Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala. Typer af statistiske test:"

Transkript

1 Statistik for biologer 005-6, modul 7: Tests for forskel i cetral tedes for data på ordial- og itervalskala M7, slide M7, slide Typer af statistiske test: Parametrisk statistik: - Tester for forskel i µ (eller σ) - Baseret på t- og F-fordeligere - Forudsætter data på iterval/ratioskala - Forudsætter ormalfordelte geemsit. - Forudsætter variashomogeitet Statistik baseret på ragtal - Tester for forskel i media - Forudsætter data på midst ordialskala med (omtret) samme uderliggede fordelig Statistik af frekvesdata - Forudsætter ku omialskala

2 Betigelser for parametriske tests Observatioere skal være uafhægige Data på midst itervalskala Geemsittee skal være ormalfordelte. M7, slide 3 Hvis der er mere ed é stikprøve, skal de to stikprøvers uderliggede fordeliger have de samme varias (testes med F- test) Ikke-parametriske tests af forskel i cetral tedes Vægter forskel i media ved hjælp af ragtal Data skal være på midst ordialskal De forskellige stikprøver skal have (omtret) samme uderliggede ui-modale fordelig omkrig de cetrale tedes. M7, slide 4

3 Hvad er det der testes for? Tests af fordeligers cetrale tedes Parametriske tests: µ ( ) Ikke-parametriske tests: media Tests af fordeligers forløb/spredig M7, slide 5 Parametriske tests: σ (s ) ( F-testet ) Ikke-parametriske tests: D ma = største forskel mellem de kummulerede hyppighedsfordeliger Test af fordeligers forløb Kolmogorov-Smirov test (ikke pesum) f() Vægter de største relative forskel mellem de kummulerede hyppighedsfordeliger D ma kumm P() 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 M7, slide 6 3

4 Test for variashomogeitet Forudsætig for parametriske tests af µ H 0 : De to stikprøver har es varias (σ =σ =σ ). H : De to stikprøver har forskellig varias (σ σ ). F = ν ν S S ma mi ν = atal frihedsgrader for S ma og ν = atal frihedsgrader for S mi. (Appedi 8 i FCJ 998) M7, slide 7 Tests for forskelle i cetral tedes Atal stikprøver Parametriske Ikkeparametriske (uafhægige obs) (afhægige obs) K (uafhægige obs) K (afhægige obs) T-test for forskel i teoretisk middelværdi Studet s t-test t-test for afhægige stikprøver (-way ANOVA) (-way ANOVA) (Sig-testet) χ -sample test Ma-Whitey U-test Wilcoo test (Sig-testet) Kruskall-Wallis test (Friedma s test) M7, slide 8 Tests agivet i paretes er ikke pesum! 4

5 t-test for teoretisk middelværdi. Tester om e stikprøves geemsit afviger sigifikat fra e teoretisk middelværdi (µ). µ µ tν = = s SE( ) v = Sadsylighedsfordelige for de værdier geemsittee vil atage, hvis = µ og SE( ) agiver spredige af geemsittee: f() s() = stadardafvigelse på ekeltobservatioere værdi af ekeltobservatioer s( )=SE ( ) = stadardafvigelse af geemsittee Sadsylighede for at H 0 er sad, svarer til det areal af t-fordelige, som ligger lægere borte fra geemsittet ed de hypoteteiske µ (oe-tailed hypotese) eller til dette areal (two-tailed hypotese). M7, slide 9 (oe-sample t-test) µ (hypotetisk værdi) Eksempel: Overstiger kviksølvsidholdet i fisk græseværdie på ppm? X=.45, s =0.34, =40 SE( X)=(0.34/40) ½ = H 0 : µ ppm, H : µ> ppm (NB! oe-tailed), α=5% µ tν = = s v = µ SE ( ).45 t 39 = = SE ( ) = Appedi : 0.0>p> H 0 forkastes H accepteres: Græseværdie på ppm er overskredet M7, slide 0 (oe-sample t-test) µ.45 5

