Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen"

Transkript

1 Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udervsgsmsteret Erhvervssklefdelge 997

2 Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udgvet f Udervsgsmsteret, Erhvervssklefdelge 997. udgve,. plg. Jur stk. Udrejdet tl fget mtemtk ved ekedtgørelse r. 46 f 9. ju 995 m de erhvervsgymsle uddelse tl højere hdelseksme. Bestlles hs (UVM-7-6) sæt à 0 stk., (UVM-7-7) ekelteksemplrer, hs Udervsgsmsterets Frlg, Strdgde 00 D 40 Køehv K. Tlf F 9 59 E-ml: eller hs ghdlere Tryk: Bse & Nelse A/S

3 Idhldsfrtegelse Nveu B Prcetregg...5 Retesregg...6 Autetsregg...7 Ptesregeregler...8 Le...9 Prel... Trekt... Fukt...4 Plymer...6 Asymptte fr plymumsrøk...8 Ekspetelle fukter...9 Lgrtmefukter... Ptesfukter... Trgmetrske fukter...6 Leær fukt t vrle...0 Dfferetlregg... Deskrptv sttstk... Sdsylghedsregg...7 Stkstsk vrel...8 Bmlfrdelg...9 Nrmlfrdelg...40 Nveu A Vektrer ple...4 Le ple...47 Afstd ple...48 Prel...49 Crkel...50 Ellpse...5 Hyperel...5 Kvdrtsk fukt t vrle...5 Itegrlregg...54 Numersk tegrt...57 Dfferetllgger...58 Sdsylghedsregg...59 Stkstsk vrel...6 Bmlfrdelg...64 Nrmlfrdelg...66 Kfdestervl...68 Arel...7 Mtemtske symler...7 Stkrdsregster fr veu B...76 B Stkrdsregster fr veu A...78

4 4

5 Prcetregg Geemstlg prcet E prs stger et år med 6%, det æste år med 4%, g det æste år ge med %. De geemstlge retefd er r ( 0, 06) ( 0, 04) ( 0, ) 0078, De geemstlge prcetvse prsstgg pr. år er 7,8%. Geemstlg retefd r f r, r,, r r ( r) ( r) ( r ) () Vejet geemst Værde tges t hve vægte 0,7 g værde 6 vægte 0,. Det vejede geemst f g 6 er ( ) 07, 6 0, 04, Vejet geemst f,,, med vægte r, r,, r r r r () Idekstl Telle vser prser fr e vre frskellge år. Idekstl I fr et år med værd t ud fr et ssår med værd År Prs Idekstllet fr 995 med ssår 990 er I I t 00 () 5

6 Retesregg Strtkptl K Retefd r pr. term Atl termer Kptl K efter termer kr., der frretes med 6% p.., er efter 5 år vkset tl Fremskrvg K ( 0, 06) 55, 9 kr. K K ( r) (4) 0 Tlgeskrvg Det elø, der frretet med 6% p.. g sm efter 8 år er vkset tl 500 kr., er 8 K ( 0, 06) 94, kr. K K ( r) (5) 0 Effektv rete Hvs rete er % pr. måed, så er de effektve retefd p.. De effektve retefd pr. termer ( 0, 0) 0, 68 De effektve rete prcet p.. er 6,8%. r ( ) (6) 6

7 Autetsregg Hvedstl A Retefd r pr. term Atl utetsydelser Autetsydelse y Kptl A efter utetsydelser 0 Fremtdsværd f e utet Der detles 00 kr. hvert år lt 4 gge, g rete er 5% p.. Værde efter sdste detlg er Opsprgsfrmle ( , ) 005, A , kr. A ( r) y r (7) Nutdsværd f e utet Et lå tlgeetles med 8 på hde følgede måedlge ydelser på 50 kr. Rete er % pr. måed. Låets hvedstl er Gældsfrmle 50 ( 00, ) 00, 8 A 0 66, 7 kr. A 0 ( r) y r (8) Autetsydelse De måedlge ydelse på et sædvlgt utetslå på 900 kr., der frretes med % pr. måed g sm hr e løetd på 6 måeder, er Amrtstsfrmle y 00, 900 ( 00, ) 6 60, 67 kr. y A 0 r ( r) (9) 7

8 Ptesregeregler s t st (0) s t st () ( ) 6 ( ) s t s t () ( y) y s s s ( y) y () y¹ 5 y 5 5 s s (4) s y¹ y 0 (5) s s (6) s s (7) t s s t (8) 8

9 Le Hældgskeffcet fr le Le, der går geem puktere A(,) g B(,0) hr hældgskeffcete Hældgskeffcet (stggstl) fr le l 0 ( ) y y (9) E le, der der e vkel på 0 med. kse, hr hældgskeffcete $ t 0 t v (0) 9

10 Lgg fr le Le geem 6 på. kse med hældgskeffcete hr lgge Lgg fr le l y 6 y () Le geem A(,) med hældgskeffcete hr e lgg estemt ved œ y y ( ( )) y y ( ) () 0 0 0

11 Prel E prel hr lgge y 4 Lgg fr prel med symmetrkse prllel med dekse y c Dskrmt d () d ( ) 4 ( 4) 9 d 4 c (4) Tppukt T T ( ) 9, (, 4 ) 4 ¹ T d, (5) 4 ¹ Skærgspukter S g S med førstekse S S ( ) 9, 0 ( 0 ¹, ) ( ) 9, 0 ( 4, 0) ¹ S S d, 0 ¹ d, 0 ¹ (6) Skærgspukt S 0 med dekse S 0 ( 0, 4) S (, c) (7) 0 0

12 Trekt Retvklet trekt I e retvklet trekt ABC med C 90 $, 5 g er c estemt ved 5 c c 5 c (8) s A s B c c (9) cs A cs B c c (0) Vkel A er estemt ved 5 t A 0467, A, 6 $ t A t B ()

13 Vlkårlg trekt I e trekt ABC med 5, 9 g c 6 er vkel C estemt ved cs C œ cs C , C 8, 9 $ Csusreltere c cs C c ccs B c ccs A () I e trekt ABC med $ $ A 40, B 80 g 5 er estemt ved s 40 œ 5 s 40 $ s 80 5 s 80 $ $ $ 6, Susreltere c s A s B s C () E trekt ABC med C 40 $, 5 g 7 hr relet T 5 7 s 40 $ 5, Arel T f trekt T s C T cs A T cs B (4)

14 Fukt Fuktsegreet Fgure vser grfe fr e fukt f. Deftsmægde fr f Deftsmægde fr f er grfes (5) udstrækg målt på. kse Dm( Værdmægde fr f Værdmægde fr f er grfes udstrækg (6) målt på. kse Vm( f) e; g Fuktsværd y f( ) f() er dekrdte tl det pukt (7) på grfe, sm hr førstekrdte Mttervllere fr f f er ftgede ; c f er vksede f > c; > (8) 4

15 f( ) g( ) Smmest fukt De smmestte fukt f $ g f t fukter f g g ( f $ g)( ) ( ) ( f $ g)( ) f( g( )) (9) Omvedt fukt f( ) y œ y De mvedte fukt f œ y f( ) f ( y) tl e fukt f (40) Med sm ufhægg vrel er e frskrft fr f f ( ) 5

16 Plymer Leær fukt f( ) (4) Grfe fr f er e ret le et sædvlgt krdtsystem. 6

17 f( ) 4 6 Adegrdsplymum f( ) c (4) Grfe fr f er e prel. d 64 Dskrmt d d 4 c (4), f( ) 4 6 ( )( ) Nulpukter (rødder) g d d, (44) Fktrserg f( ) c ( )( ) (45) f( ) 4 De mulge rtle ulpukter er p r, r, r 4 q r, r r, r, r4, r D er et ulpukt f, går ( ) p f( ) g ( 4):( ) 4 Plymum f grd f( ) (46) 0 Mulg rtl ulpukt (rd) p q et plymum med heltllge keffceter p går p 0 g q går p (47) Dvs med (-t) t er ulpukt f œ ( t) går p f( ) (48) 7

18 Asymptte fr plymumsrøk f( ) g( ) ( ) h (49) f( ) 5 D tællergrd < ævergrd er y 0 e vdret symptte Vdret symptte Hvs tællergrd < ævergrd, så er (50) y 0 e vdret symptte f( ) 4 5 D tællergrd = ævergrd er y 4 e vdret symptte Hvs tællergrd = ævergrd, så er (5) y e vdret symptte, hvr g( ) g h( ) 0 0 f( ) 4 D tællergrd er é større ed ævergrd er y e skrå symptte, det f( ) 4 4 Skrå symptte Hvs tællergrd = ævergrd +, så er (5) y e skrå symptte, r( ) hvr f( ) h(, g grde f r er ) mdre ed grde f h f( ) 4 D er æverulpukt me kke tællerulpukt er e ldret symptte Ldret symptte Hvs k er ulpukt æver me (5) kke tæller, så er k e ldret symptte 8

