Kap 1. Procent og Rentesregning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kap 1. Procent og Rentesregning"

Transkript

1 Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6. Gældsuitet...6 Kp. Ekspoetilfuktioer...8. Potesbegrebet...8. Potesregeregler...8. Udvidelse f potesbegrebet til egtive heltl og ul...9. Udvidelse f potesbegrebet til rtiol ekspoet...0 Kp 4. Logritmefuktioer...4. Logritmefuktioer...4 Kp Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer...7. Ekspoetielle fuktioer...7. Løsig f ekspoetielle ligiger...7. Fordobligs- og hlverigskostt...8. Logritmisk skl Potesfuktioer...

2 Procet og retesregig Kp. Procet og Retesregig. Regig med proceter M hr idført symbolet % til t betege /00. Vil m f.eks. udrege,5% f 450, sker det på følgede måde: % /00 f 450 er 4,50.,5%,5 4,50 5,75.,5% 0,05, så,5% f 450 udreges fr u f ltid som 450 0,05 5,75 M veder ofte bogstvet p til t betege e procetsts. M k d skrive p% p/00. p/00 beteges ofte med r. Der gælder således smmehæge: r p% p/00. r kldes for retefode eller vækstrte. Skl m berege rete R f kpitle K, år retefode er r, så gælder der formle: R K r Dee formel gælder turligvis også selv om, der ikke er tle om rete f e kpitl, me blot lmidelig procetregig. Skl m fide p% r f e størrelse k, og kldes resulttet i (iterestrete), gælder formle: i k r Med dee formel k m f.eks. også besvre spørgsmålet: Hvor mge procet udgør 7 f 79?. Idsætter m emlig i 7 og k 79 i formle og isolerer m r fås: i r k ,508 5,08% Vi vil u vise e vigtig formel, der udtrykker hvor meget e kpitl K (e størrelse) er vokset til, år de er forøget med p% svrede til retefode r. Kldes de forøgede kpitl for K, er K lig med kpitle K plus rete R, som er K r. K K + R K + K r K(+r), så K K( + r) Der gælder turligvis de smme formel, selv om det ikke drejer sig om rete og kpitl. Skl vi fide, hvor meget e størrelse k er vokset til, år de er forøget med p% r, gælder: k k(+r) Bemærk, t r godt k være egtiv, selv om vi bruger ordet "vokser". At e størrelse ftger med 5% er det smme som t sige, t de vokser med -5%

3 Procet og retesregig Eksempel:. I et stormgsi oceres med t e vre er edst med 0 %. Vre sælges u for 457,- kr. Hvd kostede vre før edsættelse. Vi veder formle (.5) med k 457, r - 0% - 0. og bestemmer k. k 457/(-0.) 57,5.. Et år hvde e virksomhed idtægter på ,- kr. og udgifter på kr. Det følgede år vokser idtægtere med 5%, udgiftere med %. Hvor mge procet er uderskuddet vokset/ftget med? Kldes uderskuddee u og u hr vi: u og u Vi veder d formle (.5): (+r) (+r) 4080/ ,9 r 0,9- -0,0868 Uderskuddet er reduceret med 8,68 %.. Reteformle Når e kpitl står til forretig i et pegeistitut, tilskrives der rete med kostte tidsitervller. E periode mellem to retetilskriviger kldes e termi. M k hve helårlige, hlvårlige, kvrtårlige eller måedlige termier. Retefode gives lligevel æste ltid som de årlige retefod, selv om termiere er kortere. Hvis bke f.eks. lover 5% p.. (pro.um årlig), og der er hlvårlige retetilskriviger, vil rete pr. termi være,5%. Som det vil fremgå f det følgede, vil dette ikke svre til e effektiv årlig rete på 5 %. Hvis kpitle K er blevet forretet med retefod r i termier, kue m måske umiddelbrt tro t de tilskreve rete vr K r ( gge rete i e termi). Dette er imidlertid ikke rigtigt, fordi kpitle K vokser, år de forretes, så det beløb der skl bereges rete f i de æste termi er større, og såd fremdeles. Dette kldes for retes rete. Rete bliver emlig også forretet. Vi vil u opstille e formel for K, de ideståede kpitl efter -termier, år strtkpitle er K og retefode r. Vi ved, t vi fider hvd e kpitl er vokset til i termi ved t gge med (+r). Herf følger: K K (+r) K K (+r) K (+r) K K (+r) K (+r) K K - (+r) K (+r) (kpitle efter. termi) (kpitle efter. termier) (kpitle efter. termier)... kpitle efter termier) Vi fider d de vigtige reteformel K K (+r) K er ideståede, år e kpitl K er blevet forretet i -termier til retefod r. De udledte formel er ikke begræset til forretig f e kpitl.

