Det endelige tal fremkommer ved at opstille bogstavkombinationer, hvor følgende regler gælder:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Det endelige tal fremkommer ved at opstille bogstavkombinationer, hvor følgende regler gælder:"

Transkript

1 Talsystemer Et talsystem er betegnelsen for den måde, hvorpå tal kan skrives ud fra et grundtal. I dag anvendes i de fleste lande titalssystemet, hvor tallets placering har en værdi (positionssystem), og hvor der anvendes ti symboler, nemlig fra 0 til 9. Titalssystemet kommer af tællen på fingre, men der findes andre talsystemer. Grækerne anvendte alfabetets bogstaver, og babylonierne anvendte seksagesimalsystemet (60 som grundtal), som i dag tildels stadig anvendes ved inddeling af vinkler i grader, minutter og sekunder, som ved angivelse af en position på jordkloden ud fra længde- og breddegraderne. Romerne anvendte et titalssystem, men det var ikke et positionssystem, og værdien 0 eksisterer ikke. Alle tal udtrykkes med 7 bogstaver, som hver har en værdi: I = 1 V = 5 X = 10 L = 50 C = 100 D = 500 M = Det endelige tal fremkommer ved at opstille bogstavkombinationer, hvor følgende regler gælder: Hvis ens tal eller et større tal efterfølges af et mindre, adderes tallene, men hvor et mindre tal efterfølges af et større tal, trækkes det mindre tal fra det større.

2 Eksempler: VI = = 6 XX = = 20 IV = 5 1 = 4 CCXI = 211 MCMLXXIV = 1974 MCMXCVII = ( ) + ( ) + ( ) = Dette betyder, at der ikke kan udtrykkes negative tal med romertal. Romertalssystemet anvendes stadig nogle steder, som f.eks. når en bygnings opførelsestidspunkt angives på facaden, men det er dog efterhånden meget sjældent. I vort taltalesprog er der ligeledes rester fra et tidligere anvendt 20- talsystem, som f.eks. en snes (20 stk.) og udtryk som tresindstyve, 3 sinde 20 (3 20 = 60) og halvfjerdsindstyve, hvor halv fjerde betyder halvvejs mod fire = 3,5, således at halvfjerdsindstyve = 3,5 sinde 20 = 70. Vi kan også finde rester af et tolvtalssystem, nemlig et dusin (12 stk.) og et gros (12 dusin), men det forekommer dog mere sjældent. Titalssystemet Vi har i dag vænnet os til at kun anvende titalssystemet og de regneregler, som knytter sig til dette talsystem. Som sagt består titalssystemet af tallene 0 til 9, og talsystemet er et positionssystem, hvilket vil sige, at placeringen af cifrene har en værdi (vægt), der svarer til grundtallet opløftet i den potens, som positionen angiver, eller sagt på en anden måde: vi bruger enere (10 0 ), tiere (10 1 ),

3 hundreder (10 2 ), tusinder (10 3 ), titusinder (10 4 ), hundredetusinder (10 5 ), millioner (10 6 ) osv., som positionen herunder angiver: Position nr.: Tal: hvor position 6 har vægten million, position 5 har vægten hundredetusind, position 4 titusind, position 3 tusind, position 2 hundrede, position 1 ti og position 0 har vægten en, hvilket giver tallet: to millioner firehundrede syv og tredive tusinde ethundrede seks og halvfems. Man kan altså konkludere, at hver gang der flyttes en cifferposition til venstre, ganges værdien med grundtallet, og hver gang der flyttes en position til højre, divideres værdien med grundtallet. Den teknologiske udvikling og hermed anvendelsen af digitalteknik har medført et behov for indførelsen af andre talsystemer, som er mere velegnede til at udtrykke talstørrelser, der kan bearbejdes af digitale systemer. Dette har medført tre talsystemer: Det binære talsystem Det oktale talsystem Det hexadecimale talsystem Det binære talsystem Det binære talsystem har grundtallet 2 og består af symbolerne 0 og 1, som anvendes til at angive, om en spænding er til stede eller ikke til stede. Hvert ciffer kaldes et digit, som kommer fra latin (digitus) og betyder finger. Herfra har man så, at, binære digits dannet ordet bit, der anvendes som betegnelse for et binært ciffer. For at gøre overskueligheden større har man valgt at samle bit i grupper således, at 4-bit udgør en nible, 8-bit udgør en byte og 16-bit udgør et word.

4 På samme måde som i titalssystemet er det binære talsystem også et positionssystem, hvor hver position har en vægt, som vist her: Position nr.: Tal: Hvor position 6 har vægten 64 (2 6 ), position 5 vægten 32 (2 5 ), position 4 vægten 16 (2 4 ), position 3 vægten 8 (2 3 ), position 2 vægten 4 (2 2 ), position 1 vægten 2 (2 1 ) og position 0 har vægten 1 (2 0 ). På samme måde som med titalssystemet kan vi altså konkludere, at hver gang der flyttes en cifferposition til venstre, ganges værdien med grundtallet, og hver gang der flyttes en position til højre, divideres værdien med grundtallet. Herved bliver tallet udtrykt i titalssystem: (1 64) + (0 32) + (1 16) + (0 8) + (0 4) + (1 2) + (1 1) = Læg mærke til, at der anvendes et indeks for at markere, hvilket talsystem tallet opgives i: = = 5 10 Der er nogle ulemper forbundet med det binære talsystem i forbindelse med menneskets måde at overskue og vurdere tal på. Det er bl.a. svært umiddelbart at oversætte et binært tal til den værdi, tallet vil have i titalssystemet. Når man skal kommunikere binære tal i talesprog, opstår der for alvor problemer. Se blot følgende eksempel: Tallet skal udtales Et - nul - nul - et - et - nul - nul - et - et - et - et - nul - et - et - et - nul! Selvfølgelig underforstået, at vi starter fra venstre som ved titalssystemet.

