Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
|
|
- Gregers Graversen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark Efterår 2017 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
2 Kapitel 2: Kontinuerte fordelinger Grundlæggende koncepter: Tæthedsfunktion: f (x) (pdf) Fordelingsfunktion: F(x) = P(X x) (cdf) Middelværdi (µ) og varians (σ 2 ) Regneregler for stokastiske variabler Specifikke fordelinger: Normal Log-Normal Uniform Eksponential Funktioner af normalfordeling (afsn. 2.10) (introduceres først i de næste uger): t-fordelingen, χ 2 -fordelingen (Chi-i-anden) og F-fordelingen DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
3 Chapter 2: Continuous Distributions General concepts: Density function: f (x) (pdf) Distribution: F(x) = P(X x) (cdf) Mean (µ) and variance (σ 2 ) Calculation rules for random variables Specific distributions: Normal Log-Normal Uniform Exponential Funktions of normaldist. (Sec. 2.10) (introduced in the coming weeks): t-distribution, χ 2 -distribution (Chi-square) og F-distribution DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
4 Oversigt 1 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Tæthedsfunktion Fordelingsfunktion Middelværdi af en kontinuert stokastisk variabel Varians af en kontinuert stokastisk variabel 2 Konkrete Statistiske fordelinger Kontinuerte fordelinger i R Uniform fordeling Normalfordelingen Log-Normal fordelingen 3 Eksponentialfordelingen 4 Regneregler for middelværdi og varians DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
5 Eksempel: Population og fordeling (Uendelig) Population Stikprøve {x 1,x 2,...,x n} Tilfældigt udvalgt Middelværdi µ Statistisk inferens Stikprøvegennemsnit x Tæthed Reprœsenter populationen med fordeling Frekvens Stikprøvens empiriske fordeling Højde x Højde x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
6 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Tæthedsfunktion Tæthedsfunktion (probability density function (pdf)) Tæthedsfunktionen for en stokastisk variabel betegnes ved f (x) f (x) siger noget om hyppigheden af udfaldet x for den stokastiske variabel X For kontinuerte variable svarer tætheden ikke til sandsynligheden, dvs. f (x) P(X = x) Et godt plot af f (x) er et histogram (kontinuert) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
7 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Tæthedsfunktion Tæthedsfunktion for en kontinuert variabel f (x) P(a < X b) -4-2 a 0 b 2 4 x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
8 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Tæthedsfunktion Tæthedsfunktion for en kontinuert variabel Der gælder: Ingen negative værdier f (x) 0 for alle mulige x Areal under kurven er een f (x)dx = 1 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
9 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Fordelingsfunktion Fordelingsfunktion (distribution function eller cumulative density function (cdf)) Fordelingsfunktion for en kontinuert stokastisk variabel betegnes ved F(x) Fordelingsfunktionen svarer til den kumulerede tæthedsfunktion ved F(x) = P(X x) x F(x) = f (u)du f (x) = F (x) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
10 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Fordelingsfunktion Fordelingsfunktion (distribution function eller cumulative density function (cdf)) F(x) P(a < X b) = F(b) F(a) -4-2 a 0 b 2 4 x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
11 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Fordelingsfunktion Spørgsmål om sandsynligheder (socrative.com, room: PBAC) f (x) ? -4-2 a 0 b 2 4 x Hvilken sandsynlighed (areal) er markeret? A: b f (x)dx Svar C: b a f (x)dx B: 1 b a f (x)dx C: b a f (x)dx D: 1 a f (x)dx DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
12 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Fordelingsfunktion Spørgsmål om sandsynligheder (socrative.com, room: PBAC) f (x) ? -4-2 a 0 b 2 4 x Hvordan kan vi nemmest udregne det markerede areal? A: b a f (x)dx Svar D: F(b) F(a) B: b a F(x)dx C: f (b) f (a) D: F(b) F(a) (vi gør det i R med (normalfordelt): pnorm(b) - pnorm(a)) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
