3 Overføringsfunktion

Transkript

1 1 3 Overføringsfunktion 3.1 Overføringsfunktion For et system som vist på figur 3.1 er overføringsfunktionen givet ved: Y (s) =H(s) X(s) [;] (3.1) Y (s) X(s) = H(s) [;] (3.2) Y (s) er den Laplacetransformerede af udgangssignalet X(s) er den Laplacetransformerede af indgangssignalet H(s) er overføringsfunktionen Variablen s er den komplekse frekvens, hvor s =( + j!) rad/s. Når udgangssignalet også kaldet svaret fra systemet for et bestemt indgangssignal også kaldet påvirkningen af systemet skal beregnes, Laplacetransformeres x(t) til X(s), hvorefter Y (s) beregnes vha. (3.1). Slutteligt beregnes y(t) =L ;1 [Y (s)]. Fig Et lineært system beskrevet vha. funktioner af den komplekse frekvens s.

2 2 Svaret kan også beregnes direkte i tidsdomænet ved: h(t) =L ;1 [H(s)] [;] (3.3) h(t) er impulssvaret H(s) er overføringsfunktionen Impulssvaret (eller impulsresponset) kan via foldning anvendes til beregning af systemets svar i tidsdomænet: Z 1 y(t) = h( )x(t ; ) d [;] (3.4) 0 y(t) er systemsvaret x(t) er påvirkningen h(t) er impulssvaret Poler og nulpunkter Overføringsfunktionen, som er en bruden, rationel, kompleks funktion, der er positiv reel (se senere), har formen: H(s) =K sn + a 1 s n;1 + + a n;1 s k + b 1 s k;1 + + b n;1 [;] (3.5) (3.5) kan faktoriseres som: H(s) =K (s ; z 1)(s ; z 2 ) (s ; z n ) (s ; p 1 )(s ; p 2 ) (s ; p k ) [;] (3.6) De komplekse tal z m kaldes overføringsfunktionens nulpunkter (eng. zero), og p m kaldes polerne (eng. pole). Der gælder: 0 for s = z H(s) = m [;] (3.7) 1 for s = p m En overføringsfunktions poler og nulpunkter er altid enten reelle tal eller også optræder de som kompleks konjugerede par. Poler og nulpunkter kaldes under ét singulariteter. Det komplekse talplan, hvori s er defineret, kaldes det komplekse frekvensplan eller s-planet. Hvis poler og nulpunkter har negativ realdel, er de placeret i venstre halvplan (eng. LHP, Left Hand Plane) af s-planet. Det forudsættes normalt, at alle poler er placeret i LHP, hvilket er betingelsen for at systemet er stabilt. Hvis graden af nævneren i H(s) er større end graden af tælleren, siges H(s) at have et nulpunkt i uendelig. Hvis tællerens grad er størst, har H(s) en pol i uendelig. Systemer,

3 3 hvis nulpunkter udelukkende er placeret i LHP, kaldes minimum-fase systemer. I grafiske gengivelser markeres poler med krydser i s-planen, og nulpunkter med cirkler. En sådan grafisk angivelse kaldes et pol-nulpunkt diagram. Eksempel På figur 3.2 er vist pol-nulpunktdiagrammet for funktionen: s H(s) =7 (s + 6)(s +3; j5)(s +3+j5) [;] Fig Pol-nulpunkt diagram med et kompleks polpar i p 1 2 = ;3 j5 rad/s samt en reel pol i p 3 = ;6 rad/s og et nulpunkt i z 1 =0rad/s. Konstanten K er noteret i øverste højre hjørne.