5 Dette har medført, at det har været nødvendigt at»opfinde«nogle talsystemer, som er tilpasset menneskets måde at kommunikere på. Her anvendes to talsystemer: Det oktale og det hexadecimale talsystem. Det oktale talsystem Det oktale talsystem har grundtallet 8 og benytter symbolerne 0 til 7, og hvert ciffer vil således være den samlede værdi af tre bit. Binært Oktalt Decimalt På samme måde som med andre talsystemer er oktaltalssystemet også et positionssystem, hvor cifrenes position har en værdi: Position nr.: Tal: Bit: Her har position 5 vægten (8 5 ), position 4 vægten 4096 (8 4 ), position 3 vægten 512 (8 3 ), position 2 vægten 64 (8 2 ), position 1 vægten 8 (8 1 ) og position 0 har vægten 1 (8 0 ), hvilket igen vil sige, at hver gang der flyttes en cifferposition til venstre, ganges værdien med grundtallet, og hver gang der flyttes en position til højre, divideres værdien med grundtallet. Ovenstående tal vil have titalsværdien: = (10)

6 Når oktale tal skal kommunikeres med talesprog, vil det foregå på følgende måde: Tre - et - to - et - fire - syv! Hvis man siger»trehundredetolvtusind ethundredesyvogfyrre«bruger man vægten af titalssystemets cifre, hvilket kan opfattes forkert. Der findes et oktalt talsystem, hvor det maksimale tal, som kan udtrykkes, er begrænset til 8 bit, hvilket giver tal i området 000 (8) (8). Dette talsystem kaldes split-oktal og anvendes hovedsageligt til angivelser af binære størrelser inden for computerområdet. Position nr.: Tal: Bit: Det hexadecimale talsystem Det hexadecimale talsystem har grundtallet 16 og benytter symbolerne 0 til F, og hvert ciffer vil således være den samlede værdi af fire bit. Binært Hexadecimalt Decimalt A B C D E F

7 Man har valgt at erstatte ciffersymbolerne med bogstaver, da symbolet så kun optager en plads og herved er lettere at vise i kolonner på papir og displays. Når hexadecimale tal skrives, indikerer man, at tallet er hexadecimalt ved at tilføje H til slutningen af tallet. På den måde vil det ikke være muligt at forveksle 10 med 10H, da 10 er 10 i titalssystemet og 10H svarer til 16 i titalssystemet. På samme måde som med andre talsystemer er hexadecimaltalssystemet også et positionssystem, hvor cifrenes position har en værdi: Position nr.: Tal: 2 F 4 A Bit: Her har position 3 vægten 4096 (16 3 ), position 2 vægten 256 (16 2 ), position 1 vægten 16 (16 1 ), og position 0 har vægten 1 (16 0 ). Igen er det sådan, at hver gang der flyttes en cifferposition til venstre ganges værdien med grundtallet, og hver gang der flyttes en position til højre, divideres værdien med grundtallet. Tallet 2F4A (16) vil således have titalsværdien: F(15) A(10) = (10). På samme måde som med oktale tal kommunikeres hexadecimale tal ved at nævne hvert ciffer for sig: To - F - fire - A! Igen skal man undgå at bruge titalssystemets taltalesprog som hundrede og tusinde. Talsystemers begrænsning Vi har lært, at titalssystemet kan bruges til at angive tal uden begrænsning i størrelse, hvilket normalt illustreres med en tallinie, som vist her: 4139a-01.cdr + + +

8 Som det kan ses, går tallene mod uendelig ( ) både i positiv og negativ retning, hvilket jo som bekendt vil sige, at der ikke er nogen grænser for størrelsen. Hvis vi betragter de digitale talsystemer, er disse begrænset af det antal bit, som er til rådighed til at indeholde talværdien. Hvis der f.eks. er 8 bit til rådighed, vil det største hele tal, som kan udtrykkes, være 255 (10). Hvis der tælles en op på dette tal, vil grænsen for det største tal være overskredet, og det, som nu indeholdes i de 8 bit, vil svare til værdien 0. Dette kan illustreres med tre bit: (1) (8) Når alle tre bit er 1, har vi altså det største tal, som kan indeholdes i tre bit, nemlig 7 (10). Hvis tallet forøges yderligere, vil menten forsvinde, og det, som indeholdes i de tre bit, vil have værdien 0. På den måde kan man kalde de digitale talsystemer for cirkulære, da de»bider sig selv i halen«, samt at størrelsen på cirklen er bestemt af antallet af bit, som er til rådighed.

9 Konvertering mellem talsystemer Der vil ofte være behov for at konvertere mellem forskellige talsystemer, og i det efterfølgende vil der blive givet eksempler på de forskellige metoder, som anvendes ved de forskellige talsystemer. Konvertering mellem decimal og binær Hvis man ønsker at konvertere tallet 694 (10) til binær tal, kan der anvendes to metoder: Subtraktionsmetoden Ved denne metode undersøges tallet for kendte potenser af 2 (grundtallet i det binære talsystem) ved at subtrahere disse fra tallet, og hver gang der kan blive en positiv rest, sættes et»1«, ellers sættes et»0«: 4139a-02.cdr

10 Divisionsmetoden Den anden metode, som kan anvendes, er divisionsmetoden. Denne metode går ud på, at decimaltallet divideres med tallet 2, og hver gang der er rest, sættes et»1«ellers sættes et»0«, og man anvender kun heltallet af divisionsresultatet til næste division. Rest efter division: 4139a-03.cdr Efter divisionsforløbet»væltes«tallet mod højre, og det endelige resultat kan ses.

11 Konvertering mellem binær og decimal Hvis man ønsker at konvertere tallet (2) til decimaltal, kan der også anvendes to metoder: Additionsmetoden Ved denne metode adderes vægten af de enkelte cifre: = 1 1 = = 1 2 = = 0 4 = = 1 8 = = 1 16 = = 0 32 = = 1 64 = = = Den anden metode er mutiplikationsmetoden, som bygger på det princip, at når man bevæger sig fra en cifferposition til en anden, multipliceres/divideres vægten med grundtallet. Når man bevæger sig fra højre mod venstre multipliceres, og når man bevæger sig fra venstre mod højre divideres. Sagt på en anden måde, vil et ciffer i det binære talsystem være dobbelt så meget»værd«som det ciffer, der står til højre for dette, samt halvt så meget værd som det til venstre. Dette kan bruges i konvertering fra binær til decimal.

12 Tallet: konverteres på følgende måde: = = = = = = = a-04.cdr Ved konvertering mellem oktal og decimal kan der anvendes de samme metoder, som er vist tidligere, dog med de værdier, som gælder for det oktale talsystem: Fra oktal til decimal: 176 (8) = 1 64 = = 7 8 = = 6 1 = (10)

13 eller = 4139a-05.cdr = (10) Fra decimal til oktal: 234 (10) 234 / 64 (8 ) = = / 8 (8 ) = = / 1 (8 ) = a-06.cdr 2 (8) En anden metode er at konvertere det oktale tal til binær og herefter omregne fra binær til decimal eller omregne fra decimal til binær og så fra binær til oktal. Fra hexadecimal til decimal Ved konvertering mellem hexadecimal og decimal kan der ligeledes anvendes de samme metoder, som tidligere vist, dog igen med de værdier, som gælder for det hexadecimale talsystem: A9C (16) A 16 2 = = = 9 16 = C 16 0 = 12 1 = (10)

14 eller A 9 C (16) = = 4139a-07.cdr (10) Fra decimal til hexadecimal 1234 (10) 1234/256(16 ) /16(16 ) /1(16 ) 4139a-08.cdr 2 = = 210 = 13 = = 2 = 2 D 4 D 2 (16) Konvertering mellem oktal og hexadecimal foregår altid over det binære talsystem. Her skal man blot være opmærksom på, om det oktale tal, der arbejdes med, er i split-oktal. Konvertering af 253 (8) til hexadecimal: 4139a-09.cdr