19 Ekspetelle fukter Ekspetlfukt med grudtl f( ) (54) De turlge ekspetlfukt f( ) e (55) Ekspetelt vksede/ftgede fukt Fremskrvgsfktr Reltv tlvækst r Begydelsesværd f( ) ( r) (56) Grfe er e ret le et ekeltlgrtmsk krdtsystem. 9

20 Fremskrvgsfktr E ekspetel fukt f( ) er fstlgt ved f( ) 0 g f ( 4) 405. Fremskrvgsfktre er , y y y y (57) Begydelsesværd E ekspetel fukt f( ) er fstlgt ved 5, g f ( 4) 405. Begydelsesværde er , 80 y 0 (58) 0 Frdlgskstte fr f( ) 80 5, er l T 7, l( 5, ) Frdlgskstt T T l l (59) Hlvergskstt T T l l (60) 0œ l 0 l 465, Ekspetel lgg y œ l y l l y l l (6) 0

21 Lgrtmefukter Lgrtmefukte med grudtl 0, lg Regeregler y 0 œ lg y (6) lg 0 lg( 0 ) (6) lg0 (64) lg( y) lg lg y (65) lg y lg lg y (66) lg( ) lg (67)

22 De turlge lgrtmefukt l Regeregler y e œ l y (68) l e l( e ) (69) l e (70) l( y) l l y (7) l y l l y (7) l( ) l (7) Smmehæg mellem lg g l l lg l0 (74) l lg lge (75)

23 Ptesfukter Ptesfukt med ekspet f( ) (76) Fukt der er prprtl med ptesfukt f( ) (77) Grfe er e ret le et deltlgrtmsk krdtsystem.

24 Ekspet E ptesfukt f( ) er fstlgt ved f( ) 6g f( 8) 96. Ekspete er 96 6 l l( ) 8 l l y y l y l l y l (78) Bestemmelse f E ptesfukt f( ) er fstlgt ved = g f( 8) 96. er , y 0 0 (79) 0 0œ 70, Pteslgg y œ y y (80) 4

25 Prprtltet Lgefrem prprtltet y y k œ k (8) Omvedt prprtltet y c œ y c (8) 5

26 Trgmetrske fukter Csus g sus Grf fr cs 0 S S S S cs 0 0 Grf fr s S 0 S S S s Regeregler (cs ) (s ) (8) cs ( S) cs s ( S) s cs ( ) cs s ( ) s cs ( S ) cs s ( S ) s (84) (85) (86) 6

27 Tges t s cs (87) Grf fr t S 4 0 S 4 t 0 Regeregler t( S ) t (88) t( ) t (89) 7

28 Specelle fuktsværder Grder 0 $ 0 $ 45 $ 60 $ 90 $ (90) Rdtl 0 s 0 cs t 0 S 6 S 4 S S 0 cs 0, Trgmetrske grudlgger cs (9) r694, p S, p Z s 06, s (9) œ 0645, p S p Z S0645 p S 0645, p S p Z 498 p S t 4, t (9) 09505, p S, p Z 8

29 Hrmsk svgg f( ) cs( 4 ) 5 f( ) s( 4 ) 5 f( ) cs( c) d (94) f( ) s( c) d (95) Perde fr f( ) s( 4 ) 5 er p S S 4 Perde p p S Grf fr hrmsk svgg (96) p (97) y m y m (98) d y m (99) 9

30 Leær fukt t vrle f(, y) y f(, y) y c (00) Nt (): y t œ y t Nveule N(t) Nt (): y c t (0) N( ): y œ y 5, 0

31 Dfferetlregg Dfferetlkvtet f c( 0 ) f f fc ( ) lm ( ) ( ) (0) E lgg fr tgete tl grfe fr fukte f( ) A(, f( )) er estemt ved Lgg fr tget t A( 0, f ( 0 )) y œ y ( ) 5 y fc( 0)( 0) f( 0 ) (0) Det pprksmerede førstegrdsplymum fr fukte f( ) tllet hr e frskrft, der er estemt ved p ( ) ( ) 5 œ p ( ) Apprksmerede førstegrdsplymum p fr f tllet 0 p ( ) fc( 0)( 0) f( 0 ) (04)

32 Fukt f () 5 Afledet fukt f c() 0 Dfferett f specelle fukter Fukt f () k (kstt) Afledet fukt f c() 0 (05) = = = = e e l l e e e e k l l e k e k cs s t s cs (cs) (t) cs s t s cs (t ) (cs ) Regeregler fr dfferett ( r ) c r ( l ) c l l ( s ) c cs c ( ) ( ) ¹ ( ) ( ) (( ) ) c ( ) 6( ) ( f r g) c ( ) fc( ) r gc( ) (06) ( f g) c ( ) fc( ) g( ) f( ) gc ( ) (07) ( k f) c ( ) k fc ( ) (08) f f g f g c c( ) ( ) ( ) c( ) ( ) (09) g ¹ ( g( )) ( f $ g) c ( ) fc( g( )) gc ( ) (0)

33 Deskrptv sttstk Atl servter Oservter,,, Geemsttet f krkterere 0, 9,, 9, 8, 6, 7, 8 pået f 8 elever er , Mddeltl (geemst) Dskrete servter Atl servtsværder k Oservtsværder,,, k Hyppgheder h, h,, h k () Atl kuder 4 I e frretg hr m 60 på hde følgede dge regstreret tl kuder de første ågstme. Frdelge f tl kuder dee tme g e lyse smt llustrt f dee frdelg er vst det følgede. Hyppghed h Frekves 0, 0, 0, 0,4 lt = 60,0 f Atl servter k h Frekveser f, f,, f k f h (),,,, k () Det geemstlge tl kuder er , Mddeltl (geemst) k h (4) 0, 0, 0, 4 04, 9, k f (5)

34 Pdedgrm fr frdelge f tl kuder. Pdedgrm Højde f pd svrer tl frekves/hyppghed f servtsværd. Atl kuder 4 Frekves f 0, 0, 0, 0,4 Summeret frekves F 0, 0,4 0,6,0 Summerede frekveser F, F,, F k F f,,,, k (6) j j Trppedgrm fr frdelge f tl kuder. Trppedgrm 00, frktl. kvrtl. kvrtl med. kvrtl 4 frktl (7). kvrtl 05, frktl (8). kvrtl med 05, frktl (9). kvrtl 075, frktl (0) 4

35 Grupperede servter På e skle hr m fr 80 elever regstreret tl tmer, sm eleve vr m t lve e flevergspgve mtemtk. Frdelge f tl tmer tl t lve flevergspgve g e lyse smt llustrt f dee frdelg er vst det følgede. Atl tmer @ 05,;, 5 5,;, 5 5,;, 5 Itervlmdtpukt m Atl elever h Itervlfrekves f 0, 0,5 0, 5,;, , lt = 80,0 Atl tervller k k ; Hyppgheder h, h,, h k Itervlmdtpukter m, m,, m k m,,,, k () Atl servter k h Itervlfrekveser f, f,, f k f h (),,,, k () Det geemstlge tl tmer er , Mddeltl (geemst) k m h (4) 0, 05, 0, 40, 4, k m f (5) 5

36 Søjledgrm fr frdelge f tl tmer. Søjledgrm (hstgrm) Atl tmer @ ; 05,;, 5 @ 5,;, 5 5,;, 45 f 0, 0,5 0, 0, Itervlfrekves Summeret frekves F 0, 0,6 0,9,0 Arel f rektgel svrer tl tervlfrekves/hyppghed. Summerede frekveser F, F,, F k F f,,,, k (6) j j Sumkurve fr frdelge f tl tmer. Sumkurve 00, frktl 5,. kvrtl 8,. kvrtl med,. kvrtl frktl (7). kvrtl 05, frktl (8). kvrtl med 05, frktl (9). kvrtl 075, frktl (0) 6

37 Sdsylghedsregg Atl udfld Udfld u, u,, Udfldsrum U ^ u ` U u, u,, u () Et stkstsk ekspermet er eskrevet ved u 4 P(u) 0, 0, 0,5 0, Sdsylghedsfukt P 0 Pu ( ),,,, Pu ( ) () Sdsylghede fr hædelse A 4, er ^ ` P( A) P( ) P( 4) 05, 0, 07, Sdsylghed P(A) fr e hædelse A P(A) er lg med summe f () sdsylghedere f lle udfld A Regeregler fr sdsylgheder I et sdsylghedsfelt (U,P) hr hædelse A sdsylghed P( A) 05, Udfldsrum U Hædelse A Sdsylghede fr de kmplemetære hædelse er P( A) 05, 075, PU ( ) (4) P( Ø ) 0 (5) P( A) P( A) (6) 7