4 4 Positivt reel funktion De overføringsfunktioner, der er relevante, er såkaldte positive, reelle funktioner. En sådan funktion opfylder følgende: Hvis s er reel, er H(s) reel Hvis s er imaginær, er realdelen af H(s) større end eller lig med 0 H(s) har ingen poler i højre halvplan Hvis der findes poler på j!-aksen, er de simple. Simple poler er forklaret i afsnit 3.2. Hvis en overføringsfunktion, H(s) er positiv reel, gælder der: H (j!)=h(;j!) [;] (3.8) jh(j!)j 2 = H(j!)H (j!) [;] (3.9) Frekvenskarakteristikker Ved bestemmelse af et systems frekvensgang sættes s = j! rad/s (realdelen sættes til 0), og man lader j! gå fra 0 rad/s til 1 rad/s. Funktionen H(j!) er kompleks, og jh(j!)j for! gående fra 0 rad/s til 1 kaldes amplitudekarakteristikken. Ligeledes kaldes 6 H(j!) fasekarakteristikken. De to størrelser kan bestemmes som: jh(j!)=jkj Q Q n j(j! ; z n)j n j(j! ; p n)j [;] (3.10) 6 H(j!)=6 K + X n p n er polerne [rad=s] 6 (j! ; z n ) ; X n z n er nulpunkterne [rad=s] 6 (j! ; p n ) [;] (3.11)

5 5 Da alle størrelserne (j! ; z n ) og (j! ; p n ) er plane vektorer i s-planen, kan beregningen udføres rent grafisk, idet man lader et punkt bevæge sig ad j!-aksen (ordinaten) fra 0 mod 1, og hele tiden dividerer produktet af længderne af nulpunktsvektorerne med produktet af polvektorerne for at få amplitudekarakteristikken. Fasekarakteristikken fås ved at trække summen af polvektorernes hældningsvinkler fra summen af nulpunktsvektorernes hældningsvinkel. Dette er illustreret på figur 3.3, efter hvilken nedenstående funktioner kan beregnes: jhj = jcj jkj [;] (3.12) jajjbj 6 H = w ; (u + v)+6 K [;] (3.13) Fig Grafisk bestemmelse af amplitude- og fasekarakteristik. Punktet! vandrer fra 0 til 1. C er vektoren fra nulpunktet z til punktet!. A og B er vektorerne fra polerne p 1 og p 2 til punktet!.

6 6 3.2 Bodeplot Det er almindeligt at gengive amplitudekarakteristikken i en dobbeltlogaritmisk afbildning og fasekarakteristikken i en enkeltlogaritmisk, hvor ordinaten i begge tilfælde er inddelt på basis af log!. Det er underforstået at vinkelfrekvenser alle steder er divideret med 1 rad/s. Endvidere anvendes en knækkurveapproksimation konstrueret ud fra asymptoter til bidragene fra hver singularitet. En sådan gengivelse kaldes et Bodeplot. I det følgende betragtes 3 typer af overføringsfunktioner: En konstant Reelle poler/nulpunkter Et komplekst par af poler/nulpunkter. Poler og nulpunkter beskrives under ét, da der kun er et fortegn til forskel. For hver angives bidraget til amplitude- og fasekarakteristikken. Da der er tale om en logaritmisk afbildning for amplitudekarakteristikken, betyder det, at bidragene jf. (3.10) skal adderes. Bidragene til fasekarakteristikken, som er lineær på ordinataksen, skal jf. formel (3.11) også adderes. Amplitudekarakteristikken beregnes som: jhj db = K db + X j(j! ; zn )j db ; X j(j! ; p n )j db [;] (3.14) Fasekarakteristikken beregnes som: 6 H(j!)=6 K + X 6 (j! ; z n ) ; X 6 (j! ; p n ) [;] (3.15) p n er polerne [rad=s] z n er nulpunkterne [rad=s] Angivelsen db betyder, at decibel-funktionen skal anvendes: A db 4 = 20 log A [;] (3.16)

7 7 Betegnelser I det følgende anvendes betegnelsen G for ændringer i amplitudekarakteristikken, jh(j!)j målt i db. ' anvendes for ændringer i fasekarakteristikken 6 H(j!) målt i grader. Størrelsen u står for db pr. dekade. 20 db/dekade er det samme som 6 db/oktav: G =jh(j!)j db [;] (3.17) ' =6 H(j!) [;] (3.18) er ændringen i H(j!) Bidraget fra en konstant Konstanten K giver: G =20logjKj [;] (3.19) ' = 0 for K positiv 180 for K negativ [;] (3.20) hvor symbolernes betydning er som angivet i (3.17) til (3.19). Det er almindeligt at sammenfatte alle konstante faktorer fra poler/nulpunkter i overføringsfunktionen i konstanten K, således at K bestemmes som værdien af jh(0)j.