15 Konvertering af 7F (16) til oktal 4139a-10.cdr

16 Konvertering af brøker Som tidligere omtalt, ændres vægten af et ciffer, når man bevæger sig fra en cifferposition til en anden. Bevæger man sig mod højre, forøges vægten af det aktuelle ciffer multipliceret med grundtallet, og bevæger man sig mod venstre, formindskes vægten af det aktuelle ciffer divideret med grundtallet. Dette betyder, at tallet 0,125(10) består af brøkerne: = 0, 1 + 0, , 005 = 0, da der jo stadig sker en division med grundtallet, hver gang vi flytter mod højre. Det samme sker også i andre talsystemer, således at det binære tal 0,101 består af brøkerne: = 0, 5 + 0, 125 = 0, Decimalbrøk til binærbrøk Konvertering fra decimalbrøk til binærbrøk foregår ved at multiplicere decimaltallet med 2, og hver gang resultatet overstiger 1 sættes et»1«ellers sættes et»0«. Når resultatet overstiger 1, trækkes 1 fra resultatet, og der fortsættes på denne måde, til resultatet bliver 0. 0,875(10) konverteres således: 0, ,75 1 0,75 2 1,5 1 0,5 2 = = = = = 1,75 0,75 1,5 0,5 1, ,875 (10) = 0,111 (2) 4139a-11.cdr

17 Konvertering af binærbrøk til decimalbrøk sker ved, at man tager vægten af det mindst betydende ciffer i den binære brøk som nævner og den decimale værdi af tallet efter decimalpunktet som tæller. Konvertering af 0,1101: 1101 (2) = 13 (10) 0,1101 (2) = = 0, (10) LSB = 2-4 = I det oktale talsystem gælder samme princip: 0,374 (8) består af brøkerne: = = = 0, Binærbrøk til decimalbrøk Decimalbrøk til oktalbrøk Konvertering fra decimalbrøk til oktalbrøk foregår ved, at decimalbrøken multipliceres med grundtallet (8), og heltallet sættes som ciffer, hvorefter der fortsættes efter dette princip med decimaldelen, indtil rest er lig 0. 0,4375(10) konverteres således: 0, ,35 3,5 3 0,5 8 Rest (10) = = = = 0,5 4 0 (8) 0, , a-12.cdr (10) = 0,34 (8) Oktalbrøk til decimalbrøk Ved konvertering fra oktalbrøk til decimalbrøk bruges samme princip som ved binærbrøk, blot skal man huske, at her er grundtallet 8, altså ved at man tager vægten af det mindst betydende ciffer i den oktale brøk som nævner og den decimale værdi af tallet efter decimalpunktet som tæller.

18 Konvertering af 0,314 (8) : 314 (8) = 204 (10) 0,314 (8) = = 0, (10) LSB = 8-3 = De samme principper anvendes således også ved konvertering mellem hexadecimale og decimale brøker, blot skal man huske, at grundtallet her er 16. 0,2A (16) består af brøkerne: = = = 0, ( 10) Decimalbrøk til hexadecimalbrøk Konvertering fra decimalbrøk til hexadecimalbrøk foregår ved, at decimalbrøken multipliceres med grundtallet (16), og heltallet sættes som ciffer, hvorefter der fortsættes efter dette princip med decimaldelen, indtil rest er lig 0. 0,4375 (10) konverteres således: 0, = 7 7 rest = 0 0,4375 (10) = 0,7 (16) Hexadecimalbrøk til decimalbrøk Ved konvertering fra hexadecimalbrøk til decimalbrøk bruges samme princip som ved oktal- og binærbrøk, blot skal man huske, at her er grundtallet 16, altså ved at man tager vægten af det mindst betydende ciffer i den hexadecimale brøk som nævner og den decimale værdi af tallet efter decimalpunktet som tæller.

19 Konvertering af 0,3C (16) : 3C (16) = 60 (10) 0,3C (16) = = 0, (10) LSB = 16-2 = Regning med tal i andre talsystemer Det første, man skal gøre sig klart, når man skal foretage beregninger i andre talsystemer, er, at de regneregler, som gælder ved regning i titalssystemet også gælder i andre talsystemer, blot med den forskel, at grundtallet er anderledes. Som eksempel kan vises, hvad der sker, når man ganger eller dividerer et tal med grundtallet: 40,0 (10) 10 (10) = 400 (10) 40,0 (10) / 10 (10) = 4,00 (10) 110 (2) 10 (2) (2 (10) ) = 1100 (2) 110 (2) / 10 (2) (2 (10) ) = 11,00 (2) 37,0 (8) 10 (8) (8 (10) ) = 370 (8) 37,0 (8) / 10 (8) (8 (10) ) = 3,70 (8) 4A,0 (16) 10 (16) (16 (10) ) = 4A0 (16) 4A,0 (16) / 10 (16) (16 (10) ) = 4,A0 (16) Som det ses, sker der det, at ved multiplikation flytter alle cifre en plads til venstre, og ved division flytter alle cifre en plads til højre.

20 Ved addition og subtraktion gør det samme sig gældende, nemlig at regnereglerne for mente og lån er de samme, men igen med den forskel, at grundtallet ændrer sig Som det ses i additionseksemplet, bliver resultatet af = 12 altså en tier og to enere. Tieren overføres som mente og indgår i additionen af tierne. Med andre ord vi får en mente, når et additionsresultat bliver lig med eller større end grundtallet. Ved subtraktion vil et lån altid være med værdi som grundtallet. / Da vi ikke kan trække 5 fra 2, er vi nødt til at låne, og det, vi låner, er grundtallet 10, således at subtraktionen nu er 12 5 hvilket giver 7. Samtidig skal man huske at fratrække det lånte fra tiernes plads. Alt dette er jo noget, vi alle kender, og hvis man bruger de samme metoder ved regning med andre talsystemer, vil det se ud som følger: Binære regneregler = = = = 0 og en mente (carry) til næste højere bit 0 0 = = 1 samt lån (borrow) fra næste højere bit 1 0 = = 0

21 / / / Ved subtraktion lånes grundtallet 2 eller dobbelt så meget, som den aktuelle cifferpositions værdi, eller sagt på en anden måde: der lånes to»1«ere (her indikeret ved, at de er placeret oven for hinanden). 1 1 / 10 (8) Oktale regneregler Hexadecimale regneregler 1 1 / 10 (16) 2FA 1C E Komplementtal Ved udregninger i digitale maskiner, som f.eks. computere, anvendes komplementtal. Denne måde at udtrykke tal på har efterhånden også vundet indpas i folkeskolen, da man mener, at denne måde at betragte tal på er med til at give eleverne en bedre udviklet sans for talbehandling. I folkeskolen omtales dette som»tals gode venner«, men er det samme som komplementtal, og man arbejder både med 9 ers og 10 ers komplement. Ved 9 ers komplement menes det tal, som skal lægges til det aktuelle tal for at give summen 9.

