Det endelige tal fremkommer ved at opstille bogstavkombinationer, hvor følgende regler gælder:

Transkript

1 Talsystemer Et talsystem er betegnelsen for den måde, hvorpå tal kan skrives ud fra et grundtal. I dag anvendes i de fleste lande titalssystemet, hvor tallets placering har en værdi (positionssystem), og hvor der anvendes ti symboler, nemlig fra 0 til 9. Titalssystemet kommer af tællen på fingre, men der findes andre talsystemer. Grækerne anvendte alfabetets bogstaver, og babylonierne anvendte seksagesimalsystemet (60 som grundtal), som i dag tildels stadig anvendes ved inddeling af vinkler i grader, minutter og sekunder, som ved angivelse af en position på jordkloden ud fra længde- og breddegraderne. Romerne anvendte et titalssystem, men det var ikke et positionssystem, og værdien 0 eksisterer ikke. Alle tal udtrykkes med 7 bogstaver, som hver har en værdi: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = Det endelige tal fremkommer ved at opstille bogstavkombinationer, hvor følgende regler gælder: Hvis ens tal eller et større tal efterfølges af et mindre, adderes tallene, men hvor et mindre tal efterfølges af et større tal, trækkes det mindre tal fra det større.

2 Eksempler: VI = = 6 XX = = 20 IV = 5 1 = 4 CCXI = 211 MCMLXXIV = 1974 MCMXCVII = ( ) + ( ) + ( ) = Dette betyder, at der ikke kan udtrykkes negative tal med romertal. Romertalssystemet anvendes stadig nogle steder, som f.eks. når en bygnings opførelsestidspunkt angives på facaden, men det er dog efterhånden meget sjældent. I vort taltalesprog er der ligeledes rester fra et tidligere anvendt 20- talsystem, som f.eks. en snes (20 stk.) og udtryk som tresindstyve, 3 sinde 20 (3 20 = 60) og halvfjerdsindstyve, hvor halv fjerde betyder halvvejs mod fire = 3,5, således at halvfjerdsindstyve = 3,5 sinde 20 = 70. Vi kan også finde rester af et tolvtalssystem, nemlig et dusin (12 stk.) og et gros (12 dusin), men det forekommer dog mere sjældent. Titalssystemet Vi har i dag vænnet os til at kun anvende titalssystemet og de regneregler, som knytter sig til dette talsystem. Som sagt består titalssystemet af tallene 0 til 9, og talsystemet er et positionssystem, hvilket vil sige, at placeringen af cifrene har en værdi (vægt), der svarer til grundtallet opløftet i den potens, som positionen angiver, eller sagt på en anden måde: vi bruger enere (10 0 ), tiere (10 1 ),

3 hundreder (10 2 ), tusinder (10 3 ), titusinder (10 4 ), hundredetusinder (10 5 ), millioner (10 6 ) osv., som positionen herunder angiver: Position nr.: Tal: hvor position 6 har vægten million, position 5 har vægten hundredetusind, position 4 titusind, position 3 tusind, position 2 hundrede, position 1 ti og position 0 har vægten en, hvilket giver tallet: to millioner firehundrede syv og tredive tusinde ethundrede seks og halvfems. Man kan altså konkludere, at hver gang der flyttes en cifferposition til venstre, ganges værdien med grundtallet, og hver gang der flyttes en position til højre, divideres værdien med grundtallet. Den teknologiske udvikling og hermed anvendelsen af digitalteknik har medført et behov for indførelsen af andre talsystemer, som er mere velegnede til at udtrykke talstørrelser, der kan bearbejdes af digitale systemer. Dette har medført tre talsystemer: Det binære talsystem Det oktale talsystem Det hexadecimale talsystem Det binære talsystem Det binære talsystem har grundtallet 2 og består af symbolerne 0 og 1, som anvendes til at angive, om en spænding er til stede eller ikke til stede. Hvert ciffer kaldes et digit, som kommer fra latin (digitus) og betyder finger. Herfra har man så, at, binære digits dannet ordet bit, der anvendes som betegnelse for et binært ciffer. For at gøre overskueligheden større har man valgt at samle bit i grupper således, at 4-bit udgør en nible, 8-bit udgør en byte og 16-bit udgør et word.

