Kommutativ harmonisk analyse

Transkript

1 Kommutativ harmonisk analyse F 999 Henrik Stetkær

2

3 Indhold I Topologiske grupper II Sideklasserum III Haar integralet IV Banach-algebraen L () V Karaktergruppen VI Fourieranalyse på en endelig abelsk gruppe VII Normerede algebraer VIII Fouriertransformationen på en LCA gruppe IX Bochner s sætning X Inversionssætningen XI Plancherel s sætning XII Pontryagin s dualitetssætning XIII Opgaver XIV Litteraturhenvisninger Index iii

4

5 I. Topologiske grupper I Topologiske grupper Vi vil i dette kapitel studere funktioner på en mængde, hvorpå der er et samspil mellem en topologisk og en algebraisk struktur. Mere præcist vil vi se på en topologisk gruppe, dvs en mængde, som er udstyret med to strukturer: Mængden har en kompositionsforskrift, der gør den til en gruppe, og den har tillige en topologi. (R; +) er et eksempel. De to strukturer er forbundet, så algebraiske egenskaber ved gruppen har topologiske konsekvenser og omvendt. Vores egentlige formål i kurset er at studere (komplekse) funktioner defineret på en topologisk gruppe og se, hvordan de kan dekomponeres i simplere fundamentale funktioner, der er nært knyttet til strukturerne. Vi går ikke ind i detaljerede undersøgelser af den underliggende gruppe, idet vi søger generelle resultater om funktioner på en omfattende klasse topologiske grupper, nemlig de lokalkompakte grupper. I dette kapitel vil vi foretage en første indskrænkning af, hvilke topologiske grupper vi vil studere, og vi vil finde nogle fundamentale egenskaber ved disse grupper. I monografierne [8], [24], [27] og [28] kan den interesserede læser finde meget mere om topologiske grupper. I dette kapitel er de indgående grupper ikke nødvendigvis abelske, så vi benytter multiplikativ skrivemåde pånær i nogle af eksemplerne. Hvis er en gruppe, så betegner gh altså gruppeproduktet af g 2 med h 2. Vi lader e betegne det neutrale element i ; hvis A og B er delmængder af, lader vi AB : fab 2 j a 2 A; b 2 Bg; og A : 8 9 a 2 j a 2 A : () Af hensyn til brug flere gange senere minder vi om definitionen af en undergruppe. Definition I. En delmængde H af en gruppe siges at være en undergruppe af, såfremt den opfylder følgende tre betingelser: () e 2 H: (2) h ; h 2 2 H ) h h 2 2 H: (3) h 2 H ) h 2 H: Definition I.2 Lad være en mængde, der er udstyret med en gruppestruktur og med en topologi. siges at være en topologisk gruppe, såfremt følgende to betingelser er opfyldt: (a) Produktafbildningen (x; y)! xy af 2 ind i er en kontinuert afbildning af det kartesiske produkt 2 ind i, og (b) inversionsafbildningen x! x af på er kontinuert.

6 I. Topologiske grupper Udtrykt ved omegne giver betingelse () bl.a., at der til enhver omegn U af produktet xy findes en omegn V af x og en omegn W af y, så V W U: Betingelse (2) giver, at der til enhver omegn U af x findes en omegn V af x, så V U: Vi vil tillade os at benytte en forkortet udtryksmåde: Ved en Hausdorffsk, sammenhængende,... gruppe vil vi forstå en topologisk gruppe, hvis underliggende topologiske rum er Hausdorffsk, sammenhængende,.... Eksempler I.3 ) ruppen (R; +) af reelle tal med den sædvanlige topologi på R er en topologisk gruppe. 2) ruppen (R n ; +) af n-tupler med den sædvanlige topologi på R n er en topologisk gruppe. Eksempel I.4 Lad (V; kk) være et Banachrum. Idet vi ignorerer, at man kan gange med skalarer, bliver gruppen (V; +) med topologien fra normen kk en topologisk gruppe. Eksempel I.5 Lad være en gruppe. Lad os give mængden den topologi, hvor de eneste åbne mængder er ; og. Så får vi en topologisk gruppe frem, der er totalt uinteressant medmindre vi har med det trivielle tilfælde feg at gøre. Eksempel I.6 (; +) af de hele tal er en topologisk gruppe, når udstyres med den diskrete topologi (dvs topologien bestående af samtlige delmængder af ). Mere generelt: Lad være en gruppe. Lad os udstyre den med den diskrete topologi. Så er en topologisk gruppe. Vi vil kalde en sådan topologisk gruppe for en diskret gruppe. Bemærk, at en endelig Hausdorffsk gruppe er diskret. Proposition I.7 Lad H være en undergruppe af en topologisk gruppe. Så er H med den fra arvede topologi selv en topologisk gruppe. Bevis: Overladt til læseren. Proposition I.8 Lad i, i 2 I, Q hvor I er en ikke-tom indeksmængde, være topologiske grupper. Så er produktgruppen i2i i med produkttopologien en topologisk gruppe. Bevis: Overladt til læseren. 2

7 I. Topologiske grupper Eksempel I.9 Cirkelgruppen (også kaldet torusgruppen) T : fz 2 C j jzj g er en topologisk gruppe: ruppekompositionen er den sædvanlige multiplikation af komplekse tal, og topologien har T fra det omliggende rum C. T er et eksempel på en kompakt gruppe, dvs en topologisk gruppe, hvis underliggende topologiske rum er kompakt. Produkter af kompakte grupper giver igen kompakte grupper: Lad K i være en kompakt gruppe for ethvert i 2 I; hvor I er en ikke-tom indeksmængde. Så er produktgruppen 5 i2i K i med produkttopologien en kompakt gruppe ifølge Tychonoff s sætning [26; Theorem.6.] og Proposition I.8. Eksempler I. rupper af matricer er vigtige eksempler på topologiske grupper. Vi vil her diskutere reelle matricer, og overlade diskussionen af de komplekse matricer, man kan behandle på helt tilsvarende måde, til læseren. Lad M (n; R) betegne algebraen af alle reelle n 2 n matricer. Det er et endelig dimensionalt vektorrum af dimension 2 n : Idet der er 2 n indgange i en sådan matrix, kan og vil vi selvfølgelig give M (n; R) topologien fra R n2 via en vektorrumsisomorfi. Hvilken er ligegyldigt, for topologien bliver den samme ifølge Proposition 2..9 i [26]. Vi vælger Hilbert-Schmidt normen kfa ij gk : vu u t n X i;j a 2 ij for fa ij g 2 M (n; R): (2) Mængden 8 < : fa ij g 2 M (n; R) j nx i;j er en kugleomegn med radius > af matricen 9 aij a 2 2 ij < ; : (3) n a ij o n i;j : Idet determinantafbildningen det : M (n;r)! R er et polynomium i indgangene, er det en kontinuert afbildning, så de invertible matricer L(n;R) : fa 2 M (n;r) j det A 6 g er en åben delmængde af M (n;r): Det er klart, at L(n;R) med topologien fra M (n;r) og med sin sædvanlige gruppestruktur er en topologisk gruppe, idet gruppekompositionen endda er polynomiel i indgangene, og indgangene i den inverse matrix er polynomier divideret med determinanten, der jo også er et polynomium. Ved en matrixgruppe forstår man en lukket undergruppe af L(n; R) eller L(n; C). Ifølge Proposition I.7 er undergrupper af L(n; R) selv topologiske grupper. Eksempler på undergrupper er gruppen af ortogonale matricer (den ortogonale gruppe) n O(n) : A 2 M (n;r) j A T A I o ; (4) 3