22 Nierkomplementen til 4 er 5, fordi = 9. Tierkomplementen til 4 er 6, fordi = 10. Man anvender komplementtal, da det er lettere at foretage en addition digitalt, end det er at subtrahere. Komplementtal fremkommer ved at invertere (vende) tallet, og alt efter om der anvendes 9 ers eller 10 ers komplement, adderes med eller uden mente. Dette kan illustreres ved følgende eksempel: ers komplement 10 ers komplement Som det ses, bortkastes menten ved 10 ers komplement, men adderes ved 9 ers komplement. Når menten lægges til (ved 9 ers komplement), kaldes dette EAC (End Around Carry). Kan man egentlig regne med komplementtal?

23 Hvis vi tager 10 ers komplement til det mindst betydende ciffer og 9 ers komplement til resten, vil det se således ud: mente Men da vi startede med 10 ers komplement for mindst betydende ciffer og dermed har indført en mente, bortkastes denne, og resultatet bliver: 6017 Nu arbejder digitale systemer med binære tal, så derfor må komplementprincippet overføres til dette talsystem. Her er således tale om 1 ers og 2 ers komplement, ligesom der var tale om 9 ers og 10 ers komplement i titalssystemet. Inden for digitalteknikken angiver man et negativt tal ved at tilføje en fortegnsangivelse, et såkaldt sign bit. Fortegnsangivelse sker ved, at der sættets et»1«foran tallet for at indikere, at tallet er negativt. Husk, at hvis der anvendes fortegn, skal dette være oplyst, da man ellers vil være i tvivl om, hvorvidt det forreste»1«er et fortegn, eller om det indgår som et vægtet bit i et positivt tal. Dette betyder, at man godt kan opgive et negativt binært tal på følgende måde: = 6 Hvor det forreste bit er et sign bit, men hvis dette ikke er oplyst, kan tallet oversættes til 22. Denne måde at angive negative tal på hedder signed magnitude, og sign bittet angiver, om der er tale om et negativt eller positivt tal.

24 Sign bit = 0: tallet er positivt Sign bit = 1: tallet er negativt 1 ers komplement I 1 ers komplement skrives alle positive tal som i signed magnitude, men alle negative tal har værdiangivelsen inverteret: = = 9 Hvis man adderer et positivt tal med et negativt, foretages der en subtraktion: 9 + ( 4) = 9 (+4) / (9) 1001 (9) ( 4) 0100 (+4) (5) EAC (5) Det tal, som står øverst i et subtraktionsstykke, kaldes minuenden, og det tal, som står nederst, kaldes subtrahenden. Minuend 7 Subtrahend 4 Sum 3 En subtraktion mellem to positive tal kan godt give en negativ sum, hvis subtrahenden er større end minuenden. 4 (+9) = ( 9) = 5

25 Hvis subtraktionen udføres i 1 ers komplement, udføres den som en addition, og subtrahendens fortegn skifter: (4) ( 9) ( 5) Som det ses, er sign bittet 1, og tallet er negativt. Hvis man ønsker at kende værdien af det negative tal, kan summen omsættes til signed magnitude ved, at sign bittet beholdes, og resten af tallet inverteres: ( 5) Ved addition af to negative tal, skal alle bit, også sign bittet, adderes: ( 9) ( 4) EAC ( 13) Hvis resultatet så omsættes til signed magnitude, fås den rigtige værdi: ( 13) 2 ers komplement For at undgå EAC additionen, som jo kræver et ekstra trin og dermed mere tid, kan man anvende 2 ers komplement, som i princippet svarer til 10 ers komplement. Menten kan altså bortkastes efter additionen. 2 ers komplement dannes ved, at man subtraherer tallets positive værdi fra 2 N+1, hvor N er antallet af bit i det største tal, der arbejdes med.

26 Princippet svarer til, at man tog en bil med en gammel kilometertæller (en af dem, som kan spoles tilbage) og bakker bilen 1 km. Hvis kilometertælleren fra starten stod på vil den efter kørselen stå på 99999, hvilket svarer til 1 km, men det»lån«, som er foretaget, ligger uden for skalaen. Hvis det største antal bit, der anvendes, er 4, skal tallet subtraheres fra = 2 5 = for at få sign bittet med: 9 konverteres til 2 ers komplement ved at subtrahere 1001 fra 2 5 = Således er ers komplement til 9. En anden metode til at finde 2 ers komplement er at finde 1 ers komplement til tallet (invertere dette), og herefter addere 1 til 1 ers komplement: 9 = i signed magnitude 1 ers komplement til 9: ers komplement til 9 er 1 ers komplement + 1:

27 Den tredje metode er lettere, hvis man kan huske den: Tallet betragtes bit for bit fra højre mod venstre, og så længe der står»0«, gøres intet. Det første»1«, der mødes, bibeholdes, og resten af bittene, undtagen sign bittet, inverteres: 9 = i signed magnitude, og det første bit fra højre er»1«, så det bibeholdes, og resten inverteres (undtagen sign bittet): ( 9) 12 = bliver til 10100, først to»0«, som ikke røres, herefter»1«, som heller ikke røres, så et bit, som inverteres, og til slut sign bittet, som bibeholdes. En subtraktion af to positive tal foretages ligesom tidligere ved, at regneoperationen ændres samtidig med, at subtrahendens fortegn ændres: 9 (+4) = 9 + ( 4) Hvis vi så anvender 2 ers komplement, ser regnestykket således ud: (9) ( 4) 0101 (5) Menten bortkastes! 4139a-13.cdr Ligesom tidligere kan en subtraktion af to positive tal give en negativ sum, hvis subtrahenden er større end minuenden: (+4) (+9) = 5 Igen ændres regneoperationen til en addition og subtrahendens fortegn ændres: (+4) (+9) = (+4) + ( 9)

28 0100 (+4) ( 9) Summen er negativ, og resultatet fås ved at konvertere summen fra 2 res komplement til den sande værdi i signed magnitude: i 2 ers komplement i signed magnitude = 5 Hvis man foretager en addition af to negative tal, vil summen blive negativ. Hvis denne addition foretages i 2 ers komplement, adderes de to komplementtal, og en eventuel mente bortkastes: ( 4) + ( 9) = 13 Først findes de to komplementtal: ( 4 i signed magnitude) (værdidelen inverteres) + 1 (der adderes 1 for at opnå 2 ers komplement) ( 4 i 2 ers komplement) ( 9 i signed magnitude) 0110 (værdidelen inverteres) + 1 (der adderes 1 for at opnå 2 ers komplement) ( 9 i 2 ers komplement)

29 Herefter foretages additionen: 4139a-14.cdr ( 4) ( 9) ( 13 i 2'ers komplement) Menten bortkastes Konvertering af værdidelen fra 2 ers komplement til signed magnitude: ( 13 i 2 ers komplement) ( 13 i signed magnitude) Komplementtal i andre talsystemer Som hovedregel er det således, at komplementtal normalt dannes i det binære talsystem, hvorefter resultatet konverteres til det ønskede talsystem. Det vil som regel være til det hexadecimale talsystem, som er det talsystem, der i dag benyttes til maskinprogrammering af mikroprocessorer. Principperne er, som de tidligere viste, men stadigvæk skal det være grundtallet for det aktuelle talsystem, som styrer komplementkonverteringen. Det vil næsten altid være det, som svarer til 2 ers komplement, som der er brug for, derfor vises kun konvertering svarende til dette. Det største positive tal, som kan udtrykkes hexadecimalt med 8 bit, er 7F (16) (127 (10) ), hvor det mest betydende bit stadig er 0. Det mest betydende bit er jo vort sign bit!

