Statistiske Modeller 1: Kontingenstabeller i SAS
|
|
- Silje Paulsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Statistiske Modeller 1: Kontingenstabeller i SAS Jens Ledet Jensen October 31, Indledning Som vist i Notat 1 afsnit 13 er 2 log Q for et test i en multinomialmodel ækvivalent med et test i en poissonmodel. Mere præcist, hvis vi i multinomialmodellen vil teste π Π 2 under π Π 1, hvor Π 2 Π 1 Π (k), er 2 log Q den samme som hvis vi i poissonmodellen med λ i = γπ i, i = 1,..., k, tester (γ, π) R + Π 2 under modellen (γ, π) R + Π 1. Desuden fås estimaterne i multinomialmodellen fra estimaterne i poissonmodellen ved ˆπ i = ˆλ i /ˆλ = ˆλ i /n, hvor n er det samlede antal observationer, n = i n(i). For at lave beregninger i multinomialmodellen i SAS gør vi derfor det at vi bruger poissonmodellen i SAS. Hvis vi specificerer sandsynlighederne i en multinomialmodel ved { } p(i) = exp φ 0 + a φ a (i a ), hvor A er en klasse af ikke-tomme delmængder af mængden af inddelingskriterier Γ, så vil φ 0 være bestemt ved i p(i) = 1. Den tilsvarende poissonmodel er givet ved { } λ i = exp φ 0 + a φ a (i a ), (1) hvor φ 0 nu varierer frit. Estimatet for φ a (i a ) fra poissonmodellen er det samme som estimatet i multinomialmodellen. 2 Dataindlæsning En kontingenstabel indlæses i SAS i form af en matriks. Antallet af rækker er lig med antallet af celler i kontingenstabellen, det vil sige I = γ Γ I γ, og antallet af søjler er lig med antallet af inddelingskriterier plus 1, det vil sige Γ + 1. I SAS hedder et inddelingskriterie en faktor. Hvert inddelingskriterie svarer til en søjle, og her angives for hver celle i kontingenstabellen niveauet for dette kriterie. Den sidste søjle indeholder de observerede antal i hver celle. Læser vi en række fra venstre mod højre får vi værdierne for niveauerne af alle kriterierne i Γ for en given celle, og til sidst får vi det observerede antal i cellen. 1
2 Som et eksempel ser vi på hvor mange der har bestået første årsprøve på politstudiet på København Universitet i årgangene Vi deler ind efter den adgangsgivende eksamen: matematikere, sproglige, andre, efter køn: mænd, kvinder, og efter resultat: bestået, dumpet. Tallene er givet i tabellen nedenfor. bestået dumpet matematikere mænd kvinder sproglige mænd kvinder andre mænd kvinder 8 24 To versioner af det tilsvarende input til SAS er gengivet nedenfor. I den første version er den adgangsgivende eksamen kodet som 1,2,3, køn er kodet som 1,2, og resultat er kodet som 1,2. DATA politstudie; INPUT adgang koen resultat antal; DATALINES; ; I den næste version er den adgangsgivende eksamen kodet som mat, sprog, andet, køn er kodet som mand, kvinde, og resultat er kodet som bestaaet, dumpet. DATA politstudie; INPUT adgang$1-5 koen$7-12 resultat$14-21 antal; DATALINES; mat mand bestaaet 407 mat mand dumpet 460 mat kvinde bestaaet 39 mat kvinde dumpet 50 sprog mand bestaaet 46 sprog mand dumpet 112 sprog kvinde bestaaet 20 2
3 sprog kvinde dumpet 42 andet mand bestaaet 42 andet mand dumpet 177 andet kvinde bestaaet 8 andet kvinde dumpet 24 ; 3 Modelspecifikation Vi vil betragte modeller hvor cellesandsynlighederne p(i) specificeres ved hovedvirkninger og interaktioner. Lad os starte med et eksempel. Vi betragter en 2-dimensional kontingenstabel hvor de to inddelingskriterier er rækker R og søjler S. Der er r niveauer for R og s niveauer for S. Følgende tabel giver en række modeller og deres beskrivelse i SAS: model cellesandsynlighed SAS M 0 p ij fri R S R*S M 1 p ij = α i β j R S 1 M 2 p ij = α i R s M2 p ij = 1β r j S M 3 p ij = 1 1 r s Princippet i SAS opskrivningen er at hovedvirkninger angives ved at skrive navnet på kriteriet (eller faktoren), og vekselvirkninger angives ved at skrive navnene på de faktorer der indgår med imellem. Lad os prøve at formulere SAS opskrivningen generelt. Lad Γ være mængden af inddelingskriterier eller faktorer. Lad A være en klasse af ikke-tomme delmængder af Γ. Vi betragter modellen hvor { } p(i) = exp φ 0 + a A φ a (i a ). Modelopskrivningen i SAS består nu i en opremsning af alle elementer i A. Hvis a A består af et inddelingskriterie kun, a = {γ}, skriver vi bidraget i modelformlen som γ (svarende til R og S i eksemplet ovenfor). Hvis a A indeholder flere elementer, a = {γ 1,..., γ v }, skriver vi bidraget i modelformlen som γ 1 γ 2 γ v. Hvis A = {a 1,...,a k }, og hvis vi indfører notationen { γ hvis a = {γ}, ã = γ 1 γ 2 γ v hvis a = {γ 1,...,γ v }, så kan vi angive modelformlen som ã 1 ã 2 ã k (2) Man benytter altid følgende konvention for rækkefølgen af leddene i (2): 3
