Forbrugeroverskud, ækvivalerende og kompenserende variationer

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Forbrugeroverskud, ækvivalerende og kompenserende variationer"

Transkript

1 Forbrugeroverskud, ækvivalerende og kompenserende variationer Introduktion Undervisningsnote til Mikro A, af Ole Kveiborg og Michael Teit Nielsen Vi har kigget en hel del på, hvordan forbrugeren reagerer på prisændringer - både når indkomsten er eksogen, og når den fremkommer ved privat ejendomsret til nogle ressourcer: Vil forbrugeren vælge at bruge/efterspørge/købe/sælge flere eller færre enheder af varen, når en pris ændrer sig? Vi har, i god neoklassisk tradition, hele tiden været bevidste om, at nyttefunktionerne kun giver mening i ordinal forstand og ikke i kardinal. Så vi kan afgøre, om en prisændring stiller en forbruger værre eller bedre, alt efter om nytten stiger eller falder. Men den absolutte ændring af nytten om den stiger med ½, 17 eller kan vi på grund af den kardinale fortolkning ikke bruge til noget. Men kan vi på en anden måde få et udtryk for, hvor meget værre eller bedre forbrugeren bliver stillet? Det er her, at begreber som forbrugeroverskud samt ækvivalerende og kompenserende variationer kommer ind, fordi de kan give os en ide om velfærdsændringen, ikke målt i nytte, men i kroner (allerede Aristoteles sagde jo: Alt måles i penge ). Formålet med denne note er at give en kort gennemgang af disse begreber, som anvendes i den almindelige mikro-litteratur, og sammenligne dem med Nechybas kapitel 10, idet Nechybas definition af forbrugeroverskud afviger fra den øvrige litteraturs. Kort sagt er forbrugeroverskuddet forskellen mellem det, forbrugeren er villig til at betale, og det beløb, vedkommende faktisk betaler. Den helt centrale forskel mellem Nechyba s definition og den gængse definition er, om man måler betalingsviljen ud fra den (Hicks-)kompenserede efterspørgselsfunktion (Nechyba) eller den ordinære (Marshall) efterspørgselsfunktion (litteraturen). Forbrugeroverskud: Diskret gode og quasi-lineære præferencer Lad os først se på den definition af forbrugeroverskud, som anvendes i de fleste lærebøger (f.eks. Hal Varian: Intermediate Microeconomics ). For at forstå, hvad consumer s surplus er, vil vi prøve at se på tilfældet med en forbruger, der har quasi-lineære præferencer ift. et diskret gode (dvs. et udeleligt gode). Vi lader gode 1 være det diskrete gode og nyttefunktionen have formen u(x 1,x 2 ) = v(x 1 ) + x 2. For at gøre tingene simple, lader vi prisen på gode 2 være lig 1 idet vare 2 kan tænkes som aggregeret forbrugsgode eller penge til andet forbrug. Vi lader (uden tab af generalitet) nyttefunktionen have absolut værdi 0 for nul enheder, dvs.: v(0)=0. Vi kan nu opstille to betingelser for, at vores forbruger vælger n enheder af det diskrete gode (hvor n er et positivt naturligt tal), nemlig at nytten er mindst så stor som ved at vælge (n-1) hhv. (n+1): v(n) + m n p 1 v(n 1) + m (n 1) p 1,

2 og p 1 v(n) v(n 1) v(n) + m n p 1 v(n +1) + m (n +1) p 1, p 1 v(n +1) v(n) Vi kan omskrive og sammenfatte disse betingelser til: v(n +1) v(n) p 1 v(n) v(n 1) eller at hvor vi definerer: r(n+1) p 1 r(n) r(n)=v(n)-v(n-1) idet r(n) er den højeste pris, ved hvilken forbrugeren køber mindst n enheder af vare 1 dvs. reservationsprisen for n enheder. Ved at indsætte finder vi, at vi kan skrive v(n)=r(1)+r(2)+r(3)+ +r(n). Med andre ord kan vi skrive den samlede nytte ved et forbrug på n enheder, når prisen er netop r(n), som: u(x 1,x 2 ) = v(n) + I n r(n) = r(1) + r(2) + + r(n)+i n r(n) Hvis vi illustrerer reservationspriserne som en trinvis funktion, vil nytten derfor kunne findes som arealet fra prislinjen og op til den inverse efterspørgselsfunktion (reservationspris- trappen ). Dette ses i nedenstående illustration. Figur 1. Reservationspriser og Consumer s surplus for diskrete goder.