38 Stkstsk vrel Frdelgsfukt F fr e stkstsk vrel X F( ) P( X ), R (7) Dskret stkstsk vrel X Sdsylghedsfrdelge fr e stkstsk vrel X er 5 7 P(X = ) 0,4 0,5 0, Atl værder Værder,,, Sdsylghedsfukt f f( ) P( X ),,,, (8) Frdelgsfukte fr X er 5 7 F() 0,4 0,9,0 Frdelgsfukt F F( ) f( ),,,, (9) j j Mddelværde f X er E( X) 04, 5 05, 7 0, 4 Mddelværd µ P E( X) P( X ) (40) Vrse f X er Vr( X ) ( 4) 04, ( 54) 05, ( 74) 0, Vr( X ) 04, 5 05, 7 0, 4 Vrs V V Vr( X) ( P) P( X ) (4) V Vr( X) E( X ) ( E( X )) (4) Stdrdfvgelse f X er V ( X ) 7, Stdrdfvgelse V V V ( X) Vr ( X) (4) 8

39 Bmlfrdelg 5! fkultet!! (44) 0! (45) K( 5,) 5 ¹ 5!!( 5 )! 0 Bmlkeffcet K(, r) Kr (, )! r¹ r!( r)! (46) Ld X etege tl defekte eheder e stkprøve på 50, sm stmmer fr e prdukt, hvrf 4% f ehedere er defekte. Det tges X ( 50 ; 04, ) Bmlfrdelt stkstsk vrel X Atlsprmeter Sdsylghedsprmeter p Værder 0,,,, X (, p) (47) Sdsylghede fr t stkprøve dehlder defekte er P( X ) K( 50, ) 04, 50 ( 04, ) 007, Sdsylghedsfukt r r P( X r) K(, r) p ( p) (48) Det frvetede tl defekte stkprøve er E( X) 50 04, 7 Mddelværd E( X) p (49) Vrse f tl defekte er Vr( X ) 50 04, ( 04, ) 6, 0 Vrs Vr( X) p ( p) (50) Stdrdfvgelse f tl defekte er V ( X ) 50 04, ( 04, ) 45, Stdrdfvgelse V ( X) p ( p) (5) 9

40 Nrmlfrdelg Ld X etege det tl km, e estemt lmdel kører på lter ez. Det tges X N( 5, ) Nrmlfrdelt stkstsk vrel X Mddelværd P Stdrdfvgelse V X N( PV, ) (5) Grfe fr frdelgsfukte F på rlfrdelgsppr går geem puktere ( 5 ; 059, ) ( ; 059, ), ( 5; 05, ) g ( 5 ; 0, 84) ( 7; 0, 84) Grfe fr frdelgsfukte F er e ret le på rmlfrdelgsppr. 40

41 Sdsylghede fr t e l f dee mdel kører højst 4 km på lter ez er P( X 4) F( 4) 0, Beregg f tervlsdsylgheder P( X ) F( ) (5) Sdsylghede fr t de kører mdst 4 km på lter ez er P( X! 4) F( 4) 0, 0, 69 P( X! ) F( ) (54) Og sdsylghede fr t de kører mellem 4 km g 6 km på lter ez er P( 4 X 6) F( 6) F( 4) 0, 69 0, 0, 8 P( X ) F( ) F( ), (55) 4

42 4

43 Vektrer ple Vektr j 5 5 ¹ j ¹ (56) Lægde f 5 ( ) 9 (57) Regg med vektrer Fr t 5, ¹ 4¹ gælder følgede g, g t er et tl ¹ ¹ Vektr t t 5 ( ) ¹ 0 4¹ t t t ¹ (58) 4

44 Sum 5 8 ¹ 4 ¹ ¹ (59) Dfferes 5 4¹ 6¹ ¹ (60) Sklrprdukt 5 ( ) cs v v 74, 9q 9 9 (6) cs v (6) Sklrprdukt (6) Vkelrette vektrer g A œ 0 (64) 44

45 Prjekt f på 7 5 4¹ 5 5 ¹ (65) Tværvektr š š ( ) 5 ¹ 5 ¹ š ¹ (66) Arel A f det prllelgrm, sm g udspæder A ¹ ¹ A š _ _ (67) 45

46 Vektr estemt ved t pukter ple Fr A(, 5) g B( 6, ) gælder, t Krdtsæt fr AB AB 6 ¹ ( 5) 6¹ AB y y ¹ (68) Lægde f AB _ AB_ ( 6) ( ( 5)) 45 _ AB_ ( ) ( y y ) (69) Arel f trekt E trekt ABC, hvr A (,), B (5,6) g C (4,) hr relet 4 4 T 6 Arel T f trekt ABC š T _ AB AC_ (70) 46

47 Le ple Le geem A(, ) med rmlvektre estemt ved hr e lgg ( ( )) ( y ) 0 œ y Lgg fr le Lgg fr le l geem P0( 0, y0) med rmlvektr ( 0) y ( y0) 0 (7) E retgsvektr fr le med lgge y 6 er Retgsvektr fr le Retgsvektr r fr le l med lgge y r r (7) 47

48 Afstd ple Afstd mellem t pukter Afstde mellem A(, 5) g B( 6, ) er Afstd _AB_ mellem t pukter A (, y) g B (, y) _ AB _ ( 6) ( ( 5)) 45 _ AB_ ( ) ( y y ) (7) Afstd fr pukt tl le Afstde fr puktet P( 5,) tl le l med lgge y 0 er Afstd dst( Pl, ) fr puktet P ( 0, y0 ) tl le l med lgge y c 0 _( ) dst( Pl, ) 5 _ ( ) 4, dst( Pl, ) _ y c_ 0 0 (74) 48

49 Prel E prel hr lgge y 4 Lgg fr prel med symmetrkse prllel med dekse y c Dskrmt d (75) d ( ) 4 ( 4) 9 d 4 c (76) Tppukt T T ( ) 9, (, 4 ) 4 ¹ T d, (77) 4 ¹ 49

50 Crkel E lgg fr crkle med cetrum C(,) g rdus er estemt ved ( ) ( y ) œ 4 y y 4 0 Lgg fr crkel med cetrum C( 0, y 0 ) g rdus r ( ) ( y y ) r 0 0 (78) Omkreds O O S 6S O S r (79) Arel A A S 9S A Sr (80) 50

51 Ellpse E lgg fr ellpse med cetrum C(,) g hlvkser g er estemt ved ( ) ( y ) œ 4 6 9y 8 y 0 Lgg fr ellpse med cetrum C( 0, y 0 ) g hlvkser g ( 0 ) ( y y0 ) (8) Arel A A S 6S A S (8) 5

52 Hyperel E lgg fr hyperle med cetrum C(,) g hlvkser g er estemt ved ( ) ( y ) œ 4 6 9y 8 y 9 0 Lgg fr hyperel med cetrum C( 0, y 0 ) g hlvkser g ( 0 ) ( y y0 ) (8) Asympttere hr lggere y ( ) œ y g y ( ) œ y Lgg fr symptter y y ( ) 0 0 g (84) y y ( ) 0 0 5

53 Kvdrtsk fukt t vrle f(, y) 6 y 4y5 f(, y) cy dye (85) Nt (): 6y 4y 5 t œ ( ) ( y) 6 t ( ) ( y ) 6 t t Nveukurve N(t) N(): t cy dy e t (86) e crkel fr c e ellpse fr c! 0 g z c e hyperel fr c 0 y N( ): ( ) ( ) 4 5

54 Itegrlregg Stmfukt F er e stmfukt tl f œ Fc ( ) f( ) (87) Stmfukt tl specelle fukter Fukt f( ) Stmfukt f( ) d ³ Fukt f( ) Stmfukt f( ) d ³ (88) k (kstt) k 4 4 l l l e e e e e k k k e l l cs s s cs t l_ cs _ (t ) t (cs ) t 54

55 Regeregler fr uestemt tegrl ³ ³ ³ d c ( 4) d 4 c 5 5 d c ³ f( ) d F( )c (89) ³ ( f ( ) r g( )) d ³ f ( ) d r ³ g( ) d (90) ³ k f( ) d k ³ f( ) d (9) ³ ( e ) d ( e ) ³ e d e e c t ³ ( ) e d ³ e dt t e c e c ³ ( 4) d 4 4 (( ) 4 ( )) Prtel (delvs) tegrt ³ f( ) g( ) d F( ) g( ) ³ F( ) g c ( ) d(9) Itegrt ved susttut ³ f ( g ( )) gc ( ) d ³ f ( t ) dt, hvr t g ( ) (9) Regeregler fr estemt tegrl ³ f( ) d F( ) F( ) F( ) (94) c ³ f( ) d ³ f( ) d f( ) d (95) ³ c ³ ( f ( ) r g( )) d ³ f ( ) d r³ g( ) d (96) ³ k f( ) d k ³ f( ) d (97) Prtel (delvs) tegrt (98) ³ f( ) g( ) d F( ) g( ) F( ) gc( ) d ³ Itegrt ved susttut ³ g( ) f( g( )) gc ( ) d f( t) dt g( ) F( g( )) F( g( )), hvr t g( ) ³ (99) 55

