Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen"

Transkript

1 Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udervsgsmsteret Erhvervssklefdelge 997

2 Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udgvet f Udervsgsmsteret, Erhvervssklefdelge 997. udgve,. plg. Jur stk. Udrejdet tl fget mtemtk ved ekedtgørelse r. 46 f 9. ju 995 m de erhvervsgymsle uddelse tl højere hdelseksme. Bestlles hs (UVM-7-6) sæt à 0 stk., (UVM-7-7) ekelteksemplrer, hs Udervsgsmsterets Frlg, Strdgde 00 D 40 Køehv K. Tlf F 9 59 E-ml: eller hs ghdlere Tryk: Bse & Nelse A/S

3 Idhldsfrtegelse Nveu B Prcetregg...5 Retesregg...6 Autetsregg...7 Ptesregeregler...8 Le...9 Prel... Trekt... Fukt...4 Plymer...6 Asymptte fr plymumsrøk...8 Ekspetelle fukter...9 Lgrtmefukter... Ptesfukter... Trgmetrske fukter...6 Leær fukt t vrle...0 Dfferetlregg... Deskrptv sttstk... Sdsylghedsregg...7 Stkstsk vrel...8 Bmlfrdelg...9 Nrmlfrdelg...40 Nveu A Vektrer ple...4 Le ple...47 Afstd ple...48 Prel...49 Crkel...50 Ellpse...5 Hyperel...5 Kvdrtsk fukt t vrle...5 Itegrlregg...54 Numersk tegrt...57 Dfferetllgger...58 Sdsylghedsregg...59 Stkstsk vrel...6 Bmlfrdelg...64 Nrmlfrdelg...66 Kfdestervl...68 Arel...7 Mtemtske symler...7 Stkrdsregster fr veu B...76 B Stkrdsregster fr veu A...78

4 4

5 Prcetregg Geemstlg prcet E prs stger et år med 6%, det æste år med 4%, g det æste år ge med %. De geemstlge retefd er r ( 0, 06) ( 0, 04) ( 0, ) 0078, De geemstlge prcetvse prsstgg pr. år er 7,8%. Geemstlg retefd r f r, r,, r r ( r) ( r) ( r ) () Vejet geemst Værde tges t hve vægte 0,7 g værde 6 vægte 0,. Det vejede geemst f g 6 er ( ) 07, 6 0, 04, Vejet geemst f,,, med vægte r, r,, r r r r () Idekstl Telle vser prser fr e vre frskellge år. Idekstl I fr et år med værd t ud fr et ssår med værd År Prs Idekstllet fr 995 med ssår 990 er I I t 00 () 5

6 Retesregg Strtkptl K Retefd r pr. term Atl termer Kptl K efter termer kr., der frretes med 6% p.., er efter 5 år vkset tl Fremskrvg K ( 0, 06) 55, 9 kr. K K ( r) (4) 0 Tlgeskrvg Det elø, der frretet med 6% p.. g sm efter 8 år er vkset tl 500 kr., er 8 K ( 0, 06) 94, kr. K K ( r) (5) 0 Effektv rete Hvs rete er % pr. måed, så er de effektve retefd p.. De effektve retefd pr. termer ( 0, 0) 0, 68 De effektve rete prcet p.. er 6,8%. r ( ) (6) 6

7 Autetsregg Hvedstl A Retefd r pr. term Atl utetsydelser Autetsydelse y Kptl A efter utetsydelser 0 Fremtdsværd f e utet Der detles 00 kr. hvert år lt 4 gge, g rete er 5% p.. Værde efter sdste detlg er Opsprgsfrmle ( , ) 005, A , kr. A ( r) y r (7) Nutdsværd f e utet Et lå tlgeetles med 8 på hde følgede måedlge ydelser på 50 kr. Rete er % pr. måed. Låets hvedstl er Gældsfrmle 50 ( 00, ) 00, 8 A 0 66, 7 kr. A 0 ( r) y r (8) Autetsydelse De måedlge ydelse på et sædvlgt utetslå på 900 kr., der frretes med % pr. måed g sm hr e løetd på 6 måeder, er Amrtstsfrmle y 00, 900 ( 00, ) 6 60, 67 kr. y A 0 r ( r) (9) 7

8 Ptesregeregler s t st (0) s t st () ( ) 6 ( ) s t s t () ( y) y s s s ( y) y () y¹ 5 y 5 5 s s (4) s y¹ y 0 (5) s s (6) s s (7) t s s t (8) 8

9 Le Hældgskeffcet fr le Le, der går geem puktere A(,) g B(,0) hr hældgskeffcete Hældgskeffcet (stggstl) fr le l 0 ( ) y y (9) E le, der der e vkel på 0 med. kse, hr hældgskeffcete $ t 0 t v (0) 9

10 Lgg fr le Le geem 6 på. kse med hældgskeffcete hr lgge Lgg fr le l y 6 y () Le geem A(,) med hældgskeffcete hr e lgg estemt ved œ y y ( ( )) y y ( ) () 0 0 0

11 Prel E prel hr lgge y 4 Lgg fr prel med symmetrkse prllel med dekse y c Dskrmt d () d ( ) 4 ( 4) 9 d 4 c (4) Tppukt T T ( ) 9, (, 4 ) 4 ¹ T d, (5) 4 ¹ Skærgspukter S g S med førstekse S S ( ) 9, 0 ( 0 ¹, ) ( ) 9, 0 ( 4, 0) ¹ S S d, 0 ¹ d, 0 ¹ (6) Skærgspukt S 0 med dekse S 0 ( 0, 4) S (, c) (7) 0 0

12 Trekt Retvklet trekt I e retvklet trekt ABC med C 90 $, 5 g er c estemt ved 5 c c 5 c (8) s A s B c c (9) cs A cs B c c (0) Vkel A er estemt ved 5 t A 0467, A, 6 $ t A t B ()

13 Vlkårlg trekt I e trekt ABC med 5, 9 g c 6 er vkel C estemt ved cs C œ cs C , C 8, 9 $ Csusreltere c cs C c ccs B c ccs A () I e trekt ABC med $ $ A 40, B 80 g 5 er estemt ved s 40 œ 5 s 40 $ s 80 5 s 80 $ $ $ 6, Susreltere c s A s B s C () E trekt ABC med C 40 $, 5 g 7 hr relet T 5 7 s 40 $ 5, Arel T f trekt T s C T cs A T cs B (4)

14 Fukt Fuktsegreet Fgure vser grfe fr e fukt f. Deftsmægde fr f Deftsmægde fr f er grfes (5) udstrækg målt på. kse Dm( Værdmægde fr f Værdmægde fr f er grfes udstrækg (6) målt på. kse Vm( f) e; g Fuktsværd y f( ) f() er dekrdte tl det pukt (7) på grfe, sm hr førstekrdte Mttervllere fr f f er ftgede ; c f er vksede f > c; > (8) 4

15 f( ) g( ) Smmest fukt De smmestte fukt f $ g f t fukter f g g ( f $ g)( ) ( ) ( f $ g)( ) f( g( )) (9) Omvedt fukt f( ) y œ y De mvedte fukt f œ y f( ) f ( y) tl e fukt f (40) Med sm ufhægg vrel er e frskrft fr f f ( ) 5

16 Plymer Leær fukt f( ) (4) Grfe fr f er e ret le et sædvlgt krdtsystem. 6

17 f( ) 4 6 Adegrdsplymum f( ) c (4) Grfe fr f er e prel. d 64 Dskrmt d d 4 c (4), f( ) 4 6 ( )( ) Nulpukter (rødder) g d d, (44) Fktrserg f( ) c ( )( ) (45) f( ) 4 De mulge rtle ulpukter er p r, r, r 4 q r, r r, r, r4, r D er et ulpukt f, går ( ) p f( ) g ( 4):( ) 4 Plymum f grd f( ) (46) 0 Mulg rtl ulpukt (rd) p q et plymum med heltllge keffceter p går p 0 g q går p (47) Dvs med (-t) t er ulpukt f œ ( t) går p f( ) (48) 7