6 Mere ed stikprøve: Hvorda tester vi om e forskel er reel? - F.eks. Effekt af daglægde på kocetratio af stess-homo i mus X afhæger af: - Effekt af behadlig sigal -Variatio ml. idivider støj - Variatio mellem måliger støj M7, slide Udsat for behadlig ( timer dagslys) Udsat for behadlig (4 timer dagslys) Uafhægige stikprøver: Udersøger forskelle I respos mellem forskellige grupper af uafhægige observatioer X afhæger af: - Effekt af behadlig sigal -Variatio ml. idivider støj - Variatio mellem måliger støj M7, slide Udsat for behadlig ( timer dagslys) Udsat for behadlig (4 timer dagslys) 6

7 Afhægige stikprøver: Udersøger forskelle i respos ide for de samme observatiosehed X afhæger af: - Effekt af behadlig sigal -Variatio ml. idivider støj - Variatio mellem måliger støj M7, slide 3 Udsat for behadlig ( timer dagslys) Udsat for behadlig (4 timer dagslys) Uafhægige stikprøver Testee vægter forskel i stikprøveres cetrale tedes i forhold til fordeligeres spredig Afhægige stikprøver Testee baseret på værdier af differecer mellem koblede observatioer Stikprøve Stikprøve Behadlig Behadlig Differece = D = D = D 3 = D Media Media 0 D D M7, slide 4 D 7

8 Tests for uafhægige stikprøver t-test for uafhægige stikprøver (Studet s t-test) Agiver sadsylighede for at to stikprøvers geemsit repræseterer de samme middelværdi: H 0 : De to stikprøver har de samme middelværdi (µ =µ =µ). H : De to stikprøver har ikke de samme middelværdi (µ µ ). Betigelser, som skal være opfyldte: Uafhægige observatioer og data på midst itervalskala: De to fordeligeres geemsit skal være ormalfordelte De to stikprøvers fordeliger skal have de samme varias (σ =σ =σ ) M7, slide 5 (Studet s t-test) 8

9 9 t-test for uafhægige stikprøver (Studet s t-test) Usikkerhede omkrig e differece: = ) ( ) ( ).(. s s E S ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( SE t SE t = = ν ν µ µ ) ( ; ) ( ) ( ) ( + = = s s t ν ν M7, slide 6 (Studet s t-test) Eksempel: kropslægde hos atugler M7, slide 7 (Studet s t-test)

10 Eksempel: kropslægde hos atugler H 0 : og er lige lage H : og er ikke lige lage α=5% s haer huer Huer 0 8 Haer f() 4 f() Kropslægde (mm) kropslægde (mm) M7, slide 8 (Studet s t-test) t-test for uafhægige stikprøver: s haer huer Test for variashomogeitet: H 0 : σ =σ =σ ; H : σ σ ; α=5% (Hvis H 0 forkastes, må data ete trasformeres [om muligt] eller e ikke-parametrisk test vælges i stedet) S 79. F ν ν = F 3,8 = = S ma mi Appedi 8, kritiske værdier: F 30,8 =.44, F 40,8 =.38: Iterpolatio: F 3,8 =.44+( ) ([40-3]/[40-30]) =.38 + (-0.06) (9/0) =.43 P>0.05 H 0 accepteres: De to stikprøvers varias ka betragtes som es: Betigelser for t-testet er overholdt. M7, slide 9 (Studet s t-test) 0

11 t-test for uafhægige stikprøver: s haer huer t ν t 49 ( ) = ;( ν = + ) ( ) s + ( ) s + + = ( ) = 3.56 (9 )3.7 + (3 ) Appedi : p<0.0 H 0 forkastes H accepteres: Der er forskel i kropslægde på haer og huer: huer er lægere ed haer M7, slide 0 (Studet s t-test) Ma-Whitey s U-test Agiver sadsylighede for at uafhægige stikprøver har samme mediaværdi. Data skal være på midst ordialskala Fordeligere skal være uimodale De ekelte observatioer skal være idbyrdes uafhægige M7, slide (Ma-Whitey s U-test)