4 På samme måde som i titalssystemet er det binære talsystem også et positionssystem, hvor hver position har en vægt, som vist her: Position nr.: Tal: Hvor position 6 har vægten 64 (2 6 ), position 5 vægten 32 (2 5 ), position 4 vægten 16 (2 4 ), position 3 vægten 8 (2 3 ), position 2 vægten 4 (2 2 ), position 1 vægten 2 (2 1 ) og position 0 har vægten 1 (2 0 ). På samme måde som med titalssystemet kan vi altså konkludere, at hver gang der flyttes en cifferposition til venstre, ganges værdien med grundtallet, og hver gang der flyttes en position til højre, divideres værdien med grundtallet. Herved bliver tallet udtrykt i titalssystem: (1 64) + (0 32) + (1 16) + (0 8) + (0 4) + (1 2) + (1 1) = Læg mærke til, at der anvendes et indeks for at markere, hvilket talsystem tallet opgives i: = = 5 10 Der er nogle ulemper forbundet med det binære talsystem i forbindelse med menneskets måde at overskue og vurdere tal på. Det er bl.a. svært umiddelbart at oversætte et binært tal til den værdi, tallet vil have i titalssystemet. Når man skal kommunikere binære tal i talesprog, opstår der for alvor problemer. Se blot følgende eksempel: Tallet skal udtales Et - nul - nul - et - et - nul - nul - et - et - et - et - nul - et - et - et - nul! Selvfølgelig underforstået, at vi starter fra venstre som ved titalssystemet.

5 Dette har medført, at det har været nødvendigt at»opfinde«nogle talsystemer, som er tilpasset menneskets måde at kommunikere på. Her anvendes to talsystemer: Det oktale og det hexadecimale talsystem. Det oktale talsystem Det oktale talsystem har grundtallet 8 og benytter symbolerne 0 til 7, og hvert ciffer vil således være den samlede værdi af tre bit. Binært Oktalt Decimalt På samme måde som med andre talsystemer er oktaltalssystemet også et positionssystem, hvor cifrenes position har en værdi: Position nr.: Tal: Bit: Her har position 5 vægten (8 5 ), position 4 vægten 4096 (8 4 ), position 3 vægten 512 (8 3 ), position 2 vægten 64 (8 2 ), position 1 vægten 8 (8 1 ) og position 0 har vægten 1 (8 0 ), hvilket igen vil sige, at hver gang der flyttes en cifferposition til venstre, ganges værdien med grundtallet, og hver gang der flyttes en position til højre, divideres værdien med grundtallet. Ovenstående tal vil have titalsværdien: = (10)

6 Når oktale tal skal kommunikeres med talesprog, vil det foregå på følgende måde: Tre - et - to - et - fire - syv! Hvis man siger»trehundredetolvtusind ethundredesyvogfyrre«bruger man vægten af titalssystemets cifre, hvilket kan opfattes forkert. Der findes et oktalt talsystem, hvor det maksimale tal, som kan udtrykkes, er begrænset til 8 bit, hvilket giver tal i området 000 (8) (8). Dette talsystem kaldes split-oktal og anvendes hovedsageligt til angivelser af binære størrelser inden for computerområdet. Position nr.: Tal: Bit: Det hexadecimale talsystem Det hexadecimale talsystem har grundtallet 16 og benytter symbolerne 0 til F, og hvert ciffer vil således være den samlede værdi af fire bit. Binært Hexadecimalt Decimalt A B C D E F

7 Man har valgt at erstatte ciffersymbolerne med bogstaver, da symbolet så kun optager en plads og herved er lettere at vise i kolonner på papir og displays. Når hexadecimale tal skrives, indikerer man, at tallet er hexadecimalt ved at tilføje H til slutningen af tallet. På den måde vil det ikke være muligt at forveksle 10 med 10H, da 10 er 10 i titalssystemet og 10H svarer til 16 i titalssystemet. På samme måde som med andre talsystemer er hexadecimaltalssystemet også et positionssystem, hvor cifrenes position har en værdi: Position nr.: Tal: 2 F 4 A Bit: Her har position 3 vægten 4096 (16 3 ), position 2 vægten 256 (16 2 ), position 1 vægten 16 (16 1 ), og position 0 har vægten 1 (16 0 ). Igen er det sådan, at hver gang der flyttes en cifferposition til venstre ganges værdien med grundtallet, og hver gang der flyttes en position til højre, divideres værdien med grundtallet. Tallet 2F4A (16) vil således have titalsværdien: F(15) A(10) = (10). På samme måde som med oktale tal kommunikeres hexadecimale tal ved at nævne hvert ciffer for sig: To - F - fire - A! Igen skal man undgå at bruge titalssystemets taltalesprog som hundrede og tusinde. Talsystemers begrænsning Vi har lært, at titalssystemet kan bruges til at angive tal uden begrænsning i størrelse, hvilket normalt illustreres med en tallinie, som vist her: 4139a-01.cdr + + +