8 I. Topologiske grupper den specielle lineære gruppe Heisenberggruppen (hvor n 3) 8 : og (ax + b) gruppen (hvor n 2) a SL(n;R) : fa 2 M (n;r) j det A g; (5) x z y b 9 A j x; y; z 2 R ; (6) j a > ; b 2 R : (7) Alle de nævnte undergrupper af L(n;R) er lukkede i L(n;R), og de er dermed pr. definition matrixgrupper. Eksempel I. Lad V være et reelt eller komplekst Banachrum og betragt algebraen L(V ) af lineære, kontinuerte afbildninger af V ind i V. Det er velkendt, at L(V ) med den uniforme operatornorm selv er et Banachrum. Det er ligeledes velkendt, at gruppen af invertible elementer, L(V ), i L(V ) udgør en åben delmængde af L(V ), og at afbildningen T! T er en homeomorfi af L(V ) på L(V ) (skeptikere kan finde et bevis for den sidste påstand på side 584 af [8]). Dermed bliver L(V ) en topologisk gruppe. Eksempel I. generaliserer L(n; R) fra Eksempler I. (overvej dette!). Efter disse mange eksempler drager vi et par simple, men nyttige, resultater om topologiske grupper frem. Proposition I.2 Lad være en topologisk gruppe. (a) Lad g 2 : Såvel højre- som venstre-translationen med g er homeomorfier af. (b) Inversionsafbildningen er også en homeomorfi af. Specielt er billedet af en åben/lukket mængde under en af disse afbildninger igen åben/lukket. Bevis: Trivielt ud fra definitionen på en topologisk gruppe. De følgende to resultater er uhyre nyttige, så de er værd at lægge mærke til. Proposition I.3 Lad :! H være en homomorfi mellem to topologiske grupper og H. Så er kontinuert, hvis og kun hvis er kontinuert i det neutrale element e 2 : Bevis: Overladt til læseren, der kan benytte Proposition I.2. 4

9 I. Topologiske grupper Proposition I.4 Lad være en topologisk gruppe. (a) Enhver omegn U af e indeholder en symmetrisk åben omegn V, dvs en åben omegn så V V. (b) Enhver omegn U af e indeholder en symmetrisk åben omegn V, så V 2 U. Specielt er V U. (c) For enhver delmængde A af og enhver e-omegn U vil A AU: Bevis: Beviserne, der hænger på kontinuitetsegenskaberne af gruppeoperationerne, overlades til læseren. Betragt f.eks. den reelle akse. Lad a >. Omegnen U [a; a + 7[ af 2 R indeholder den symmetriske åbne omegn V ] a2; a2[ af, som opfylder, at V + V U og at V [a2; a2] U. Vi nævnte i begyndelsen af kapitlet, at de algebraiske egenskaber har konsekvenser for de topologiske. Sætning I.6 nedenfor er et eksempel. Inden vi tager det, minder vi om, hvad et regulært rum er. Definition I.5 Et topologisk rum (X; ) siges at være et regulært rum, såfremt følgende to betingelser er opfyldt: ) T aksiomet gælder: Hvis x; y 2 X og x 6 y, så findes der en åben mængde O, så enten x 2 O og y 62 O, eller x 62 O og y 2 O: 2) T 3 aksiomet gælder: Hvis C er en lukket delmængde af X, og x 2 X ikke ligger i C, så findes der disjunkte åbne mængder O C og O x, som indeholder henholdsvis C og x: Visse forfattere indbygger Hausdorff-egenskaben i definitionen af et regulært rum ved at erstatte betingelsen ) med et krav om, at (X; ) skal være Hausdorffsk. Sætning I.6 Lad være en topologisk gruppe. Hvis étpunktsmængden feg er lukket, så er et regulært Hausdorffrum. Bevis: I kraft af Proposition I.2(a) er ikke bare feg, men enhver étpunktsmængde fxg lukket. Dermed er punkt ) i Definition I.5 opfyldt. I verifikationen af punkt 2) af Definition I.5 kan vi af samme grund antage, at x e: Da n C er en omegn af e 2, findes der i kraft af Proposition I.4 (p. 5) en åben omegn V af e 2, så e 2 V V n C. Nu er V og n V de ønskede åbne mængder om e og C. Da punkter er lukkede mængder, giver punkt 2) straks Hausdorff-egenskaben. 5

10 I. Topologiske grupper Moralen af Sætning I.6 er, at der skal meget lidt til at gøre en topologisk gruppe til et Hausdorff rum. Så lidt, at vi lige så godt kan antage det hele tiden. Eksempelvis så vi i Sætning I.6, at gruppen ikke bare blev Hausdorffsk, men endda regulær. Faktisk kan man vise endnu mere: En T gruppe er fuldstændig regulær (se [8; Theorem II.8.4]); antager man yderligere, at gruppen er lokalkompakt, så er gruppen parakompakt og dermed normal (se [8; Theorem II.8.3]). Det vil vi dog ikke gå nærmere ind på, da vi ikke får brug for det. Som tidligere nævnt er vores formål ikke at studere egenskaber ved topologiske grupper, men at studere funktionerne på dem. Hermed menes komplekse funktioner, medmindre andet siges. Følgende tekniske observation om kontinuerte funktioner, der går mod i uendelig, vil vi få brug for et par gange senere. At en kontinuert funktion f på et topologisk rum X går mod i uendelig betyder pr. definition, at mængden fx 2 X j jf (x)j g er kompakt for ethvert > : Vektorrummet af kontinuerte funktioner, der går mod i uendelig, betegnes med C (X): Udstyret med supnormen kfk : sup fjf (x)j j x 2 Xg er C (X) et lukket underrum af de begrænsede kontinuerte funktioner C b (X) på X og dermed som C b (X) et Banachrum. Notation I.7 Lad være en gruppe, f en funktion på og lad x 2. Ved R(x)f og L(x)f forstår vi to nye funktioner på, nemlig funktionerne [R(x)f ](y) : f (yx); [L(x)f ](y) : f y 2 x y ; y 2 : (8) Funktionen R(x)f kaldes for højretranslationen af f med x 2, og funktionen L(x)f kaldes for venstretranslationen af f med x 2. Bemærk, at R(x x 2 ) R(x )R(x 2 ) og L(x x 2 ) L(x )L(x 2 ) for x ; x 2 2, så der er tale om to virkninger af gruppen på mængden af funktioner på. Disse to virkninger kaldes for henholdsvis den højreregulære og den venstre-regulære repræsentation af. Lemma I.8 Lad f 2 C (), hvor er en topologisk gruppe. (a) Afbildningen x! R(x)f af ind i (C (); kk ) er kontinuert. Specielt er f uniformt kontinuert fra højre, dvs at der til ethvert > findes en åben for ethvert x 2 U: e omegn U, så kr(x)f fk (b) Afbildningen x! L(x)f af ind i (C (); kk ) er kontinuert. Specielt er f uniformt kontinuert fra venstre, dvs at der til ethvert > findes en åben e omegn V, så kl(x)f fk for ethvert x 2 V: Bevis: Vi nøjes med beviset for (a), da (b) kan behandles på ganske tilsvarende måde. 6

