Sandsynlighedsregning og statistisk. J. C. F. Gauss ( ) Peter Haremoës Niels Brock. 9. april 2013
|
|
- Lene Dideriksen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sdsylighedsregig og sttistisk J. C. F. Guss Peter Hremoës Niels Brock 9. pril 3
2 Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse for de metoder, der beyttes i deskriptiv sttistik på Mt C iveu. Edvidere er der lgt vægt på t teorie for kotiuerte fordeliger k ses som e vedelse f B- og A-iveuets differetilog itegrlregig. Itegrler over ubegræsede itervller I det itegrlregig vi stiftede bekedtskb med i Mt A-boge, blev lle bestemte itegrler tget over begræsedede itervller. M k imidlertid ofte også tge itegrler over ubegræsede itervller. Eksempel Ld t > være et reelt tl. D et t d = - ]t = - t - = t. Vi ser t /t er e voksede fuktio og t /t for t. Vi skriver derfor d =. Defiitio Ld f være e kotiuert fuktio. Hvis b f d hr e græseværdi for b gåede mod uedelig, så beteges dee græseværdi f d. Tilsvrede defieres b f d som de evetuelle græseværdi f b f d for gåede mod. Hvis b f d er defieret og hr e græsevær for b gåede mod uedelig, så beteges dee græseværdi med f d. 3 Kotiuerte fordeliger Defiitio 3 Ld X være e stokstisk vribel. D er fordeligsfuktioe F for X defieret ved F = P X. Fordeligsfuktioe svrer til de sumkurver vi hr teget i deskriptiv sttistik.
3 : Heltl Returerer kommdoe rdit som fugerer som på TI-89. 5: Sdsylighed > 4: Tilfældig > 4: Norml Returerer kommdoe rdnorm som fugerer som på TI f = e Figur : Tæthedsfuktio for ekspoetilfordelige. Eksempel 4 E stokstisk vribel X siges t være ekspoetilfordelt med middelværdi λ dersom des fordeligsfuktio er givet ved { for, F = e - /λ for >. E såd ekspoetilfordelig giver f.eks. e god beskrivelse for vetetide for et rdioktivt hefld f et tom. Vi lægger mærke til t fordeligsfuktioe er e voksede fuktio og t lim F =, lim F =. Hvis vi keder fordeligsfuktioe for e stokstisk vribel, k vi berege sdsylighede for t de stokstiske vribel ligger i et vilkårligt itervl, idet der gælder t P < X b = F b F. Defiitio 5 Hvis fordeligsfuktioe F for e stokstisk vribel X er e kotiuert fuktio, så siges X t være e kotiuert vribel. Hvis F er differetibel, så kldes fuktioe f = F for de stokstiske vribels tæthedsfuktio. Tæthedsfuktioe svrer til de pide- og søjledigrmmer vi hr teget i deskriptiv sttistik. Eksempel 6 Tæthedsfuktioe for e ekspoetilfordelig er givet ved f = F { for, = λ e- /λ for >. Hvis f er tæthed for e stokstisk vribel med for delig F, så er F stmfuktio til f og der gælder t F t = t f d. 3
4 3 f = Et vidue kommer frem, hvor m idtster, µ middelværdi og σ stdrdfvigelse. Et yt vidue kommer frem med givelse f værdie f tæthedsfuktioe. 4:Norml Cdf... Et vidue kommer frem, hvor m idtster Upper vlue og Lower vlue itervledepuktere, µ middelværdi og σ stdrdfvigelse. I stedet for og k m bruge - 99 og 99. Et yt vidue kommer frem med givelse f sdsylighede for t e ormlfordelt vribel med de give prmetre ligger i itervllet. Tilfældige tl k geereres ved t tste MATH] 7:Probbility 4:rd Returerer et tilfældigt helt tl hvis e størsteværdi gives eller et ligefordelt decimltl fr hvis itet rgumet itstes. Syt: rd rdstørste tl 6:rdNorm Returerer et tl tilfældige ormlfordelte tl. Syt: rdnormtl