Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen

Transkript

1 Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udervsgsmsteret Erhvervssklefdelge 997

2 Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udgvet f Udervsgsmsteret, Erhvervssklefdelge 997. udgve,. plg. Jur stk. Udrejdet tl fget mtemtk ved ekedtgørelse r. 46 f 9. ju 995 m de erhvervsgymsle uddelse tl højere hdelseksme. Bestlles hs (UVM-7-6) sæt à 0 stk., (UVM-7-7) ekelteksemplrer, hs Udervsgsmsterets Frlg, Strdgde 00 D 40 Køehv K. Tlf F 9 59 E-ml: frlg@uvm.dk eller hs ghdlere Tryk: Bse & Nelse A/S

3 Idhldsfrtegelse Nveu B Prcetregg...5 Retesregg...6 Autetsregg...7 Ptesregeregler...8 Le...9 Prel... Trekt... Fukt...4 Plymer...6 Asymptte fr plymumsrøk...8 Ekspetelle fukter...9 Lgrtmefukter... Ptesfukter... Trgmetrske fukter...6 Leær fukt t vrle...0 Dfferetlregg... Deskrptv sttstk... Sdsylghedsregg...7 Stkstsk vrel...8 Bmlfrdelg...9 Nrmlfrdelg...40 Nveu A Vektrer ple...4 Le ple...47 Afstd ple...48 Prel...49 Crkel...50 Ellpse...5 Hyperel...5 Kvdrtsk fukt t vrle...5 Itegrlregg...54 Numersk tegrt...57 Dfferetllgger...58 Sdsylghedsregg...59 Stkstsk vrel...6 Bmlfrdelg...64 Nrmlfrdelg...66 Kfdestervl...68 Arel...7 Mtemtske symler...7 Stkrdsregster fr veu B...76 B Stkrdsregster fr veu A...78

4 4

5 Prcetregg Geemstlg prcet E prs stger et år med 6%, det æste år med 4%, g det æste år ge med %. De geemstlge retefd er r ( 0, 06) ( 0, 04) ( 0, ) 0078, De geemstlge prcetvse prsstgg pr. år er 7,8%. Geemstlg retefd r f r, r,, r r ( r) ( r) ( r ) () Vejet geemst Værde tges t hve vægte 0,7 g værde 6 vægte 0,. Det vejede geemst f g 6 er ( ) 07, 6 0, 04, Vejet geemst f,,, med vægte r, r,, r r r r () Idekstl Telle vser prser fr e vre frskellge år. Idekstl I fr et år med værd t ud fr et ssår med værd År Prs Idekstllet fr 995 med ssår 990 er I I t 00 () 5

6 Retesregg Strtkptl K Retefd r pr. term Atl termer Kptl K efter termer kr., der frretes med 6% p.., er efter 5 år vkset tl Fremskrvg K ( 0, 06) 55, 9 kr. K K ( r) (4) 0 Tlgeskrvg Det elø, der frretet med 6% p.. g sm efter 8 år er vkset tl 500 kr., er 8 K ( 0, 06) 94, kr. K K ( r) (5) 0 Effektv rete Hvs rete er % pr. måed, så er de effektve retefd p.. De effektve retefd pr. termer ( 0, 0) 0, 68 De effektve rete prcet p.. er 6,8%. r ( ) (6) 6

7 Autetsregg Hvedstl A Retefd r pr. term Atl utetsydelser Autetsydelse y Kptl A efter utetsydelser 0 Fremtdsværd f e utet Der detles 00 kr. hvert år lt 4 gge, g rete er 5% p.. Værde efter sdste detlg er Opsprgsfrmle ( , ) 005, A , kr. A ( r) y r (7) Nutdsværd f e utet Et lå tlgeetles med 8 på hde følgede måedlge ydelser på 50 kr. Rete er % pr. måed. Låets hvedstl er Gældsfrmle 50 ( 00, ) 00, 8 A 0 66, 7 kr. A 0 ( r) y r (8) Autetsydelse De måedlge ydelse på et sædvlgt utetslå på 900 kr., der frretes med % pr. måed g sm hr e løetd på 6 måeder, er Amrtstsfrmle y 00, 900 ( 00, ) 6 60, 67 kr. y A 0 r ( r) (9) 7

8 Ptesregeregler s t st (0) s t st () ( ) 6 ( ) s t s t () ( y) y s s s ( y) y () y¹ 5 y 5 5 s s (4) s y¹ y 0 (5) s s (6) s s (7) t s s t (8) 8

9 Le Hældgskeffcet fr le Le, der går geem puktere A(,) g B(,0) hr hældgskeffcete Hældgskeffcet (stggstl) fr le l 0 ( ) y y (9) E le, der der e vkel på 0 med. kse, hr hældgskeffcete $ t 0 t v (0) 9

10 Lgg fr le Le geem 6 på. kse med hældgskeffcete hr lgge Lgg fr le l y 6 y () Le geem A(,) med hældgskeffcete hr e lgg estemt ved œ y y ( ( )) y y ( ) () 0 0 0

11 Prel E prel hr lgge y 4 Lgg fr prel med symmetrkse prllel med dekse y c Dskrmt d () d ( ) 4 ( 4) 9 d 4 c (4) Tppukt T T ( ) 9, (, 4 ) 4 ¹ T d, (5) 4 ¹ Skærgspukter S g S med førstekse S S ( ) 9, 0 ( 0 ¹, ) ( ) 9, 0 ( 4, 0) ¹ S S d, 0 ¹ d, 0 ¹ (6) Skærgspukt S 0 med dekse S 0 ( 0, 4) S (, c) (7) 0 0

