2 X 2 = Antal mygstik på enpersoniløbetaf1minut

Transkript

1 Opgave I I mange statistiske undersøgelser bygger man analysen på anvendelse af normalfordelingen til (eventuelt tilnærmelsesvist) at beskrive den tilfældige variation. Spørgsmål I.1 (1): Forén af følgende 5 stokastiske variable egner normalfordelingen sig særligt godt til beskrivelse af den tilfældige variation. Hvilken? 1 X 1 = Tidsafstanden mellem to mygstik på enperson 2 X 2 = Antal mygstik på enpersoniløbetaf1minut 3 X 3 = Andel af prøver i laboratoriet, som mislykkes pr dag 4 X 4 = Vælgertilslutning (i %) til et bestemt politisk parti blandt 1000 adspurgte vælgere 5 X 5 = Gennemsnitlig vægt for 25 forsøgsdyr En anden hyppigt benyttet sandsynlighedsfordeling er Poissonfordelingen. Spørgsmål I.2 (2): For hvilken af følgende 5 stokastiske variable egner Poissonfordelingen sig særligt godt til beskrivelse af den tilfældige variation? 1 X 1 = Antal arbejdsulykker gennem en étårig periode 2 X 2 = Antal personer i en gruppe på 25, som er rød-grøn farveblinde 3 X 3 = Ventetiden mellem counts fra en geigertæller 4 X 4 = Vælgertilslutning (i %) til et bestemt politisk parti blandt 1000 adspurgte vælgere 5 X 5 = Gennemsnitlig vægt for 25 forsøgsdyr 1 Fortsæt på side 2

2 Opgave II En biolog er i færd med at undersøge adfærd og trækvaner hos en bestemt fugleart. Han observerede nedenstående antal han- og hun-fugle, som kom på en bestemt foderplads i årets fire kvartaler under en daglig observationstid på én time. Køn Forår Sommer Efterår Vinter Ialt Hunfugle Hanfugle Ialt Vi betragter nu specielt antallet, X, af hanfugle, som besøger foderpladsen om vinteren. Spørgsmål II.1 (3): Hvilken af følgende forslag til beskrivende fordeling for X ville være (mest) rimelig, idet f.eks. p betegner et estimat for p, og λer et estimat for λ, osv: 1 X Binomial(n,p), hvor n=42 og p=42/406 2 X Poisson(λ), hvor λ=42 3 X Normal(µ,σ 2 ), hvor µ=42 og σ 2 = X χ 2 (f), hvor f=(2-1) (4-1)=3 5 X Exp(µ), hvor µ=42 Biologen ønsker nu at undersøge, om fordelingen mellem antal hunfugle og hanfugle er den samme på forskellige årstider. Spørgsmål II.2 (4): Med det sædvanlige test for denne hypotese (samme fordeling de fire årstider) på 5% signifikansniveau findes teststørrelsen z. Testfordeling og kritisk område for z er hhv: 1 z χ 2 (3) og z< z χ 2 (3) og z< z χ 2 (4) og z< z χ 2 (6) og z> z χ 2 (3) og z>

3 Opgave III Et måleinstrument blev benyttet til at måle indholdet af bly pr. gram væv fra nogle forsøgsmus. Ved prøveforberedelsen kan der benyttes to forskellige metoder, som kaldes A og B. Der blev målt med begge metoderne A og B på samme prøve af væv fra samme individ (ved at prøverne blev delt i to), som vist i følgende tabel, der angiver indholdet i µg/g: Vævsprøve nr Metode A Metode B (individ nr) Man har en teori om, at der kan være en systematisk forskel mellem de to metoder. Denne forskel kaldes µ B A, dvs forskellen mellem resultatet med metode B og resultatet med metode A. Spørgsmål som: III.1 (5): Det sædvanlige tosidede 95% konfidensinterval for µ B A findes ± ± ± ± ± Fortsæt på side 4 3

4 Opgave IV Der er foretaget nogle undersøgelser af væksten for nogle mus, som indgik i en afprøvning af et medicinsk præparat. De undersøgte forhold omfattede måling af vækstforhold for forskellige knogler, legemsdele etc. I et lille forstudie opnåedes følgende data, som angiver længden af et forben af 7 mus i forhold til musenes alder. Endvidere er anført nogle beregninger: Alder Længde dage = x cm = Y xi =70 yi =24.2 x 2 i = 812 y 2 i =93.80 xi y i = Man forestiller sig, at der gælder følgende relation mellem Y og x : Y i = α + βx i + ɛ i for i =1,2,..., 7 og med et edb-program man har fundet estimaterne α =0.475, β = og σ 2 ɛ = (idet σ 2 ɛ = Var{ɛ}). Spørgsmål IV.1 (6): Et 95% konfidensinterval for vækstkoefficienten β findes som: ± = ± ± /7 = ± ± = ± ± / 7= ± ± /5 = ± Fortsæt på side 5 4