18 Asymptte fr plymumsrøk f( ) g( ) ( ) h (49) f( ) 5 D tællergrd < ævergrd er y 0 e vdret symptte Vdret symptte Hvs tællergrd < ævergrd, så er (50) y 0 e vdret symptte f( ) 4 5 D tællergrd = ævergrd er y 4 e vdret symptte Hvs tællergrd = ævergrd, så er (5) y e vdret symptte, hvr g( ) g h( ) 0 0 f( ) 4 D tællergrd er é større ed ævergrd er y e skrå symptte, det f( ) 4 4 Skrå symptte Hvs tællergrd = ævergrd +, så er (5) y e skrå symptte, r( ) hvr f( ) h(, g grde f r er ) mdre ed grde f h f( ) 4 D er æverulpukt me kke tællerulpukt er e ldret symptte Ldret symptte Hvs k er ulpukt æver me (5) kke tæller, så er k e ldret symptte 8

19 Ekspetelle fukter Ekspetlfukt med grudtl f( ) (54) De turlge ekspetlfukt f( ) e (55) Ekspetelt vksede/ftgede fukt Fremskrvgsfktr Reltv tlvækst r Begydelsesværd f( ) ( r) (56) Grfe er e ret le et ekeltlgrtmsk krdtsystem. 9

20 Fremskrvgsfktr E ekspetel fukt f( ) er fstlgt ved f( ) 0 g f ( 4) 405. Fremskrvgsfktre er , y y y y (57) Begydelsesværd E ekspetel fukt f( ) er fstlgt ved 5, g f ( 4) 405. Begydelsesværde er , 80 y 0 (58) 0 Frdlgskstte fr f( ) 80 5, er l T 7, l( 5, ) Frdlgskstt T T l l (59) Hlvergskstt T T l l (60) 0œ l 0 l 465, Ekspetel lgg y œ l y l l y l l (6) 0

21 Lgrtmefukter Lgrtmefukte med grudtl 0, lg Regeregler y 0 œ lg y (6) lg 0 lg( 0 ) (6) lg0 (64) lg( y) lg lg y (65) lg y lg lg y (66) lg( ) lg (67)

22 De turlge lgrtmefukt l Regeregler y e œ l y (68) l e l( e ) (69) l e (70) l( y) l l y (7) l y l l y (7) l( ) l (7) Smmehæg mellem lg g l l lg l0 (74) l lg lge (75)

23 Ptesfukter Ptesfukt med ekspet f( ) (76) Fukt der er prprtl med ptesfukt f( ) (77) Grfe er e ret le et deltlgrtmsk krdtsystem.

24 Ekspet E ptesfukt f( ) er fstlgt ved f( ) 6g f( 8) 96. Ekspete er 96 6 l l( ) 8 l l y y l y l l y l (78) Bestemmelse f E ptesfukt f( ) er fstlgt ved = g f( 8) 96. er , y 0 0 (79) 0 0œ 70, Pteslgg y œ y y (80) 4

25 Prprtltet Lgefrem prprtltet y y k œ k (8) Omvedt prprtltet y c œ y c (8) 5

26 Trgmetrske fukter Csus g sus Grf fr cs 0 S S S S cs 0 0 Grf fr s S 0 S S S s Regeregler (cs ) (s ) (8) cs ( S) cs s ( S) s cs ( ) cs s ( ) s cs ( S ) cs s ( S ) s (84) (85) (86) 6

27 Tges t s cs (87) Grf fr t S 4 0 S 4 t 0 Regeregler t( S ) t (88) t( ) t (89) 7

28 Specelle fuktsværder Grder 0 $ 0 $ 45 $ 60 $ 90 $ (90) Rdtl 0 s 0 cs t 0 S 6 S 4 S S 0 cs 0, Trgmetrske grudlgger cs (9) r694, p S, p Z s 06, s (9) œ 0645, p S p Z S0645 p S 0645, p S p Z 498 p S t 4, t (9) 09505, p S, p Z 8

29 Hrmsk svgg f( ) cs( 4 ) 5 f( ) s( 4 ) 5 f( ) cs( c) d (94) f( ) s( c) d (95) Perde fr f( ) s( 4 ) 5 er p S S 4 Perde p p S Grf fr hrmsk svgg (96) p (97) y m y m (98) d y m (99) 9

30 Leær fukt t vrle f(, y) y f(, y) y c (00) Nt (): y t œ y t Nveule N(t) Nt (): y c t (0) N( ): y œ y 5, 0

31 Dfferetlregg Dfferetlkvtet f c( 0 ) f f fc ( ) lm ( ) ( ) (0) E lgg fr tgete tl grfe fr fukte f( ) A(, f( )) er estemt ved Lgg fr tget t A( 0, f ( 0 )) y œ y ( ) 5 y fc( 0)( 0) f( 0 ) (0) Det pprksmerede førstegrdsplymum fr fukte f( ) tllet hr e frskrft, der er estemt ved p ( ) ( ) 5 œ p ( ) Apprksmerede førstegrdsplymum p fr f tllet 0 p ( ) fc( 0)( 0) f( 0 ) (04)

32 Fukt f () 5 Afledet fukt f c() 0 Dfferett f specelle fukter Fukt f () k (kstt) Afledet fukt f c() 0 (05) = = = = e e l l e e e e k l l e k e k cs s t s cs (cs) (t) cs s t s cs (t ) (cs ) Regeregler fr dfferett ( r ) c r ( l ) c l l ( s ) c cs c ( ) ( ) ¹ ( ) ( ) (( ) ) c ( ) 6( ) ( f r g) c ( ) fc( ) r gc( ) (06) ( f g) c ( ) fc( ) g( ) f( ) gc ( ) (07) ( k f) c ( ) k fc ( ) (08) f f g f g c c( ) ( ) ( ) c( ) ( ) (09) g ¹ ( g( )) ( f $ g) c ( ) fc( g( )) gc ( ) (0)

33 Deskrptv sttstk Atl servter Oservter,,, Geemsttet f krkterere 0, 9,, 9, 8, 6, 7, 8 pået f 8 elever er , Mddeltl (geemst) Dskrete servter Atl servtsværder k Oservtsværder,,, k Hyppgheder h, h,, h k () Atl kuder 4 I e frretg hr m 60 på hde følgede dge regstreret tl kuder de første ågstme. Frdelge f tl kuder dee tme g e lyse smt llustrt f dee frdelg er vst det følgede. Hyppghed h Frekves 0, 0, 0, 0,4 lt = 60,0 f Atl servter k h Frekveser f, f,, f k f h (),,,, k () Det geemstlge tl kuder er , Mddeltl (geemst) k h (4) 0, 0, 0, 4 04, 9, k f (5)

34 Pdedgrm fr frdelge f tl kuder. Pdedgrm Højde f pd svrer tl frekves/hyppghed f servtsværd. Atl kuder 4 Frekves f 0, 0, 0, 0,4 Summeret frekves F 0, 0,4 0,6,0 Summerede frekveser F, F,, F k F f,,,, k (6) j j Trppedgrm fr frdelge f tl kuder. Trppedgrm 00, frktl. kvrtl. kvrtl med. kvrtl 4 frktl (7). kvrtl 05, frktl (8). kvrtl med 05, frktl (9). kvrtl 075, frktl (0) 4

35 Grupperede servter På e skle hr m fr 80 elever regstreret tl tmer, sm eleve vr m t lve e flevergspgve mtemtk. Frdelge f tl tmer tl t lve flevergspgve g e lyse smt llustrt f dee frdelg er vst det følgede. Atl tmer @ 05,;, 5 5,;, 5 5,;, 5 Itervlmdtpukt m Atl elever h Itervlfrekves f 0, 0,5 0, 5,;, , lt = 80,0 Atl tervller k k ; Hyppgheder h, h,, h k Itervlmdtpukter m, m,, m k m,,,, k () Atl servter k h Itervlfrekveser f, f,, f k f h (),,,, k () Det geemstlge tl tmer er , Mddeltl (geemst) k m h (4) 0, 05, 0, 40, 4, k m f (5) 5