12 Trekt Retvklet trekt I e retvklet trekt ABC med C 90 $, 5 g er c estemt ved 5 c c 5 c (8) s A s B c c (9) cs A cs B c c (0) Vkel A er estemt ved 5 t A 0467, A, 6 $ t A t B ()

13 Vlkårlg trekt I e trekt ABC med 5, 9 g c 6 er vkel C estemt ved cs C œ cs C , C 8, 9 $ Csusreltere c cs C c ccs B c ccs A () I e trekt ABC med $ $ A 40, B 80 g 5 er estemt ved s 40 œ 5 s 40 $ s 80 5 s 80 $ $ $ 6, Susreltere c s A s B s C () E trekt ABC med C 40 $, 5 g 7 hr relet T 5 7 s 40 $ 5, Arel T f trekt T s C T cs A T cs B (4)

14 Fukt Fuktsegreet Fgure vser grfe fr e fukt f. Deftsmægde fr f Deftsmægde fr f er grfes (5) udstrækg målt på. kse Dm( Værdmægde fr f Værdmægde fr f er grfes udstrækg (6) målt på. kse Vm( f) e; g Fuktsværd y f( ) f() er dekrdte tl det pukt (7) på grfe, sm hr førstekrdte Mttervllere fr f f er ftgede ; c f er vksede f > c; d@ > (8) 4

15 f( ) g( ) Smmest fukt De smmestte fukt f $ g f t fukter f g g ( f $ g)( ) ( ) ( f $ g)( ) f( g( )) (9) Omvedt fukt f( ) y œ y De mvedte fukt f œ y f( ) f ( y) tl e fukt f (40) Med sm ufhægg vrel er e frskrft fr f f ( ) 5

16 Plymer Leær fukt f( ) (4) Grfe fr f er e ret le et sædvlgt krdtsystem. 6

17 f( ) 4 6 Adegrdsplymum f( ) c (4) Grfe fr f er e prel. d 64 Dskrmt d d 4 c (4), f( ) 4 6 ( )( ) Nulpukter (rødder) g d d, (44) Fktrserg f( ) c ( )( ) (45) f( ) 4 De mulge rtle ulpukter er p r, r, r 4 q r, r r, r, r4, r D er et ulpukt f, går ( ) p f( ) g ( 4):( ) 4 Plymum f grd f( ) (46) 0 Mulg rtl ulpukt (rd) p q et plymum med heltllge keffceter p går p 0 g q går p (47) Dvs med (-t) t er ulpukt f œ ( t) går p f( ) (48) 7

18 Asymptte fr plymumsrøk f( ) g( ) ( ) h (49) f( ) 5 D tællergrd < ævergrd er y 0 e vdret symptte Vdret symptte Hvs tællergrd < ævergrd, så er (50) y 0 e vdret symptte f( ) 4 5 D tællergrd = ævergrd er y 4 e vdret symptte Hvs tællergrd = ævergrd, så er (5) y e vdret symptte, hvr g( ) g h( ) 0 0 f( ) 4 D tællergrd er é større ed ævergrd er y e skrå symptte, det f( ) 4 4 Skrå symptte Hvs tællergrd = ævergrd +, så er (5) y e skrå symptte, r( ) hvr f( ) h(, g grde f r er ) mdre ed grde f h f( ) 4 D er æverulpukt me kke tællerulpukt er e ldret symptte Ldret symptte Hvs k er ulpukt æver me (5) kke tæller, så er k e ldret symptte 8

19 Ekspetelle fukter Ekspetlfukt med grudtl f( ) (54) De turlge ekspetlfukt f( ) e (55) Ekspetelt vksede/ftgede fukt Fremskrvgsfktr Reltv tlvækst r Begydelsesværd f( ) ( r) (56) Grfe er e ret le et ekeltlgrtmsk krdtsystem. 9

20 Fremskrvgsfktr E ekspetel fukt f( ) er fstlgt ved f( ) 0 g f ( 4) 405. Fremskrvgsfktre er , y y y y (57) Begydelsesværd E ekspetel fukt f( ) er fstlgt ved 5, g f ( 4) 405. Begydelsesværde er , 80 y 0 (58) 0 Frdlgskstte fr f( ) 80 5, er l T 7, l( 5, ) Frdlgskstt T T l l (59) Hlvergskstt T T l l (60) 0œ l 0 l 465, Ekspetel lgg y œ l y l l y l l (6) 0

21 Lgrtmefukter Lgrtmefukte med grudtl 0, lg Regeregler y 0 œ lg y (6) lg 0 lg( 0 ) (6) lg0 (64) lg( y) lg lg y (65) lg y lg lg y (66) lg( ) lg (67)

22 De turlge lgrtmefukt l Regeregler y e œ l y (68) l e l( e ) (69) l e (70) l( y) l l y (7) l y l l y (7) l( ) l (7) Smmehæg mellem lg g l l lg l0 (74) l lg lge (75)

23 Ptesfukter Ptesfukt med ekspet f( ) (76) Fukt der er prprtl med ptesfukt f( ) (77) Grfe er e ret le et deltlgrtmsk krdtsystem.