8 Som det kan ses, går tallene mod uendelig ( ) både i positiv og negativ retning, hvilket jo som bekendt vil sige, at der ikke er nogen grænser for størrelsen. Hvis vi betragter de digitale talsystemer, er disse begrænset af det antal bit, som er til rådighed til at indeholde talværdien. Hvis der f.eks. er 8 bit til rådighed, vil det største hele tal, som kan udtrykkes, være 255 (10). Hvis der tælles en op på dette tal, vil grænsen for det største tal være overskredet, og det, som nu indeholdes i de 8 bit, vil svare til værdien 0. Dette kan illustreres med tre bit: (1) (8) Når alle tre bit er 1, har vi altså det største tal, som kan indeholdes i tre bit, nemlig 7 (10). Hvis tallet forøges yderligere, vil menten forsvinde, og det, som indeholdes i de tre bit, vil have værdien 0. På den måde kan man kalde de digitale talsystemer for cirkulære, da de»bider sig selv i halen«, samt at størrelsen på cirklen er bestemt af antallet af bit, som er til rådighed.

9 Konvertering mellem talsystemer Der vil ofte være behov for at konvertere mellem forskellige talsystemer, og i det efterfølgende vil der blive givet eksempler på de forskellige metoder, som anvendes ved de forskellige talsystemer. Konvertering mellem decimal og binær Hvis man ønsker at konvertere tallet 694 (10) til binær tal, kan der anvendes to metoder: Subtraktionsmetoden Ved denne metode undersøges tallet for kendte potenser af 2 (grundtallet i det binære talsystem) ved at subtrahere disse fra tallet, og hver gang der kan blive en positiv rest, sættes et»1«, ellers sættes et»0«: 4139a-02.cdr

10 Divisionsmetoden Den anden metode, som kan anvendes, er divisionsmetoden. Denne metode går ud på, at decimaltallet divideres med tallet 2, og hver gang der er rest, sættes et»1«ellers sættes et»0«, og man anvender kun heltallet af divisionsresultatet til næste division. Rest efter division: 4139a-03.cdr Efter divisionsforløbet»væltes«tallet mod højre, og det endelige resultat kan ses.

11 Konvertering mellem binær og decimal Hvis man ønsker at konvertere tallet (2) til decimaltal, kan der også anvendes to metoder: Additionsmetoden Ved denne metode adderes vægten af de enkelte cifre: = 1 1 = = 1 2 = = 0 4 = = 1 8 = = 1 16 = = 0 32 = = 1 64 = = = Den anden metode er mutiplikationsmetoden, som bygger på det princip, at når man bevæger sig fra en cifferposition til en anden, multipliceres/divideres vægten med grundtallet. Når man bevæger sig fra højre mod venstre multipliceres, og når man bevæger sig fra venstre mod højre divideres. Sagt på en anden måde, vil et ciffer i det binære talsystem være dobbelt så meget»værd«som det ciffer, der står til højre for dette, samt halvt så meget værd som det til venstre. Dette kan bruges i konvertering fra binær til decimal.

