ( ) b er voksede for >0, fordi såvel e og l() er voksede og ftgede for <0, fordi e - er ftgede. Bemærk forskelle til ekspoetielle fuktioer f() b, hvor og hr byttet rolle. Regiger med potesfuktioer og ekspoetielle fuktioer liger hide, d de i begge tilfælde er bseret på potesreglere.,. Eksempel. Bestem de potesfuktio f ( ) b, der går geem puktere (,4) og (7,). Vi opstiller ligigere f () 4 b b 7 4 b og f (7) 4 l 0,96 l 7 b 7 4 herf fås b 4,69 Hvis m vil udersøge, hvorvidt et tlmterile k beskrives ved e potesfuktio, veder m ofte dobbeltlogritmisk ppir, ltså et koorditsystem med to logritmiske kser. Der gælder emlig t lle potesfuktioer fbildes i e ret liie i dobbeltlogritmisk ppir. Hvis mærkede koorditer, som hidtil beteger de lmidelige koorditer, mes umærkede beteger logritmiske koorditer k m skrive: y b log y logb + log y' ' + b' Det sidste udtryk er etop ligige for e ret liie med hældig i geometriske koorditer. Hvis m idteger et observtiosmterile på dobbeltlogritmisk ppir, og puktere ligger på e ret liie, k m med rimelig sikkerhed tge, t mterilet k repræseteres ved e potesfuktio f ( ) b. For t bestemme og b, k m flæse to pukter (, y ) og (, y ) på liie og bestemme og b på æste de smme måde, som det vr tilfældet for ekspoetilfuktioer. Dette fører til e formel for. log y log, hvorefter b bestemmes ved t idsætte i e f ligigere. log y log Det er imidlertid lettere og bedre, t bestemme, som de geometriske hældigskoefficiet f liie på sædvlig vis, som y', bortset f udmålige f de to stykker y' y' og ' ', skl y' ' ' ske på e liel, idet det jo ikke er de geometriske koorditer, der er plceret på ksere.

24 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer Hvis tllet, befider sig på de logritmiske. kse k b flæses på. kse ved. dette følger trivielt f, t f ( ) b f () b b.

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

Ledighedsstatistik, maj 2013

Ledighedsstatistik, maj 2013 Ledighedssttistik, mj 3 Fld i kdemikerledighede i mj me reelt tle m e lille stigig Stigede tl lgtidsledige dimitteder Akdemikerledighede er fldet med fr ril til mj g er u å.53 svrede til e ledighedsrcet

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Elementær Matematik. Differentialregning

Elementær Matematik. Differentialregning Eleetær Mtetik Dieretilrei Ole Witt-Hse Køe Gsiu 8 Idold Idold... Kp. Græseværdi o kotiuitet.... Græseværdi.... Rei ed ræseværdier...3. Græseværdier ed uedeli...5. Kotiuitet...5. Sætier o kotiuerte uktioer...6

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 6. Matematik og økonomi Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 6. Matematik og økoomi 20% 40% 60% 40% Hvor udbredt er vaskepulveret af type A? 6. Matematik og økoomi Idhold 6.1 Procettal 2 6.2 Vejet geemsit

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Ledighedsstatistik, juli 2013

Ledighedsstatistik, juli 2013 Ledighedssttistik, li Stigig i kdemikerledighede i li str stigig i dimittedledighede Akdemikerledighede er steget med fr i til li g er u å.9 svrede til e ledighedsrcet å 4, ct. Stærk stigede dimittedledighed

Læs mere

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing:

Med disse betegnelser gælder følgende formel for en annuitetsopsparing: Matema10k C-iveau, Fydelud Side 1 af 10 Auitetsopspaig De fides mage måde at spae op på. Vi vil he se på de såkaldte auitetsopspaig. Emet ka buges som e del af det suppleede stof, og det ka avedes som

Læs mere

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011

Matematik - introduktion. Martin Lauesen February 23, 2011 Mtemtik - introduktion Mrtin Luesen Februry 23, 2011 1 Contents 1 Aritmetik og elementær lgebr 3 1.1 Symboler............................... 3 1.1.1 ligheder............................ 4 1.1.2 uligheder...........................