4 Konvention A: Hvis a 1, a 2 A og a 1 a 2 så skrives ã 1 før ã 2. (3) For at lave en entydig opskrivning af parametrene i modellen bruger vi den konvention, at hvis et interaktionsled er med i modellen, så skal alle lavere ordens interaktionsled, indeholdt i dette led, også med. Vi kan sige dette mere præcist på følgende vis. Vi betragter modellen { } p(i) = exp φ 0 + a A φ a (i a ). (4) hvor A er en klasse af ikke-tomme delmængder af Γ. Konvention B: a A b A b a. (5) Betragt som et eksempel en 3-dimensional kontingenstabel med inddelingskriterierne R, S, og H. Vi vil undersøge modellen hvor der er interaktion mellem R og S, mellem R og H, men hvor der ikke er interaktion mellem S og H og der er ingen trejde ordens interaktion. I SAS bliver denne model R S H R S R H (6) For ydermere at have en entydig opskrivning under konvention B i (5) benytter SAS den opskrivning der er nævnt i (3) i LCT. Reference cellen i, der benyttes til dette, er i SAS cellen givet ved det sidste niveau for alle inddelingskriterierne. For en 2-dimensional kontingenstabel med inddelingskriterier R og S og r niveauer for R og s niveauer for S har vi således φ R (r) = 0, φ S (s) = 0, φ R,S (r, j) = 0 j, φ R,S (i, s) = 0 i. Bemærkning: (I behøves ikke at læse dette.) Det er ikke strengt nødvendigt at overholde konvention B i (5). Selvom ikke alle b a er inkluderet i A vil SAS fitte den samme model. I eksemplet ovenfor med tre inddelingskriterier vil SAS fitte den samme model som i (6) ved blot at skrive R S R H. Parametriseringen er imidlertid anderledes og det kan være svært at overskue dette. Ydermere vil det have indflydelse på dele af det output som omtales nedenfor. 4 SAS kørsel Lad os som et eksempel starte med at analysere data i politstudie fra afsnit 2. Vi kører først en fuld model med alle interaktioner. I SAS kan det gøres som følger. PROC GENMOD DATA=politstudie ORDER=DATA; CLASS adgang koen resultat; MODEL antal=adgang koen resultat adgang*koen adgang*resultat koen*resultat adgang*koen*resultat/dist=poisson; 4
5 Hvis vi vil undersøge modellen, hvor der kun er interaktion mellem adgang og koen og mellem adgang og resultat, skriver vi PROC GENMOD DATA=politstudie ORDER=DATA; CLASS adgang koen resultat; MODEL antal=adgang koen resultat adgang*koen adgang*resultat/ dist=poisson; (7) Generelt skal vi i første linie angive navnet på vores datamatriks: (8) PROC GENMOD DATA=<navn> ORDER=DATA; Genmod er navnet på den relevante procedure i SAS, og ORDER=DATA er en besked til SAS om at bruge samme rækkefølge for niveauerne som den hvormed de optræder ved indlæsningen af data. I den næste linie: CLASS F1 F2... Fk; angives navnene på alle faktorerne (inddelingskriterierne) i datasættet. Dette er altså alle navnene pånær det sidste i INPUT linien i forbindelse med indlæsningen af data. Endelig følger specifikation af modellen i linien MODEL antal=<interaktionsled>/dist=poisson; Her er antal det navn vi brugte i INPUT linien i forbindelse med indlæsningen af data for søjlen med antal observationer i hver celle. <interaktionsled> er en specifikation af modellen som i (2) og eksemplificeret i (6), og hvor vi bruger konvention B i (5). At data skal analyseres i en poissonmodel angives ved dist=poisson. 5 Output Den første del af output fra kørsel af politstudie i (7) er som følger: The GENMOD Procedure Model Information Data Set WORK.POLITSTUDIE Distribution Poisson Link Function Log Dependent Variable antal Observations Used 12 5
6 Class Level Information Class Levels Values adgang 3 mat sprog andet koen 2 mand kvinde resultat 2 bestaaet dumpet Criteria For Assessing Goodness Of Fit Criterion DF Value Value/DF Deviance Scaled Deviance Pearson Chi-Square Scaled Pearson X Log Likelihood Hvis vi istedet kører modellen i (8) er den første del med Model Information og Class Level Information naturligvis som før, hvorimod Criteria For Assessing Goodness Of Fit bliver: Criteria For Assessing Goodness Of Fit Criterion DF Value Value/DF Deviance Scaled Deviance Pearson Chi-Square Scaled Pearson X Log Likelihood SAS giver således først information om hvilket datasæt der er analyseret, og hvilke faktorer der indgår. Den egentlige analyse starter først med Criteria For Assessing Goodness Of Fit. Den sidste linie Log Likelihood angiver den maksimale værdi af loglikelihood funktionen for den betragtede model (i poissonmodellen). Hvis vi ønsker at lave et test for reduktionen af modellen fra (7) til (8) bliver 2 log Q: 2 log Q = 2[ ] = (9) Generelt er antallet af frihedsgrader i den approksimerende χ 2 -fordeling d 1 d 2, hvor d 1 er antallet af frie parametre i den model vi tester under, og d 2 er antallet af frie parametre i den model vi ønsker at teste. Antallet af frie parametre kan findes ved hjælp af tallet angivet i søjlen DF. Reglen er, at d = k 1 DF, hvor k er antallet af celler i kontingenstabellen som angives under Observations Used i output. Vi får derfor at d 1 d 2 = (k 1 DF 1 ) (k 1 DF 2 ) = DF 2 DF 1. I tilfældet ovenfor bliver antallet af frihedsgrader altså 3 0 = 3. 6
