Matematik for C niveau
|
|
- Dorte Nøhr
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Matematik for C niveau M. Schmidt
2 Indholdsfortegnelse 1. Tal og bogstavregning... 5 De elementære regnings arter og deres rækkefølge... 5 Brøker... 9 Regning med bogstavudtryk Talsystemet Intervaller Potenser og rødder Ligninger Uligheder Formler Funktioner Koordinat systemet Funktions begrebet Grafisk billede Nogle elementære funktioner Funktioners monotoniforhold Grafisk løsning af ligninger og uligheder Generelt om funktioner Lineære funktioner og deres grafer Ret linje gennem to punkter Procentregning Regning med procenter Ændring af et tal med en procentdel Indekstal Rentesregning Renteformlen Rentefod for forskellige tidsrum
3 Gennemsnitlig vækstrate Opsparing og lån Annuitets opsparing Annuitets lån Ensvinklede og retvinklede trekanter Ensvinklede trekanter Phytagoras sætning Trekanters areal Sinus og cosinus Den retvinklede trekant Tangens Eksponentielle funktioner To vækstmodeller Eksponentielle funktioner Enkelt logaritmiske koordinat systemer Bestemmelse af forskriften for en eksponentiel funktion Logaritme funktionen Eksponentielle ligninger Fordoblings konstant Halverings konstant Potensfunktioner og potensudviklinger Potensfunktioner Potensudviklinger Dobbelt logaritmiske koordinat systemer Bestemmelse af forskriften for en potensudvikling Procentvis ændring af den afhængige og den uafhængige variabel Potensligninger Beskrivende statistik Ugrupperede observationer
4 Grupperede observationer Statistiske beskrivende størrelser for grupperede observationer
5 1. Tal og bogstavregning De fire regningsarter Regningsarternes hiearki Parenteser, plus og minusparenteser Brøker Bogstavregning Talsystemet Intervaller Potenser og rødder Ligninger Uligheder Formler Dette kapitel omhandler de grundlæggende regler for regning med tal og bogstaver, hvilket kaldes for aritmetik. De elementære regnings arter og deres rækkefølge De fire elementære regnings arter er subtraktion med tegnet (minus). Resultatet af en subtraktion kaldes en differens. multiplikation med tegnet (gange). Resultatet af en multiplikation kaldes et produkt. division med tegnet : (divideret med). Resultatet af en division kaldes en kvotient. addition med tegnet + (plus). Resultatet af en addition kaldes en sum. 5
6 Man siger f.eks. at summen af 8 og 5 er 13 produktet af 6 og 7 er 42 differensen mellem 7 og 4 er 3 kvotienten mellem 12 og 6 er 2 differensen mellem 6 og 9 er 3 kvotienten mellem 2 og 8 er REGNINGS-ARTERNES RÆKKEFØLGE Hvis der i et udtryk indgår flere regnings arter, skal de udføres i en bestemt rækkefølge. Man kaldes også dette for regnings arternes hiearki. Man regner f.eks. sådan og Det almindelige princip er følgende: Man ganger og dividerer inden man lægger til eller trækker fra. Disse regler er indbygget i lommeregneren, så udtryk som de ovenstående indtastes som de står: og Hvis der også optræder potenser, udregnes de før multiplikation og division: Eksempel , , , ,
7 PARENTESER Man bruger parenteser, når man vil ophæve den vedtagne rækkefølge af udregninger. Hvis man f.eks. ønsker at lægge sammen inden man ganger, så skriver man og fordi man uden parenteser får og Man bruger desuden parenteser i forbindelse med fælles faktorer for flere led. Vi udregner Her går 3 op i alle tallene 24, 9 og 15 og man siger at 3 er en fælles faktor for tallene. Den kan derfor sættes uden for en parentes Man kan også gange ind i en parentes. F.eks. giver disse to udregninger det samme: og Man siger at man har ganget ind i parentesen, når man skriver Tilsvarende fås
8 Eksempel 2 Man sætter uden for en parentes sådan: Man ganger ind i en parentes sådan: I nogle udregninger har man brug for at fjerne parenteser og her skal man kende forskel mellem plusparenteser og minusparenteser. Plusparenteser er parenteser med tegnet + foran. Den slags parenteser kan fjernes uden videre. F.eks. fordi man ved udregning får venstre side: højre side: Minusparenteser har fortegnet foran. De fjernes ved at skifte fortegnet i alle led i parentesen. F.eks Eksempel 3 Plus og minusparenteser hæves sådan:
9 Brøker Vi skal her gennemgå de gængse regneregler for brøker. Brøkregning har især interesse, når man skal regne på formler med bogstaver. I første omgang vil vi se på udregninger med rene tal. FORLÆNGNING OG FORKORTNING Man forlænger en brøk med et tal, hvis tæller og nævner ganges med samme tal. Brøken ændrer ikke værdi ved forlængning. Vi forlænger med 2 og får med 3 og får Man forkorter en brøk med et tal ved at dividere tæller og nævner med tallet. Brøken ændrer ikke værdi ved forkortning. F.eks. kan vi forkorte med 3 og få 21: 3 15: med 12 og få 24: 12 36: ADDITION OG SUBTRAKTION Brøker med samme nævner, lægges sammen og trækkes fra hinanden ved at lægge sammen og trække fra i tælleren og beholde nævneren: ,
10 Brøker med forskellige nævnere lægges sammen og trækkes fra hinanden, ved at finde en fællesnævner for brøkerne. Dette sker ved at forlænge hver brøk med passende tal, f.eks. er MULTIPLIKATION Man ganger en brøk med et tal ved at gange tælleren med tallet, f.eks , Et specialtilfælde, som vi senere skal bruge, er følgende: hvis man ganger en brøk med dens nævner, fås tælleren: Tilsvarende fås at To brøker ganges med hinanden ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner: ,