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

STATISTISKE GRUNDBEGREBER

STATISTISKE GRUNDBEGREBER MOGENS ODDERSHEDE LARSEN STATISTISKE GRUNDBEGREBER med avedelse af TI 89 og Excel 8 5 9 6 3 0 Histogram for ph 6,9 7, 7,3 7,5 7,7 7,9 ph. udgave 0 FORORD Der er i dee bog søgt at give letlæst og askuelig

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udervsgsmsteret Erhvervssklefdelge 997 Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udgvet f Udervsgsmsteret, Erhvervssklefdelge 997. udgve,. plg.

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi Stort energi- og stndby forbrug? En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Sluk for det hele......

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi

Den grønne kontakt til dine kunder. Kontakt med omtanke for miljø og økonomi Den grønne kontkt til dine kunder Kontkt med omtnke for miljø og økonomi 2 En fbryder der slukker lt, og en stikkontkt der reducerer stndby forbruget Energy Efficiency Energieffektivitet hndler ikke kun

Læs mere

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde

EGA Vejledning om EGA og monotont arbejde EGA og mootot arbejde 04/09/02 14:27 Side 1 Orgaisatioer repræseteret i Idustries Brachearbejdsmiljøråd: Arbejdstagerside: Arbejdsgiverside: Dask Metal Specialarbejderforbudet Kvideligt Arbejderforbud

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Beregning af prisindeks for ejendomssalg

Beregning af prisindeks for ejendomssalg Damarks Saisik, Priser og Forbrug 2. april 203 Ejedomssalg JHO/- Beregig af prisideks for ejedomssalg Baggrud: e radiioel prisideks, fx forbrugerprisidekse, ka ma ofe følge e ideisk produk over id og sammelige

Læs mere

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages

Projekt 4. Anlægsøkonomien i Storebæltsforbindelsen hvordan afdrages Pojekt 4. Alægsøkoomie i Stoebæltsfobidelse hvoda afdages lå? Dette pojekt hadle om, hvoda økoomie va skuet samme, da ma byggede Stoebæltsfobidelse. Stoe alægspojekte e æste altid helt elle delvist låefiasieet.

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

matx.dk Enkle modeller

matx.dk Enkle modeller matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag

14. Fagligt samarbejde matematik og samfundsfag ISBN 978-87-766-494-3 4. Fagligt samarbejde matematik og samfudsfag Idholdsfortegelse Idledig Samfudsfag sat på formler II... 2 Tema : Multiplikatorvirkige... 3. Hvad er e multiplikatoreffekt?... 3 2.

Læs mere

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1

(a k cos kx + b k sin kx) k=1. cos θk = sin θ 1 ak. , b k. k=1 SEKTION 7 FOURIERANALYSE 7 Fouriernlyse Periodiske funktioner er vigtige i mnge smmenhænge, både videnskbeligt og teknisk Vi vil normlisere, så ntger, t perioden er π Disse funktioner er bedst nlyseret

Læs mere

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia

ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN. Huseftersyn. Tilstandsrapport for ejendommen. Sælger: Kirsten Hammerum. Postnr. By 7000 Fredericia ^ ERHVERVS- OG BYGGESTYRELSEN Huseftersy Tilstadsrapport for ejedomme Sælger: Kirste Hammerum dresse 6.Jullvej93 Postr. By 7000 Fredericia ato Udløbsdato 3-07-200 3-0-20 HE r. Lb. r. Kommuer/Ejedomsr.