11 I. Topologiske grupper Det er nok at vise, at afbildningen x! R(x)f er kontinuert i punktet x e for ethvert fastholdt f 2 C(): Hvis det er tilfældet, så er afbildningen nemlig kontinuert i ethvert andet punkt x 2 ; idet den er sammensat af afbildningerne x! xx og y! R(y)fR(x)fg; der er kontinuerte i x x og y e henholdsvis. Lad derfor > være givet. Det er nok at vise, at der findes en e omegn U, så jf (yx) f (y)j < for x 2 U og y 2 : (9) I kraft af f s kontinuitet findes der til ethvert y 2 en e omegn O y, så y ; y 2 yo y ) f y f y < : () Vælg for ethvert y 2 en åben e omegn U y så U 2 y O y. Vi udnytter nu den næste antagelse om f, nemlig at f går mod i uendelig. Det betyder, at mængden K : fy 2 jjf (y)j 2g er kompakt, så der findes endelig mange punkter y; y2; ; y N 2 K så K [ N l y lu yl : () Tag nu U T N l U y l som en åben e omegn, der opfylder, at U U. Vi skal se på jf (yx) f (y)j for x 2 U og y 2. Der er nu tre tilfælde at tage i betragtning, alt efter hvor yx og y ligger: ) yx 62 K og y 62 K: Her er jf (yx) f (y)j jf (yx)j + jf (y)j < ) y 2 K: Så kan y ifølge () skrives på formen y y l u l for et eller andet l 2 f; 2; ; Ng, hvor u l 2 U yl : Nu er y y l u l 2 y l U yl y l O yl og yx y l u l x 2 y l U 2 y l y l O yl ; så ifølge () jf (yx) f (y)j < : ) yx 2 K: Dette tilfælde går som tilfælde ) med ganske små ændringer, så det overlades til læseren. Vi vil ikke gå længere med den generelle teori for topologiske grupper. For at få nogen interessante nye resultater antager vi noget mere om grupperne: Deres topologier skal være lokalkompakte. Definition I.9 Et topologisk rum siges at være lokalkompakt, såfremt ethvert punkt i det har en kompakt omegn. Hvis rummet er Hausdorffsk, er det ensbetydende med, at ethvert punkt har en omegn, hvis aflukning er kompakt. Et kompakt topologisk rum er selvfølgelig lokalkompakt. Vi minder endvidere om, at enhver lukket delmængde af et lokalkompakt rum selv er et lokalkompakt rum i den relative topologi, samt at enhver åben delmængde af et lokalkompakt Hausdorff rum selv er et lokalkompakt Hausdorff rum i den relative topologi (Proposition.7.4 i [26]). De mageligt anlagte kan notere sig Ellis sætning, som vi dog ikke vil benytte os af. Først en bekvem terminologi. 7

12 I. Topologiske grupper Definition I.2 Lad X; Y og være topologiske rum. En afbildning f : X 2 Y! siges at være separat kontinuert, såfremt det for alle x 2 X og y 2 Y gælder, at afbildningerne y! f (x ; y) af Y ind i og x! f (x; y ) af X ind i er kontinuerte. Sætning I.2 (Ellis sætning) Lad være et lokalkompakt Hausdorffrum, som er udstyret med en gruppestruktur. Hvis gruppemultiplikationen (x; y)! xy er separat kontinuert, så er en topologisk gruppe. Bevis: Se [] og []. Proposition I.22 Hvis H er en lukket undergruppe af en lokalkompakt gruppe, så er H også en lokalkompakt gruppe. Specielt er matrixgrupper, dvs lukkede undergrupper af L(n; R) og af L(n; C), lokalkompakte Hausdorff grupper. Bevis: Trivielt. Proposition I.23 Hvis ; 2 ; ; n er endelig mange lokalkompakte grupper, så er produktgruppen n med produkttopologien også en lokalkompakt gruppe. Bevis: Trivielt. De topologiske grupper, som vi har mødt ovenfor, er lokalkompakte pånær dem fra Eksemplerne I.4 og I.. Disse to er kun lokalkompakte, hvis dim V < : De vigtigste eksempler på lokalkompakte abelske grupper er R, T, og N, idet de spiller en afgørende rolle for Fourier-analysen. Definition I.24 Lad og H være to topologiske grupper. En afbildning :! H siges at være en topologisk isomorfi mellem og H, såfremt ikke blot er en gruppeisomorfi af på H, men tillige er en homeomorfi af på H. Hvis der findes en topologisk isomorfi mellem og H, så siges og H at være topologisk isomorfe. To topologisk isomorfe grupper kan altså identificeres, såvel hvad angår deres algebraiske struktur som hvad angår deres topologiske struktur. Hvis og H er topologisk isomorfe, skriver vi ofte for en bekvemmeligheds skyld simpelthen H, når den topologiske isomorfi fremgår af sammenhængen. Det er desværre ikke i almindelighed korrekt, at den inverse afbildning til en kontinuert isomorfi mellem to topologiske grupper selv er kontinuert. Så en kontinuert 8

13 I. Topologiske grupper isomorfi mellem to topologiske grupper behøver altså ikke at være en topologisk isomorfi. Men man kan dog ved hjælp af Baire s kategorisætning få en open mapping theorem for pæne lokalkompakte grupper. Den vil give os topologiske isomorfier i mange konkrete sammenhænge. F.eks. i Eksempler V.8 (p. 49). Sætning I.25 (Open mapping theorem) Lad være en S lokalkompakt gruppe, der tillige er kompakt (dvs kan skrives på formen n K n, hvor K ; K 2 ; er kompakte). Lad :! H være en kontinuert homomorfi af på en lokalkompakt, Hausdorffsk gruppe H: Så er en åben afbildning. Bevis: Korollar af Sætning II.6, side 3. Korollar I.26 Lad være en lokalkompakt gruppe, der tillige er kompakt. Lad :! H være en kontinuert isomorfi af på en lokalkompakt, Hausdorffsk gruppe H: Så er en topologisk isomorfi. Notation I.27 For en kortheds skyld lader vi betegnelsen LCA gruppe stå for en Hausdorffsk, lokalkompakt, abelsk gruppe. Til slut samler vi definitionerne på en række klassiske matrixgrupper, så de er lette at finde. Matrixgrupper I.28. Den generelle lineære gruppe L(n; C), henholdsvis L(n; R), er gruppen af komplekse, henholdsvis reelle, n 2 n matricer med determinant Den specielle lineære gruppe SL(n; C), henholdsvis SL(n; R), er gruppen af komplekse, henholdsvis reelle, n 2 n matricer med determinant. 3. Den unitære gruppe U (p; q) er gruppen af matricer i L(p + q;c), som lader den hermiteske form invariant. jz j 2 jz p j 2 + jz p+ j jz p+q j 2 (2) SU (p; q) : U (p; q) \ SL(p + q;c) U (n) : U (n; ) SU (n) : U (n) \ SL(n;C) 4. Den ortogonale gruppe O(p; q) er gruppen af matricer i L(p + q;r), som lader den kvadratiske form (3) jx j 2 jx p j 2 + jx p+ j jx p+q j 2 (4) 9