tilfældige tl, middelværdi, stdrdfvigelse Edvidere gælder der, t Figur : Tæthed for e Preto-fordelig. P < X b = F b F = b f d. Sdsylighede for t < X b svrer derfor til relet uder grfe for f mellem og b. For t e fuktio f k være e tæthedsfuktio skl der gælde, t f og t f d =. De fleste kotiuerte fordeliger er defieret ud fr deres tæthedsfuktio. Eksempel 7 Ved e ligefordelig i itervllet ; b] forstå e fordelig med tæthed { for / ; b], f = b for ; b]. Vi checker, t der ret fktisk er tle om e sdsylighedsfordelig ved t udrege b ]b b d = =. b Når vi teger søjledigrmmet for grupperede dt, tger vi fktisk, t dt er ligefordelt i hvert delitervl. Ligesom for diskrete vrible k m berege middelværdi og vris for kotiuerte fordeliger. Dette sker ved t ersttte summer med itegrler. 6.5 TI-spire I beregigsdele trykkes på meukppe. Her k bldt det vælges: 5: Sdsylighed 5: Fordeliger : Norml Pdf Et vidue kommer frem, hvor m idtster -værdi, µ middelværdi og σ stdrdfvigelse. Et yt vidue kommer frem med givelse f værdie f tæthedsfuktioe. 5: Sdsylighed > 5: Fordeliger > : Norml Cdf Et vidue kommer frem, hvor m idtster Nedre græse og Øvre græse itervledepukter, smt µ middelværdi og σ stdrdfvigelse. Uedelig k idtstes ved t hete teget fr liste f specilteg. Et yt vidue kommer frem med givelse f sdsylighede for t e ormlfordelt vribel med de give prmetre ligger i itervllet. 5: Sdsylighed > 5: Fordeliger > 3: Ivers orml Et vidue kommer frem, hvor m idtster Arel sdsylighed, µ middelværdi og σ stdrdfvigelse. Et yt vidue kommer frem med givelse f de tilsvrede frktil. 5: Sdsylighed > 4: Tilfældig > : Tl Returerer kommdoe rd som fugerer som på TI-89. 5: Sdsylighed > 4: Tilfældig > 3
5 ormlpdf ormlpdf, middelværdi, stdrdfvigelse : ormlcdf Returerer værdie f fordeligsfuktioe i et givet pukt. M k vælge både t give e edre og e øvre græse. I stedet for og k m bruge 99 og 99 Syt: ormlcdf ormlcdf, middelværdi, stdrdfvigelse ormlormlcdf edre græse, øvre græse, middelværdi, stdrdfvigelse 3: ivnorm Returerer frktile svrede til et et tl mellem og. Syt: ivnormsdsylighed ivnormsdsylighed, middelværdi, stdrdfvigelse Der er følgede kommdoer til t geerere tilfældige tl. Tst MATH > PRB : rd Returere et ligefordelt tl mellem i ; ] Syt: rd rdnorm Returerer et tilfældige ormlfordelte tl. Syt: rdnormmiddelværdi, stdrdfvigelse, tl tilfældige tl rdit Returerer et tilfældigt helt tl. Sytks: rditmidste tl, største tl 6.4 TI-89/Voyge M k klde kommdoer svrede til kommdoere i TI-83+/TI-84+ ved hete dem fr ktloget eller skrive heholdsvis: tistt.ormpdf tistt.ormcdf tistt.ivnorm Altertivt k m strte pplictioe list/stt og vælge F5 Distr :Shde :Shde Norml Et vidue kommer frem, hvor m idtster Upper vlue og Lower vlue itervledepuktere, µ middelværdi og σ stdrdfvigelse. E grf bliver vist med e mrkerig f det rel uder kurve m hr givet. :Iverse \blcktrigleright :Iverse Norml... Et vidue kommer frem, hvor m idtster Are sdsylighed, µ middelværdi og σ stdrdfvigelse. Et yt vidue kommer frem med givelse f de tilsvrede frktil. 