7 De fire linier ovenover Log Likelihood angiver forskellige teststørrelser for et test af den fittede model under den fulde model hvor alle parametrene kan variere frit. Deviance og Scaled Deviance er 2 log Q for dette test, hvorimod Pearson Chi-Square og Scaled Pearson X2 er X 2 = i (n(i) e(i))2 /e(i), hvor e(i) er det forventede antal e(i) = nˆp(i) i celle i under modellen. Da det første output ovenfor svarer til den fulde model (7), er der ingen forskel mellem den fulde model og den fittede model, hvorfor teststørrelserne er nul. I det næste output fra model (8) ser vi, at Deviance er den samme værdi som vi selv beregnede i (9), idet vi i (9) netop testede under den fulde model (7). Den næste del af output giver de estimerede parametre under modellen, det vil sige φ a (i a ), a A, for modellen givet ved (4), og φ 0 fra den tilsvarende poissonmodel (1). I tabel 1 gengives dette for kørslen af modellen i (8). Udover estimatet angives en standardafvigelse på estimatet og et approksimativt 95% konfidensinterval. Endelig angives der en teststørrelse for om denne parameter kan testes lig med nul, og den tilsvarende p-værdi angives. Bemærk at visse parametre er sat til nul for at have en entydig parametrisering, jævnfør (3) i LCT. Opsummering: Hvis vi ønsker at lave et 2 log Q test model M 2 under en model M 1 laver vi to SAS-kørsler, en for model M 1 og en for model M 2. Vi aflæser så Log Likelihood i de to kørsler og beregner 2 log Q herfra. Estimaterne for φ a (i a ), a A, i modellen (4) aflæses direkte i SAS-udskriften. 6 De forventede antal Hvis vi ændrer kaldet i (8) til PROC GENMOD DATA=politstudie ORDER=DATA; CLASS adgang koen resultat; MODEL antal=adgang koen resultat adgang*koen adgang*resultat/ dist=poisson PREDICTED; bevirker dette at der til sidst i output skrives en tabel med overskriften Observation Statistics. Denne ses nedenfor. Observation Statistics Observation antal Pred Xbeta Std HessWgt (10)
8 Analysis Of Parameter Estimates Standard Wald 95% Confidence Chi- Parameter DF Estimate Error Limits Square Pr > ChiSq Intercept <.0001 adgang mat adgang sprog adgang andet koen mand <.0001 koen kvinde resultat bestaaet <.0001 resultat dumpet adgang*koen mat mand adgang*koen mat kvinde adgang*koen sprog mand <.0001 adgang*koen sprog kvinde adgang*koen andet mand adgang*koen andet kvinde adgang*resultat mat bestaaet <.0001 adgang*resultat mat dumpet adgang*resultat sprog bestaaet adgang*resultat sprog dumpet adgang*resultat andet bestaaet adgang*resultat andet dumpet Scale NOTE: The scale parameter was held fixed. Table 1: Udskrift fra SAS: estimater.
9 Første søjle er blot en nummerering af cellerne, anden søjle er de observerede antal i cellerne, og trejde søjle er de forventede antal under den model der fittes til data som angivet i SAS-kaldet (10). Denne tabel kan bruges til at checke om alle de forventede er større end eller lig med 5, som er vores tommelfingerregel for at bruge den approksimerende chi 2 -fordeling til 2 log Q. 7 Type 1 og 3 tabeller Hvis vi ændrer kaldet i (8) til PROC GENMOD DATA=politstudie ORDER=DATA; CLASS adgang koen resultat; MODEL antal=adgang koen resultat adgang*koen adgang*resultat/ dist=poisson TYPE1 TYPE3; bevirker dette, at der til sidst i output skrives en tabel med overskriften LR Statistics For Type 1 Analysis, og en tabel med overskriften LR Statistics For Type 3 Analysis. Hver af de to tabeller har en række for hvert af de led der angives i modelformlen i (11), og rækkefølgen er som angivet i modelformlen. Det er derfor vigtigt at konvention A i (3) overholdes. Udover rækkefølgen af leddene i modelformlen i (11) er tabellerne afhængige af hvilke led der indgår i formlen, hvorfor det er vigtigt at overholde konvention B i (5). (11) LR Statistics For Type 3 Analysis Chi- Source DF Square Pr > ChiSq adgang <.0001 koen <.0001 resultat <.0001 adgang*koen <.0001 adgang*resultat <
10 I tabellen LR Statistics For Type 3 Analysis indeholder søjlen Chi-Square den sædvanlige 2 log Q teststørrelse for at vi kan fjerne det led, der er angivet under Source, når vi tester under den model (11) der blev angivet ved kaldet af SAS. Sojlen med DF angiver frihedsgraderne i den approksimerende χ 2 -fordeling, og søjlen Pr > ChiSq er p-værdien for dette test. I denne tabel giver det kun mening at betragte nogle af rækkerne. Hvis vi siger at modellen er givet ved en klasse A af ikke-tomme delmængder af Γ, som i (2), vil vi kun betragte de rækker der svarer til b A for hvilke der ikke findes a A med b a. I tabellen ovenfor svarer det til at vi ikke vil betragte de tre første rækker, men kun betragte de to sidste rækker. Forklaringen paa dette er, at hvis en model indeholder en interaktion mellem nogle faktorer, så vil alle lavere ordens interaktioner også naturligt være