3 I figur B udgøres forbrugeroverskuddet af det blå areal, når prisen på vare 1 er p. Dette areal svarer til et beløb i kroner. Det mest relevante for vores velfærdsbetragtninger er dog ikke selve størrelsen af det samlede forbrugeroverskud, men ændringen i dette overskud, når prisen ændres. På grund af de særlige forudsætninger om quasi-lineære præferencer, samt at vare 2 opfattes som alt andet forbrug med prisen 1, kan vi dermed faktisk skabe en forbindelse fra nyttefunktionen (den absolutte nytte samt marginale ændringer i nytten) til kronebeløb. Hvis man i figur B forestiller sig, at prisen falder fra r 3 til p, vil ændringen i forbrugeroverskuddet være, at dette forbrugeroverskud vokser med præcis det areal, der lodret har højden (r 3 - p) og vandret længden (3-0). Forbrugeroverskud: Kontinuert gode og quasi-lineære præferencer Lad os nu gå over til det mere gængse tilfælde, nemlig at vare 1 er et fuldt ud deleligt gode, hvis mængde kan beskrives ved et ikke-negativt reelt tal idet vi kan overføre en stor del af intuitionen fra det diskrete godes tilfælde. Vi antager stadig, at vi kan skrive nyttefunktionen som u(x 1,x 2 ) = v(x 1 ) + x 2, idet v nu antages at være to gange differentiabel, med v > 0 og v < 0. Vi antager fortsat, at prisen på vare 2 er 1. Betragt nyttemaksimeringsproblemet i dette særlige tilfælde: Førsteordensbetingelsen bliver: Max v(x 1 ) + x 2 ubb. p 1 x 1 + x 2 = I v (x 1 ) = p 1 Hvoraf vi kan udlede dette udtryk for den Marshallske efterspurgte mængde af vare 1: x 1 = *v + -1 (p 1 ) Vi får ikke overraskende at indkomsten ikke spiller nogen rolle for efterspørgslen efter vare 1; der er jo tale om quasi-lineære præferencer. Af ovenstående kan vi se, at grafen for funktionen v, når man aflæser den fra mængdeaksen, kan opfattes som den inverse (Marshallske) efterspørgselsfunktion. Med andre ord angiver v (x 1 ) den marginale betalingsvillighed: Hvis forbrugeren i forvejen forbruger x 1 enheder af vare 1, hvor meget er forbrugeren da villig til at betale for en ekstra enhed af denne vare? Svaret er: v (x 1 ). Antag, at prisen på vare 1 er p 1 *. Intuitivt kan vi da betragte hver marginal forøgelse af forbruget fra mængden 0 og op til mængden x 1 * = *v + -1 (p 1 * ). Vi kan da for mængden x 1, hvor 0 < x 1 < x 1 *, se på: Hvor meget var forbrugeren villig til marginalt at betale? Svaret er: v (x 1 ). Hvor meget betalte forbrugeren faktisk, marginalt? Svaret er p 1 *. Det marginale forbrugeroverskud er derfor afstanden fra den inverse efterspørgselskurve ned til p 1 *.

4 Det samlede forbrugeroverskud fås naturligvis ved at integrere; grafisk svarer det til arealet mellem den vandrette linje ved p 1 * og op til *v +-kurven. Og som før vil det relevante være at se på virkningen af prisændringer. Hvis prisen falder 1 kr., forøges forbrugeroverskuddet med det areal, der lodret afgrænses af priserne (p 1 * -1) og p 1 og vandret afgrænses af prisaksen i venstre side og efterspørgselskurven (*v + -1 ) i højre. Som nævnt har vi hele tiden forudsat, at forbrugeren havde quasi-lineære præferencer, sådan at efterspørgslen efter vare 1 var uafhængig af indkomsten I. I dette særlige tilfælde, og når vare 2 var alt andet forbrug til en pris på 1, gav det hele god mening. Forbrugeroverskud: Kontinuert gode og generelle præferencer De fleste økonomer har dog syntes, at der var noget intuitivt tiltalende ved at se på Marshallefterspørgselskurven for en vare og betragte den lodrette afstand fra den inverse efterspørgselskurve ned til prislinjen som et udtryk for marginalt forbrugeroverskud, og dermed ændringer i arealet bag ved efterspørgselskurven når prisen på varen blev ændret som et udtryk for velfærdsændring for forbrugeren, målt i kroner. Det betyder, at i litteraturen bruges begrebet forbrugeroverskud (Consumer s Surplus) således for en forbruger uanset om forbrugeren har quasi-lineære præferencer eller: Hvor s * er markedsprisen på vare i, og x() angiver Marshall-efterspørgslen. Man bruger ofte den inverse efterspørgselsfunktion p i (x i ) og kan derfor også beregne det som Hvor vi altså ser på ændringen fra intet forbrug til det faktiske forbrug. Det mest interessante er dog stadig, når vi vil se på velfærdsændringer som følge af prisændringer: Hvor toptegnene 0 og 1 i integralets grænser angiver prisen før ændringer (0) hhv. efter ændringen (1).