4 Procet og retesregig Hvis e størrelse b hr e vækstrte r i e periode, vil de efter -perioder være vokset til: b b(+r) Opftter vi dette som e fuktio f, k vi skrive f() b(+r). M hr trditio for t sætte: +r. kldes for fremskrivigsfktore, og vi k således skrive: f() b(+r) f() b hvor +r eller r - Smmehæge mellem reteformle og ekspoetielle fuktioer f() b, skulle d være idlysede, idet det hele tl blot er erstttet f e reel vribel.. Eksempel.. I e bk idsættes.000,- kr. til 4,5% p.. Der er hlvårlige retetilskriviger. Fid ideståede efter 7 år. Atllet f termier 4. retefode r 0,05 og k 000. Ved t idsætte i (.) fås: k (,05) 4.70,97 kr.. Ved e fbetligshdel tilbydes der et lå med e måedlig rete på,5%. Det skulle jo give c.,5% 8% i årlig rete...? Bereg de korrekte effektive årlige rete. Vi veder (.) med k, for t se hvor meget kr. vil vokse til på termier med retefod,5% 0,05. k (,05),956 Som er e forøgelse med 9,56% På grud f retes rete, vil de effektive rete i termier være større ed gge rete i termi... Sildebestde i Østersøe i mill. Tos., k side 987 beskrives e ekspoetiel fuktio, : f() (0,8). Bestem vækstrte. 0,8, så r 0,8- -0,8-8%. De er ltså ftget med 8% om året.. Geemsitlig retefod (vækstrte) De geemsitlige retefod (vækstrte) er defieret som: De kostte retefod, som giver de smme vækst i det smme tl perioder. Begrebet geemsitlig rete illustreres bedst ved et eksempel. Eksempel Vækste i produktioe for e virksomhed er % fr 980-8, 5,5% fr 98-85,,5% fr , -4,% fr og -,8% fr 988 til 990. Hvd e de geemsitlige vækstrte over dee periode på 0 år? Vi fider først hvor meget vækste hr været i de 0 år. Ifølge formle ovefor er det: (+r ) (+r ) (+r ) (+r 4 ) (+r 5 ) (,0) (,055) (,05) (0,957) (0,98),0907. Ved de geemsitlige vækstrte (retefod), forstår m de kostte vækstrte r, som giver de smme vækst i det smme tl termier. Der må ltså gælde:

5 Procet og retesregig (+r) 0 (+r ) (+r ) (+r ) (+r 4 ) (+r 5 ) <> (+r) 0, ( + r ),0907,0087 r 0,0087 0,87 % (De geemsitlige vækstrte) De smme fremggsmåde k vedes i lle dre eksempler. Det er turligvis muligt t opskrive e geerel formel til beregig f de geemsitlige rete, me de er ikke så let t vede, hvis m ikke forstår pricippet. Der fides e (tvivlsom) formel i formelsmlige, me det er fktisk lettere t opstille udtrykket direkte, ved hvert eksempel. 4

6 Opsprigs- og gældsuiteter Kp Opsprigs- og gældsuiteter. Auiteter E uitet er e række f idbetliger, der foretges med kostt tidsitervl. Periode mellem to idbetliger kldes e termi. Det idbetlte beløb forretes med e retefod r pr. termi. For t de efterfølgede formler skl være korrekte, skl idbetligere foretges smtidig med retetilskrivige. I det følgede vil betege tllet f idbetliger, og A skl betege værdie f ideståede efter idbetliger. Dette vil, som vi skl se edefor svre til - termier. De kostte idbetlig kldes for ydelse og beteges y. For t føre e kpitl termi frem, skl der som sædvlig multipliceres med (+r). Nedefor er opskrevet værdie f ideståede, efter 0. termier,. termi,. termier,...,efter - termier. A y A y(+r) + y A (y(+r) + y)(+r) + y y(+r) + y(+r) + y... A y(+r) - + y(+r) y(+r) + y Eller, hvis vi skriver leddee i de omvedte rækkefølge A y + y(+r) y(+r) - + y(+r) - Bemærk, t der er led i række, svrede til idbetliger, og t ekspoete i det sidste led er - og ikke. Bemærk edvidere, t m kommer til det efterfølgede led ved t multiplicere med +r. E række f tl, hvor m kommer fr ethvert led til det efterfølgede ved t gge med de smme fktor kldes for e kvotietrække. Hvd vi øsker er derfor, t fide e formel for summe f e kvotietrække.. Sumformel for e kvotietrække Vi opskriver u e kvotietrække, hvor det første led kldes og kvotiete kldes for k. Summe f de første led beteges s. S + k + k + k k - + k - For t udlede e sumformel, multiplicerer vi række med k, og subtrherer S fr ks. ks k + k + k k - + k ks - S k + k + k k - + k - ( + k + k + k k - + k - ) 5