tilstede, hvorfor en sådan lavere ordens interaktion ikke kan fjernes alene. Hvis vi i en type 3 tabel finder at det er rimeligt at fjerne et led fra modellen (for eksempel hvis p-værdien er større end 0.05), vil vi lave en ny SAS-kørsel hvor vi fjerner dette led fra modelformlen. LR Statistics For Type 1 Analysis Chi- Source Deviance DF Square Pr > ChiSq Intercept adgang <.0001 koen <.0001 resultat <.0001 adgang*koen <.0001 adgang*resultat <.0001 Vi læser tabellen LR Statistics For Type 1 Analysis nedefra. Hver række indeholder et test for at vi kan fjerne det led, der angives under Source, hvor vi tester under den model der fremkommer ved at fjerne alle de led der står i rækkerne under den aktuelle række fra den oprindelige modelformel i (11). Søjlen Chi-Square indeholder 2 log Q teststørrelsen og DF angiver frihedsgraderne i den approksimerende χ 2 - fordeling. Hvis vi kigger på rækken adgang*resultat får vi teststørrelsen for et test af modellen adgang koen resultat adgang*koen under modellen adgang koen resultat adgang*koen adgang*resultat Hvis vi kigger på rækken resultat får vi teststørrelsen for et test af modellen under modellen adgang koen adgang koen resultat Type 1 tabellen indeholder også en første række med navnet Intercept. Her testes at φ 0 = 0 i poissonmodellen (1). 10
β = SDD xt SSD t σ 2 s 2 02 = SSD 02 f 02 i=1
Lineær regression Lad x 1,..., x n være udfald af stokastiske variable X 1,..., X n og betragt modellen M 2 : X i N(α + βt i, σ 2 ) hvor t i, i = 1,..., n, er kendte tal. Konkret analyseres (en del af)
Læs merek normalfordelte observationsrækker (ensidet variansanalyse)
k normalfordelte observationsrækker (ensidet variansanalyse) Lad x ij, i = 1,...,k, j = 1,..., n i, være udfald af stokastiske variable X ij og betragt modellen M 1 : X ij N(µ i, σ 2 ). Estimaterne er
Læs mereMPH specialmodul i epidemiologi og biostatistik. SAS. Introduktion til SAS. Eksempel: Blodtryk og fedme
MPH specialmodul i epidemiologi og biostatistik. SAS Introduktion til SAS. Display manager (programmering) Vinduer: program editor (med syntaks-check) log output reproducerbart (program teksten kan gemmes
Læs mereMan indlæser en såkaldt frequency-table i SAS ved følgende kommandoer:
1 IHD-Lexis 1.1 Spørgsmål 1 Man indlæser en såkaldt frequency-table i SAS ved følgende kommandoer: data ihdfreq; input eksp alder pyrs cases; lpyrs=log(pyrs); cards; 0 2 346.87 2 0 1 979.34 12 0 0 699.14
Læs mereUge 13 referat hold 4
Uge 13 referat hold 4 Gruppearbejde 1a: Er variablen kvotient inkluderet på en hensigtsmæssig måde? Der er to problemer med kvotient: 1) Den er trunkeret ved 6.9 og 10.0, løsningen er at indføre dummyer
Læs mereAfdeling for Anvendt Matematik og Statistik December 2006
Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Inge Henningsen Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik December 2006 i SAS (Zar kapitel 23) PROC FREQ PROC CATMOD
Læs mereProgram. Logistisk regression. Eksempel: pesticider og møl. Odds og odds-ratios (igen)
Faculty of Life Sciences Program Logistisk regression Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Odds og odds-ratios igen Logistisk regression Estimation og inferens Modelkontrol Slide 2 Statistisk Dataanalyse
Læs mereMPH specialmodul i epidemiologi og biostatistik. SAS. Introduktion til SAS. Eksempel: Blodtryk og fedme
MPH specialmodul i epidemiologi og biostatistik. SAS Introduktion til SAS. Display manager (programmering) Vinduer: program editor (med syntaks-check) log output reproducerbart (program teksten kan gemmes
Læs mereNaturvidenskabelig Bacheloruddannelse Forår 2006 Matematisk Modellering 1 Side 1
Matematisk Modellering 1 Side 1 I nærværende opgavesæt er der 16 spørgsmål fordelt på 4 opgaver. Ved bedømmelsen af besvarelsen vægtes alle spørgsmål lige. Endvidere lægges der vægt på, at det af besvarelsen
Læs mereModel. (m separate analyser). I vores eksempel er m = 2, n 1 = 13 (13 journalister) og
Model M 0 : X hi N(α h + β h t hi,σ 2 h ), h = 1,...,m, i = 1,...,n h. m separate regressionslinjer. Behandles som i afsnit 3.3. (m separate analyser). I vores eksempel er m = 2, n 1 = 13 (13 journalister)
Læs merePostoperative komplikationer
Løsninger til øvelser i kategoriske data, oktober 2008 1 Postoperative komplikationer Udgangspunktet for vurdering af den ny metode må være en nulhypotese om at der er samme komplikationshyppighed, 20%.
Læs mereFaculty of Health Sciences. Logistisk regression: Kvantitative forklarende variable
Faculty of Health Sciences Logistisk regression: Kvantitative forklarende variable Susanne Rosthøj Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab Københavns Universitet sr@biostat.ku.dk Sammenhæng
Læs mereLog-lineære modeller. Analyse af symmetriske sammenhænge mellem kategoriske variable. Ordinal information ignoreres.