24 Ekspet E ptesfukt f( ) er fstlgt ved f( ) 6g f( 8) 96. Ekspete er 96 6 l l( ) 8 l l y y l y l l y l (78) Bestemmelse f E ptesfukt f( ) er fstlgt ved = g f( 8) 96. er , y 0 0 (79) 0 0œ 70, Pteslgg y œ y y (80) 4

25 Prprtltet Lgefrem prprtltet y y k œ k (8) Omvedt prprtltet y c œ y c (8) 5

26 Trgmetrske fukter Csus g sus Grf fr cs 0 S S S S cs 0 0 Grf fr s S 0 S S S s Regeregler (cs ) (s ) (8) cs ( S) cs s ( S) s cs ( ) cs s ( ) s cs ( S ) cs s ( S ) s (84) (85) (86) 6

27 Tges t s cs (87) Grf fr t S 4 0 S 4 t 0 Regeregler t( S ) t (88) t( ) t (89) 7

28 Specelle fuktsværder Grder 0 $ 0 $ 45 $ 60 $ 90 $ (90) Rdtl 0 s 0 cs t 0 S 6 S 4 S S 0 cs 0, Trgmetrske grudlgger cs (9) r694, p S, p Z s 06, s (9) œ 0645, p S p Z S0645 p S 0645, p S p Z 498 p S t 4, t (9) 09505, p S, p Z 8

29 Hrmsk svgg f( ) cs( 4 ) 5 f( ) s( 4 ) 5 f( ) cs( c) d (94) f( ) s( c) d (95) Perde fr f( ) s( 4 ) 5 er p S S 4 Perde p p S Grf fr hrmsk svgg (96) p (97) y m y m (98) d y m (99) 9

30 Leær fukt t vrle f(, y) y f(, y) y c (00) Nt (): y t œ y t Nveule N(t) Nt (): y c t (0) N( ): y œ y 5, 0

31 Dfferetlregg Dfferetlkvtet f c( 0 ) f f fc ( ) lm ( ) ( ) (0) E lgg fr tgete tl grfe fr fukte f( ) A(, f( )) er estemt ved Lgg fr tget t A( 0, f ( 0 )) y œ y ( ) 5 y fc( 0)( 0) f( 0 ) (0) Det pprksmerede førstegrdsplymum fr fukte f( ) tllet hr e frskrft, der er estemt ved p ( ) ( ) 5 œ p ( ) Apprksmerede førstegrdsplymum p fr f tllet 0 p ( ) fc( 0)( 0) f( 0 ) (04)

32 Fukt f () 5 Afledet fukt f c() 0 Dfferett f specelle fukter Fukt f () k (kstt) Afledet fukt f c() 0 (05) = = = = e e l l e e e e k l l e k e k cs s t s cs (cs) (t) cs s t s cs (t ) (cs ) Regeregler fr dfferett ( r ) c r ( l ) c l l ( s ) c cs c ( ) ( ) ¹ ( ) ( ) (( ) ) c ( ) 6( ) ( f r g) c ( ) fc( ) r gc( ) (06) ( f g) c ( ) fc( ) g( ) f( ) gc ( ) (07) ( k f) c ( ) k fc ( ) (08) f f g f g c c( ) ( ) ( ) c( ) ( ) (09) g ¹ ( g( )) ( f $ g) c ( ) fc( g( )) gc ( ) (0)

33 Deskrptv sttstk Atl servter Oservter,,, Geemsttet f krkterere 0, 9,, 9, 8, 6, 7, 8 pået f 8 elever er , Mddeltl (geemst) Dskrete servter Atl servtsværder k Oservtsværder,,, k Hyppgheder h, h,, h k () Atl kuder 4 I e frretg hr m 60 på hde følgede dge regstreret tl kuder de første ågstme. Frdelge f tl kuder dee tme g e lyse smt llustrt f dee frdelg er vst det følgede. Hyppghed h Frekves 0, 0, 0, 0,4 lt = 60,0 f Atl servter k h Frekveser f, f,, f k f h (),,,, k () Det geemstlge tl kuder er , Mddeltl (geemst) k h (4) 0, 0, 0, 4 04, 9, k f (5)

34 Pdedgrm fr frdelge f tl kuder. Pdedgrm Højde f pd svrer tl frekves/hyppghed f servtsværd. Atl kuder 4 Frekves f 0, 0, 0, 0,4 Summeret frekves F 0, 0,4 0,6,0 Summerede frekveser F, F,, F k F f,,,, k (6) j j Trppedgrm fr frdelge f tl kuder. Trppedgrm 00, frktl. kvrtl. kvrtl med. kvrtl 4 frktl (7). kvrtl 05, frktl (8). kvrtl med 05, frktl (9). kvrtl 075, frktl (0) 4

35 Grupperede servter På e skle hr m fr 80 elever regstreret tl tmer, sm eleve vr m t lve e flevergspgve mtemtk. Frdelge f tl tmer tl t lve flevergspgve g e lyse smt llustrt f dee frdelg er vst det følgede. Atl tmer @ 05,;, 5 5,;, 5 5,;, 5 Itervlmdtpukt m Atl elever h Itervlfrekves f 0, 0,5 0, 5,;, , lt = 80,0 Atl tervller k @ k ; k@ Hyppgheder h, h,, h k Itervlmdtpukter m, m,, m k m,,,, k () Atl servter k h Itervlfrekveser f, f,, f k f h (),,,, k () Det geemstlge tl tmer er , Mddeltl (geemst) k m h (4) 0, 05, 0, 40, 4, k m f (5) 5

36 Søjledgrm fr frdelge f tl tmer. Søjledgrm (hstgrm) Atl tmer @ ; 05,;, 5 @ 5,;, 5 5,;, 45 f 0, 0,5 0, 0, Itervlfrekves Summeret frekves F 0, 0,6 0,9,0 Arel f rektgel svrer tl tervlfrekves/hyppghed. Summerede frekveser F, F,, F k F f,,,, k (6) j j Sumkurve fr frdelge f tl tmer. Sumkurve 00, frktl 5,. kvrtl 8,. kvrtl med,. kvrtl frktl (7). kvrtl 05, frktl (8). kvrtl med 05, frktl (9). kvrtl 075, frktl (0) 6