7 Opsprigs- og gældsuiteter Ved subtrktioe vil lle leddee k, k k...k - ud mod hide, og vi fider: ks - S k - S (k-) (k -) formle for S bliver således: S k k Bemærk, t beteger tllet f led i række.. Opsprigsuitet Vi veder u dee formel på vores uitet. Vi skl d blot idsætte tllet f idbetliger), y (ydelse) og k +r. Efter e triviel omskrivig f ævere fider m: A y ( + r ) r Bemærk, t står for tllet f idbetliger. Idbetler m f.eks. 000 kr. hver termi i år er der termier og idbetliger.. Gældsuitet Et uitetslå er et lå, der betles tilbge med e kostt ydelse, hvorf e del er rete og reste fdrg. Afdrget er ltså det beløb, hvormed gælde edbriges. I begydelse f låets løbetid er hovedprte f ydelse reter, (som m k frtrække i skt), me i slutige f løbetide er hovedprte fdrg. Vi øsker t udlede e formel for restgældes størrelse efter termier. Låets opridelige størrelse kldes for hovedstole og beteges G. Restgælde efter termier (lig med idbetliger) beteges G. Retefode pr. termi beteges r, og ydelse beteges y. Vi opskriver u et udtryk for restgælde efter 0,,.., termier. G 0 G G G(+r) - y G G (+r) - y (G(+r)-y))(+r) - y G(+r) - y(+r) - y ; Kpitle G er vokset til G(+r), hvorefter der idbetles y G G (+r) - y G(+r) - y(+r) - y(+r) - y... G G(+r) - y(+r) - - y(+r) y(+r) - y Vi ser u, t der gælder formle: G G(+r) A. 6

8 Opsprigs- og gældsuiteter Hvor A beteger de tidligere udledte uitetsformel. Idsættes dee formel fås: G G ( + r) ( + r ) y r Med dee formel, k m udrege restgælde efter termier. Vi er specielt iteresserede i e formel, hvor G 0, ltså hvor restgælde er 0, det vil sige, hvor lået er betlt tilbge: ( + r) 0 G( + r) y r ( + r) G y r For t opå det sidste udtryk, hr vi divideret med (+r) og flyttet G over på de de side f lighedsteget. De sidste formel giver smmehæge mellem hovedstol G (Låets opridelige størrelse), ydelse y pr. termi, retefode r og løbetide (tllet f termier tllet f idbetliger) 7

9 Ekspoetilfuktioer Kp. Ekspoetilfuktioer. Potesbegrebet Symbolet, hvor R og Z + er defieret ved: (-fktorer) kldes e potes. kldes for rode og kldes for ekspoete. For poteser gælder følgede. Potesregeregler Hvis, b R og, m Z + gælder. M multiplicerer to poteser med smme rod ved t ddere ekspoetere m + m. M dividerer to poteser med smme rod ved t subtrhere æveres ekspoet fr tælleres ekspoet. m Hvis > m: m. M opløfter e potes til potes ved t multiplicere ekspoetere ( m ) m 4. M opløfter et produkt til potes ved t opløfte hver f fktorere. ( b) b 5. M opløfter e brøk til potes, ved t opløfte tæller og æver hver for sig b b Bevis for.: m fktorer m fktorer + m fktorer + m 8

10 Ekspoetilfuktioer Bevis for.: Bevis for. m fktorer m fktorer m ( m ) m m m m fktorer m fktorer m Bevis for 4. ( b) b 4 b 4 b4 4 b 44 b44 b b fktorer fktorer fktorer b Beviset for 5. lves helt tilsvrede. Udvidelse f potesbegrebet til egtive heltl og ul Hvis m øsker t udvide potesbegrebet til t omftte egtive heltl og ul, så vil vi stille det (idlysede) krv, t potesregereglere -5 fortst skl være gyldige. Vi foretger d det m klder e lyse, idet vi veder potesregereglere -5 for t fstlægge betydige f f.eks. 0 og -5. Først ser vi på 0, hvor er et reelt tl forskelligt fr 0. Der gælder ifølge (.): 0. Vi k herf se, t hvis (.). stdig skl gælde må vi sætte 0 for lle forskellig fr 0. Vi ser deræst på: 0 0. Vi ser d, t hvis de de potesregel fortst skl være gyldig, må vi sætte: Vi mgler d blot t godtgøre, t lle potesreglere fktisk stdig er gyldige, ved disse fstsættelser. (Hvis det ikke vr tilfældet, ville de ye defiitioer være meigsløse). 9