5 Figur 2. Ændring i Consumer s surplus Intuitionen i ovenstående er naturlig og virker meget overbevisende. Det har også fået økonomerne til at udbrede begrebet fra Consumer s Surplus til Consumers Surplus hvor man skal se godt efter for at finde den subtile forskel! Men pointen er, at hvor vi hidtil har kigget på den partielle Marshall-efterspørgselskurve for én forbruger og betragtet ændringer i arealet bag den individuelle efterspørgselskurve, er økonomer gået til at se på det tilsvarende for den samlede/aggregerede markedsefterspørgselskurve, hvor alle forbrugeres individuelle efterspørgselskurver er blevet adderet vandret. Det er en øvelse, der aldeles ser bort fra det værdipolitiske/etiske i, hvordan vi meningsfyldt prioritere forskellige forbrugeres velfærd i forhold til hinanden noget Arrow med sit umulighedsteorem viste, er en betænkelig affære. Men lad dette emne ligge og lad os igen vende os mod den enkelte forbruger. Her viser det sig nemlig, at hvis præferencerne er sådan, at der er en indkomsteffekt, så er ændringen i forbrugeroverskuddet som det er defineret i litteraturen, nemlig som ændring i arealet bag Marhall-efterspørgselskurven ikke det mest præcise mål for den velfærdsændring, forbrugeren oplever. Lad os derfor introducere nogle mere præcise begreber til at måle velfærdsændringen af en prisændring i pengetermer. Nogle begreber, der faktisk tager højde for indkomstvirkninger og som vil ende med at fortælle os, at velfærdsvirkningen for forbrugeren faktisk alene er knyttet til substitutionsvirkningen af en prisændring! Kompenserende variation og ækvivalerende variation Der er i litteraturen generelt to måder, at gøre dette på: Beregning af enten den ækvivalerende variation (EV) og den kompenserende variation (CV).

6 De to begreber kan kort defineres som: Kompenserende variation (CV): De ekstra penge, som forbrugeren skal tilføres i indkomst for at kunne opnå samme nytteniveau som inden prisændringen, dvs. ved de gamle priser Ækvivalerende variation (EV): Det beløb, man kunne have taget ud af forbrugerens indkomst ved de oprindelige priser, så han kan opnå samme nytteniveau som ved de nye priser Centralt her er Hicks tanker om, hvordan man billigst muligt kan kompensere forbrugerens indkomst for prisændringer. Med andre ord at udgiftsminimere, idet vi betragter en situation, hvor prissystemet ændres fra p* til p. Lad notationen være, at forbrugeren i udgangspunktet opnår nytten u* = V(p*, I*), og efter prisændringen til p opnår nytten u = V(p, I*) (når indkomsten er uændret, dvs. der ikke er givet nogen kompensation), idet V er den indirekte nyttefunktion. Matematisk set kan CV da defineres som: E(p,u*) I* fordi E(p,u*) er den laveste indkomst, der kan sikre forbrugeren det gamle nytteniveau u, når priserne nu er ændret til p. Forbrugeren råder selv kun over indkomsten I*, så derfor er ovenstående differens nøjagtig det (lavest mulige) beløb, vi skal tilføre forbrugeren, for at denne kan opretholde sin gamle nytte. Tilsvarende kan EV defineres som: I*- E(p*,u) Fordi E(p*,u) er den laveste indkomst, der ville give forbrugeren det nye nytteniveau u ved de gamle priser p* Sammenligning af begreber når præferencer er quasi-lineære Lad os et kort øjeblik vende tilbage til særtilfældet med quasi-lineære præferencer, hvor p 2 hele tiden er 1, og prisændringen sker i prisen på vare 1. Lad os sige, at denne pris stiger fra p 1 * til p 1 > p 1 *. Da vil forbrugeren sænke sit forbrug af vare 1 fra x 1 * = *v + -1 (p 1 *) til x 1 = *v + -1 (p 1 ). Forbruget af vare 2 ændres fra (I* - p 1 * x 1 *) til (I* - p 1 x 1 ). Bemærk, at ved uændrede priser vil ændringer i indkomsten kun påvirke forbruget af vare 2, så en kompensation på a kroner ryger direkte over i en forøgelse på a enheder af vare 2. Derfor vil en kompensation på CV resultere i, at forbruget af vare 2 forøges med CV. Da må CV opfylde følgende lighed i velfærd i to situationer (nyt prissystem samt CV-kompensation hhv. gammelt prissystem og gammel indkomst) :

7 Hvoraf vi ser, at: v(x 1 ) + I* - p 1 x 1 + CV = v(x 1 *) + I* - p 1 * x 1 * Og EV må tilsvarende opfylde: CV = v(x 1 *) - v(x 1 ) - p 1 * x 1 *+ p 1 x 1 Hvoraf vi ser, at: v(x 1 ) + I* - p 1 * x 1 * - EV = v(x 1 ) + I* - p 1 x 1 EV = v(x 1 *) - v(x 1 ) - p 1 * x 1 *+ p 1 x 1 I særtilfældet med quasi-lineære præferencer bliver de to begreber CV og EV altså sammenfaldende. Men ikke nok med det vi kan også se på ændringen i CS (forbrugeroverskuddet). Det er i udgangssituationen v(x 1 *) - p 1 * x 1 * og ændres efter prisstigningen til v(x 1 ) - p 1 x 1. Dermed falder forbrugeroverskuddet med: v(x 1 *) - v(x 1 ) - p 1 * x 1 *+ p 1 x 1. Derfor får vi alt i alt, i tilfældet med quasi-lineære præferencer: CV = EV = - CS Det bekræfter os i, at når vi er i det særtilfælde, hvor forbrugeren har quasi-lineære præferencer, er ændringen i forbrugeroverskud faktisk et meget præcist mål for velfærdsændringen. Sammenligning af begreber i det generelle tilfælde Lad os nu vende tilbage til det generelle tilfælde med præferencer, der ikke nødvendigvis er quasi-lineære. Lad os betragte begrebet CV, der tager udgangspunkt i situationen, hvor prissystemet er p*, og nytteniveauet er u*. Som vi så, har CV at gøre med ændringer i det Hicks-kompenserede budget. Vi ved fra efterspørgselsteorien, at (på grund af Envelope Theorem): Så den marginale ændring i udgiftsfunktionen, når prisen på vare 1 stiger, svarer til den kompenserede efterspørgsel (Hicks-efterspørgsel). Dermed bliver den samlede ændring i udgiftsfunktionen integralet på et stykke af den kompenserede efterspørgsel, idet vi integrerer fra værdien p 1 * til værdien p 1. Med andre ord kan man aflæse velfærdsændringen for forbrugeren som ændringen i arealet til venstre for den kompenserede efterspørgselskurve. Det er netop dette begreb, som Nechyba betegner som Consumer s surplus, men som resten af litteraturen betegner som kompenserende variationer.