36 Søjledgrm fr frdelge f tl tmer. Søjledgrm (hstgrm) Atl tmer @ ; 05,;, 5 @ 5,;, 5 5,;, 45 f 0, 0,5 0, 0, Itervlfrekves Summeret frekves F 0, 0,6 0,9,0 Arel f rektgel svrer tl tervlfrekves/hyppghed. Summerede frekveser F, F,, F k F f,,,, k (6) j j Sumkurve fr frdelge f tl tmer. Sumkurve 00, frktl 5,. kvrtl 8,. kvrtl med,. kvrtl frktl (7). kvrtl 05, frktl (8). kvrtl med 05, frktl (9). kvrtl 075, frktl (0) 6

37 Sdsylghedsregg Atl udfld Udfld u, u,, Udfldsrum U ^ u ` U u, u,, u () Et stkstsk ekspermet er eskrevet ved u 4 P(u) 0, 0, 0,5 0, Sdsylghedsfukt P 0 Pu ( ),,,, Pu ( ) () Sdsylghede fr hædelse A 4, er ^ ` P( A) P( ) P( 4) 05, 0, 07, Sdsylghed P(A) fr e hædelse A P(A) er lg med summe f () sdsylghedere f lle udfld A Regeregler fr sdsylgheder I et sdsylghedsfelt (U,P) hr hædelse A sdsylghed P( A) 05, Udfldsrum U Hædelse A Sdsylghede fr de kmplemetære hædelse er P( A) 05, 075, PU ( ) (4) P( Ø ) 0 (5) P( A) P( A) (6) 7

38 Stkstsk vrel Frdelgsfukt F fr e stkstsk vrel X F( ) P( X ), R (7) Dskret stkstsk vrel X Sdsylghedsfrdelge fr e stkstsk vrel X er 5 7 P(X = ) 0,4 0,5 0, Atl værder Værder,,, Sdsylghedsfukt f f( ) P( X ),,,, (8) Frdelgsfukte fr X er 5 7 F() 0,4 0,9,0 Frdelgsfukt F F( ) f( ),,,, (9) j j Mddelværde f X er E( X) 04, 5 05, 7 0, 4 Mddelværd µ P E( X) P( X ) (40) Vrse f X er Vr( X ) ( 4) 04, ( 54) 05, ( 74) 0, Vr( X ) 04, 5 05, 7 0, 4 Vrs V V Vr( X) ( P) P( X ) (4) V Vr( X) E( X ) ( E( X )) (4) Stdrdfvgelse f X er V ( X ) 7, Stdrdfvgelse V V V ( X) Vr ( X) (4) 8

39 Bmlfrdelg 5! fkultet!! (44) 0! (45) K( 5,) 5 ¹ 5!!( 5 )! 0 Bmlkeffcet K(, r) Kr (, )! r¹ r!( r)! (46) Ld X etege tl defekte eheder e stkprøve på 50, sm stmmer fr e prdukt, hvrf 4% f ehedere er defekte. Det tges X ( 50 ; 04, ) Bmlfrdelt stkstsk vrel X Atlsprmeter Sdsylghedsprmeter p Værder 0,,,, X (, p) (47) Sdsylghede fr t stkprøve dehlder defekte er P( X ) K( 50, ) 04, 50 ( 04, ) 007, Sdsylghedsfukt r r P( X r) K(, r) p ( p) (48) Det frvetede tl defekte stkprøve er E( X) 50 04, 7 Mddelværd E( X) p (49) Vrse f tl defekte er Vr( X ) 50 04, ( 04, ) 6, 0 Vrs Vr( X) p ( p) (50) Stdrdfvgelse f tl defekte er V ( X ) 50 04, ( 04, ) 45, Stdrdfvgelse V ( X) p ( p) (5) 9

40 Nrmlfrdelg Ld X etege det tl km, e estemt lmdel kører på lter ez. Det tges X N( 5, ) Nrmlfrdelt stkstsk vrel X Mddelværd P Stdrdfvgelse V X N( PV, ) (5) Grfe fr frdelgsfukte F på rlfrdelgsppr går geem puktere ( 5 ; 059, ) ( ; 059, ), ( 5; 05, ) g ( 5 ; 0, 84) ( 7; 0, 84) Grfe fr frdelgsfukte F er e ret le på rmlfrdelgsppr. 40

41 Sdsylghede fr t e l f dee mdel kører højst 4 km på lter ez er P( X 4) F( 4) 0, Beregg f tervlsdsylgheder P( X ) F( ) (5) Sdsylghede fr t de kører mdst 4 km på lter ez er P( X! 4) F( 4) 0, 0, 69 P( X! ) F( ) (54) Og sdsylghede fr t de kører mellem 4 km g 6 km på lter ez er P( 4 X 6) F( 6) F( 4) 0, 69 0, 0, 8 P( X ) F( ) F( ), (55) 4

42 4

43 Vektrer ple Vektr j 5 5 ¹ j ¹ (56) Lægde f 5 ( ) 9 (57) Regg med vektrer Fr t 5, ¹ 4¹ gælder følgede g, g t er et tl ¹ ¹ Vektr t t 5 ( ) ¹ 0 4¹ t t t ¹ (58) 4

44 Sum 5 8 ¹ 4 ¹ ¹ (59) Dfferes 5 4¹ 6¹ ¹ (60) Sklrprdukt 5 ( ) cs v v 74, 9q 9 9 (6) cs v (6) Sklrprdukt (6) Vkelrette vektrer g A œ 0 (64) 44

45 Prjekt f på 7 5 4¹ 5 5 ¹ (65) Tværvektr š š ( ) 5 ¹ 5 ¹ š ¹ (66) Arel A f det prllelgrm, sm g udspæder A ¹ ¹ A š _ _ (67) 45

46 Vektr estemt ved t pukter ple Fr A(, 5) g B( 6, ) gælder, t Krdtsæt fr AB AB 6 ¹ ( 5) 6¹ AB y y ¹ (68) Lægde f AB _ AB_ ( 6) ( ( 5)) 45 _ AB_ ( ) ( y y ) (69) Arel f trekt E trekt ABC, hvr A (,), B (5,6) g C (4,) hr relet 4 4 T 6 Arel T f trekt ABC š T _ AB AC_ (70) 46

47 Le ple Le geem A(, ) med rmlvektre estemt ved hr e lgg ( ( )) ( y ) 0 œ y Lgg fr le Lgg fr le l geem P0( 0, y0) med rmlvektr ( 0) y ( y0) 0 (7) E retgsvektr fr le med lgge y 6 er Retgsvektr fr le Retgsvektr r fr le l med lgge y r r (7) 47

48 Afstd ple Afstd mellem t pukter Afstde mellem A(, 5) g B( 6, ) er Afstd _AB_ mellem t pukter A (, y) g B (, y) _ AB _ ( 6) ( ( 5)) 45 _ AB_ ( ) ( y y ) (7) Afstd fr pukt tl le Afstde fr puktet P( 5,) tl le l med lgge y 0 er Afstd dst( Pl, ) fr puktet P ( 0, y0 ) tl le l med lgge y c 0 _( ) dst( Pl, ) 5 _ ( ) 4, dst( Pl, ) _ y c_ 0 0 (74) 48

49 Prel E prel hr lgge y 4 Lgg fr prel med symmetrkse prllel med dekse y c Dskrmt d (75) d ( ) 4 ( 4) 9 d 4 c (76) Tppukt T T ( ) 9, (, 4 ) 4 ¹ T d, (77) 4 ¹ 49

50 Crkel E lgg fr crkle med cetrum C(,) g rdus er estemt ved ( ) ( y ) œ 4 y y 4 0 Lgg fr crkel med cetrum C( 0, y 0 ) g rdus r ( ) ( y y ) r 0 0 (78) Omkreds O O S 6S O S r (79) Arel A A S 9S A Sr (80) 50

51 Ellpse E lgg fr ellpse med cetrum C(,) g hlvkser g er estemt ved ( ) ( y ) œ 4 6 9y 8 y 0 Lgg fr ellpse med cetrum C( 0, y 0 ) g hlvkser g ( 0 ) ( y y0 ) (8) Arel A A S 6S A S (8) 5