3:Norml Pdf... Eksempel 8 Tæthedsfuktioe { for <, f = 3 for, 4 defierer e såkldt Preto-fordelig. Vi checker t det ret fktisk er e tæthedsfuktio ved t itegrere 3 4 d = ] - 3 = lim = Defiitio 9 Ld X være e stokstisk vribel med tæthedsfuktio f. D defieres middelværdie f X ved E X] = f d. Hvis de stokstiske vribel X hr middelværdi µ, så er vrise f X defieret ved V r X = Stdrdfvigelse er givet ved µ f d. σ X = V r X /. Stdrdfvigelse kldes også stdrdfvigelse. Eksempel Kræver kedskb til prtiel itegrtio Ekspoetilfouktioe med tæthed e-/µ µ for hr middelværdi f d = d + e-/µ µ = + µ µ e-/µ µ d. Her lves substitutio t = /µ, hvilket ved brug f prtiel itegrtio giver µ µ e- /µ µ d = µ = µ = µ t e -t dt t -e -t ] + = µ -e -t] = µ. e -t dt d -e -t dt 4
6 For t berege vrise lves ige substitutioe t = /µ, hvilket giver µ e - /µ µ d = = µ µt µ e -t dt t e -t dt. Det sidste itegrl bereges ved t lve prtiel itegrtio gge: t e -t dt = t -e -t] t -e -t dt = + t e t dt t = -e -t ] = + e -t dt = + -e -t] = + = 4. Derfor er vrise 4µ, og stdrdfvigelse er µ. -e -t dt Øvelse Bereg middelværdi, vris og stdrdfvigelse f e ligefordelig. Øvelse Rereg middelværdi, vris og stdrdfvigelse for Preto-fordelige fr Eksempel 8. Øvelse 3 Kræver kedskb til prtiel itegrtio E stoktisk vribel med sdsylighedstæthed e - for siges t være Gmmfordelt. Eksempel 4 Vis t dette er e sdsylighedstæthed. b Bestem middelværdie f dee Gmmfordelig. c Bestem vris og stdrdfvigelse f dee Gmmfordelig. Det k vises t e- d = π / φ = e-. Derfor er π / e tæthedsfuktio. De tilsvrede fordelig kldes e stdrd-ormlfordelig. Det k vises, t de hr middelværdi og vris. Fordeligsfuktioe for stdrd ormlfordelige beteges Φ. Det ikke er muligt t opskrive et beregigsudtryk for Φ, så værdier f Φ k ku bereges tilærmelsesvis ved hjælp f såkldt umerisk itegrtio. Hvis tæthedsfuktioe i stedet er e - µ σ π / så er der tle om e ormlfordelig med middelværdi µ og stdrdfvigelse σ. σ, Kofidesitervler Disse bereges uder forudsætiger f t dt tges t være ormlfordelt eller tilærmelsesvis ormlfordelt. Hvis stikprøve er tilstrækkelig stor k middelværdie ltid tges t være ormlfordelt. For e dtliste vælges 4: Sttis...>3: Kofidesitervller... Herefter vælges : z-itervl...hvis stdrdfvigelse f ormlfordelige kedes. Hvis stdrdfvigelse ikke kedes me skl estimeres vh. dtsættets stdrdfvigelse, så vælges : t-itervl... Hvis kofidesitervllet for succes-sdsylighede i e biomilfordelig skl bereges, vælger m 4: Sttis...>3: Kofidesitervller...> 5: -Prop z-itervl... Regressio Hvis m skl udersæge om to størrelser i et dtsæt k beskrives me e lieær eller ekspoetiel fuktio, så skl de først idlæses som koloer i et regerk. Her efter vælges 4: Sttis...>: Stt beregig... hvoerefter m vælger 3: Lieær regressio m+b... eller A: Ekspoetiel regressio... Bemærk t m også k lve regressio ved først t lve dtlister, så lve et y-plot med ppliktioe 5: Tilføj Dt og Sttistik hvorefter m vælger 4: Alys...>6: Regressio, hvorefter m vælger : Vis lieær m+b eller 8: Vis ekspoetiel. 6. Fordeliger I løbet f kurset hr vi beskæftiget os med 3 forskellige fordeligstyper: Normlfordeliger, biomilfordeliger og χ -fordeliger. Beregiger vedr. disse fordeliger k lves ved t vælge 4: Sttis...>: Stt-fordeliger... Dem vi k få brug for er: : Norml Pdf... giver sdsylighedstæthede i et pukt for e ormlfordelig. : Norml Cdf... giver sdsylighede for et itervl for e ormlfordelt stokstisk vribel. 