8 Nedenstående figur kan forhåbentlig bidrage til lidt opklaring af de begreber, som Nechyba hhv. alle andre bruger, når det handler om at måle de velfærdsændringer for en forbruger, som prisændringer forårsager. Ændringer i arealet bag Marshallefterspørgselskurve Ændringer i arealet bag Hickskompenseret-efterspørgselskurve Nechyba Omtales ikke Consumer s Surplus Litteraturen i øvrigt Consumer s Surplus Compensating Variations Det kan godt være, at Nechyba er uenig med andre økonomer om betegnelserne men der er helt sikkert enighed om, at det mest retvisende begreb er at se på ændringer i arealet bag den kompenserede efterspørgselskurve. Hvorfor? Fordi det reelle velfærdstab for forbrugeren ligger i substitutionsvirkningerne eller man kunne sige: Andre indkomst-kompensationsbegreber end Hicks vil overkompensere forbrugeren. Alligevel er det blandt økonomer en kendt og populær løsning blot at se på ændringer i arealet bag Marshall-efterspørgselskurven. Vel blandt andet fordi det er lettere økonometrisk at estimere denne end det mere abstraktive og fiktive begreb kompenseret efterspørgsel. Normale kontra inferiøre goder Vi ved fra dualiteten mellem nyttemaksimering og udgiftsminimering, at vi har x 1 (p *, I * ) = h 1 (p *, u * ) dvs. i udgangspunktet angiver Marshall-efterspørgslen og den kompenserede efterspørgsel samme mængde. Fra Slutsky-ligningen kan vi se, at hvis der er tale om et normalt gode, vil Marshall-efterspørgselskurven have en stejlere hældning, læst fra prisaksen, end den kompenserede efterspørgsel har. Så hvis prisen på vare 1 stiger, vil vi (når vi bruger standard-litteraturens begreber) få, at ændringen i forbrugeroverskud underdriver det reelle velfærdstab for forbrugeren (som er mere reelt udtrykt ved det her numerisk større CV). Omvendt, hvis godet er inferiørt: Da har Marshall-efterspørgselskurven en fladere hældning, læst fra prisaksen, end den kompenserede efterspørgsel. Så hvis prisen på vare 1 stiger, vil vi (når vi bruger standard-litteraturens begreber) få, at ændringen i forbrugeroverskud overdriver det reelle velfærdstab for forbrugeren (som er mere reelt udtrykt ved det her numerisk mindre CV).

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2005I 1. årsprøve, Mikroøkonomi Claus Thustrup Kreiner OPGAVE 1 1.1 Forkert. En isokvant angiver de kombinationer af inputs, som resulterer i en given

Læs mere

Kapitel 15: Markedsefterspørgsel

Kapitel 15: Markedsefterspørgsel November 29, 2008 Indledning individuel efterspørgsel: maximering af nytte under budgetbegrænsning Ligevægt: udbud er lig efterspørgsel afgørende: den samlede efterspørgsel Centralt: hvordan afhænger efterspørgslen

Læs mere

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer

Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Substitutions- og indkomsteffekt ved prisændringer Erik Bennike 14. november 2009 Denne note giver en beskrivelse af de relevante begreber omkring substitutions- og indkomsteffekter i mikroøkonomi. 1 Introduktion

Læs mere

1 Markedsefterspørgsel (kapitel 15) 1. Markedseftersspørgselskurven: Sammenhængen mellem markedspris og samlet efterspørgsel på et marked.

1 Markedsefterspørgsel (kapitel 15) 1. Markedseftersspørgselskurven: Sammenhængen mellem markedspris og samlet efterspørgsel på et marked. 1 Markedsefterspørgsel (kapitel 15) 1. Markedseftersspørgselskurven: Sammenhængen mellem markedspris og samlet efterspørgsel på et marked. 2 Fra forbrugerefterspørgsel til markedsefterspørgsel 1. For enhver

Læs mere

Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel

Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel Forbrugerteori: Optimale valg og efterspørgsel Jesper Breinbjerg Department of Business and Economics University of Southern Denmark Akademiet for Talentfulde Unge, 20. marts 2014 Jesper Breinbjerg Optimale

Læs mere

Kapitel 8: Slutsky ligningen

Kapitel 8: Slutsky ligningen November 25, 2008 Forbrugerens valg: Vælg dets bedste mulige varebundt Efterspørgselsfunktion: x 1 (p 1, p 2, m) og x 2 (p 1, p 2, m) Kapitel 6: hvordan ændres efterspørgselsfunktionen med p 1, p 2 og

