Ävelser. Differentialregning for gymnasiet og hf Karsten Juul. til håftet. Udgave 2

Transkript

1 Ävelser til håtet Dierentialrenin r ymnasiet h Udave t s 0 Karsten Juul

2 Ävelserne i dette håte Çr eleverne til at pdae hvad det er der reçr i dierentialreninen Dette pnçr man ikke ved en undervisnin hvr de leste elevers selvståndie beskåtielse med emnet hvedsaeli bestçr i at eterline udreniner i besvarelser a eksamenspaver GrundlÅende typer a paver med raer Reel m tilvåkster r lineåre sammenhåne SÇdan kan vi inde håldninskeicienten ud ra lineår ra 4 4 Hvad er en tanent? 5 5 Dierentialkvtient 5 6 HvrnÇr er en -tilvåkst lille? 6 7 Marinalmkstniner 7 8 VÅksthastihed 7 9 Frmel r y 8 0 Frmel r y' tanenthåldnin, våksthastihed 8 Udrene y-krdinat tanenthåldnin Finde linin r tanent 0 Frskelle der ikke kan ses pç raen Udrene månde våksthastihed 4 Dierentialkvtient a n 5 Dierentialkvtient a k mm 6 Dierentialkvtient a knstant ane udtryk 7 Dierentialkvtient a udtryk med lere led 8 SkrivemÇden ht, y sv 9 Nle typer a paver med tanenthåldnin 5 0 Nle typer a paver med våksthastihed 6 Kntinuert7 Vksende ataende 8 Hvad er mntnirhld? 9 4 Reel r at inde mntnirhld9 5 Typisk pave med mntnirhld 6 Maksimum minimum 4 7 Lkalt maksimum minimum 6 8 Typisk pave med lkale ekstrema 7 9 GÉr rede r at unktinen har et minimum eller maksimum8 0 Flere typer paver med maksimum eller minimum 8 Dierentiabel9 GrÅnsevÅrdi0 Vi kan inde en dierentialkvtient ved at udrene en rånsevårdi 4 Udlednin a rmlen r at dierentiere 5 Udlednin a rmlen r at dierentiere sum 5 6 Dierentialkvtient a e k ln 6 7 Dierentialkvtient a udtryk ane udtryk 7 8 Opdelin a en sammensat unktin i en indre en ydre unktin 8 9 Metde til at dierentiere en sammensat unktin8 Ävelser til håtet "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Ñ 0 Karsten Juul Dette håte kan dwnlades ra wwwmatdk HÅtet mç benyttes i undervisninen hvis låreren med det samme sender en til kj@matdk sm dels plyser at dette håte benyttes aniv ilnavn, dels plyser m hld, lårer skle

3 Ävelse I krdinatsystemet er tenet en del a raen r sammenhånen mellem t variable t n a LÅs Type i terihåtet Hvad er n nçr t er 4? b LÅs Type Hvad rtåller rapunktet A m sammenhånen mellem t n? c LÅs Type Ten det rapunkt B der iver Élende plysnin: NÇr t er 5 er n li 8, 5 d LÅs Type 4 Vi starter med t iver t en tilvåkst pç Hvilken tilvåkst Çr n? e LÅs Type 5 NÇr vi starter med t 5 iver t en tilvåkst pç sç Çr n tilvåksten Bru dette til at tene endnu et rapunkt C A Ävelse PÇ en skårm er der et rektanel NÇr vi Åndrer bredden, Åndres héjden autmatisk Fiuren viser hvrdan héjden Åndres PÇ iuren manler en del a raen a Hvad er héjden nçr bredden er? b Ten det punkt A sm iver denne plysnin c Hvad er héjden nçr bredden er 8? d Ten det punkt B sm iver denne plysnin e Vi tråkker i rektanlet sç bredden bliver 6, ser at héjden er 7 TilÉj det rapunkt C sm viser dette Vi tråkker i rektanlet sç bredden bliver 7, ser at héjden er 8 TilÉj det rapunkt D sm viser dette Ävelse PÇ en skårm er et rektanel NÇr vi Åndrer bredden, Åndres héjden autmatisk Ten 6 rapunkter ud ra Élende: Nu er bredde 5 héjde Vi Ér bredde 5 enheder stérre HÉjde bliver enhed stérre Vi Ér ien bredde 5 stérre HÉjde bliver enheder stérre Vi Ér ien bredde 5 stérre HÉjde bliver enheder stérre Vi Ér ien bredde 5 stérre HÉjde bliver 4 enheder stérre Vi Ér ien bredde 5 stérre HÉjde bliver 5 enheder stérre Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 Karsten Juul

4 Ävelse 4 PÇ en skårm er et rektanel NÇr vi Åndrer bredde, Åndres héjde autmatisk Ten 6 rapunkter ud ra Élende: Nu er bredde 5 héjde Vi Ér bredde 5 enheder stérre HÉjde bliver enhed stérre Vi Ér ien bredde 5 stérre HÉjde bliver enheder stérre Vi Ér ien bredde 5 stérre HÉjde bliver enheder stérre Vi Ér ien bredde 5 stérre HÉjde bliver enheder stérre Vi Ér ien bredde 5 stérre HÉjde bliver enheder stérre Ävelse 5 Ten en sammenhånende ra sç Élende er pyldt: NÇr bredden er 0, er héjden stérrer end nçr bredden er 5 eller 0 NÇr bredden er 0, er héjden stérrer end nçr bredden er 0 eller 5 Ävelse Se pç raen Éverst side i terihåtet a NÇr vi starter med b NÇr vi starter med c NÇr vi starter med d NÇr vi starter med iver tilvåksten, sç Çr y tilvåksten iver tilvåksten, sç Çr y tilvåksten iver tilvåksten, sç Çr y tilvåksten iver tilvåksten 7, sç Çr y tilvåksten e NÇr vi starter med iver tilvåksten 0,, sç Çr y tilvåksten NÇr vi kender den tilvåkst h sm Çr, sç kan vi inde den tilvåkst sm y Çr, ved at udére Élende udrenin: Ävelse LÅs deinitinen såtninen Éverst side i terihåtet a Hvad er håldninskeicienten r raen Éverst pç side i terihåtet? b Hvad inder vi nçr vi aner håldninskeicienten med den tilvåkst vi iver? c En anden lineår sammenhån har håldninskeicient Hvilken tilvåkst Çr y nçr vi Åndrer ra 6 til 7, 5? d Fr en bestemt lineår sammenhån Ålder at nçr vi iver tilvåksten 4, sç Çr y tilvåksten Hvad er håldninskeicienten? Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 Karsten Juul