8 8 Bidraget fra reelle poler/nulpunkter En reel pol eller et reelt nulpunkt af k te orden er defineret ved: (s ; a) k [;] (3.21) a er en pol eller et nulpunkt [rad=s] s er den komplekse frekvens [1=s] Både a og k er reelle tal. Ordenen k udtrykker antallet af poler eller nulpunkter, der har samme størrelse. Hvis k =1, siges polen eller nulpunktet at være simpel. Hvis k>1, siges polen eller nulpunktet at være multipel. Hvis k =0, er der tale om en konstant. Knækfrekvensen! c er givet ved:! c = a [;] (3.22) For frekvenser!! c gælder der: G = 20 log jaj [;] (3.23) ' =0 [;] (3.24) hvor symbolernes betydning er som angivet i (3.17) til (3.19). Disse værdier medregnes almindeligvis i konstanten K. For frekvenser!! c gælder: G = 20ku [;] (3.25) ' = 90k [;] (3.26) + gælder for nulpunkter ; gælder for poler Hver pol giver ;20k db pr. dekade, hvilket svarer til ;6k db pr. oktav. Nulpunkter giver det samme, men med positivt fortegn. De eksakte udtryk er: G = 20k log( p! 2 + a 2 ) [;] (3.27) ' = arctg! a [;] (3.28)

9 9 Figur 3.4 viser amplitude- og fasekurven sammen med knækkurveapproksimationen. Visse af funktionsværdierne er anført på figur 3.5. Fig Amplitude- og fasekarakteristik for en pol af orden k. Knækkurveapproksimationen er vist fuldt optrukket. Den virkelige kurveform er vist punkteret. For et nulpunkt af orden k skiftes fortegnet for hældningen og for argumentet.! Eksakt G Asymptote G Eksakt ' Asymptote ' [rad/s] [db] [db] [ ] [ ] 1 10 a a ,6-31,5 a a ,4-58,6 10a Fig Tabel for værdierne i figur 3.4, gældende for en simpel pol. Værdierne for et tilsvarende nulpunkt fås ved at ændre fortegnene, værdierne for multiple poler/nulpunkter fås ved at multiplicere med ordenen k.

10 10 Eksempel Kredsløbet på figur 3.6 giver overføringsfunktionen: H(s) = s s + 1 RC [;] Der er et nulpunkt og en pol, begge reelle, givet ved: z 1 =0 [;] p 1 = ; 1 RC [;] Knækkurveapproximationen er vist på figur 3.7. Fig Et kredsløb med et reelt nulpunkt og en reel pol.

11 11 Fig Bodeplot for kredsløbet i figur 3.6. Bidraget fra et komplekst pol/nulpunktpar Et komplekst polpar eller nulpunktspar er givet ved: (s ; b)(s ; b ) [;] (3.29) b er en pol eller et nulpunkt [rad=s] b er den kompleks konjugerede af b [rad=s] s er den komplekse frekvens [1=s] Parret opskrives normalt på formen: s 2 ; 2! 0 s +! 2 0 = s 2 ; 1 Q! 0s +! 2 0 [;] (3.30)! 0 er den udæmpede frekvens [rad=s] er dæmpningsfaktoren [;] Q er polgodheden [;] Dæmpningsfaktoren er et tal mellem 0 og 1. Hvis er 0, er polerne eller nulpunkterne

12 12 rent imaginære. Hvis er 1, er polerne eller nulpunkterne rent reelle. Ved at sammenholde (3.29) og (3.30) fås: Re[b] =! 0 [;] (3.31) Im[b] =! 0 p1 ; 2 [;] (3.32) = Re[b]! 0 [;] (3.33)! 0 = p Re[b] 2 + Im[b] 2 [;] (3.34) b =arccos [;] (3.35) b er polvinklen [rad] eller [ ]. Pol-nulpunktdiagrammet på figur 3.8 viser betydningen af størrelserne. Fig Poldiagram for et komplekst polpar. Følgende vinkelfrekvenser, som er illustreret grafisk på figur 3.9, er defineret:! 0 = jbj [;] (3.36)! d =! 0 p1 ; 2 =Im[b] [;] (3.37)