56 Areleregg Arel A f skrveret mråde Arelet f mrådet ^ ( y, )_ š y 0 er ³ ` ( ) d 8 ( 4 4) 6 A ³ f( ) d (00) Arel A f skrveret mråde Arelet f mrådet ^ ( y, )_ 4 š 4 y er ` ³ ³ 4 4 ( ( 4 )) d > ( ) d 0 6 ( ) ³ A ( f( ) g( )) d (0) 56

57 Numersk tegrt f( ) Itervllet > 4 ddeles 6 lge lge deltervller Deltervllægde er ' , Itervl > > 0 Atl deltervller Lge lge deltervller> > Deltervllægde ' ',,,, (0) Tlærmelsessummer fr µ f ( ) d V6 05, ( f( ) f( 5, ) f( ) f(,) 5 f() f(,)) 5 05, ( 5, 5, 5, 5, 5, ) 4875, Vestresum V V ' f( ) 0 (0) Højresum H H ' f( ) (04) Trpezsum T (05) V H ' T f( 0 ) f( ) f( ) ¹ 57

58 Dfferetllgger Lgg Løsg Lgg Løsg (06) dy d y c dy d h( ) y ³ h( ) d dy d ky dy d h( ) g( y) ³ g y ³ h dy ( ) d ( ) dy d y y ce dy d ky y ce k dy d y( y) y 6 ce dy d y ( y) y ce dy d y( M y) y M ce M 58

59 Sdsylghedsregg Atl udfld Udfld u, u,, Udfldsrum U ^ u ` U u, u,, u (07) Et stkstsk ekspermet er eskrevet ved u 4 P(u) 0, 0, 0,5 0, Sdsylghedsfukt P 0 Pu ( ),,,, Pu ( ) (08) Sdsylghede fr hædelse A 4, er ^ ` P( A) P( ) P( 4) 05, 0, 07, Sdsylghed P(A) fr e hædelse A P(A) er lg med summe f (09) sdsylghedere f lle udfld A Regeregler fr sdsylgheder I et sdsylghedsfelt (U,P) hr hædelse A sdsylghed P( A) 05, Udfldsrum U Hædelse A Sdsylghede fr de kmplemetære hædelse er P( A) 05, 075, PU ( ) (0) P( Ø ) 0 () P( A) P( A) () 59

60 I et sdsylghedsfelt (U,P) gælder fr hædelsere A g B, t P( A) 04,, P( B) 0, g P( Aˆ B) 0, Udfldsrum U Hædelser A g B Sdsylghede fr hædelse ete A eller B er P( A B) 04, 0, 0, 05, Addtsregle P( A B) P( A) P( B) P( Aˆ B) () Sdsylghede fr A gvet B er, P( A_ B) 0 05, 0, Betget sdsylghed P( A_ B) P( Aˆ B) P( B) P( B_ A) P( Aˆ B) P( A) (4) Multplktsregle P( Aˆ B) P( A_ B) P( B) P( Aˆ B) P( B_ A) P( A) (5) A g B er kke ufhægge, d P( A_ B) 05, z 04, P( A) A g B ufhægge hædelser P( A_ B) P( A) œ P( B_ A) P( B) œ P( Aˆ B) P( A) P( B) (6) (7) P( B_ A) 05, 0, 04, 05, Byes frmel P( A_ B) P( B) P( B_ A) P( A) (8) 60

61 E frk prducerer e estemt vre på tre msker, M, M g M. Prdukte frdeler sg med 40% på M, 50% på M g 0% på M. Ngle f vrere er defekte. Det drejer sg m 5% på M, 6% på M g 0% på M. Mægde f defekte vrer eteges D. E vre fr dee prdukt udvælges tlfældgt. Udfldsrum U Hædelse A Atl hædelser Hædelser H, H,, H, der udelukker hde, g sm udfylder U Sdsylghede fr t vre er defekt, er P( D) 005, 04, 006, 05, 00, 00, 008, Lve m de ttle sdsylghed P( A) P( A_ H L ) P( H L ) (9) Sdsylghede fr t vre er prduceret på M, år det plyses, t de er defekt, er Byes frmel (ltertv vers) P( M_ D) 005, 04, 008, 05, P( H _ A) j _ M M P( A H ) P( H ) P( A), j,,, (0) 6

62 Stkstsk vrel Frdelgsfukt F fr e stkstsk vrel X F( ) P( X ), R () Dskret stkstsk vrel X Sdsylghedsfrdelge fr e stkstsk vrel X er 5 7 P(X = ) 0,4 0,5 0, Atl værder Værder,,, Sdsylghedsfukt f f( ) P( X ),,,, () Frdelgsfukte fr X er 5 7 F() 0,4 0,9,0 Frdelgsfukt F F( ) f( ),,,, () j j Mddelværde f X er E( X) 04, 5 05, 7 0, 4 Mddelværd µ P E( X) P( X ) (4) Vrse f X er Vr( X ) ( 4) 04, ( 54) 05, ( 74) 0, Vr( X ) 04, 5 05, 7 0, 4 Stdrdfvgelse f X er V ( X ) 7, Vrs V V Vr( X) ( P) P( X ) (5) V Vr( X) E( X ) ( E( X )) (6) Stdrdfvgelse V V V ( X) Vr ( X) (7) 6

63 Ktuert stkstsk vrel X Fgure vser grfe fr e tæthedsfukt f. Arelet uder grfe er lg med Frdelgsfukt F F( ) er relet uder grfe fr f tl vestre fr (8) 5X 4 Leær trsfrmt f stkstsk vrel X X (9) Det tges, t E( X) 0 g Vr( X ) 9. Så er E( 5X 4) Vr( 5X 4) V ( 5X 4) 5 5 Regeregler EX ( ) EX ( ) (0) Vr( X ) Vr( X) () V( X ) V( X) () 6

64 Bmlfrdelg 5! fkultet!! () 0! (4) K( 5,) 5 ¹ 5!!( 5 )! 0 Bmlkeffcet K(, r) Kr (, )! r¹ r!( r)! (5) Ld X etege tl defekte eheder e stkprøve på 50, sm stmmer fr e prdukt, hvrf 4% f ehedere er defekte. Det tges X ( 50 ; 04, ) Bmlfrdelt stkstsk vrel X Atlsprmeter Sdsylghedsprmeter p Værder 0,,,, X (, p) (6) Sdsylghede fr t stkprøve dehlder defekte er P( X ) K( 50, ) 04, 50 ( 04, ) 007, Sdsylghedsfukt r r P( X r) K(, r) p ( p) (7) Det frvetede tl defekte stkprøve er E( X) 50 04, 7 Mddelværd E( X) p (8) Vrse f tl defekte er Vr( X ) 50 04, ( 04, ) 6, 0 Vrs Vr( X) p ( p) (9) Stdrdfvgelse f tl defekte er V ( X ) 50 04, ( 04, ) 45, Stdrdfvgelse V ( X) p ( p) (40) 64

65 Apprksmt f mlfrdelt stkstsk vrel X med rmlfrdelg Atg, t X ( ; 05, ). Så er med tlærmelse X N 05, ; 05, ( 05, ) œ X N( 8, 6) X (, p) Frudsætg p! 5 g ( p)! 5 Tlærmelsesvs frdelg f X X N p, p ( p) (4) Beregg f sdsylgheder ved hjælp f frdelgsfukte )fr stdrdrmlfrdelge,, P( X ) ) 05, ( 05, ) ¹ )( 0, ) 0586, P( X ) ) 05, p p ( p) ¹ (4),, P( X! ) ) 05, ( 05, ) ¹ ) ( 4, ) 0, , 964 p P( X! 05, ) ) p ( p) (4) ¹,, P( 5 X ) ) 0, 5 ( 0, 5) ¹ 505, 05, ) 0, 5 ( 0, 5) ¹ )(, 06) ) ( 4, ) 0, , , 657 P ( X ) ) ) 05, p p ( p) ¹ 05, p p ( p) ¹ (44) 65

66 Nrmlfrdelg Nrmlfrdelt stkstsk vrel X Mddelværd P Stdrdfvgelse V VrsV X N( PV, ) (45) Stdrdrmlfrdelt stkstsk vrel U U N(,) 0 (46) Grf fr frdelgsfukt ) 095, frktl 645, )( 645, ) 095, frktl (47) u )( u ) (48) 66