37 Sdsylghedsregg Atl udfld Udfld u, u,, Udfldsrum U ^ u ` U u, u,, u () Et stkstsk ekspermet er eskrevet ved u 4 P(u) 0, 0, 0,5 0, Sdsylghedsfukt P 0 Pu ( ),,,, Pu ( ) () Sdsylghede fr hædelse A 4, er ^ ` P( A) P( ) P( 4) 05, 0, 07, Sdsylghed P(A) fr e hædelse A P(A) er lg med summe f () sdsylghedere f lle udfld A Regeregler fr sdsylgheder I et sdsylghedsfelt (U,P) hr hædelse A sdsylghed P( A) 05, Udfldsrum U Hædelse A Sdsylghede fr de kmplemetære hædelse er P( A) 05, 075, PU ( ) (4) P( Ø ) 0 (5) P( A) P( A) (6) 7

38 Stkstsk vrel Frdelgsfukt F fr e stkstsk vrel X F( ) P( X ), R (7) Dskret stkstsk vrel X Sdsylghedsfrdelge fr e stkstsk vrel X er 5 7 P(X = ) 0,4 0,5 0, Atl værder Værder,,, Sdsylghedsfukt f f( ) P( X ),,,, (8) Frdelgsfukte fr X er 5 7 F() 0,4 0,9,0 Frdelgsfukt F F( ) f( ),,,, (9) j j Mddelværde f X er E( X) 04, 5 05, 7 0, 4 Mddelværd µ P E( X) P( X ) (40) Vrse f X er Vr( X ) ( 4) 04, ( 54) 05, ( 74) 0, Vr( X ) 04, 5 05, 7 0, 4 Vrs V V Vr( X) ( P) P( X ) (4) V Vr( X) E( X ) ( E( X )) (4) Stdrdfvgelse f X er V ( X ) 7, Stdrdfvgelse V V V ( X) Vr ( X) (4) 8

39 Bmlfrdelg 5! fkultet!! (44) 0! (45) K( 5,) 5 ¹ 5!!( 5 )! 0 Bmlkeffcet K(, r) Kr (, )! r¹ r!( r)! (46) Ld X etege tl defekte eheder e stkprøve på 50, sm stmmer fr e prdukt, hvrf 4% f ehedere er defekte. Det tges X ( 50 ; 04, ) Bmlfrdelt stkstsk vrel X Atlsprmeter Sdsylghedsprmeter p Værder 0,,,, X (, p) (47) Sdsylghede fr t stkprøve dehlder defekte er P( X ) K( 50, ) 04, 50 ( 04, ) 007, Sdsylghedsfukt r r P( X r) K(, r) p ( p) (48) Det frvetede tl defekte stkprøve er E( X) 50 04, 7 Mddelværd E( X) p (49) Vrse f tl defekte er Vr( X ) 50 04, ( 04, ) 6, 0 Vrs Vr( X) p ( p) (50) Stdrdfvgelse f tl defekte er V ( X ) 50 04, ( 04, ) 45, Stdrdfvgelse V ( X) p ( p) (5) 9

40 Nrmlfrdelg Ld X etege det tl km, e estemt lmdel kører på lter ez. Det tges X N( 5, ) Nrmlfrdelt stkstsk vrel X Mddelværd P Stdrdfvgelse V X N( PV, ) (5) Grfe fr frdelgsfukte F på rlfrdelgsppr går geem puktere ( 5 ; 059, ) ( ; 059, ), ( 5; 05, ) g ( 5 ; 0, 84) ( 7; 0, 84) Grfe fr frdelgsfukte F er e ret le på rmlfrdelgsppr. 40

41 Sdsylghede fr t e l f dee mdel kører højst 4 km på lter ez er P( X 4) F( 4) 0, Beregg f tervlsdsylgheder P( X ) F( ) (5) Sdsylghede fr t de kører mdst 4 km på lter ez er P( X! 4) F( 4) 0, 0, 69 P( X! ) F( ) (54) Og sdsylghede fr t de kører mellem 4 km g 6 km på lter ez er P( 4 X 6) F( 6) F( 4) 0, 69 0, 0, 8 P( X ) F( ) F( ), (55) 4

42 4

43 Vektrer ple Vektr j 5 5 ¹ j ¹ (56) Lægde f 5 ( ) 9 (57) Regg med vektrer Fr t 5, ¹ 4¹ gælder følgede g, g t er et tl ¹ ¹ Vektr t t 5 ( ) ¹ 0 4¹ t t t ¹ (58) 4

44 Sum 5 8 ¹ 4 ¹ ¹ (59) Dfferes 5 4¹ 6¹ ¹ (60) Sklrprdukt 5 ( ) cs v v 74, 9q 9 9 (6) cs v (6) Sklrprdukt (6) Vkelrette vektrer g A œ 0 (64) 44

45 Prjekt f på 7 5 4¹ 5 5 ¹ (65) Tværvektr š š ( ) 5 ¹ 5 ¹ š ¹ (66) Arel A f det prllelgrm, sm g udspæder A ¹ ¹ A š _ _ (67) 45

46 Vektr estemt ved t pukter ple Fr A(, 5) g B( 6, ) gælder, t Krdtsæt fr AB AB 6 ¹ ( 5) 6¹ AB y y ¹ (68) Lægde f AB _ AB_ ( 6) ( ( 5)) 45 _ AB_ ( ) ( y y ) (69) Arel f trekt E trekt ABC, hvr A (,), B (5,6) g C (4,) hr relet 4 4 T 6 Arel T f trekt ABC š T _ AB AC_ (70) 46