5 Ävelse Fiuren viser hvrdan et rektanels héjde Åndres nçr vi Åndrer bredden a NÇr bredden er 6 er héjden b NÇr bredden er 8 er héjden c NÇr vi Åndrer bredden ra 6 til 8, sç bliver héjden enheder stérre d NÇr vi Åndrer bredden ra 8 til 0, sç bliver héjden enheder stérre e NÇr vi Ér bredden enheder stérre, sç bliver héjden enheder stérre NÇr vi Ér bredden enhed stérre, sç bliver héjden enheder stérre Graens håldninskeicient er h En tilvåkst vi iver bredden, skal vi ane med r at udrene den tilvåkst héjden Çr Ävelse 4 Fiuren viser hvrdan et rektanels héjde Åndres nçr vi Åndrer bredden a NÇr vi Åndrer bredden ra 5 til 5, sç bliver héjden enheder stérre b NÇr vi Åndrer bredden ra 5 til 5, sç bliver héjden enheder stérre c NÇr vi Ér bredden 0 enheder stérre, sç bliver héjden enheder stérre d NÇr vi Ér bredden enhed stérre, sç bliver héjden enheder stérre e Graens håldninskeicient er En tilvåkst vi iver bredden, skal vi ane med r at udrene den tilvåkst héjden Çr Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 Karsten Juul

6 Ävelse 5 Om et rektanel Ålder: NÇr vi Ér bredden enhed stérre, sç bliver héjden 0,6 enheder stérre a NÇr vi Ér bredden 0 enheder stérre, sç bliver héjden enheder stérre Om rektanlet Ålder sç: NÇr bredden er enheder, er héjden 5 enheder b I krdinatsystemet skal du tene raen der viser sammenhånen mellem bredde héjde c Graens håldninskeicient er d En tilvåkst vi iver bredden, skal vi ane med r at udrene den tilvåkst héjden Çr Ävelse 6 Fiuren viser hvrdan et rektanels héjde Åndres nçr vi Åndrer bredden a NÇr vi Åndrer bredden ra til enheder, sç bliver héjden enheder mindre b NÇr vi Ér bredden enhed stérre, sç bliver héjden enheder mindre c Graens håldninskeicient er d En tilvåkst vi iver bredden, skal vi ane med r at udrene den tilvåkst héjden Çr Ävelse a LÅs den Éverste ramme pç side i terihåtet Her inder vi en håldninskeicient Hvrr kan vi ikke inde denne håldninskeicient ved at alåse hvr meet stérre y bliver nçr vi Åndrer ra 0 til? b Find håldninskeicienten r raen til héjre Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 4 0 Karsten Juul

7 Ävelse 4 Se pç iuren nederst side i terihåtet a Har tanenten i Q stérre håldninskeicient end m? Det punkt pç raen sm har -krdinat, kalder vi R b Hvad er håldninskeicienten r tanenten i R Ävelse 4 Bru plysninerne i Ramme 4 i terihåtet til at inde svarene pç Élende spérsmçl: a Er linjen n tanent til K-raen i punktet R? b Er linjen n tanent til K-raen i punktet Q? m n Q K c Er linjen m tanent til K-raen i punktet P? d Har tanenten i P stérre håldninskeicient end linjen m? e Tanenten i R kalder vi l Har håldninskeicienten r l samme rten sm håldninskeicienten r n? P R Ävelse 5 SpÉrsmÇlene drejer si m iuren pç side 4 i terihåtet: a Vi starter med 00 iver en tilvåkst pç 00 Hvad er sç y-tilvåksten r r? Bru deinitin 5 i terihåtet til at besvare Élende t spérsmçl m : b Hvad er dierentialkvtienten i tallet 500? c Er dierentialkvtienten i tallet 00 stérre end dierentialkvtienten i tallet 00? Bru såtnin 5 i terihåtet til at besvare Élende spérsmçl m : d Vi starter med 00 iver en tilvåkst pç Hvad er sç y-tilvåksten cirka li? Ävelse 5 PÇ iuren viser den ene ra sammenhånen mellem bredde héjde r et rektanel L, den anden ra viser sammenhånen mellem bredde héjde r et andet rektanel P L-raen er tanent til P-raen i punktet A a NÇr vi Åndrer bredden i L-rektanlet ra 8 til, sç bliver héjden enheder stérre A L P b NÇr vi Ér L-rektanlets bredde enhed stérre, sç bliver héjden enheder stérre c Fr P-rektanlet Ålder at nçr bredden Åndres ra 8 til 8, sç bliver héjden ca enheder stérre er dierential- d Fr P-unktinen Ålder at i tallet 8 kvtienten Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 5 0 Karsten Juul

8 Ävelse 5 Vi kan Åndre bredden a et rektanel der er pç en skårm Graen viser héjden y sm unktin bredden a Hvad er y nçr 0? b Hvad er y nçr 0? c Hvilken tilvåkst ca Çr y nçr vi Åndrer ra 0 til 0,0? d Hvilken tilvåkst ca Çr y nçr vi Åndrer ra 0 til 0,05? e Hvis 0 vi iver en lille tilvåkst vi kender, hvrdan kan vi sç med d tilnårmelse udrene den tilvåkst sm y vil Ç? Ävelse 54 Ten en eller anden krum ra sç der bçde Ålder nçr 0 er y 0, 5 nçr 5 er y Ävelse 55 Ten en eller anden krum ra sç der Ålder at hvis 5 vi iver en lille tilvåkst, sç vil y-tilvåksten våre ca li 0, 8 ane -tilvåksten, uanset hvad -tilvåksten er, blt den ikke er r str Ävelse 6 Fiuren viser raen r en unktin AÉr r hver a Élende pçstande m den er riti? NÇr 0 vi iver en tilvåkst pç 0, 4 sç vil y-tilvåksten våre ca 0, NÇr 0 vi iver en tilvåkst pç 4 sç vil y-tilvåksten våre ca 7 NÇr 0 vi iver tilvåksten 0, 6 sç vil y-tilvåksten våre ca 0, Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 6 0 Karsten Juul