3: Ivers orml... giver frktile svrede til e bestemt sdsylighed, som vi k opftte som e procetdel. I TI-spire skl sdsylighede itstes i feltet Arel. 7: χ Pdf... giver sdsylighedstæthede i et pukt for e χ -fordelig 8: χ Cdf... giver sdsylighede for et itervl for e χ -fordelt stokstisk vribel. 9: Ivers χ... giver frktile svrede til e bestemt sdsylighed for e χ -fordelt stokstisk vribel. D: Biom Pdf... giver puktsdsylighede for e biomilfordelt stokstisk vribel. E: Biom Cdf... giver sdsylighede for et itervl for e biomilfordelt stokstisk vribel. 6.3 TI-83+/84+ Meue for ormlfordeliger k fides uder DISTR d VARS. Bemærk t middelværdi og stdrdfvigelse hr defultværdier og svrede til e stdrd-ormlfordelig. : ormlpdf Returerer sdsylighedstæthede i et givet pukt. Syt: 5
7 Bevis. Vi vil tge t ormlfordelige hr middelværdi og vris σ. D gælder E Xi X ] = Xi E X ] i= i= = X E X ] = E X + X X X] = ] E X ] + E X E X X]. Vi beytter u t E ] X = σ og E ] X = σ / smt t X = - i= X i til t få ] E X ] + E X E X X] ] = σ + σ E X X i i= = σ + σ E X X i ] i= E X ] + E X ] E X i ] i= = σ + σ σ + = σ + σ 6 Sttistik med TI-spire = σ σ = σ. Af de mge sttistikfuktioer, som fides i TI-spire CAS, er det ku ogle få vi bruger. Her er e oversigt. 6. Udersøgelse f dtsæt Ufhægighedstest Bruges til t test om to størrelser eller hædelser er ufhægige ud fr e tbel med to iddeligskriterier. M smler dt i e mtri og vælger 4: Sttis...> 4: Stt-tests...>8: χ -vejstest... Goodess-of-fittest Bruges til t teste om e størrelse eller hædelse følger e bestemt fordelig. De observerede og de forvetede hyppigheder skrives som koloer i et regerk hvorefter m vælger 4: Sttis... > 4: Stttests...> 7: χ GOF... Deskriptorer For t bestemme diverse deskriptorer for et dtsæt skrives værdiere som e koloe i et regerk. M k evt. tilføje e hyppighedsliste. Herfter vælges 4: Sttis...>: Stt beregig...> : Sttistik med é vribel....5 f = e π / Figur 3: Tæthedsfuktio for stdrdormlfordelige 4 Middelværdi og vris Ude bevis æver vi, t hvis X og X er to stokstiske vrible, så gælder der t E X + X ] = E X ] + E X ]. Hvis edvidere X og X er ufhægige så gælder E X X ] = E X ] E X ]. Sætig 5 Ld X og X være ufhægige stokstiske vrible. D gælder t V r X + X = V r X + V r X. Bevis. Ld µ og µ betege middelværdiere f X og X. D er middelværdie f X + X lig µ + µ. Derfor gælder V r X + X = E = E = E X + X µ + µ ] = E X µ + X µ ] ] X µ + X µ + X µ X µ X µ ] + E X µ ] + E X µ X µ ]. D X er ufhægig f X er X µ ufhægig f X µ og der gælder t Derfor er E X µ X µ ] = E X µ ] E X µ ] = E X ] E µ ] E X ] E µ ] = µ µ µ µ =. V r X + X = E X µ ] + E X µ ] = V r X + V r X. 9 6
8 5 Estimtio Atg f vi om ogle dt e stikprøve ved t de er ormlfordelte med stdrdfvigelse me vi ikke keder ormlfordeliges middelværdi. Opgve er ud fr dt t give et bud på værdie f ormlfordeliges middelværdi. Defiitio 6 Et estimt er e fuktio, der til e vilkårlig stikprøve kytter et reelt tl. Et estimt er med dre ord e stokstisk vribel defieret ud fr e stikprøve. Om et estimt er godt eller skidt er e de sg. Hvis vi f.eks. skl estimere middelværdie f e ormlfordelig, k vi bruge stikprøves medi. Hvis stikprøve ellers er stor, vil medie ligge tæt på middelværdie, så medie er e udemærket estimtor for middelværdie. I stedet for medie kue m tge de største værdi i stikprøve. Dee vil oplgt give et