12 Tallet: konverteres på følgende måde: = = = = = = = a-04.cdr Ved konvertering mellem oktal og decimal kan der anvendes de samme metoder, som er vist tidligere, dog med de værdier, som gælder for det oktale talsystem: Fra oktal til decimal: 176 (8) = 1 64 = = 7 8 = = 6 1 = (10)

13 eller = 4139a-05.cdr = (10) Fra decimal til oktal: 234 (10) 234 / 64 (8 ) = = / 8 (8 ) = = / 1 (8 ) = a-06.cdr 2 (8) En anden metode er at konvertere det oktale tal til binær og herefter omregne fra binær til decimal eller omregne fra decimal til binær og så fra binær til oktal. Fra hexadecimal til decimal Ved konvertering mellem hexadecimal og decimal kan der ligeledes anvendes de samme metoder, som tidligere vist, dog igen med de værdier, som gælder for det hexadecimale talsystem: A9C (16) A 16 2 = = = 9 16 = C 16 0 = 12 1 = (10)

14 eller A 9 C (16) = = 4139a-07.cdr (10) Fra decimal til hexadecimal 1234 (10) 1234/256(16 ) /16(16 ) /1(16 ) 4139a-08.cdr 2 = = 210 = 13 = = 2 = 2 D 4 D 2 (16) Konvertering mellem oktal og hexadecimal foregår altid over det binære talsystem. Her skal man blot være opmærksom på, om det oktale tal, der arbejdes med, er i split-oktal. Konvertering af 253 (8) til hexadecimal: 4139a-09.cdr

15 Konvertering af 7F (16) til oktal 4139a-10.cdr

16 Konvertering af brøker Som tidligere omtalt, ændres vægten af et ciffer, når man bevæger sig fra en cifferposition til en anden. Bevæger man sig mod højre, forøges vægten af det aktuelle ciffer multipliceret med grundtallet, og bevæger man sig mod venstre, formindskes vægten af det aktuelle ciffer divideret med grundtallet. Dette betyder, at tallet 0,125(10) består af brøkerne: = 0, 1 + 0, , 005 = 0, da der jo stadig sker en division med grundtallet, hver gang vi flytter mod højre. Det samme sker også i andre talsystemer, således at det binære tal 0,101 består af brøkerne: = 0, 5 + 0, 125 = 0, Decimalbrøk til binærbrøk Konvertering fra decimalbrøk til binærbrøk foregår ved at multiplicere decimaltallet med 2, og hver gang resultatet overstiger 1 sættes et»1«ellers sættes et»0«. Når resultatet overstiger 1, trækkes 1 fra resultatet, og der fortsættes på denne måde, til resultatet bliver 0. 0,875(10) konverteres således: 0, ,75 1 0,75 2 1,5 1 0,5 2 = = = = = 1,75 0,75 1,5 0,5 1, ,875 (10) = 0,111 (2) 4139a-11.cdr

17 Konvertering af binærbrøk til decimalbrøk sker ved, at man tager vægten af det mindst betydende ciffer i den binære brøk som nævner og den decimale værdi af tallet efter decimalpunktet som tæller. Konvertering af 0,1101: 1101 (2) = 13 (10) 0,1101 (2) = = 0, (10) LSB = 2-4 = I det oktale talsystem gælder samme princip: 0,374 (8) består af brøkerne: = = = 0, Binærbrøk til decimalbrøk Decimalbrøk til oktalbrøk Konvertering fra decimalbrøk til oktalbrøk foregår ved, at decimalbrøken multipliceres med grundtallet (8), og heltallet sættes som ciffer, hvorefter der fortsættes efter dette princip med decimaldelen, indtil rest er lig 0. 0,4375(10) konverteres således: 0, ,35 3,5 3 0,5 8 Rest (10) = = = = 0,5 4 0 (8) 0, , a-12.cdr (10) = 0,34 (8) Oktalbrøk til decimalbrøk Ved konvertering fra oktalbrøk til decimalbrøk bruges samme princip som ved binærbrøk, blot skal man huske, at her er grundtallet 8, altså ved at man tager vægten af det mindst betydende ciffer i den oktale brøk som nævner og den decimale værdi af tallet efter decimalpunktet som tæller.

