Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.

Transkript

1 Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver. For hvert spørgsmål er der angivet et antal point. Hele opgavesættet indeholder point i alt. Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. Dine svar skal afkrydses i nærværende opgavesæt. Karaktergivningen baserer sig udelukkende på disse afkrydsninger. Husk at angive dit fulde navn og studienummer herunder. Held og lykke! NAVN: STUDIENUMMMER: Side af 9

2 Opgave (9 point) En kurve i planen er givet ved x = t, y = t t, hvor parameteren t gennemløber de reelle tal. (a) ( point). Kurven skærer sig selv i et punkt, der har førstekoordinaten x =. Hvad er andenkoordinaten for dette skæringspunkt? (b) (7 point). Hvad er krumningen af kurven for t =? π Opgave (9 point) En kurve i rummet er givet ved x = t, y = ( ) t, z = t, hvor parameteren t gennemløber de positive reelle tal. (a) ( point). Markér det korrekte udtryk for den afledede y. t t t t t t t (b) (7 point). Hvad er buelængden af kurven fra t = til t =? Side af 9

3 Opgave (7 point) En funktion er defineret ved f (x) = ln(cos x) for π < x < π. (a) ( point). Hvad er differentialkvotienten f (x)? cos x sin x x sin x x tan x cos x x (b) (5 point). Hvilket af nedenstående polynomier er anden ordens Taylor polynomiet for f (x) med udviklingspunkt x =? x + x x x + x + x x x x x + 5 x + x x x x + x Opgave (5 point) To komplekse tal er givet ved z = ( i)( i) + 7i, z = i( + i). (a) ( point). Hvad er z skrevet på standard form? + i + i + i i i (b) ( point). Hvad er z skrevet på polær form? e πi/ e πi/ e πi/ e πi/ e i Side af 9

4 Opgave 5 ( point) (a) (6 point). En homogen anden ordens differentialligning er givet ved y + y + y =. Herunder er angivet en række funktionsudtryk, hvori c og c er arbitrære konstanter. Markér det udtryk, som udgør den fuldstændige løsning til differentialligningen. y(t) = c e t + c e 5t y(t) = c e t + c te t y(t) = c e t + c e t y(t) = c e t + c te t y(t) = c e t + c te t y(t) = c e t cos(t) + c e t sin(t) y(t) = c e t cos(5t) + c e t sin(5t) y(t) = c e t cos(t) + c e t sin(t) (b) ( point). Det oplyses, at funktionen f (t) = t er en partikulær løsning til den inhomogene differentialligning y + y + y = + 5t. Markér en partikulær løsning til differentialligningen blandt følgende funktionsudtryk: y + y + y = + 5t + 5e t t + e t t + e t t + 5 et t + e 5t t + e t t + et 8 t + 8 t + e t t + 5e t Side af 9

5 Opgave 6 (9 point) En funktion er givet ved f (x, y) = x y + x. y Afkryds den rigtige mulighed i hvert delspørgsmål herunder. (a) ( point). Definitionsmængden for f består af samtlige punkter (x, y), der opfylder x > y y = x x + y y x x = y (b) (5 point). Niveaukurven med ligning f (x, y) = 5 kan beskrives som: En parabel med ligning y = x. En parabel med ligning y = x y +. En ret linje gennem (, ) med hældningskoefficienten. En ret linje gennem (, ) med hældningskoefficienten. En cirkel med centrum i (, ) og radius. En cirkel med centrum i (, ) og radius. Opgave 7 (5 point) En funktion er defineret ved f (x, y) = x arctan y. Hvad er den anden ordens partielle afledede f xy (x, y)? x( + tan y) x y +y x +y arctan y x y (+y ) Side 5 af 9

6 Opgave 8 ( point) En funktion er defineret ved f (x, y) = x + y xy. (a) ( point). Hvad er funktionsværdien f (, )? (b) ( point). Hvilket af følgende punkter er et kritisk punkt for f? (, ) (, ) (, ) (, ) (, ) (c) ( point). Grafen for f har en tangentplan i punktet P = (,, f (, )). Markér en ligning for denne tangentplan. x + y z = x + y + z = x + y z = x + y z = x z = x + y z = (d) ( point). Lad g(t) og h(t) være to differentiable funktioner, som opfylder betingelserne g() =, g () = og h() =, h () =. Betragt den sammensatte funktion w(t) = f (g(t), h(t)). Hvad er differentialkvotienten w ()? 7 8 Opgave 9 (5 point) En funktion er defineret ved f (x, y, z) = x e y + e z+. Hvad er den retningsafledede D u f (P) i punktet P = (,, ) og retningen bestemt ved enhedsvektoren u = i + j + k = (,, )? 7 Side 6 af 9

7 Opgave ( point) Et område R i planen består af de punkter (x, y), som opfylder ulighederne x + y π, y. Markér værdien af planintegralet cos(x + y ) da. R π π π7 7 π π 5 π Bemærkning. I opgave evalueres der efter følgende princip: Hver forkert afkrydsning ophæver én rigtig afkrydsning. Opgave (6 point) Lad T være området i rummet bestående af de punkter (x, y, z), som opfylder ulighederne x, y x, z x y. Et legeme med massetætheden (densiteten) δ(x, y, z) = z dækker netop området T. Legemets rumfang (volumen) betegnes V, og legemets masse betegnes m. Markér samtlige korrekte udtryk nedenfor. m = x y m = m = V = V = x x x y x x y y x y x y ( z) dxdydz. ( z) dzdydx. ( z) dzdydx. dzdxdy. dzdxdy. Side 7 af 9

8 Opgave (8 point) Besvar følgende sand/falsk opgaver: (a) ( point). Det gælder, at for alle reelle tal x. d ( (x + ) arctan x ) = x arctan x + dx Sand Falsk (b) ( point). Punktet med polære koordinater (r, θ) = ( 5, π) har rektangulære koordinater (x, y) = ( 5, ). Sand Falsk (c) ( point). For ethvert komplekst tal z gælder der, at iz = z. Sand Falsk (d) ( point). Lad D være området i planen bestående af de punkter(x, y), som opfylder uligheden x + y. Lad f være funktionen med forskrift f (x, y) = x y e x og definitionsmængde D. Da antager f globalt minimum på D. Sand Falsk Side 8 af 9

9 Opgave (5 point) Figuren nedenfor viser grafen for funktionen r = f (θ), θ π afbildet i polære koordinater. Hvilken af nedenstående forskrifter for f svarer til figuren? f (θ) = sin(θ) f (θ) = cos θ f (θ) = sin θ f (θ) = sin θ f (θ) = + sin θ f (θ) = cos θ Side 9 af 9