9 Ävelse 7 SpÉrsmÇlene i denne pave drejer si m den situatin der er beskrevet i ramme 7 a Hvad er marinalmkstninerne nçr vi remstiller 50 meter? b Hvis vi remstiller 5 meter i stedet r 50 meter, hvr meet stérre vil mkstninerne sç blive? c Hvis vi remstiller 5 meter i stedet r 50 meter, hvr meet stérre vil rtjenesten sç blive? Ävelse 7 Vi remstiller en vare Omkstninerne i kr ahåner a hvr mane ram vi remstiller a Ten en krum ra r mkstninerne sç: NÇr vi remstiller 0 ram er marinalmkstninerne 00 kr NÇr vi remstiller 0 ram er marinalmkstninerne 0 kr NÇr vi remstiller 0 ram er marinalmkstninerne 50 kr Vi kan såle hvert ram r 50 kr b Hvis vi remstiller 0 ram, hvad sker der sç med ram rtjenesten hvis vi remstiller ram mere? c Hvis vi remstiller 0 ram, hvad sker der sç med rtjenesten hvis vi remstiller ram mere? d Hvis vi remstiller 0 ram, hvad sker der sç med rtjenesten hvis vi remstiller ram mere? kr Ävelse 8 PÇ en skårm er der et rektanel L sm Åndrer héjde, et ur Graen viser hvrdan héjden Åndres a Hvad er héjden kl? b Hvr meet stérre bliver héjden pç 5 timer? c Udren hvr meet stérre héjden bliver pç time d Udren hvr meet stérre héjden bliver pç 0,5 timer e Hvr mane cm pr time er våksthastiheden? L Ävelse 8 PÇ iuren viser P-raen hvrdan héjden a et rektanel vkser L-raen viser hvrdan rektanlet ra Évelse 8 vkser L-raen er tanent til P-raen i punktet A SpÉrsmÇlene drejer si m P-rektanlets héjde a Hvad er héjdens våksthastihed kl? b Udren hvr meet stérre ca héjden bliver ra kl til kl 4 c Udren hvr meet stérre ca héjden bliver ra kl til kl :0 A P L Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 7 0 Karsten Juul

10 Ävelse 8 Vi udsåtter nle dyr pç en É Vi indérer Élende betenelser: t = Antal uer eter at vi udsatte dyrene N = Antallet a dyr Den persn der hlder Éje med dyrene, sier: NÇr t 9, 5 er N 8 NÇr t 9, 5 er N 5, 5 a Skriv hvad rtåller m dyrene Du skal altsç versåtte til dalispr b Skriv hvad rtåller m dyrene Du skal altsç versåtte til dalispr c Udren et skén ver hvr meet antallet a dyr stier i periden ra ni en halv ue eter udsåttelsen til ti uer eter udsåttelsen? d Frestil di at vi tenede raen r antallet a dyr sm unktin a tiden O restil di at vi tenede tanenten l i det rapunkt P sm har Érstekrdinat 9,5 Hvad er sç andenkrdinaten r P håldninskeicienten r l? Ävelse 9 Om en sammenhån mellem y Ålder at hvis vi kender vårdien a, sç kan vi udrene y sçdan: a OplÉt,05 til vårdien a an resultatet med 00 Skriv denne reel sm en linin b Frestil di at vi tener raen r y sm unktin a, at vi amårker det rapunkt P der har Érstekrdinat 9 Hvad er andenkrdinaten r P? Ävelse 0 Fr sammenhånen ra Ävelse 9 Ålder at hvis vi kender vårdien a, sç kan vi udrene y' sçdan: a OplÉt,05 til vårdien a an resultatet med 9,758 Skriv denne reel sm en linin b Frestil di at vi i punktet P ra Ävelse 9 tener tanenten til raen Hvad er denne tanents håldninskeicient? Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 8 0 Karsten Juul

11 Ävelse 0 Den krumme ra viser hvrdan héjden a et rektanel vkser a PÇ iuren kan vi alåse våksthastiheder Udyld den tmme plads i Élende tabel: timer: VÅksthastihed:,5 b GÅt ud ra tabellen en simpel metde til at udrene våksthastiheden nçr tidspunktet er kendt Skriv metden sm en rmel: VÅksthastihed = Bru rmlen ra b til at inde ud a hvad der skal stç pç de tmme pladser: c Kl 4 er våksthastiheden d Kl er våksthastiheden,5 enheder pr time e I rapunktet med Érstekrdinat 4 er tanenthåldninen I rapunktet med Érstekrdinat er tanenthåldninen 5 Ävelse 0 PÇ en ra er alåst Élende tanenthåldniner: a : 4 TanenthÅldnin: GÅt ud ra tabellen en simpel metde til at udrene tanenthåldninen i et rapunkt hvis Érstekrdinat er kendt Skriv metden sm en rmel: TanenthÅldnin = Bru rmlen ra a til at inde ud a hvad der skal stç pç de tmme pladser: b I rapunktet med Érstekrdinat,8 er tanenthåldninen c I rapunktet med Érstekrdinat er tanenthåldninen 9,5 Ävelse 04 PÇ en ra er alåst Élende punkter, y tanenthåldniner: a : 4 y: TanenthÅldnin: GÅt rmler ud ra tabellen: y = TanenthÅldnin = Bru rmlerne ra a til at inde ud a hvad der skal stç pç de tmme pladser: b Grapunktet med Érstekrdinat, 5 har andenkrdinat c I rapunktet med Érstekrdinat,5 er tanenthåldninen d I rapunktet med Érstekrdinat er tanenthåldninen 6 e Grapunktet med psitiv Érstekrdinat har andenkrdinat 6 Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 9 0 Karsten Juul

