Eksamen i Lineær Algebra

Transkript

1 To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den 7. februar, 206. Kl Nærværende eksamenssæt består af 9 nummererede sider med ialt 5 opgaver. Tilladte hjælpemidler: Der må gøres brug af bøger, noter mv. Der må ikke benyttes elektroniske hjælpemidler. Eksamenssættet har to uafhængige dele. Del I indeholder essay-opgaver. I forbindelse med del I er det vigtigt at du forklarer tankegangen bag opgavebesvarelsen, og at du medtager mellemregninger i passende omfang. Del II indeholder multiple choice opgaver. Del II skal afkrydses i nærværende opgavesæt. Husk at skrive dit fulde navn og studienummer på hver side af besvarelsen. Nummerer siderne, og skriv antallet af afleverede ark på. side af besvarelsen. NAVN: STUDIENUMMMER: Aalborg HOLD (v. Lisbeth Fajstrup) Aalborg HOLD 2 (v. Jacob Broe) HOLDNUMMER: Aalborg HOLD 3 (v. Nikolaj Hess-Nielsen) Aalborg Robotics (v. Diego Ruano) AAU-Cph, Dansk hold (v. Iver Ottosen) AAU-Cph, Engelsk hold (v. Bedia Møller) Side af 9

2 Del I ( Essay-opgaver ) Opgave (0%). Lad Find en basis for søjlerummet hørende til A. 2. Find en basis for nulrummet hørende til A. 3. Find en basis for rækkerummet hørende til A. Opgave 2 (0%). Lad [ 2 2 ].. Find egenværdierne for A. 2. Find en basis for hvert af de tilhørende egenrum. 3. Afgør, om A er diagonaliserbar. Find i så fald matricer P og D, så D er diagonal, P er invertibel (regulær) og PDP. Side 2 af 9

3 Del II ( multiple choice opgaver) Opgave 3 (5%) Lad R være den reducerede trappeform af matricen [ ] Bestem værdien af R 3 : Opgave 4 (0%). Betragt matricen Afkryds samtlige sande udsagn nedenfor (bemærk: hver forkert afkrydsning ophæver én rigtig afkrydsning): A er inverterbar (regulær). Den lineære transformation T(x) = Ax, x R 5, er surjektiv (engelsk: onto). A er på række-echelonform (trappeform). nullity. rank 4. nullity A + rank 5. Tallet 2 er egenværdi for A. A kan diagonaliseres. Der findes et x R 5 med x = 0, således at Ax = 0. det 24. Side 3 af 9

4 Opgave 5 (7%) Der er givet to 4 4-matricer A og B. Det oplyses, at det 3 og det B = 2. Besvar nedenstående spørgsmål baseret på disse oplysninger: a. Rangen af matricen AB er b. Værdien af det(ab 2 ) er c. Værdien af det(b AB) er Opgave 6 (8%). Lad A og B være n n inverterbare (regulære) matricer. Lad I n være identitetsmatricen (enhedsmatricen) af størrelse n n. Besvar følgende 4 sand/falsk opgaver: a. Der gælder, at det(ab) = 0. b. Der gælder, at ((AB) ) = (A ) (B ). c. Der gælder, at A B (AB) = I n. d. Der gælder, at B(AB) = A. Side 4 af 9

5 Opgave 7 (5%) Lad [ ], B = Lad T A benævne den lineære transformation T A (x) = Ax frembragt af A, og lad tilsvarende T B og T BA benævne de lineære transformationer frembragt af henholdsvis B og BA. Besvar følgende tre sand/falsk opgaver: a. Der gælder, at T A : R 2 R 2. b. Der gælder, at T B : R 4 R 2. c. Der gælder, at T BA : R 2 R 4. Opgave 8 (5%) Betragt matricen C givet ved Determinanten af C er lig C = /3 Side 5 af 9

6 Opgave 9 (5%) Lad og b = 7 7 Besvar følgende 2 sand/falsk opgaver: i. Vektoren b ligger i Col A. ii. Vektoren b ligger i Null A. Opgave 0 (5%) Følgende basis b = 0 0, b 2 = er givet for R 3. Lad B = {b, b 2, b 3 }. Besvar følgende 3 spørgsmål: i. Der gælder, at b og b 2 er ortogonale. 0 og b 3 = ii. Der gælder, at b 2 og b 3 er ortogonale. iii. B er en orthonormal basis for R 3. Side 6 af 9

7 Opgave (8%) Det oplyses, at matricen er række-ækvivalent med B = Besvar følgende fire spørgsmål om A: a. Rangen af A er: b. Givet b R 6, så har ligningsystemet Ax = b altid en løsning. c. nullity A er: d. Den lineære transformation T(x) = Ax, x R 4, er injektiv (engelsk: oneto-one). Side 7 af 9

8 Opgave 2 (5%) Betragt ligningssystemet x + 2x 2 + x 3 = 2x 3x 2 + x 3 = 2 3x + 5x 2 = Netop ét af følgende udsagn om dette ligningssystem er korrekt. Marker det korrekte udsagn: Ligningssystemet har ingen løsninger Ligningssystemet har uendelig mange løsninger Ligningssystemet har en entydig bestemt løsning Ingen af ovenstående svar er korrekte. Opgave 3 (5%) Lad a R og betragt matricen a a 0 a a 0 0 a Hvilke af følgende udsagn er korrekte (bemærk: hver forkert afkrydsning ophæver én rigtig afkrydsning): Værdien af a kan vælges således at søjlerne i A er lineært uafhængige. Søjlerne i A er lineært afhængige uanset værdien af a. A er inverterbar (regulær) for a 0. det(a) 0. Side 8 af 9

9 Opgave 4 (7%) Det maksimale antal af lineært uafhængige egenvektorer for matricen er 3 4 Opgave 5 (5%) Betragt matricerne A og B givet ved , B = Besvar følgende to spørgsmål om matrixprodukerne AB og BA. a. Værdien af indgang (2, 3) i AB, dvs. (AB) 23, er lig b. Værdien af indgang (2, 3) i BA, dvs. (BA) 23, er lig Side 9 af 9