Log-lineære modeller Analyse af symmetriske sammenhænge mellem kategoriske variable. Ordinal information ignoreres. Kontingenstabel Contingency: mulighed/tilfælde Kontingenstabel: antal observationer (frekvenser)
Læs mereDagens Temaer. Test for lineær regression. Test for lineær regression - via proc glm. k normalfordelte obs. rækker i proc glm. p. 1/??
Dagens Temaer k normalfordelte obs. rækker i proc glm. Test for lineær regression Test for lineær regression - via proc glm p. 1/?? Proc glm Vi indlæser data i datasættet stress, der har to variable: areal,
Læs mereInstitut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 UGESEDDEL 6
Institut for Matematiske Fag Matematisk Modellering 1 Aarhus Universitet Eva B. Vedel Jensen 25. februar 2008 UGESEDDEL 6 Forelæsningerne torsdag den 21. februar og tirsdag den 26. februar. Jeg har gennemgået
Læs mereReeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for Biokemikere 6. april 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet er på
Læs mereVi vil analysere effekten af rygning og alkohol på chancen for at blive gravid ved at benytte forskellige Cox regressions modeller.
Løsning til øvelse i TTP dag 3 Denne øvelse omhandler tid til graviditet. Et studie vedrørende tid til graviditet (Time To Pregnancy = TTP) inkluderede 423 par i alderen 20-35 år. Parrene blev fulgt i
Læs mereKursus i varians- og regressionsanalyse Data med detektionsgrænse. Birthe Lykke Thomsen H. Lundbeck A/S
Kursus i varians- og regressionsanalyse Data med detektionsgrænse Birthe Lykke Thomsen H. Lundbeck A/S 1 Data med detektionsgrænse Venstrecensurering: Baggrundsstøj eller begrænsning i måleudstyrets følsomhed
Læs mereLineær regression. Simpel regression. Model. ofte bruges følgende notation:
Lineær regression Simpel regression Model Y i X i i ofte bruges følgende notation: Y i 0 1 X 1i i n i 1 i 0 Findes der en linie, der passer bedst? Metode - Generel! least squares (mindste kvadrater) til
Læs mereEksamen i Statistik for Biokemikere, Blok januar 2009
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Statistik for Biokemikere, Blok 2 2008 09 19. januar 2009 Alle hjælpemidler er tilladt, og besvarelsen må gerne skrives med blyant. Opgavesættet
Læs mereLineær og logistisk regression
Faculty of Health Sciences Lineær og logistisk regression Susanne Rosthøj Biostatistisk Afdeling Institut for Folkesundhedsvidenskab Københavns Universitet sr@biostat.ku.dk Dagens program Lineær regression
Læs mereLøsning til eksamen d.27 Maj 2010
DTU informatic 02402 Introduktion til Statistik Løsning til eksamen d.27 Maj 2010 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th edition]. Opgave I.1
Læs mereDet kunne godt se ud til at ikke-rygere er ældre. Spredningen ser ud til at være nogenlunde ens i de to grupper.
1. Indlæs data. * HUSK at angive din egen placering af filen; data framing; infile '/home/sro00/mph2016/framing.txt' firstobs=2; input id sex age frw sbp sbp10 dbp chol cig chd yrschd death yrsdth cause;
Læs mereVejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok
Opgave 1 Vejledende besvarelse af eksamen i Statistik for biokemikere, blok 2 2006 Inge Henningsen og Niels Richard Hansen Analysevariablen i denne opgave er variablen forskel, der for hver af 10 kvinder
Læs mereBesvarelse af vitcap -opgaven
Besvarelse af -opgaven Spørgsmål 1 Indlæs data Dette gøres fra Analyst med File/Open, som sædvanlig. Spørgsmål 2 Beskriv fordelingen af vital capacity og i de 3 grupper ved hjælp af summary statistics.
Læs mereLøsning til opgave i logistisk regression
Løsning til øvelser i logistisk regression, november 2008 1 Løsning til opgave i logistisk regression 1. Først indlæses data, og vi kan lige sørge for at danne en dummy-variable for cml, som indikator
Læs mereReeksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007-2008. 3 timers skriftlig prøve. Alle hjælpemidler - også blyant - er tilladt. Opgavesættet er
Læs mereNormalfordelingen. Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: 1 2πσ
Normalfordelingen Det centrale er gentagne målinger/observationer (en stikprøve), der kan beskrives ved den normale fordeling: f(x) = ( ) 1 exp (x µ)2 2πσ 2 σ 2 Frekvensen af observationer i intervallet
Læs mereOpgavebesvarelse, logistisk regression
Opgavebesvarelse, logistisk regression Data ligger i rop.xls på kursushjemmesiden: http://staff.pubhealth.ku.dk/ jufo/courses/logistic/ Når du har gemt data på din computer, kan det indlæses i SAS med
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)
Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:
Læs mereVejledende besvarelse af hjemmeopgave i Basal Statistik, forår 2014
Vejledende besvarelse af hjemmeopgave i Basal Statistik, forår 2014 Garvey et al. interesserer sig for sammenhængen mellem anæstesi og allergiske reaktioner (se f.eks. nedenstående reference, der dog ikke
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af
Læs mereEn Introduktion til SAS. Kapitel 5.