14 invariant. Det er velkendt, at I. Topologiske grupper SO(p; q) : O(p; q) \ SL(p + q;r) O(n) : O(n; ) SO(n) : O(n) \ SL(n;R) (5) O(n) fa 2 M (m;r) j A 3 A Ig fa 2 M (m;r) j AA 3 Ig: (6) 5. Den symplektiske gruppe Sp(n; R) er Sp(n;R) fa 2 L(2n;R)j A 3 IA Ig: (7) Her betegner I matricen In I : ; (8) In hvor indgangen In er identitetsmatricen i M (n; R). ruppen Sp(n; R) består af de matricer, der bevarer den symplektiske form [w ; w 2 ] : hw ; Iw 2 i på R 2n. 6. Den 3 dimensionale Heisenberggruppe er 8 9 < x z H y A 2 L(3;R) j x; y; z 2 R : ; ; (9) hvilket generaliserer til den (2n + ) dimensionale Heisenberggruppe Hn, der er gruppen af matricer på formen x xn z y. B.... A yn 2 L(n + ;R); (2) hvor xi; yi; z 2 R for i ; 2; ; n (Lidt andre varianter af Heisenberggruppen forekommer i litteraturen. Se f.eks. [2]). 7. (ax + b) gruppen er a b Opsummering af kapitlets indhold 2 L(2;R) j a > ; b 2 R : (2) Vi har fundet forskellige grundlæggende egenskaber ved topologiske grupper, herunder specielt de lokalkompakte. Lemma I.8 (side 6) vil være nyttigt ved flere lejligheder.

15 II. Sideklasserum II Sideklasserum I dette kapitel kæder vi virkningen af en topologisk gruppe på et sideklasserum H sammen med de topologiske strukturer på og H. Lad være en topologisk gruppe, H en undergruppe af, og lad :! H være kvotientafbildningen. Vi udstyrer mængden H med kvotienttopologien den finale topologi induceret af. En mere håndfast måde at definere denne topologi på er at dekretere, at de åbne delmængder af H er de delmængder O H, for hvilke (O) er åben i (Se afsnit.4.9, side 8 i [26]). Fra den indledende teori for grupper ved vi, at gruppen virker på mængden X : H. Virkningen er defineret ved g (g H) : (gg )H for g; g 2. Vi vil her også benytte notationen (g) for virkningen af g 2 ; så (g) : H! H er afbildningen (g)(x) g x for x 2 H. Ovenstående giver os algebraiske rammer, men vores grupper jo også topologiske rum, så vi må derfor studere samspillet mellem de algebraiske strukturer og de topologiske. De passer heldigvis sammen på den nydeligste måde. Først en standard definition. Definition II. Lad der være givet en gruppevirkning af en topologisk gruppe på et topologisk rum X. Vi vil sige, at er en topologisk transformationsgruppe af X, såfremt afbildningen (g; x)! g x, g 2, x 2 X, er kontinuert fra produktet 2 X ind i X: Hvis er en topologisk transformationsgruppe af X, så er for ethvert g 2 afbildningen (g) : x! g x en homeomorfi af X på X. Det vrimler med eksempler på interessante topologiske transformationsgrupper. Eksempler II.2. Den generelle lineære gruppe L(n;R) virker på R n. 2. ruppen M (2) af isometrier af den euklidiske plan R 2 virker i kraft af sin definition transitivt på R 2. ruppen kan identificeres med det semidirekte produkt R 2 2 s O(2). 3. ruppen SO(3) 8 af orienteringsbevarende 9 rotationer i R 3 virker transitivt på kugleskallen S 2 : x 2 R 3 j kxk. 4. ruppen SU (; ) : a b b a j jaj 2 jbj 2 virker transitivt på den hyperbolske disk fz 2 C j jzj < g ved a b b a L(2; C) (22) z az + b : (23) bz + a

16 II. Sideklasserum 5. ruppen SL(2; R) virker transitivt på den øvre halvplan H : fz x + iy 2 C j y > g ved forskriften a b z az : + b a b c d cz + d for 2 SL(2;R); z 2 H: (24) c d 6. (ax + b) gruppen virker transitivt på R ved affine transformationer. Navnet viser hvordan. Definition II.3 Lad være en topologisk transformationsgruppe af X. Ved isotropigruppen ved punktet x 2 X forstås undergruppen x : fg 2 j g x x g af. Hvis X er et Hausdorffrum, så er isotropigrupperne lukkede undergrupper af. Vi undersøger først det specielle tilfælde på en transformationsgruppe bestående af et sideklasserum. Senere skal vi se, at alle fornuftige transitive transformationsgrupper stammer fra sideklasserum (Korollar II.8, p. 4). Vi minder om, at en gruppevirkning af en gruppe på en mængde X siges at være transitiv, såfremt der kun er én bane for virkningen; med andre ord, at X fg x j g 2 g for et eller andet x 2 X; og dermed også for ethvert andet x 2 X: Som nævnt ovenfor passer de algebraiske og de topologiske strukturer på et sideklasserum sammen på det nydeligste. Mere præcist har vi den følgende sætning, der samler en række resultater. Sætning II.4 Lad være en topologisk gruppe, H en undergruppe. Lad X betegne H udstyret med kvotienttopologien. (i) Kvotientafbildningen :! H er kontinuert og åben. Mere generelt gælder der for et topologisk rum, at en afbildning f : H! er kontinuert, henholdsvis åben, hvis og kun hvis f :! er en kontinuert, henholdsvis åben, afbildning. f! # % H (ii) Afbildningen 2H! H givet ved (g; x)! gx er kontinuert. Med andre ord er en topologisk transformationsgruppe af H. Specielt er (g) : H! H en homeomorfi af H på H for ethvert g 2. (iii) H er et diskret rum, hvis og kun hvis H er åben i. (iv) H er et Hausdorffrum, hvis og kun hvis H er lukket i. I så fald er H endda et regulært topologisk rum. (v) Hvis er kompakt, så er H også kompakt. (vi) Hvis er lokalkompakt, så er H også lokalkompakt. f (25) 2

17 II. Sideklasserum Bevis: Overladt til læseren. Bemærkning II.5 Punkt (iv) i Sætning II.4 ovenfor er i forbindelse med, at isotropigrupper i praksis er lukkede, grunden til, at man som regel blot tager hensyn til lukkede undergrupper, når man er interesseret i kvotientrum. I litteraturen støder man undertiden på glosen homogent rum. Et homogent rum er et topologisk rum, hvorpå gruppen af homeomorfier virker transitivt. Eksempelvis er sideklasserummet H et homogent rum, når er en topologisk gruppe, H en undergruppe og H udstyres med kvotienttopologien; allerede () virker jo transitivt. Der findes også versioner af Open mapping theorem (Se Sætning I.I.25, side 9) for topologiske transformationsrum. Som for grupper baserer de sig på Baires kategorisætning. Sætning II.6 (Open mapping theorem) Lad være en lokalkompakt gruppe, der tillige er kompakt. Lad os antage, at er en transitiv topologisk transformationsgruppe af et lokalkompakt Hausdorffrum X. Da er afbildningen g! g x åben for ethvert x 2 X. Bevis: Vi definerer afbildningen :! X ved (g) : g x: Lad V være en åben delmængde af : Vi skal til ethvert g 2 V producere en omegn af (g) inden i (V ): Vælg først en kompakt symmetrisk e omegn U, så S U 2 g V: Da er kompakt, findes der kompakte mængder K; K2; ; så l K l: Idet K l erne er kompakte, kan hver af dem overdækkes med endelig mange mængder af formen gu, g 2. Derfor S S findes der tællelig mange g n 2 ; så n g nu: Dermed bliver () n g n (U ): Hver af mængderne g n (U ) er kompakt og dermed lukket i X: I kraft af Baires kategorisætning indeholder mindst én af dem en ikke-tom åben mængde. Pr translation gælder dette så for (U ); dvs der findes en åben mængde W 6 ;, så (U ) W: Vælg et u 2 U; så (u) 2 W: Nu er (g) gu u g u (u ) 2 gu W g u (U ) g u U g U 2 gu 2 (26) (V ): Da det omtrent midterste udtryk gu W i (26) er en åben delmængde af X, har vi vist det ønskede. Sætning II.7 (Open mapping theorem) Lad være en fuldstændig, metrisk gruppe, der virker på et metrisk rum X på en sådan måde, at afbildningen (g; x)! g x er separat kontinuert. (i) Da er en topologisk transformationsgruppe af X. (ii) Vi antager yderligere, at er separabel og virker transitivt på X, samt at X er et fuldstændigt metrisk rum. Så er afbildningen g! g x åben for ethvert fastholdt 3