11 DIVISION Man dividerer en brøk med et tal ved at gange med tallet i nævneren. F.eks. er Man dividerer med en brøk ved at gange med den omvendte brøk, f.eks
12 Regning med bogstavudtryk I bogstavregning lader man bogstaver stå istedet for tal. Eksempel 4 Udtrykket skal reduceres. Først ganges der ind i parentesen: Så hæves parenteserne: Eksempel 5 Hvis man er blevet vant til at reducere, kan man undvære nogle mellemregninger:
13 Eksempel 6 Sikkersoq har købt 5 appelsiner, 3 bananer og 2 citroner. appelsiner koster 4 kr. stk. og man kan skrive 4 bananer koster 6 kr. stk. og man kan skrive 6 citroner koster 5 kr. stk. og man kan skrive 5 Den samlede pris skrevet med bogstaver er: pris og kan så udregnes at være: pris kr. Eksempel 7 Erneeraq har været inde i den samme butik som Sikkersoq og har købt 8 appelsiner, 10 bananer og 7 citroner. Hvor meget har de tilsammen købt for? Den samlede pris skrevet med bogstaver er: pris og kan så udregnes at være: pris kr. 13
14 Eksempel 8 Arealet af en trekant kan skrives som:, hvor er grundlinjen og højden. Hvis man får at vide, at 5 cm og 7 cm, hvad er så arealet? cm 7 cm 17.5 cm 2 I en anden trekant er 2 cm og 10 cm. Hvad er arealet? cm 10 cm 10 cm 2 Dette viser hvorfor det er praktisk at skrive udtryk med bogstaver: man udskifter bogstaverne med de tal som er gældende i den givne situation. Eksempel 9 Man skal reducere udtrykket Først skal man finde en fællesnævner. Den mindste fællesnævner er
15 Talsystemet Tallene vi regner med, kan afsættes på en tallinje, hvor de positive tal afsættes til højre for 0 og de negative til venstre for 0. På tallinjen herover er kun afsat hele tal, men også brøker og decimalbrøker har deres plads på tallinjen. TYPER AF TAL Man bruger forskellige betegnelser for de forskellige taltyper. De naturlige tal Et naturligt tal er et helt, positivt tal. Vi betegner mængden af disse tal med og skriver sådan: De hele tal Samlingen af alle hele tal betegnes : 1,2,3,4, 3, 2 1, 0, 1, 2, 3, De hele tal består af de naturlige tal, de negative hele tal og det specielle tal 0, som hverken er positivt eller negativt. 15
16 De rationale tal Et rationalt tal er et tal, der kan skrives som en brøk med hele tal i tæller og nævner. Et par eksempler på rationale tal er 5 12, 9 6, 20 4, 30 65, 17 1 Vi ser, at hele tal er rationale. Desuden er endelige decimalbrøker rationale, fordi vi f.eks. kan skrive , De rationale tal betegnes med Q, der står for 'quotient', fordi en brøk kan opfattes som resultatet af en division. De fleste kvadratrødder er ikke rationale tal. F.eks. er 3 og 19 ikke rationale der findes ingen brøk, der præcis er lig med disse tal. De kaldes irrationale tal. De reelle tal Samtlige tal på tallinjen kaldes reelle tal. De omfatter de hele tal, de rationale tal og irrationale tal. Man skriver de reelle tal med symbolet. På intervalform skrives de rationale tal således: ; 16
17 Intervaller Det er praktisk at indføre en skrivemåde for intervaller på tallinjen. Man deler intervaller op i begrænsede og ubegrænsede intervaller. BEGRÆNSEDE INTERVALLER Et begrænset interval er et afsnit af tallinjen, der ligger mellem to givne tal, der kaldes intervallets endepunkter. Man kan vælge at medtage et eller begge endepunkter eller ingen af endepunkterne. Der er derfor fire forskellige typer af begrænsede intervaller, med hver sin skrivemåde. Eksempler: 5 ; 8 alle tal mellem 5 og 8, men 5 og 8 er ikke med i intervallet. 2 ; 10 alle tal fra og med 2 til 10, dvs. 2 er med og 10 er ikke med i intervallet. 3 ; 8 alle tal fra 3 til og med 8, dvs. 3 er ikke med og 8 er med i intervallet. 5 ; 9 alle tal fra og med 5 til og med 9, dvs. 5 er med og 9 er med i intervallet. I almindelighed er der altså de fire intervaltyper: ;, ;, ;, ; Den første type interval kaldes et åbent interval, fordi de to endepunkter ikke er med i intervallet. De to næste typer kaldes halvåbne, fordi det ene endepunkt er med og det andet ikke er med i intervallet Den sidste type kaldes et lukket interval, fordi begge endepunkter er med i intervallet. 17
18 Man viser de forskellige typer af intervaller med nogle specielle symboler for endepunkterne. Endepunktet tegnes med en fyldt cirkel, hvis det er med i intervallet. Endepunktet tegnes med en tom cirkel, hvis det ikke er med i intervallet. Eksempel 10 Herunder ses nogle eksempler på begrænsede intervaller og den tilhørende skrivemåde. 18
19 UBEGRÆNSEDE INTERVALLER Et ubegrænset interval på en tallinje består af alle de tal, der ligger til højre eller til venstre for et givent tal. Denne type intervaller skrives sådan: 7 ; alle tal, der er større end eller lig med 7 2 ; alle tal, der er større end 2 ; 5 alle tal, der er mindre end eller lig med 5 ; 3 alle tal, der er mindre end 3 Symbolerne og læses 'uendelig' og ' minus uendelig'. De er ikke tal, men viser at intervallerne fortsætter i det uendelige til højre eller venstre på tallinjen. 19
20 Potenser og rødder Vi skal se, at potenser og rødder er to sider af samme sag, idet rødder kan udtrykkes ved potenser. REGNEREGLER FOR POTENSER OG RØDDER Herunder ses eksempler på regning med potenser af tallet (nogle af regningerne forudsætter at 0 1 Disse regneregler udtrykkes i bogstaver sådan: Potensregneregler 20
21 Eksemplerne ovenfor demonstrerer kun regnereglerne for positive hele værdier af eksponenterne og. Man ønsker at reglerne skal gælde for alle hele eksponenter, dvs. også for eksponenten 0 og negative eksponenter. Eksponent 0 Det ses ved at indsætte 0 i den første regneregel at 1 1 Negativ, hel eksponent I den første regel sætter vi 3 og 3 og får 1 1 Dette argument kan gennemføres for et hvilket som helst tal. så vi i almindelighed får at: 1 Der gælder f.eks. at ,
22 POTENSER MED BRØKEKSPONENT Nu indføres potenser, hvor eksponenten ikke er et helt tal, men en brøk. Det er f.eks. potenser af typen 2, Man kan f.eks. betragte potensen Efter den sidste regel er Derfor må der gælde at På samme måde er Derfor må der gælde at Man definerer nu at: Således er 5 5, 8 8, Nu betragtes potenser med eksponenter der er brøker, hvis tæller ikke er 1. Som eksempel bruges regnereglen 22
23 på potensen Man får: Det sidste lighedstegn fås ved brug af definitionen på. Desuden gælder at Generelt defineres derfor Et eksempel er Regnereglerne for de specielle potenser er sammenfattet herunder:
24 Ligninger I dette afsnit skal vi se på hvordan man løser førstegradsligninger med én ubekendt. En typisk problemstilling, der kan formuleres som en ligning er følgende: Det koster 15 kr. i gebyr at sende en pakke og 10 kr. pr. kg. Hvor tung en pakke kan man sende, hvis man har 575 kr.? Man kan opstille følgende ligning Dette er et eksempel på en førstegradsligning med een ubekendt. At løse ligningen vil sige at finde de værdier af, som passer i ligningen. OMFORMNINGS-REGLER FOR LIGNINGER Når man skal løse en ligning, dvs. finde den eller de værdier af den ubekendte, der passer i ligningen anvendes en række omformnings regler. Når man bruger disse regler ændres løsningen ikke, men man kan skrive ligningen på en simplere form, der gør det nemt at se hvad løsningen er. Omformnings reglerne er: 1. Man må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 2. Man må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 3. Man må gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet, bortset fra 0 4. Man må dividere på begge sider af lighedstegnet med det samme tal, bortset fra 0 24
25 Ligninger der fås af hinanden ved at bruge disse regler samt de almindelige reduktionsregler, kaldes ensbetydende, dvs. de har de samme løsninger. For at vise at to ligninger er ensbetydende bruger man tegnet, som er en pil, der peger begge veje. Man skriver f.eks fordi begge ligninger har løsningen 4 De to ensbetydende ligninger fremgår af hinanden ved at bruge omformningsreglerne. I dette tilfælde: Den sidste ligning fremgår af den første ved at trække 1 fra på begge sider. Den første ligning fremgår af den sidste ved at lægge 1 til på begge sider. Eksempel 11 I dette eksempel vises hvordan man bruger omformnings reglerne til at forsimple en ligning Gang ind i parentesen på venstre side Hæv parentesen på højre side Reducer begge sider Læg 6 til på begge sider Reducer begge sider Læg 8 til på begge sider Reducer begge sider. 25
26 21 3 Divider med 3 på begge sider Når man er vant til at løse ligninger, vil man ofte udelade nogle af mellemregningerne. F.eks Ligningen fra indledningen kan løses ved at bruge omformnings reglerne: Man kan derfor sende en pakke på 56 kg, hvis man har 575 kr. 26
27 Man kan også løse ligninger, hvor den ubekendte står i nævneren på en brøk. F.eks
28 Uligheder En ulighed opstår, når man mellem to tal eller bogstavudtryk sætter et ulighedstegn, dvs. et af følgende fire tegn: mindre end f.eks. 710, 2 9 større end f.eks. 5 11, 143 mindre end eller lig med f.eks. 88, 3 2 større end eller lig med f.eks. 72, 6 5 De to første er skarpe ulighedstegn, de to sidste er svage. Man benytter desuden ulighedstegn til at angive tal, der på tallinjen ligger mellem to bestemte tal, dvs. et interval. F.eks hvilket læses x ligger mellem 4 og 10 inklusive At løse en ulighed vil sige at angive de værdier af, som passer i uligheden, dvs. gør den sand. I uligheden er 5 en løsning, fordi 5 passer: er sandt men 2 er ikke en løsning, da er falsk 28
29 Man kan måske se, at løsningerne er alle værdier af, som er større end eller lig med 4, dvs. løsningerne er 4 OMFORMNINGSREGLER FOR ULIGHEDER Omformningsreglerne ligner dem for ligninger : 1. Man må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 2. Man må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 3. Man må gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet, bortset fra 0 4. Man må dividere på begge sider af lighedstegnet med det samme tal, bortset fra 0 Men der er een vigtig ekstra regel: Når man ganger eller dividerer med et negativt tal, skal man vende ulighedstegnet. Den ekstra regel kan forklares ved at se på nogle eksempler. Se på den sande ulighed 12 8 Hvis man ganger med 3 på begge sider eller dividerer med 2 på begge sider fås igen sande uligheder: og
30 Se på den sande ulighed 18 6 Hvis man ganger med 2 på begge sider eller dividerer med 3 på begge sider uden af vende ulighedstegnet fås: Disse to uligheder er falske og 6 2 Man får sande uligheder ved at vende ulighedstegnet om: og 6 2 Dette forklarer hvorfor man skal vende ulighedstegnet om, når man ganger eller dividerer med et negativt tal. Eksempel 12 Vi løser et par simple uligheder, og vælger at skrive udregningerne op under hinanden:
31 Eksempel 13 Vi løser en ulighed ved at bruge omfornings reglerne: Løsningerne er derfor alle tal som er mindre end eller lig med 2. Dette er den såkaldte løsningsmængde som kaldes for, og kan skrives ;2 Løsningsmængden kan vises på en tallinje: 31
32 Formler Vi har allerede set på formlen for trekantens areal: Hvor er grundlinjen og er højden. 1 2 Der findes andre nyttige formler fra geometri, som man bør kende. Cirkelarealet: Cirkelomkredsen: 2 Hvor og er cirklens radius. 32
33 Den krumme overflade på en cylinder: 2 Volumen af cylinder: Hvor er højden af cylinderen. For at finde hele overfladen af cylinderen skal man lægge arealet af de to cirkler i enderne sammen med arealet af den krumme overflade. I science kan man finde denne her slags formler: hvor er massefylde (densitet), er masse og er volumen af en eller anden genstand eller en væske. hvor er fart, er afstand og er tid. De bogstaver, der optræder i en formel kaldes også for formlens variable. 33
34 Formler kan omskrives. F.eks. kan formlen omskrives på disse måder: Den størrelse som står alene på den ene side af lighedstegnet siges at være isoleret. Eksempel 14 Hvis en sten har massen 20 g og massefylde 2 stenens volumen så? hvor stort er 20 g 2 10 cm Eksempel 15 En cirkel har en omkreds 60 cm. Hvor stor er cirklens radius? cm cm 34
35 Eksempel 16 En cirkel har arealet 25 cm. Hvor stor er cirklens radius? cm Hvis man synes det er for indviklet at omskrive formler, kan man også sætte alle tal man kender ind først: Fordelen ved at omskrive til en færdig formel er, at man slipper for at lave hele udregningen forfra hver gang. 35
36 Kapiteloversigt 1 Regningsarternes rækkefølge 1. Potensopløftning og rodudragning. 2. Multiplikation og division. 3. Addition og subtraktion. Parenteser Parenteser sættes for at ophæve regningsarternes normale rækkefølge. Plusparenteser : fjernes uden videre. Minusparenteser: fjernes ved at skifte fortegn for leddene i parentesen. Brøker Regel Formulering Symbolsk Forlængning af en brøk Tæller og nævner ganges med samme tal Forkortning af en brøk Multiplikation af en brøk med et tal Multiplikation af en brøk med en brøk Tæller og nævner divideres med samme tal Tælleren ganges med tallet Tæller ganges med tæller og nævner med nævner : : Division af en brøk med et tal Nævneren ganges med tallet : 36
37 Division af et tal med en brøk Man ganger med den omvendte brøk Division af brøk med en brøk Man ganger med den omvendte brøk : Talsystemet de naturlige tal 1,2,3 : de hele tal, 3, 2, 1, 0, 1, 2,3, Q : de rational tal : de reelle tal Alle tal, der kan skrives som brøker Alle tal på tallinjen Ligninger 1. Man må lægge det samme tal til på begge sider af lighedstegnet. 2. Man må trække det samme tal fra på begge sider af lighedstegnet. 3. Man må gange med det samme tal på begge sider af lighedstegnet, bortset fra 0 4. Man må dividere på begge sider af lighedstegnet med det samme tal, bortset fra 0 Uligheder Omformningsreglerne er de samme som for ligninger, men hvis man ganger eller dividerer med et negativt tal, skal man vende ulighedstegnet. 37
38 2. Funktioner Koordinat systemet Funktionsbegrebet Regneforskrift for en funktion Definitions og værdimængde Elementære funktioner Monotoniforhold Grafisk løsning af ligninger og uligheder Generelt om funktioner Koordinat systemet Det sædvanlige koordinat system i planen består af to tallinjer, der står vinkelret på hinanden i deres fælles nulpunkt. Den ene, aksen. er orienteret mod højre, den anden aksen opad. Ved hjælp af koordinat akserne kan punkter i planen forsynes med koordinatsæt (også kaldet koordinater). Man nævner koordinaten først. På fig. 1 er afsat nogle punkter og koordinaterne er angivet. Koordinatakserne deler planen i 4 dele, de såkaldte kvadranter. De nummereres i omløbsretning mod uret som vist på fig. 1 med romertal. 38
39 Figur 1. 39
40 Funktions begrebet Vi forklarer funktionsbegrebet ved at se på nogle eksempler, der viser tankegangen og fastlægger bestemte udtryk. 1. Et taxifirma tager 20 kr. i startgebyr og 17 kr. pr. km for at køre. Hvad koster det at køre 8 km? hvor langt kan man køre for 200 kr.? 2. Der hældes kogende vand på en termokande (100. Temperaturen af vandet aftager med 5 i timen. Hvor varmt er vandet efter 3 timer? Hvornår er temperaturen faldet til 70? Den uafhængige variabel Begge eksempler indeholder en størrelse, vi frit kan vælge værdier for. Den kaldes den uafhængige variabel. Den uafhængige variabel er i de to eksempler: det kørte antal kilometer antal timer efter at vandet er hældt på kanden Man bestemmer selv, hvor langt man vil køre og man bestemmer selv, hvornår man vil måle temperaturen. 40
41 Den afhængige variabel Begge eksempler har også en størrelse, som ikke kan vælges frit. Den afhænger af den frit valgte variabel. Den størrelse, der ikke kan vælges frit kaldes den afhængige variabel og er i de to eksempler: Prisen for at køre et bestemt antal kilometer Vandets temperatur I hvert af eksemplerne er der tale om en funktion, Vi siger at : prisen er en funktion af kilometerantallet vandtemperaturen er en funktion af antallet af timer I almindelighed siger man at: den afhængige variabel er en funktion af den uafhængige. REGNEFORSKRIFT De funktioner, vi skal arbejde med er stort set altid fastlagt ved deres regneforskrifter. Man kan finde regneforskriften ved at udskifte en fast værdi af den uafhængige variabel med et. 1. Hvis man kører 8 km med taxifirmaet skal man betale kr. Hvis man kører km, skal man betale kr. Man siger så, at man har fundet en regneforskrift for funktionen. 41
42 Hvis angiver prisen, er sammenhængen mellem prisen og kilometer tallet : Det er praktisk at give funktionen et navn, og man bruger tit bogstaverne, og til dette. Altså kan man skrive: Hvis man kører 8 km med taxaen skriver man: og man siger at funktionsværdien af 8 er 156. Hvis man har 200 kr. kan man regne ud, hvor langt man kan køre: Derfor kan man køre km, hvis man har 200 kr. 42
43 2. Vandets temperatur i kanden falder med 5 i timer, så efter 3 timer er temperaturen og efter timer er den på samme måde som før kan man navngive: og En temperatur på 70 svarer til at 70. Derfor gælder der at: Det er derfor efter 6 timer at temperaturen er 70 43
44 Eksempel 1 En funktion er givet ved forskriften 52 Funktionsværdierne udregnes ved at erstatte med et tal. F.eks. fås funktionsværdierne af 3 og 4 sådan: Man kan opstille en tabel over funktionsværdier: Grafisk billede Vi ser igen på eksemplet med funktionen, der angiver temperaturen af vandet i termokanden: Som vist i eksempel 1 kan man opstille en tabel over sammenhørende værdier af og : Vi afsætter disse punkter i et koordinat system, dvs. vi afsætter punkterne 0,100, 1,95, 2,90, og trækker en streg igennem, som vist på fig. 2 44
45 Figur 2. Grafen kan også tegnes med CAS, det er nemmere end at tegne den ind på papir. Det viser sig at punkterne ligger på en ret linje, og hvis vi udvider tabellen med flere punkter vil de også ligge på samme linje. Den rette linje kaldes funktionens grafiske billede eller graf. 45
46 På fig 3. er vist grafen for funktionen, der angiver prisen for at køre km med taxifirmaet. Grafen er tegnet med CAS Figur 3. 46
47 DEFINITIONS- OG VÆRDIMÆNGDE For funktionen ovenfor har det ingen mening at fortsætte grafen til venstre for aksen man kan jo ikke køre et negativt antal kilometer. Man kan også vælge at begrænse sin kørsel til f.eks. 400 km Altså bruges der kun værdier mellem 0 og 400. Man siger at: og man skriver Definitions mængden for er 0 ; 400 Dm 0 ; 400 På samme måde med funktionen, der angiver temperaturen af vandet i kanden. Et negativt antal timer giver ingen mening. Hvis stuetemperaturen er 20 standser afkølingen, når vandet har denne temperatur, hvilket sker efter 16 timer. Derfor er definitionsmængden for alle tal mellem 0 og 16 inklusive : Dm 0 ; 16 I almindelighed har man følgende definition: Definition. Definitions mængden for en funktion består af alle de talværdier, som den uafhængige variabel kan have. Den kaldes for Dm. Definitions mængden angiver grafens udstrækning i aksens retning 47
48 Det har også interesse at se på de værdier af som bruges. I eksemplet med taxikørslen, var køreturen blevet begrænset til 400 km kr. Da man jo mindst skal betale 20 kr. er der brug for værdier mellem 20 kr. og 6820 kr. Dette interval kaldes funktionens værdimængde og man skriver Vm 20 ; 6820 I almindelighed har man følgende definition: Definition. Værdimængden for en funktion består af alle de talværdier, som den afhængige variabel kan have. Den kaldes for Vm. Værdimængden angiver grafens udstrækning i aksens retning 48
49 Eksempel 2 På fig. 4 er tegnet det grafiske billede af en funktion. Figur 4. Man kan aflæse definitions og værdimængden : Dm 1; 12 Vm 4; 6 Desuden kan man aflæse forskellige funktionsværdier, f.eks. 2 2, 7 1,
50 Man har så følgende definition på en funktion: Definition En funktion er en forskrift, der opfylder følgende: Til hver værdi af i definitions mængden svarer præcis et tal i værdimængden. Tallet kaldes funktionsværdien af, og man skriver 50
51 Nogle elementære funktioner KVADRAT-FUNKTIONEN Ved kvadratet på et tal forstås tallets 2. potens. Den såkaldte kvadrat funktion har forskriften og dens definitions mængde er alle reelle tal. Grafen ses på fig. 5, den kan tegnes med CAS. Grafen kaldes en parabel. Det ses at Vm 0 ; Parabler optræder mange stedet i naturen og i teknikken. Eksempelvis følger en bold som kastes, en riffelkugle og vandstrålen fra et springvand alle en parabelformet bane. Parabler bruges også i konstruktionen af broer og andre former for bygningsværker. Figur 5. 51
52 KVADRATRODS-FUNKTIONEN Alle positive tal har en kvadratrod. Kvadratroden af et positivt tal er det positive tal, der ganget med sig selv giver. F.eks. er 25 5 fordi og 49 7 fordi Desuden har 0 en kvadratrod: 0 0 fordi 0 0 Negative tal har ikke kvadratrødder, fordi et tal i 2. potens er positivt eller 0. Vi ser her på kvadratroden som funktion: Tabelværdier: Grafen for kvadratrods funktionen ses på fig. 6 52
53 Figur 6. 53
54 RECIPROKFUNKTIONEN At to tal er reciprokke betyder at de ganget med hinanden giver 1. Nogle eksempler på reciprokke tal er 2 og 0.5, 4 og 0.25, 5 og 0.2 det reciprokke tal til er fordi På lommeregneren findes en reciproktast. Funktionens graf kan tegnes med CAS. Grafen ses på fig. 7. Den kaldes en hyperbel. De to dele af grafen kaldes for de to grene. Figur 7. 54
55 Funktioners monotoniforhold I dette afsnit indføres begreberne voksende, aftagende og konstant funktion og desuden forklares begrebet monotoni interval. Endelig skal vi se på funktioners såkaldte maksimum og minimum, dvs. mulige største og mindsteværdier for funktioner. VOKSENDE, AFTAGENDE OG KONSTANT FUNKTION Vi ser på den funktion, hvis graf er angivet på fig. 8. For denne funktion gælder: større og større værdier giver større og større funktionsværdier ( værdier). En sådan funktion kaldes voksende. Det ses, at hvis man går mod højre på aksen gennem større og større tal, så vil værdierne også blive større og større. Figur 8. 55
56 På fig. 9 er tegnet grafen for en funktion, for hvilken der gælder: større og større værdier giver mindre og mindre funktionsværdier ( værdier). En sådan funktion kaldes aftagende. Hvis vi løber mod højre på aksen gennem større og større tal, vil de tilsvarende værdier blive mindre og mindre. Figur 9. Endelig kaldes en funktion konstant, hvis alle funktionsværdier er ens. Grafen er så en vandret linje. 56
57 MONOTONI-INTERVALLER Man kan opdele definitions mængden i såkaldte monotoni intervaller, hvor funktionen er voksende, aftagende eller konstant. Den funktion, hvis graf ses på fig. 10 har tre monotoni intervaller, idet man vælger monotoni intervallerne så store som muligt: er voksende i 1; 5 og 9; 12 er aftagende i 5; 9 Figur 10. Når man opskriver funktionens monotoni intervaller og angiver om funktionen er voksende, aftagende eller konstant i intervallet, har vi anført dens monotoniforhold. 57
58 Læg mærke til følgende: Monotoni intervaller aflæses udelukkende på aksen. Funktionens værdier på aksen indgår slet ikke. De punkter, hvor to monotoni intervaller støder sammen, medregnes til dem begge. MAKSIMUM OG MINIMUM I mange tilfælde har en funktion en størsteværdi og/eller en mindsteværdi, også kaldet maksimum og minimum. På fig. 10 er den største funktionsværdi 6 og den mindste funktionsværdi er 3 Man siger at: har et maksimum på 6 som antages for 12 har et minimum på 3 som antages for 9 58
Eksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6
Læs mereEksponentielle sammenhænge
Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller
Læs mereKapitel 5 Renter og potenser
Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95
Læs mereFunktioner. 1. del Karsten Juul
Funktioner 1. del 0,6 5, 9 2018 Karsten Juul 1. Koordinater 1.1 Koordinatsystem... 1 1.2 Kvadranter... 1 1.3 Koordinater... 2 1.4 Aflæs x-koordinat... 2 1.5 Aflæs y-koordinat... 2 1.6 Koordinatsæt... 2
Læs mereH Å N D B O G M A T E M A T I K 2. U D G A V E
H Å N D B O G M A T E M A T I K C 2. U D G A V E ÁÒ ÓÐ Indhold 1 1 Procentregning 3 1.1 Delingsprocent.............................. 3 1.2 Vækstprocent.............................. 4 1.3 Renteformlen..............................
Læs mereKompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard
Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...
Læs mereOprids over grundforløbet i matematik
Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere
Læs mereKapital- og rentesregning
Rentesregning Rettet den 28-12-11 Kapital- og rentesregning Kapital- og rentesregning Navngivning ved rentesregning I eksempler som Niels Oles, hvor man indskyder en kapital i en bank (én gang), og banken
Læs mereGrundlÄggende variabelsammenhänge
GrundlÄggende variabelsammenhänge for C-niveau i hf 2014 Karsten Juul LineÄr sammenhäng 1. OplÄg om lineäre sammenhänge... 1 2. Ligning for lineär sammenhäng... 1 3. Graf for lineär sammenhäng... 2 4.
Læs mereKapitel 3 Lineære sammenhænge
Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereEksponentielle funktioner for C-niveau i hf
Eksponentielle funktioner for C-niveau i hf 2017 Karsten Juul Procent 1. Procenter på en ny måde... 1 2. Bestem procentvis ændring... 2 3. Bestem begyndelsesværdi... 2 4. Bestem slutværdi... 3 5. Vækstrate...
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs merematx.dk Enkle modeller
matx.dk Enkle modeller Dennis Pipenbring 28. juni 2011 Indhold 1 Indledning 4 2 Funktionsbegrebet 4 3 Lineære funktioner 8 3.1 Bestemmelse af funktionsværdien................. 9 3.2 Grafen for en lineær
Læs mereProcent og rente Karsten Juul
Procent og rente 2018 Karsten Juul 1. Procent 1.1 Oplæg til procent... 1 1.2 Udregn procent... 2 1.3. Udregn procent-ændring... 2 1.4 Udregn procent-fald... 3 1.5 Udregn procent-stigning... 3 1.6. Udregn
Læs mereKapitel 7 Matematiske vækstmodeller
Matematiske vækstmodeller I matematik undersøger man ofte variables afhængighed af hinanden. Her ser man, at samme type af sammenhænge tit forekommer inden for en lang række forskellige områder. I kapitel
Læs mereMatematik. Grundforløbet. Mike Auerbach (2) Q 1. y 2. y 1 (1) x 1 x 2
Matematik Grundforløbet (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Mike Auerbach Matematik: Grundforløbet 1. udgave, 2014 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs mereLouise F Jensen MATEMATIK. VUC Roskilde
Louise F Jensen VUC Roskilde 1 INDHOLD Potensregneregler... 2 Kvadratrod... 3 Algebra... 3 Ligninger... 3 Ulighedstegn i ligning... 4 Brøker... 4 Procent... 5 Indextal... 6 Rentesregning... 6 Geometri...
Læs mereMatematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014
Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)
Læs mereStart-mat. for stx og hf Karsten Juul
Start-mat for stx og hf 0,6 5, 9 2017 Karsten Juul Start-mat for stx og hf 2017 Karsten Juul 1/8-2017 (7/8-2017) Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj, 2017 Kolding
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Maj-juni 2015 VUCHA Hf-2 Matematik-C Ivan Jørgensen(itj) Hold
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Ligning med + - / hvor x optræder 1 gang... 3 IT-programmer
Læs merebrikkerne til regning & matematik funktioner preben bernitt
brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ preben bernitt brikkerne til regning & matematik funktioner 2+ beta udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-32-9 2009 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne
Læs mereMatematik Grundforløbet
Matematik Grundforløbet Mike Auerbach (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1) Matematik: Grundforløbet 2. udgave, 2015 Disse noter er skrevet til matematikundervisning i grundforløbet på stx og kan frit anvendes
Læs mere-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1
En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb) Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau
Læs mereFunktioner. 2. del Karsten Juul
Funktioner 2. del 2018 Karsten Juul 18. Eksponentiel funktion forskrift 18.1 Oplæg nr. 1 til forskrift for eksponentiel funktion... 52 18.2 Oplæg nr. 2 til forskrift for eksponentiel funktion... 53 18.3.
Læs mereKapitel 2 Tal og variable
Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2018 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France Hold
Læs mereDecimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal
Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat8 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Januar 2015 VUCHA Hf-Flex Matematik-C Ivan Tønner Jørgensen(itj)
Læs mereFunktioner - supplerende eksempler
- supplerende eksempler Oversigt over forskellige typer af funktioner... 9b Omvendt proportionalitet og hyperbler... 9c Eksponentialfunktioner... 9e Potensfunktioner... 9g Side 9a Oversigt over forskellige
Læs mereProcent- og rentesregning
Procent- og rentesregning Indhold Procent... 1 Renteformlen, fremskrivningsfaktor, rentefod og vækstrate... 1 Forklaring af ordet fremskrivningsfaktor... 2 Beregning af K 0... 2 Beregning af r og gennemsnitlig
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2016 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Bodil Krongaard
Læs mereSymbolsprog og Variabelsammenhænge
Indledning til Symbolsprog og Variabelsammenhænge for Gymnasiet og Hf 1000 kr 500 0 0 5 10 15 timer 2005 Karsten Juul Brugsanvisning Du skal se i de fuldt optrukne rammer for at finde: Regler for løsning
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj / juni 2014 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2019 Institution Vestegnen HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HF Matematik C Leif Djurhuus,
Læs mereFærdigheds- og vidensområder
Klasse: Mars 6./7. Skoleår: 16/17 Eleverne arbejder med bogsystemet format, hhv. 6. og 7. klasse. Da der er et stort spring i emnerne i mellem disse trin er årsplanen udformet ud fra Format 7, hvortil
Læs mereDecimaltal, brøker og procent Negative tal Potens, rødder og pi Reelle og irrationale tal
Navn: Nr.: Klasse: Prøvedato: mat7 Noter: Kompetencemål efter 9. klassetrin Eleven kan anvende reelle tal og algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser Tal og algebra Tal Titalssystem Decimaltal, brøker
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2015 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C Signe Skovsgaard
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2011 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2016 VUCHA Hf-2 og Hf-Enkeltfag Matematik-C Anders
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni 2019 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik C Anne Birte
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereStart pä matematik. for gymnasiet og hf. 2010 (2012) Karsten Juul
Start pä matematik for gymnasiet og hf 2010 (2012) Karsten Juul Til eleven Brug blyant og viskelåder när du skriver og tegner i håftet, sä du fär et håfte der er egnet til jåvnligt at slä op i under dit
Læs mereFunktioner og ligninger
Eleverne har både i Kolorit på mellemtrinnet og i Kolorit 7 matematik grundbog arbejdet med funktioner. I 7. klasse blev funktionsbegrebet defineret, og eleverne arbejdede med forskellige måder at beskrive
Læs mereMATEMATIK C. Videooversigt
MATEMATIK C Videooversigt Deskriptiv statistik... 2 Eksamensrelevant... 2 Eksponentiel sammenhæng... 2 Ligninger... 3 Lineær sammenhæng... 3 Potenssammenhæng... 3 Proportionalitet... 4 Rentesregning...
Læs mereRegning. Mike Vandal Auerbach ( 7) 4x 2 y 2xy 5. 2x + 4 = 3. (x + 3)(2x 1) = 0. (a + b)(a b) a 2 + b 2 2ab.