47 Le ple Le geem A(, ) med rmlvektre estemt ved hr e lgg ( ( )) ( y ) 0 œ y Lgg fr le Lgg fr le l geem P0( 0, y0) med rmlvektr ( 0) y ( y0) 0 (7) E retgsvektr fr le med lgge y 6 er Retgsvektr fr le Retgsvektr r fr le l med lgge y r r (7) 47

48 Afstd ple Afstd mellem t pukter Afstde mellem A(, 5) g B( 6, ) er Afstd _AB_ mellem t pukter A (, y) g B (, y) _ AB _ ( 6) ( ( 5)) 45 _ AB_ ( ) ( y y ) (7) Afstd fr pukt tl le Afstde fr puktet P( 5,) tl le l med lgge y 0 er Afstd dst( Pl, ) fr puktet P ( 0, y0 ) tl le l med lgge y c 0 _( ) dst( Pl, ) 5 _ ( ) 4, dst( Pl, ) _ y c_ 0 0 (74) 48

49 Prel E prel hr lgge y 4 Lgg fr prel med symmetrkse prllel med dekse y c Dskrmt d (75) d ( ) 4 ( 4) 9 d 4 c (76) Tppukt T T ( ) 9, (, 4 ) 4 ¹ T d, (77) 4 ¹ 49

50 Crkel E lgg fr crkle med cetrum C(,) g rdus er estemt ved ( ) ( y ) œ 4 y y 4 0 Lgg fr crkel med cetrum C( 0, y 0 ) g rdus r ( ) ( y y ) r 0 0 (78) Omkreds O O S 6S O S r (79) Arel A A S 9S A Sr (80) 50

51 Ellpse E lgg fr ellpse med cetrum C(,) g hlvkser g er estemt ved ( ) ( y ) œ 4 6 9y 8 y 0 Lgg fr ellpse med cetrum C( 0, y 0 ) g hlvkser g ( 0 ) ( y y0 ) (8) Arel A A S 6S A S (8) 5

52 Hyperel E lgg fr hyperle med cetrum C(,) g hlvkser g er estemt ved ( ) ( y ) œ 4 6 9y 8 y 9 0 Lgg fr hyperel med cetrum C( 0, y 0 ) g hlvkser g ( 0 ) ( y y0 ) (8) Asympttere hr lggere y ( ) œ y g y ( ) œ y Lgg fr symptter y y ( ) 0 0 g (84) y y ( ) 0 0 5

53 Kvdrtsk fukt t vrle f(, y) 6 y 4y5 f(, y) cy dye (85) Nt (): 6y 4y 5 t œ ( ) ( y) 6 t ( ) ( y ) 6 t t Nveukurve N(t) N(): t cy dy e t (86) e crkel fr c e ellpse fr c! 0 g z c e hyperel fr c 0 y N( ): ( ) ( ) 4 5

54 Itegrlregg Stmfukt F er e stmfukt tl f œ Fc ( ) f( ) (87) Stmfukt tl specelle fukter Fukt f( ) Stmfukt f( ) d ³ Fukt f( ) Stmfukt f( ) d ³ (88) k (kstt) k 4 4 l l l e e e e e k k k e l l cs s s cs t l_ cs _ (t ) t (cs ) t 54

55 Regeregler fr uestemt tegrl ³ ³ ³ d c ( 4) d 4 c 5 5 d c ³ f( ) d F( )c (89) ³ ( f ( ) r g( )) d ³ f ( ) d r ³ g( ) d (90) ³ k f( ) d k ³ f( ) d (9) ³ ( e ) d ( e ) ³ e d e e c t ³ ( ) e d ³ e dt t e c e c ³ ( 4) d 4 4 (( ) 4 ( )) Prtel (delvs) tegrt ³ f( ) g( ) d F( ) g( ) ³ F( ) g c ( ) d(9) Itegrt ved susttut ³ f ( g ( )) gc ( ) d ³ f ( t ) dt, hvr t g ( ) (9) Regeregler fr estemt tegrl ³ f( ) d F( ) F( ) F( ) (94) c ³ f( ) d ³ f( ) d f( ) d (95) ³ c ³ ( f ( ) r g( )) d ³ f ( ) d r³ g( ) d (96) ³ k f( ) d k ³ f( ) d (97) Prtel (delvs) tegrt (98) ³ f( ) g( ) d F( ) g( ) F( ) gc( ) d ³ Itegrt ved susttut ³ g( ) f( g( )) gc ( ) d f( t) dt g( ) F( g( )) F( g( )), hvr t g( ) ³ (99) 55

56 Areleregg Arel A f skrveret mråde Arelet f mrådet ^ ( y, )_ š y 0 er ³ ` ( ) d 8 ( 4 4) 6 A ³ f( ) d (00) Arel A f skrveret mråde Arelet f mrådet ^ ( y, )_ 4 š 4 y er ` ³ ³ 4 4 ( ( 4 )) d > ( ) d 0 6 ( ) ³ A ( f( ) g( )) d (0) 56

57 Numersk tegrt f( ) Itervllet > 4 ddeles 6 lge lge deltervller Deltervllægde er ' , Itervl > > 0 Atl deltervller Lge lge deltervller> > Deltervllægde ' ',,,, (0) Tlærmelsessummer fr µ f ( ) d V6 05, ( f( ) f( 5, ) f( ) f(,) 5 f() f(,)) 5 05, ( 5, 5, 5, 5, 5, ) 4875, Vestresum V V ' f( ) 0 (0) Højresum H H ' f( ) (04) Trpezsum T (05) V H ' T f( 0 ) f( ) f( ) ¹ 57