18 II. Sideklasserum x 2 X. Derved bliver afbildningen g x! g x en homeomorfi af x på X, som respekterer virkningerne af på x og X. Bevis: Sætningen er indholdet af artiklen [22]. Egentlig er visse korollarer af Sætningerne II.6 og II.7 mere interessante end Sætningerne. Vi nøjes med at anføre et korollar til Sætning II.6. Korollar II.8 Lad være en lokalkompakt gruppe, der tillige er kompakt. Lad os antage, at er en transitiv topologisk transformationsgruppe af et lokalkompakt Hausdorffrum X. Lad os vælge et punkt x 2 X. (i) Isotropigruppen x er lukket i. (ii) Afbildningen 8 : g x! g x er en homeomorfi af x på X, som tillige respekterer virkningerne af, dvs 8(g m) g 8(m) for alle g 2 og m 2 x. Bevis: Overladt til læseren, der kan benytte Sætning II.4, side 2. Punkt (ii) af Korollar II.8 fortæller os, at vi ved hjælp af homeomorfien 8 : x! X kan identificere sideklasserummet x med X, såvel hvad angår den topologiske struktur som hvad angår den algebraiske, dvs s virkning. Eksempelvis kan vi betragte SO(3), der jo virker transitivt på S 2. Idet vi lader x (; ; ) 2 S 2 betegne nordpolen, bliver isotropigruppen 8 < cos sin x sin cos : A j 2 R 9 ; SO(3): (27) Så vi kan konkludere, at S 2 SO(3)SO(2), såvel hvad angår den topologiske struktur som hvad angår den algebraiske struktur. Herved får det abstrakte sideklasserum SO(3)SO(2) pludselig kød på sig og bliver til det velkendte geometriske objekt S 2, hvorpå rotationsgruppen virker på den sædvanlige måde. Vi ved fra den elementære gruppeteori, at sideklasserummet H sædvanligvis ikke er en gruppe, men at det dog er det, når H er en normal undergruppe i. ruppeoperationen er i så fald (g H)(g 2 H) (g g 2 )H for g ; g 2 2, dvs den består i at regne med sideklassernes repræsentanter fra. Vi skal supplere den algebraiske struktur på H med en topologisk. Igen passer strukturerne sammen på det nydeligste. Et generelt tilfælde, som vil være af betydning for dette kursus, udgøres af de abelske grupper, hvor jo enhver undergruppe er normal. 4

19 Sætning II.9 II. Sideklasserum Lad H være en normal undergruppe af en topologisk gruppe : Så er sideklasserummet H forsynet med kvotienttopologien en topologisk gruppe. Bevis: Vi skal verificere, at betingelserne (a) og (b) i Definition I.2 (p. ) er opfyldt. Lad os først betragte betingelsen (a); vi skal altså vise kontinuiteten af produktet i et vilkårligt punkt g H; g 2 H 2 H 2 H. Lad U være en åben omegn af g gh i H. Så er 2 (U ) en åben omegn af g g 2 i. I kraft af kontinuiteten af gruppemultiplikationen findes der åbne omegne V og V 2 af e i, så g V g V 2 2 (U ). Nu er g V i H g V i en åben omegn af g H i H for i i ; 2, og g V H g V 2 2H g V g V 2 2H g V g V 2 2 U. Kontinuiteten af inversionen gh! (gh) g H overlades til læseren. Proposition II. Lad være en lokalkompakt gruppe, der tillige er kompakt, og lad H være en lokalkompakt Hausdorffsk gruppe. Lad f :! H være en kontinuert homomorfi af på H. Så er ker f en normal og lukket undergruppe af. Lad e f : ker f! H være den tilsvarende gruppeisomorfi givet ved e f (g ker f ) f (g) for g 2. Så er e f en topologisk isomorfi af den topologiske gruppe ker f på H. Bevis: Sætning II.6 kan anvendes, idet virker på H ved forskriften hg : f (h)g, h 2 H, g 2. Man kan også benytte Sætning I.25 (p. 9). Eksempelvis giver ovenstående Proposition II. os, at R T eller mere generelt R n n T n, hvor T betegner cirkelgruppen T : fz 2 C j jzj g. Den viser også, at afbildningen e i! cos sin sin cos er en topologisk isomorfi af cirkelgruppen på rotationsgruppen SO(2). (28) Opsummering af kapitlets indhold Vi har vist, at er en topologisk transformationsgruppe af sideklasserummet H. 5

20

21 III. Haar integralet III Haar integralet I hele dette kapitel betegner en lokalkompakt topologisk gruppe, som er Hausdorffsk. Invariante integraler er et uundværligt redskab i harmonisk analyse, såvel i den kommutative (dvs Fourieranalysen) som i den mere generelle ikke-kommutative harmoniske analyse (dvs studiet af unitære repræsentationer af lokalkompakte Hausdorff grupper). De invariante integraler på giver os de relevante funktionsrum (som L 2 ()) og funktionsalgebraer (som L ()). Således stammer Fourierintegralerne fra gruppen R (udstyret med Lebesguemålet), og Fourierrækkerne fra gruppen T (udstyret med buemålet). De væsentligste egenskaber ved Fourieranalysen er nært knyttet til translationsinvariansen af målet. Så nært, at I sandsynligvis ikke har skænket det en tanke. Eksistensen af et Haar mål har ikke blot vidtrækkende konsekvenser for harmonisk analyse. Haarmålet er også et vigtigt hjælpemiddel i talteori og integralgeometri. Man kan vise, at ikke blot R og T, men faktisk enhver lokalkompakt gruppe har et venstre-invariant integral, et såkaldt venstre Haar integral. Vi skal vise, at det er éntydigt modulo en positiv faktor. På tilsvarende måde findes der et højre Haar integral; vi skal se, hvordan den såkaldte modularfunktion forbinder venstre og højre Haar integralerne. Den historiske udvikling af teorien for invariante integraler og mange flere oplysninger kan læseren finde i monografierne [4], [8] og [25]. Lettilgængelige og appetitvækkende introduktioner til forskellige aspekter af harmonisk analyse finder man i samlingen [] samt i artiklen [23]. Hvad der sker af overraskende ting, når man tillader mål, der blot er endeligt additive, kan man læse om i artiklen [32]. Notation III. Hvis X er et topologisk rum, lader vi C c (X) betegne den komplekse algebra bestående af alle kontinuerte, komplekse funktioner på X med kompakt støtte. Vi minder om, at støtten for en funktion f 2 C(X) er den lukkede delmængde supp f : fx 2 X j f (x) 6 g af X. Det er klart, at C c (X) C (X); hvor C (X) er defineret på side 6. Det følgende resultat (Lemma III.2) sikrer os, at der eksisterer ikke-trivielle kontinuerte funktioner med kompakt støtte. Det minder meget om Urysohn s lemma, der jo gælder på normale rum, herunder kompakte Hausdorffrum. Beviset for Lemma III.2 bygger da også på Urysohn s lemma. Lemma III.2 (Urysohn s lemma) Lad X være et lokalkompakt Hausdorffrum. Lad K være en kompakt delmængde af X, og antag, at K er indeholdt i en åben delmængde U af X. Da findes der en funktion f 2 C c (X), så f på K; f (X) [; ] og supp f U: 7