11 Ekspoetilfuktioer Vi øjes med t vise dette ved t pr eksempler, hvor m og her beteger hele positive tl: m m (Ifølge de opridelige potesregler) m m (Ifølge udvidelse til egtive ekspoeter) m ) m m m ( ) ( (Ifølge de opridelige potesregler) m m ( ) (Ifølge udvidelse til egtive ekspoeter) m m ( ). Udvidelse f potesbegrebet til rtiol ekspoet Vi mider om defiitioe f symbolet, hvor R \ og Z +. (.8) er det ikke egtive tl, som opløftet til te potes giver. Eksempler. b b 0 b 8 i det 0 og i det 0 og 8 Bemærk i det sidste eksempel t betigelse b 0 er ødvedig, idet såvel 4 8 og (-) 4 8. R - Vi vil u søge t fstlægge e betydig f symbolet p q, hvor p, q Z +. Betigelse for t foretge e udvidelse f potesbegrebet er som før, t regereglere 5 fortst skl være gyldige. Helt på smme måde som før, foretger vi e lyse ved hjælp f disse regeregler. Vi ser først på q, hvor ekspoete er e stmbrøk. q q q q (. regeregel) 0

12 Ekspoetilfuktioer På de de side, gælder der også ifølge defiitioe f : ( ) hvorf vi fstsætter: q q, q q Og fortsætter, p p q q q ( ) p Vi mgler blot t godtgøre t regereglere for poteser stdig er opfyldt med de ye fstsættelser. Det k i pricippet gøres, som ved de første udvidelse. Regigere er ligetil, me lidt sørklede, så vi spriger det over. Udvidelse f potesbegrebet til egtive rtiole ekspoeter er helt ligetil. p q p q 0 p q p q Bemærk i øvrigt følgede omskrivig, som m ofte med fordel k gøre brug f. p p q q p q p q p ( ) ( ) q ( ) Eksempel ( ) At foretge e udvidelse f potesbegrebet til lle reelle ekspoeter, er ikke så ligetil, idet det kræver kedskb til ogle lidt dybere sætiger vedrørede de reelle tls legeme, hvis det skl gøres mtemtisk korrekt. M k f.eks. ikke fr regereglere slutte sig til betydige f f.eks. π eller. Der gælder imidlertid e sætig fr tlteorie, t ethvert irrtioelt tl, k tilærmes vilkårligt øjgtigt med et rtiolt tl. D potesere er defieret for lle rtiole tl, vil vi derfor tge, t de også k defieres for irrtiole tl og dermed t potesreglere også gælder for poteser med irrtiol ekspoet. Vi defierer d for positiv reel rod og reel ekspoet et geerelt potesbegreb hvor R + og R

13 Ekspoetilfuktioer Hvorledes m udreger, år er irrtiol, må vi foreløbig vete med til vi hr idført logritmefuktioer, me k turligvis fides på e mtemtisk lommereger. Vi udskyder defiitioe f logritmefuktioer, til slutige f itegrlregige) opfttet som e fuktio f, kldes for ekspoetilfuktioe med grudtl, og skrives f ( ) hvor R+ og R Ifølge det foregåede gælder potesregereglere for lle ekspoetilfuktioer, og vi repeterer dem derfor ige: y + y y y y ( ) y ( b) b b Der gælder, t er voksede for > og ftgede for 0 < < : Bevis: b E fuktio f er voksede i et itervl I, hvis der for lle, I gælder: < f ( ) < f ( ) Vi begyder med de sidste betigelse vedt på. Vi oterer os først, t for > 0 og > er >. Og for > 0 og 0 < < er < Deræst For > er voksede idet: < > 0 > < < < For 0 < < er ftgede idet: < > 0 > > > > Vi oterer til slut, (ude bevis, d det kræver kedskb til logritmer) t: for > : for og 0 for for 0 < < : 0 for og for På figure edefor er skitseret grfere for grfer er symmetriske om y-kse, idet ( ) ( ) f ( ) og f ( ). M bemærker t de to

14 Ekspoetilfuktioer

15 Logritmefuktioer Kp 4. Logritmefuktioer. Logritmefuktioer Idet f() for er mooto dvs. voksede eller ftgede, så hr de e omvedt fuktio. De omvedte fuktio kldes for logritmefuktioe med grudtl og skrives: (.) f() log () Om e fuktio og des omvedte fuktio, gælder følgede: (.) y f() f - (y) Dm(f - ) Vm(f) og Vm(f - ) Dm(f) Når vi veder dette på f(), får m: y log (y) og y log () y Dm(log ) R + og Vm(log ) R Specielt får m: 0 log () 0 og log () Grfere for y og log (y) er idetiske, d de to udtryk er esbetydede, me år m ombytter med y, spejler m i liie y, så grfe for y log () er grfe for y spejlet i liie y. Det viser sig, t lle logritmefuktioer er proportiole, som vist edefor med et eksempel. Vi skl ku beskæftige os med to logritmefuktioer, emlig de logritmefuktio med grudtl 0, som skrives log (titlslogritme), og som hr været vedt til umeriske beregiger, side 600- tllet og idtil computere for lvor blev tget i brug i strte f 970, smt logritmefuktio med grudtllet e, e er et irrtiolt tl (egl. trcedet). Dee logritmefuktio skrives l og kldes de turlige logritme. Forklrige på dette vil først blive givet i slutige f itegrlregige. Ekspoetilfuktioe med grudtl e skrives e. Såvel l(), e, log() og 0 fides på lle grfregere, og mtemtiske lommeregere. Som for lle fuktioer og deres omvedte fuktioer, gælder der for ethvert. y e l(y) og y 0 log(y) For lle logritmefuktioer, gælder der de smme logritmeregeregler. Vi vil øjes med t bevise dem for de turlige logritme l, d det letter beviset lidt, og d lle logritmefuktioer er proportiole. For lle, b R og, y R : + 4