58 Dfferetllgger Lgg Løsg Lgg Løsg (06) dy d y c dy d h( ) y ³ h( ) d dy d ky dy d h( ) g( y) ³ g y ³ h dy ( ) d ( ) dy d y y ce dy d ky y ce k dy d y( y) y 6 ce dy d y ( y) y ce dy d y( M y) y M ce M 58

59 Sdsylghedsregg Atl udfld Udfld u, u,, Udfldsrum U ^ u ` U u, u,, u (07) Et stkstsk ekspermet er eskrevet ved u 4 P(u) 0, 0, 0,5 0, Sdsylghedsfukt P 0 Pu ( ),,,, Pu ( ) (08) Sdsylghede fr hædelse A 4, er ^ ` P( A) P( ) P( 4) 05, 0, 07, Sdsylghed P(A) fr e hædelse A P(A) er lg med summe f (09) sdsylghedere f lle udfld A Regeregler fr sdsylgheder I et sdsylghedsfelt (U,P) hr hædelse A sdsylghed P( A) 05, Udfldsrum U Hædelse A Sdsylghede fr de kmplemetære hædelse er P( A) 05, 075, PU ( ) (0) P( Ø ) 0 () P( A) P( A) () 59

60 I et sdsylghedsfelt (U,P) gælder fr hædelsere A g B, t P( A) 04,, P( B) 0, g P( Aˆ B) 0, Udfldsrum U Hædelser A g B Sdsylghede fr hædelse ete A eller B er P( A B) 04, 0, 0, 05, Addtsregle P( A B) P( A) P( B) P( Aˆ B) () Sdsylghede fr A gvet B er, P( A_ B) 0 05, 0, Betget sdsylghed P( A_ B) P( Aˆ B) P( B) P( B_ A) P( Aˆ B) P( A) (4) Multplktsregle P( Aˆ B) P( A_ B) P( B) P( Aˆ B) P( B_ A) P( A) (5) A g B er kke ufhægge, d P( A_ B) 05, z 04, P( A) A g B ufhægge hædelser P( A_ B) P( A) œ P( B_ A) P( B) œ P( Aˆ B) P( A) P( B) (6) (7) P( B_ A) 05, 0, 04, 05, Byes frmel P( A_ B) P( B) P( B_ A) P( A) (8) 60

61 E frk prducerer e estemt vre på tre msker, M, M g M. Prdukte frdeler sg med 40% på M, 50% på M g 0% på M. Ngle f vrere er defekte. Det drejer sg m 5% på M, 6% på M g 0% på M. Mægde f defekte vrer eteges D. E vre fr dee prdukt udvælges tlfældgt. Udfldsrum U Hædelse A Atl hædelser Hædelser H, H,, H, der udelukker hde, g sm udfylder U Sdsylghede fr t vre er defekt, er P( D) 005, 04, 006, 05, 00, 00, 008, Lve m de ttle sdsylghed P( A) P( A_ H L ) P( H L ) (9) Sdsylghede fr t vre er prduceret på M, år det plyses, t de er defekt, er Byes frmel (ltertv vers) P( M_ D) 005, 04, 008, 05, P( H _ A) j _ M M P( A H ) P( H ) P( A), j,,, (0) 6

62 Stkstsk vrel Frdelgsfukt F fr e stkstsk vrel X F( ) P( X ), R () Dskret stkstsk vrel X Sdsylghedsfrdelge fr e stkstsk vrel X er 5 7 P(X = ) 0,4 0,5 0, Atl værder Værder,,, Sdsylghedsfukt f f( ) P( X ),,,, () Frdelgsfukte fr X er 5 7 F() 0,4 0,9,0 Frdelgsfukt F F( ) f( ),,,, () j j Mddelværde f X er E( X) 04, 5 05, 7 0, 4 Mddelværd µ P E( X) P( X ) (4) Vrse f X er Vr( X ) ( 4) 04, ( 54) 05, ( 74) 0, Vr( X ) 04, 5 05, 7 0, 4 Stdrdfvgelse f X er V ( X ) 7, Vrs V V Vr( X) ( P) P( X ) (5) V Vr( X) E( X ) ( E( X )) (6) Stdrdfvgelse V V V ( X) Vr ( X) (7) 6

63 Ktuert stkstsk vrel X Fgure vser grfe fr e tæthedsfukt f. Arelet uder grfe er lg med Frdelgsfukt F F( ) er relet uder grfe fr f tl vestre fr (8) 5X 4 Leær trsfrmt f stkstsk vrel X X (9) Det tges, t E( X) 0 g Vr( X ) 9. Så er E( 5X 4) Vr( 5X 4) V ( 5X 4) 5 5 Regeregler EX ( ) EX ( ) (0) Vr( X ) Vr( X) () V( X ) V( X) () 6

64 Bmlfrdelg 5! fkultet!! () 0! (4) K( 5,) 5 ¹ 5!!( 5 )! 0 Bmlkeffcet K(, r) Kr (, )! r¹ r!( r)! (5) Ld X etege tl defekte eheder e stkprøve på 50, sm stmmer fr e prdukt, hvrf 4% f ehedere er defekte. Det tges X ( 50 ; 04, ) Bmlfrdelt stkstsk vrel X Atlsprmeter Sdsylghedsprmeter p Værder 0,,,, X (, p) (6) Sdsylghede fr t stkprøve dehlder defekte er P( X ) K( 50, ) 04, 50 ( 04, ) 007, Sdsylghedsfukt r r P( X r) K(, r) p ( p) (7) Det frvetede tl defekte stkprøve er E( X) 50 04, 7 Mddelværd E( X) p (8) Vrse f tl defekte er Vr( X ) 50 04, ( 04, ) 6, 0 Vrs Vr( X) p ( p) (9) Stdrdfvgelse f tl defekte er V ( X ) 50 04, ( 04, ) 45, Stdrdfvgelse V ( X) p ( p) (40) 64

