Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren

Transkript

1 Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk eergi: p p p ki = =, å de kietiske eergioperator være ˆ 1 ki = = i i hvilket i øvrigt svarer til diskussioe i forbidelse ed udtryk (.1). Tilsvarede å ˆ ( ) ( V r t V r t ˆ pot =, =, ), (4.1), (4.) såda at de totale eergi er repræseteret af Hailtooperatore ˆ H = + V ( r, t). (4.3) Dered er forvetigsværdie af eergie ifølge udtryk (3.0) og (3.5) givet ved * ˆ 3 = r, t H r, t d r Hˆ =, (4.4) 3 ( ) ( ) og Schrödigerligige i udtryk (.13) ka skrives i = Hˆ. (4.5) t Det er således Ĥ, der er besteede for de tidsæssige udviklig af e kvatetilstad, svarede til at det er eergie, der er de afgørede paraeter for de tidsæssige udviklig af e hvilke so helst proces, idet alle processer har til forål at iiere eergie. Thoas B. Lyge, Istitut for Fysik og Naotekologi, AAU 7/03/007

2 Kvateekaik 4 Side af 11 ergi og tid getilstade for Hailtooperatore I opg. D kue de fuldstædige løsig til Schrödigerligige skrives so e overlejrig af haroiske løsiger, der var separable i e t-afhægig og e r - afhægig del:. (4.6) ( rt, ) = Tt ( ) φ ( r) Ved idsættelse af e såda separabel løsig i udtryk (4.5) fås dt i φ = Hˆ ( Tφ ), dt og hvis der, so f.eks. i opg. D, er tale o et tidsuafhægigt potetial, såda at ˆ H = + V ( r), (4.7) fås edvidere dt i φ = THˆ φ, dt og efter separatio af de variable i dt 1 = H ˆ φ. T dt φ Da vestreside ikke afhæger af r, og da højreside ikke afhæger af t, å oveståede være lig e kostat, so f.eks. kue beæves : i dt T dt 1 = H ˆ φ = (4.8) φ Udtryk (4.8) idebærer to differetialligiger, hvoraf de første har løsige () T t = Ae i t. (4.9) Thoas B. Lyge, Istitut for Fysik og Naotekologi, AAU 7/03/007

3 Kvateekaik 4 Side 3 af 11 ergi og tid De ade differetialligig ˆφ H = φ (4.10) er egeværdiligige for Hailtooperatore, idet er egeværdie hørede til egefuktioe φ. Udtryk (4.10) kaldes også de tidsuafhægige Schrödigerligig. Hvis egeværdiere er diskrete eller kotiuerte, siges diskret/kvatiseret hhv. kotiuert egeværdispektru 1. Ĥ at have et Ved idsættelse i udtryk (4.6) fås således. (4.11) i t (, ) = ( ) rt e φ r Da Ĥ er tidsuafhægig, er ( rt, ) løsig til sae egeværdiligig so ( r ) φ, og ( rt, ) kaldes derfor egetilstade for Hailtooperatore ed tilhørede egeværdi. vilkårlig separabel løsig til Schrödigerligige for et koservativt syste ed tidsuafhægigt potetial ka således skrives so i udtryk (4.11), og e vilkårlig løsig ka skrives so e overlejrig af sådae separable løsiger i for af egetilstade for Hailtooperatore. I Dirac-otatio atager egeværdiligige for Ĥ flg. for: Hˆ =. (4.1) 1 Visse eergispektre, f.eks. for et ato eller olekyle, ideholder både diskrete og kotiuerte eergier. Aφ er således også egefuktio for Ĥ ed tilhørede egeværdi. Thoas B. Lyge, Istitut for Fysik og Naotekologi, AAU 7/03/007

4 Kvateekaik 4 Side 4 af 11 ergi og tid For e kvatepartikel i e oreret egetilstad for Ĥ er forvetigsværdie for eergie og eergie kvadreret jf. udtryk (4.4) givet ved hhv. = Hˆ = = = Hˆ = Hˆ = =, og spredige på eergie er dered ifølge udtryk (.17) givet ved 0 Δ = =. Så kostate fra udtryk (4.8) er således de veldefierede eergi hørede til eergi-egetilstade. Når e kvatepartikel befider sig i e egetilstad for Hailtooperatore/eergie, vil a således altid åle de sae eergi, eller sagt ed adre ord vil eergie kue forudsiges eksakt. Statioære tilstade For e kvatepartikel i e eergi-egetilstad er forvetigsværdie kostat i tid for alle observable, der ikke i sig selv afhæger eksplicit af tide 3 : O = r t O r t d r= e r Oe r = * 3 * 3 φ 3 φ 3 φ i t i t (, ) ˆ (, ) ( ) ˆ ( ) ( r) Oˆ φ ( r) d r, * 3 hvorfor eergi-egetilstade også kaldes statioære tilstade. 3 d r (4.13) Degeeratio Hvis der eksisterer forskellige 4 eergie at være degeereret. eergi-egetilstade, der har sae eergi, siges 3 F.eks. vil Hailtooperatore for e elektro, der oplever et tidsvarierede -felt og dered et tidsvarierede potetial, afhæge eksplicit af tide, og for sådat et syste vil eergi-egeværdiere, og dered, ædre sig ed tide. 4 I betydige lieært uafhægige, hvilket vil sige at e af de pågældede egetilstade ikke ka skrives so e liearkobiatio af de øvrige. Thoas B. Lyge, Istitut for Fysik og Naotekologi, AAU 7/03/007