En Introduktion til SAS. Kapitel 5. Inge Henningsen Afdeling for Statistik og Operationsanalyse Københavns Universitet Marts 2005 6. udgave Kapitel 5 T-test og PROC UNIVARIATE 5.1 Indledning Dette kapitel
Læs mereStatistisk modellering af meldugangreb i vinterhvede. Analyse på baggrund af observationer i Registreringsnettet
Statistisk modellering af meldugangreb i vinterhvede Analyse på baggrund af 13.000 observationer i Registreringsnettet 2000-2007 Rapporten beskriver den statistiske model samt analysens resultater Jens
Læs mereVi ønsker at konstruere normalområder for stofskiftet, som funktion af kropsvægten.
Opgavebesvarelse, Resting metabolic rate I filen T:\rmr.txt findes sammenhørende værdier af kropsvægt (bw, i kg) og hvilende stofskifte (rmr, kcal pr. døgn) for 44 kvinder (Altman, 1991 og Owen et.al.,
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereBasal Statistik Logistisk Regression. Dagens Tekst E Sædvanlig Linear Regression (Repetition) Basal Statistik - Logistisk regression 1
Basal Statistik Logistisk Regression Judith L. Jacobsen, PhD. Lene Theil Skovgaard http://staff.pubhealth.ku.dk/~lts/basal13_ jlj@statcon.dk Dagens Tekst Logistisk regression Binære data Logit transformation
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression
Læs mereOpgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved
Matematisk Modellering 1 (reeksamen) Side 1 Opgave 1 Betragt to diskrete stokastiske variable X og Y. Antag at sandsynlighedsfunktionen p X for X er givet ved { 1 hvis x {1, 2, 3}, p X (x) = 3 0 ellers,
Læs mereEksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning
1 Multipel regressions model Eksempel Multipel regressions model Den generelle model Estimation Multipel R-i-anden F-test for effekt af prædiktorer Test for vekselvirkning PSE (I17) ASTA - 11. lektion
Læs mereLogistisk regression. Basal Statistik for medicinske PhD-studerende November 2008
Logistisk regression Basal Statistik for medicinske PhD-studerende November 2008 Bendix Carstensen Steno Diabetes Center, Gentofte & Biostatististisk afdeling, Københavns Universitet bxc@steno.dk www.biostat.ku.dk/~bxc
Læs mereMantel-Haenszel analyser. Stratificerede epidemiologiske analyser
Mantel-Haensel analyser Stratificerede epidemiologiske analyser 1 Den epidemiologiske synsvinkel: 1) Oftest asymmetriske (kausale) sammenhænge (Eksposition Sygdom/død) 2) Risikoen vurderes bedst ved hjælp
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. Vejledende besvarelse 22-01-2007, Niels Richard Hansen Bemærkning: Flere steder er der givet en argumentation (f.eks. baseret på konfidensintervaller)
Læs mereAdgangsgivende eksamen (udeladt kategori: Matematisk student med matematik på niveau A)
Økonometri 1 Forår 2003 Ugeseddel 13 Program for øvelserne: Gruppearbejde Opsamling af gruppearbejdet og introduktion af SAS SAS-øvelser i computerkælderen Øvelsesopgave 6: Hvem består første årsprøve
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereMuligheder: NB: test for µ 1 = µ 2 i model med blocking ækvivalent med parret t-test! Ide: anskue β j som stikprøve fra normalfordeling.
Eksempel: dæktyper og brændstofforbrug (opgave 25 side 319) Program: cars 1 2 3 4 5... radial 4.2 4.7 6.6 7.0 6.7... belt 4.1 4.9 6.2 6.9 6.8... Muligheder: 1. vi starter med at gennemgå opgave 7 side
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mereLogistisk Regression - fortsat
Logistisk Regression - fortsat Likelihood Ratio test Generel hypotese test Modelanalyse Indtil nu har vi set på to slags modeller: 1) Generelle Lineære Modeller Kvantitav afhængig variabel. Kvantitative
Læs mereStatistik II 1. Lektion. Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller
Statistik II 1. Lektion Sandsynlighedsregning Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller
Læs mereProgram. Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve I SAS. Øvelse: effekt af diæter
Program Konfidensinterval og hypotesetest, del 2 en enkelt normalfordelt stikprøve Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Øvelse: effekt af diæter. Repetition fra sidst... Parrede og ikke-parrede
Læs mereLogistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression
Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression: Definitioner For en binær (0/) variabel Y antager vi P(Y)p P(Y0)-p Eksempel: Bil til arbejde vs alder
Læs mereFaculty of Health Sciences. Basal Statistik. Logistisk regression mm. Lene Theil Skovgaard. 5. marts 2018
Faculty of Health Sciences Basal Statistik Logistisk regression mm. Lene Theil Skovgaard 5. marts 2018 1 / 22 APPENDIX vedr. SPSS svarende til diverse slides: To-gange-to tabeller, s. 3 Plot af binære
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereISCC. IMM Statistical Consulting Center. Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect. Technical University of Denmark
IMM Statistical Consulting Center Technical University of Denmark ISCC Brugervejledning til beregningsmodul til robust estimation af nugget effect Endelig udgave til Eurofins af Christian Dehlendorff 15.
Læs mereEksamen i Statistik for biokemikere. Blok
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Statistik for biokemikere. Blok 2 2007. 3 timers skriftlig prøve. Alle hjælpemidler - også blyant - er tilladt. Opgavesættet er på 8 sider.