22 III. Haar integralet Bevis: Proposition.7.5 i [26]. Definition III.3 Et positivt integral på det topologiske rum X er et lineært funktional I : C c (X)! C, som opfylder, at I(f ), når f 2 C c (X) er. Positiviteten medfører en vis form for kontinuitet, nemlig Proposition III.4 Lad I være et positivt integral på et lokalkompakt Hausdorffrum X. Da er ji(f )j I(jfj) for ethvert f 2 C c (X), og til enhver kompakt delmængde K af X findes der en konstant C K >, så ji(f )j C K kfk for alle f 2 C c(k). Bevis: Se Theorem III..5 og Theorem III..6 (p. 2) i [8]. Et andet nyttigt resultat drejer sig om integralet som en funktion af en parameter. Hvis en funktion er kontinuert som funktion af to variable, og den ene variabel integreres ud over en kompakt mængde, så er den derved fremkomne funktion af den tiloversblevne anden variabel kontinuert. Mere præcist udtrykt har vi følgende Lemma. Lemma III.5 (a) Lad f 2 C(3 2 Y ), hvor 3 være et topologisk rum, og Y er et lokalkompakt Hausdorffrum. Lad I være et positivt integral på Y: Lad 2 3. Antag, at der findes en omegn U ( ) af 2 3 og en kompakt mængde K Y, så fy 2 Y j f (; y) 6 g K for ethvert 2 U ( ): Da er funktionen H() : I y (f (; y)); 2 3; kontinuert i punktet : (b) Lad f 2 C(3 2 Y ), hvor 3 være et topologisk rum, og Y er et kompakt Hausdorffrum. Lad I være et positivt integral på Y: Da er funktionen H() : I y (f (; y)); 2 3; kontinuert på 3: Bevis: (a) Lad allerførst! 2 C c (Y; [; ]) være valgt så! på K: Ved et kompakthedsargument ser vi, at der til ethvert > findes en omegn U U ( ) af, så jf (; y) f ( ; y)j < for alle 2 U og y 2 K: Dermed bliver jf (; y) f ( ; y)j < for alle 2 U og y 2 Y: Vi får nu for ethvert 2 U, at jh() H( )j ji y (f (; y) f ( ; y))j I y (jf (; y) f ( ; y)j) I y (jf (; y) f ( ; y)j!(y)) I(!); (29) hvilket viser kontinuiteten i punktet. (b) er et umiddelbart korollar af (a). 8

23 Definition III.6 III. Haar integralet Et venstre Haar integral på er et positivt integral I 6 på med egenskaben I(L(g)f ) I(f ) ; 8f 2 Cc() og 8g 2 : (3) Et højre Haar integral på er et positivt integral I 6 på med egenskaben I(R(g)f ) I(f ) ; 8f 2 Cc() og 8g 2 : (3) Et venstre/højre Haar mål på er det til et venstre/højre Haar integral svarende Radon mål. Et Haar integral er et venstre Haar integral, der tillige er et højre Haar integral, og et Haar mål er et venstre Haar mål, der tillige er et højre Haar mål. Eksempler III.7 () Lebesgue integralet I(f ) : (R n ; +). R R n f (x) dx, f 2 Cc(R n ); er et Haar integral på () Lad T betegne gruppen T fz 2 C j jzj g. Det positive integral på T, der defineres ved f! 2 2 it f e dt for f 2 C(T) (32) er et Haar integral på gruppen T. () Lad være en diskret gruppe som f.eks. (; +). Så er tællemålet et Haar mål på, dvs I(f ) : X x2;f (x)6 et Haar integral på. () Et Haar integral I på gruppen R + ; er er I(f ) f (t) dt () Et venstre Haar integral I på (ax + b)-gruppen a b t b fa I(f) f (x) (33) for f 2 C c R + : (34) j a > ; b 2 R (35) a 2 da db: (36) 9

24 Et højre Haar integral J på er J(f ) III. Haar integralet fa b a da db: (37) Bemærk, at venstre og højre integralerne for denne gruppe er væsensforskellige. () ruppen SO(3) har et Haar integral. Det er beskrevet på side 234 ff i monografien [9]. Se også vores Eksempel III.26 (side 29 nedenfor). Proposition III.8 Lad I være et venstre Haar integral på. (i) Hvis f 2 C c () er positiv, men ikke identisk, så er I(f ) >. (ii) [du Bois-Reymond s sætning] Lad f 2 C(); og lad U være en åben delmængde af. Hvis I(f ) for ethvert 2 C c () med supp U, så er f på U: Bevis: (i) Da et venstre Haar integral pr. definition ikke er nulfunktionalet, findes der en positiv funktion F 2 C c (), så I(F ) >. Pr translationsinvarians kan vi antage, at f (e). Nu er U : 8g 2 jf (g) > 29 en åben e omegn, så fgu jg 2 g er en åben overdækning af og dermed også af supp(f ). Da F har kompakt støtte, findes der endelig mange P S N elementer g ; g 2 ; ; g N 2, så n g nu supp(f ) : På supp(f ) N har vi dermed, at n L(g n)f > ; hvoraf det følger, at det overalt gælder, at 2 NX n L(g n )f F 2 sup F (38) så vi kan ved hjælp af venstre-invariansen af I endelig slutte, at NI(f ) NX n I(L(g n )f ) 2 sup F I(F ) > : (39) (ii) Lad x 2 U være et vilkårligt punkt i U. Ifølge Urysohn s lemma (Lemma III.2, side 7) findes der en funktion F 2 C + c () med supp F U og F (x ). Vælges 2 C c () på formen F f, hvor F 2 C + c (), ser vi at I F jf j 2 : Ifølge det netop beviste resultat (i) er F jf j 2 : Specielt fås i punktet x ; at f (x ) : En mere generel udgave af Proposition III.8(ii) er du Bois-Reymond s sætning (Sætning IV.2, side 3). 2