65 Apprksmt f mlfrdelt stkstsk vrel X med rmlfrdelg Atg, t X ( ; 05, ). Så er med tlærmelse X N 05, ; 05, ( 05, ) œ X N( 8, 6) X (, p) Frudsætg p! 5 g ( p)! 5 Tlærmelsesvs frdelg f X X N p, p ( p) (4) Beregg f sdsylgheder ved hjælp f frdelgsfukte )fr stdrdrmlfrdelge,, P( X ) ) 05, ( 05, ) ¹ )( 0, ) 0586, P( X ) ) 05, p p ( p) ¹ (4),, P( X! ) ) 05, ( 05, ) ¹ ) ( 4, ) 0, , 964 p P( X! 05, ) ) p ( p) (4) ¹,, P( 5 X ) ) 0, 5 ( 0, 5) ¹ 505, 05, ) 0, 5 ( 0, 5) ¹ )(, 06) ) ( 4, ) 0, , , 657 P ( X ) ) ) 05, p p ( p) ¹ 05, p p ( p) ¹ (44) 65

66 Nrmlfrdelg Nrmlfrdelt stkstsk vrel X Mddelværd P Stdrdfvgelse V VrsV X N( PV, ) (45) Stdrdrmlfrdelt stkstsk vrel U U N(,) 0 (46) Grf fr frdelgsfukt ) 095, frktl 645, )( 645, ) 095, frktl (47) u )( u ) (48) 66

67 Atg t X X 7 N(,) 0 ~ N( 7, ), så er Stdrdserg f rmlfrdelt stkstsk vrel X X N( PV, ) X P N(,) 0 (49) V Beregg f tervlsdsylgheder P( X 8 7 8) ) )( 05, ) 0, 6946 ¹ P( X ) P ) V ¹ (50) P( X! ) P ) V ¹ (5) P( 4 X 8) ) ) ¹ ¹ )(,) 05 ) ( 5,) 0, , , 6465 P ( X ) P P ) ) V ¹ V ¹ (5) Det tges, t X N( 0, ),,, 50, g t de stkstske vrle er ufhægge. Geemst X f ufhægge detsk rmlfrdelte stkstske vrle X N( PV, ),,,, ufhægge stkstske vrle X X (5) Frdelge f geemsttet er X N( 0, ) 50 X N( P, V ) (54) 67

68 Kfdestervl På e årgg, der hr været tl mtemtkprøve, udvælges 8 elevers krkterer tlfældgt. De udvlgte krkterer lev 0, 9,, 9, 8, 6, 7, 8. Stkprøves mddelværd 85, Af erfrg ved m, t krkterere er rmlfrdelt med vrs V 5, Dvs.V 5, 5, Kfdestervl fr mddelværde P e rmlfrdelg med kedt vrs V Stkprøves størrelse Oserveret mddelværd stkprøve Stdrdfvgelse rmlfrdelge V 00 ( )% frktl u stdrdrmlfrdelge Et 95% kfdestervl fr geemstskrktere P er , ,,, P,, 8 8 œ 746, P 954, 00 ( )% kfdestervl fr P V V u P u (55) 68

69 I e stkprøve på 50 eheder er der 8 defekte eheder. De serverede del f defekte er p š , Kfdestervl fr sdsylghedsprmetere p e mlfrdelg Stkprøves størrelse Atl succeser Oserveret del f succeser stkprøve š p š Frudsætg p! 5 g š ( p)! 5 p š (56) 00 ( )% frktl u / stdrdrmlfrdelge Et 95% kfdestervl fr dele p f defekte prdukte er 00 ( )% kfdestervl fr p 06, ( 06, ) 06, 96, 50 06, ( 06, ) 06, 96, 50 œ 006, p 06, p š pu š pu š š p ( p) š š p ( p) p (57) 69

70 70

71 Arel Crkel rdus r rel A mkreds O A Sr O Sr Trekt højde h grudle g rel A A g h Prllelgrm højde h grudle g rel A A hg Trpez højde h prllelle sder g rel A A h( ) 7

72 Mtemtske symler ^ Syml Betydg, læsemåde Eksempler, emærkger m.v. š kjukt ( g ) pš q dsjukt ( eller p q etydge g/eller ), egt p, p Ÿ mplkt ( hvs så, pÿ q medfører ) œ mplkt ( esetydede pœ q med, hvs g ku hvs ) ^.,.,.,. ` mægde, hvs elemeter preges; ^ 58,, ` mægde skrevet på lstefrm G_ p( ) ` mægde f de elemeter G, ^ R_ 6 fr hvlke p ( ) er sd ^p _ ( ) ` fkrtet syml der k vedes, år det f smmehæge ^ _! 6) ` fremgår, hvlke mægde G der lægges tl grud er elemet (tlhører) M Ž er delmægde f AŽ B er ægte delmægde f A B ` ˆ fællesmægde Aˆ B fregsmægde A B \ mægdedfferes A\ B C, kmplemetærmægde CA, A u mægdeprdukt Au B ^(, )_ A g B` 7