18 Konvertering af 0,314 (8) : 314 (8) = 204 (10) 0,314 (8) = = 0, (10) LSB = 8-3 = De samme principper anvendes således også ved konvertering mellem hexadecimale og decimale brøker, blot skal man huske, at grundtallet her er 16. 0,2A (16) består af brøkerne: = = = 0, ( 10) Decimalbrøk til hexadecimalbrøk Konvertering fra decimalbrøk til hexadecimalbrøk foregår ved, at decimalbrøken multipliceres med grundtallet (16), og heltallet sættes som ciffer, hvorefter der fortsættes efter dette princip med decimaldelen, indtil rest er lig 0. 0,4375 (10) konverteres således: 0, = 7 7 rest = 0 0,4375 (10) = 0,7 (16) Hexadecimalbrøk til decimalbrøk Ved konvertering fra hexadecimalbrøk til decimalbrøk bruges samme princip som ved oktal- og binærbrøk, blot skal man huske, at her er grundtallet 16, altså ved at man tager vægten af det mindst betydende ciffer i den hexadecimale brøk som nævner og den decimale værdi af tallet efter decimalpunktet som tæller.

19 Konvertering af 0,3C (16) : 3C (16) = 60 (10) 0,3C (16) = = 0, (10) LSB = 16-2 = Regning med tal i andre talsystemer Det første, man skal gøre sig klart, når man skal foretage beregninger i andre talsystemer, er, at de regneregler, som gælder ved regning i titalssystemet også gælder i andre talsystemer, blot med den forskel, at grundtallet er anderledes. Som eksempel kan vises, hvad der sker, når man ganger eller dividerer et tal med grundtallet: 40,0 (10) 10 (10) = 400 (10) 40,0 (10) / 10 (10) = 4,00 (10) 110 (2) 10 (2) (2 (10) ) = 1100 (2) 110 (2) / 10 (2) (2 (10) ) = 11,00 (2) 37,0 (8) 10 (8) (8 (10) ) = 370 (8) 37,0 (8) / 10 (8) (8 (10) ) = 3,70 (8) 4A,0 (16) 10 (16) (16 (10) ) = 4A0 (16) 4A,0 (16) / 10 (16) (16 (10) ) = 4,A0 (16) Som det ses, sker der det, at ved multiplikation flytter alle cifre en plads til venstre, og ved division flytter alle cifre en plads til højre.

20 Ved addition og subtraktion gør det samme sig gældende, nemlig at regnereglerne for mente og lån er de samme, men igen med den forskel, at grundtallet ændrer sig Som det ses i additionseksemplet, bliver resultatet af = 12 altså en tier og to enere. Tieren overføres som mente og indgår i additionen af tierne. Med andre ord vi får en mente, når et additionsresultat bliver lig med eller større end grundtallet. Ved subtraktion vil et lån altid være med værdi som grundtallet. / Da vi ikke kan trække 5 fra 2, er vi nødt til at låne, og det, vi låner, er grundtallet 10, således at subtraktionen nu er 12 5 hvilket giver 7. Samtidig skal man huske at fratrække det lånte fra tiernes plads. Alt dette er jo noget, vi alle kender, og hvis man bruger de samme metoder ved regning med andre talsystemer, vil det se ud som følger: Binære regneregler = = = = 0 og en mente (carry) til næste højere bit 0 0 = = 1 samt lån (borrow) fra næste højere bit 1 0 = = 0

21 / / / Ved subtraktion lånes grundtallet 2 eller dobbelt så meget, som den aktuelle cifferpositions værdi, eller sagt på en anden måde: der lånes to»1«ere (her indikeret ved, at de er placeret oven for hinanden). 1 1 / 10 (8) Oktale regneregler Hexadecimale regneregler 1 1 / 10 (16) 2FA 1C E Komplementtal Ved udregninger i digitale maskiner, som f.eks. computere, anvendes komplementtal. Denne måde at udtrykke tal på har efterhånden også vundet indpas i folkeskolen, da man mener, at denne måde at betragte tal på er med til at give eleverne en bedre udviklet sans for talbehandling. I folkeskolen omtales dette som»tals gode venner«, men er det samme som komplementtal, og man arbejder både med 9 ers og 10 ers komplement. Ved 9 ers komplement menes det tal, som skal lægges til det aktuelle tal for at give summen 9.

22 Nierkomplementen til 4 er 5, fordi = 9. Tierkomplementen til 4 er 6, fordi = 10. Man anvender komplementtal, da det er lettere at foretage en addition digitalt, end det er at subtrahere. Komplementtal fremkommer ved at invertere (vende) tallet, og alt efter om der anvendes 9 ers eller 10 ers komplement, adderes med eller uden mente. Dette kan illustreres ved følgende eksempel: ers komplement 10 ers komplement Som det ses, bortkastes menten ved 10 ers komplement, men adderes ved 9 ers komplement. Når menten lægges til (ved 9 ers komplement), kaldes dette EAC (End Around Carry). Kan man egentlig regne med komplementtal?