13 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Middelværdi af en kontinuert stokastisk variabel Middelværdi (mean) af en kontinuert stokastisk variabel Middelværdien af en kontinuert stokastisk variabel µ = x f (x)dx Sammenlign med den diskrete definition: µ = alle x x f (x) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
14 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Varians af en kontinuert stokastisk variabel Varians af en kontinuert stokastisk variabel Variansen af en kontinuert stokastisk variabel: σ 2 = (x µ) 2 f (x)dx Sammenlign med den diskrete definition: σ 2 = alle x (x µ) 2 f (x) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
15 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Varians af en kontinuert stokastisk variabel Spørgsmål om middelværdi (socrative.com, room: PBAC) f (x) f 1 (x) f 2 (x) x Hvilken pdf har størst middelværdi (begge er symmetriske)? A: µ 1 < µ 2 B: µ 1 > µ 2 C: µ 1 = µ 2 D: Kan ikke afgøres Svar A: µ 1 < µ 2. DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
16 Kontinuerte Stokastiske variable og fordelinger Varians af en kontinuert stokastisk variabel Spørgsmål om spredning (socrative.com, room: PBAC) f (x) f 1 (x) f 2 (x) x Hvilken pdf har størst spredning (begge er symmetriske)? A: σ 1 < σ 2 B: σ 1 > σ 2 C: σ 1 = σ 2 D: Kan ikke afgøres Svar B: σ 1 > σ 2 (umiddelbart). Svar D, også fint, da man ikke kan se hvad der er udenfor plottet. DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
17 Konkrete Statistiske fordelinger Konkrete statistiske fordelinger Der findes en række statistiske fordelinger, som kan bruges til at beskrive og analysere forskellige problemstillinger med Følgende kontinuerte fordelinger: Uniform fordeling Normalfordelingen Log-normalfordelingen Eksponentialfordelingen DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
18 Konkrete Statistiske fordelinger Kontinuerte fordelinger i R Kontinuerte fordelinger i R R norm unif lnorm exp Betegnelse Normalfordelingen Uniform fordeling Log-normalfordelingen Eksponentialfordelingen d Tæthedsfunktion f (x) (probability density function). p Fordelingsfunktion F(x) (cumulative distribution function). q Fraktil (quantile) i fordeling. r Tilfældige tal fra fordelingen. DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
19 Konkrete Statistiske fordelinger Uniform fordeling Uniform fordeling Skrivemåde: X U(α,β) (Læses: X følger en uniform fordeling med parametre α og β) Tæthedsfunktion: f (x) = 1 β α Middelværdi: µ = α+β 2 Varians: σ 2 = 12 1 (β α)2 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
20 Konkrete Statistiske fordelinger Uniform fordeling Eksempel: Uniform fordeling Uniform fordeling U(4,5) Taethed, f(x) x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
21 Konkrete Statistiske fordelinger Uniform fordeling Spørgsmål: Uniform fordeling (socrative.com, room: PBAC) Medarbejdere på en arbejdsplads ankommer mellem klokken 8:00 og 8:30. Det antages, at ankomsttiden kan beskrives ved en uniform fordeling. Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt medarbejder ankommer mellem 8:20 og 8:30? A: 1/2 B: 1/6 C: 1/3 D: 0 Svar C: 10/30=1/3 punif(30,0,30) - punif(20,0,30) [1] 0.33 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
22 Konkrete Statistiske fordelinger Uniform fordeling Spørgsmål: Uniform fordeling (socrative.com, room: PBAC) Medarbejdere på en arbejdsplads ankommer mellem klokken 8:00 og 8:30. Det antages, at ankomsttiden kan beskrives ved en uniform fordeling. Hvad er sandsynligheden for at en tilfældig udvalgt medarbejder ankommer efter 8:30? A: 1/2 B: 1/6 C: 1/3 D: 0 Svar: P(X > 30) = punif(30,0,30) [1] 0 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
23 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Normalfordelingen Skrivemåde: X N(µ,σ 2 ) Tæthedsfunktion: f (x) = 1 (x µ)2 σ e 2σ 2 2π Middelværdi: µ = µ Varians: σ 2 = σ 2 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
24 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel: Normalfordelingen 0.5 Normalfordeling Taethed, f(x) x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
25 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel: Normalfordelingen Sammenligning af to normalfordelinger med forskellig middelvardi og ens varians 0.45 N(0,1 2 ) N(5,1 2 ) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