dårligt estimt f middelværdie, og jo større stikprøve er jo dårligere vil estimtet være. Defiitio 7 Et estimt siges t være cetrlt dersom middelværdie f estimtet er de sde værdi. Hvis et estimt ikke er cetrlt, siges det t være skævt. Vi k udrege vrise f geemsittet. Atg t de stokstiske vribel hr middelværdi. Så gælder t V r = V r i= Xi = i= = σ = σ. i= Xi V r Xi Derfor er geemsittets stdrdfvigelse σ/ /. Det k vises t stikprøves geemsit er det cetrle estimt, som hr de midste vris. Derfor vil geemsittet være vores foretruke estimt for middelværdie. Hvis m ved t e ormlfordelig hr middelværdi µ og skl estimere des vris på grudlg f e stikprøve, så k m bruge estimtet Medie er et cetrlt estimt f middelværdie, mes mksimum er et skævt estmt, idet mksimum i middel giver e for høj værdi. i= Xi µ. Sætig 8 Stikprøves geemsit giver et cetrlt estimt f ormlfordeliges middelværdi. Bevis. Ld X, X,..., X betege e stikprøve. D er og X = E X] = E i= Xi i= Xi ] = E Xi] Dette estimt er cetrlt. Hvis m hverke keder e ormlfordeligs middelværdi eller vris kue m tge stikprøves vris i= X i X, som estimt for de ukedte vris. Det viser sig imidlertid, t dette er et skævt estimt, som er systemtisk for lille. Hvis stikprøvestørrelse f.eks. er =, så vil X = X og så bliver i= X i X = X X =. i= Sætig 9 Et cetrlt estimt f vrise f e ormlfordelig med ukedt = = µ. i= µ middelværdi er givet ved i= X i X for. 7 8
Sandsynlighedsregning og statistisk
Figur : J. C. F. Guss 777 855 Sdsylighedsregig og sttistisk Peter Hremoës Niels Brock 6. pril Idledig Dette hæfte er lvet som supplemet til. udgve f boge Mt B. Der er lgt vægt på t give e bedre forståelse
Læs mereStatistik Lektion 4. Kovarians og korrelation Mere om normalfordelingen Den centrale grænseværdi sætning Stikprøvefordelingen
Sttistik Lektio 4 Kovris og korreltio Mere om ormlfordelige De cetrle græseværdi sætig Stikprøvefordelige Repetitio: Kotiuerte stokstiske vrible f (x) er e sdsylighedstæthedsfuktio, hvis f ( x) 0 for lle
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. Formelsamling
Mtemtik A Højere hdelseksme Formelsmlig Mtemtik A Højere hdelseksme Formelsmlig Forfttere: Jytte Meli og Ole Dlsgrd April 09 ISBN: 978-87-603-339-5 (web udgve) Dee udgve f Mtemtisk formelsmlig htx A-iveu
Læs merea b cos. n=1 er positiv på N. Vi kan nu benytte sammenligningskriteriet (sætning ) og sammenligne 2a sin ( )
Opgve Vi skl bestemme de tlpr (, for hvilke række b cos = er koverget. Først beytter vi divergeskriteriet (sætig 2..4) til t kræve t leddee må gå mod ul for gåede mod uedelig. Dette giver os t = b cos()
Læs mereOpgave 1. a) f : [a, b] R er en begrænset funktion for hvilken. A ε = {x [a + ε, b] f(x) 0}
Opgve ) f : [, b] R er e begræset fuktio for hvilke er edelig for ethvert < ε < b. Vi skl vise t f er itegrbel og t A ε = { [ + ε, b] } d =. Vi bemærker først t f er itegrbel på [, b] hvis og ku hvis de
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.
Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises
Læs mereKap 1. Procent og Rentesregning
Idhold Kp. Procet og Retesregig.... Regig med proceter.... Reteformle.... Geemsitlig retefod (vækstrte)... Kp Opsprigs- og gældsuiteter...5. Auiteter...5. Sumformel for e kvotietrække...5. Opsprigsuitet...6.