12 Ma-Whitey s U-test Beregigsprocedure /: ) Erstat værdier med ragtal (de laveste værdier tildeles de laveste ragtal). Ved sammefaldede værdier (ties), tildeles de sammefaldede værdier det geemsitlige ragtal for gruppe ) Summér ragtallee for hver stikprøve (kaldes R og R ) 3) Bereg teststørrelsere U og U :. U ( + ) = ( + ) + R = + R M7, slide (Ma-Whitey s U-test) U Ma-Whitey s U-test Beregigsprocedure /: 4) U fides som de midste af U og U. 5) Hvis eller er midre ed 0, fider ma om de fude værdi af U er lavere ed de tabulerede værdi, som vil føre til forkastelse af H 0. De observerede værdi af U skal være lavere ed tabelværdie for at føre til forkastelse af H 0. 6) Hvis eller er større ed 0, approimeres z (opslag i appedi ): U z = ( + +. M7, slide 3 (Ma-Whitey s U-test) )

13 Eksempel: Bytteudyttelse hos losser: Udyttelse: 0% 0% 5% 75% 00% M7, slide 4 (Ma-Whitey s U-test) H 0 : og m. afkom udytter edlagte byttedyr lige itesivt. H : og m. afkom udytter ikke edlagte byttedyr lige itesivt. (Two-tailed), α=0.05 Udyttelse: m. uger 0% 4 5 5% 3 75% % 8 0 I alt: 8 8 To stikprøver, data på ordialskala, uafhægige observatioer: Ma-Whitey s U-test M7, slide 5 (Ma-Whitey s U-test) 3

14 Ma-Whitey s U-test Udyttelse: f() F() ragtal 0% % 3 4 3,5 75% % ,5 : : + : I alt: Ragtal (rt) ved ties: rt() = F(-)+[+f()]/ rt(5%) = 9 + [ + 4]/ = =.5 M7, slide 6 (Ma-Whitey s U-test) Ma-Whitey s U-test ragsum: Udyttelse: f() F() ragtal 0% % 3 4 3,5,5 34,5 75% % , : : + : R : R : I alt: ,5 59,5 Check for korrekt rakig: R +R = ½( + ) (+ + ) =½ = 666 OK! M7, slide 7 (Ma-Whitey s U-test) 4

15 Ma-Whitey s U-test ragsum: Udyttelse: f() F() ragtal 0% % 3 4 3,5,5 34,5 75% % , : : + : R : R : I alt: ,5 59,5 U = ( )+ ½ (+ ) R : = 00.5 U = ( )+ ½ (+ ) R : = = 3.5 Check for korrekt bereget U: U +U = : =8 8 4=4 OK! M7, slide 8 (Ma-Whitey s U-test) Ma-Whitey s U-test U = 3.5, =8, =8 Da >0, ka vi ikke beytte appedi til gegæld ka vi approimere z- fordelige: 8 8 U 3.5 = z z = = ( + + ) 8 8(8+ 8+ ) appedi : P<0.0 H 0 forkastes H accepteres: og m. afkom udytter ikke edlagte byttedyr lige itesivt: spiser midre af deres edlagte bytte ed med afkom. M7, slide 9 (Ma-Whitey s U-test) 5

16 K uafhægige stikprøver Kruskall-Wallis test Sammeliger mediaværdiere for mere ed uafhægige stikprøver Data skal være på midst ordialskala De k stikprøver skal have (omtret) de samme uimodale fordeligstype M7, slide 30 (Kruskall-Wallis test) Kruskall-Wallis test:fremgagsmåde. Erstat de observerede værdier med ragtal (laveste værdi får det laveste ragtal osv.). Summér ragtallee for hver stikprøve (= R i for de i te stikprøve) 3. Bereg teststørrelse K = k Ri K N( N + ) i= i 3( N + ) 4. Da K ν χ ν (ν = k-) fides p ved opslag i appedi 3. M7, slide 3 (Kruskall-Wallis test) 6