16 Logritmefuktioer l( b ) l( ) + l( b) l( l( Bevis for: l( b ) l( ) + l( b). b ) ) l( ) l( b) l( ) Vi sætter l() e og y l(b) b e y. Herf får m: b e e y e + y + y l( b) l( b) l( ) + l( b) b Bevis for l( ) l( ) l( b) b b l( ) l( b) l( ) + l( b) l( ) l( ) l( b) Bevis for: l( ) l( ). Vi sætter y l() e y b y y ( e ) e y l( ) l( ) l( ) Specielt gælder der for positiv og hel, og positiv og reel l( ) l( ) l ( ) Edvidere gælder der de vigtige idetiteter, som m ofte hr brug for. l( e ) og e l og log(0 ) og 0 log der gælder lidt overrskede t lle logritmefuktioer er proportiole. Vi viser dette med et eksempel, idet vi viser, t l() og log() er proportiole. Idet vi veder de udledte logritmeregler og k vi skrive: log log l( ) 0 l( ) l(0 ) log l(0) log l(0) l(0),0585 Nedefor er vist grfere for l(), log(), e og 0. 5

17 Logritmefuktioer Eksempel. Der gælder de lidt overrskede sætig. ( + e for ) Dette er et eksempel på e følge f rtioelle tl, der går mod et trscedet tl. Vi beviser det ved t vise, t l( + ) for. D l er kotiuert og ijektiv, følger t tllet selv vil gå imod e. l(+ ) l( + ) l( + ) Sætter vi h således t h 0 for, og veder t l 0 får m: l(+ h) l h for h 0 d l er differetibel i med differetilkvotiete. Herf følger sætige 6

18 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer Kp 5. Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer. Ekspoetielle fuktioer E ekspoetiel fuktio (oge gge tler m om e ekspoetiel udviklig) er e fuktio, der er proportiol med e ekspoetilfuktio. Hvis, b R+ defieres de som: f() b D e ekspoetiel fuktio er proportiol med e ekspoetilfuktio, liger grfere hide meget. Ekspoetielle fuktioer optræder tlrige steder i ture. I fysik, i biologi, i økoomi. Ofte får m stillet de opgve, t bestemme og b, således t grfe for e ekspoetiel fuktio, går geem to pukter (,y ) og (,y ). Metode illustreres lettest ved et eksempel. Eksempel. Vi vil bestemme de ekspoetielle fuktio, e går geem puktere (-, ½) og (,4). Der gælder følgelig ligigere: f() 4 b 4 og f(-) ½ b - ½ Ved divisio f de ederste ligig op i de øverste, får m b b Dette idsætte i e f ligigere til t bestemme b 4 b 4 b ( 5 8) 4 b f ( ) ( 5 8 ) ( 5 8) For lle ekspoetielle fuktioer gælder: f(0) b 0 b, så grfe for y b går geem (0,b).. Løsig f ekspoetielle ligiger E ligig f forme f() c b c, løses ved t isolere ekspoetilfuktioe og tge logritme på begge sider. b c b c b log( ) b b log log( ) log log( ) c c c log I dette tilfælde, hr vi vedt 0-tls logritme, me vi kue lige så vel ersttte de med l. Eksempel 7