67 Atg t X X 7 N(,) 0 ~ N( 7, ), så er Stdrdserg f rmlfrdelt stkstsk vrel X X N( PV, ) X P N(,) 0 (49) V Beregg f tervlsdsylgheder P( X 8 7 8) ) )( 05, ) 0, 6946 ¹ P( X ) P ) V ¹ (50) P( X! ) P ) V ¹ (5) P( 4 X 8) ) ) ¹ ¹ )(,) 05 ) ( 5,) 0, , , 6465 P ( X ) P P ) ) V ¹ V ¹ (5) Det tges, t X N( 0, ),,, 50, g t de stkstske vrle er ufhægge. Geemst X f ufhægge detsk rmlfrdelte stkstske vrle X N( PV, ),,,, ufhægge stkstske vrle X X (5) Frdelge f geemsttet er X N( 0, ) 50 X N( P, V ) (54) 67

68 Kfdestervl På e årgg, der hr været tl mtemtkprøve, udvælges 8 elevers krkterer tlfældgt. De udvlgte krkterer lev 0, 9,, 9, 8, 6, 7, 8. Stkprøves mddelværd 85, Af erfrg ved m, t krkterere er rmlfrdelt med vrs V 5, Dvs.V 5, 5, Kfdestervl fr mddelværde P e rmlfrdelg med kedt vrs V Stkprøves størrelse Oserveret mddelværd stkprøve Stdrdfvgelse rmlfrdelge V 00 ( )% frktl u stdrdrmlfrdelge Et 95% kfdestervl fr geemstskrktere P er , ,,, P,, 8 8 œ 746, P 954, 00 ( )% kfdestervl fr P V V u P u (55) 68

69 I e stkprøve på 50 eheder er der 8 defekte eheder. De serverede del f defekte er p š , Kfdestervl fr sdsylghedsprmetere p e mlfrdelg Stkprøves størrelse Atl succeser Oserveret del f succeser stkprøve š p š Frudsætg p! 5 g š ( p)! 5 p š (56) 00 ( )% frktl u / stdrdrmlfrdelge Et 95% kfdestervl fr dele p f defekte prdukte er 00 ( )% kfdestervl fr p 06, ( 06, ) 06, 96, 50 06, ( 06, ) 06, 96, 50 œ 006, p 06, p š pu š pu š š p ( p) š š p ( p) p (57) 69

70 70

71 Arel Crkel rdus r rel A mkreds O A Sr O Sr Trekt højde h grudle g rel A A g h Prllelgrm højde h grudle g rel A A hg Trpez højde h prllelle sder g rel A A h( ) 7

72 Mtemtske symler ^ Syml Betydg, læsemåde Eksempler, emærkger m.v. š kjukt ( g ) pš q dsjukt ( eller p q etydge g/eller ), egt p, p Ÿ mplkt ( hvs så, pÿ q medfører ) œ mplkt ( esetydede pœ q med, hvs g ku hvs ) ^.,.,.,. ` mægde, hvs elemeter preges; ^ 58,, ` mægde skrevet på lstefrm G_ p( ) ` mægde f de elemeter G, ^ R_ 6 fr hvlke p ( ) er sd ^p _ ( ) ` fkrtet syml der k vedes, år det f smmehæge ^ _! 6) ` fremgår, hvlke mægde G der lægges tl grud er elemet (tlhører) M Ž er delmægde f AŽ B er ægte delmægde f A B ` ˆ fællesmægde Aˆ B fregsmægde A B \ mægdedfferes A\ B C, kmplemetærmægde CA, A u mægdeprdukt Au B ^(, )_ A g B` 7

73 Syml Betydg, læsemåde Eksempler, emærkger m.v. ; lukket tervl ; hlvået tervl > ^[ R_ [ ^ R_ ` >> hlvået tervl > ; > ^ R_ ; ået ; > ^ R_ ` N mægde f turlge tl N ^,,, ` Z mægde f hele tl Z ^,,, 0,,, ` Q mægde f rtle tl tl, der k skrves på frme p q, hvr p Z, q N R mægde f reelle tl Ø de tmme mægde Ø ^` (, ) rdet elemetpr (, 6) (,,, ) rdet elemetsæt ( 4,, 6) hvs deksmægde, sm skl geemløe, fremgår f smmehæge, skrves lt eller! fkultet! ( ) ( ) fr N 0! Kr (, ),! mlkeffcet Kr (, ) r¹ r!( r)! f: A B fukt f fr A (deftsmægde vsse smmehæge ruges udtryksmåder fr f) tl B sm fukte f( ) 5, fukt- e y 5 g fukte 5 f() fuktsværd f ved fukte f Dm( f ) deftsmægde fr f Vm( f ) værdmægde fr f f g sum f t fukter ( f g)( ) f( ) g( ) f g dfferes mellem t fukter ( f g)( ) f( ) g( ) f g, fg prdukt f t fukter ( f g)( ) ( fg)( ) f( ) g( ) f kvtet mellem t fukter f f( ) g ( ) g ¹ g( ), hvr g( ) z 0 f $ g smmest fukt ( f $ g)( ) f( g( )) f vers (mvedt) fukt y f œ f ( ) ( y) 7

74 Syml Betydg, læsemåde Eksempler, emærkger m.v. ekspetlfukt med grudtl,! 0 eteges gså ep ( ) e de turlge ekspetlfukt e eteges gså ep( ) lg lgrtmefukte med y lg œ y 0 grudtl 0 l de turlge lgrtmefukt y l œ y e s sus cs csus t tges t eteges gså tg ct ctges ct cs s de umerske (slutte) værd f eteges gså s( ) lm f( ) græseværd f f() fr 0 gåede md lm( 5) 4, lm 0 f f( ) f() går md fr gåede s fr 0 fr 0 md 0 0 f( )f f() går md uedelg fr f fr f fr f gåede md uedelg ' -tlvækst 0 ' ³ ³ ' f fuktstlvækst fr f 0 ' f f( ) f( 0 ) ' f ' f f( ) f( 0 ) f( 0 ' ) f( 0) dffereskvtet fr f ' 0 ' ' fc( 0 ) dfferetlkvtet fr f 0 f f fc ( ) lm ( ) ( ) ' f lm ' 0 ' f f lm ( ) ( ) 0 ' 0 ' 0 ' f c fledet fukt f f eteges gså df ( ) df dy,, d d d eller y c f ) de -te fledede fukt f f ( ) stedet fr f g ( ) f skrves sm regel fcc g fccc f( ) d f( ) d stmfukt (uestemt tegrl tl f) tegrlet fr tl f f (estemt tegrl)

75 Syml Betydg, læsemåde Eksempler, emærkger m.v. AB _ AB_ lestykket AB lægde f lestykket AB, AB vektr, _ AB_ lægde f vektr š tværvektr sklrprdukt er prllel med A er vkelret på # er kgruet med ~ er lgedet med h højde med fdpukt på sde eller dees frlægelse m mede med fdpukt på sde v A vkelhlvergsle fr vkel A A vkel A A vedes gså sm etegelse fr grdtllet, f.eks. A 05 $ X~ (, p) X er mlfrdelt med tlsprmeter g sdsylghedsprmeter p X ~ N( PV, ) X er rmlfrdelt med mddelværd P g stdrdfvgelse V 75

76 Stkrdsregster fr Nveu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

77 6DQGV\QOLJKHG IRUK QGHOVH IRUNRPSOHPHQW U K QGHOVH 6DQGV\QOLJKHGHU UHJQHUHJOHUIRU 6DQGV\QOLJKHGVIXQNWLRQ ELQRPLDOIRUGHOWVWRNDVWLVN YDULDEHO GLVNUHWVWRNDVWLVN YDULDEHO 6DQGV\QOLJKHGVUHJQLQJ VLQJUDIIRU 6LQXV 6LQXVUHODWLRQHUQH 6NUDV\PSWRWH 6WDQGDUGDIYLJHOVH ELQRPLDOIRUGHOWVWRNDVWLVN YDULDEHO 6WDQGDUGDIYLJHOVH GLVNUHWVWRNDVWLVNYDULDEHO 6WLJQLQJVWDO 6WRNDVWLVNYDULDEHO ELQRPLDOIRUGHOW GLVNUHW QRUPDOIRUGHOW 6XPNXUYH 6XPPHUHGHIUHNYHQVHU 6 MOHGLDJUDP WDQJUDIIRU 7DQJHQV 7DQJHQWOLJQLQJIRU 7LOEDJHVNULYQLQJ 7RSSXQNWIRUSDUDEHO 7UDSSHGLDJUDP 7UHNDQW DUHDO UHWYLQNOHW YLONUOLJ 7ULJRQRPHWULVNHIXQNWLRQHU VSHFLHOOH IXQNWLRQVY UGLHU 7ULJRQRPHWULVNH JUXQGOLJQLQJHU 8GIDOGVUXP 9DQGUHWDV\PSWRWH 9DULDQV ELQRPLDOIRUGHOW VWRNDVWLVNYDULDEHO GLVNUHW VWRNDVWLVNYDULDEHO 9HMHWJHQQHPVQLW 9LONUOLJWUHNDQW 9 UGLP QJGH 77