17 Eksempel: Koditio hos trafikdræbte atugler M7, slide 3 (Kruskall-Wallis test) Koditio-score: ) Meget mager: ige uderhudsfedt overhovedet ) Mager: små rade af uderhudsfedt her og der 3) Ikke mager: små fedtpartier rudt omkrig 4) God stad: store tykke fedtpartier 5) Fed: tykt fedtlag over hele kroppe 6) Meget fed: marcipagris Eksempel: Koditio hos atugler KONDITION mar-maj jui-aug sep-ov dec-feb meget mager mager 5 3 ikke mager 5 god stad 6 3 fed meget fed i = % 80% 60% 40% 0% 0% mar-maj jui-aug sep-ov dec-feb M7, slide 33 (Kruskall-Wallis test) meget fed fed god stad ikke mager mager meget mager 7

18 Eksempel: Koditio hos atugler KONDITION mar-maj jui-aug sep-ov dec-feb meget mager mager 5 3 ikke mager 5 god stad 6 3 fed meget fed i = 0 5 H 0 : koditioe hos atugler er de samme hele året. H : koditioe hos atugler varierer i løbet af året. α= uafhægige stikprøver og data på ordialskala: Kruskall-Wallis test M7, slide 34 (Kruskall-Wallis test) Kruskall-Wallis test: KONDITION mar-maj jui-aug sep-ov dec-feb rakig: X A B C D f() F() ragtal meget mager mager ,5 ikke mager ,5 god stad ,5 fed meget fed ,5 3 4 N: i = ) Beregig af ragtal: Ragtal (rt) ved ties: rt() = F(-)+[+f()]/ rt(mager) = 5 + / = 0.5 M7, slide 35 (Kruskall-Wallis test) 8

19 Kruskall-Wallis test: KONDITION Stikprøve rakig: Sum af ragtal: X A B C D f() F() ragtal A B C D meget mager mager ,5 0,5 5,5 3,5 0,5 ikke mager ,5 5, god stad ,5 83 4, fed meget fed , , N: R R R 3 R 4 i = ) Summatio af ragtal: Kotrol for korrekt rakig: ΣRi=½ N(N+) = ½ = 346 OK! M7, slide 36 (Kruskall-Wallis test) Kruskall-Wallis test: KONDITION Stikprøve rakig: Sum af ragtal: X A B C D f() F() ragtal A B C D meget mager mager ,5 0,5 5,5 3,5 0,5 ikke mager ,5 5, god stad ,5 83 4, fed meget fed , , N: R R R 3 R 4 i = ) Beregig af K: K = k Ri N( N + ) i= i 3( N + ) M7, slide 37 (Kruskall-Wallis test) 9

20 Kruskall-Wallis test: k i= R i = i mar-maj jui-aug sep-ov dec-feb A B C D i 0 5 R i ,5 7,5 R i / i 050, ,05 38, ,5 = k Ri K N( N + ) i= i K = (68 + ) = M7, slide 38 (Kruskall-Wallis test) 3( N + ) df = k df = 3 Kruskall-Wallis test: K= 5.56, df=3: Appedi 3: p<0.0 H 0 forkastes, H accepteres: koditioe hos atugler varierer i løbet af året. (uglere er fedest om vitere og magrest om sommere) M7, slide 39 (Kruskall-Wallis test) 0

21 Tests for afhægige stikprøver 0 D = D = D 3 3 = D 3 = D D M7, slide 40 (Tests for afhægige stikprøver) t-test for afhægige prøver Tester om geemsittet af differecere mellem parrede observatioer er forskellig fra 0. H 0 : Middelværdi af differece = µ -µ = 0 0 D t ν t ν d ( µ µ = ) SE( d ) Samlet formel: = d i d i t = ν ( d i ) d SE(d ) ν= -; = atal observatiospar) M7, slide 4 (t-tests for afhægige stikprøver) d = i i i d = SE s ( d ) ( d ) = d i s ( d ) ( ) d i d i = D