19 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer 7 l( ) l l( ) 5 0,06 5 l. Fordobligs- og hlverigskostt Ekspoetielle fuktioer hr de egeskb, t de hr e kostt reltiv (procetisk) vækst, for e kostt tilvækst på de ufhægige vribel. Hvis vi smmeliger e ekspoetiel fuktio med reteformle, og ersttter k med f(), k med b, +r med og med, ses dette klrt. k k(+r) bliver til f() b med k b og +r r kldes som bekedt for vækstrte og for fremskrivigsfktore. Me vi k også vise de kostte reltive (procetiske) vækst direkte. Giver vi emlig e tilvækst på h, vil vi udrege først de bsolutte tilvækst på f() og deræst de reltive tilvækst på f(). Absolut tilvækst: f(+h) f() b +h - b b ( h -) De reltive tilvækst fider m ved t dividere med f()b. f ( + h h) f ( ) f ( ) Hvorf det ses, t de reltive vækst er ufhægig f. (For e lieær fuktio gælder det omvedt t de reltive tilvækst er fhægig f, mes de bsolutte tilvækst er ufhægig f og lig med h, hvor er hældigskoefficiete). For e voksede ekspoetiel fuktio er fordobligskostte defieret som de tilvækst, m skl give de ufhægige vribel () for t fuktioe bliver fordoblet. Vi k ikke på forhåd vide, t fordobligskostte er ufhægig f, me det viser sig t være tilfældet. E fordoblig f fuktioe, svrer til e reltiv tilvækst på (stigig på 00%). Beteges fordobligskostte med T, skl der derfor gælde: f ( + h) f ( ) f ( ) T T l T l log log Helt tilsvrede defierer m for e ftgede ekspoetiel fuktio hlverigskostte som de tilvækst T ½, m skl give de ufhægige vribel () for t fuktioe bliver hlveret. E hlverig f fuktioe, svrer til e reltiv tilvækst på -½. Vi får derfor ligesom før: T f ( + h) f ( ) T l log T f ( ) l log 8

20 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer. Logritmisk skl Ovefor er vist et udsit f e tlliie i itervllet [0,]. Nederst er givet de lmidelige koordit, som vi i dette tilfælde skriver med et mærke. Øverst er fst det tl, hvis logritme er. Der gælder således: log(). F.eks. er der ud fr 0,00 givet, fordi log() 0,00. kldes for de logritmiske koordit, så logritme til de logritmiske koordit er lig med e lmidelige koordit. E tlliie, hvor der ku er givet de logritmiske koorditer, kldes for e logritmisk skl. Fortsætter m de logritmiske skl fr 0 til 00, vil de lmidelige skl være itervllet [,] og iddelige vil se ligesåd ud. Dette følger f t f.eks. log(0) log(0 ) log()+log(0) log() +. Når de logritmiske koorditer bliver multipliceret med 0, sker der blot e forskydig på + i de lmidelige koorditer. Tilsvrede med 0,, idet log(0,) log(/0) log() - Når de logritmiske koorditer bliver divideret med 0, sker der blot e forskydig på - i de lmidelige koorditer. [/00,/0] vil fbildes i [-,-]. [/0,] -> [-,0]. [,0] -> [0,]. [0,00] -> [,]. Et fsit f de logritmiske skl f.eks. [/00,/0] eller [,0], kldes for e dekde. Før lommeregeres tid (97) vedte m logritmiske skler til t foretge multipliktioer, divisioer, potesopløftig, roduddrgig, smt sius og cosius f decimlkommtl. Det skete ved hjælp f e såkldt regestok, hvor m hvde (fktisk flere) logritmiske skler, der kue forskydes i forhold til hide. Se figure edefor. De ederste skl, er plceret på stokke, mes de øverste, som er forskydelig kldes for tuge. På regestokke fides også e glider, der k forskydes på stokke med ogle tyde lodrette streger, bereget til t idstille to tl på stokke og tuge øjgtig ud for hide. Skl m multiplicere med b, så idstiller m -tllet på tuge ud for. Flytter deræst glidere he, så strege står ud for b på tuge. På stokke, k m d flæse b, idet fstdee (de lm. koor.) til og b er heholdsvis log() og log(b). Summe f disse fstde er log()+log(b) log( b), er plceret på stokke ud fr et pukt, som hr de logritmiske koordit b. 9

21 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer Fordele ved t vede logritmisk ppir i forbidelse med ekspoetielle fuktioer er, t såde fuktioer lle der e ret liie i ekelt logritmisk fbildig. Dette følger idet, mærkede koorditer, som hidtil beteger de lmidelige koorditer, mes umærkede beteger logritmiske koorditer. y b log y log b + log y + b D det sidste udtryk fremstiler e ret liie i de lmidelige (geometriske) koorditer følger påstde. Det er såd, t de eeste kurve m med sikkerhed k gekede visuelt er e ret liie. Hvis m hr et observtiosmterile, og vil udersøge om det svrer til e ekspoetiel fuktio, så fsætter m det (,y) i et ekelt logritmisk koorditsystem. Hvis puktere med tilærmelse k siges, t ligge på e ret liie, så repræseterer observtiosmterilet med stor sikkerhed e ekspoetiel fuktio. Hvis fuktioe hedder f() b, k m bestemme og b ved t flæse to pukter på liie, (ikke to pukter f observtiosmterilet), og bestemme og b, på smme måde, som vi viste det i et eksempel ovefor. Ofte vælger m t bestemme fordobligskostte (hlverigskostte) på følgede måde: M vælger to pukter på. kse, som svrer til e fordoblig. For eksempel y og y 4 eller y 9 og y 8, og fider derefter de tilsvrede pukter og på.kse. Fordobligskostte er d lig med: T -. På helt tilsvrede vis fider m hlverigskostte T ½, som forskelle - mellem to - værdier, som svrer til e hlverig f fuktioe. F.eks. og 6 På det ekeltlogritmiske ppir edefor er geemført e såd bestemmelse f og b. 0