5 For normale mus af den pågældende art er længden af forben for nyfødte mus (x =0) tidligere fundet til µ cm, men ud fra den estimerede linie, ser det ud, som om det undersøgte præparat kan have nedsat denne værdi. Man ønsker derfor at teste hypotesen H 0 : µ 0 = 0.75 mod H 1 : µ 0 < 0.75, hvor µ 0 nu er middellængden for x = 0 for de undersøgte mus. Testet udføres på et5% signifikansniveau. Spørgsmål IV.2 (7): Den sædvanlige teststørrelse, som vi her benævner z, og tilhørende kritiske område findes som: 1 z = = 1.463, kritisk område z<2.015 (dvs signifikant) z = = 1.463, kritisk område z< (dvs ej signifikant) z = = 5.499, kritisk område z< (dvs signifikant) z = = 1.437, kritisk område z< (dvs ej signifikant) z = = 1.437, kritisk område z<2.015 (dvs signifikant) Fortsæt på side 6

6 Opgave V Man ønsker at undersøge middelkoncentrationen af aktivt stof i en stor batch af tabletter (ca 10 mill. tabletter). Undersøgelsen foretages ved, at man måler indholdet i et antal tabletter, som udtages ved tilfældig udvælgelse fra hele batchen. Indholdet for den enkelte tablet kan bestemmes med en vis nøjagtighed med den foreliggende målemetode, ligesom der er en vis variation mellem de enkelte tabletter. Den samlede tilfældige variation ved måling af én tablet vurderes at svare en standardafvigelse påhøjst 20 mg. Indledningsvis vil man med en stikprøve på 10målinger {x 1,x 2,..., x 10 } kontrollere, at antagelsen σ 2 =20 2 holder. Som stikprøvefunktion valgte man at benytte z = 10 i=1 (x i x) 2. Spørgsmål V.1 (8): Ved test af hypotesen σ 2 =20 2 (mod σ 2 > 20 2 )påsignifikansniveau 5% benyttes det kritiske område: 1 z> z> z> z> z> Fortsæt på side 7

7 Det viste sig, at σ 2 =20 2 er en rimelig antagelse, og man ønsker nu at bestemme, hvor mange tabletter, man skal udtage og måle, for at kunne vurdere middelindholdet, µ, for alle tabletterne i batchen med en foreskreven nøjagtighed. Vi tænker os altså, at der udtages n tabletter med resultaterne {x 1,x 2,..., x n },og µ= xpå sædvanlig måde. Spørgsmål V.2 (9): Hvis man ønsker, at variansen for µ er højst 1 2 mg 2 (dvs Var{ µ} 1 2 ), kræves en stikprøve på: 1 n 20 2 n 40 3 n n n Fortsæt på side 8

8 Opgave VI Ved en bestemt målemetode foregår der dels en prøveforberedelse (bl.a. omfattende en spiking), dels en måling ved hjælp af en titrering. Ved prøveforberedelsen tilsættes mængden X mg af analyt en til prøven. X tilstræbes at være 1.00, men er behæftet med en vis afvejningsusikkerhed. Man regner med, at middelværdi og varians for X er hhv E{X} =1.00 og Var{X} = Ved titreringen regner man med, at der kan være en målefejl ɛ, hvorom man antager, at E{ɛ} =0.0ogVar{ɛ}= Vi betragter nu en forelagt prøve, hvis faktiske indhold er µ. Med den beskrevne metode vil det udlæste måleresultat åbenbart være en stokastisk variabel: Y = µ + X + ɛ, dvs. faktisk indhold µ plus spikingen X plus målefejlen ɛ. Spørgsmål VI.1 (10): Der foreligger en prøve, for hvilken Y = 4.30 er udlæst. Estimér prøvens faktiske indhold, µ, og bestem estimatets varians. Resultatet er: 1 µ =3.30 og Var{ µ} µ =3.30 og Var{ µ} µ =3.30 og Var{ µ} µ =5.30 og Var{ µ} µ =5.30 og Var{ µ} Fortsæt på side 9

9 Opgave VII Ved undersøgelse af spildevand for mikroorganismer kunne man foretage en udstrygning af en vis mængde af vandet på en agarbakke og registrere, hvor mange punkter med vækst, der forekommer efter en vis tid i klimaskab. Man forestiller sig, at antallet af vækstpunkter, X, kan beskrives ved en Poissonfordeling. Vi tænker os, at man erfaringsmæssigt ved, at med den benyttede metode findes gennemsnitligt λ = 7 vækstpunkter for normalt ikke forurenet overfladevand. For et kontrolprogram kunne man nu benytte en kontrolregel (et test), som siger, at hvis der findes X 12 vækstpunkter for en vandprøve, vil man dømme prøven forurenet (og f.eks. undersøge sagen nøjere). Spørgsmål VII.1 (11): Hvis en vandprøve faktisk er ikke forurenet overfladevand, hvor stor er da sandsynligheden, p, for fejlagtigt at dømme den forurenet? 1 p = p = p = p = p =0.995 Spørgsmål p? VII.2 (12): Hvad kalder man (som regel) den ovennævnte sandsynlighed 1 Testets konfidensgrad 2 Testets frihedsgrader 3 Testets OC-funktion 4 Testets signifikansniveau 5 Testets type II fejlsandsynlighed 9