22 t-test for afhægige prøver Tester om geemsittet af differecere mellem parrede observatioer er forskellig fra 0. H 0 : Middelværdi af differece = µ -µ = 0 0 D t Samlet formel: ν = d i d i t = ν ( d i ) d SE(d ) d = i i i Forudsætiger: Data på midst itervalskala Observatios-parree skal være idbyrdes uafhægige De geemsitlige differece ( d) skal være ormalfordelt* (*d i behøver ikke at være ormalfordelt!) ν= -; = atal observatiospar) M7, slide 4 (t-tests for afhægige stikprøver) D Eksempel: Effekt af opvækstvilkår for kropshøjde par af eæggede tvilliger (alle kvider) bortadopteret som spæde til forskellige familier uder heholdsvist gode og midre gode sociale kår. Som vokse måles deres kropshøjde. H 0 : Social baggrud har ige betydig for kropshøjde H : Social baggrud har betydig for kropshøjde α=5% M7, slide 43 (t-tests for afhægige stikprøver)

23 Eksempel: Effekt af opvækstvilkår for kropshøjde Kropshøjde (cm) par r. Gode Dårlige 7,9 67,5 59,4 55,3 3 7,3 68,7 4 63, 60,4 5 69,8 67,0 6 7,3 73, 7 7,8 68,5 8 67,4 66,6 9 78,5 78,6 0 80,4 76,6 6,5 6,4 64,7 6,8 gst.= 69,5 67, Σ = Opvokset uder dårlige sociale kår (cm) Hvis e del af de samlede variatio ka forklares ud fra e koblig (afhægighed) mellem de parrede observatioer, vil dette give sig udslag i e positiv sammehæg år talparree plottes mod hiade. -Der vil være e systematisk forskel på de parrede observatioer, hvis hovedparte af observatioere ligger ete over eller uder liie =y Opvokset uder gode sociale kår (cm) M7, slide 44 (t-tests for afhægige stikprøver) Eksempel: Effekt af opvækstvilkår for kropshøjde Kropshøjde (cm) par r. Gode Dårlige d d 7,9 67,5 4,4 9,36 59,4 55,3 4, 6,8 3 7,3 68,7 3,6, , 60,4,7 7,9 5 69,8 67,0,8 7,84 6 7,3 73, -0,8 0,64 7 7,8 68,5 3,3 0, ,4 66,6 0,8 0, ,5 78,6-0, 0,0 0 80,4 76,6 3,8 4,44 6,5 6,4,, 64,7 6,8,9 3,6 gst.= 69,5 67, Σ = 7,6 95,7 M7, slide 45 (t-tests for afhægige stikprøver) t ν = d i d i ( d i ) 7.6 t = = Appedi : p<0.0 H 0 forkastes H accepteres: Kropshøjde er afhægig af sociale kår: kvider opvokset uder gode sociale kår er højere ed kvider fra dårlige kår. 3

24 Wilcoo s test Vægter forskel i media mellem parrede observatioer Forskellee ide for parree skal være kvatisérbare (midst på ordet metrisk skala) Forskellee mellem parree skal være kvatifiserbare (midst på ordet metrisk skala) Uderliggede fordelig skal være kotiuert De to stikprøver skal have de samme uderliggede fordeligstype M7, slide 46 (Wilcoo s test) Procedure for Wilcoo s test ) Udreg differece for hvert talpar (d= - ) ) Erstat de umeriske værdier af d med ragtal 3) Markér ragtal for egative differecer med og for positive med + 4) Summér de positive og egative ragtal hver for sig til hv. R + og R - 5) Brug teststørrelse T (= mi[r +,R -] ) til opslag i appedi 7, hvis <34. 6) Hvis >33 ka z-fordelige approimeres: M7, slide 47 (Wilcoo s test) z = ( + ) / 4 T ( + )( + ) / 4 4