Læs mere

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS

Bilag I. ~ i ~ Oversigt BILAG II MATEMATISK APPENDIKS. The Prisoner s Dilemma THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS Oversigt BILAG I I THE PRISONER S DILEMMA INTRODUKTION I RELATION TIL SAMORDNET PRAKSIS I I II BILAG II III GENNEMSIGTIGHEDENS BETYDNING III MATEMATISK APPENDIKS V GENERELT TILBAGEDISKONTERINGSFAKTOREN

Læs mere

Opgavebesvarelse - Øvelse 3

Opgavebesvarelse - Øvelse 3 Opgavebesvarelse - Øvelse 3 Opgave 3.2 Lad økonomien være karakteriseret ved følgende adfærdsligninger: a) Løs for ligevægts BNP: derved at vi bruger ligningen. b) Løs for den disponible indkomst: c) Løs

Læs mere

Kapitel 1: Markedet for lejeboliger - et eksempel.

Kapitel 1: Markedet for lejeboliger - et eksempel. Kapitel 1: Markedet for lejeboliger - et eksempel. November 8, 2008 Kapitel 1 er et introducerende kapitel. Ved hjælp af et eksempel illustreres nogle af de begreber og ideer som vil blive undersøgt mere

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER I

ØKONOMISKE PRINCIPPER I ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 7 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 7 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Forelæsning 4-6 analyserede hvordan markedsmekanismen

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2008I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2008I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2008I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Claus Thustrup Kreiner MÅLBESKRIVELSE Karakteren 12 opnås, når den studerende ud fra fagets niveau på fremragende

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER I

ØKONOMISKE PRINCIPPER I ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 7 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 7 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Forelæsning 4-6 analyserede hvordan markedsmekanismen

Læs mere

Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet. Workshop. Opgave 1. = = 3x 2

Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet. Workshop. Opgave 1. = = 3x 2 Institut for virksomhedsledelse og økonomi, Syddansk Universitet Workshop Opgave 1 Antag at en forbrugers nyttefunktion er givet ved u(, x ) x 3 1 x. Forbrugeren har derudover følgende budgetbetingelse:

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER I

ØKONOMISKE PRINCIPPER I ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 5 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 5 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Kapitel 4 analyserede bl.a. hvordan ændringer

Læs mere

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0

[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0 MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER I

ØKONOMISKE PRINCIPPER I ØKONOMISKE PRINCIPPER I 1. årsprøve, 1. semester Forelæsning 4 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 4 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperi Introduktion Kapitel 3 påpegede mulige gevinster ved

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed

Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Mikroøkonomi Projektopgave: Valg Under Usikkerhed Peter Norman Sørensen, Økonomisk Institut Forår 2003 1. Formalia [10 minutter] Denne obligatoriske projektopgave er en guide til selvstudium af kapitel

Læs mere

Priskontrol og velfærd: Maksimalpriser eller mindste priser leder ofte til at der opstår overskudsefterspørgsel

Priskontrol og velfærd: Maksimalpriser eller mindste priser leder ofte til at der opstår overskudsefterspørgsel riskontrol og velfærd: Maksimalpriser eller mindste priser leder ofte til at der opstår overskudsefterspørgsel eller overskudsudbud på markedet. Eksempel maksimalpris på maks : Overskudsefterspørgsel maks

Læs mere

Kapitel 4: Nyttefunktioner

Kapitel 4: Nyttefunktioner Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte betragtet som en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten er kardinal: Størrelsen på nyttedifferencer har betydning.

Læs mere

Øvelse 17 - Åbne økonomier

Øvelse 17 - Åbne økonomier Øvelse 17 - Åbne økonomier Tobias Markeprand 20. januar 2009 Opgave 21.2 Betragt et land, der opererer under faste valutakurser, med den samlede efterspørgsel og udbud givet ved ligninger (21.1) og (21.2)

Læs mere

Kapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere præferencer?

Kapitel 3: Præferencer. Hvordan skal vi modellere præferencer? Kapitel 3: Præferencer Hvordan skal vi modellere præferencer? 1. Paradigme (husk fra forrige kapitel): Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Vi har set på hvordan man kan

Læs mere

IS-relationen (varemarkedet) i en åben økonomi.

IS-relationen (varemarkedet) i en åben økonomi. IS-relationen (varemarkedet) i en åben økonomi. Det har ikke været nødvendigt at skelne mellem 1) Indenlandsk efterspørgsel efter varer 2) Efterspørgsel efter indenlandske varer For den åbne økonomi er

Læs mere

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen

Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Side 1 af 5 Kap4: Velfærdseffekten af prisdiskriminering i flybranchen Når flyselskaberne opdeler flysæderne i flere klasser og sælger billetterne til flysæderne med forskellige restriktioner, er det 2.

Læs mere

Kapitel 4: Nyttefunktioner. Hvad er nytte? - det gamle syn:

Kapitel 4: Nyttefunktioner. Hvad er nytte? - det gamle syn: Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte er en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten måles for eksempel på en skala fra 0 til 100. 3. Skalaen er kardinal:

Læs mere

Rettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi

Rettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi Rettevejledning til eksamen i Introduktion til økonomi 3 timers prøve med hjælpemidler, d. 1. Januar 009 Samtlige spørgsmål ønskes besvaret. Opgavens vægt i karaktergivningen er angivet ved hver opgave.