52 Hyperel E lgg fr hyperle med cetrum C(,) g hlvkser g er estemt ved ( ) ( y ) œ 4 6 9y 8 y 9 0 Lgg fr hyperel med cetrum C( 0, y 0 ) g hlvkser g ( 0 ) ( y y0 ) (8) Asympttere hr lggere y ( ) œ y g y ( ) œ y Lgg fr symptter y y ( ) 0 0 g (84) y y ( ) 0 0 5

53 Kvdrtsk fukt t vrle f(, y) 6 y 4y5 f(, y) cy dye (85) Nt (): 6y 4y 5 t œ ( ) ( y) 6 t ( ) ( y ) 6 t t Nveukurve N(t) N(): t cy dy e t (86) e crkel fr c e ellpse fr c! 0 g z c e hyperel fr c 0 y N( ): ( ) ( ) 4 5

54 Itegrlregg Stmfukt F er e stmfukt tl f œ Fc ( ) f( ) (87) Stmfukt tl specelle fukter Fukt f( ) Stmfukt f( ) d ³ Fukt f( ) Stmfukt f( ) d ³ (88) k (kstt) k 4 4 l l l e e e e e k k k e l l cs s s cs t l_ cs _ (t ) t (cs ) t 54

55 Regeregler fr uestemt tegrl ³ ³ ³ d c ( 4) d 4 c 5 5 d c ³ f( ) d F( )c (89) ³ ( f ( ) r g( )) d ³ f ( ) d r ³ g( ) d (90) ³ k f( ) d k ³ f( ) d (9) ³ ( e ) d ( e ) ³ e d e e c t ³ ( ) e d ³ e dt t e c e c ³ ( 4) d 4 4 (( ) 4 ( )) Prtel (delvs) tegrt ³ f( ) g( ) d F( ) g( ) ³ F( ) g c ( ) d(9) Itegrt ved susttut ³ f ( g ( )) gc ( ) d ³ f ( t ) dt, hvr t g ( ) (9) Regeregler fr estemt tegrl ³ f( ) d F( ) F( ) F( ) (94) c ³ f( ) d ³ f( ) d f( ) d (95) ³ c ³ ( f ( ) r g( )) d ³ f ( ) d r³ g( ) d (96) ³ k f( ) d k ³ f( ) d (97) Prtel (delvs) tegrt (98) ³ f( ) g( ) d F( ) g( ) F( ) gc( ) d ³ Itegrt ved susttut ³ g( ) f( g( )) gc ( ) d f( t) dt g( ) F( g( )) F( g( )), hvr t g( ) ³ (99) 55

56 Areleregg Arel A f skrveret mråde Arelet f mrådet ^ ( y, )_ š y 0 er ³ ` ( ) d 8 ( 4 4) 6 A ³ f( ) d (00) Arel A f skrveret mråde Arelet f mrådet ^ ( y, )_ 4 š 4 y er ` ³ ³ 4 4 ( ( 4 )) d > ( ) d 0 6 ( ) ³ A ( f( ) g( )) d (0) 56

57 Numersk tegrt f( ) Itervllet > 4 ddeles 6 lge lge deltervller Deltervllægde er ' , Itervl > > 0 Atl deltervller Lge lge deltervller> > Deltervllægde ' ',,,, (0) Tlærmelsessummer fr µ f ( ) d V6 05, ( f( ) f( 5, ) f( ) f(,) 5 f() f(,)) 5 05, ( 5, 5, 5, 5, 5, ) 4875, Vestresum V V ' f( ) 0 (0) Højresum H H ' f( ) (04) Trpezsum T (05) V H ' T f( 0 ) f( ) f( ) ¹ 57

58 Dfferetllgger Lgg Løsg Lgg Løsg (06) dy d y c dy d h( ) y ³ h( ) d dy d ky dy d h( ) g( y) ³ g y ³ h dy ( ) d ( ) dy d y y ce dy d ky y ce k dy d y( y) y 6 ce dy d y ( y) y ce dy d y( M y) y M ce M 58

59 Sdsylghedsregg Atl udfld Udfld u, u,, Udfldsrum U ^ u ` U u, u,, u (07) Et stkstsk ekspermet er eskrevet ved u 4 P(u) 0, 0, 0,5 0, Sdsylghedsfukt P 0 Pu ( ),,,, Pu ( ) (08) Sdsylghede fr hædelse A 4, er ^ ` P( A) P( ) P( 4) 05, 0, 07, Sdsylghed P(A) fr e hædelse A P(A) er lg med summe f (09) sdsylghedere f lle udfld A Regeregler fr sdsylgheder I et sdsylghedsfelt (U,P) hr hædelse A sdsylghed P( A) 05, Udfldsrum U Hædelse A Sdsylghede fr de kmplemetære hædelse er P( A) 05, 075, PU ( ) (0) P( Ø ) 0 () P( A) P( A) () 59

60 I et sdsylghedsfelt (U,P) gælder fr hædelsere A g B, t P( A) 04,, P( B) 0, g P( Aˆ B) 0, Udfldsrum U Hædelser A g B Sdsylghede fr hædelse ete A eller B er P( A B) 04, 0, 0, 05, Addtsregle P( A B) P( A) P( B) P( Aˆ B) () Sdsylghede fr A gvet B er, P( A_ B) 0 05, 0, Betget sdsylghed P( A_ B) P( Aˆ B) P( B) P( B_ A) P( Aˆ B) P( A) (4) Multplktsregle P( Aˆ B) P( A_ B) P( B) P( Aˆ B) P( B_ A) P( A) (5) A g B er kke ufhægge, d P( A_ B) 05, z 04, P( A) A g B ufhægge hædelser P( A_ B) P( A) œ P( B_ A) P( B) œ P( Aˆ B) P( A) P( B) (6) (7) P( B_ A) 05, 0, 04, 05, Byes frmel P( A_ B) P( B) P( B_ A) P( A) (8) 60

61 E frk prducerer e estemt vre på tre msker, M, M g M. Prdukte frdeler sg med 40% på M, 50% på M g 0% på M. Ngle f vrere er defekte. Det drejer sg m 5% på M, 6% på M g 0% på M. Mægde f defekte vrer eteges D. E vre fr dee prdukt udvælges tlfældgt. Udfldsrum U Hædelse A Atl hædelser Hædelser H, H,, H, der udelukker hde, g sm udfylder U Sdsylghede fr t vre er defekt, er P( D) 005, 04, 006, 05, 00, 00, 008, Lve m de ttle sdsylghed P( A) P( A_ H L ) P( H L ) (9) Sdsylghede fr t vre er prduceret på M, år det plyses, t de er defekt, er Byes frmel (ltertv vers) P( M_ D) 005, 04, 008, 05, P( H _ A) j _ M M P( A H ) P( H ) P( A), j,,, (0) 6

62 Stkstsk vrel Frdelgsfukt F fr e stkstsk vrel X F( ) P( X ), R () Dskret stkstsk vrel X Sdsylghedsfrdelge fr e stkstsk vrel X er 5 7 P(X = ) 0,4 0,5 0, Atl værder Værder,,, Sdsylghedsfukt f f( ) P( X ),,,, () Frdelgsfukte fr X er 5 7 F() 0,4 0,9,0 Frdelgsfukt F F( ) f( ),,,, () j j Mddelværde f X er E( X) 04, 5 05, 7 0, 4 Mddelværd µ P E( X) P( X ) (4) Vrse f X er Vr( X ) ( 4) 04, ( 54) 05, ( 74) 0, Vr( X ) 04, 5 05, 7 0, 4 Stdrdfvgelse f X er V ( X ) 7, Vrs V V Vr( X) ( P) P( X ) (5) V Vr( X) E( X ) ( E( X )) (6) Stdrdfvgelse V V V ( X) Vr ( X) (7) 6