Læs mereKonfidensintervaller og Hypotesetest
Konfidensintervaller og Hypotesetest Konfidensinterval for andele χ -fordelingen og konfidensinterval for variansen Hypoteseteori Hypotesetest af middelværdi, varians og andele Repetition fra sidst: Konfidensintervaller
Læs mereLøsning til eksaminen d. 14. december 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 200-2-0 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 4. december 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition,
Læs mereHypoteser om mere end to stikprøver ANOVA. k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) gælder også for k 2! : i j
Hypoteser om mere end to stikprøver ANOVA k stikprøver: (ikke ordinale eller højere) H 0 : 1 2... k gælder også for k 2! H 0ij : i j H 0ij : i j simpelt forslag: k k 1 2 t-tests: i j DUER IKKE! Bonferroni!!
Læs mereModule 12: Mere om variansanalyse
Module 12: Mere om variansanalyse 12.1 Parreded observationer.................. 1 12.2 Faktor med 2 niveauer (0-1 variabel)......... 3 12.3 Tosidig variansanalyse med tilfældig virkning..... 9 12.3.1 Uafhængighedsbetragtninger..........
Læs mereMultipel Lineær Regression
Multipel Lineær Regression Trin i opbygningen af en statistisk model Repetition af MLR fra sidst Modelkontrol Prædiktion Kategoriske forklarende variable og MLR Opbygning af statistisk model Specificer
Læs mereLogistisk regression
Logistisk regression Test af antagelsen om lineære effekter Modelkonstruktion og modelsøgning Hvilke variable og hvilke interaktioner skal inkluderes i regressionsmodellerne? 1 Logistiske regressionsmodeller
Læs mereKommentarer til øvelser i basalkursus, 2. uge
Kommentarer til øvelser i basalkursus, 2. uge Opgave 2. Vi betragter målinger af hjertevægt (i g) og total kropsvægt (målt i kg) for 10 normale mænd og 11 mænd med hjertesvigt. Målingerne er taget ved
Læs merePoul Thyregod, introslide.tex Specialkursus vid.stat. foraar Lad θ = θ(β) R k for β B R m med m k
Dagens program: Likelihoodfunktion, begreber : Mandag den 4. februar Den generelle lineære model score-funktion: første afledede af log-likelihood har middelværdien nul observeret information: anden afledede
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. IH kapitel 12. Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 12 Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge 1 Fordelingen af én (1): Regressionsanalyse udfaldsvariabel responsvariabel afhængig variabel Y variabel 2
Læs mereLineær regression i SAS. Lineær regression i SAS p.1/20
Lineær regression i SAS Lineær regression i SAS p.1/20 Lineær regression i SAS Simpel lineær regression Grafisk modelkontrol Multipel lineær regression SAS-procedurer: PROC REG PROC GPLOT Lineær regression
Læs mereØkonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet
Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 32 Konsekvenser af Heteroskedasticitet Antag her (og i resten) at MLR.1 til MLR.4 er opfyldt. Antag MLR.5 ikke er opfyldt, dvs. vi har heteroskedastiske
Læs mereMultipel Linear Regression. Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression
Multipel Linear Regression Repetition Partiel F-test Modelsøgning Logistisk Regression Test for en eller alle parametre I jagten på en god statistisk model har vi set på følgende to hypoteser og tilhørende
Læs mereStatistikøvelse Kandidatstudiet i Folkesundhedsvidenskab 28. September 2004
Statistikøvelse Kandidatstudiet i Folkesundhedsvidenskab 28. September 2004 Formål med Øvelsen: Formålet med øvelsen er at analysere om risikoen for død er forbundet med to forskellige vacciner BCG (mod
Læs mereSidste gang: One-way(ensidet)/one-factor ANOVA I dag: Two-factor ANOVA (Analysis of variance) Two-factor ANOVA med interaktion
VARIANSANALYSE 2 Sidste gang: One-way(ensidet)/one-factor ANOVA I dag: (Analysis of variance) med interaktion Problem: Hvordan håndterer vi forsøg, hvor effekten er forårsaget af to faktorer og en evt.
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele
Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereAfdeling for Anvendt Matematik og Statistik Januar Regressionsanalyse i SAS 2. Regressionsanalyse med GLM Sammenligning af regressionslinier
Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Inge Henningsen Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Januar 2007 2 Regressionsanalyse med GLM Sammenligning af regressionslinier
Læs mereSide 1 af 19 sider. Danmarks Tekniske Universitet. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402
Danmarks Tekniske Universitet Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve: 15. december 2007 Kursus navn og nr: Introduktion til Statistik, 02402 Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af (studienummer)
Læs mereBetinget fordeling Uafhængighed. Beregning af forventet tabel Chi-kvadrat teststatistik Chi-kvadrat test. Chi-kvadratfordelingen Agresti - Summary
1 Kontingenstabeller Betinget fordeling Uafhængighed 2 Chi-kvadrat test for uafhængighed Beregning af forventet tabel Chi-kvadrat teststatistik Chi-kvadrat test. Chi-kvadratfordelingen Agresti - Summary
Læs mereOpgaver til ZAR II. Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Michael Sørensen Oktober Opgave 1
Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for biokemikere Inge Henningsen Michael Sørensen Oktober 2003 Opgaver til ZAR II Opgave 1 Et datasæt består af 20 observationer.