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Rente, lån og opsparing

Rente, lån og opsparing Rente, lån og opsparing Simpel rente og sammensat rente... 107 Nogle vigtige begreber omkring lån og opsparing... 109 Serielån... 110 Annuitetslån... 111 Opsparing... 115 Rente, lån og opsparing Side 106

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Matematisk trafikmodellering

Matematisk trafikmodellering - Mathematical traffic modelig Grupper.: 8 Gruppemedlemmer: Jacob Hallberg Hasema Kim Alla Hase Ria Roja Kari Vejleder: Morte Blomhøj Semester: 4. Semester, forår 2007, hus 13.1 Studieretig: Det aturvideskabelige

Læs mere

Kommunikation over støjfyldte kanaler

Kommunikation over støjfyldte kanaler Istitut for Matematise Fag wwwmathaaud Kommuiatio over støjfyldte aaler MAT2-projetrapport af G3-7 forårssemestret 2008 Istitut for Matematise Fag Fredri Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefo 99 40 88

Læs mere

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller

Kapitel 7 Matematiske vækstmodeller Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel

Læs mere

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007

Atom og kernefysik Ingrid Jespersens Gymnasieskole 2007 Atom og kerefysik Igrid Jesperses Gymasieskole 2007 Baggrudsstrålig Mål baggrudsstrålige i 5 miutter. Udreg atallet af impulser i 10 sekuder. Alfa-strålig α Mål atallet af impulser fra e alfa-kilde ude

Læs mere

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún

DEN NY VERDEN vol. 37, nr. 1 International handel og vandel - WTO fra Marrakesh til Cancún Interntionl hndel og vndel - WTO fr Mrrkesh til Cncún DIIS - Københvn - 2004 1 Efter gennemførelsen f ftlen om tekstil og beklædning (ATC) Fr MFA til ATC Beklædningsindustrien hr spillet en fgørende rolle

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3

Læs mere

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt

formler og ligninger trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik formler og ligninger, trin 2 ISBN: 978-87-92488-09-1 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk

Læs mere

Helende miljø en udfordring for patientsikkkerhed? Workshop Patientsikkerhed og syge børn fredag den 15. oktober 2010

Helende miljø en udfordring for patientsikkkerhed? Workshop Patientsikkerhed og syge børn fredag den 15. oktober 2010 Helede miljø e udfordrig for patietsikkkerhed? Workshop Patietsikkerhed og syge bør fredag de 15. oktober 2010 Elisabeth Brøgger Jese mag.art. kultursociolog elisabeth.broegger.jese@regioh.dk. Pricipper

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce

Projektstyringsmetoden PRINCE2 som grundlag for opfyldelse af modenhedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Government Commerce Projektstyrigsmetode PRINCE2 som grudlag for opfyldelse af modehedskrav PRINCE2 is a Trade Mark of the Office of Govermet Commerce som beskrevet i Modehed i it-baserede forretigsprojekter, Modeller til

Læs mere

Projektstyring. Dag 5

Projektstyring. Dag 5 Akdemifget Projektstyring Dg 5 m/u PRINCE2 Foundtion certificering i smrbejde med PRINCE2 is Registered Trde Mrk of the Office of Government Commerce in the United Kingdom nd other countries. Humn fctor

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne?

Pleje af fugtige vedvarende græsarealer ved kombination af græssende kvæg og maskiner Hvad sker der med planterne? Pleje f fugtige vedvrende græsreler ved komintion f græssende kvæg og mskiner Hvd sker der med plnterne? Liseth Nielsen og Ann Bodil Hld, Ntur & Lndrug ApS www.ntln.dk I det følgende eskrives: Opsummering

Læs mere

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag

Hvidbog omhandlende de indkomne indsigelser, bemærkninger og kommentarer til forslag til Kommuneplan 2009. Udgave A: Rækkefølge som forslag Hvidbog omhadlede de idkome idsigelser, bemærkiger og kommetarer til forslag til Kommuepla 2009 Udgave A: Rækkefølge som forslag 4. jauar 2010 Idhold Idledig. 3 Proces og behadlig m.v 3 Hvidboges opbygig..

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde

Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svenstrup. Dagsorden for bestyrelsesmøde Referat for bestyrelsesmøde d. 22. marts 2015 kl. 11.00 Ellidshøjskole, Ny skolevej 2, 9230 Svestrup Tilstede: Hae Veggerby, formad( Hveg), Ae sofie Gothe, æstformad (Asgr), Mette Nødskov sekretær ( Met),

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere