Vridning, hvælving og kipning

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Vridning, hvælving og kipning"

Transkript

1 Vridning, vælving og kipning april 17/LC Vridning vælving og kipning 1

2 Vridning, vælving og kipning april 17/LC Indold 1 Hvælvingsinertimoment. 1.1 Teoretisk udledning for et U-profil. 1. Taelværdier 1.3 Eksempel med et H-profil. 1. Eksempel med et Z-profil. Fri vridning.1 Massive tværsnit. Åne tyndfligede tværsnit..3 Lukkede tyndfligede tværsnit.. Eksempler. 3 Bunden vridning 3.1 Teori 3. Spændinger. 3.3 Deformationer. 3. Kolede systemer. 3.5 Eksempel. Kipning.1 Teori. Åne tyndfligede tværsnit..3 Forskellige metoder 1H l i i ti t

3 Vridning, vælving og kipning april 17/LC 1. Hvælvingsinertimoment. 1.1 Teoretisk udledning for et U-profil. Hvælvingsinertimoment : For et U - profil kan vælvingsinertimomentet udregnes således: Ved en vridning af profilet omkring en z - akse vinkelret ud af planet, vil strækningen ds få en flytning i xy - planet. Strækningen ds vil også deformere sig i z -aksens retning. Denne deformation kaldes vælving, og vil ave deformationsfifur som deformationen i xy - planet. Stiveden mod denne deformation i z - aksens retning afænger af Hvælvingsinertimomentet, der er defineret således: I w = ω as ω s tds. ω s og ω as defineres på de næste sider. ω s udregnes for flangerne og kroppen ver for sig. m Underflange: Krop: s ω s1 = rds= d = s s ω s = = c d s c c s Overflange: ω s3 = c s d = s c 3

4 Vridning, vælving og kipning april 17/LC ω s1 defineres som det doelte areal af det skraverede område: ω s1 regnes positiv, da retningen s giver en rotation om O mod urets retning. Størrelsen på arealet liver er: som lige er det alve af værdien af ω s1, i jørnet, der er når s =. ω s kan defineres som det doelte areal af det skraverede område: ω s regnes negativ, da retningen s giver en rotation om O med urets retning. Størrelsen på arealet liver er: c. Ved udregning af ω s skal man starte med den positive værdi, der findes for s = og tillægge den negative værdi for ω s, der afænger af s. En tilsvarende etragtning kan gøres for ω s3, der også vil give et positivt idrag, da retningen af s vil give en rotation om O mod urets retning ω s3 = c. Den gennemsnitlige værdi af ω s. kaldes ω as og udregnes således: = ω as 1 m ω s1 ds ω s ds ω d s3 s = ω as 1 ds c cds c ds = ω as c 3 c ω as = 1 ( c)

5 Vridning, vælving og kipning april 17/LC Hvælningsinertimomentet: I w = ω as ω s tds, vor m er ele strækningen s, som er den samlede længde af flanger og krop. m = I w1 d ω as ω s1 t s I w = d ω as ω s t s I w3 = d ω as ω s3 t s I w =I w1 I w I w3 I w1 = 1 d ( c) t t s I w1 = 3 c 3 c 1 = I w 1 ( c) c c tds = I w c 3 t 1 I w3 = 1 d ( c) c t t s I w3 = 3 c 3 c 1 I w3 = 1 1 t 3 1 t c 1 t c I w =I w1 I w I w3 I w = 1 6 t 3 1 t c 1 t c c Med for et U-profil, ar vi placeringen af forskydningscentrum: c = 3 6 I w = 1 6 t 3 3 t 9 ( 6 ) t 3 ( 6 ) 3 t ( 6 ) = I w 1 1 t 3 ( 3 ) ( 6 ) 5 5

6 Vridning, vælving og kipning april 17/LC Nedenfor er angivet forskellige værdier for vridningsinertimomenter og vælvingvinertimomenter taellagt. Vridningsinertimoment kaldes er for J, mens vælvingsinertimoment kaldes for C w. 1. Taelværdier 6

7 Vridning, vælving og kipning april 17/LC Hvælvingsinertimomentet findes for et H-profil og et Z-profil som vist nedenfor. Dette kan gøres uden at udføre de elt store eregninger. Værdierne kan findes foroldvis let ved at etragte udledningerne for et U-profil 1.3 Eksempel med et H-profil I w = 1 6 t 3 1 t c 1 t c c t H-profilet opdeles i U-profifer med c=, =/: = I w 1 6 t 3 1 t 1 t t = I w 1 t 3 7

8 Vridning, vælving og kipning april 17/LC 1.3. H-profil. Beregning uden integraler. Det doelte svøte areal: ω s forløer som følger: ω s ω s - ω as ω s for nederste venstre flange: starter med og slutter med positivt idrag. ω s for nederste øjre flange: starter med og slutter med = positivt 1 idrag. ω s for kroppen: starter med og slutter med. ω s for øverste øjre flange: starter med og slutter med = negativt 1 idrag ω s for øverste venstre flange: starter med og slutter med = 1 positivt idrag. Den gennemsnitlige værdi ω as er. ω as ω s varierer fra i venstre side af underflangen til - i øjse side af undersflangen. Omvendt for overflangen. ω as ω s t liver da paraler med værdien t i alle jørnepunkter. 16 Arealet af disse paraler er vælvingsinertimomentet I w = = t ω as ω s t 8

9 Vridning, vælving og kipning april 17/LC 1. Eksempel med et Z-profil. Løsning uden intergraler = ω as 1 = ω as ( ) ( ) 9

10 Vridning, vælving og kipning april 17/LC Løsning med integraler s Underflange: ω = s1 rds= d =. s s s Krop: ω s = = =, da c =. c d s c c Overflange: ω s3 = d =. s Gennemsnit: = ω as 1 m s ω s1 ds ω s ds ω d s3 s = ω as 1 ds ds ds = ω as 1 ( ) ( ) I w =I w1 I w I w3 I w = ω as ω s1 tds ω as ω s tds d ω as ω s3 t s I w1 = 1 d = ( ) t s 1 ( ) 1 t 3 ( ) = I w 1 ( ) ( ) 3 tds= 1 t ( ) I w3 = 1 d = ( ) t s 1 ( ) 1 t 3 ( ) I w = 1 1 t 3 1 ( ) t 3 1 ( ) 1 t 3 ( ) = I w 1 1 t 3 ( ) ( ) 1

11 Vridning, vælving og kipning april 17/LC. Fri vridning..1 Massive tværsnit. Rektangel > I vr = = τ max 3 T 1.6 Cirkel = I vc π r = τ max T π r 3 Ligesidet trekant = I vt 6. = τ max T 3. Åne tyndfligede tværsnit. T= G I v ϕ L I v = 1 n 3 k 3 l i t i τ i = T t i i= 1 I v = I v T t i τ i Såfremt der antages konstant forskydningsspænding i de yderste % af flangerne, kan vridningsinertimomentet udledes til at være som angivet nedenfor. Dette giver et resultat meget tæt på den generelle formel. 11

12 Vridning, vælving og kipning april 17/LC.3 Lukkede tyndvæggede tværsnit. F1=τ 1 Δ t 1 F=τ Δ t τ 1 t 1 =τ t q=τ t=konstant Et lukket tværsnit etragtes. Tykkelsen enævnes t. Omkredsen målt langs centerlinien af godstykkelse enævnes l. Der vælges et vilkårligt punkt P inde i tværsnittet, som der tages moment om. Dette moment T er vridningsmomentet. da= t ds F= τ da dm=a ( τ da) =a τ t ds T= 1 d M T= a τ tds l T= q a d s a ds=  l  er således det areal, der dannes af tværsnitsvæggenes centerlinie. l T= T q Â= τ t  τ = t  = τ max T t min  Deformationen af tværsnittet som følge af vridningen etragtes ud fra arejdsligningen. Arejdsligningen 1 ϕ= τ1 τ G dv ϕ = τ G 1

13 Vridning, vælving og kipning april 17/LC Med T=1 får man τ1 = 1 t  dv= L t ds τ1 = 1 t  τ = T t  Disse 3 ligninger indsættes i 1 ϕ= τ1 τ G dv l 1 t  T l t  ϕ= dv ϕ= T L 1 ds = T L G G  t G I v I v er vridningsinertimomentet. = I v  l 1 ds t = I v  1 t l ds 1..1 Lukkede tyndvæggede tværsnit. Eksempel 1. For et cirkulært rør med radius r giver formlen: = I v 1 π r π r t = I v π r 3 t Eksempel: r 5 mm t 8 mm π r 3 t I v = mm I v 13

14 Vridning, vælving og kipning april 17/LC.. Lukkede tyndvæggede tværsnit. Eksempel. For en regulær 6 kant med middelradius r og godstykkelse t giver formlen: = I v 3 3 r Eksempel: 1 6 r t R 5 mm t 8 mm I v 3 3 r 6 r 1 t I v = mm Foroldet mellem vridningsinertimomenterne for et åent tyndfliget tværsnit og et lukket tyndfliget tværsnit. 1

15 Vridning, vælving og kipning april 17/LC 3. Bunden vridning. Bjælken B1 er fast indspændt i den store HEM søjle i venstre side. B1 er simpelt understøttet i øjre side med en pendulsøjle. Belastningen P påføres på jælke B. Bjælken understøttes alle steder uden dette giver ekstra exentriciteter. Alle eregninger udføres med symoler indtil eksemplet. Bjælken B1: I formet profil med lige store flanger. Bredde af flanger f. Tykkelse af flanger t f. Højde mellem flangernes centerlinier. t 1) Teorien elyses gennem det viste eksempel med en vridningspåvirket udkraget indspændt jælke. ) Der findes et udtryk for normalspændingen i flagerne. 3) Vinkeldrejninger findes på grundlag af arejdslinien. ) Eksempel med talværdier. 5) Vinkeldrejninger og spændinger vis jælken etragtes som påvirket af fri vridning.. 6) Kolede systemer. 15

16 Vridning, vælving og kipning april 17/LC 3. Bunden vridning. 3.1 Bunden vridning Teori. Hvælvingskonstatens værdi ω as ω s er f t i det yderste jørne af ω s ω s - ω as Der defineres en størrelse kaldet et imoment B. Såfremt det vridende moment opløses i vandrette modsat rettede kræfter på over- og underflange som vist, vil momentet i flangerne for en udkraget jælke stige fra i den frie ende til F L ved indspændingen. Det vridende moment afstanden tilindspændingen kaldes imomentet. I det viste eksempel er imomentet B=P L1 L t.. [kn m ] t 3. Normalspændinger. Normalspændingen i flangerne kan så estemmes efter Naviers formel σ = M z. I I dette tilfælde er momentet M = B, z = f og I= 1. t 1 t 3 f f B f t 6 B σ = der kan reduceres til. Der ganges med i tæller og nævner 1 σ = f t 1 t 3 f f t t f f og man får σ = σ = B f t som kan skrives som 1 t 3 f f t P L1 L f t 1 t 3 f f t σ = σ = 6 L1 L P t. f t t f B ω s. I eksemplet giver dette: I w 33 Vi k ld j i 16

17 Vridning, vælving og kipning april 17/LC 3.3 Vinkeldrejning. På arejdskurven for stål vil arealet under kurven repræsentarer det indre arejde mens arealet over kurven repræsenterer det ydre arejde. σ A i = ε σ A i = 1 Vi indsætter nu udtrykket for normalspændinge i det indre E arejde. L m A i = s d d. t indgår, da spændingen skal integreres op over ele I w E s x tværsnittet. Vi enytter nu definitionen for vælvingsinertimoment: skrives som: = A i L m B (x) ω s I w = I w m ω s tds. Det indre arejde kan nu t d d = =. I eksemplet er E s x B (x) I w d I w E x B (x) dx E I w L imomentet som funktion af x: B (x) =T x. Dette indføres nu i det indre arejde og integralet løses: A i = 1 ( T x). dx A i = E I w T L E I x dx A i = L3 T w 6 E I w L På arejdskurven for stål for vridning viser arejdskurven sammenængen mellem vinkeldrejningen φ og forskydningsspændingen. Forskydningsspændingen τ = T t ganges nu med I v og divideres med tykkelsen t. Hermed får man det vridende moment T. Arejdskurven viser nu sammenængen mellem vinkeldrejningen φ og det vridende moment. Arealet over kurven er således det ydre arejde: A y = 1. T φ A y =A i 1 =. T φ w L3 T φ w = L3 T 6 E I w 3 E I w L I v 17

18 Vridning, vælving og kipning april 17/LC Eksempel 3. Talværdier i det vise eksempel. L1 f m L 1.5 m P 3 kn 581 mm mm 19 mm t f t σ 6 L1 L P t σ =.138 MPa T P L f t t f E 1 MPa I w 1 t 3 f f t φ w L13 T φ w =.161 φ w = 9.5 deg 3 E I w Bjælkens stived overfor vridning: k w = T k w 3 E I w φ w L Bjælken eregnet som fri vridning. G E ( 1.3) t w 1 mm I v f t f 1 3 t t 3 w I v = mm φ v T L1 = G I v φ v.15 = 8.8 deg φ v τ f T t f τ f = MPa (forskydningsspænding i flagen) I v k v T φ v 3.6 Kolet system φ T φ =.76 k w k v T v k v φ T v =. kn m τ v τ f T v T τ v = 9. MPa T w k w φ T w =.1 kn m σ w T w σ T σ w = 95.7 MPa σ eff σ w 3 τ v σ eff = 18 MPa Ki i 18

19 Vridning, vælving og kipning april 17/LC. Kipning..1 Kipning, teoretisk grundlag. Kipning. Teoretisk grundlag Betegnelser: x-aksen er placeret i jælkens længderetning. y-aksen går vandret gennem tværsnittets tyndepunkt. z-aksen går lodret gennem tværsnittets tyngdepunkt. Vinkeldrejning kaldes f A er tværsnitsarealet E-modulet G er forskydningsmodulet. I y er inertimomentet om den stærke akse. I z er inertimomentet om den svage akse. I v er vridningsinertimomentet. er vælvingsinertimomentet. I w M cr er det kritiske moment for kipning om den stærke akse. 19

20 Vridning, vælving og kipning april 17/LC Figur k3 Som det ses af ovenstående figur k3, vil en fri kipning påvirke profilet til øjning om den svage akse på grund af udøjningen u. Profilet vil også live påvirket af et vridende moment. Placeringen af elastningen P vil ave en indflydelse på størrelsen af det vridende moment. I udledningen af den generelle kipningsformel antages det, at elastningen P angrier i forskydningscentrum, som er sammenfaldende med tyngdepunktet i et doeltsymmetrisk profil. Sel om profilet profilet vil evæge sig lodret nedaf med størrelsen v, vil deformationen ikke give noget moment om den stærke akse. Deformationerne vist på figur k3 findes mellem understøtningerne og er størst på midten af det viste profil. Ved understøtningerne skal konstruktionen være gaffellejret, vilket etyder, at over- og underflange fastoldes mod vandrette flytninge på tværs af profilet.

21 Vridning, vælving og kipning april 17/LC Ved understøtningerne vil overflangen dreje mere end underflangen som det ses på figur k5. Denne deformation kaldes vælving, og størrelsen afænger l.a. af profilets vælvingsinertimoment I w. figur k5 Momentet M kan opløses i komposanter M y og T. T=M sin(θ) =M d u dx = M y M cos(θ) I det følgende sættes M y =M ligesom sin (θ) =θ. Dette kan gøres, da der er tale om små størrelser for θ. T=M sin(θ) =M θ=m d u dx 1

22 Vridning, vælving og kipning april 17/LC 1) T= M du dx dt =M d dx dx u Differentialligning ved øjning om stærke akse: ) M= E I y d v dx Differentialligning ved øjning om svage akse: 3) M z = E I z d = dx u M ϕ 3a) = d = dx u M z M ϕ E I z E I z Differentialligning ved vridning: ) T= G I v d dx ϕ E I w d dx ϕ 3 3 ) differentieres med ensyn til x: dt =G I v d dx dx ϕ E I w d dx ϕ 5) M M ϕ =G I v d E I z dx ϕ E I w d dx ϕ M cr 3a) indsættes i 5), og der rokeres lidt om: E I w d ϕ G I = dx v d ϕ dx ϕ E I z Den karakteristiske ligning for denne. ordens differentialligning: M cr E I w m G I v m = E I z Vi får løsninger til denne ligning. Heraf er de løsninger reelle nemlig m og -m. løsninger er komplekse nemlig i n og -i n. Den generelle løsning til denne differentialligning er: ϕ =A sin( m x) B cos( m x) x C e n x D e e n x

23 Vridning, vælving og kipning april 17/LC Randetingelserne for ligningen er: Bjælken kan ikke rotere om x-aksen ved understøtningerne på grund af gaffellejringen, vilket giver ϕ= for x= og x=l. Normalspændingen i jælkens længderetning er ved understøtningerne, vilket giver = d ϕ for x= og x=l. dx Vi vil vise, at en løsning til differentialligningen er: φ=φ sin x. L π Løsningen indsættes i den oprindelige differentialligning: E I w d φ sin x =. dx L π G I v d φ sin x M dx L π cr φ sin x L π E I z Dette giver: φ sin π x π I w I z E π G I v I z E L L M cr L = E I z L Vi forudsætter, at φ sin π x ikke er nul, vilket vil sige, at x skal ligge mellem og L. L π I w I z E π G I v I z E L L M cr =. Denne ligning løses med ensyn til E I z L M, som vi så kalderdet kritiske moment : M cr = π I z π E I w I z E G I v L L Den største udfordring ved en kipningseregning er at fastlægge det kritiske moment. Ud fra det kritiske moment dimensioneres jælken ud fra reglerne i DS/EN

24 Vridning, vælving og kipning april 17/LC. Forskellige metoder Såfremt påvirkningen ikke er et konstant moment, eller understøtningsforoldene er anderledes, kan det generelle udtryk korrigeres med følgende faktorer m, se nedenfor, der skal divideres op i det generelle udtryk, således at for en ensformig fordelt last, vil det generelle udtryk live π M cr = I z π E I w.88 L L I z E G I v :

25 Vridning, vælving og kipning april 17/LC I teknisk Ståi anvendes en metode, der ygger på den samme metode som eskrevet ovenfor. Her er der dog muliged for at tage i regning, vor lasten angrier i tværsnittet. Der mangler dog muliged for at eandle eksempelvist en udkraget jælke. Der findes taeller m9-m1 tilsvarende m1-m8 i Teknisk Ståi. Disse er dog ikke anerkendte som værende gyldige. Med foreold vises en af taellerne nedenfor. Såfremt man gerne vil kunne justere på vælvingsindspænding eller mellemunderstøtninger er man envist til andre metoder. Der findes et program LTBeam, som er anerkendt til at åndtere dette. I andre tilfælde kan der altid opygges en flademodel i et FEM software, som vil kunne åndtere varierende tværsnit, uller varierende understøætninger mm. Denne proces er dog mere tidskrævende. Udkragede jælker 5

26 Vridning, vælving og kipning april 17/LC Kipning er ofte dimensionsgivende for jælker. Det er imidlertid ofte åde illigt og let at afstive mod kipning. I DS/EN findes en anvisning for dimendionering af en sådan afstivning. Se skitse nedenfor. 6

Vridning hvælving og kipning. april 2014, LC

Vridning hvælving og kipning. april 2014, LC Vridning hvælving og kipning april, LC L B L P B Indhold Hvælvingsinertimoment.. Teoretisk udledning for et U-profil.. Taelværdier.3 Eksempel med et H-profil.. Eksempel med et Z-profil. Fri vridning. Massive

Læs mere

Kipning, momentpåvirket søjle og rammehjørne

Kipning, momentpåvirket søjle og rammehjørne Kipning, momentpåvirket søjle og rammehjørne april 05, LC Den viste halbygning er opbygget af en række stålrammer med en koorogeret stålplade som tegdækning. Stålpladen fungerer som stiv skive i tagkonstruktionen.

Læs mere

Deformation af stålbjælker

Deformation af stålbjælker Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker

Læs mere

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Tektonik Program lektion 4 12.30-13.15 Indre kræfter i plane konstruktioner 13.15 13.30 Pause 13.30 14.15 Tøjninger og spændinger Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke Kursusholder Poul

Læs mere

Statik og styrkelære

Statik og styrkelære Bukserobot Statik og styrkelære Refleksioner over hvilke styrkemæssige udfordringer en given last har på den valgte konstruktion. Hvilke ydre kræfter påvirker konstruktionen og hvor er de placeret Materialer

Læs mere

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne

Læs mere

Eftervisning af bygningens stabilitet

Eftervisning af bygningens stabilitet Bilag A Eftervisning af bygningens stabilitet I det følgende afsnit eftervises, hvorvidt bygningens bærende konstruktioner har tilstrækkelig stabilitet til at optage de laster, der påvirker bygningen.

Læs mere

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter.

Program lektion Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter Indre kræfter i plane konstruktioner Snitkræfter. Tektonik Program lektion 4 8.15-9.00 Indre kræfter i plane konstruktioner 9.00 9.15 Pause 9.15 10.00 Indre kræfter i plane konstruktioner. Opgaver 10.00 10.15 Pause 10.15 12.00 Tøjninger og spændinger

Læs mere

Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6

Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6 Løsning, Bygningskonstruktion og Arkitektur, opgave 6 For en excentrisk og tværbelastet søjle skal det vises, at normalkraften i søjlen er under den kritiske værdi mht. søjlevirkning og at momentet i søjlen

Læs mere

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger

11/3/2002. Statik og bygningskonstruktion Program lektion Tøjninger og spændinger. Introduktion. Tøjninger og spændinger Statik og bygningskonstruktion rogram lektion 9 8.30-9.15 Tøjninger og spændinger 9.15 9.30 ause 9.30 10.15 Spændinger i plan bjælke Deformationer i plan bjælke 10.15 10.45 ause 10.45 1.00 Opgaveregning

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016

Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016 Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Introduktion til programmet CoRotate

Introduktion til programmet CoRotate Side 1 Introduktion til programmet CoRotate Programmet CoRotate.exe bestemmer ikke-lineære, tredimensionelle flytninger af en bjælkekonstruktion. Dermed kan store flytninger bestemmes, og fænomener som

Læs mere

Dimensionering af samling

Dimensionering af samling Bilag A Dimensionering af samling I det efterfølgende afsnit redegøres for dimensioneringen af en lodret støbeskelssamling mellem to betonelementer i tværvæggen. På nedenstående gur ses, hvorledes tværvæggene

Læs mere

STÅLSØJLER Mads Bech Olesen

STÅLSØJLER Mads Bech Olesen STÅLSØJLER Mads Bech Olesen 30.03.5 Centralt belastede søjler Ved aksial trykbelastning af et slankt konstruktionselement er der en tendens til at elementet slår ud til siden. Denne form for instabilitet

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave 1 Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: F x x F = F x i + F y j + F z k = F y = 2z F z y Udregn F og F: F = F x + F y + F z = 1 + +. F = F z F

Læs mere

Lodret belastet muret væg efter EC6

Lodret belastet muret væg efter EC6 Notat Lodret belastet muret væg efter EC6 EC6 er den europæiske murværksnorm også benævnt DS/EN 1996-1-1:006 Programmodulet "Lodret belastet muret væg efter EC6" kan beregne en bærende væg som enten kan

Læs mere

20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2.

20 = 2x + 2y. V (x, y) = 5xy. V (x) = 50x 5x 2. 17 Optimering 17.1 Da omkræsen skal være 0cm har vi at 0 = x + y. Rumfanget V for kassen er en funktion der afhænger af både x og y givet ved V (x, y) = 5xy. Isolerer vi y i formlen for omkredsen og indsætter

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke.

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING. Input Betondæk Her angives tykkelsen på dækket samt den aktuelle karakteristiske trykstyrke. pdc/jnk/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ FLERE LAG TRYKFAST ISOLERING Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for Plastindustrien i Danmark udført dette projekt vedrørende bestemmelse af bæreevne for tunge

Læs mere

BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT

BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Indledning BEREGNING AF O-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk I dette notat gennemregnes som eksempel et

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

En sumformel eller to - om interferens

En sumformel eller to - om interferens En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin

Læs mere

INERTIMOMENT for stive legemer

INERTIMOMENT for stive legemer Projekt: INERTIMOMENT for stive legemer Formålet med projektet er at træne integralregning og samtidig se en ikke-triviel anvendelse i fysik. 0. Definition af inertimoment Inertimomentet angives med bogstavet

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC 01.10.06 DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Beregning af murbuer Indledning. Dette notat beskriver den numeriske model til beregning af stik og skjulte buer. Indhold Forkortelser Definitioner Forudsætninger Beregningsforløb

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker)

Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker) Betonkonstruktioner, 3 (Dimensionering af bjælker) Bøjningsdimensionering af bjælker - Statisk bestemte bjælker - Forankrings og stødlængder - Forankring af endearmering - Statisk ubestemte bjælker Forskydningsdimensionering

Læs mere

Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler)

Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler) Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstruktioner, 4 (Deformationsberegninger og søjler) Deformationsberegning af bjælker - Urevnet tværsnit - Revnet tværsnit - Deformationsberegninger i praksis

Læs mere

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske

Aalborg Universitet Esbjerg 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske 18. december 2009 Spændings- og deformationsanalyse af perforeret RHS stålprofil Appendiks K Analytiske overslagsberegninger Appendiks K Analytiske overslagsberegninger... 3 K-1. Airy s spændingsfunktion

Læs mere

Rapport uge 48: Skråplan

Rapport uge 48: Skråplan Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................

Læs mere

Redegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Ole Jørgensens Gade 14 st. th.

Redegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Ole Jørgensens Gade 14 st. th. Redegørelse for den statiske dokumentation Nedrivning af bærende væg - Ole Jørgensens Gade 14 st. th. Dato: 19. juli 2017 Sags nr.: 17-0678 Byggepladsens adresse: Ole Jørgensens Gade 14 st. th. 2200 København

Læs mere

Betonkonstruktioner - Lektion 3 - opgave 1

Betonkonstruktioner - Lektion 3 - opgave 1 Betonkonstruktioner - Lektion 3 - opgave Data: bredde flange b 50mm Højde 400mm Rumvægt ρ 4 kn m 3 Længde L 4m q 0 kn R 0kN m q egen ρb.44 kn m M Ed 8 q egen q L 4 RL 4.88 kn m Linjelast for egen vægten

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Murprojekteringsrapport

Murprojekteringsrapport Side 1 af 6 Dato: Specifikke forudsætninger Væggen er udført af: Murværk Væggens (regningsmæssige) dimensioner: Længde = 6,000 m Højde = 2,800 m Tykkelse = 108 mm Understøtningsforhold og evt. randmomenter

Læs mere

Athena DIMENSION Tværsnit 2

Athena DIMENSION Tværsnit 2 Athena DIMENSION Tværsnit 2 Januar 2002 Indhold 1 Introduktion.................................. 2 2 Programmets opbygning........................... 2 2.1 Menuer og værktøjslinier............................

Læs mere

Eksamen i Mat F, april 2006

Eksamen i Mat F, april 2006 Eksamen i Mat F, april 26 Opgave Lad F være et vektorfelt, givet i retvinklede koordinater som: Udregn F og F: F x F = F x i + F y j + F z k = F y = z 2 F z xz y 2 F = F x + F y + F z = + + x. F = F z

Læs mere

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC DOKUMENTATION Side 1

MURVÆRKSPROJEKTERING VER. 4.0 SBI - MUC DOKUMENTATION Side 1 DOKUMENTATION Side 1 Modulet Kombinationsvægge Indledning Modulet arbejder på et vægfelt uden åbninger, og modulets opgave er At fordele vandret last samt topmomenter mellem bagvæg og formur At bestemme

Læs mere

BEREGNING AF U-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT

BEREGNING AF U-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Indledning BEREGNING AF U-TVÆRSNIT SOM ET KOMPLEKST TVÆRSNIT Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk I dette notat gennemregnes som eksempel et

Læs mere

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER

TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER pdc/sol TUNGE SKILLEVÆGGE PÅ TRYKFAST ISOLERING BEREGNINGSMODELLER Indledning Teknologisk Institut, byggeri har for EPS sektionen under Plastindustrien udført dette projekt vedrørende anvendelse af trykfast

Læs mere

Kursusgang 10: Introduktion til elementmetodeprogrammet Abaqus anden del

Kursusgang 10: Introduktion til elementmetodeprogrammet Abaqus anden del 1 elementmetodeprogrammet Abaqus anden del Kursus: Statik IV Uddannelse: 5. semester, bachelor/diplomingeniøruddannelsen i konstruktion Forelæser: Johan Clausen Institut for Byggeri og Anlæg Efterår, 2010

Læs mere

Styring af revner i beton. Bent Feddersen, Rambøll

Styring af revner i beton. Bent Feddersen, Rambøll Styring af revner i beton Bent Feddersen, Rambøll 1 Årsag Statisk betingede revner dannes pga. ydre last og/eller tvangsdeformationer. Eksempler : Trækkræfter fra ydre last (fx bøjning, forskydning, vridning

Læs mere

Betonkonstruktioner, 5 (Jernbetonplader)

Betonkonstruktioner, 5 (Jernbetonplader) Christian Frier Aalborg Universitet 006 Betonkonstrktioner, 5 (Jernbetonplader) Virkemåde / dformninger / nderstøtninger Enkeltspændte plader Dobbeltspændte plader Deformationsberegninger 1 Christian Frier

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En

Læs mere

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen

Eksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Arealmomenter Arealmomenter af. og. orden side Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave Arealmomenter Teori: Se lærebøgerne i faget Statiske konstruktionsmodeller og EDB. Se også H&OL bind,., samt bind appendix.3,

Læs mere

Betonkonstruktioner Lektion 4

Betonkonstruktioner Lektion 4 Betonkonstruktioner Lektion 4 Hans Ole Lund Christiansen olk@iti.sdu.dk Fault of Engineering 1 Bøjning med forskdning -Brudtilstand Fault of Engineering 2 Introduktion til Diagonaltrkmetoden I forbindelse

Læs mere

Vektorer og lineær regression

Vektorer og lineær regression Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden

Læs mere

DS/EN 15512 DK NA:2011

DS/EN 15512 DK NA:2011 DS/EN 15512 DK NA:2011 Nationalt anneks til Stationære opbevaringssystemer af stål Justerbare pallereolsystemer Principper for dimensionering. Forord Dette nationale anneks (NA) er det første danske NA

Læs mere

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator

Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

Matematik F2 Opgavesæt 2

Matematik F2 Opgavesæt 2 Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.

Læs mere

Konstruktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader)

Konstruktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader) Christian Frier Aalborg Universitet 003 Konstrktion IIIb, gang 13 (Jernbetonplader) Virkemåde / dformninger / nderstøtninger Overslagsregler fra Teknisk Ståbi Enkeltspændte plader Dobbeltspændte plader

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

VEJDIREKTORATET FLYTBAR MAST TIL MONTAGE AF KAMERA

VEJDIREKTORATET FLYTBAR MAST TIL MONTAGE AF KAMERA VEJDIREKTORATET FLYTBAR MAST TIL MONTAGE AF KAMERA TL-Engineering oktober 2009 Indholdsfortegnelse 1. Generelt... 3 2. Grundlag... 3 2.1. Standarder... 3 3. Vindlast... 3 4. Flytbar mast... 4 5. Fodplade...

Læs mere

Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum?

Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? Hvorfor bevæger lyset sig langsommere i fx glas og vand end i det tomme rum? - om fysikken bag til brydningsindekset Artiklen er udarbejdet/oversat ud fra især ref. 1 - fra borgeleo.dk Det korte svar:

Læs mere

Modulet beregner en trådbinders tryk- og trækbæreevne under hensyntagen til:

Modulet beregner en trådbinders tryk- og trækbæreevne under hensyntagen til: Binder Modulet beregner en trådbinders tryk- og trækbæreevne under hensyntagen til: Differensbevægelse (0,21 mm/m målt fra estimeret tyngdepunkt ved sokkel til fjerneste binder) Forhåndskrumning (Sættes

Læs mere

Indhold. B Skitseforslag A 13 B.1 Dimensionering af ramme i forslag A C Skitseforslag B 15 C.1 Dimensionering af søjle...

Indhold. B Skitseforslag A 13 B.1 Dimensionering af ramme i forslag A C Skitseforslag B 15 C.1 Dimensionering af søjle... Indhold A Laster og lastkombinationer 1 A.1 Karakteristiske laster................................ 1 A.1.1 Karakteristisk egenlast........................... 1 A.1.2 Karakteristisk nyttelast..........................

Læs mere

Figur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol

Figur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol 0.. AERODYNAMIK 0. Aerodynamik I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,

Læs mere

Eksempel Boltet bjælke-søjlesamling

Eksempel Boltet bjælke-søjlesamling Eksempel Boltet bjælke-søjlesamling Dette eksemplet bygger på beregningsvejledningerne i afsnit 6 om bærende samlinger i H- eller I-profiler. En momentpåvirket samling mellem en HEB-søjle og en IPE-bjælke

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

KONSTRUKTION. JF Kennedy Arkaden

KONSTRUKTION. JF Kennedy Arkaden JF Kennedy Arkaden KONSTRUKTION De konstruktionsmæssige problemstillinger i forbindelse med opførelsen af Arkaden er beskrevet i hovedrapportens kapitel -5. Bilaget danner grundlag for enkelte konstruktionsområder

Læs mere

Bøjning i brudgrænsetilstanden. Per Goltermann

Bøjning i brudgrænsetilstanden. Per Goltermann Bøjning i brudgrænsetilstanden Per Goltermann Lektionens indhold 1. De grundlæggende antagelser/regler 2. Materialernes arbejdskurver 3. Bøjning: De forskellige stadier 4. Ren bøjning i simpelt tværsnit

Læs mere

En sædvanlig hulmur som angivet i figur 1 betragtes. Kun bagmuren gennemregnes.

En sædvanlig hulmur som angivet i figur 1 betragtes. Kun bagmuren gennemregnes. Tværbelastet rektangulær væg En sædvanlig hulmur som angivet i figur 1 betragtes. Kun bagmuren gennemregnes. Den samlede vindlast er 1,20 kn/m 2. Formuren regnes udnyttet 100 % og optager 0,3 kn/m 2. Bagmuren

Læs mere

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan

Matematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning

Læs mere

Differentiation af sammensatte funktioner

Differentiation af sammensatte funktioner 1/7 Differentiation af sammensatte funktioner - Fra www.borgeleo.dk En sammensat funktion af den variable x er en funktion, vor x først indsættes i den såkaldte indre funktion. Resultatet fra den indre

Læs mere

MATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1 MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,

Læs mere

Eksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)

Eksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige) Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,

Læs mere

Bilag A. Tegninger af vægge V1-V5 og NØ

Bilag A. Tegninger af vægge V1-V5 og NØ SCC-Konsortiet P33 Formfyldning i DR Byen Bilag A Tegninger af vægge V1-V5 og NØ SCC-Konsortiet P33 Formfyldning i DR Byen Bilag B Støbeforløb for V1-V5 og NØ Figur B-1 viser et eksempel på temperaturudviklingen

Læs mere

Danmarks Tekniske Universitet

Danmarks Tekniske Universitet Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 11 sider Skriftlig prøve, lørdag den 22. august, 2015 Kursus navn Fysik 1 Kursus nr. 10916 Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle hjælpemidler tilladt "Vægtning":

Læs mere

Udledning af Keplers love

Udledning af Keplers love Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg

Læs mere

Undervisningsnotat. Matricer

Undervisningsnotat. Matricer Undervisningsnotat. Matricer januar, C Definition En matrix er en ordnet mængde tal opstillet i m rækker og n søjler. Matricen A kunne være defineret som vist nedenfor. Hvert element i matricen er forsynet

Læs mere

Dimensionering af statisk belastede svejste samlinger efter EUROCODE No. 9

Dimensionering af statisk belastede svejste samlinger efter EUROCODE No. 9 Dokument: SASAK-RAP-DE-AKS-FI-0003-01 Dimensionering af statisk belastede svejste samlinger efter EUROCODE No. 9 SASAK Projekt 1 - Designregler Lars Tofte Johansen FORCE Instituttet, september 2001 Dimensionering

Læs mere

NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST

NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST pdc/sol NOTAT BEREGNING AF JORDTRYK VHA EC6DESIGN.COM. ÆKVIVALENT ENSFORDELT LAST Teknologiparken Kongsvang Allé 29 8000 Aarhus C 72 20 20 00 info@teknologisk.dk www.teknologisk.dk Indledning I dette notat

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Athena DIMENSION Tværsnit 2, Eksempel

Athena DIMENSION Tværsnit 2, Eksempel Athena DIMENSION Tværsnit 2, Eksempel Januar 2002 Indhold 1 Introduktion.................................. 2 2 Tegneflade................................... 2 3 Navngivning af sag..............................

Læs mere

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009

Vejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009 Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,

Læs mere

A. Konstruktionsdokumentation Initialer : MOHI A2.1 Statiske beregninger - Konstruktionsafsnit Fag : BÆR. KONST. Dato : 08-06-2012 Side : 1 af 141

A. Konstruktionsdokumentation Initialer : MOHI A2.1 Statiske beregninger - Konstruktionsafsnit Fag : BÆR. KONST. Dato : 08-06-2012 Side : 1 af 141 Side : 1 af 141 Indhold A2.2 Statiske beregninger Konstruktionsafsnit 2 1. Dimensionering af bjælke-forbindelsesgangen. 2 1.1 Dimensionering af bjælke i modulline G3 i Tagkonstruktionen. 2 1.2 Dimensionering

Læs mere

INSTRUKTION: ANVENDELSE AF STÅLFUNDAMENTER

INSTRUKTION: ANVENDELSE AF STÅLFUNDAMENTER DOKUMENTNR. UDARBEJDET GODKENDT ENHED [ESDH-dok.nummer] [Initialer] [Dato] [Initialer] [Dato] [ANL-xxx] GYLDIGHEDSOMRÅDE [Hvor gælder dokumentet] MÅLGRUPPE [For hvem gælder dokumentet] INSTRUKTION: ANVENDELSE

Læs mere

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge

A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge A2.05/A2.06 Stabiliserende vægge Anvendelsesområde Denne håndbog gælder både for A2.05win og A2.06win. Med A2.05win beregner man kun system af enkelte separate vægge. Man får som resultat horisontalkraftsfordelingen

Læs mere

Profil dimension, valgt: Valgt profil: HEB 120 Ændres med pilene

Profil dimension, valgt: Valgt profil: HEB 120 Ændres med pilene Simpelt undertsøttet bjælke Indtast: Anvendelse: Konsekvensklasse, CC2 F y Lodret nyttelast 600 [kg] Ændres med pilene F z Vandret nyttelast 200 [kg] L Bjælkelængde 5.500 [mm] a Længde fra ende 1 til lastpunkt

Læs mere

Sag nr.: 12-0600. Matrikel nr.: Udført af: Renovering 2013-02-15

Sag nr.: 12-0600. Matrikel nr.: Udført af: Renovering 2013-02-15 STATISKE BEREGNINGER R RENOVERING AF SVALEGANG Maglegårds Allé 65 - Buddinge Sag nr.: Matrikel nr.: Udført af: 12-0600 2d Buddinge Jesper Sørensen : JSO Kontrolleret af: Finn Nielsen : FNI Renovering 2013-02-15

Læs mere

Jordskælvs svingninger i bygninger.

Jordskælvs svingninger i bygninger. Jordsælvssvingninger side 1 Institut for Matemati, DTU: Gymnasieopgave Jordsælvs svingninger i bygninger. Jordsælv. Figur 1. Forlaring på de tetonise bevægelser. Jordsælv udløses når de tetonise plader

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Differentialligninger nogle beviser og modeller

Differentialligninger nogle beviser og modeller Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Differentialligninger nogle eviser og modeller Vi skal i dette lille tillæg give elegante eviser for de fuldstændige løsninger til følgende typer af differentialligninger:

Læs mere

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode

Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode 1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem

Læs mere

GSY KOMPOSITBJÆLKE PRODUKTBLAD KONSTRUKTIONSFRIHED TIL KOMPLEKST BYGGERI

GSY KOMPOSITBJÆLKE PRODUKTBLAD KONSTRUKTIONSFRIHED TIL KOMPLEKST BYGGERI GSY KOMPOSITBJÆLKE PRODUKTBLAD KONSTRUKTIONSFRIHED TIL KOMPLEKST BYGGERI GIVE STÅLSPÆR A/S GSY BJÆLKEN 1 GSY BJÆLKEN 3 2 TEKNISK DATA 4 2.1 BÆREEVNE 4 2.2 KOMFORTFORHOLD 9 2.3 BRAND......................................

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver

Maria Solstar Vestergaard 30-11-2006 Roskilde Tekniske Gymnasium Klasse 1.4g. Matematik B Klasse 1.4g Hjemmeopgaver Matematik B Hjemmeopgaver 1) opgave 107c, side 115 Jeg skal tegne en trekant og estemme vinklerne A og C og siderne a, og c. Jeg har følgende mål: Jeg har ikke nok mål til at kunne regne nogle af vinklerne

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af

Besvarelse af stx_081_matb 1. Opgave 2. Opgave 1 2. Ib Michelsen, 2z Side B_081. Reducer + + = + + = Værdien af Ib Michelsen, z Side 1 7-05-01 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 3 4 5 6 7 Besvarelse af stx_081_matb 1 Opgave 1 Reducer ( x + h) h( h + x) ( x h) h( h x) + + = x h xh h h x x + + = Værdien

Læs mere

Opgave 1. Spørgsmål 4. Bestem reaktionerne i A og B. Bestem bøjningsmomentet i B og C. Bestem hvor forskydningskraften i bjælken er 0.

Opgave 1. Spørgsmål 4. Bestem reaktionerne i A og B. Bestem bøjningsmomentet i B og C. Bestem hvor forskydningskraften i bjælken er 0. alborg Universitet Esbjerg Side 1 af 4 sider Skriftlig røve den 6. juni 2011 Kursus navn: Grundlæggende Statik og Styrkelære, 2. semester Tilladte hjælemidler: lle Vægtning : lle ogaver vægter som udgangsunkt

Læs mere