Læs mereSandsynlighedsregning og statistisk
Sadsylighedsregig og statistisk J. C. F. Gauss 777 855) Peter Haremoës Niels Brock 2. april 23 Idledig Dette hæfte er lavet som supplemet til 2. udgave af boge Mat B. Der er lagt vægt på at give e bedre
Læs mereMatematikkens mysterier - på et højt niveau. 1. Integralregning
Mtemtikkes mysterier - på et højt iveu f Keeth Hse. Itegrlregig Hvd er relet f de skrverede puktmægde? . Itegrlregig Idhold. Stmfuktioer og det uestemte itegrl. Regeregler for det uestemte itegrl 7 Prtiel
Læs mereMATEMATISK FORMELSAMLING
MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grøld Mtemtisk formelsmlig til C-iveu, GUX Grøld Deprtemetet for uddelse 05 Redktio: Rsmus Aderse, Jes Thostrup MtemtiskformelsmligtilC-iveu GUX Grøld FORORD Dee formelsmlig
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? ISBN 978877879 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt tl.
Læs mereProjekt 3.7. En algebraisk tilgang til udvidelsen af potensbegrebet
Hvd er tetik? C ISBN 97 887 7 79 Projekter: Kitel. Projekt.7.E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Projekt.7. E lgebrisk tilgg til udvidelse f otesbegrebet Ld i det følgede tllet være et ositivt
Læs mereKap. 1: Integralregning byggende på stamfunktioner.
- - Kp. : Itegrlregig yggede på stmfuktioer... Specielle egesker ved fuktioer. Defiitio... E fuktio f siges t være egræset i et itervl I, hvis f er defieret i itervllet, og hvis der fides to tl k og K,
Læs mereDen flerdimensionale normalfordeling
De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y
Læs mereProjekt 3.1 Potensbegrebet og geometriske rækker
Hvd er mtemtik? ISBN 97887766879 Projekter: pitel. Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker Projekt. Potesbegrebet og geometriske rækker (Vi tger i det følgede udggspukt i kpitlfremskrivigsformle:
Læs mereKomplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal
Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.
Læs mereSpørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.
STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,
Læs mereDifferentiation af potensfunktioner
Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser
Læs mereFinitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010
Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P
Læs mereProjekt 4.1 Potensbegrebet og geometriske rækker
Hvd er mtemtik? C, i-bog ISBN 978 87 766 499 8 Projekter: pitel 4 Projekt 4. Potesbegrebet og geometriske rækker Vi hr defieret e ekspoetiel vækst, som e vækstmodel, hvor de fhægige vribel, - værdie, fremskrives
Læs mereMatematisk formelsamling. stx A-niveau
Mtemtisk formelsmlig st A-iveu mj 08 Dee udgve f Mtemtisk formelsmlig st A-iveu er udgivet f Udervisigsmiisteriet og gjort tilgægelig på uvm.dk. Formelsmlige er udrejdet i et smrejde mellem Mtemtiklærerforeige
Læs mereLidt Om Fibonacci tal
Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt
Læs mereBogstavregning - supplerende eksempler. Reduktion... 54 b Ligninger... 54 d
Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Bogstvregig - supplerede eksepler Reduktio... Ligiger... d Bogstvregig Side Mtetik på AVU Eksepler til iveu F, E og D Reduktio M gger to preteser ed hide ved -
Læs mereFUNKTIONER del 2 Rentesregning Eksponentielle udviklinger Trigonometriske funktioner Potensfunktioner Polynomier
FUNKTIONER del Retesregig Ekspoetielle udvikliger Trigoometriske fuktioer Potesfuktioer Polyomier -klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idhold RENTESREGNING... 3 Kotiuert rete... EKSPONENTIELLE UDVIKLINGER...