30 Dette betyder samtidig, at det mindste tal, som kan udtrykkes med 8 bit, er 80 (16) ( 128 (10) ) Hvis vi ønsker komplementtallet for 2, udføres følgende konvertering: FF 2 FD +1 FE FEH = (2) Eller hvis det samme foretages binært: ( 2) signbittet beholdes gennem hele konverteringen (inverteret) (2 ers komplement) = FEH

31 Når der anvendes komplementtal ved maskinprogrammering af mikrocomputere, er det ofte ved det, som kaldes relativ addressering. Relativ addressering anvender vi som mennesker ofte uden derfor at være klar over dette. Som et eksempel siger vi»to huse længere tilbage ad vejen«eller»tre huse længere fremme ad vejen«. Hvis tilbage er i negativ retning, og fremme er i positiv retning, har vi angivet addresser relativt til det sted, som vi selv befinder os. Relativ addressering er således en angivelse af en position ud fra det sted, hvor vi befinder os, og positionen kan være tilbage (negativ) eller frem (positiv). Den negative retning angives som komplementtal, og den positive retning angives som almindelige positive tal.

32

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44

ITS MP 013. Talsystemer V009. Elevens navn. IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 V009 Elevens navn IT Skolen Boulevarden 19A-C 7100 Vejle Tel.:+45 76 42 62 44 ITS MP 013 Udarbejdet af Søren Haahr, juni 2010 Copyright Enhver mangfoldiggørelse af tekst eller illustrationer

Læs mere

Talsystemer I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000. Hvad betyder halvanden??. Kan man også sige Halvtredie???

Talsystemer I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000. Hvad betyder halvanden??. Kan man også sige Halvtredie??? Romertal. Hvordan var de struktureret?? Systematisk?? I V X L C D M 1 5 10 50 100 500 1000 Regler: Hvis et lille tal skrives foran et stort tal trækkes tallet fra: IV = 5-1 = 4 Hvis et lille tal skrives

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM534 Rolf Fagerberg Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, decimaltal (kommatal)) Bogstaver Computerinstruktion

Læs mere

(Positions) Talsystemer

(Positions) Talsystemer (Positions) Talsystemer For IT studerende Hernik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...2 Positions talsystem - Generelt...3 For decimalsystemet gælder generelt:...4 Generelt for et posistionstalsystem

Læs mere

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007

FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 FAGLIG REGNING Pharmakon, farmakonomuddannelsen september 2007 Indholdsfortegnelse Side De fire regningsarter... 3 Flerleddede størrelser... 5 Talbehandling... 8 Forholdsregning... 10 Procentregning...

Læs mere

Repræsentation af tal

Repræsentation af tal Repræsentation af tal DM526 Rolf Fagerberg, 2009 Bitmønstre 01101011 0001100101011011... Bitmønstre skal fortolkes for at have en betydning: Tal (heltal, kommatal) Bogstaver Computerinstruktion (program)

Læs mere

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker

Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem og lidt om, hvordan computeren virker Det binære talsystem...2 Lidt om, hvorledes computeren anvender det binære talsystem...5 Lyst til at lege med de binære tal?...7 Addition:...7

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter: Plus, minus, gange og division... 2 10-tals-systemet... 4 Afrunding af tal... 5 Regning med papir og blyant... 6 Store tal... 8 Negative tal...

Læs mere

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point:

De 4 regnearter. (aritmetik) Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 42 Ekstra: 5 Point: Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium De 4 regnearter (aritmetik) Aritmetik: kommer af græsk: arithmetike = regnekunst arithmos = tal Aritmetik er læren om tal og operationer på tal som de 4 regnearter.

Læs mere

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne

Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne Introduktion Subtraktion er sammen med multiplikation de to sværeste regningsarter. Begge er begrebsmæssigt sværere end addition og division og begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Subtraktion

Læs mere

fortsætte høj retning mellem mindre over større

fortsætte høj retning mellem mindre over større cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel lov retning højre nedad finde rundt rod orden nøjagtig præcis cirka

Læs mere

Lektion 1 Grundliggende regning

Lektion 1 Grundliggende regning Lektion 1 Grundliggende regning Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division - brug af regnemaskine... Talsystemets opbygning - afrunding af tal... Store tal og negative tal...

Læs mere

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit.

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit. Kapitel 20: Talsystemer 20 Resumé af talsystemer... 344 Indtastning og omregning af talsystemer... 345 Udførelse af matematiske beregninger med hexadecimale og binære tal... 346 Sammenligning eller manipulation

Læs mere

Tal i det danske sprog, analyse og kritik

Tal i det danske sprog, analyse og kritik Tal i det danske sprog, analyse og kritik 0 Indledning Denne artikel handler om det danske sprog og dets talsystem. I første afsnit diskuterer jeg den metodologi jeg vil anvende. I andet afsnit vil jeg

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a

Negative cifre n. I et positionssystem skriver man et tal på formen xn a + xn 1a Af Peter Harremoës, Herlev Gymnasium Indledning De fleste lærebogssystemer til brug i gymnasiet eller HF indeholder et afsnit om vort positionssystem. Det bliver gerne fremstillet som noget af det mest

Læs mere

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 8 Simpel aritmetik på maskinniveau Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Simpel aritmetik på maskinniveau I SCO, appendix A, er det beskrevet, hvordan man adderer ikke-negative heltal

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Årsplan for Matematik Lillemellem Skoleåret 2017/2018. Emne Materialer Evaluering

Årsplan for Matematik Lillemellem Skoleåret 2017/2018. Emne Materialer Evaluering Uger Emne Materialer Evaluering 32-35 Addition og Subtraktion Eleven kan udvikle metoder til addition og subtraktion med naturlige tal Eleverne kan addere 4-cifrede tal med 4-cifrede tal Eleverne kan addere

Læs mere

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3

Den lille hjælper. Positionssystem...3. Positive tal...3. Negative tal...3. Hele tal...3. Potenstal...3. Kvadrattal...3 Den lille hjælper Positionssystem...3 Positive tal...3 Negative tal...3 Hele tal...3 Potenstal...3 Kvadrattal...3 Parentes...4 Parentesregler...4 Primtal...4 Addition (lægge sammen) også med decimaltal...4