63 Ktuert stkstsk vrel X Fgure vser grfe fr e tæthedsfukt f. Arelet uder grfe er lg med Frdelgsfukt F F( ) er relet uder grfe fr f tl vestre fr (8) 5X 4 Leær trsfrmt f stkstsk vrel X X (9) Det tges, t E( X) 0 g Vr( X ) 9. Så er E( 5X 4) Vr( 5X 4) V ( 5X 4) 5 5 Regeregler EX ( ) EX ( ) (0) Vr( X ) Vr( X) () V( X ) V( X) () 6

64 Bmlfrdelg 5! fkultet!! () 0! (4) K( 5,) 5 ¹ 5!!( 5 )! 0 Bmlkeffcet K(, r) Kr (, )! r¹ r!( r)! (5) Ld X etege tl defekte eheder e stkprøve på 50, sm stmmer fr e prdukt, hvrf 4% f ehedere er defekte. Det tges X ( 50 ; 04, ) Bmlfrdelt stkstsk vrel X Atlsprmeter Sdsylghedsprmeter p Værder 0,,,, X (, p) (6) Sdsylghede fr t stkprøve dehlder defekte er P( X ) K( 50, ) 04, 50 ( 04, ) 007, Sdsylghedsfukt r r P( X r) K(, r) p ( p) (7) Det frvetede tl defekte stkprøve er E( X) 50 04, 7 Mddelværd E( X) p (8) Vrse f tl defekte er Vr( X ) 50 04, ( 04, ) 6, 0 Vrs Vr( X) p ( p) (9) Stdrdfvgelse f tl defekte er V ( X ) 50 04, ( 04, ) 45, Stdrdfvgelse V ( X) p ( p) (40) 64

65 Apprksmt f mlfrdelt stkstsk vrel X med rmlfrdelg Atg, t X ( ; 05, ). Så er med tlærmelse X N 05, ; 05, ( 05, ) œ X N( 8, 6) X (, p) Frudsætg p! 5 g ( p)! 5 Tlærmelsesvs frdelg f X X N p, p ( p) (4) Beregg f sdsylgheder ved hjælp f frdelgsfukte )fr stdrdrmlfrdelge,, P( X ) ) 05, ( 05, ) ¹ )( 0, ) 0586, P( X ) ) 05, p p ( p) ¹ (4),, P( X! ) ) 05, ( 05, ) ¹ ) ( 4, ) 0, , 964 p P( X! 05, ) ) p ( p) (4) ¹,, P( 5 X ) ) 0, 5 ( 0, 5) ¹ 505, 05, ) 0, 5 ( 0, 5) ¹ )(, 06) ) ( 4, ) 0, , , 657 P ( X ) ) ) 05, p p ( p) ¹ 05, p p ( p) ¹ (44) 65

66 Nrmlfrdelg Nrmlfrdelt stkstsk vrel X Mddelværd P Stdrdfvgelse V VrsV X N( PV, ) (45) Stdrdrmlfrdelt stkstsk vrel U U N(,) 0 (46) Grf fr frdelgsfukt ) 095, frktl 645, )( 645, ) 095, frktl (47) u )( u ) (48) 66

67 Atg t X X 7 N(,) 0 ~ N( 7, ), så er Stdrdserg f rmlfrdelt stkstsk vrel X X N( PV, ) X P N(,) 0 (49) V Beregg f tervlsdsylgheder P( X 8 7 8) ) )( 05, ) 0, 6946 ¹ P( X ) P ) V ¹ (50) P( X! ) P ) V ¹ (5) P( 4 X 8) ) ) ¹ ¹ )(,) 05 ) ( 5,) 0, , , 6465 P ( X ) P P ) ) V ¹ V ¹ (5) Det tges, t X N( 0, ),,, 50, g t de stkstske vrle er ufhægge. Geemst X f ufhægge detsk rmlfrdelte stkstske vrle X N( PV, ),,,, ufhægge stkstske vrle X X (5) Frdelge f geemsttet er X N( 0, ) 50 X N( P, V ) (54) 67

68 Kfdestervl På e årgg, der hr været tl mtemtkprøve, udvælges 8 elevers krkterer tlfældgt. De udvlgte krkterer lev 0, 9,, 9, 8, 6, 7, 8. Stkprøves mddelværd 85, Af erfrg ved m, t krkterere er rmlfrdelt med vrs V 5, Dvs.V 5, 5, Kfdestervl fr mddelværde P e rmlfrdelg med kedt vrs V Stkprøves størrelse Oserveret mddelværd stkprøve Stdrdfvgelse rmlfrdelge V 00 ( )% frktl u stdrdrmlfrdelge Et 95% kfdestervl fr geemstskrktere P er , ,,, P,, 8 8 œ 746, P 954, 00 ( )% kfdestervl fr P V V u P u (55) 68

69 I e stkprøve på 50 eheder er der 8 defekte eheder. De serverede del f defekte er p š , Kfdestervl fr sdsylghedsprmetere p e mlfrdelg Stkprøves størrelse Atl succeser Oserveret del f succeser stkprøve š p š Frudsætg p! 5 g š ( p)! 5 p š (56) 00 ( )% frktl u / stdrdrmlfrdelge Et 95% kfdestervl fr dele p f defekte prdukte er 00 ( )% kfdestervl fr p 06, ( 06, ) 06, 96, 50 06, ( 06, ) 06, 96, 50 œ 006, p 06, p š pu š pu š š p ( p) š š p ( p) p (57) 69

70 70

71 Arel Crkel rdus r rel A mkreds O A Sr O Sr Trekt højde h grudle g rel A A g h Prllelgrm højde h grudle g rel A A hg Trpez højde h prllelle sder g rel A A h( ) 7

72 Mtemtske symler ^ Syml Betydg, læsemåde Eksempler, emærkger m.v. š kjukt ( g ) pš q dsjukt ( eller p q etydge g/eller ), egt p, p Ÿ mplkt ( hvs så, pÿ q medfører ) œ mplkt ( esetydede pœ q med, hvs g ku hvs ) ^.,.,.,. ` mægde, hvs elemeter preges; ^ 58,, ` mægde skrevet på lstefrm G_ p( ) ` mægde f de elemeter G, ^ R_ 6 fr hvlke p ( ) er sd ^p _ ( ) ` fkrtet syml der k vedes, år det f smmehæge ^ _! 6) ` fremgår, hvlke mægde G der lægges tl grud er elemet (tlhører) M Ž er delmægde f AŽ B er ægte delmægde f A B ` ˆ fællesmægde Aˆ B fregsmægde A B \ mægdedfferes A\ B C, kmplemetærmægde CA, A u mægdeprdukt Au B ^(, )_ A g B` 7

73 Syml Betydg, læsemåde Eksempler, emærkger m.v. ; lukket tervl ; hlvået tervl > ^[ R_ [ ^ R_ ` >> hlvået tervl > ; > ^ R_ ; ået ; > ^ R_ ` N mægde f turlge tl N ^,,, ` Z mægde f hele tl Z ^,,, 0,,, ` Q mægde f rtle tl tl, der k skrves på frme p q, hvr p Z, q N R mægde f reelle tl Ø de tmme mægde Ø ^` (, ) rdet elemetpr (, 6) (,,, ) rdet elemetsæt ( 4,, 6) hvs deksmægde, sm skl geemløe, fremgår f smmehæge, skrves lt eller! fkultet! ( ) ( ) fr N 0! Kr (, ),! mlkeffcet Kr (, ) r¹ r!( r)! f: A B fukt f fr A (deftsmægde vsse smmehæge ruges udtryksmåder fr f) tl B sm fukte f( ) 5, fukt- e y 5 g fukte 5 f() fuktsværd f ved fukte f Dm( f ) deftsmægde fr f Vm( f ) værdmægde fr f f g sum f t fukter ( f g)( ) f( ) g( ) f g dfferes mellem t fukter ( f g)( ) f( ) g( ) f g, fg prdukt f t fukter ( f g)( ) ( fg)( ) f( ) g( ) f kvtet mellem t fukter f f( ) g ( ) g ¹ g( ), hvr g( ) z 0 f $ g smmest fukt ( f $ g)( ) f( g( )) f vers (mvedt) fukt y f œ f ( ) ( y) 7