26 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel: Normalfordelingen Sammenligning af tre normalfordelinger med ens middelvardi og forskellig varians Taethed, f(x) x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
27 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel: Normalfordeling, sandsynligheder Fordeling af vægt af rugbrød: Antag at vægten af et rugbrød fra en produktionslinie kan beskrives med en normalfordeling X N(500,10 2 ) dvs. middelværdi µ = 500 gram og standardafvigelse σ = 10 gram. Vi vil måle vægten af ét tilfældigt udvalgt brød. Spørgsmål: 1: Hvad er sandsynligheden for at brødet vejer under 490 g? 2: Hvad er sandsynligheden for at brødet vejer mere en ±20 g fra 500 g? DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
28 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel: Normalfordeling, spørgsmål 1 f (x) X N(500,10 2 ) x er vægt af et rugbrød 1: Hvad er sandsynligheden for at brødet vejer under 490 g? Svar: P(X 490) = F(490) = 0.16 pnorm(490, mean=500, sd=10) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
29 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel: Normalfordeling, spørgsmål 2 f (x) X N(500,10 2 ) x er vægt af et rugbrød 1: Hvad er sandsynligheden for at brødet vejer mere end ±20 g fra 500 g? Svar: P(X 480 X > 520) = 2 P(X 480) = 2 F(480) = * pnorm(480, mean=500, sd=10) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
30 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Spørgsmål: Sandsynlighed i normalfordeling f (x) X N(500,10 2 ) x er vægt af et rugbrød Hvad er sandsynligheden for at rugbrødet vejer over 510 g lig med? A: F(510) B: 1 F(490) C: 1 F(520) D: 1 F(510) Svar: P(X > 510) = 1 P(X 510) = 0.16 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
31 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel: Normalfordeling fraktiler f (x) X N(500,10 2 ) 95%?? x er vægt af et rugbrød Omvendt spørgsmål :Hvilket interval dækker 95% af rugbrødene? qnorm(c(0.025,0.975), mean=500, sd=10) [1] DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
32 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Standard normalfordelingen En standard normalfordeling Z N(0,1 2 ) En normalfordeling med middelværdi 0 og varians 1. Standardisering En vilkårlig normalfordelt variabel X N(µ,σ 2 ) kan standardiseres ved at beregne Z = X µ σ DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
33 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel: Standard Normalfordeling f (x) X N(500,10 2 ) f (z) Z = X µ σ Z N(0,1 2 ) x er vægt af et rugbrød z er standardiseret vægt af et rugbrød (x-akse er i std. afvigelse) f (x) X N(500,10 2 ) f (z) 460 DTU Compute Introduktion 540 til Statistik Efterår / Z = X µ σ Z N(0,1 2 )
34 Konkrete Statistiske fordelinger Normalfordelingen Eksempel: Transformation til standard normalfordeling Z = X µ σ = X N(0,1 2 ) X N(500,10 2 ) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
35 Konkrete Statistiske fordelinger Log-Normal fordelingen Log-Normalfordelingen Skrivemåde: X LN(α,β 2 ) (Hvis X følger log-normal så følger ln(x) normal) Tæthedsfunktion: f (x) = { 1 x 2πβ e (ln(x) α)2 /2β 2 x > 0, β > 0 0 ellers Middelværdi: µ = e α+β 2 /2 Varians: σ 2 = e 2α+β 2 (e β 2 1) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
36 Konkrete Statistiske fordelinger Log-Normal fordelingen Eksempel: Log-normal fordelingen 0.25 Log Normalfordeling LN(1,1) 0.2 LN(1,1) Taethed, f(x) x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
37 Konkrete Statistiske fordelinger Log-Normal fordelingen Log-normal fordelingen Lognormal og Normalfordelingen: En log-normal fordelt variabel Y LN(α,β 2 ), kan transformeres til en standard normalfordelt variabel Z ved Z = ln(y) α β dvs. Z N(0,1 2 ) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
38 Eksponentialfordelingen Eksponentialfordelingen Skrivemåde: X Exp(λ) Tæthedsfunktionen { λe λx x > 0 f (x) = 0 ellers Middelværdi µ = 1 λ Varians σ 2 = 1 λ 2 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
39 Eksponentialfordelingen Eksempel: Eksponentialfordelingen Eksponential fordeling med β= EXP(1) Taethed, f(x) x DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