5 Kvateekaik 4 Side 5 af 11 ergi og tid Overlejriger af eergi-egetilstade thvert syste (f.eks. e kvatebrød, et ato eller e aostruktur) er kedeteget ved et potetial V og dered ved e Hailtooperator Ĥ og derigee ved e Schrödigerligig, hvis løsiger er de ulige bølgefuktioer/tilstade for e kvatepartikel i det pågældede syste. So ævt ovefor ka ehver såda tilstad skrives so e overlejrig af egetilstade for Ĥ : rt c rtd (, ) = ( ) (, ) = ce φ rd, Hˆ φ = φ. i t ( ) ( ) (4.14) Aht. otatioe atages eergispektret i det flg. at være diskret (eergie kvatiseret), svarede til såda at ( rt, ) = c ( rt, ) c ( ) = cδ ( ), (4.15) i t = ce ( ),, ˆ φ r c Hφ = φ, idet alle de præseterede resultater ka geeraliseres til det kotiuerte tilfælde. (4.16) At fra udtryk (4.14) eller (4.16) er e løsig til Schrödigerligige følger af dees liearitet, idet egetilstadee jo er (separable) løsiger hertil. At e vilkårlig løsig ka skrives so e overlejrig af egetilstade for Ĥ følger af de ateatiske spektralsætig, so i dee saehæg ka foruleres so følger: Thoas B. Lyge, Istitut for Fysik og Naotekologi, AAU 7/03/007

6 Kvateekaik 4 Side 6 af 11 ergi og tid getilstadee for et systes Hailtooperator udgør et fuldstædigt, ortoorerbart sæt af basisfuktioer for tilstadsruet : Tilstadsruet : Det abstrakte ru, so de ulige kvatetilstade/bølgefuktioer udgør. F.eks. er 3 Basisfuktioer : det ru, so alle trediesioelle vektorer udgør. Fuktioer, so ved liearkobiatioer ka frebrige alle adre fuktioer. F.eks. ka e basis beståede af { ˆ, ˆ, ˆ} vektor gee liearkobiatioe r = ˆ+ yyˆ+ zzˆ. Ortoorerbart 5 : yz frebrige ehver trediesioel t sæt kvatetilstade/bølgefuktioer er ortoorerede/ortoorale, hvis de hver for sig er orerede og er idbyrdes ortogoale: 1 for = δ = 0 for hvor δ er Kroeckers delta. F.eks. er { ˆ, ˆ, ˆ} Fuldstædigt sæt : =, yz ortoorale, efterso deres idre produkt opfylder ˆ ˆ= yˆ yˆ = zˆ zˆ= 1, ˆ yˆ = ˆ zˆ= yˆ zˆ= 0. (4.17) Heri ligger etop, at e vilkårlig tilstad ka skrives so overlejrigere i udtryk (4.14). 5 I udtrykket ortoorerbart ligger dels, at de fude egetilstade geerelt ikke er orerede, og dels at to degeererede egetilstade og ikke ødvedigvis er idbyrdes ortogoale, e at liearkobiatioer af og ka frebrige to ortoorale egetilstade hørede til de pågældede eergi. Det følger således af liearitete af Ĥ, at ehver såda liearkobiatio giver e egetilstad hørede til de pågældede eergi : H ˆ a + b = ah ˆ + bh ˆ = a + b = a + b. = ( ) ( ) Thoas B. Lyge, Istitut for Fysik og Naotekologi, AAU 7/03/007

7 Kvateekaik 4 Side 7 af 11 ergi og tid For i praksis at kue opskrive e give bølgefuktio er det selvsagt ødvedigt at kede de vægte/koordiater/udvikligskoefficieter, hvored eergiegetilstadee idgår i overlejrige i udtryk (4.16). De vægt/koordiat, hvored e basisvektor idgår i e liearkobiatio r = ˆ+ yyˆ+ zzˆ, fides so det idre produkt elle de pågældede basisvektor og vektore r : = r ˆ, y= yr ˆ, z= zr ˆ Tilsvarede haves uder avedelse af ortoorerigsbetigelse fra udtryk (4.17) = = c = c = cδ c: c c =. (4.18) Norerigsbetigelse for lægger flg. begræsig på udvikligskoefficietere 67 : * * * 1 = = c c = cc = cc δ = c :,, c = 1. (4.19) Forvetigsværdie af eergie i tilstade er givet ved = Hˆ = c c Hˆ = c c, * *,, * δ = cc = c : = c. (4.0) 6 Svarede til at vektore r = ˆ+ yyˆ + zzˆ opfylder 7 Husk, at svarer til * ( r, t) = c *. r = 1, hvis og ku hvis + y + z = 1. Thoas B. Lyge, Istitut for Fysik og Naotekologi, AAU 7/03/007