74 Syml Betydg, læsemåde Eksempler, emærkger m.v. ekspetlfukt med grudtl,! 0 eteges gså ep ( ) e de turlge ekspetlfukt e eteges gså ep( ) lg lgrtmefukte med y lg œ y 0 grudtl 0 l de turlge lgrtmefukt y l œ y e s sus cs csus t tges t eteges gså tg ct ctges ct cs s de umerske (slutte) værd f eteges gså s( ) lm f( ) græseværd f f() fr 0 gåede md lm( 5) 4, lm 0 f f( ) f() går md fr gåede s fr 0 fr 0 md 0 0 f( )f f() går md uedelg fr f fr f fr f gåede md uedelg ' -tlvækst 0 ' ³ ³ ' f fuktstlvækst fr f 0 ' f f( ) f( 0 ) ' f ' f f( ) f( 0 ) f( 0 ' ) f( 0) dffereskvtet fr f ' 0 ' ' fc( 0 ) dfferetlkvtet fr f 0 f f fc ( ) lm ( ) ( ) ' f lm ' 0 ' f f lm ( ) ( ) 0 ' 0 ' 0 ' f c fledet fukt f f eteges gså df ( ) df dy,, d d d eller y c f ) de -te fledede fukt f f ( ) stedet fr f g ( ) f skrves sm regel fcc g fccc f( ) d f( ) d stmfukt (uestemt tegrl tl f) tegrlet fr tl f f (estemt tegrl)

75 Syml Betydg, læsemåde Eksempler, emærkger m.v. AB _ AB_ lestykket AB lægde f lestykket AB, AB vektr, _ AB_ lægde f vektr š tværvektr sklrprdukt er prllel med A er vkelret på # er kgruet med ~ er lgedet med h højde med fdpukt på sde eller dees frlægelse m mede med fdpukt på sde v A vkelhlvergsle fr vkel A A vkel A A vedes gså sm etegelse fr grdtllet, f.eks. A 05 $ X~ (, p) X er mlfrdelt med tlsprmeter g sdsylghedsprmeter p X ~ N( PV, ) X er rmlfrdelt med mddelværd P g stdrdfvgelse V 75

76 Stkrdsregster fr Nveu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

77 6DQGV\QOLJKHG IRUK QGHOVH IRUNRPSOHPHQW U K QGHOVH 6DQGV\QOLJKHGHU UHJQHUHJOHUIRU 6DQGV\QOLJKHGVIXQNWLRQ ELQRPLDOIRUGHOWVWRNDVWLVN YDULDEHO GLVNUHWVWRNDVWLVN YDULDEHO 6DQGV\QOLJKHGVUHJQLQJ VLQJUDIIRU 6LQXV 6LQXVUHODWLRQHUQH 6NUDV\PSWRWH 6WDQGDUGDIYLJHOVH ELQRPLDOIRUGHOWVWRNDVWLVN YDULDEHO 6WDQGDUGDIYLJHOVH GLVNUHWVWRNDVWLVNYDULDEHO 6WLJQLQJVWDO 6WRNDVWLVNYDULDEHO ELQRPLDOIRUGHOW GLVNUHW QRUPDOIRUGHOW 6XPNXUYH 6XPPHUHGHIUHNYHQVHU 6 MOHGLDJUDP WDQJUDIIRU 7DQJHQV 7DQJHQWOLJQLQJIRU 7LOEDJHVNULYQLQJ 7RSSXQNWIRUSDUDEHO 7UDSSHGLDJUDP 7UHNDQW DUHDO UHWYLQNOHW YLONUOLJ 7ULJRQRPHWULVNHIXQNWLRQHU VSHFLHOOH IXQNWLRQVY UGLHU 7ULJRQRPHWULVNH JUXQGOLJQLQJHU 8GIDOGVUXP 9DQGUHWDV\PSWRWH 9DULDQV ELQRPLDOIRUGHOW VWRNDVWLVNYDULDEHO GLVNUHW VWRNDVWLVNYDULDEHO 9HMHWJHQQHPVQLW 9LONUOLJWUHNDQW 9 UGLP QJGH 77

78 Stkrdsregster fr Nveu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

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig

Læs mere

Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve

Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve Højere Teksk Eksme ugust 009 HTX09-MAA Mtemtk A Forberedelsesmterle tl 5 tmers skrftlg prøve Udervsgsmsteret Fr osdg de 6. ugust tl torsdg de 7. ugust 009 Sde f 6 sder Forberedelsesmterle tl 5-tmers skrftlg

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL

FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL FACITLISTE TIL KOMPLEKSE TAL Kaptel Opgave Opgave Opgave Det emmeste check af lgge er at opløfte begge sder tl. potes. Bombells metode gver følgede lgger: a a b = 5 ( ) b a b = 09 = 7. Løs dem med et CAS

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel

Læs mere

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning

Elementær Matematik. Sandsynlighedsregning lemetær Matematk Sadsylghedsregg Ole Wtt-Hase Køge Gymasum 008 INDHOLD KAP. KOMBINATORIK.... MULTIPLIKATIONS- OG ADDTIONSPRINCIPPT.... PRMUTATIONR... 3. KOMBINATIONR...3 KAP. NDLIGT SANDSYNLIGHDSFLT...7.

Læs mere

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori

Note til Spilteori Mikro 2. år 2. semester Erik Bennike. Note til Spilteori Note tl Splteor Mkro. år. semester Erk Beke Note tl Splteor Gos s. - Splteor eskæftger sg med sttoer hvor der er strtegsk fhægghed geter mellem. Nytte for de ekelte get fhæger således kke lee f ege hdlger

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P

Læs mere

Repetition. Forårets højdepunkter

Repetition. Forårets højdepunkter Repetto Forårets højdepukter Forårets højdepukter Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso: Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures (X ad Sales (Y Et scatterplot

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasum Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 Sadsylghedsfelt... 3 Edelge sadsylghedsfelter (sadsylghedsfordelger):... 3 Uedelge

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks

Formelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen. Appendiks Formelsmling for mtemtik niveu B og A på højere hndelseksmen Appendiks April Mtemtik B Procentregning Procentvis vækst Værdien f en given vriel x liver ændret fr x til x 1. Den %-vise vækst eregnes ved:

Læs mere

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014

NOTAT:Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2014 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 271218 Brevd. 2118731 Ref. KASH Dr. tlf. 4631 3066 katrnesh@rosklde.dk NOTAT:Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2014 17. august

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON

IKKE-KONTINUERTE (DISKRETE) STOKASTISKE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK, BINOMIAL, POISSON IE-ONTINUERTE (DISRETE) STOASTISE VARIABLE MIDDELVÆRDI, VARIANS, SPREDNING FORDELINGER: HYPERGEOMETRIS, BINOMIAL, POISSON Edelgt sadsylghedsfelt V reeterer: Et sadsylghedsfelt ( P ) U, kaldes edelgt, hvs

Læs mere

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner.

Kap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner. - - Kp. : Itegrlregig yggede på stmfuktioer... Specielle egesker ved fuktioer. Defiitio... E fuktio f siges t være egræset i et itervl I, hvis f er defieret i itervllet, og hvis der fides to tl k og K,

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005

Økonometri 1. Funktionel form. Funktionel form (fortsat) Dagens program. Den simple regressionsmodel 14. september 2005 Dages program Økoometr De smple regressosmodel 4. september 5 Dee forelæsg drejer sg stadg om de smple regressosmodel (Wooldrdge kap.4-.6) Fuktoel form Hvorår er OLS mddelret? Varase på OLS estmatore Regressosmodelle

Læs mere

Kvalitet af indsendte måledata

Kvalitet af indsendte måledata Notat ELT2004-112 Aktørafregg Dato: 23. aprl 2004 Sagsr.: 5584 Dok.r.: 185972 v1 Referece: NIF/AFJ Kvaltet af dsedte måledata I Damark er det etvrksomhederes opgave at måle slutforbrug, produkto og udvekslg

Læs mere

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}

Opgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0} Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de

Læs mere

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013

NOTAT: Benchmarking: Roskilde Kommunes serviceudgifter i regnskab 2013 Beskæftgelse, Socal og Økonom Økonom og Ejendomme Sagsnr. 260912 Brevd. 1957603 Ref. LAOL Dr. tlf. 4631 3152 lasseo@rosklde.dk NOTAT: Benchmarkng: Rosklde Kommunes servceudgfter regnskab 2013 19. august

Læs mere

Kap 1. Procent og Rentesregning

Kap 1. Procent og Rentesregning Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.