12 Ävelse 05 Fr en ra kan Élende rmler brues til at berene andenkrdinat y tanenthåldnin r et punkt hvis Érstekrdinat er kendt: y y a Grapunktet med Érstekrdinat har andenkrdinat b I rapunktet med Érstekrdinat er tanenthåldninen c I rapunktet med psitiv Érstekrdinat er tanenthåldninen 4 d Grapunktet med Érstekrdinat har andenkrdinat 0, 4 Ävelse Funktinen y har dierentialkvtienten y Funktinen y ln har dierentialkvtienten y Ävelse En variabel y sm unktin a en variabel er ivet ved lininen 64 y 4 Et punkt A lier pç raen r denne sammenhån FÉrstekrdinaten r A er En linje m er tanent til raen i punktet A a Udren andenkrdinaten r A b Udren håldninskeicienten r linjen m c Find en linin r linjen m Ävelse En unktin har rskriten y 0,5, 6 a y b NÇr 7, er y c NÇr 4, er y d NÇr y 5, 0 er e NÇr y 9, er Ävelse 4 Fiuren viser raen r unktinen y 0, 0,8,5 samt tanenterne i rapunkterne A, B C LÉs a- pç reneskårmen uden at brue menupunkterne minimum maksimum eller linende a y b FÉrstekrdinaten r A er I A er tanenthåldninen c A har andenkrdinaten d I B er tanenthåldninen 0 B har Érstekrdinaten e B har andenkrdinaten C har andenkrdinaten, 5 C har Érstekrdinaten I C er tanenthåldninen l A B m n C Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 0 Karsten Juul

13 Ävelse 5 En linje l har håldninskeicienten Çr ennem punktet P, a l har lininen Linjen m er tanent i punktet Q til raen r unktinen y Q har Érstekrdinaten 5 LÉs b-d pç reneskårmen uden at brue menupunkter med tanent Du mç dt brue b Q har andenkrdinaten c m har håldninskeicienten d m har lininen Ävelse 6 Linjen n er tanent i punktet R til raen r unktinen y n har håldninskeicienten 4 LÉs a-c pç reneskårmen uden at brue menupunkter med tanent Du mç dt brue a R har Érstekrdinaten b R har andenkrdinaten c n har lininen Ävelse Se pç den Éverste ra pç side 9 i terihåtet a NÇr 0, 97 er y sç stérre end, li eller mindre end? b NÇr 0, 0 er y sç stérre end 0,, li 0, eller mindre end 0,? c Udren y nçr 0, 97 d Udren y nçr 0, 0 Ävelse Se pç den nederste ra pç side 9 i terihåtet a Er der en del a raen der er en ret linje? b Udren y-krdinaterne til de punkter pç raen sm har -krdinater 0 0,0 0,06 Ävelse En ppulatin vkser sçdan at 50 y 4e 0, hvr y er antallet a individer, er antal dén eter 5 maj a 0 dén eter 5 maj er antallet a individer b 0 dén eter 5 maj er våksthastiheden individer pr dén c NÇr 0 er y d NÇr 0 er y e Hvad rtåller acit i c m ppulatinen? Svar: Hvad rtåller acit i d m ppulatinen? Svar: Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 Karsten Juul

14 Ävelse En plante vkser sçdan at d,8, 06 t hvr d er diameteren i cm, t er antal dae eter maj Med hvilken hastihed vkser diameteren 40 dae eter maj Ävelse Ved visse underséelser lader man temperaturen stie sçdan at T 8 lnt hvr T er temperaturen i C t er antal minutter eter underséelsens start Udren T nçr t 4, 5, skriv hvad dette tal rtåller m underséelsen Ävelse 4 Denne Évelse skal du lése uden at brue lmmerener/cmputer En dynamisk skulptur er indrettet sçdan at der mellem midnat kl Ålder at h hvr h er skulpturens héjde i cm, er tiden eter midnat i timer Hvad er héjdens våksthastihed kl? Ävelse 4 5 En linje m er tanent til raen r sammenhånen y i det rapunkt sm har -krdinat Udren håldninskeicienten r m uden at brue lmmerener/cmputer Ävelse 5 Besvar denne Évelse uden at brue lmmerener/cmputer Fr sammenhånen y Ålder: NÇr er y NÇr 0, 6 er y Fr sammenhånen y 4 Ålder: NÇr er y NÇr 0, 6 er y Ävelse 6 Besvar denne Évelse uden at brue lmmerener/cmputer Fr sammenhånen y er y Fr sammenhånen y 5 er y 4 Fr sammenhånen y 5 Ålder: NÇr er y Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 Karsten Juul

15 Ävelse 7 Besvar denne Évelse uden at brue lmmerener/cmputer a NÇr y 4 er y b NÇr y 4 er y c NÇr y er y d NÇr y 4 4 er y 4 e NÇr y er y Ävelse 8 Fiuren viser raen r en unktin h a h h h b h h c NÇr h, er d NÇr h, er Ävelse 8 eller En unktin har rskriten a b NÇr er e NÇr er c NÇr er NÇr er d Ävelse 8 a Ten en simpel krum ra r en unktin sç b Ten en simpel krum ra r en unktin sç er, 5 enheder stérre end er stérre end Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 Karsten Juul

16 Ävelse 84 Fiuren viser raen r en unktin a 4 4 b NÇr 9, er c NÇr, er En unktin h har rskriten h d Et punkt P pç h-raen har Érstekrdinat 4 P har andenkrdinat I P er tanenthåldninen e I et punkt Q pç h-raen er tanenthåldninen Q har Érstekrdinat eller Et punkt R pç h-raen har andenkrdinat 6 R har Érstekrdinat Ävelse 85 En unktin har rskriten Bestem 0 6 uden at brue lmmerener/cmputer Ävelse 86 En unktin har rskriten 4 Bestem uden at brue lmmerener/cmputer Ävelse 87 En unktin h er ivet ved Bestem sç h 0 h 6 uden at brue lmmerener/cmputer Ävelse 88 En unktin er ivet ved 7 a Bestem andenkrdinaten til det rapunkt der har -krdinaten 4 b Bestem håldninskeicienten r tanenten i dette punkt Ävelse 89 HÉjden a en bunke trålis kan beskrives ved unktinen hvr t a t 8,4 t er héjden i cm, t er antal minutter eter arbejdets start Hvr héj er bunken eter 5 minutter, eter 0 minutter? b Med hvilken hastihed vkser héjden eter 5 minutter, eter 0 minutter? Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 4 0 Karsten Juul