40 Eksponentialfordelingen Eksponentialfordelingen Eksponentialfordelingen er et special tilfælde af Gammafordelingen Eksponentialfordelingen anvendes f.eks. til at beskrive levetider og ventetider Eksponentialfordelingen kan bruges til at beskrive (vente)tiden mellem hændelser i poissonproces DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
41 Eksponentialfordelingen Sammenhæng mellem eksponential- og poissonfordelingen Poisson: Diskrete hændelser pr. enhed Eksponential: Kontinuert afstand mellem hændelser t 1 t 2 tid t DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
42 Eksponentialfordelingen Eksempel: Eksponentielfordeling Kø-model - poissonproces Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponentialfordelt med middelværdi µ = 2 minutter. Spørgsmål: En kunde er netop ankommet. Beregn sandsynligheden for at der ikke kommer flere kunder indefor en periode på 2 minutter vha. poissonfordelingen Svar: Eksponentialfordeling: X exp Exp(λ) with λ = 1 µ = min, find P(X exp > 2). Brug Poissonfordeling: λ 2min = 1, find P(X pois = 0). 1-pexp(q=2, rate=1/2); dpois(x=0, lambda=1) [1] 0.37 [1] 0.37 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
43 Regneregler for middelværdi og varians Regneregler for lineær funktion af et X Hvis: X er en stokastisk variabel Vi antager at a og b er konstanter Da gælder (gælder BÅDE kontinuert og diskret): Middelværdi-regel: E(aX + b) = ae(x) + b Varians-regel: V(aX + b) = a 2 V(X) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
44 Regneregler for middelværdi og varians Eksempel: Regneregler for lineær funktion af et X X er en stokastisk variabel En stokastisk variabel X har middelværdi 4 og varians 6. Spørgsmål: Beregn middelværdi og varians for Y = 3X + 2 Svar: E(Y) = 3E(X) + 2 = = 10 V(Y) = ( 3) 2 V(X) = 9 6 = 54 DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
45 Regneregler for middelværdi og varians Regneregler for lineær funktion af flere Xer Hvis: X 1,...,X n er stokastiske variable Da gælder (når de er uafhængige) (gælder BÅDE kontinuert og diskret): Middelværdi-regel: E(a 1 X 1 + a 2 X a n X n ) = a 1 E(X 1 ) + a 2 E(X 2 ) a n E(X n ) Varians-regel: V(a 1 X 1 + a 2 X a n X n ) = a 2 1 V(X 1) a 2 n V(X n ) DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
46 Regneregler for middelværdi og varians Eksempel: Regneregler for lineær funktion af flere Xer Flypassager-planlægning Vægten af een passagerer på fly på en strækning antages normalfordelt X N(70,10 2 ). Et fly, der kan tage 55 passagerer, må max. lastes med 4000 kg (kun passageres vægt betragtes som last). Spørgsmål: Beregn sandsynligheden for at flyet bliver overlastet. Hvad er den samlede passagervægt Y på en afgang? A: Y = 55 X B: Y = 55 i=1 X i C: Y = 55 + X D: Ej A,B eller C Svar B: Y = 55 i=1 X i, det er summen af 55 forskellige passagerer. DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
47 Regneregler for middelværdi og varians Eksempel: Regneregler 3 Hvad er den samlede passagervægt Y på en afgang? Y = 55 i=1 X i, hvor X i N(70,10 2 ) Middelværdi og varians for Y: E(Y) = V(Y) = 55 i=1 55 i=1 E(X i ) = V(X i ) = 55 i=1 55 i=1 70 = = = = 5500 Bruger normalfordeling for Y: 1-pnorm(4000, mean = 3850, sd = sqrt(5500)) [1] DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
48 Regneregler for middelværdi og varians Eksempel: Regneregler 3 - FORKERT ANALYSE Hvad er Y? I hvert fald IKKE: Y = 55 X!!!!!! Middelværdi og varians for Y: E(Y) = = 3850 Bruger normalfordeling for Y: V(Y) = 55 2 V(X) = = = pnorm(4000, mean = 3850, sd = 550) [1] 0.39 Konsekvens af forkert beregning: MANGE spildte penge for flyselskabet!!! DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
49 Regneregler for middelværdi og varians Lineær kombination af normalfordelte stokastiske variabler er også normalfordelt Lineær kombination af normalfordelte stokastiske variabler er også normalfordelt Theorem 2.40: Let X 1,...,X n be independent normal random variables, then any linear combination of X 1,...,X n will follow a normal distribution, with mean and variance given in Theorem DTU Compute Introduktion til Statistik Efterår / 53
enote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereKursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 13: Summary. Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 13: Summary Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereNormalfordelingen og Stikprøvefordelinger