Læs mere

Sandsynlighedsregning og statistisk

Sandsynlighedsregning og statistisk Figur : J. C. F. Guss 777 855 Sdsylighedsregig og sttistisk Peter Hremoës Niels Brock 6. pril Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse

Læs mere

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik.

Eksempel: PEFR. Epidemiologi og biostatistik. Uge 1, tirsdag. Erik Parner, Institut for Biostatistik. Epdemolog og bostatstk. Uge, trsdag. Erk Parer, Isttut for Bostatstk. Geerelt om statstk Dataaalyse - Deskrptv statstk - Statstsk feres Sammelgg af to grupper med kotuerte data - Geemst og spredg - Parametre

Læs mere

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( )

FORDELINGER: HYPERGEOMETRISK FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI DEFINITION. X er en stokastisk variabel på et endeligt sandsynlighedsfelt ( ) FORDELINGER: HYERGEOMETRIS FORDELING, BINOMIALFORDELING MIDDELVÆRDI Mddelværd MIDDELVÆRDI (TYS: ERWARTUNGSWERT ) DEFINITION X er e stokastsk varabel på et edelgt sadsylghedsfelt U, ( ) Mddelværde af X

Læs mere

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN

BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN MTEMK Mtemtik o hh C-iveu BEVISER TIL SÆTNINGER I BOGEN Dette e e smlig ove lle e sætige og evise e e i oge. Det e met som suppleee mteile isæ til e eleve, e skl hve mtemtik på B- elle -iveu. ee i ku metget

Læs mere

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier

FUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold

Kombinatorik. 1 Kombinationer. Indhold Kombator, marts 04, Krste Roselde Georg Mohr-Kourrece Kombator Kombator går ud på at tælle atallet af ombatoer af et eller adet, og for at ue tælle atallet af ombatoer smart har ma brug for forsellge tællestrateger

Læs mere

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker

Projekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives

Læs mere

Scorer FCK "for mange" mål i det sidste kvarter?

Scorer FCK for mange mål i det sidste kvarter? Uge 7 I Teoretsk Statstk, 9. aprl 2004. Hvor er v? Hvor var v: opstllg af statstske modeller Hvor skal v he: tro om estmato og test 2. Eksempel: FCK Estmato (tutvt) Test Maksmum lkelhood estmato Scorer

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Dmk ekke Uetet Sde f 6 de Skftlg pøe, de 4. deceme, Kuu yk Kuu. //4 Vghed: 4 tme lle hjælpemdle: Ige hjælpemdle "Vægtg": eele edømme om e helhed. Alle kl egude med mde det e get. Alle mellemegge kl mege.

Læs mere

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d

Bogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -

Læs mere

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler

Sammensætning af regnearterne - supplerende eksempler Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Ledighedsstatistik, juli 2013

Ledighedsstatistik, juli 2013 Ledighedssttistik, li Stigig i kdemikerledighede i li str stigig i dimittedledighede Akdemikerledighede er steget med fr i til li g er u å.9 svrede til e ledighedsrcet å 4, ct. Stærk stigede dimittedledighed

Læs mere

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter:

Statistisk analyse. Vurdering af usikkerhed i forbindelse med statistiske opgørelser forudsætter: Statstsk aalyse Vurderg af uskkerhed forbdelse med statstske opgørelser forudsætter: Kvattatve mål for varato og spredg forbdelse med statstske opgørelser varas og stadardafvgelse Kvattatve mål for tlfældgheder

Læs mere

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder

FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse. O p t i k. Jacob Christiansen Afleveringsdato: 3. april 2003 Morten Olesen Andreas Lyder FY0 Oblgatorsk laboratoreøvelse O p t k Hold E: Hold: D Jacob Chrstase Alevergsdato: 3. aprl 003 Morte Olese Adreas Lyder Idholdsortegelse Idholdsortegelse Forål...3 Måleresultater...4. Salelser...4. Spredelse...5.3

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

œ b œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ

œ b œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ œ sk lnd Musk ShuDuAh rr. rg Ruy Tr 1 n n Tr 2 sk sk sk lnd lnd lnd n d sg md m t ul st h rt sk lnd n sg sk lnd d md m sk lnd t ul st h ss sk sk sk lnd lnd lnd n d sg md m t ul st h sk sk sk lnd lnd lnd

Læs mere

Lineær regressionsanalyse8

Lineær regressionsanalyse8 Lneær regressonsanalyse8 336 8. Lneær regressonsanalyse Lneær regressonsanalyse Fra kaptel 4 Mat C-bogen ved v, at man kan ndtegne en række punkter et koordnatsystem, for at afgøre, hvor tæt på en ret

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Ledighedsstatistik, maj 2013

Ledighedsstatistik, maj 2013 Ledighedssttistik, mj 3 Fld i kdemikerledighede i mj me reelt tle m e lille stigig Stigede tl lgtidsledige dimitteder Akdemikerledighede er fldet med fr ril til mj g er u å.53 svrede til e ledighedsrcet

Læs mere

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark

Indeks over udviklingen i biltrafikken i Danmark Ideks over udvklge bltrafkke Damark Afdelgsgeør Alla Crstese, Vejdrektoratet, og cvlgeør, p.d. Crsta Overgård ase, TetraPla A/S. Baggrud og formål. Baggrud Vejdrektoratet ar sde 978 regelmæssgt udgvet

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Krydsprodukt. En introduktion Karsten Juul

Krydsprodukt. En introduktion Karsten Juul Kydspodut En ntoduton 5 Ksten Juul Bugsnvsnng Du sl se de fuldt optune mme fo t fnde defntone og sætnnge De e st punteet mme om esemple og evse Indhold Rmme Sde Defnton f ydspodut Esempel på ug f defntonen

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004

Økonometri 1. For mange variable i modellen. For få variable. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 21. september 2004 Dages program Økoometr De multple regressosmodel. september 004 Emet for dee forelæsg er stadg de multple regressosmodel (Wooldrdge kap. 3.4-3.5) Praktske bemærkg Opsamlg fra sdst Irrelevate varable og

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard

Binomialfordelingen. Erik Vestergaard Bnomalfordelngen Erk Vestergaard Erk Vestergaard www.matematkfysk.dk Erk Vestergaard,. Blleder: Forsde: Stock.com/gnevre Sde : Stock.com/jaroon Sde : Stock.com/pod Desuden egne fotos og llustratoner. Erk

Læs mere

Kommentarer til VARIABLE

Kommentarer til VARIABLE Kommetrer til Fglige mål Kpitlet lægger op til, t elevere lærer vribelbegrebet t kede som et effektivt værktøj til t skbe sig overblik over komplekse problemstilliger. k udpege kostter og vrible med tilhørede

Læs mere

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation

Statistik Lektion 14 Simpel Lineær Regression. Simpel lineær regression Mindste kvadraters metode Kovarians og Korrelation Statstk Lekto 4 Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures ( ad Sales ( Et scatterplot vser par (, af observatoer.

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Ds ese Uestet Sde sde Stlg pøe pøe, /, / og 3/, Kusus ys Kusus. //4 Vghed: 4 te lle hjælpedle: Ige hjælpedle "Vægtg": Beselse bedøes so e helhed. Alle s sl begudes ed de det e get. Alle elleegge sl eges.