Læs mereStatistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :
Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:
Læs merehvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i
Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet
Læs mereKommentarer til VARIABLE
Kommetrer til Fglige mål Kpitlet lægger op til, t elevere lærer vribelbegrebet t kede som et effektivt værktøj til t skbe sig overblik over komplekse problemstilliger. k udpege kostter og vrible med tilhørede
Læs mereProjekt 9.10 Differentiation af potensfunktioner ved hjælp af binomialformlen
Projet 9.1 Differetitio f potesfutioer ved jælp f iomilformle 1. Pscls tret og iomilformle Vi strter med t mide om t poteser f toleddede størrelser, de såldte iomer, udreges ved jælp f Pscls tret, idet
Læs mereSammensætning af regnearterne - supplerende eksempler
Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig f regertere - supplerede eksepler Poteser... Rødder... d 0-tls-poteser... e Sesætig f regertere Side Mtetik på AVU Ekseplet til iveu F, E og D Sesætig
Læs mereUdskiftning af et tag antages at vare 2-6 dage. Denne tidsperiode antages at være fastlagt ved følgende symmetriske tæthedsfunktion
STATISTIK Sriftlig evluerig, 3. semester, torsdg de. ur l. 9.-3.. Alle hælpemidler er tilldt. Opgveløsige forses med v og CPR-r. OPGAVE Udsiftig f et tg tges t vre -6 dge. Dee tidsperiode tges t være fstlgt
Læs mereStatistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion
Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi
Læs mereAnalyse 1, Prøve maj 2009
Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede
Læs mereantal gange krone sker i første n kast = n
1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder
Læs mereUge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :
Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)
Læs mereVelkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit
Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige
Læs mere24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software
Læs mereTest i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og
Læs mereDiskrete og kontinuerte stokastiske variable
Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig
Læs mere1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens... 2
Idhold 1 Pukt- og itervalestimatio 2 1.1 Puktestimatorer: Cetralitet(bias) og efficies.................... 2 2 Kofidesiterval 3 2.1 Kofidesiterval for adel................................ 4 2.2 Kofidesiterval
Læs mereNotater til Analyse 1
Alyse 1 Jørge Vesterstrøm Forår 2004 Notter til Alyse 1 Idhold Forord 1 1. Om dobbeltsummer 1 2. Eksistes f e ikke målelig mægde 2 3. Bevis for e del f Prop. 3.15 3 4. Riem-itegrlet og trppefuktioer 4
Læs mere29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer
Læs merePotens regression med TI-Nspire
Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter
Læs mere13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )
3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 3. Punkt- og intervalestimater Konfidensintervaller Valg af stikprøvestørrelse
Avedt Statistik Lektio 3 Pukt- og itervalestimater Kofidesitervaller Valg af stikprøvestørrelse Pukt- og itervalestimater: Motivatio Motiverede eksempel: I e udersøgelse er adele af rygere 0.27. Det aslås
Læs mereProgram. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen
Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi
Grudlæggede mtemtiske begreber del Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl... 9 De hele
Læs mereØkonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006
Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1
Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium December 2018 ; Michel Szymski ; mz@ghg.dk 1 Idholdsfortegelse
Læs mereVejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15
Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry
Læs mereRettevejledning til Økonomisk Kandidateksamen 2004II, Økonometri 1
Rettevejledig til Økoomisk Kdidteksme 2004II, Økoometri Vurderigsgrudlget er selve opgvebesvrelse og bilget, iklusive det fleverede SAS progrm. Mterilet som er fleveret på diskette/cd bedømmes som såd
Læs mereGrundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit
Grudlæggede mtemtiske begreber del Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige tl...
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mereSandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.
Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet
Læs mereVejledende opgavebesvarelser
Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.
Læs merePraktisk info. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: kendt eller ukendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) I tirsdags.
Praktisk ifo Liste med rettelser og meigsforstyrrede trykfejl i DS på Absalo. Statistisk aalyse af e ekelt stikprøve: kedt eller ukedt varias Sadsylighedsregig og Statistik (SaSt) Helle Sørese Projekt
Læs mereSupplerende noter II til MM04
Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer
Læs mere30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.
30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed
Læs mereLøsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler
Læs merecos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.
Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er
Læs mereLøsninger til kapitel 7
Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed
Læs mereMotivation. En tegning
Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget
Læs mereProjekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner
Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig
Læs mereBaggrundsnote til sandsynlighedsregning
Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige
Læs mereHvordan Leibniz opfandt integralregningen
Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
Statistik for biologer 005-6, modul 5: Sadsylighedsfordeliger for kotiuerte data på iterval/ratioskala M6, slide Gægse matematiske sadsylighedsfordeliger: Diskrete data: De positive biomialfordelig Poisso-fordelige
Læs merevejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.
enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17
Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil
Læs mereSupplement til Kreyszig
Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig
Læs mereEstimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter
Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller
Læs mereSandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:
Læs mereSimpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol
Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle
Læs mereHovedpointer fra SaSt
Hovedpoiter fra SaSt Marti Nørgaard Peterse 13. februar 2018 Følgede geemgår udvalgte begreber fra E Itroduktio til Sadsylighedsregig af M. Sørese (9. udgave), Itroductio to Likelihood-based Estimatio
Læs mereStatistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!
Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders
Læs mereFejlforplantning. Landmålingens fejlteori - Lektion 9 - Repetition - Fejlforplantning. Kovariansmatrix. Kovariansmatrix
Fejlforplntning Lndmålingens fejlteori Lektion 9 Repetition - Fejlforplntning Ksper K Berthelsen - kk@mthudk http://peoplemthudk/ kk/undervisning/lf11 Institut for Mtemtiske Fg Alorg Universitet Lndmåling
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereDATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet
DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.
Læs mereMatematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter
Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag
Læs mereMeningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017
Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Dgens emner fsnit 3.5 og 4. oissonfordelingen Sndsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Mtemtik og Computer Science Dnmrks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Dnmrk Emil: bfni@dtu.dk Kontinuerte
Læs mereMaja Tarp AARHUS UNIVERSITET
AARHUS UNIVERSITET Maja Tarp AARHUS UNIVERSITET HVEM ER JEG? Maja Tarp, 4 år Folkeskole i Ulsted i Nordjyllad Studet år 005 fra Droiglud Gymasium Efter gymasiet: Militæret Australie Startede på matematik
Læs mereØkonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1
Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter
Læs mereUndersøgelse af numeriske modeller
Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse
Læs mereSætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n
Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi
Læs merePointen med Integration
Pointen med Integrtion Frnk Vill 3. oktober 2012 2008-2012. IT Teching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere
Læs mereStatistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer
Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke
Læs mereKvantitative metoder 2
Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af
Læs mere(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE)
(VIDENSKABSTEORI) STATISTIK (EKSPERIMENTELT ARBEJDE) x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse INDLEDNING... 3 DESKRIPTIV STATISTIK... 3 Eksempler ide for deskriptiv statistik... 12 Normalfordeligskurver...
Læs mereIntegralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul
Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK
Læs mereJ 5aaa-Tfahhabhanfabna : aa-tfahhabhaø+ab+a. øt4bb4nøbfa. i 5 5abf7øTøh.4.7j9a. a a a
M ic4btf+c S C J 5-Tfhhbhfb : -Tfhhbhø+b+ 5 S 5 S 5 j xbø4bt J x y 54 5F4b.1 5F4bf C : P ( C S S 35 øbf5p S 1 2 S D S S 5, C : P b+5 S øbf S S 5 g C : P S S 4 S 5, b+1 5b1 : 8 4 S 1 5 S 5hTF 5 øbh1 5 j
Læs mereSTATISTISK MODELLERING OG ANALYSE 19. DECEMBER 2008 ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115
STATISTISK MODELLERING OG ANALYSE ET MAT3-PROJEKT I BAYESIANSK INFERENS 19. DECEMBER 2008 θ x VEJLEDER: JAKOB G. RASMUSSEN GRUPPE: G4-115 INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG Istitut for Matematiske Fag Fredrik
Læs mereTests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:
Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i
Læs mereStudyGuide til Matematik B.
StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag
Læs mereFormelsamling for matematik niveau B og A på højere handelseksamen
Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udervsgsmsteret Erhvervssklefdelge 997 Frmelsmlg fr mtemtk veu B g A på højere hdelseksme Udgvet f Udervsgsmsteret, Erhvervssklefdelge 997. udgve,. plg.
Læs mereDagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)
Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.
Læs mere... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner
POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt
Læs mereMOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse
MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere
Læs mere