Læs mere

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul

Asymptoter. for standardforsøgene i matematik i gymnasiet. 2003 Karsten Juul Asymptoter for standardforsøgene i matematik i gymnasiet 2003 Karsten Juul Indledning om lodrette asymptoter Lad f være funktionen bestemt ved =, 2. 2 Vi udregner funktionsværdierne i nogle -værdier der

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM50 forelæsningsslides uge 36, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm Nogle talmængder s. 3 N = {, 2, 3, } omtales som de naturlige tal eller de positive heltal. Z = {0, ±, ±2, ±3, } omtales som de hele

Læs mere

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable

Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Projekt 4.6 Løsning af differentialligninger ved separation af de variable Differentialligninger af tpen d hx () hvor hx ()er en kontinuert funktion, er som nævnt blot et stamfunktionsproblem. De løses

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Et Markedet for lejeboliger til studerende. Model:

Et Markedet for lejeboliger til studerende. Model: Kapitel 1: Markedet - et eksempel. Et Markedet for lejeboliger til studerende Model: 1. Alle lejligheder er identiske. 2. Men nogle ligger tæt på universitet (indre ring), andre længere væk (ydre ring).

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 15. august 2011 kl. 9.00-14.00. kl. 9.00-10.00. hhx112-mat/a-15082011

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 15. august 2011 kl. 9.00-14.00. kl. 9.00-10.00. hhx112-mat/a-15082011 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx11-mat/a-1508011 Mandag den 15. august 011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

matematik-økonomi-studerende

matematik-økonomi-studerende matematik-økonomi-studerende Første studieår Introduktion til matematiske metoder i økonomi Skriftlig prøveeksamen december 2012 med korte svar Dato: selvvalgt Tidspunkt: varighed 4 timer Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

1 Bytteøkonomier (kapitel 30)

1 Bytteøkonomier (kapitel 30) 1 Bytteøkonomier (kapitel 30) 1. Setup: Vi har en række forbrugere med hver deres initialbeholdning af en række goder. (a) Ren bytteøkonomi - ingen virksomheder - ingen produktion! 2. Typiske spørgsmål:

Læs mere

Modellering af elektroniske komponenter

Modellering af elektroniske komponenter Modellering af elektroniske komponenter Formålet er at give studerende indblik i hvordan matematik som fag kan bruges i forbindelse med at modellere fysiske fænomener. Herunder anvendelse af Grafregner(TI-89)

Læs mere

Kapitel 3 Lineære sammenhænge

Kapitel 3 Lineære sammenhænge Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Lineære sammenhænge Det sker tit, at man har flere variable, der beskriver en situation, og at der en sammenhæng mellem de variable. Enhver formel er faktisk

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Læring af test. Rapport for. Aarhus Analyse Skoleåret

Læring af test. Rapport for. Aarhus Analyse  Skoleåret Læring af test Rapport for Skoleåret 2016 2017 Aarhus Analyse www.aarhus-analyse.dk Introduktion Skoleledere har adgang til masser af data på deres elever. Udfordringen er derfor ikke at skaffe adgang

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4

gudmandsen.net 1 Parablen C-niveau y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. Mandag den 19. december 2011. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hhx113-mat/a-19122011 Mandag den 19. december 2011 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er

Læs mere

Efterspørgsel og udbud

Efterspørgsel og udbud J.Andersen og H.Keiding: Introduktion til Nationaløkonomi Kapitel 2, side 1 Kapitel 2 Efterspørgsel og udbud 1. Efterspørgsel og hvad der ligger bag Prisdannelsen og markedsmekanismens funktion er et af

Læs mere

ØKONOMISKE PRINCIPPER II

ØKONOMISKE PRINCIPPER II ØKONOMISKE PRINCIPPER II 1. årsprøve, 2. semester Forelæsning 13 Pensum: Mankiw & Taylor kapitel 34 Claus Thustrup Kreiner www.econ.ku.dk/ctk/principperii Fra kapitel 33 AD-AS-diagrammet AD: Negativ hældning

Læs mere

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1

-9-8 -7-6 -5-4 -3-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9. f(x)=2x-1 Serie 1 En funktion beskriver en sammenhæng mellem elementer fra to mængder - en definitionsmængde = Dm(f) består af -værdier og en værdimængde = Vm(f) består af -værdier. Til hvert element i Dm(f) knttes netop

Læs mere

Peter Harremoës Matematik A eksamen med hjælpemidler 25. maj 2016

Peter Harremoës Matematik A eksamen med hjælpemidler 25. maj 2016 Opgave 6 Se bilag 2! Idet f (x) kun har rod x = 1, kan funktionens monotoniforhold bestemmes ved at indsætte passende valgte værdier. Da f ( 1 /4) = 4 2 = 2 > 0, vokser funktionen i ]0; 1]. Da f (4) =

Læs mere

Velkommen til Økonomi 1!!!!