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Program for dag: Kvanttatve metoder Den smple regressonsmodel 9. februar 007 Regressonsmodel med en forklarende varabel (W..3-5) Varansanalyse og goodness of ft Enheder og funktonel form af varabler modellen

Læs mere

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen

Statistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring

Pearsons formel for χ 2 test. Den teoretiske forklaring Pearsos formel for χ test De teoretse forlarg Ole Wtt-Hase 04 Idhold. Normalfordelge og χ.... Pearsos formel for χ test... 3. Forlarg på Pearsos formel....4 Pearsos formel for χ test. Normalfordelge og

Læs mere

Inertimoment for arealer

Inertimoment for arealer 13-08-006 Søren Rs nertmoment nertmoment for arealer Generelt Defntonen på nertmoment kan beskrves som Hvor trægt det er at få et legeme tl at rotere eller Hvor stort et moment der skal tlføres et legeme

Læs mere

1. Andalusien - en provins i Spanien

1. Andalusien - en provins i Spanien 1. Andlusien - en prvins i Spnien Andres g hns fmilie skl pa ferie i Andlusien. I et rejsektlg finder de frskellige plysninger. Digrmmet viser fr hver maned, hvr mnge dge det regner mere end 1 mm i Mlg'

Læs mere

Projektet. Holstebromotorvejen, delstrækningen Mejrup-Tvis

Projektet. Holstebromotorvejen, delstrækningen Mejrup-Tvis 1 Prktt Hlstbrmtrv, dlstræk Mrup-Tvs Lædprfl Vsr hødkurvr vs frløb trræt Dlstræk Mrup-Tvs (st. 16,6-25,00) 2014 2015 2016 2017 2018 Alæslv Lbstls Frudrsølsr (arkæl, tkk) Jrdfrdl Dtalbstls Eksprprat af

Læs mere

SAMPLE. 1 3Suite over danske folkesange. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j j j 0 4. j j. w w. w w.

SAMPLE. 1 3Suite over danske folkesange. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j 0 4. j j j 0 4. j j. w w. w w. 1 Sute over dnske olkesnge or blnt kor, oblgt nstrumt klver Instr Klver Rolgt c gto c Π c Arrnet Lsse Tot Erks, 009 S S T 5 5 5 9 9 stl ly ro, hvor r ned, be 1I H 0 r sn bu r h 0 re t bo,, hvor sm sko

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS

Økonometri 1. Instrumentvariabelestimation 26. november Plan for IV gennemgang. Exogenitetsantagelsen. Exogenitetsantagelsen for OLS y = cy ( c 0 ) Pla for IV geemgag Økoometr Istrumetvarabelestmato 6. ovember 004 F9: Hvad er IV estmato: Bvarat model, et strumet: Kap.5. + afst -4 ote. F0: IV estmato det multple tlfælde (eksakt detfceret):

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Tabsberegninger i Elsam-sagen

Tabsberegninger i Elsam-sagen Tabsberegnnger Elsam-sagen Resumé: Dette notat beskrver, hvordan beregnngen af tab foregår. Første del beskrver spot tabene, mens anden del omhandler de afledte fnanselle tab. Indhold Generelt Tab spot

Læs mere

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj)

Betænkning om kommunernes udgiftsbehov. Bilag (med metodediskussion af professor Anders Milhøj) Betækg om kommueres udgftsbehov Blag (med metodedskusso af professor Aders Mlhøj) Betækg r. 36 Oktober 998 Kommueres Udgftsbehov Betækg om kommueres udgftsbehov - Redegørelse fra arbejdsgruppe uder Idergsmsterets

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

DET PERIODISKE SYSTEM

DET PERIODISKE SYSTEM DET PERIODISKE SYSTEM Tilpasset efter Chemistry It s Elemental! Præsentation fra the American Chemical Society, Aug. 2009 http://portal.acs.org/portal/publicwebsite/education/outreach/ncw/studentseducators/cnbp_023211

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution:

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution: Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion og integrtion ved sustitution: f John V. Petersen Prtiel integrtion Sætning : Prtiel integrtion... si. Løsning f integrle... si. Plot f løsningsrelet...

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Dks Tekske Uvestet Sde f Skftlg pøve, e dg de??. decebe,, kl. 9:-3: Kusus v: ysk Kusus. Tlle hjælpedle: Ige hjælpedle. "Vægtg": esvelse bedøes so e helhed. Alle sv skl begudes ed de det e gvet. Sættet

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f

- 77 - i stedet for ( f ), så vi har, at f (x) = 6x, x R. Funktionen f - 77 - Appendi : Den delt fledede f en funktin. Sm eken gælder der, t funktinen f() 3 er differentiel fr lle R, g t f () 3. Vi kn derfr til et vilkårligt punkt tilrdne differentilkvtienten f f i, hvrved

Læs mere

Trafik køer. Nogle matematiske modeller 1. Matematiske emner. Trafik køer. Nogle matematiske modeller

Trafik køer. Nogle matematiske modeller 1. Matematiske emner. Trafik køer. Nogle matematiske modeller Tik køe. Nogle memiske modelle Memiske eme Tik køe Nogle memiske modelle Ole Wi-Hse Køge gymsium 008 Tik køe. Nogle memiske modelle Idhold Idhold.... Geeelle deiiioe og begige oe bil ik....3. Aiklig ik-køe

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Matr. nr. 271lRødby Markjorder

Matr. nr. 271lRødby Markjorder Matr. nr. 271lRødby Markjorder 549a 271k 13a Finlandsvej 271i 629 m² 271l 2 m² 271n Sulkavavej 271m 271o 271q 271d 271p Sulkavavej 244ec Tegningsnr. : LE34_ 100128-1043_ 3 Ret til at udvide veje (midlertidigt

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi

Finanskalkulationer Side 1/19 Steen Toft Jørgensen. Finanskalkulationer. avanceret rentesregning. matematiske modeller i økonomi Faskalkulatoe Sde /9 Stee Toft Jøgese Faskalkulatoe avaceet etesegg matematske modelle økoom Idholdsfotegelse: Kaptel : Rete Retebegebet Omkostge Retefomle Effektv ete Kotuet foetg Tdsdagam Flytg af kaptal

Læs mere

Matr. nr. 1aLungholm inddæmning, Olstrup

Matr. nr. 1aLungholm inddæmning, Olstrup Matr. nr. 1aLungholm inddæmning, Olstrup 1e 1a 1a 604024 m² 1r 1aa Tangvej 1n Tegningsnr. : LE34_ 100128-1016_ 2 Ret til at etablere natur (permanent indgreb), jf. 33, stk. 4 1: 3000 15 1q Matr. nr. 1rLungholm

Læs mere

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel

Statistik II Lektion 5 Modelkontrol. Modelkontrol Modelsøgning Større eksempel Statstk II Lekton 5 Modelkontrol Modelkontrol Modelsøgnng Større eksempel Generel Lneær Model Y afhængg skala varabel 1,, k forklarende varable, skala eller bnære Model: Mddelværden af Y gvet =( 1,, k

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag

6. SEMESTER Epidemiologi og Biostatistik Opgaver til 3. uge, fredag Afdelng for Epdemolog Afdelng for Bostatstk 6. SEESTER Epdemolog og Bostatstk Opgaver tl 3. uge, fredag Data tl denne opgave stammer fra. Bland: An Introducton to edcal Statstcs (Exercse 11E ). V har hentet

Læs mere

Kogebog: 5. Beregn F d

Kogebog: 5. Beregn F d tattk 8. gag KONFIDENINERVALLER Kofdetervaller: kaptel Valg og tet af fordelgfukto tattk 8. gag. KONFIDEN INERVALLER Et kofde terval udtrykker tervallet hvor de rgtge værd af parametere K, med γ % adylghed

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.1 Det gyldne snit og Fibonaccitallene ISN 978-87-7066-498- Projekter: Kpitel. Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Projekt. Det glde sit og Fiboccitllee Fordsætiger: Kedskb til ligedethed. Grdlæggede geometrisk vide. Kedskb til degrdsligige.

Læs mere

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser

Vi ønsker også at teste hypoteser om parametrene. F.eks: Kan µ tænkes at være 0 (eller anden fast, kendt værdi)? Eksempel: dollarkurser Uge 37 I Teoretsk Statstk, 9.sept. 003. Fordelger kyttet tl N-ford. Gvet: uafhægge observatoer af samme N(µ,σ )-fordelte stokastske varabel. Formelt: X,X,,X uafhægge, alle N(µ,σ )-fordelt. Mddelværd µ

Læs mere