17 Ävelse 9 En linje m har lininen m y 4 Linjen m er tanent til raen r i punktet P a Udren Q 's y-krdinat Q P b Udren P 's y-krdinat c Hvad er m 's håldninskeicient? d Hvad er 4? e Hvad er 4? Ävelse 9 En linje l har lininen y En unktin har rskriten a Find 7 6 b Hvad er håldninskeicenten r l? c Find -krdinaten til det punkt P pç raen r hvr tanentens håldninskeicient er d Find y-krdinaten til P e Lier punktet P pç linjen l? Skriv lininen r tanenten til raen r i punktet P Ävelse 9 En unktin har rskriten k Tanenten til raen r i punktet med -krdinat har håldninskeicienten 0 Find tallet k Ävelse 94 En unktin har rskriten a Hvr mane tanenter til raen r har håldninskeicienten? b Hvr mane tanenter til raen r har håldninskeicienten 0? c Hvr mane tanenter til raen r har håldninskeicienten? Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 5 0 Karsten Juul

18 Ävelse 95 En unktin er ivet ved Tre linjer l, m n er ivet ved l : y 4 m : y 4 6 n : y 4 7 Skriv r hver a de tre linjer en berundelse r m den er tanent til raen r i punktet, Ävelse 96 En linje l er tanent til raen r en unktin i rapunktet med -krdinat 4 Linjen l har lininen y 5 b hvr b er et tal Der Ålder at a Find tallet b b GÉr rede r m -raens punkt med -krdinat lier under, pç eller ver linjen l c Find tallet 4 Ävelse 97 En linje l er tanent til raen r en unktin i punktet, Linjen l har lininen y a 4 hvr a er et tal Der Ålder at at 5 a Find tallet a b Find tallet c Udren den ldrette astand mellem l -raens punkt med -krdinat Ävelse 0 NÇr vi udérer en bestemt underséelse vil temperaturen atae sçdan at T t 6,4 55, 0, 7 hvr T t a t er temperaturen i C t er tiden mçlt i timer eter underséelsens start Med hvilken hastihed ataer temperaturen,5 time eter underséelsens start? b PÇ hvilket tidspunkt ataer temperaturen med hastiheden rader pr time? c Udren T 0 skriv hvad dette tal rtåller m temperaturen Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 6 0 Karsten Juul

19 Ävelse Bru Élende plysniner til at tene nle punkter der lier pç raen r : 4, 5, 6, 9 Funktinen er kntinuert i ethvert tal a IÉle SÅtnin er der et tal mellem 5 sç 0 b Kan der våre et tal mellem 5 6 sç 0? c Er det sikkert at der er et tal mellem 6 9 sç 0? d Kan antallet a lésniner til 0 i intervallet 6 9 våre? Ävelse hemmeli rskrit 0 a 0 netp nçr eller b IÉle SÅtnin er c I hvilke tal er kntinuert? kntinuert i ethvert tal hvr den er deineret d Da er psitiv i intervallet e Da er i intervallet 7 Ävelse FÉlende er plyst Funktinen er kntinuert i alle tal hvr den er deineret Funktinen er kntinuert i alle tal i intervallet 6 Funktinen h a, b c er tal er ivet ved en sådvanli renerskrit Fr hver a Élende pçstande skal du enten berunde at den er krrekt, eller berunde at vi ikke kan vide m den er krrekt se side 5 i teri-håtet Hvis 5 6 er 0 r et tal i intervallet Hvis 6 er 4 0 Hvis h h 5 er h 0 r et tal i intervallet 5 4 Hvis h kun er li 0 nçr, h er deineret r ethvert tal, h 9 4, sç er h7 et psitivt tal 5 Hvis a b c 4 kun er 0 r, sç er a b c 4 ethvert tal der er mindre end et neativt tal r Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 7 0 Karsten Juul

20 Ävelse Ten raen r en unktin sm pylder alle Élende betinelser: NÇr er er li I intervallet Ålder: J stérre er, j mindre er I intervallet Ålder: J stérre er, j stérre er I intervallet Ålder: J stérre er, j mindre er Ävelse a NÇr, 5 er unktinsvårdien b Fr er unktinsvårdien nçr 0, 5 c Fr er unktinsvårdien i stérre end, 5 nçr er stérre end mindre end eller li,9 En unktin er vksende i et -interval hvis der r alle -vårdier i dette interval Ålder: J stérre er, j stérre er Hvis vi skal vise at ikke er vksende, sç skal vi altsç inde t -vårdier hvr den stérste a dem ikke har den stérste unktinsvårdi d Skriv at er vksende, eller skriv t -vårdier hvr den stérste a dem ikke har den stérste unktinsvårdi Svar: e Skriv at er vksende, eller skriv t -vårdier hvr den stérste a dem ikke har den stérste unktinsvårdi Svar: Ävelse En unktin er ataende i et -interval hvis der r alle -vårdier i dette interval Ålder: J stérre er, j mindre er Hvis vi skal vise at ikke er ataende, sç skal vi altsç inde t -vårdier hvr den stérste a dem ikke har den mindste unktinsvårdi En unktin er ivet ved,,, 0 a Fr er unktinsvårdien nçr er b Skriv at er ataende, eller skriv t -vårdier hvr den stérste ikke har den mindste unktinsvårdi Svar: Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 8 0 Karsten Juul

21 Ävelse Graen r en unktin rléber sçdan: Den starter i punktet, 5, Çr p til 6, 4, Çr ned til 8,, Çr videre ned til 9, Beskriv mntnirhldene r pç den mçde der er vist i ramme i terihåtet Ävelse 4 Fiuren viser tre punkter pç raen r en unktin a hemmeli rskrit Fr hvert a de tre punkter skal du udrene tanentens håldninskeicient tene tanenten HÅldniner: b BemÅrk at det ikke kun er r -vårdierne,9, 4 5 at du kan udrene tanenthåldninen Du kan udrene tanenthåldninen r enhver -vårdi TanenthÅldninen er neativ nçr TanenthÅldninen er psitiv nçr Ävelse 4 Fr en unktin Ålder: hemmeli rskrit 4 a I det punkt pç -raen hvis -krdinat er 0, er tanenthåldninen b De punkter pç -raen hvri tanenthåldninen er 0, har -krdinaterne c Er ataende mellem disse t tal? Svar: Ävelse 4 Fiuren viser en del a raen r en unktin hemmeli rskrit 6 0 a Er vksende i hele intervallet 0? Svar: Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 9 0 Karsten Juul