25 Eksempel: effekt af atiprædatoradfærd for fødeidtagelse hos musvitter Forsøgdesig: X = atal besøg ved foderautomat kl >0 dage i voliere: tilvæig, ige forstyrrelse Dag : besøgsrate oteres kl Dag : ekspoerig af flyvede spurvehøgattrap kl 9 5 og 9 45 (stor rædsel) Dag 3: besøgsrate oteres kl H 0 : der er ige forskel i besøgsrate ved foderautomat på dag og dag 3 H : der er forskel i besøgsrate ved foderautomat på dag og dag 3 (Two-tailed), α=0.05 M7, slide 48 (Wilcoo s test) Eksempel: effekt af atiprædator-adfærd For fødeidtagelse hos musvitter Besøg/time Mejse # dag dag (liie defiteret ved =y) Afhægige data på ratioskala, me ormalfordelte differecer ka ikke tages for givet. For at være sikre vælger vi derfor Wilcoo s test M7, slide 49 (Wilcoo s test) besøgsrate dag besøgsrate dag 5

26 Wilcoo s test: Besøg/time Mejse # dag dag 3 d Id I ) Bereg differece, d M7, slide 50 (Wilcoo s test) Wilcoo s test: Besøg/time ragtal Mejse # dag dag 3 d Id I rt rt+ rt ) Bereg ragtal (rt) og summér op til R + og R -. M7, slide 5 (Wilcoo s test) R+ R =T =mi(r+,r-) 6

27 Wilcoo s test: T = 0,5 N= Appedi 7: 0.0<p<0.05 H 0 forkastes; H accepteres: Der er forskel i besøgsrate ved foderautomat på dag og dag 3 (musvittere reducerer deres besøgsrate efter besøg af spurvehøg) M7, slide 5 (Wilcoo s test) Sig test (svagere alterativ): Besøg/time Mejse # dag dag 3 d Id I positive og egativ differecer M7, slide 53 (sig [biomial-] test) 7

28 Sig test (svagere alterativ): H 0 : p=q=0.5, H : p q Observeret: : Forvetet: 6:6 k! P( ) = p!( k )! ( p) ( k ) k- P() Σ P() P(two-tailed) = 0.003= I dette tilfælde gav sig-testet faktisk e lavere p-værdi ed Wilcoo s test. Dette skyldes at de ee egative differece, som eksisterede havde e relativ høj umerisk værdi. Er betigelsere for Wilcoo s test opfyldte, vil dette test oftere resultere i e lavere p-værdi ed sig-testet. 0 0,000 0,000 0,009 0, ,06 0, ,0537 0, ,08 0, ,934 0, ,56 0, ,934 0, ,08 0, ,0537 0, ,06 0,9968 0,009 0, ,000,0000 M7, slide 54 (sig [biomial-] test) 8

Ikke-parametriske tests af forskel i central tendens. Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala

Ikke-parametriske tests af forskel i central tendens. Tests for forskel i central tendens for data på ordinal- og intervalskala Statstk for bologer 5-6, moul 7: Tests for forskel cetral tees for ata på oral- og tervalskala Ikke-parametrske tests af forskel cetral tees Vægter forskel mea ve hjælp af ragtal Data skal være på mst

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik.

24. januar Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 1 Uge 1, tirsdag. Niels Trolle Andersen, Afdelingen for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig Uge, tirsdag. Niels Trolle Aderse, Afdelige for Biostatistik. Geerelt om kurset: - Formål - Forelæsiger - Øvelser - Forelæsigsoter - Bøger - EpiBasic: http://www.biostat.au.dk/teachig/software

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ )

13. februar Resumé: En statistisk analyse resulterer ofte i : Et estimat ˆ θ med en tilhørende se( ˆ θ ) 3. februar 003 Epidemiologi og biostatistik. Uge, torag d. 3. februar 003 Morte Frydeberg, Istitut for Biostatistik. Type og type fejl Nogle specielle metoder: Test i RxC tabeller Test i x tabeller Fishers

Læs mere

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion

Statistik 8. gang 1 KONFIDENSINTERVALLER. Konfidensintervaller: kapitel 11. Valg og test af fordelingsfunktion Statistik 8. gag 1 KONIDENSINTERVALLER Kofidesitervaller: kapitel 11 Valg og test af fordeligsfuktio Statistik 8. gag 11. KONIDENS INTERVALLER Et kofides iterval udtrykker itervallet hvori de rigtige værdi