Normalfordelingen og Stikprøvefordelinger Normalfordelingen Standard Normal Fordelingen Sandsynligheder for Normalfordelingen Transformation af Normalfordelte Stok.Var. Stikprøver og Stikprøvefordelinger
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mere3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereForelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning)
Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Konfidensinterval for middelværdi (og spredning) Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereStatistiske modeller
Statistiske modeller Statistisk model Datamatrice Variabelmatrice Hændelse Sandsynligheder Data Statistiske modeller indeholder: Variable Hændelser defineret ved mulige variabel værdier Sandsynligheder
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Læs mereKursus 02323: Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning. Peder Bacher
Kursus 02323: Introducerende Statistik Forelæsning 12: Forsøgsplanlægning Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereKursus 02402/02323 Introduktion til statistik. Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff
Kursus 02402/02323 Introduktion til statistik Forelæsning 13: Et overblik over kursets indhold Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mere1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed...
Indhold 1 Sandsynlighed 1 1.1 Sandsynlighedsbegrebet................................. 1 1.2 Definitioner........................................ 2 1.3 Diskret fordeling.....................................
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereEksempel I. Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter.
Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus er eksponential fordelt med middelværdi µ =2minutter. Per Bruun Brockhoff IMM DTU 02402 Eksempler 1 Eksempel I Tiden mellem kundeankomster på et posthus
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i uge 5 Opgave 5.117, side 171 (7ed: 5.116 side 201 og 6ed: 5.116 side 197) I denne opgave skal vi benytte relationen mellem den log-normale fordeling
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereAlmindelige kontinuerte fordelinger
Almindelige kontinuerte fordelinger Den uniforme fordeling Symbol: X Uniform a,b Beskrivelse: Et tilfældigt tal mellem a og b. Støtte: V X a, b. Tæthedsfunktion: f x 1/ b a for x a,b Fordelingsfunktion:
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereForelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalyse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereSandsynlighedsfordelinger for kontinuerte data på interval/ratioskala
3 5% 5% 5% 0 3 4 5 6 7 8 9 0 Statistik for biologer 005-6, modul 5: Normalfordelingen opstår når mange forskellige faktorer uafhængigt af hinanden bidrager med additiv variation til. F.eks. Højde af rekrutter
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mere02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset
02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2018 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 08 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereHvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 8. december 04 Kursus nr : 040 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereEx µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4. hvor. Vha. R: Vha. tabel:
Normal fordeling Tæthedsfunktion for normalfordeling med middelværdi µ og varians σ 2 : Program (8.15-10): f() = 1 µ)2 ep( ( 2πσ 2 2σ 2 ) E µ = 3,σ 2 = 1 og µ = 1,σ 2 = 4 1. vigtige sandsynlighedsfordelinger:
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 17. december 015 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs merek UAFHÆNGIGE grupper Oversigt 1 Intro eksempel 2 Model og hypotese 3 Beregning - variationsopspaltning og ANOVA tabellen 4 Hypotesetest (F-test)
Kursus 02323: Introduktion til Statistik Forelæsning 11: Envejs variansanalse, ANOVA Peder Bacher DTU Compute, Dnamiske Sstemer Bgning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lngb Danmark e-mail:
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs mere