22 Ävelse 44 Fiuren viser en del a raen r en unktin hemmeli rskrit 4,4 00 Er vksende? Svar: Ävelse 45 Fiuren viser hele raen r en unktin hemmeli rskrit, 0 4 4, 0 4 Er vksende net sted? Svar: Ävelse 46 Fiuren viser raen r unktinen 0,5, 5,5, 5 a b A rskriten Çr vi at unktinsvårdien i, er c NÇr 0, er d Skriv at er ataende i intervallet, a dem ikke har den mindste unktinsvårdi: e Skriv at er vksende i intervallet, 5 a dem ikke har den stérste unktinsvårdi:, eller aniv t tal i intervallet hvr det stérste, eller aniv t tal i intervallet hvr det stérste Ävelse 47 Fiuren viser raen r unktinen,6,8 a b A rskriten Çr vi at unktinsvårdien i, 5 er c A rskriten Çr vi at unktinsvårdien i, 6 er d NÇr 0, er e Skriv at er vksende, eller aniv t -vårdier hvr den stérste a dem ikke har den stérste unktinsvårdi: Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 0 Karsten Juul

23 Ävelse 48 a Ten raen r en unktin sç er vksende, er ataende b Ten raen r en unktin sç er ataende, er ataende c Ten raen r en unktin h der pylder Élende ire betinelser: h er ataende i intervallet h er vksende i intervallet h er vksende i intervallet h er ataende i intervallet Ävelse 5 Uden hjålpemidler En unktin er bestemt ved a Find b Find de tal hvr 0 c Udren d Hvad kan man sie m rtenet r nçr man ved at er et tal i intervallet? e Find rtenet r r alle tal Opskriv mntnirhldene r Ävelse 5 Uden hjålpemidler Om en unktin plyses det at a LÉs lininen 0 b Find rtenet r r alle tal c Opskriv mntnirhldene r Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 Karsten Juul

24 Ävelse 5 a PÇ lmmerener inder vi at plynmiet 6 kun har det ene nulpunkt b SÇ mç 6 våre rskelli ra 0 kntinuert i ethvert tal i intervallet c O sç mç 6 have samme rten i alle tal i intervallet d PÇ lmmereneren inder vi at nçr er 6 li, altsç et psitivt tal e AltsÇ er 6 et tal nçr er et tal i intervallet Hvilket rten har 6 hvis er et tal der er stérre end? Bestem de -intervaller hvr plynmiet vårdier a r hvilke 4 4 er neativ har knstant rten, bestem de Ävelse 54 En unktin er ivet ved 9 a Bestem b LÉs lininen 0 bestem de vårdier a r hvilke er psitiv Ävelse 55 Bestem mntnirhldene r unktinen 4 Ävelse 56 En unktin pylder Élende betinelser: er dierentiabel i alle tal pylder Élende: : 6 : a Aniv mntnirhldene r b Ten raen r en eller anden unktin sm pylder venstçende betinelser Ävelse 57 PÇ tallinjen skal du tiléje det manlende sç den bliver i verensstemmelse med raen : : 0 Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 Karsten Juul

25 Ävelse 58 Uden hjålpemidler En unktin er bestemt ved a Bestem mntnirhldene r 4 4 Ävelse 59 Uden hjålpemidler Om en unktin plyse at a Bestem mntnirhldene r Ävelse 50 Fiuren viser raen r unktinen a NÇr, er y 0 bråkstre b Er der er en psitiv -vårdi hvr den tilhérende y-vårdi ikke er mindre end? P c Er der er en neativ -vårdi hvr den tilhérende y-vårdi ikke er stérre end? d Vi tråkker punktet P md héjre lans raen Skriv sand eller alsk ved hver a Élende pçstande: bliver hele tiden stérre stérre bliver hele tiden mindre mindre y bliver hele tiden stérre stérre 4 y bliver hele tiden mindre mindre e 0 Ten raen r en eller anden unktin sçdan at 0 nçr vi tråkker et punkt md héjre lans raen r, sç bliver y hele tiden stérre stérre Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 Karsten Juul

26 Ävelse 6 NÇr er,5 er ikke minimum, r hvis eks er sm er mindre end, 5 har minimum r minimum er har maksimum r maksimum er Ävelse 6 har maksimum r maksimum er har minimum r minimum er Ävelse 6, p er et psitivt tal sm er mindre end 0,0 er ikke minimum r, r nçr er sm er mindre end 0, 0 p er ikke minimum r, r nçr er sm er mindre end p Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 4 0 Karsten Juul

27 Ävelse 64 Fiuren viser raen r unktinen a y 4,4 y b I tppunktet er tanenthåldninen c Bru svarene pç a b til at udrene tppunktets Érstekrdinat: Tppunktets Érstekrdinat er d SkÅrinspunktet med andenaksen har Érstekrdinaten e NÇr 0, er y I skårinspunktet med andenaksen er tanenthåldninen Ävelse 65 Fiuren viser raen r unktinen y, A er det rapunkt hvis andenkrdinat er unktinens minimum B er det rapunkt hvis andenkrdinat er unktinens maksimum a Aniv pç iuren punkterne A B b I A er tanenthåldninen c I B er tanenthåldninen LÉs d- pç reneskårmen uden bru a ekstremumsvårktéjer d A har Érstekrdinaten e B har Érstekrdinten Funktinens maksimum er Funktinens minimum er Ävelse 66 Temperaturen i en behlder Åndres sçdan at y 4, 0,4, 5 hvr y er temperaturen mçlt i ÖC, er tiden mçlt i timer Fiuren viser raen r denne sammenhån a PÇ det tidspunkt hvr temperaturen er héjest, er y LÉs b-d pç reneskårmen uden bru a ekstremumsvårktéjer b Temperaturen er héjest pç tidspunktet timer c Den héjeste temperatur er ÖC d Den laveste temperatur er ÖC Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 5 0 Karsten Juul

28 Ävelse 7 Ten raen r en unktin sç raen er sammenhånende krummer hele vejen, sç: har lkalt maksimum r, 4 det lkale maksimum er y, 7 har lkalt minimum r, 5 det lkale minimum er y, 6 Det lkale maksimum er sç maksimum, men det lkale minimum er ikke minimum Ävelse 7 Ten raen r en unktin sç raen er sammenhånende krummer hele vejen, sç: Et lkalt minimum er y Et lkalt maksimum er y altsç mindre end det lkale minimum Der mç erne våre mere end t lkale ekstrema Ävelse 7 Fiuren viser raen r en unktin Sm bekendt betyder cirklerne m raens endepunkter at endepunkterne ikke hérer med til raen a LÉs lininen b Hvr mane lésniner har lininen hvis k er? k c Hvr mane lésniner har lininen k hvis k er,? d Hvilke tal kan k våre hvis antallet a lésniner skal våre? Ävelse 74 Ten raen r en unktin sçdan at antallet a lésniner til lininen a er 0 hvis a hvis a 4 hvis a hvis a hvis a Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 6 0 Karsten Juul