Læs mereBasal Statistik Kategoriske Data
Basal Statistik Kategoriske Data 8 oktober 2013 E 2013 Basal Statistik - Kategoriske data Michael Gamborg Institut for sygdomsforebyggelse Københavns Universitetshospital michael.orland.gamborg@regionh.dk
Læs mereDagens Emner. Likelihood-metoden. MLE - fortsat MLE. Likelihood teori. Lineær regression (intro) Vi har, at
Likelihood teori Lineær regression (intro) Dagens Emner Likelihood-metoden M : X i N(µ,σ 2 ) hvor µ og σ 2 er ukendte Vi har, at L(µ,σ 2 1 ) = ( 2πσ 2)n/2 e 1 2 P n (xi µ)2 er tætheden som funktion af
Læs mereEpidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april
Århus 8. april 2011 Morten Frydenberg Epidemiologi og Biostatistik Opgaver i Biostatistik Uge 10: 13. april Opgave 1 ( gruppe 1: sp 1-4, gruppe 5: sp 5-9 og gruppe 6: 10-14) I denne opgaveser vi på et
Læs mereSimpel og multipel logistisk regression
Faculty of Health Sciences Logistisk regression Simpel og multipel logistisk regression 16. Maj 2012 Analyse af en binær responsvariabel. syg/rask, død/levende, ja/nej... Ud fra en eller flere forklarende
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test]
Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2 -test [ki-i-anden-test] 1 Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination
Læs mereMorten Frydenberg 14. marts 2006
Introduktion til Logistisk Regression Morten Frydenberg, Inst. f. Biostatistik 1 RESUME: 2 2. gang: 2006 Institut for Biostatistik, Århus Universitet MPH 1. studieår Specialmodul 4 Cand. San. uddannelsen
Læs mereOversigt over emner. Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens
Oversigt Oversigt over emner 1 Punkt- og intervalestimation Punktestimatorer: Centralitet(bias) og efficiens 2 Konfidensinterval Konfidensinterval for andel Konfidensinterval - normalfordelt stikprøve
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereMorten Frydenberg 26. april 2004
Introduktion til Logistisk Regression Morten Frydenberg, Inst. f. Biostatistik RESUME: 2 2. gang: 2002 Institut for Biostatistik, Århus Universitet MPH. studieår Specialmodul 4 Cand. San. uddannelsen.
Læs mereStatistik II Lektion 3. Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable
Statistik II Lektion 3 Logistisk Regression Kategoriske og Kontinuerte Forklarende Variable Setup: To binære variable X og Y. Statistisk model: Konsekvens: Logistisk regression: 2 binære var. e e X Y P
Læs mereRegressionsanalyse i SAS
Københavns Universitet Statistik for Biokemikere Det naturvidenskabelige fakultet Inge Henningsen Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik December 2006 Regressionsanalyse uden gentagelser Regressionsanalyse
Læs mereHvad skal vi lave? Model med hovedvirkninger Model med vekselvirkning F-test for ingen vekselvirkning. 1 Kovariansanalyse. 2 Sammenligning af modeller
Hvad skal vi lave? 1 Kovariansanalyse Model med hovedvirkninger Model med vekselvirkning F-test for ingen vekselvirkning 2 Sammenligning af modeller 3 Mere generelle modeller PSE (I17) ASTA - 14. lektion
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele
Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning
Læs mereIntroduktion til GLIMMIX
Introduktion til GLIMMIX Af Jens Dick-Nielsen jens.dick-nielsen@haxholdt-company.com 21.08.2008 Proc GLIMMIX GLIMMIX kan bruges til modeller, hvor de enkelte observationer ikke nødvendigvis er uafhængige.
Læs mere02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset
02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også
Læs mereNoter til Specialkursus i videregående statistik
Noter til Specialkursus i videregående statistik Poul Thyregod IMM, februar 2005 Indhold Forord 6 1 Momenter og flerdimensionale stokastiske variable 7 1.0 Indledning............................. 7 1.1
Læs mereModelkontrol i Faktor Modeller
Modelkontrol i Faktor Modeller Julie Lyng Forman Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Statistik for Biokemikere 2003 For at konklusionerne på en ensidet, flersidet eller hierarkisk
Læs mereLagrange multiplier test. Økonometri: Lektion 6 Håndtering ad heteroskedasticitet. Konsekvenser af Heteroskedasticitet
Lagrange multiplier test Et alternativ til F -testet af en eller flere parametre. Økonometri: Lektion 6 Håndtering ad heteroskedasticitet Antag vi har model: y = β 0 + β 1 x 2 + + β k x k + u. Vi ønsker
Læs mereCLASS temp medie; MODEL rate=temp medie/solution; RUN;
Ugeopgave 2.1 Bakterieprøver fra patienter transporteres ofte til laboratoriet ved stuetemperatur samt mere eller mindre udsat for luftens ilt. Dette er især uheldigt for prøver som indeholder anaerobe
Læs mereStatikstik II 2. Lektion. Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression
Statikstik II 2. Lektion Lidt sandsynlighedsregning Lidt mere om signifikanstest Logistisk regression Sandsynlighedsregningsrepetition Antag at Svar kan være Ja og Nej. Sandsynligheden for at Svar Ja skrives
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereØkonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet
Økonometri: Lektion 6 Emne: Heteroskedasticitet 1 / 34 Lagrange multiplier test Et alternativ til F -testet af en eller flere parametre. Antag vi har model: Vi ønsker at teste hypotesen y = β 0 + β 1 x
Læs mereReeksamen i Statistik for biokemikere. Blok 3 2007.
Københavns Universitet Det Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Statistik for biokemikere. Blok 3 2007. Opgave 1. 3 timers skriftlig prøve. Alle hjælpemidler - også blyant - er tilladt. Opgavesættet
Læs mere