73 Syml Betydg, læsemåde Eksempler, emærkger m.v. ; lukket tervl ; hlvået tervl > ^[ R_ [ ^ R_ ` >> hlvået tervl > ; > ^ R_ ; ået ; > ^ R_ ` N mægde f turlge tl N ^,,, ` Z mægde f hele tl Z ^,,, 0,,, ` Q mægde f rtle tl tl, der k skrves på frme p q, hvr p Z, q N R mægde f reelle tl Ø de tmme mægde Ø ^` (, ) rdet elemetpr (, 6) (,,, ) rdet elemetsæt ( 4,, 6) hvs deksmægde, sm skl geemløe, fremgår f smmehæge, skrves lt eller! fkultet! ( ) ( ) fr N 0! Kr (, ),! mlkeffcet Kr (, ) r¹ r!( r)! f: A B fukt f fr A (deftsmægde vsse smmehæge ruges udtryksmåder fr f) tl B sm fukte f( ) 5, fukt- e y 5 g fukte 5 f() fuktsværd f ved fukte f Dm( f ) deftsmægde fr f Vm( f ) værdmægde fr f f g sum f t fukter ( f g)( ) f( ) g( ) f g dfferes mellem t fukter ( f g)( ) f( ) g( ) f g, fg prdukt f t fukter ( f g)( ) ( fg)( ) f( ) g( ) f kvtet mellem t fukter f f( ) g ( ) g ¹ g( ), hvr g( ) z 0 f $ g smmest fukt ( f $ g)( ) f( g( )) f vers (mvedt) fukt y f œ f ( ) ( y) 7

74 Syml Betydg, læsemåde Eksempler, emærkger m.v. ekspetlfukt med grudtl,! 0 eteges gså ep ( ) e de turlge ekspetlfukt e eteges gså ep( ) lg lgrtmefukte med y lg œ y 0 grudtl 0 l de turlge lgrtmefukt y l œ y e s sus cs csus t tges t eteges gså tg ct ctges ct cs s de umerske (slutte) værd f eteges gså s( ) lm f( ) græseværd f f() fr 0 gåede md lm( 5) 4, lm 0 f f( ) f() går md fr gåede s fr 0 fr 0 md 0 0 f( )f f() går md uedelg fr f fr f fr f gåede md uedelg ' -tlvækst 0 ' ³ ³ ' f fuktstlvækst fr f 0 ' f f( ) f( 0 ) ' f ' f f( ) f( 0 ) f( 0 ' ) f( 0) dffereskvtet fr f ' 0 ' ' fc( 0 ) dfferetlkvtet fr f 0 f f fc ( ) lm ( ) ( ) ' f lm ' 0 ' f f lm ( ) ( ) 0 ' 0 ' 0 ' f c fledet fukt f f eteges gså df ( ) df dy,, d d d eller y c f ) de -te fledede fukt f f ( ) stedet fr f g ( ) f skrves sm regel fcc g fccc f( ) d f( ) d stmfukt (uestemt tegrl tl f) tegrlet fr tl f f (estemt tegrl)

75 Syml Betydg, læsemåde Eksempler, emærkger m.v. AB _ AB_ lestykket AB lægde f lestykket AB, AB vektr, _ AB_ lægde f vektr š tværvektr sklrprdukt er prllel med A er vkelret på # er kgruet med ~ er lgedet med h højde med fdpukt på sde eller dees frlægelse m mede med fdpukt på sde v A vkelhlvergsle fr vkel A A vkel A A vedes gså sm etegelse fr grdtllet, f.eks. A 05 $ X~ (, p) X er mlfrdelt med tlsprmeter g sdsylghedsprmeter p X ~ N( PV, ) X er rmlfrdelt med mddelværd P g stdrdfvgelse V 75

76 Stkrdsregster fr Nveu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

77 6DQGV\QOLJKHG IRUK QGHOVH IRUNRPSOHPHQW U K QGHOVH 6DQGV\QOLJKHGHU UHJQHUHJOHUIRU 6DQGV\QOLJKHGVIXQNWLRQ ELQRPLDOIRUGHOWVWRNDVWLVN YDULDEHO GLVNUHWVWRNDVWLVN YDULDEHO 6DQGV\QOLJKHGVUHJQLQJ VLQJUDIIRU 6LQXV 6LQXVUHODWLRQHUQH 6NUDV\PSWRWH 6WDQGDUGDIYLJHOVH ELQRPLDOIRUGHOWVWRNDVWLVN YDULDEHO 6WDQGDUGDIYLJHOVH GLVNUHWVWRNDVWLVNYDULDEHO 6WLJQLQJVWDO 6WRNDVWLVNYDULDEHO ELQRPLDOIRUGHOW GLVNUHW QRUPDOIRUGHOW 6XPNXUYH 6XPPHUHGHIUHNYHQVHU 6 MOHGLDJUDP WDQJUDIIRU 7DQJHQV 7DQJHQWOLJQLQJIRU 7LOEDJHVNULYQLQJ 7RSSXQNWIRUSDUDEHO 7UDSSHGLDJUDP 7UHNDQW DUHDO UHWYLQNOHW YLONUOLJ 7ULJRQRPHWULVNHIXQNWLRQHU VSHFLHOOH IXQNWLRQVY UGLHU 7ULJRQRPHWULVNH JUXQGOLJQLQJHU 8GIDOGVUXP 9DQGUHWDV\PSWRWH 9DULDQV ELQRPLDOIRUGHOW VWRNDVWLVNYDULDEHO GLVNUHW VWRNDVWLVNYDULDEHO 9HMHWJHQQHPVQLW 9LONUOLJWUHNDQW 9 UGLP QJGH 77

78 Stkrdsregster fr Nveu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