22 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer 4. Potesfuktioer E potesfuktio er e fuktio, der er givet ved udtrykket: (5.) f ( ) b ;, b R og R + Når er et helt positivt tl, k defiitiosmægde udvides til R, og år er et helt egtivt tl, k defiitiosmægde udvides til R\{0}. I det geerelle tilfælde er e potesfuktio defieret ved omskrivige: l (5.) f ( ) b be ;, b R og R + Vi hr tidligere beskæftiget os med ogle simple potesfuktioer, f.eks.:

23 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer f ( ), f ( ), f ( ) 4 4 f ( ), f ( ) 4 l Det ses f udtrykket: f ( ) b be, t f ( ) b er voksede for >0, fordi såvel e og l() er voksede og ftgede for <0, fordi e - er ftgede. Bemærk forskelle til ekspoetielle fuktioer f() b, hvor og hr byttet rolle. Regiger med potesfuktioer og ekspoetielle fuktioer liger hide, d de i begge tilfælde er bseret på potesreglere.,. Eksempel. Bestem de potesfuktio f ( ) b, der går geem puktere (,4) og (7,). Vi opstiller ligigere f () 4 b b 7 4 b og f (7) 4 l 0,96 l 7 b 7 4 herf fås b 4,69 Hvis m vil udersøge, hvorvidt et tlmterile k beskrives ved e potesfuktio, veder m ofte dobbeltlogritmisk ppir, ltså et koorditsystem med to logritmiske kser. Der gælder emlig t lle potesfuktioer fbildes i e ret liie i dobbeltlogritmisk ppir. Hvis mærkede koorditer, som hidtil beteger de lmidelige koorditer, mes umærkede beteger logritmiske koorditer k m skrive: y b log y logb + log y' ' + b' Det sidste udtryk er etop ligige for e ret liie med hældig i geometriske koorditer. Hvis m idteger et observtiosmterile på dobbeltlogritmisk ppir, og puktere ligger på e ret liie, k m med rimelig sikkerhed tge, t mterilet k repræseteres ved e potesfuktio f ( ) b. For t bestemme og b, k m flæse to pukter (, y ) og (, y ) på liie og bestemme og b på æste de smme måde, som det vr tilfældet for ekspoetilfuktioer. Dette fører til e formel for. log y log, hvorefter b bestemmes ved t idsætte i e f ligigere. log y log Det er imidlertid lettere og bedre, t bestemme, som de geometriske hældigskoefficiet f liie på sædvlig vis, som y', bortset f udmålige f de to stykker y' y' og ' ', skl y' ' ' ske på e liel, idet det jo ikke er de geometriske koorditer, der er plceret på ksere.

24 Ekspoetielle fuktioer og potesfuktioer Hvis tllet, befider sig på de logritmiske. kse k b flæses på. kse ved. dette følger trivielt f, t f ( ) b f () b b.

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de

Læs mere

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig

Læs mere

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner.

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner. - - Kp. : Itegrlregig yggede på stmfuktioer... Specielle egesker ved fuktioer. Defiitio... E fuktio f siges t være egræset i et itervl I, hvis f er defieret i itervllet, og hvis der fides to tl k og K,

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

Kommentarer til VARIABLE

Kommentarer til VARIABLE Kommetrer til Fglige mål Kpitlet lægger op til, t elevere lærer vribelbegrebet t kede som et effektivt værktøj til t skbe sig overblik over komplekse problemstilliger. k udpege kostter og vrible med tilhørede

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl...

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger.

Du skal redegøre for løsning af ligninger og herunder behandle omformningsreglerne for ligninger. Eksamesspørgsmål mac7100 maj/jui 013. Spørgsmål 1: Ligiger Du skal redegøre for løsig af ligiger og heruder behadle omformigsreglere for ligiger. Giv eksempler på hvorda forskellige ligigstyper (lieære,

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk

Sandsynlighedsregning og statistisk Figur : J. C. F. Guss 777 855 Sdsylighedsregig og sttistisk Peter Hremoës Niels Brock 6. pril Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

KULTURARVEN det skal der ske. vegne

KULTURARVEN det skal der ske. vegne KULTURARVEN det skl der ske R E M G DO være et kulturrve e. f g i r v skl be g kommu Kommue borgere o e d å b r fo I Roskilde de g ligt æri idetitet o fælles, sy ber lokl k s e d e rdifuld eskytte d rrv

Læs mere

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 4. Exp, pot & log

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 4. Exp, pot & log Mtemtikkes msterier - på et oligtorisk iveu f Keeth Hse. Ep, pot & log Verdes efolkig 0 8 6 0 0 0 0 0 0 50 År 98-0 I 98 vr verdesefolkige,7 mi. og voksede med,8% om året Hvorår vil der være 0 mi. på jorde?