Læs mere

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne

Lektion 3 Sammensætning af regnearterne Lektion Sammensætning af regnearterne Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse... Plus, minus, gange og division... Negative tal... Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... Lektion Side 1 Plus,

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

Kapitel 5 Renter og potenser

Kapitel 5 Renter og potenser Matematik C (må anvedes på Ørestad Gymnasium) Renter og potenser Når en variabel ændrer værdi, kan man spørge, hvor stor ændringen er. Her er to måder at angive ændringens størrelse. Hvis man vejer 95

Læs mere

Mattip om. Decimaltal 2. Tilhørende kopi: Decimaltal 1 og 2. Du skal lære om: Kan ikke Kan næsten Kan. Decimaltal og titalssystemet

Mattip om. Decimaltal 2. Tilhørende kopi: Decimaltal 1 og 2. Du skal lære om: Kan ikke Kan næsten Kan. Decimaltal og titalssystemet Mattip om Decimaltal 2 Du skal lære om: Decimaltal og titalssystemet Kan ikke Kan næsten Kan Decimaltal skrevet som en brøk Addition med decimaltal Faglig læsning Tilhørende kopi: Decimaltal 1 og 2 2016

Læs mere

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker.

og til summer af stambrøker. Bemærk: De enkelte brøker kan opskrives på flere måder som summer af stambrøker. Hvad er en brøk? Når vi taler om brøker i dette projekt, mener vi tal på formen a, hvor a og b er hele tal (og b b 0 ), fx 2,, 3 og 3 7 13 1. Øvelse 1 Hvordan vil du forklare, hvad 7 er? Brøker har været

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler.

Symbolbehandlingskompetencen er central gennem arbejdet med hele kapitlet i elevernes arbejde med tal og regneregler. Det første kapitel i grundbogen til Kolorit i 8. klasse handler om tal og regning. Kapitlet indledes med, at vores titalssystem som positionssystem sættes i en historisk sammenhæng. Gennem arbejdet med

Læs mere

Vis, hvilke tal pilen peger på.

Vis, hvilke tal pilen peger på. Talforståelse opgave 1 Vis, hvilke tal pilen peger på. Opgave 1 Side 1 Fagligt område: Talforståelse Dele lige. Mulige besvarelser Eleven er ikke i stand til at bestemme, hvilket tal pilen peger på. Eleven

Læs mere

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point:

Basal Matematik 2. Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium. Opgaver: 67 Ekstra: 7 Mundtlig: 1 Point: Matematik / Basal Matematik Navn: Klasse: Matematik Opgave Kompendium Basal Matematik Følgende gennemgås De regnearter Afrunding af tal Større & mindre end Enheds omregning Regne hierarki Brøkregning Potenser

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet.

dynamisk geometriprogram regneark Fælles mål På MULTIs hjemmeside er der en oversigt over, hvilke Fælles Mål der er sat op for arbejdet med kapitlet. Algebra og ligninger - Facitliste Om kapitlet I dette kapitel om algebra og ligninger skal eleverne lære at regne med variable, få erfaringer med at benytte variable Elevmål for kapitlet Målet er, at eleverne:

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C FORMLER OG LIGNINGER INDHOLDSFORTEGNELSE 0. FORMELSAMLING TIL FORMLER OG LIGNINGER... 2 Tal, regneoperationer og ligninger... 2 Isolere en ubekendt... 3 Hvis x står i første brilleglas...

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

12.1 ØVEARK. Plustavle Sæt O om resultaterne 10. Sæt X over resultater, der er det dobbelte.

12.1 ØVEARK. Plustavle Sæt O om resultaterne 10. Sæt X over resultater, der er det dobbelte. 12.1 Plustavle + 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 Sæt O om resultaterne 10. Sæt X over resultater, der er det dobbelte. Farv ens resultater med den samme farve. FORSLAG TIL LÆRINGSMÅL: Eleverne

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner.

En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. 1 En forståelsesramme for de reelle tal med kompositioner. af Ulrich Christiansen, sem.lekt. KDAS. Den traditionelle tallinjemodel, hvor tallene svarer til punkter langs tallinjen, dækker fornuftigt (R,

Læs mere

Grundliggende regning og talforståelse

Grundliggende regning og talforståelse Grundliggende regning og talforståelse De fire regnearter uden regnemaskine...2 De fire regnearter nu må du godt bruge regnemaskine...5 10-tals-systemet...7 Decimaler og brøker...9 Store tal...1 Gange

Læs mere

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12

En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes ned til et blandet tal og som er større end 1. 17 Eksempel: Uægte brøk: 12 7.,. og 9. klasse Regler for brøker Ægte og uægte brøker En ægte brøk er en brøk mellem 0 og. Ægte brøk Ægte brøk til mindste forkortelse (reduktion) 9 En uægte brøk er en brøk der stadig kan forkortes

Læs mere

Boolsk algebra For IT studerende

Boolsk algebra For IT studerende Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...3 Logiske kredsløb...4 Eksempel:...4 Operatorer...4 NOT operatoren...5 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7

Læs mere

1 Bits og Bytes Computere er fortræffelige til at opbevare data og behandle data Af data vil vi i dette afsnit primært beskæftige os med billeder, tekst og lyd, og se på, hvordan sådanne data lagres i

Læs mere

Grundlæggende færdigheder

Grundlæggende færdigheder Regnetest A: Grundlæggende færdigheder Træn og Test Niveau: 7. klasse Uden brug af lommeregner 1 INFA-Matematik: Informatik i matematikundervisningen Et delprojekt under INFA: Informatik i skolens fag

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt

matematik grundbog Demo trin 2 preben bernitt matematik grundbog trin preben bernitt matematik grundbog -udgave 00 by bernitt-matematik.dk Kopiering og udskrift af denne bog er kun tilladt efter aftale med bernitt-matematik.dk Læs nærmere om dette

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time

i tredje brøkstreg efter lukket tiendedele primtal time ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender lagt sammen resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn efter bagved foran placering kvart fjerdedel lagkage rationale

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE FÆLLES MÅL FAGLIGE BEGREBER. Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne

ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE FÆLLES MÅL FAGLIGE BEGREBER. Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne ELEVMÅL FOR KAPITLET HUSKELISTE Målet er, at eleverne: kan forstå sammenhænge og ligheder mellem talmængderne N, Z, Q og R. kan anvende de naturlige tal, hele tal, rationale tal og reelle tal i forskellige

Læs mere

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.

Basisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke addition bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen. Basisblokke - decimaltal bunker osv. Det kan desuden vise decimaler og dermed give eleven visuel støtte

Læs mere

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring

Hovedemne 1: Talsystemet og at gange Læringsmål Nedbrudte læringsmål Forslag til tegn på læring Hovedemne 1: Talsystemet og at gange kan anvende flercifrede naturlige tal til at beskrive antal og rækkefølge udvikle metoder til multiplikation og division med naturlige tal udføre beregninger med de

Læs mere

Lidt om Bits & Bytes. Talsystemer

Lidt om Bits & Bytes. Talsystemer Lidt om Bits & Bytes En hurtig genopfriskning af: Bits, bytes, kilobytes Megahertz, bps, Bps... Tegnsæt, f.eks. Unicode Hvad er det og hvor bruges det? Moderne og gammelt IT udstyr snakker sammen via 0

Læs mere

Værkstedsarbejde i matematik i 5. klasse

Værkstedsarbejde i matematik i 5. klasse Værkstedsarbejde i matematik i 5. klasse Om grundbogen Format er et læremiddel, som både har en grundbog med 8 hovedafsnit, et tilhørende evalueringsmateriale og til hvert af hovedafsnittene er der ligeledes

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet

Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet Fagårsplan 12/13 Fag: Matematik Klasse: 3.A Lærer:LBJ Fagområde/ emne At regne i hovedet penge Periode Mål Eleverne skal: Lære at anvende simpel hovedregning gennem leg og praktiske anvende addition og

Læs mere

Årsplan for matematik

Årsplan for matematik Årsplan for matematik Målgruppe: 04A Periode: Oprettet af: BK Mål for undervisningen: Årsplan Matematik 4.klasse 2017/2018 Undervisningen i matematik tager udgangspunkt i Matematrix 4, som består af en

Læs mere

Sum af. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Samlet sum. Navn

Sum af. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Beløb. Samlet sum. Navn Afrund beløb Sum af alle beløb til hele kroner Nr. 27 Navn Runde 1 Runde 2 Runde 3 Runde 4 Runde 5 Runde 6 Samlet sum Navn Runde 1 Runde 2 Runde 3 Runde 4 Runde 5 Runde 6 Sum af alle beløb til hele kroner

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Side til side-vejledning. 1 Tal. Faglige mål. Division. Potenser. Talfølger

Side til side-vejledning. 1 Tal. Faglige mål. Division. Potenser. Talfølger Side til side-vejledning 1 Tal Faglige mål Kapitlet Tal tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Division: kunne regne division med decimaltal og negative tal samt kende til anvendelsen af division i

Læs mere

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik

Tip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Kombinatorik Tip til 1. runde af - Kombinatorik, Kirsten Rosenkilde. Tip til 1. runde af Kombinatorik Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man tæller et antal kombinationer på en smart måde,

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

OM KAPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER LÆS OG SKRIV MATEMATIK. 6. Det vil derfor være relativt nyt for de fleste elever, at

OM KAPITLET ELEVFORUDSÆTNINGER LÆS OG SKRIV MATEMATIK. 6. Det vil derfor være relativt nyt for de fleste elever, at OM KAPITLET I dette kapitel om tal i mængder skal eleverne arbejde med de naturlige tal N, de hele tal Z og de rationale tal Q. Eleverne skal ligeledes erfare, at der er brug for endnu flere tal end de

Læs mere

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter

Uge Emne Materiale Fokus/faglige mål Kompetencer Andre aktiviteter Årsplan Matematik 4.klasse 2016/2017 Undervisningen i matematik tager udgangspunkt i Matematrix 4, som består af en grundbog og en arbejdsbog. Der vil derudover suppleres med opgaver i Pirana 4 samt opgaver

Læs mere

Det Digitale Niveau. Niels Olof Bouvin Institut for Datalogi Aarhus Universitet

Det Digitale Niveau. Niels Olof Bouvin Institut for Datalogi Aarhus Universitet Det Digitale Niveau Niels Olof Bouvin Institut for Datalogi Aarhus Universitet Level : Det digitale niveau Level 5 Problem-oriented language level Translation (compiler) Level 4 Assembly language level

Læs mere

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også?

Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Et tal som både består af et helt tal og en brøk, for eksempel. Hvad hedder det? Et kommatal som for eksempel 1,25 kaldes også noget andet. Hvad kaldes det også? Hvad kalder man tallet over brøkstregen

Læs mere

Programmering i maskinkode på AMIGA

Programmering i maskinkode på AMIGA Programmering i maskinkode på AMIGA A.Forness & N.A.Holten Copyright 1989 ARCUS Copyright 1989 DATASKOLEN Hæfte 1 Indhold Introduktion Det binære talsystem Det hexadecimale talsystem Assemblerens funktion

Læs mere

Brøker og forholdstal

Brøker og forholdstal Brøker og forholdstal Hvad er brøker - nogle eksempler... 6 Forlænge og forkorte... Udtage brøkdele... Uægte brøker og blandede tal... Brøker og decimaltal... 0 Regning med brøker - plus og minus... Regning

Læs mere

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet

Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Ideer til matematik-aktiviteter i yngstetrinet Følgende ideer er ment som praktiske og konkrete ting, man kan bruge i matematik-undervisningen i de yngste klasser. Nogle af aktiviteterne kan bruges til

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014

Forenklede Fælles Mål. Matematik i marts 27. marts 2014 Forenklede Fælles Mål Matematik i marts 27. marts 2014 Læringskonsulenter klar med bistand Side 2 Forenklede Fælles Mål hvad ligger der i de nye mål? Hvorfor nye Fælles Mål? Hvorfor? Målene bruges generelt

Læs mere

2. Christian den Fjerde. Årsplan 2015 2016 (Matematik PHO) Elevbog s. 2-11

2. Christian den Fjerde. Årsplan 2015 2016 (Matematik PHO) Elevbog s. 2-11 Lærer. Pernille Holst Overgaard Lærebogsmateriale. Format 2 Tid og fagligt område Aktivitet Læringsmål Uge 33-36 Elevbog s. 2-11 Additions måder. Vi kende forskellige måder at Addition arbejder med addition

Læs mere

Årsplan for Matematik hold 1. (0. og 1. klasse) Skoleåret 2017/2018

Årsplan for Matematik hold 1. (0. og 1. klasse) Skoleåret 2017/2018 Årsplan for Matematik hold 1. (0. og 1. klasse) Skoleåret 2017/2018 Uger Emne Materialer Evaluering 32-34 Tal fra 0-10 Eleven kan læse og ordne etcifrede naturlige tal Eleverne kan aflæse et tal på en

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1.