78 Stkrdsregster fr Nveu A $GGLWLRQVUHJHOHQ $IVWDQG IUDSXQNWWLOOLQLH LSODQHQ PHOOHPWRSXQNWHU $SSURNVLPDWLRQDIELQRPLDO IRUGHOWVWRNDVWLVNYDULDEHO PHGQRUPDOIRUGHOLQJ $UHDO DIFLUNHO DIGHWSDUDOOHORJUDPWR YHNWRUHUXGVS QGHU DIHOOLSVH DIWUHNDQW $UHDOEHUHJQLQJ $V\PSWRWHUWLOK\SHUEHO %D\HVIRUPHO DOWHUQDWLYYHUVLRQ %HUHJQLQJDIVDQGV\QOLJKHGHU YHGKM OSDIIRUGHOLQJV IXQNWLRQHQIRUVWDQGDUG QRUPDOIRUGHOLQJHQ %HVWHPWLQWHJUDO UHJQHUHJOHUIRU WLOQ UPHOVHVVXPPHUIRU %HWLQJHWVDQGV\QOLJKHG %LQRPLDOIRUGHOLQJ %LQRPLDOIRUGHOW VWRNDVWLVNYDULDEHO %LQRPLDONRHIILFLHQW &LUNHO 'HOLQWHUYDOO QJGH 'HOYLVLQWHJUDWLRQ 'LIIHUHQVPHOOHP WRYHNWRUHU 'LIIHUHQWLDOOLJQLQJHU 'LVNUHWVWRNDVWLVNYDULDEHO 'LVNULPLQDQW (OOLSVH )RUGHOLQJVIXQNWLRQGLVNUHW VWRNDVWLVNYDULDEHO )RUGHOLQJVIXQNWLRQIRUHQ VWRNDVWLVNYDULDEHO )RUGHOLQJVIXQNWLRQNRQWLQXHUW VWRNDVWLVNYDULDEHO )RUGHOLQJVIXQNWLRQ VWDQGDUGQRUPDOIRUGHOW VWRNDVWLVNYDULDEHOJUDI *HQQHPVQLWDIQXDIK QJLJH LGHQWLVNQRUPDOIRUGHOWH VWRNDVWLVNHYDULDEOH +\SHUEHO DV\PSWRWHU + QGHOVH VDQGV\QOLJKHGIRU + MUHVXP,QWHJUDOUHJQLQJ,QWHJUDWLRQ GHOYLV SDUWLHO YHGVXEVWLWXWLRQ,QWHUYDOVDQGV\QOLJKHGHU EHUHJQLQJDI.RQILGHQVLQWHUYDOIRU PLGGHOY UGLHQLHQ QRUPDOIRUGHOW SRSXODWLRQ.RQILGHQVLQWHUYDOIRU VDQGV\QOLJKHGV SDUDPHWHUHQLHQ ELQRPLDOIRUGHOLQJ.RQWLQXHUWVWRNDVWLVN YDULDEHO.RRUGLQDWV WIRUYHNWRU EHVWHPWYHGWRSXQNWHU LSODQHQ.YDGUDWLVNIXQNWLRQ LWRYDULDEOH /LJQLQJ IRUDV\PSWRWHU WLOK\SHUEHO IRUFLUNHO IRUHOOLSVH IRUK\SHUEHO IRUOLQLH IRUSDUDEHO /LQH UWUDQVIRUPDWLRQDI VWRNDVWLVNYDULDEHO /LQLH LSODQHQ OLJQLQJIRU UHWQLQJVYHNWRUIRU /RYHQRPGHQWRWDOH VDQGV\QOLJKHG / QJGHDIYHNWRU / QJGHDIYHNWRUEHVWHPWDI WRSXQNWHULSODQHQ 0LGGHOY UGL ELQRPLDOIRUGHOW VWRNDVWLVNYDULDEHO GLVNUHW VWRNDVWLVNYDULDEHO 0XOWLSOLNDWLRQVUHJOHQ QIDNXOWHW LYHDXNXUYH RUPDOIRUGHOLQJ RUPDOIRUGHOWVWRNDVWLVN YDULDEHO PLGGHOY UGL VWDQGDUGDIYLJHOVH YDULDQV XPHULVNLQWHJUDWLRQ PNUHGVDIFLUNHO DUDEHO DUWLHOLQWHJUDWLRQ URMHNWLRQDIYHNWRU SYHNWRU 5HWQLQJVYHNWRU 6DQGV\QOLJKHG EHWLQJHW IRUHQK QGHOVH IRUNRPSOHPHQW U K QGHOVH ORYHQRPGHQWRWDOH 6DQGV\QOLJKHGHU UHJQHUHJOHUIRU 6DQGV\QOLJKHGVIXQNWLRQ ELQRPLDOIRUGHOW VWRNDVWLVNYDULDEHO GLVNUHW VWRNDVWLVNYDULDEHO 6DQGV\QOLJKHGVUHJQLQJ 6NDODUSURGXNW 6WDPIXQNWLRQ WLOVSHFLHOOHIXQNWLRQHU 78

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Ledighedsstatistik, juli 2013

Ledighedsstatistik, juli 2013 Ledighedssttistik, li Stigig i kdemikerledighede i li str stigig i dimittedledighede Akdemikerledighede er steget med fr i til li g er u å.9 svrede til e ledighedsrcet å 4, ct. Stærk stigede dimittedledighed

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Ledighedsstatistik, maj 2013

Ledighedsstatistik, maj 2013 Ledighedssttistik, mj 3 Fld i kdemikerledighede i mj me reelt tle m e lille stigig Stigede tl lgtidsledige dimitteder Akdemikerledighede er fldet med fr ril til mj g er u å.53 svrede til e ledighedsrcet

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Ds ese Uestet Sde sde Stlg pøe pøe, /, / og 3/, Kusus ys Kusus. //4 Vghed: 4 te lle hjælpedle: Ige hjælpedle "Vægtg": Beselse bedøes so e helhed. Alle s sl begudes ed de det e get. Alle elleegge sl eges.

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj)

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj) Betækg om kommueres udgftsbehov Blag (med metodedskusso af professor Aders Mlhøj) Betækg r. 36 Oktober 998 Kommueres Udgftsbehov Betækg om kommueres udgftsbehov - Redegørelse fra arbejdsgruppe uder Idergsmsterets

Læs mere

Tabsberegninger i Elsam-sagen

Tabsberegninger i Elsam-sagen Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi Faskalkulatoe Sde /9 Stee Toft Jøgese Faskalkulatoe avaceet etesegg matematske modelle økoom Idholdsfotegelse: Kaptel : Rete Retebegebet Omkostge Retefomle Effektv ete Kotuet foetg Tdsdagam Flytg af kaptal

Læs mere

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013

SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjening 2013 SERVICE BLUEPRINTS KY selvbetjenng 2013 EFTER Desgn by Research BRUGERREJSE Ada / KONTANTHJÆLP Navn: Ada Alder: 35 år Uddannelse: cand. mag Matchgruppe: 1 Ada er opvokset Danmark med bosnske forældre.

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Matr. nr. 271lRødby Markjorder

Matr. nr. 271lRødby Markjorder Matr. nr. 271lRødby Markjorder 549a 271k 13a Finlandsvej 271i 629 m² 271l 2 m² 271n Sulkavavej 271m 271o 271q 271d 271p Sulkavavej 244ec Tegningsnr. : LE34_ 100128-1043_ 3 Ret til at udvide veje (midlertidigt

Læs mere

Monteringsvejledning. Indbygningsradio 0315..

Monteringsvejledning. Indbygningsradio 0315.. Monterngsvejlednng Indbygnngsrado 0315.. 1 Betjenng Fgur 1: Betjenngselement Indbygnngsradoens funktoner styres va knapperne på betjenngselementet: Med et kort tryk tændes/slukkes radoen; med et langt

Læs mere

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN!

FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! FOLKEMØDE-ARRANGØR SÅDAN! Bornholms Regonskommune står for Folkemødets praktske rammer. Men det poltske ndhold selve festvalens substans blver leveret af parter, organsatoner, forennger, vrksomheder og

Læs mere

Note til Generel Ligevægt

Note til Generel Ligevægt Mkro. år. semester Note tl Generel Lgevægt Varan kap. 9 Generel lgevægt bytteøkonom Modsat partel lgevægt betragter v nu hele økonomen på én gang; v betragter kke længere nogle prser for gvet etc. Den

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

Vedtægter for Grundejerforeningen Værebrohøj, Jyllinge

Vedtægter for Grundejerforeningen Værebrohøj, Jyllinge 1. Foreningens stiftelse. Jyllinge d. 28. juni 2010 Foreningen er stiftet ved 1. generalforsamling i København, den 10. oktober 1960. Navnet er: Grundejerforeningen Værebrohøj. Følgende matrikler er og

Læs mere

Luftfartens vilkår i Skandinavien

Luftfartens vilkår i Skandinavien Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng for valg af transportform Af Mette Bøgelund og Mkkel Egede Brkeland, COWI Trafkdage på Aalborg Unverstet 2000 1 Luftfartens vlkår Skandnaven - Prsens betydnng

Læs mere

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave

Forberedelse til den obligatoriske selvvalgte opgave MnFremtd tl OSO 10. klasse Forberedelse tl den oblgatorske selvvalgte opgave Emnet for dn oblgatorske selvvalgte opgave (OSO) skal tage udgangspunkt dn uddannelsesplan og dt valg af ungdomsuddannelse.

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC

UGESEDDEL 52. . Dette gøres nedenfor: > a LC UGESEDDE 52 Opgve 1 Denne opgve er et mtemtisk eksempel på Ricrdo s én-fktor model, der præsenteres i Krugmn & Obstfeld kpitel 2 side 12-19. Denne model beskriver hndel som et udslg f komprtive fordele

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeorg -0- MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) FACITLISTE Udrejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger

Læs mere

Retningslinier for udarbejdelse af dokumentation til brug for registrering efter bilag 8 i registreringsbekendtgørelsen 1

Retningslinier for udarbejdelse af dokumentation til brug for registrering efter bilag 8 i registreringsbekendtgørelsen 1 for udrejdelse f dokumenttion til rug for registrering efter ilg 8 i registreringsekendtgørelsen 1 Af nedenstående skemer fremgår, hvilke oplysninger Plntedirektortet hr rug for ved vurdering f, om virksomheden

Læs mere

Indledning. Side 2 af 13

Indledning. Side 2 af 13 Frside Indledning e-addin er et Excel tilføjelses prgram der nemt kan hente data fra e-cnmic ver i Excel. Fr at bruge det skal du have dit regnskab hs e-cnmic. Hvis du ikke har det kan du prette en gratis

Læs mere

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse

FORMELSAMLING. Indholdsfortegnelse FOMELSAMLNG ndholdsfortegnelse ndholdsfortegnelse... EL-LÆE...3 Ohm s lov:...3 Effekt lov:...3 egler ved måling:...3 egler ved serieforbindelser:...3 egler ved prllelforbindelser:...4 egler ved blndede

Læs mere

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper

gudmandsen.net y = b x a Illustration 1: potensfunktioner i 5 forskellige grupper gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Bølgeudbredelse ved jordskælv

Bølgeudbredelse ved jordskælv rojekt: Jordskæl Bølgeudbredelse ed jordskæl IAG 2005 Bølgeudbredelse ed jordskæl V skal dette projekt studere bølgeudbredelse ed jordskæl. Her kommer så ldt teor om bølger. Bølger Man tegner næsten altd

Læs mere

PPSS. DiSC RolleProfil 29.10.2009. Denne rapport er udleveret af: DISCOVER A/S Telegade 1 DK - 2630 Taastrup Tlf. +45 46 32 12 40

PPSS. DiSC RolleProfil 29.10.2009. Denne rapport er udleveret af: DISCOVER A/S Telegade 1 DK - 2630 Taastrup Tlf. +45 46 32 12 40 PP RolleProfl RolleProfl tllng: Regnskabschef Afdelng: rft Vrksomhed: Navnløs A/ Evalueret af: Bogholdergruppen 9.0.009 enne rapport er udleveret af: IOVER A/ Telegade K - 0 Taastrup Tlf. + 0 Person Profl

Læs mere

Lad bølgen rulle - med alt hvad det indebærer

Lad bølgen rulle - med alt hvad det indebærer Stedet hvr bør læring bygger på kreativitet g innvatin Lad bølgen rulle - med alt hvad det indebærer Af Pia Stræde Palmelund, Direktør i RemisenBrande, Prjektleder i prjekt Bølger i hverdagen. 4000 skleelever

Læs mere

Bryd frem mit hjertes trang at lindre

Bryd frem mit hjertes trang at lindre Bryd lad frem n mt tet hj for tes hæng Bryd frem mt hjtes trang at lndre trang me at re ln hn dre, dre sol, stol; du ar me synd res dag mn nd gang tl vor nå de Sv.Hv.Nelsen Februar 2005 lad lad den d k

Læs mere

Få overblik over dit liv - og fokus på det vigtige

Få overblik over dit liv - og fokus på det vigtige Prs: r. 12,Fam e t Fr Bo g Net væ r g Uv Su he om o Ø Få overb over t v - og fous på et vgtge INDLEDNING Dee e-bog Lvshjuet er e ompet gue t, hvora u me é smpe øvese a få overb over t v ge u og prortere

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet.

hvor A er de ydre kræfters arbejde på systemet og Q er varmen tilført fra omgivelserne til systemet. !#" $ "&% (')"&*,+.-&/102%435"&6,+879$ *1')*&: or et system, hvor kun den termiske energi ændres, vil tilvæksten E term i den termiske energi være: E term A + Q hvor A er de ydre kræfters rbejde på systemet

Læs mere

Facilities and Building Services (FBS) Registreringstjekliste

Facilities and Building Services (FBS) Registreringstjekliste Facilities and Building Services (FBS) Registreringstjekliste Januar 2014 Oplysninger, du skal levere, mfatter: Virksmhedsplysninger Virksmhedens navn Tidligere virksmhedsnavn (hvis relevant) Handelsadresse

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg

TO-BE BRUGERREJSE // Personligt tillæg TO-BE BRUGERREJSE // Personlgt tllæg PROCES FØR SITUATION / HANDLING Pa er 55 år og bor en mndre by på Sjælland. Hun er på førtdspenson og har været det mange år på grund af problemer med ryggen efter

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde

Referat fra Bestyrelsesmøde Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Bjarne Vogt, Tage Rasmussen, Bodl Schmdt, Susanne K. Larsen, Vggo Kofod Dagsorden for mødet er: 1) Kommentarer/godkendelse

Læs mere

G Skriverens Kryptologi

G Skriverens Kryptologi G Skrverens Kryptolog Nels Juul Munch, Mdtsjællands Gymnasum Matematk Indlednng I den foregående artkel G Skrverens Hstore blev det hstorske forløb om G Skrveren beskrevet og set sammenhæng med Sverges

Læs mere

I dette dokument kan du finde information og inspiration til, hvordan I kan komme i gang i dit lokalområde. Dette er en guide til de ting, som

I dette dokument kan du finde information og inspiration til, hvordan I kan komme i gang i dit lokalområde. Dette er en guide til de ting, som Start ny gruppe PLan Ldsskvvad. Ft: Henrik Weigelt. Du kan skabe gde friluftsplevelser fr børn g unge. Vær med til at starte en ny Blå spejdergruppe i dit lkalmråde. Hvis du synes, at det er fantastisk

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Algoritmisk handel og dens betydning for markedet og prisdannelsen

Algoritmisk handel og dens betydning for markedet og prisdannelsen Agritmisk hade g des betdig fr markedet g prisdaese Taer: Bjør Sibber CEO, NASDAQ OMX Cpehage 9. september 2009 Cpright 2009, The NASDAQ OMX Grup, Ic. A rights reserved. Hvad er agritmisk hade Defiiti

Læs mere

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved

Real valutakursen, ε, svinger med den nominelle valutakurs P P. Endvidere antages prisniveauet i ud- og indland at være identisk, hvorved Lgevægt på varemarkedet gen! Sdste gang bestemtes følgende IS-relatonen, der beskrver lgevægten på varemarkedet tl: Y = C(Y T) + I(Y, r) + G εim(y, ε) + X(Y*, ε) Altså er varemarkedet lgevægt, hvs den

Læs mere

Analyse 30. januar 2015

Analyse 30. januar 2015 30. jnur 2015 Større dnsk indkomstulighed skyldes i høj grd stigende kpitlindkomster Af Kristin Thor Jkosen Udgivelsen f Thoms Pikettys Kpitlen i det 21. århundrede hr fstedkommet en del diskussion f de

Læs mere

Kreditrisiko efter IRBmetoden

Kreditrisiko efter IRBmetoden Kredtrsko efter IRBmetoden Vacceks formel Arbejdspapr, oktober 2013 1 KRAKAfnans - Fnanskrsekommssonens sekretarat Teknsk arbejdspapr udkast 15. oktober 2013 Indlednng Det absolutte mndstekrav tl et kredtnsttut