29 Ävelse 8 Ten raen r en unktin sç raen er sammenhånende krummer hele vejen, sç: 0 har ikke lkalt ekstremum r Ävelse 8 I en pave stçr rskriten r en unktin Frskriten er et plynmium Vi léser lininen 0 Çr 4 eller a Hvis er er psitiv sç har lkalt minimum r det lkale minimum er li b Hvis er sç har lkalt maksimum r det lkale maksimum er li c Hvis er sç har hverken lkalt maksimum eller lkalt minimum r Ävelse 8 4 En unktin er ivet ved Bestem bestem de lkale ekstrema r Ävelse 84 a PÇ side i terihåtet andt vi rem til mntnirhld lkale ekstrema r en unktin Benyt disse plysniner til hurtit at skitsere raen r Der er ikke bru r at udrene lere punkter pç raen da den kun skal brues sm et hjålpemiddel til at besvare spérsmçl b b Fr hvilke vårdier a a har lininen a kun Ün lésnin? Ävelse 85 En unktin er ivet ved k, 0 hvr k er et psitivt tal Det plyses at har minimum r Bestem k Ävelse 86 En unktin er ivet ved k hvr k er et reelt tal Det plyses at maksimum r er 50 Bestem k 4 er er Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 7 0 Karsten Juul

30 Ävelse 87 En unktin er bestemt ved a Bestem de lkale ekstrema r b Bestem r enhver vårdi a k antallet a lésniner til lininen k Ävelse 88 En unktin er bestemt ved a UndersÉ 5 5 med hensyn til lkale ekstrema b Bestem r enhver vårdi a a antallet a lésniner til lininen a Ävelse 9 I en pave stçr rskriten r en unktin Frskriten er et plynmium Vi léser lininen 0 Çr 5 a Hvis 6 er psitiv sç har maksimum r maksimum er li b Hvis er sç har minimum r minimum er li c Hvis er sç er tallet 5 hverken maksimum eller minimum r Ävelse 9 er En dierentiabel unktin er deineret r alle Linjen med lininen y 6 er tanent til raen r, raen Çr ennem punktet 4, Nulpunkter rten r er sm anivet pç tallinjen: er er : 4 : 0 0 a GÉr rede r at unktinen har et maksimum b SkitsÜr en muli ra r Ävelse 0 I en bestemt type knstruktin er der en sammenhån mellem stérrelsen a et rérs verlade dets astand ra et andet rér Anta at der er ivet en renerskrit r astanden, mçlt i cm, sm unktin a verladen, mçlt i cm Anta at knstruktinen er udért sç astanden er den stérst mulie Hvis man skal bestemme verladens stérrelse, skal man sç eller bestemme maksimum r bestemme det tal hvri har maksimum? Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 8 0 Karsten Juul

31 Ävelse 0 En haveejer har lavet et ratehen hvr héjden a en rate, mçlt i meter, er ivet ved 0,046 0,08, 0 5 hvr er ratens astand ra lçen, mçlt i meter Se teninen nedenr a Bestem den vårdi a hvri har maksimum, rklar hvad du herved har undet ud a m ratehenet b Bestem maksimum r, rklar hvad du herved har undet ud a m ratehenet Ävelse FÇ tenet raen r pç lmmereneren a Ser det ud til at er dierentiabel i 0? b Ser det ud til at er dierentiabel i? c Ser det ud til at er dierentiabel i? Ävelse FÇ tenet raen r pç lmmereneren Graen har en tanent i hvert punkt, men der er Üt tal hvr ikke ikke dierentiabel GÅt dette tal ud ra raen Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 9 0 Karsten Juul

32 Ävelse I tabellen har vi skrevet vårdien a r rskellie vårdier a : 0, 60 0, 90 0, 98, 0, 0, 40 : 0, 0 0, 45 0, 49 0, 5 0, 55 0, 70 Sm venstçende antyder, Ålder: Vi kan Ç sç tåt pç ved at våle tåt nk pç det skal våre Derr sier vi at er rånsevårdien a Med symbler skriver vi rånsevårdien sçdan: lim Dette symbl betener altsç tallet r Çende md Ävelse I Évelse mtaler vi stérrelsen Vi pçstçr at vi kan Ç sç tåt pç det skal våre, ved at våle tåt nk pç Anta at vi vil have at astanden mellem skal våre mindre end 0, 000 Aniv et lille interval m sç det r alle der lier i intervallet er rskelli ra, Ålder at astanden mellem er mindre end 0, 000 Du skal blt Åtte intervallet ved at udrene r nle tal der lier tåt pç Ävelse Udren nle unktinsvårdier r unktinen 4 sç du kan Åtte svar pç spérsmçlene nedenr a Hvad er rånsevårdien a r Çende md? b Aniv et interval m sç det r alle der lier i intervallet er rskelli ra, Ålder at astanden mellem rånsevårdien er mindre end 0, 00 Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 0 Karsten Juul

33 Ävelse 4 Fiuren viser raen r unktinen a b Udren andenkrdinaterne til de t rapunkter hvis Érstekrdinater er 4 Udren håldninskeicienten r linjen ennem disse t punkter Lad hk betene håldninskeicienten r linjen ennem rapunktet med Érstekrdinat et andet rapunkt med Érstekrdinat Tallet hk4 er altsç det tal der er svaret pç b c Udren hk,, hk,0 hk 0,999 d GÅt ud ra svarene i c rånsevårdien a hk passe med iuren r Çende md Se m dit svar kan Ävelse 5 Bru metde til at udrene Élende t tal: lim lim 4 6 Ävelse Det er plyst at Bru såtninerne, til at udrene Élende tre tal: lim lim lim Ävelse Ten raen r en unktin sçdan at lim nçr Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 Karsten Juul