25 Proposition III.9 III. Haar integralet Lad P være paritetsoperatoren, der til enhver funktion F på tilordner funktionen F P F, givet ved F (g) (P F )(g) : F g for g 2. Da er afbildningen I! I P en bijektion af mængden af venstre Haar integraler på på mængden af højre Haar integraler på. Bevis: Overladt til læseren. Som følge af Proposition III.9 kan vi koncentrere os om studiet af venstre Haar integraler, så det gør vi. I første række trænger to spørgsmål sig på, nemlig eksistensspørgsmålet og éntydighedsspørgsmålet. De besvares af følgende fundamentale resultat. På grund af den essentielle éntydighed taler man ofte løst om venstre/højre Haar integralet. Hovedsætning III. () Der findes et venstre Haar integral på ; ethvert andet venstre Haar integral på er proportionalt med det. () Der findes et højre Haar integral på ; ethvert andet højre Haar integral på er proportionalt med det. Bevis: Som nævnt oven for kan vi nøjes med punkt (). Eksistensudsagnet er langt det vanskeligste at bevise (pånær i specielle situationer), og vi vil her nøjes med at henvise til den ovenfor citerede litteratur for det generelle resultat. Hvis er kompakt eller abelsk, er der enklere beviser. I det kompakte tilfælde kan beviset baseres på Kakutani s fikspunktsætning, og det står som Theorem 5.4, p. 23 i monografien [29]. For abelsk kan beviset baseres på Markov-Kakutani s fikspunktsætning; det er indeholdt i artiklen [2]. Som sagt viser vi ikke eksistensen. Men her et bevis for éntydighedsudsagnet: Lad I; J være to venstre Haar integraler på. Vi skal vise, at der findes en konstant c, så J ci. Idet I og J er to lineære funktionaler på et vektorrum (nemlig vektorrummet C c ()), er det nok at vise, at kernen for I er indeholdt i kernen for J (jvf. Lemma i [26]). Lad derfor 2 C c () opfylde, at I( ). Vi skal så vise, at J( ). Til den ende bemærker vi, at hvis 2 C c (), så er foldningen ( 3 )(g) : I h (h) h g for g 2 (4) også en funktion i C c () (Opgave 6, side 92). Fubini s sætning (Opgave 4, side 9) kombineret med J s venstreinvarians giver, at J( 3 ) for alle 2 C c (). Nu lader vi så erne approksimere funktionen: Til ethvert > og enhver omegn U af e i findes der et positivt 2 C c (U ), så k 3 k < (benyt f.eks. Lemma I.8, side 6, i forbindelse med Urysohns lemma III.2, side 7). Da supp ( 3 ) supp ( ) supp ( ); (Opgave 6, side 92) kan vi via Proposition III.4 slutte, at J( ). Hermed er éntydigheden eftervist. 2

26 III. Haar integralet Eksemplerne viser, at Haar integraler i konkrete tilfælde er velkendte objekter. Det nye er påstanden om, at begrebet translationsinvarians er en kraftig egenskab med så nyttige konsekvenser, at det er fornuftigt og interessant at studere integraler uden at antage mere end translationsinvarians af dem. Bemærkning III. Det følger af Hovedsætning III., at Lebesgue integralet er fastlagt (pånær en normeringsfaktor) på R n ved translationsinvariansen alene; der er intet krav om, at det skal være invariant under andre flytninger af R n som f.eks. rotationer. Flytningsinvariansen er en følge af translationsinvariansen. Lad os uddybe det lidt: I den elementære geometri lærer man, at kongruente figurer i planen har samme areal. Hvis F og F 2 er to figurer i planen, og der findes en isometri af F på F 2, så har F og F 2 samme areal. Situationen på en lokalkompakt gruppe med et venstre Haar mål minder jo meget om ovenstående: To målelige mængder F og F 2 har samme mål, hvis der findes en venstre translation, der fører F over på F 2. Hvis er udstyret med en venstre invariant metrik, så er venstre translationerne isometrier. Et naturligt spørgsmål er nu: Hvilke isometrier udover venstretranslationerne bevarer Haar målet? Svaret, som gives i den følgende proposition, er, at det gør de alle sammen. Propositionen vil ikke blive brugt i det følgende. Proposition III.2 Lad d være en venstre invariant metrik på, og antag, at topologien på er givet ved d. Da er venstre Haar målet på invariant under isometrierne. Bevis: Se artiklen [5]. Indtil nu har vi blot diskuteret integraler af funktioner på et lokalkompakt rum. Lad os derfor føje et par bemærkninger om de tilsvarende mål til. Forbindelsen gives af Riesz s repræsentationssætning, som man kan finde et bevis for i f.eks. Rudin s monografi [3]. Theorem 2.4 i [3] beskriver, hvorledes man konstruerer det til integralet I svarende mål på algebraen af de målelige mængder, godtgør, at denne algebra omfatter Borelmængderne og at I(f) R X f(x) d(x) for f 2 C c(x): Vi bemærker, at (K) < for enhver kompakt delmængde K af X. Det følgende resultat viser bl.a., at venstre Haar målet af en åben, ikke tom mængde er større end. Der er altså ingen områder i, hvor venstre Haar målet forsvinder. Sætning III.3 Lad være venstre Haar målet svarende til et venstre Haar integral på. Hvis M er en målelig delmængde af, og g 2, så er gm også en målelig delmængde af, og (gm) (M). Hvis U 6 ; er en åben delmængde af, så er (U) > : 22

27 III. Haar integralet Bevis: Den første påstand får man ved at gå igennem konstruktionen af målet som beskrevet i Rudin s bog. Den anden følger af Proposition III.8 (side 2) og Urysohns lemma III.2 (side 7), idet (U ) sup I(f ); hvor f gennemløber de funktioner i C + c (; [; ]); der har støtte i U: Egenskaben i Sætning III.3 ovenfor ved Radonmålet karakteriserer Haar målet på Borelmængderne, hvilket det næste resultet demonstrerer: Proposition III.4 Hvis 6 er et venstre-invariant regulært Borelmål på s Borelmængder B, som er endeligt på de kompakte mængder, da har formen jb, hvor er et venstre Haar mål på. Bevis: Funktionalet I : C c ()! C, konstrueret på den oplagte måde, dvs I(f ) : f d for f 2 C c () (4) er et venstre Haar integral på [Overladt til læseren]. Éntydigheden i Riesz s repræsentationssætning [Se beviset i Rudin [3] øverst side 43] sikrer os så, at er [restriktionen til B af] det til I svarende Radonmål, altså et venstre Haar mål. En teknisk kommentar: Regularitetskravet i Proposition III.4 er undertiden automatisk opfyldt. Det sker f.eks. hvis enhver åben delmængde af er kompakt (Se Theorem 2.8 i Rudin [3]). Dette er tilfældet for en Lie gruppe med højst tællelig mange sammenhængskomponenter. Der er et nært samspil mellem gruppens og Haar integralets egenskaber. Eksempelvis noterer vi os følgende kønne resultat: Proposition III.5 Lad være et venstre Haar mål på. Da gælder () er diskret, hvis og kun hvis (feg) >. () er kompakt, hvis og kun hvis () <. Bevis: Lad R være det til svarende venstre Haar integral. () ): Da funktionen feg 2 C c (), kan vi bruge Sætning III.8 til at slutte, at (feg) R feg >. () (: På grund af translationsinvariansen er (fgg) (feg) for ethvert g 2, så enhver mængde med endeligt mål er endelig. Specielt er enhver kompakt mængde endelig. Da er lokalkompakt, findes der derfor en åben omegn af e, som er endelig. Da er Hausdorffsk, følger det deraf, at feg er en åben mængde. Men så er ethvert 23