23 Hvis vi tager 10 ers komplement til det mindst betydende ciffer og 9 ers komplement til resten, vil det se således ud: mente Men da vi startede med 10 ers komplement for mindst betydende ciffer og dermed har indført en mente, bortkastes denne, og resultatet bliver: 6017 Nu arbejder digitale systemer med binære tal, så derfor må komplementprincippet overføres til dette talsystem. Her er således tale om 1 ers og 2 ers komplement, ligesom der var tale om 9 ers og 10 ers komplement i titalssystemet. Inden for digitalteknikken angiver man et negativt tal ved at tilføje en fortegnsangivelse, et såkaldt sign bit. Fortegnsangivelse sker ved, at der sættets et»1«foran tallet for at indikere, at tallet er negativt. Husk, at hvis der anvendes fortegn, skal dette være oplyst, da man ellers vil være i tvivl om, hvorvidt det forreste»1«er et fortegn, eller om det indgår som et vægtet bit i et positivt tal. Dette betyder, at man godt kan opgive et negativt binært tal på følgende måde: = 6 Hvor det forreste bit er et sign bit, men hvis dette ikke er oplyst, kan tallet oversættes til 22. Denne måde at angive negative tal på hedder signed magnitude, og sign bittet angiver, om der er tale om et negativt eller positivt tal.

24 Sign bit = 0: tallet er positivt Sign bit = 1: tallet er negativt 1 ers komplement I 1 ers komplement skrives alle positive tal som i signed magnitude, men alle negative tal har værdiangivelsen inverteret: = = 9 Hvis man adderer et positivt tal med et negativt, foretages der en subtraktion: 9 + ( 4) = 9 (+4) / (9) 1001 (9) ( 4) 0100 (+4) (5) EAC (5) Det tal, som står øverst i et subtraktionsstykke, kaldes minuenden, og det tal, som står nederst, kaldes subtrahenden. Minuend 7 Subtrahend 4 Sum 3 En subtraktion mellem to positive tal kan godt give en negativ sum, hvis subtrahenden er større end minuenden. 4 (+9) = ( 9) = 5

25 Hvis subtraktionen udføres i 1 ers komplement, udføres den som en addition, og subtrahendens fortegn skifter: (4) ( 9) ( 5) Som det ses, er sign bittet 1, og tallet er negativt. Hvis man ønsker at kende værdien af det negative tal, kan summen omsættes til signed magnitude ved, at sign bittet beholdes, og resten af tallet inverteres: ( 5) Ved addition af to negative tal, skal alle bit, også sign bittet, adderes: ( 9) ( 4) EAC ( 13) Hvis resultatet så omsættes til signed magnitude, fås den rigtige værdi: ( 13) 2 ers komplement For at undgå EAC additionen, som jo kræver et ekstra trin og dermed mere tid, kan man anvende 2 ers komplement, som i princippet svarer til 10 ers komplement. Menten kan altså bortkastes efter additionen. 2 ers komplement dannes ved, at man subtraherer tallets positive værdi fra 2 N+1, hvor N er antallet af bit i det største tal, der arbejdes med.

26 Princippet svarer til, at man tog en bil med en gammel kilometertæller (en af dem, som kan spoles tilbage) og bakker bilen 1 km. Hvis kilometertælleren fra starten stod på vil den efter kørselen stå på 99999, hvilket svarer til 1 km, men det»lån«, som er foretaget, ligger uden for skalaen. Hvis det største antal bit, der anvendes, er 4, skal tallet subtraheres fra = 2 5 = for at få sign bittet med: 9 konverteres til 2 ers komplement ved at subtrahere 1001 fra 2 5 = Således er ers komplement til 9. En anden metode til at finde 2 ers komplement er at finde 1 ers komplement til tallet (invertere dette), og herefter addere 1 til 1 ers komplement: 9 = i signed magnitude 1 ers komplement til 9: ers komplement til 9 er 1 ers komplement + 1:

27 Den tredje metode er lettere, hvis man kan huske den: Tallet betragtes bit for bit fra højre mod venstre, og så længe der står»0«, gøres intet. Det første»1«, der mødes, bibeholdes, og resten af bittene, undtagen sign bittet, inverteres: 9 = i signed magnitude, og det første bit fra højre er»1«, så det bibeholdes, og resten inverteres (undtagen sign bittet): ( 9) 12 = bliver til 10100, først to»0«, som ikke røres, herefter»1«, som heller ikke røres, så et bit, som inverteres, og til slut sign bittet, som bibeholdes. En subtraktion af to positive tal foretages ligesom tidligere ved, at regneoperationen ændres samtidig med, at subtrahendens fortegn ændres: 9 (+4) = 9 + ( 4) Hvis vi så anvender 2 ers komplement, ser regnestykket således ud: (9) ( 4) 0101 (5) Menten bortkastes! 4139a-13.cdr Ligesom tidligere kan en subtraktion af to positive tal give en negativ sum, hvis subtrahenden er større end minuenden: (+4) (+9) = 5 Igen ændres regneoperationen til en addition og subtrahendens fortegn ændres: (+4) (+9) = (+4) + ( 9)

28 0100 (+4) ( 9) Summen er negativ, og resultatet fås ved at konvertere summen fra 2 res komplement til den sande værdi i signed magnitude: i 2 ers komplement i signed magnitude = 5 Hvis man foretager en addition af to negative tal, vil summen blive negativ. Hvis denne addition foretages i 2 ers komplement, adderes de to komplementtal, og en eventuel mente bortkastes: ( 4) + ( 9) = 13 Først findes de to komplementtal: ( 4 i signed magnitude) (værdidelen inverteres) + 1 (der adderes 1 for at opnå 2 ers komplement) ( 4 i 2 ers komplement) ( 9 i signed magnitude) 0110 (værdidelen inverteres) + 1 (der adderes 1 for at opnå 2 ers komplement) ( 9 i 2 ers komplement)

29 Herefter foretages additionen: 4139a-14.cdr ( 4) ( 9) ( 13 i 2'ers komplement) Menten bortkastes Konvertering af værdidelen fra 2 ers komplement til signed magnitude: ( 13 i 2 ers komplement) ( 13 i signed magnitude) Komplementtal i andre talsystemer Som hovedregel er det således, at komplementtal normalt dannes i det binære talsystem, hvorefter resultatet konverteres til det ønskede talsystem. Det vil som regel være til det hexadecimale talsystem, som er det talsystem, der i dag benyttes til maskinprogrammering af mikroprocessorer. Principperne er, som de tidligere viste, men stadigvæk skal det være grundtallet for det aktuelle talsystem, som styrer komplementkonverteringen. Det vil næsten altid være det, som svarer til 2 ers komplement, som der er brug for, derfor vises kun konvertering svarende til dette. Det største positive tal, som kan udtrykkes hexadecimalt med 8 bit, er 7F (16) (127 (10) ), hvor det mest betydende bit stadig er 0. Det mest betydende bit er jo vort sign bit!

30 Dette betyder samtidig, at det mindste tal, som kan udtrykkes med 8 bit, er 80 (16) ( 128 (10) ) Hvis vi ønsker komplementtallet for 2, udføres følgende konvertering: FF 2 FD +1 FE FEH = (2) Eller hvis det samme foretages binært: ( 2) signbittet beholdes gennem hele konverteringen (inverteret) (2 ers komplement) = FEH

31 Når der anvendes komplementtal ved maskinprogrammering af mikrocomputere, er det ofte ved det, som kaldes relativ addressering. Relativ addressering anvender vi som mennesker ofte uden derfor at være klar over dette. Som et eksempel siger vi»to huse længere tilbage ad vejen«eller»tre huse længere fremme ad vejen«. Hvis tilbage er i negativ retning, og fremme er i positiv retning, har vi angivet addresser relativt til det sted, som vi selv befinder os. Relativ addressering er således en angivelse af en position ud fra det sted, hvor vi befinder os, og positionen kan være tilbage (negativ) eller frem (positiv). Den negative retning angives som komplementtal, og den positive retning angives som almindelige positive tal.

32