34 Ävelse 4 NÇr du låser Åvelserne 4-44, sç rbereder du di pç at lése ramme 4 i terihétet a NÇr en linje Çr ennem punkterne,,, sç er dens håldninskeicient a y y BrÉkstre b PÇ raen r en unktin lier t punkter med -krdinater Disse punkters y-krdinater er y y Linjen ennem disse t punkter har håldninskeicienten a y y c PÇ raen r en unktin lier et punkt P med -krdinat -krdinat Linjen ennem P Q kalder vi l et punkt Q med l har håldninskeicienten Ved at våle tilstråkkeli tåt pç kan vi pnç at håldninskeicienten r l er sç tåt det skal våre pç håldninskeicienten r i det punkt pç raen sm har -krdinaten er håldninskeicienten r i det punkt pç raen sm har -krdinaten lim raen sm har -krdinaten er håldninskeicienten r i det punkt pç Ävelse 4 NÇr du låser Åvelserne 4-44, sç rbereder du di pç at lése ramme 4 i terihétet Fr unktinen Ålder: 5 π er raen sm har -krdiater r linjen ennem de t punkter pç lim har -krdinaten er håldninskeicienten r i det punkt pç raen sm Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 Karsten Juul

35 Ävelse 4 NÇr du låser Åvelserne 4-44, sç rbereder du di pç at lése ramme 4 i terihétet a Hvilke a de 6 udtryk er li hinanden uanset hvilke tal vi indsåtter r a b? a b a b 4 a b a b a b 5 a b a b 6 b a b a b c Hvilke a de 4 udtryk er li hinanden uanset hvilke t rskellie tal vi indsåtter r a b? d a b a b a b 4 a b a b a b a b Ävelse 44 NÇr du låser Åvelserne 4-44, sç rbereder du di pç at lése ramme 4 i terihétet a NÇr 4, 5 er NÇr 4, er NÇr 4, 00 er NÇr er når 4, er når b NÇr 4, 5 er a NÇr 4, er a NÇr 4, 00 er a NÇr er når 4, er a når a c NÇr er når a, er a når a Ävelse 45 I denne Åvelse udleder du rmlen r at dierentiere en lineér unktin NÇr a b er lim lim lim lim lim lim Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 0 Karsten Juul

36 Ävelse 46 NÇr du låser Åvelserne 46-47, sç rbereder du di pç at låse Åvelse 48 a b Hvilke a Élende udtryk er li hinanden uanset hvilke tal 0 vi indsåtter r w v? w w w w 4 w w 5 w 6 w v w v 7 w v 8 w v w v c Hvilke a Élende lininer er yldie r alle tal sm er 0? Ävelse 47 NÇr du låser Åvelserne 46-47, sç rbereder du di pç at låse Åvelse 48 NÇr 4, 5 er NÇr 4, er NÇr 4, 0 er NÇr er når 4, er NÇr er når a, er når når Ävelse 48 I denne Åvelse udleder du rmlen r at dierentiere kvadratrdsunktinen NÇr er lim lim lim Se Évelse 46 c lim Se Évelse 47 Se Évelse 46 b Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 4 0 Karsten Juul

37 Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 5 0 Karsten Juul Ävelse 5 NÇr du låser Åvelserne 5-54, sç rbereder du di pç at lése ramme 5 i terihétet Hvilke a Élende udtryk er li hinanden? a a 4 a a a a 5 a a a a 6 a a Ävelse 5 NÇr du låser Åvelserne 5-54, sç rbereder du di pç at lése ramme 5 i terihétet Hvilke a Élende udtryk er li hinanden? k 5 k 6 k k Ävelse 5 NÇr du låser Åvelserne 5-54, sç rbereder du di pç at lése ramme 5 i terihétet Hvilke a Élende udtryk er li hinanden? b a q p k h b a q k p h b a q k b a p h 4 b a q k b a p h 5 b a q k p h Ävelse 54 NÇr du låser Åvelserne 5-54, sç rbereder du di pç at lése ramme 5 i terihétet Hvilke a Élende udtryk er li hinanden? 4 4 lim lim 0 ln ln lim Ävelse 55 I denne Åvelse udleder du rmlen r at dierentiere dierensen mellem t unktiner NÇr h er lim lim h h lim h h lim h h lim lim h h h Vi har nu undet rem til Élende: h Ävelse 56 Udled rmlen r at dierentiere knstant ane unktin, altsç rmlen k k

38 Ävelse 6 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer 8 6 e e 6e Ävelse 6 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer e e e e Ävelse 6 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer 5 0,0 4 e 5e Ävelse 64 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer ln ln ln Ävelse 65 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer En unktin har rskriten 7 4 e Udren 0 Ävelse 66 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer En unktin p har rskriten p Udren p 6ln Ävelse 67 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer En unktin har rskriten ln Skriv en linin r tanenten til raen r i punktet, Ävelse 68 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer Hvilke a Élende udtryk er li hinanden? ln ln Har du husket relen ln a b ln a ln b? ln 4 Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 6 0 Karsten Juul

39 Ävelse 7 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer 4 e 5 5 Svaret er IKKE 4 5e 0 e brue den lane rmel ra ramme 7 4 ln 5, r da der stçr "ane" mellem de t -udtryk, sç skal du Ävelse 7 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer e Ävelse 7 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer Hvilke a udtrykkene er li hinanden? Har du husket relen a m n mn a a? Ävelse 74 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer Hvilke a udtrykkene er li hinanden? Har du rettet di eter den advarsel der stçr nederst i ramme 7? Har du husket relen a a m n mn a? Ävelse 75 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer NÇr ln er Ävelse 76 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer NÇr e er Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 7 0 Karsten Juul

40 Ävelse 8 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer NÇr sç w w y w er w er indre unktin er ydre unktin NÇr w w er w indehlder, sç w er IKKE indre unktin r Fr hver a Élende unktiner skal du enten: skrive den indre unktin den ydre unktin eller: skrive at der ikke er en indre unktin se rklarinen til venr h ln 4 4 ln h 4 9 h 5 h ln 00 h e 6 h e Ävelse 9 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer 4 e Indre unktin: Ydre unktin: w y Indre unktin dierentieret: Ydre unktin dierentieret: w y Ävelse 9 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer Dierentier unktinerne: e 4 4 ln Ävelse 9 Ävelserne 6-9 skal du låse uden at brue lmmerener eller cmputer Dierentier unktinerne: h ln4 Ävelser til "Dierentialrenin r ymnasiet h Udave " Side 8 0 Karsten Juul