13 13! p =! 0 p1 ; 2 2 [;] (3.38)! 3dB =! 0 q1 ; 2( 2 ; p 2 ; 4 ) [;] [3:39]! 0 er den udæmpede frekvens [rad=s]! d er den dæmpede frekvens [rad=s]! p er peakfrekvensen [rad=s]! 3dB er 3 db-frekvensen [rad=s] Størrelsen! 0 kaldes også polresonansfrekvensen. Peakfrekvensen optræder kun, når 1= p 2, hvilket er ensbetydende med, at Re[b] Im[b]. 3-dB frekvensen er den frekvens, hvor amplituden af overføringsfunktionen er faldet 3 db. Visse steder i litteraturen kan findes defineret en størrelse d, som også kaldes dæmpningsfaktoren (i stedet for ): d = 1 Q =2 [;] (3.40) Q er polgodheden [;] d er den alternative dæmpningsfaktor [;] Hvis = 1 p 2 gælder der: Re[b] = Im[b] [;] (3.41)! 3dB =! 0 [;] (3.42)! p =0 [;] (3.43) Q = = 1 p 2 [;] (3.44)

14 14 Fig Poldiagram for et komplekst polpar med angivelse af karakteristiske frekvenser. Frekvenserne konstrueres grafisk vha. en passer. Alle cirkelbuer går gennem polen. Ved bestemmelse af! p anvendes punktet A som centrum. Ved bestemmelse af! 0 anvendes punktet B. Ved bestemmelse af! 3dB anvendes punktet C. Frekvensen! d er givet som imaginærdelen af polen. Bidragene til Bodeplottet er for!! 0 : G = 20 log(! 0 2 ) [;] (3.45) ' =0 [;] (3.46) hvor symbolernes betydning er som angivet i (3.17) til (3.19). For høje frekvenser,!! 0 er bidraget: G = 40u [;] (3.47) ' = 180 [;] (3.48) + gælder for nulpunkter ; gælder for poler Det præcise udseende omkring! =! 0 afhænger af værdien af dæmpningsfaktoren.de eksakte udtryk er givet nedenfor. Kurverne for fase- og amplitudekarateristik er vist på

15 15 figur G = 20 q(! [;] (3.49) log ) 2 +(2! 0!) 2 G = 20 q(! [;] (3.50) log ) 2 +(2! 0!) 2 ' =arctg 2!! 0! 2 0 ;!2 [ ] (3.51)

16 16 Fig Bodeplot for et komplekst polpar for forskellige værdier af dæmpningsfaktoren, vist i et område omkring! 0.

17 17 Eksempel Kredsløbet på figur 3.11 har overføringsfunktionen: H(s) = R L s + 1 RC s 2 + R L s + 1 LC [;] Med komponentværdierne R =1, L =1HogC =2F fås: H(s) = s +0 5 s 2 + s +0 5 s +0 5 = (s +0 5+j0 5)(s +0 5 ; j0 5) [;] Fig Et RLC-lavpasfilter med 2 komplekse poler og 1 reelt nulpunkt. Der er tale om en overføringsfunktion med et komplekst polpar og ét reelt nulpunkt. Følgende karakteristiske størrelser kan udledes, idet p står for den ene pol (p er den anden):! 0 = 1 plc = rad/s [;] = 2 q R L C = [;] Re[p] =! 0 = R 2L =0 5 [;] Im[p] = r L + R 2 L 2 C =1 0 [;] Bodeplottet for amplitudekarakteristikken er vist på figur Kredsløbet udgør et lavpasfilter med afskæringsfrekvensen 0,7071 rad/s. Nulpunktet i -0,5 rad/s kommer

18 18 ikke til at få nogen indflydelse på overføringsfunktionen (det ligger midt imellem de komplekse poler). Fig Bodeplot for kredsløbet på figur 3.11.