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

J 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a

J 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a M ic4btf+c S C J 5-Tfhhbhfb : -Tfhhbhø+b+ 5 S 5 S 5 j xbø4bt J x y 54 5F4b.1 5F4bf C : P ( C S S 35 øbf5p S 1 2 S D S S 5, C : P b+5 S øbf S S 5 g C : P S S 4 S 5, b+1 5b1 : 8 4 S 1 5 S 5hTF 5 øbh1 5 j

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner

Eksamensspørgsmål: Potens-funktioner Eksmensspørgsmål: Potens-funktioner Definition:... 1, mønt flder ned:... 1 Log y er en liner funktion f log x... 2 Regneforskrift... 2... 2 Smmenhæng mellem x og y ved potens-vækst... 3 Tegning f grf for

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden.

Dæmonen. Efterbehandlingsark C. Spørgsmål til grafen over højden. Efterbehndlingsrk C Dæmonen Nedenfor er vist to grfer for bevægelsen i Dæmonen. Den første grf viser hvor mnge gnge du vejer mere eller mindre end din normle vægt. Den nden grf viser højden. Spørgsmål

Læs mere

ANALYSE 1, 2014, Uge 3

ANALYSE 1, 2014, Uge 3 ANALYSE 1, 2014, Uge 3 Forelæsninger Tirsdg. Vi generliserer tlrækker til funktionsrækker ved t udskifte tllene med funktioner (TL Afsnit 12.5). Det svrer til forrige uges skridt fr tlfølger til funktionsfølger.

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

Eksamensspørgsmål NmaC144s sommer Spørgsmål 1: Ligninger

Eksamensspørgsmål NmaC144s sommer Spørgsmål 1: Ligninger Eksamesspørgsmål NmaC144s sommer 014. Gør rede for omformigsreglere for ligiger. Spørgsmål 1: Ligiger Giv eksempler på hvorda forskellige ligiger løses. Du bør her komme id på flere forskellige ligigstper,

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01

3.-årsopgave, matematik Tønder Gymnasium & HF 21.12.01 .-årsopgve, teti Tøder Gysiu HF.. Idholdsfortegelse: Idledig / forord s.. Mtricer, geerelt s. -. Nogle egeser for tricer s. -6. Deteriter s. 6-. Deterit-sætiger s. -. Miorer, oftorer og opleeter s. - 6.

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Ledighedsstatistik, maj 2013

Ledighedsstatistik, maj 2013 Ledighedssttistik, mj 3 Fld i kdemikerledighede i mj me reelt tle m e lille stigig Stigede tl lgtidsledige dimitteder Akdemikerledighede er fldet med fr ril til mj g er u å.53 svrede til e ledighedsrcet

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler

Procent og eksponentiel vækst - supplerende eksempler Eksemple til iveau F, E og D Pocet og ekspoetiel vækst - suppleede eksemple Pocete og decimaltal... b Vækst-fomle... d Fa side f og femefte vises eksemple på bug af vækstfomle. Fomle skives omalt på dee

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Elementær Matematik. Differentialregning

Elementær Matematik. Differentialregning Eleetær Mtetik Dieretilrei Ole Witt-Hse Køe Gsiu 8 Idold Idold... Kp. Græseværdi o kotiuitet.... Græseværdi.... Rei ed ræseværdier...3. Græseværdier ed uedeli...5. Kotiuitet...5. Sætier o kotiuerte uktioer...6

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

1 skaren af exp = den naturlige

1 skaren af exp = den naturlige EKSPONENTIAL- OG LOGARITMEFUNKTIONER REPETITION (primært.-klss-sto, supplrt md dirtilrgigs-ovrvjlsr) Fuktiosskr ( ) p ( ) stlæggr or R \{ } kspotiluktior. Spcilt klds ( ) p( ) kspotiluktio. Rrc: GDS, s.

Læs mere

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a.

Fælles for disse typer af funktioner er, at de som grundfunktion indeholder varianter af udtrykket x a. 5. FORSKRIFT FOR EN POTENSFUNKTION Vi hr i vores gennemgng f de forskellige funktionstper llerede være inde på udtrk, som indeholder forskellige potenser f I dette kpitel skl vi se på forskellige tper

Læs mere