28 III. Haar integralet punkt en åben mængde, og dermed er enhver mængde åben. Og det betyder jo netop, at har den diskrete topologi. () ): Trivielt, da Radonmål er endelige på kompakte mængder. () (: Lad os omvendt antage, at ikke er kompakt. Vi skal så vise, at (). Lad U være en kompakt e omegn. Da ikke er kompakt, kan endelig mange mængder af formen g U; g 2 U; ; g n U ikke overdække, så vi kan finde en uendelig følge g ; g 2 ; fra, så g n+ 62 n[ i g i U for n ; 2; (42) Vælg nu en åben omegn af e så V V U. Man ser let, at mængderne g V; g 2 V; er parvis disjunkte. Dermed har vi () [ i g i V! X i (g i V ) X i (V ) : (43) Indtil nu har vi indskrænket os til at studere venstre Haar integraler og mål, men helt analoge betragtninger gælder selvfølgelig for højre Haar integraler. Man kunne håbe på, at et venstre Haar integral automatisk også var højre invariant; det er imidlertid ikke tilfældet generelt. Der er grupper, hvis venstre og højre Haar integraler ikke er proportionale. Den enkleste gruppe, hvor dette fænomen indtræffer, er (ax + b)- gruppen, som vi så det i Eksempler III.7 (side 9). Det skal dog tilføjes, at mange også af de interessanteste grupper besidder et Haar integral. Det gælder, som vi snart skal se, f.eks. for de kompakte grupper. I resten af dette kapitel vil vi studere sammenhængen mellem venstre og højre Haar integralerne på. De knyttes sammen, dels ved inversionen g! g [Se Proposition III.9, side 2], dels ved den såkaldte modularfunktion, som vi nu vil indføre: Lad f! R f (g)dg, f 2 C c(), være et venstre Haar integral på. For ethvert a 2 er afbildningen f! R f ga dg, f 2 C c (); af C c () ind i C igen et venstre Haar integral, så pr éntydighed af venstre Haar integralet findes der netop ét positivt tal (a) 2 ]; [, så fga dg (a) f (g)dg for alle f 2 C c () : (44) Bemærk, at (a) ikke afhænger af valget af venstre Haar integral, idet venstre Haar integralerne jo er proportionale. Så (a) er bestemt, så snart den topologiske gruppe er givet. Definition III.6 Afbildningen :! ]; [ kaldes for modularfunktionen. 24

29 III. Haar integralet ruppen siges at være unimodulær, såfremt modularfunktionen er identisk, eller ækvivalent såfremt venstre Haar integralerne også er højre Haar integraler. Lad os notere os et par tilstrækkelige betingelser for, at er unimodulær: Sætning III.7 Hvis er kompakt, abelsk eller diskret, så er unimodulær. Bevis: Hvis er kompakt, sætter vi f i definitionsligningen (44) for. Hvis er abelsk, bytter vi om på g og a i definitionsligningen. Hvis er diskret, er tælleintegralet et positivt integral, der er både venstre og højre invariant. Bemærkning III.8 Hvis er kompakt, så er Haar målet af endeligt (Proposition III.5, side 23). Vi kan og vil derfor altid normere Haar målet af en kompakt gruppe til at være, medmindre andet eksplicit angives. Hvis er diskret, så kan og vil vi som Haar målet vælge tællemålet, medmindre andet eksplicit angives. Hvis er både kompakt og diskret, dvs er endelig, må vi eksplicit angive hvilken af de to muligheder for Haarmålet, vi lægger os fast på. Eksempler III.9 () På T : fz 2 Cjjzj g er afbildningen f! 2 f e i d ; f 2 C(T) (45) ganske vist et Haar integral, men det er ikke normeret. Et normeret Haar integral er f! 2 2 f e i d ; f 2 C(T) (46) (2) Lad være en endelig gruppe af orden jj. Det normerede Haar integral på er f! jj X g2 enerelt har vi følgende egenskab ved modularfunktionen: f (g) : (47) 25

30 Sætning III.2 III. Haar integralet Modularfunktionen er en kontinuert gruppehomomorfi af ind i R + ;. Eksempelvis kan det nævnes, at modularfunktionen på (ax+b)-gruppen ( Se Eksem- pler III.7 (side 9)) er a b a : (48) Bevis for Sætning III.2: Homomorfiegenskaben overlades til læseren. Når den er eftervist, kan vi nøjes med at vise, at er kontinuert i det neutrale element (Proposition I.3, side 4). Idet vi vælger f 2 C c (), så R f (x) dx, har vi fra definitionen af, at (a) R f xa dx for a 2. Og her er højre side kontinuert; det sikres af Lemma III.5 (side 8). Som tidligere nævnt (Proposition III.9, side 2) sender involutionen g! g af venstre Haar integraler over i højre Haar integraler og vise versa, så der bør være og er da også en sammenhæng mellem involutionen og modularfunktionen. Den er som følger: Sætning III.2 Lad R være et venstre Haar integral på. Da er f f for alle f 2 C c () : (49) Korollar III.22 R I en unimodulær gruppe kan man erstatte integrationsvariablen g med g : Hvis er et venstre Haar integral på en unimodulær gruppe, så er f f for alle f 2 C c () : (5) R Bevis for Sætningen: En let udregning viser, at f! f er et venstre Haar integral på. Som R følge af éntydigheden af venstre Haar integraler findes der en konstant c >, så f cr f for alle f 2 C c() : Idet vi indfører involutionen f for alle f! e f : f af funktionerne på, kan dette udtrykkes som R e f c R f 2 C c () : Derfra finder vi, at R f R e f c R e f c 2R at c 2, så c. f ; hvoraf det fremgår, R Bemærk, at formlen F(x) d(x) R F(yx) d(x) kan udtrykkes på den måde, at vi på venstre side kan erstatte den variable x med yx uden at det ændrer integralets 26

31 III. Haar integralet værdi. Det kan være en god idé at holde sig det for øje i mere indviklede integraler. Som f.eks. eller f a x (bx) d(x) f a x bx d(x) f (x)(bax) d(x) (5) f (x) bx a d(x): (52) Eksempel III.23 For en matrixgruppe kan man finde en formel for dens modularfunktion. Lad L(n;R) eller L(n;C) være en matrixgruppe. Lad os sætte henholdsvis : : n X 2 M (n;r) j e tx 2 for all t 2 R o ; (53) n X 2 M (n;c) j e tx 2 for all t 2 R o : (54) Så er et reelt vektorrum, og hvis X 2 og g 2, så vil gxg 2. For g 2 kan vi derfor definere vektorrumsisomorfien Ad(g) :! ved Ad(g)(X) : gxg, X 2. Nu er (g) det Ad g for L(n;R) det Ad g 2 for L(n;C) (55) (Se Lemma I..4, side 87, i [6]). Hvis har en Ad() invariant ikke-degenereret bilineær form B : 2! C, så er det Ad g for ethvert g 2 og dermed er, dvs er unimodulær. B(X; Y ) : Tr (XY ), X; Y 2, er en Ad() invariant bilineær form på. Hvis den er ikke-degenereret, så er unimodulær. Det er f.eks. tilfældet for SL(n;R) og SL(n;C), der således er unimodulære. Lad H være en lukket undergruppe af. Så virker på det homogene rum H ved venstre translationer: L(g)(g H) : (gg )H for g 2 ; g H 2 H : (56) Et interessant spørgsmål er, om H har et invariant positivt integral 6. Og i bekræftende fald hvor mange. Venstre Haar integralet på er specialtilfældet H feg. Her er svaret: 27