Læs mere

Generelle lineære modeller

Generelle lineære modeller Geerelle lieære modeller Regressiosmodeller med é uafhægig itervalskala variabel: Y e eller flere uafhægige variable: X,..,X k De betigede fordelig af Y givet X,..,X k atages at være ormal med e middelværdi,

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

30. august Epidemiologi og biostatistik. Forelæsning 3 Uge 2, torsdag d. 8. september 2005 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. 30. august 005 Epidemiologi og biostatistik. Forelæsig 3 Uge, torag d. 8. september 005 Michael Væth, Afdelig for Biostatistik. Mere om kategoriske data Test for uafhægighed I RxC tabeller Test for uafhægighed

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003

Uge 40 I Teoretisk Statistik, 30. september 2003 Uge 40 Teoretis tatisti, 30. september 003 Esidet variasaalyse Model, otatio, hypotese og hælpehypotese Test af hælpehypotese Opdaterig af variasestimat Test af hypotese om es middelværdier Variasaalysesema

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger

Program. Ensidet variansanalyse Normalfordelingen. Antibiotika og nedbrydning af organisk materiale. Tegninger Faculty of Life Scieces Program Esidet variasaalyse Normalfordelige Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Esidet variasaalyse (oe-way ANOVA) Hvilke type data? Hvad er problemstillige? Variatio mellem

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset.

Spørgsmål 3 (5 %) Bestem sandsynligheden for at et tilfældigt valgt vindue har en fejl ved listerne, når man ved at der er fejl i glasset. STATISTIK Skriftlig evaluerig, 3. semester, madag de 30. auar 006 kl. 9.00-3.00. Alle hælpemidler er tilladt. Opgaveløsige forsyes med av og CPR-r. OPGAVE Ved e produktio af viduer er der mulighed for,

Læs mere

Sammenligning af to grupper

Sammenligning af to grupper Sammeligig af to gruer Reetitio, heruder om kritiske værdier Sammeligig af to gruer Sammeligig af to middelværdier Sammeligig af to adele Sammeligig af to variaser yoteser og hyotesetest. E hyotese er

Læs mere

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside :

Statistiske test. Efteråret 2010 Jens Friis, AAU. Hjemmeside : Statistiske test Efteråret 00 Jes Friis, AAU Hjemmeside : http://akaaudk/jfj Kotiuerte fordeliger Defiitio: Tæthedsfuktio E sadsylighedstæthedsfuktio på R er e itegrabel fuktio f : R [0; [ hvor f d = Defiitio:

Læs mere

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff

Oversigt. Kursus 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 12: Inferens for andele. Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff Kursus 02402/02323 Itroducerede Statistik Forelæsig 12: Iferes for adele Klaus K. Aderse og Per Bruu Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataaalyse Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail:

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter

Estimation ved momentmetoden. Estimation af middelværdiparameter Statistik og Sadsylighedsregig 1 STAT kapitel 4.2 4.3 Susae Ditlevse Istitut for Matematiske Fag Email: susae@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susae Estimatio ved mometmetode Idimellem ka det være svært (eller

Læs mere

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol

Simpel Lineær Regression. Opsplitning af variationen Determinations koefficient Variansanalyse F-test Model-kontrol Simpel Lieær Regressio Opsplitig af variatioe Determiatios koefficiet Variasaalse F-test Model-kotrol Opbgig af statistisk model Specificer model Ligiger og atagelser Estimer parametre Modelkotrol Er modelle

Læs mere

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning)

Dagens program. Estimation: Kapitel Eksempler på middelrette og/eller konsistente estimator (de sidste fra sidste forelæsning) Dages program Estimatio: Kapitel 9.4-9.7 Eksempler på middelrette og/eller kosistete estimator (de sidste fra sidste forelæsig) Ko desiterval for store datasæt kap. 9.4 Ko desiterval for små datasæt kap.

Læs mere

Opsamling. Lidt om det hele..!