Velkommen til Økonomi 1!!!! Velkommen til Økonomi 1!!!! Mikro-delen Foråret 2004. Lars Østerdal Mail: lars.p.osterdal@econ.ku.dk Tlf: 35 32 35 61 Kontor: Økonomisk Institut, Nørregade 7A, 1. sal. www.econ.ku.dk/lpo Introduktion til

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl hhx142-mat/a

Matematik A. Højere handelseksamen. Mandag den 18. august 2014 kl hhx142-mat/a Matematik A Højere handelseksamen hhx14-mat/a-1808014 Mandag den 18. august 014 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge Udgave 009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Lineære sammenhænge, udgave 009" Indhold 1 Eksponentielle sammenhænge, ligning og graf 1 Procent 7 3 Hvad fortæller

Læs mere

Øvelse 11 - Opsummering af den lukkede økonomi

Øvelse 11 - Opsummering af den lukkede økonomi Øvelse 11 - Opsummering af den lukkede økonomi Tobias Markeprand 18. november 2008 X3 Opgave 1 C = 275 + 0, 75(Y T ) (Privat forbrug) I = 75 6, 25i (Investeringer) G = 350 (Offentligt forbrug) T = 387,

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

1 Oligopoler (kapitel 27)

1 Oligopoler (kapitel 27) 1 Oligopoler (kapitel 27) 1. Vi har set på to vigtige markedsformer: (a) Fuldkommen konkurrence. Alle virksomheder pristagere - en rimelig antagelse i situation mange små konkurrenter. (b) Monopol. Kun

Læs mere

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable

3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable 3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2007I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I

Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2007I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Vejledende opgavebesvarelse Økonomisk kandidateksamen 2007I 1. årsprøve, Økonomiske Principper I Claus Thustrup Kreiner OPGAV 1 1.1 Forkert. n vare er rivaliserende, hvis én persons forbrug af varen gørdetumuligtforandrepersoneratforbrugesamevare.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT

STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 2007 2010 MATEMATIK A-NIVEAU. MATHIT Prøvesæt 2010. Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT STUDENTEREKSAMEN MATHIT PRØVESÆT MAJ 007 010 MATEMATIK A-NIVEAU MATHIT Prøvesæt 010 Kl. 09.00 14.00 STXA-MATHIT Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: timer med autoriseret formelsamling Delprøve

Læs mere

UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER

UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER UNDERVISNINGSEFFEKT-MODELLEN 2006 METODE OG RESULTATER Undervisningseffekten udregnes som forskellen mellem den forventede og den faktiske karakter i 9. klasses afgangsprøve. Undervisningseffekten udregnes

Læs mere

1 Monopoler (kapitel 24)

1 Monopoler (kapitel 24) Monopoler (kapitel 24). Vi har indtil nu fokusret på markeder med fuldkommen konkurrence: Virksomheder tager prisen for given. 2. Vi ser nu på et marked med én virksomhed. (a) Virksomheden sætter prisen

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

1 Monopoler (kapitel 24)

1 Monopoler (kapitel 24) Monopoler (kapitel 24). Vi ser nu på et marked med én virksomhed. (a) Virksomheden sætter prisen p. Forbrugere tager derefter pris for givet og output bestemmes ved efterspørgselsfunktion D(p). (b) - eller

Læs mere

1 Monopoler (kapitel 24)

1 Monopoler (kapitel 24) Monopoler (kapitel 24). Et monopol de neres som et marked hvor kun én virksomhed opererer. (a) Virksomheden bestemmer prisen p for godet. Herefter beslutter forbrugerne hvor meget de efterspørger og output

Læs mere

Det danske boligmarked

Det danske boligmarked HA-almen, 6. Semester Bacheloropgave Nationaløkonomisk institut Forfatter: Anders Krog Vejleder: Anna Piil Damm Det danske boligmarked Handelshøjskolen i Århus Maj 2011 Executive summery The title of this

Læs mere

6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen

6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen 6 Matematisk udledning af prisafsætningsfunktionen 6. Udledning af prisfunktionen ud fra forskellige oplysninger I sidste kapitel gennemgik vi, hvad du forståelsesmæssigt skal vide om omsætningsfunktioner.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt?

Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projekt 8.3 Hvordan undersøges om et talmateriale normalfordelt? Projektet drejer sig om at udvikle en metode, til at undersøge om et givet talmateriale med rimelighed kan siges at være normalfordelt.

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

Forbrugeren som agent

Forbrugeren som agent Kapitel 2: Budgetbegrænsninger Forbrugeren som agent 1. Paradigme: Forbrugeren vælger det bedste varebundt som han/hun har råd til. 2. Lyder banalt og noget abstrakt - men... 3....viser sig at give en

Læs mere

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning

Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning Projekt 4.9 Bernouillis differentialligning (Dette projekt dækker læreplanens krav om supplerende stof vedr. differentialligningsmodeller. Projektet hænger godt sammen med projekt 4.0: Fiskerimodeller,

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen

Matematik A. Højere handelseksamen Matematik A Højere handelseksamen hhx141-mat/a-305014 Fredag den 3. maj 014 kl. 9.00-14.00 Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål. Besvarelsen

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen.

Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen. Bilag 7 Analyse af alternative statistiske modeller til DEA Dette bilag er en kort beskrivelse af Forsyningssekretariatets valg af DEAmodellen. FORSYNINGSSEKRETARIATET OKTOBER 2011 INDLEDNING... 3 SDEA...