8 Kvateekaik 4 Side 8 af 11 ergi og tid Ved saeligig ed udtryk (.15) ses således, at c er sadsylighede for at få værdie, år a åler eergie af e kvatepartikel kedeteget ved bølgefuktioe givet ved udtryk (4.16). Hvis kvatepartikle er i e egetilstad for eergie, svarede til c δ =, svarede til at sadsylighede 0. =, er åles ed sadsylighede 1 og alle adre eergier ed c kaldes i øvrigt sadsylighedsaplitude hørede til eergie. Så kvatepartikle i de geerelle tilstad er altså i e overlejret/superpoeret tilstad af at være i de forskellige egetilstade, og sadsylighede for at a ved ålig af eergie fider partikle i egetilstade er givet ved c. fter e såda ålig vil kollapse til, så hvis a ku åler é gag, har a ige ulighed for at vurdere, o kvatepartikle oprideligt var i egetilstade, eller o de var i e eller ade overlejret tilstad. Hvis a har ulighed for at åle age gage uder de sae betigelser, vil a kue bestee c so det relative atal gage, a har ålt eergie, og derudfra vil a kue sige oget o tilstade. Hvis a f.eks. hver gag åler, vil a vide, at kvatepartikle er i egetilstade. Thoas B. Lyge, Istitut for Fysik og Naotekologi, AAU 7/03/007

9 Kvateekaik 4 Side 9 af 11 ergi og tid I det geerelle, kotiuerte tilfælde odsvares sadsylighede c af sadsylighedstæthede for eergie c ( ), såda at c ( ) d er sadsylighede for at åle e eergi i itervallet ; + d 8. 8 På sae åde so at ( r, t) er sadsylighedstæthede for positioe, og ( r, t) at åle e positio i itervallet r dv. dv er sadsylighede for Thoas B. Lyge, Istitut for Fysik og Naotekologi, AAU 7/03/007

10 Kvateekaik 4 Side 10 af 11 ergi og tid Usikkerhedsrelatioe for eergi og tid Betragt e fri kvatepartikel beskrevet ved e bølgepakke, der udbreder sig efter - akse. Usikkerhede på dee kvatepartikels eergi d dp p = = v : p = fides ved differetiatio: Δ = v Δ p. (4.1) Da bølgepakkes positio er uderlagt usikkerhede Δ, vil bølgepakke skulle bruge tide Δ Δ t = (4.) v på at passere et givet pukt, f.eks. e detektor, der åler kvatepartikles eergi. Sættes udtryk (4.1) og (4.) sae fås vha. usikkerhedsrelatioe i udtryk (1.17) Δ Δ = Δp Δt : ΔΔ t. (4.3) Udtryk (4.3) kaldes usikkerhedsrelatioe for eergi og tid, e tide er ige observabel ed ålbare realisatioer 9, og udtryk (.16). Δ t er dered ige spredig so i Udtryk (4.3) udtrykker deriod saehæge elle usikkerhede Δ på eergie og de tid Δt, der er til rådighed for at åle eergie. 9 Dered foretages ide for ikke-relativistisk kvateekaik e skele elle de tre rulige diesioer, der beskrives so observable, og de fjerde diesio tide, der beskrives so e paraeter. Dee skele er i odstrid ed relativitetsteorie, og ide for relativistisk kvateekaik (Paul Dirac, 197) beskrives både positio og tid da også so paraetre. Thoas B. Lyge, Istitut for Fysik og Naotekologi, AAU 7/03/007

11 Kvateekaik 4 Side 11 af 11 ergi og tid For e atoar elektro i si grudtilstad er der således uedelig eget tid til rådighed for at bestee eergie ( Δt ), so dered i pricippet ka ( ) bestees eksakt Δ = 0. Me for e elektro i e eciteret tilstad, der er kedeteget ved e hefaldstid 10, er Δt edelig, og eergie er dered kedeteget ved e pricipiel usikkerhed Δ > 0, der f.eks. fører til e pricipiel forbredig af spektralliiere De eciterede tilstade er statioære tilstade for de atoare Hailtooperator. At de alligevel hefalder skyldes vekselvirkige ed det ekstere elektroagetiske felt, der opstår so følge af vakuufluktuatioere i det okrigliggede ru. 11 Hertil koer e række adre forbredigsekaiser såso Dopplerforbredig, der skyldes atoeres eller olekyleres bevægelse, og disse vil i lagt de fleste tilfælde være doierede i forhold til de aturlige forbredig. Thoas B. Lyge, Istitut for Fysik og Naotekologi, AAU 7/03/007