Læs mere

og fastlæggelse af dato for tøjaften, hvor man kan prøve tøjet 7. Orientering om kommende arrangementer - to er planlagt 8.

og fastlæggelse af dato for tøjaften, hvor man kan prøve tøjet 7. Orientering om kommende arrangementer - to er planlagt 8. Medlemsmøde/Februar/2011møde/Februar/2011 Så fik vi endelig afhldt det første rigtige medlemsmøde i RyCC. Omkring 35 mødte frem g det er vel meget gdt i betragtning af, at møde var lagt lige i den travle

Læs mere

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder

TO-BE BRUGERREJSE // Tænder TO-BE BRUGERREJSE // Tænder PROCES FØR SITUATION / HANDLING Jørgen er 75 år og folkepensonst. Da han er vanskelgt stllet økonomsk, har han tdlgere modtaget hjælp fra kommunen, bl.a. forbndelse med fodbehandlng

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

klædeskab samt et børneværelse/kontor med renoveret i 2008/2011. ALT er nyt!. Udover yderst charmerende og med klassiske

klædeskab samt et børneværelse/kontor med renoveret i 2008/2011. ALT er nyt!. Udover yderst charmerende og med klassiske Totalrenoveret 4-værelses med bedste belggenhed Oplevelsen af denne sønne lejlghed starter allerede på gaden med de flotte gamle træer. Den klassske hovedtrappe fører dg op tl. lejlgheden, hvor man kommer

Læs mere

GENEREL INTRODUKTION.

GENEREL INTRODUKTION. Study Guide til Matematik C. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit - Geerel itroduktio. - Emeliste. - Eksame. - Bilag. Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik C. GENEREL INTRODUKTION.

Læs mere

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte

FTF dokumentation nr. 3 2014. Viden i praksis. Hovedorganisation for 450.000 offentligt og privat ansatte FTF dokumentaton nr. 3 2014 Vden prakss Hovedorgansaton for 450.000 offentlgt og prvat ansatte Sde 2 Ansvarshavende redaktør: Flemmng Andersen, kommunkatonschef Foto: Jesper Ludvgsen Layout: FTF Tryk:

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

TRAFIKPLAN FOR Viborg KOMMUNE

TRAFIKPLAN FOR Viborg KOMMUNE TRAFIKPLAN FOR Vibrg KOMMUNE Vibrg Kmmune Visiner g servicemål fr Vibrg Kmmune Målet på langt sigt må være gøre den kllektive trafik bedre, så det lette valg fr brgerne bliver bussen g tget frem fr privbilen.

Læs mere

Import af biobrændsler, er det nødvendigt?

Import af biobrændsler, er det nødvendigt? Vktor Jensen, sekretaratsleder Danske Fjernvarmeværkers Forenng Import af bobrændsler, er det nødvendgt? Svaret er: Nej, kke ud fra et ressourcemæssgt og kapactetsmæssgt synspunkt. Men ud fra et kommercelt

Læs mere

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP

Den europæiske købekraftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP Den europæiske køekrftsundersøgelse - PPP... 2 1.Bggrund... 2 2.Køekrftpritet hvd er det?... 2 3.Formål og orgnistion... 3 4.Brugere og nvendelsesområder... 3

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Guide til valg af opmålingsmetode

Guide til valg af opmålingsmetode Guide til valg af pmålingsmetde Få verblik ver pmålingsprcessen ved hjælp af denne guide til valg af pmålingsmetde. Se hvad der er af it-værktøjer til de enkelte trin i prcessen. Baggrund fr guiden Det

Læs mere

Rapport om lav-temperatur korrosion. Martin Peter Breil Kaj Thomsen IVC-SEP, Institut for Kemiteknik Danmarks Tekniske Universitet 2002

Rapport om lav-temperatur korrosion. Martin Peter Breil Kaj Thomsen IVC-SEP, Institut for Kemiteknik Danmarks Tekniske Universitet 2002 Rapprt lav-teperatur krrsn Martn Peter Brel Kaj Thsen IVC-SEP, Insttut fr Keteknk Danarks Teknske Unverstet 00 Lav-teperatur krrsn Intrduktn Det er påvst [J.P. Jensen et al., 001], at lavteperatur krrsn

Læs mere

Time Sag Styring i Qmanager

Time Sag Styring i Qmanager Indhldsfrtegnelse Opsætning (NOVAQ Administratr)... 1 Licensnøgle... 1 Rd gruppen til Time-Sag administratrerne... 1 Rettighedspsætning (Default psætning)... 2 Hvem kan administrere brugernes tidsindstillinger...

Læs mere

I det omfang der er behov for uddybning af de anførte områder henvises til revisionsrapporten og/eller de administrative vejledninger på områderne.

I det omfang der er behov for uddybning af de anførte områder henvises til revisionsrapporten og/eller de administrative vejledninger på områderne. Dette dokument beskrver overordnet de væsentlge ændrnger tl verson 2.6. I dokumentet er kun medtaget de ændrnger, der har medført ændrnger tl revsonsrapporten. I det omfang der er behov for uddybnng af

Læs mere

Diskret møde på Rådhuspladsen i København. Bundfald (Palle Kjærulff-Schmidt, 1956). Framegrab. ASA.

Diskret møde på Rådhuspladsen i København. Bundfald (Palle Kjærulff-Schmidt, 1956). Framegrab. ASA. Diskret møde på Rådhuspladsen i København. Bundfald (Palle Kjærulff-Schmidt, 1956). Framegrab. ASA. Det homoseksuelle København Fra Bundfald og Kispus til i dag A f Niels Henrik Hartvigson 56 S t o r b

Læs mere

BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER

BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER Dansk Journalstforbund Februar 2011 BESKÆFTIGELSES- OG LØNSTATISTIK FOR KVINDER Jobs og lønkroner er kke lgelgt fordelt blandt mandlge og kvndelge forbunds. Derfor har v her samlet fre oversgter, der sger

Læs mere

Referat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 4. marts 2013 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter

Referat fra Bestyrelsesmøde Mandag den 4. marts 2013 - kl. 19.00 i Holmsland Idræts- og Kulturcenter Bestyrelsesmøde Holmsland Sogneforenng. Bestyrelsesmedlemmer er ndkaldt tl bestyrelsesmøde som ovenfor anført. Fremmødte: Iver Poulsen, Chrstan Holm Nelsen, Bodl Schmdt, Bjarne Vogt, Lars Provstgaard,

Læs mere

MES Korrolyseanlæg UACAC. Driftsinstruktion for: Delstrom på varmt brugsvand cirkulation med indregulerings ventil

MES Korrolyseanlæg UACAC. Driftsinstruktion for: Delstrom på varmt brugsvand cirkulation med indregulerings ventil Ü UACAC MES Korrolyseanlæg Drftsnstrukton for: Delstrom på varmt brugsvand crkulaton med ndregulerngs ventl Grønne sder Delstrom på varmt brugsvand med pumpe Gule sder Delstrom på koldt brugsvand med pumpe

Læs mere

Notat 02-09-2009 LHP /-

Notat 02-09-2009 LHP /- Ntat 02-09-2009 LHP /- Vedrørende: Udkast til revideret handlingsplan fr Materialeplatfrmen 2009 Frdeling: Styregruppen g Brugergruppen fr Materialeplatfrmen, UNI C Skrevet af: Le Højshlt-Pulsen, Tmmy

Læs mere

Deloitte" Mission Afrika. Revisionsprotokollat til årsrapport 2012

Deloitte Mission Afrika. Revisionsprotokollat til årsrapport 2012 " Missin Afrik Revisinsprtkllt til årsrpprt 2012 Indhldsfrtegnelse Side 1. Revisin f årsregnskbet 1.1 Ä.rsregnskbet L2 Frhld f væsentlig betydning fr vurdering f årsregnskbet 1.2.1 Generelle it-kntrller

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

LmenBo REVIDERET DAGSORDEN TIL AFDELI NGSMØDE. Tirsdag den 4. september 2012, kl. 19.00

LmenBo REVIDERET DAGSORDEN TIL AFDELI NGSMØDE. Tirsdag den 4. september 2012, kl. 19.00 LmenBo Bolgorgansatonen AlmenBo Aarhus Frydenlunds Allé 8 Tl beboerne afdelng 31 LSV Telefon 8938 2000 post@almenbo-aarhusdk wwwalmenbo-aarhus.dk CVR 59645013 28. august 2012 REVIDERET DAGSORDEN TIL AFDELI

Læs mere

Grafisk Design give-aways 2

Grafisk Design give-aways 2 Grfk Degn k f r G Degn y w e v g 2 Grfk Degn ntore 3 Grfk Degn outdoor 4 k f r G Degn onlne 5 Grfk Degn Redegørele Opgven Jeg kulle mmen med en f vore AD'ere - Rmu, lve et oplæg tl Skorngen hvor v vlgte

Læs mere