Læringsprogram. Talkonvertering. Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen. Klasse 2.4. 1. Læringsprogram Talkonvertering Benjamin Andreas Olander Christiansen Niclas Larsen Jens Werner Nielsen Klasse 2.4 1. marts 2011 Fag: Vejleder: Skole: Informationsteknologi B Karl G. Bjarnason Roskilde

Læs mere

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient

i tredje sum overslag rationale tal tiendedele primtal kvotient ægte 1 i tredje 3 i anden rumfang år 12 måle kalender hældnings a hældningskoefficient lineær funktion lagt n resultat streg adskille led adskilt udtrk minus (-) overslag afrunde præcis skøn formel andengradsligning

Læs mere

Folkeskolereformen nye muligheder Hotel Nyborg Strand 23.04.2014

Folkeskolereformen nye muligheder Hotel Nyborg Strand 23.04.2014 Folkeskolereformen nye muligheder Hotel Nyborg Strand 23.04.2014 Nationale mål, resultatmål og Fælles Mål Tre nationale mål 1. Folkeskolen skal udfordre alle elever, så de bliver så dygtige, de kan 2.

Læs mere

Bits, bit operationer, integers og floating point

Bits, bit operationer, integers og floating point Denne guide er oprindeligt udgivet på Eksperten.dk Bits, bit operationer, integers og floating point Denne artikel beskriver hvordan data gemmes som bits og hvordan man kan manipulere med bits. Den forudsætter

Læs mere

Mini-formelsamling. Matematik 1

Mini-formelsamling. Matematik 1 Indholdsfortegnelse 1 Diverse nyttige regneregler... 1 1.1 Regneregler for brøker... 1 1.2 Potensregneregler... 1 1.3 Kvadratsætninger... 2 1.4 (Nogle) Rod-regneregler... 2 1.5 Den naturlige logaritme...

Læs mere

Spor 1. numeralitet. Afdækning af. hos nyankomne elever. Elever yngre end 9 år TRIN

Spor 1. numeralitet. Afdækning af. hos nyankomne elever. Elever yngre end 9 år TRIN Hele vejen rundt om elevens sprog og ressourcer afdækning af nyankomne og øvrige tosprogede elevers kompetencer til brug i undervisningen Afdækning af numeralitet TRIN 2 Afdækning af numeralitet hos nyankomne

Læs mere

IK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Regnehæfte Elektronik

IK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN. Regnehæfte Elektronik IK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKNIK TEKN Regnehæfte Elektronik www.if.dk Regnehæfte Elektronik Forord Redaktør Hagen Jørgensen År 2004 Best. nr. Erhvervsskolernes Forlag Munkehatten 28

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 1. Basis Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau af Kenneth Hansen 1. Basis Jorden elektron Hvor mange elektroner svarer Jordens masse til? 1. Basis 1.0 Indledning 1.1 Tal 1. Brøker 1. Reduktioner 11

Læs mere

2 Brøker, decimaltal og procent

2 Brøker, decimaltal og procent 2 Brøker, decimaltal og procent Faglige mål Kapitlet Brøker, decimaltal og procent tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Brøker: kunne opstille brøker efter størrelse samt finde det antal af en helhed,

Læs mere

FlexMatematik B. Introduktion

FlexMatematik B. Introduktion Introduktion TI-89 er fra start indstillet til at åbne skrivebordet med de forskellige applikationer, når man taster. Almindelige regneoperationer foregår på hovedskærmen som fås ved at vælge applikationen

Læs mere

Matematik og Fysik for Daves elever

Matematik og Fysik for Daves elever TEC FREDERIKSBERG www.studymentor.dk Matematik og Fysik for Daves elever MATEMATIK... 2 1. Simple isoleringer (+ og -)... 3 2. Simple isoleringer ( og )... 4 3. Isolering af ubekendt (alle former)... 6

Læs mere

1. Opbygning af et regneark

1. Opbygning af et regneark 1. Opbygning af et regneark Et regneark er et skema. Vandrette rækker og lodrette kolonner danner celler, hvori man kan indtaste tal, tekst, datoer og formler. De indtastede tal og data kan bearbejdes

Læs mere

Sammensætning af regnearterne

Sammensætning af regnearterne Sammensætning af regnearterne Plus, minus, gange og division... 19 Negative tal... 0 Parenteser og brøkstreger... Potenser og rødder... 4 Sammensætning af regnearterne Side 18 Plus, minus, gange og division

Læs mere

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE

ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE ÅRSPLAN MATEMATIK 5.KLASSE Matematiklærerens tænkebobler illustrerer, at matematikundervisning ikke udelukkende handler om opgaver, men om en (lige!) blanding af: Kompetencer Indhold Arbejdsmåder CENTRALE

Læs mere

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder

3 Algebra. Faglige mål. Variable og brøker. Den distributive lov. Potenser og rødder 3 Algebra Faglige mål Kapitlet Algebra tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Variable og brøker: kende enkle algebraiske udtryk med brøker og kunne behandle disse ved at finde fællesnævner. Den distributive

Læs mere

Matematik. på AVU. Eksempler til niveau G. Niels Jørgen Andreasen

Matematik. på AVU. Eksempler til niveau G. Niels Jørgen Andreasen Matematik på AVU Eksempler til niveau G Niels Jørgen Andreasen Om brug af denne eksempelsamling Matematik-niveauerne på Almen Voksenuddannelse hedder nu Basis, G og FED. Indtil sommeren 009 hed niveauerne

Læs mere

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi

Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi Om at udregne enkeltstående hexadecimaler i tallet pi I 996 var det en sensation, da det kom frem, at det var lykkedes D. Bailey, P. Borwein og S. Plouffe at finde en formel for tallet π, med hvilken man

Læs mere

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn

TRIX. Træningshæfte 2 FACITLISTE. Side 1. Side 2 Side 3. FACIT, side 1-3 Trix, Træningshæfte 2 Alinea. Byg og tegn TRIX Træningshæfte Side J a o u - - - - - - e t u r i g v b n Fra oven p FACITLISTE Forfra Fra siden Jubii Side Side Femkanter Veksle mønter Farv rødt Farv gult Jubii Positionssystemet Øverst: Eksperimenter

Læs mere

Michel Mandix (2014) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2

Michel Mandix (2014) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 MATEMATIK NOTAT 02 - ARITMETIK & ALGEBRA AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: AUGUST 2017 Aritmetik og Algebra Side 2 af 16 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 ARITMETIK... 3 REGNEARTERNE...

Læs mere

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE

APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE APPENDIX A INTRODUKTION TIL DERIVE z x y z=exp( x^2 0.5y^2) CAS er en fællesbetegnelse for matematikprogrammer, som foruden numeriske beregninger også kan regne med symboler og formler. Det betyder: Computer

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum

Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum Jørgen Erichsen Periodiske kædebrøker eller talspektre en introduktion til programmet periodisktalspektrum I artikelserien Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN kommer jeg bl.a. ind på begrebet

Læs mere

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK)

Årsplan for matematik 4.kl 2013-2014 udarbejdet af Anne-Marie Kristiansen (RK) Matematikundervisningen vil i år ændre sig en del fra, hvad eleverne kender fra de tidligere år. vil få en fælles grundbog, hvor de ikke må skrive i, et kladdehæfte, som de skal skrive i, en arbejdsbog

Læs mere