Mike Vandal Auerbach Regning + 6 ( 7) (x + )(x 1) = 0 x + = 7 + x y xy 5 7 + 5 (a + (a a + b ab www.mathematicus.dk Regning 1. udgave, 018 Disse noter er en opsamling på generelle regne- og algebraiske
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) VUF - Voksenuddannelsescenter Frederiksberg Hf
Læs mereMatematik c - eksamen
Eksamensnummer: 101364 - Fjernkursist side 1 af 13 Matematik c - eksamen Opgave 1) a) Jeg får af vide, at et par har vundet i Lotto og ønsker at sætte 100.000 kr. ind på en opsparingskonto. I Bank A kan
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka
Læs mereLærervejledning til Træn matematik på computer. Lærervejledning. Træn matematik på computer. ISBN 978-87-992954-5-6 www.learnhow.dk v/rikke Josiasen
Lærervejledning Træn matematik på computer Materialet består af 31 selvrettende emner til brug i matematikundervisningen i overbygningen. De fleste emner består af 3 sider med stigende sværhedsgrad. I
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold April 2019 KBHSYD HF&VUC Hf enkeltfag Matematik-C Ivan
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 200/2010 Institution Herning HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hf Matematik C, HF Johnny
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommer 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby Hf Matematik C Ashuak Jakob France
Læs mereLøsninger til eksamensopgaver på B-niveau maj 2016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 4
Opgave 1: Løsninger til eksamensopgaver på B-niveau 016 4. maj 016: Delprøven UDEN hjælpemidler 4 3x 6 x 3x x 6 4x 4 x 1 4 Opgave : f x x 3x P,10 Punktet ligger på grafen for f, hvis dets koordinater indsat
Læs mereRepetition til eksamen. fra Thisted Gymnasium
Repetition til eksamen fra Thisted Gymnasium 20. oktober 2015 Kapitel 1 Introduktion til matematikken 1. Fortegn Husk fortegnsregnereglerne for multiplikation og division 2. Hierarki Lær sætningen om regnearternes
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Maj-juni 2018 Skoleår 2017/2018 Thy-Mors HF & VUC Hfe Matematik,
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin August 2014 - Juni 2015 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Herning HF og VUC Hf Matematik
Læs merei tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time
ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Maj 2011 Institution Handelsskolen Tradium, Hobro afd. Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hhx Matematik A Kenneth Berg k708hhxa3 Oversigt over gennemførte undervisningsforløb
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Dec-Jan 2017 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe MATEMATIK C Peter Ove Jørgensen
Læs mereUge Emne Formål Faglige mål Evaluering
Uge Emne Formål Faglige mål Evaluering (Der evalueres løbende på følgende hovedpunkter) 33-36 Regneregler Vedligeholde og udbygge forståelse og færdigheder inden for de fire regningsarter Blive fortrolig
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December-januar 15/16 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hfe Matematik C
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj-juni, 17/18 Institution Horsens HF og VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HFe Matematik C Mette
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/Juni 2018 Institution Hf og VUC København Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf Matematik C Novo
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereVariabel- sammenhænge
Variabel- sammenhænge 2008 Karsten Juul Dette hæfte kan bruges som start på undervisningen i variabelsammenhænge for st og hf. Indhold 1. Hvordan viser en tabel sammenhængen mellem to variable?... 1 2.
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj/juni 2016 Institution HF & VUC Nordsjælland, Hillerød afdeling Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold
Læs mereLineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul
Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Sommertermin, skoleår 15-16 Institution HF &VUC København Syd Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf-2
Læs mereLektion 1. Tal. Ligninger og uligheder. Funktioner. Trigonometriske funktioner. Grænseværdi for en funktion. Kontinuerte funktioner.
Lektion Tal Ligninger og uligheder Funktioner Trigonometriske funktioner Grænseværdi for en funktion Kontinuerte funktioner Opgaver Tal Man tænker ofte på de reelle tal, R, som en tallinje (uden huller).
Læs mereProjekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter (især for B- og A-niveau)
Projekt 2.9 Sumkurver som funktionsudtryk anvendt til Lorenzkurver og Ginikoefficienter En sumkurve fremkommer ifølge definitionen, ved at vi forbinder en række punkter afsat i et koordinatsystem med rette
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 2019 Institution VUC Lyngby Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold GSK Matematik B Sami Hassan Al-beik
Læs mereSammenhæng mellem variable
Sammenhæng mellem variable Indhold Variable... 1 Funktion... 2 Definitionsmængde... 2 Værdimængde... 2 Grafen for en funktion... 2 Koordinatsystem... 3 Koordinatsæt... 4 Intervaller... 5 Løsningsmængde...
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj- juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik C Lene Thygesen
Læs mereAsymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul
Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2019 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Vestegnen, Albertslund Gymnasievej 10, 2620
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Maj juni 2012 Institution Campus Vejle Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HHX Matematik B Ejner Husum
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: maj-juni 2012 Københavns
Læs merePeterSørensen.dk : Differentiation
PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3
Læs mereFunktioner. 3. del Karsten Juul
Funktioner 3. del 019 Karsten Juul Funktioner 3. del, 019 Karsten Juul 1/9-019 Nyeste version af dette hæfte kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Hæftet må benyttes i undervisningen hvis læreren
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Januer-maj 15 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold hfe Matematik C Glenn Aarhus
Læs mereÅrsplan matematik 8. klasse
Årsplan matematik 8. klasse 2019-2020 Eleverne arbejder med grundbogen Matematrix 8. I undervisningen inddrages digitale undervisningsredskaber såsom Geogebra, Wordmat, MatematikFessor, emat, excel og
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Beskrivelse af det enkelte undervisningsforløb (1 skema for hvert forløb) Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2017/2018 med eksamen maj-juni
Læs mereEksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst
Eksamensspørgsmål: Eksponentiel vækst Indhold Definition:... Eksempel :... Begndelsesværdien b... Fremskrivningsfaktoren a... Eksempel :... Formlerne for a og b... 3 Eksempel 3:... 3 Bevis for formlen
Læs mereRentesregning. Dine drømme er kun et klik væk... Lån op til 25.000 kr. nu
Rentesregning Vi skal kigge på hvordan en lille rente kan have stor betydning på den samlede gæld. Vi skal kigge på lånetyper og opsparings samt gældsformlerne. Version 2.1 Sct. Knud Henrik S. Hansen Dine
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf2 Matematik C Laila Knudsen 1a ma Oversigt over gennemførte undervisningsforløb Forløb
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 11/12 Institution VUC Holstebro-Lemvig-Struer Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Hf/hfe Matematik
Læs mereUndervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter
Undervisningsbeskrivelse & Oversigt over projektrapporter Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Vinter 2016 Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold VUC Lyngby
Læs mereDifferentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009)
Differentialregning med TI-Interactive! Indledende differentialregning Tangenter Monotoniforhold og ekstremum Optimering Jan Leffers (2009) Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse...2 Indledende differentialregning...3
Læs mereUndervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Juni 2011 Institution Frederikshavn Handelsgymnasium Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) HHX Matematik B Niels
Læs mereMatematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss
Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver
Læs mereAnvendt litteratur : Mat C v. Bregendal, Nitschky Schmidt og Vestergård, Systime 2005
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin juni 2011 Institution Campus Bornholm Uddannelse Fag og niveau Lærer Hold Hhx Matematik C Peter Seide 1AB
Læs mere