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 26. maj Kl Prøveform a GUX161 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. Torsdag den 26. maj Kl Prøveform a GUX161 - MAA GUX Matematik A-Niveau Torsdag den 26. maj 2016 Kl. 09.00-14.00 Prøveform a GUX161 - MAA 1 Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 10 med i alt 25 spørgsmål. De 25 spørgsmål

Læs mere

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer

Oversigt. funktioner og koordinatsystemer Et koordinatsystem er et diagramsystem, der har to akser, en vandret akse og en lodret akse - den vandrette kaldes x-aksen, og den lodrette kaldes y-aksen. (2,4) (5,6) (8,6) Et punkt skrives altid som

Læs mere

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit

Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Centralt belastede søjler med konstant tværsnit Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Den kritiske bærevene... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 1.3 Søjlelængde... 8 1 Den kritiske bæreevne

Læs mere

Uafhængig og afhængig variabel

Uafhængig og afhængig variabel Uddrag fra http://www.emu.dk/gym/fag/ma/undervisningsforloeb/hf-mat-c/introduktion.doc ved Hans Vestergaard, Morten Overgaard Nielsen, Peter Trautner Brander Variable og sammenhænge... 1 Uafhængig og afhængig

Læs mere

HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen (Opgave stillet i uge 9 med aflevering i uge 12)

HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen (Opgave stillet i uge 9 med aflevering i uge 12) HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen (Opgave stillet i uge 9 med aflevering i uge 12) Opgave 1. Vurdér og begrund, hvorvidt følgende udsagn er korrekte: 1.1. En provenuneutral

Læs mere

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge

Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Tilfældige rektangler: Et matematikeksperiment Variable og sammenhænge Baggrund: I de senere år har en del gymnasieskoler eksperimenteret med HOT-programmet i matematik og fysik, hvor HOT står for Higher

Læs mere

I dette kapitel beskrives varemarkedet, som er baggrunden for IS-kurven. Først ses der på, hvad BNP består af:

I dette kapitel beskrives varemarkedet, som er baggrunden for IS-kurven. Først ses der på, hvad BNP består af: Del 2 På kort sigt I de næste tre kapitler vil de værktøjer, du skal bruge for at kunne analysere en økonomi på kort sigt, blive gennemgået. Til at gøre dette er det vigtigste værktøj IS-LM-modellen, som

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard

Kompendium i faget. Matematik. Tømrerafdelingen. 2. Hovedforløb. Y = ax 2 + bx + c. (x,y) Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Kompendium i faget Matematik Tømrerafdelingen 2. Hovedforløb. Y Y = ax 2 + bx + c (x,y) X Svendborg Erhvervsskole Tømrerafdelingen Niels Mark Aagaard Indholdsfortegnelse for H2: Undervisningens indhold...

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale

MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale STUDENTEREKSAMEN SOMMERTERMIN 13 MATEMATIK A-NIVEAU-Net Forberedelsesmateriale 6 timer med vejledning Forberedelsesmateriale til de skriftlige prøver sommertermin 13 st131-matn/a-6513 Forberedelsesmateriale

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Deformation af stålbjælker

Deformation af stålbjælker Deformation af stålbjælker Af Jimmy Lauridsen Indhold 1 Nedbøjning af bjælker... 1 1.1 Elasticitetsmodulet... 2 1.2 Inertimomentet... 4 2 Formelsamling for typiske systemer... 8 1 Nedbøjning af bjælker

Læs mere

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011

Grafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011 Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er

Læs mere

Hjemmeopgavesæt 3, løsningsskitse

Hjemmeopgavesæt 3, løsningsskitse Hjemmeopgavesæt 3, løsningsskitse Teacher 16. december 2008 Opgave 1 Antag, at Phillipskurven for en økonomi er givet ved (B t er inflationen til tid t, B er den forventede inflation til tid t, : er mark-up

Læs mere

2 Risikoaversion og nytteteori

2 Risikoaversion og nytteteori 2 Risikoaversion og nytteteori 2.1 Typer af risikoholdninger: Normalt foretages alle investeringskalkuler under forudsætningen om fuld sikkerhed om de fremtidige betalingsstrømme. I virkelighedens verden

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet Matematik A Studentereksamen Forberedelsesmateriale til de digitale eksamensopgaver med adgang til internettet st131-matn/a-6513 Mandag den 6 maj 13 Forberedelsesmateriale til st A Net MATEMATIK Der skal

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA

STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ MATEMATIK A-NIVEAU. Prøveform a. Kl GUX-MAA STUDENTEREKSAMEN GUX MAJ 007 014 MATEMATIK A-NIVEAU Prøveform a 014 Kl. 9.00 14.00 GUX-MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne 1 til 10 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål

Læs mere

Københavnske ejerlejlighedspriser en meget begrænset indikator for hele landets boligmarked

Københavnske ejerlejlighedspriser en meget begrænset indikator for hele landets boligmarked N O T A T Københavnske ejerlejlighedspriser en meget begrænset indikator for hele landets boligmarked Baggrund og resume Efter i årevis at have rapporteret om et fastfrosset boligmarked, har de danske

Læs mere