Opsamling. Lidt om det hele..! Opsamlig Lidt om det hele..! Kursus oversigt Hvad har vi været igeem: Deskriptiv statistik Sadsyligheder Stokastiske variable diskrete og kotiuerte Fordeliger Estimatio Test Iferes Sammeligig af middelværdier

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Hypotesetest. Hypotesetest og kritiske værdier Type 1 og Type 2 fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Hypoteetet Hypoteetet og kritike værdier Type og Type fejl Styrke af e tet Sammeligig af to populatioer Kofideiterval for σ tore tikprøver. Hvi X følger e χ -fordelig med frihedgrader, dv. X~χ (), gælder

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger

Program. Populationer og stikprøver. Praktiske oplysninger. Eksempel vaccine mod miltbrand hos får. Praktiske oplysninger Faculty of Life Scieces Program Populatioer og stikprøver Claus Ekstrøm E-mail: ekstrom@life.ku.dk Praktiske oplysiger Populatioer og stikprøver Data Datatyper Visualiserig Cetrum og spredig af e fordelig

Læs mere

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable

Diskrete og kontinuerte stokastiske variable Diskrete og kotiuerte stokastiske variable Beroulli Biomial fordelig Negativ biomial fordelig Hypergeometrisk fordelig Poisso fordelig Kotiuerte stokastiske variable Uiform fordelig Ekspoetial fordelig

Læs mere

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik

Teoretisk Statistik, 9. februar Beskrivende statistik Uge 7 I Teoretisk Statistik, 9 februar 004 Beskrivede statistik Kategoriserede variable 3 Kvatitative variable 4 Fraktiler for ugrupperede observatioer 5 Fraktiler for grupperede observatioer 6 Beliggeheds-

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1

Økonometri 1. Inferens i den lineære regressionsmodel 29. september Økonometri 1: F7 1 Økoometri 1 Iferes i de lieære regressiosmodel 9. september 006 Økoometri 1: F7 1 Dages program Opsamlig af hemmeopgave om Mote Carlo eksperimeter Mere om hypotesetest: Ekelt lieær restriktio på koefficieter

Læs mere

Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme

Oversigt. 1 Fordelingen for gennemsnittet t-fordelingen. 3 Den statistiske sprogbrug og formelle ramme Itroduktio til Statistik Forelæsig 4: Kofidesiterval for middelværdi (og spredig) Peder Bacher DTU Compute, Dyamiske Systemer Bygig 303B, Rum 009 Damarks Tekiske Uiversitet 2800 Lygby Damark e-mail: pbac@dtu.dk

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Konfidens intervaller

Konfidens intervaller Kofides itervaller Kofides itervaller for: Kofides iterval for middelværdi, varias kedt Kofides iterval for middelværdi, varias ukedt Kofides iterval for adel Kofides iterval for varias Bestemmelse af

Læs mere

Skitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra

Skitse til notat om hvor de forskellige sandsynlighedsfordelinger kan tænkes at komme fra E6 efterår 1999 Notat 8 Jørge Larse 12. oktober 1999 Skitse til otat om hvor de forskellige sadsylighedsfordeliger ka tækes at komme fra I statistik opererer ma i vid udstrækig med et lille atal»stadardfordeliger«.

Læs mere

Program. Sammenligning af to stikprøver Ikke-parametriske metoder Opsummering. Test for ens spredninger

Program. Sammenligning af to stikprøver Ikke-parametriske metoder Opsummering. Test for ens spredninger Program Sammenligning af to stikprøver Ikke-parametriske metoder Opsummering Helle Sørensen E-mail: helle@math.ku.dk I formiddag: Analyse af ikke-parrede stikprøver: repetition of rettelse af fejl! Lidt

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable

Indholdsfortegnelse Generelt Diskrete stokastiske variable: Kontinuerte stokastiske variable: Regneregler for stokastiske variable Idholdsfortegelse Geerelt:...3 Stokastisk variabel:...3 Tæthedsfuktio/sadsylighedsfuktio for stokastisk variabel:...3 Fordeligsfuktio/sumfuktio for stokastisk variabel:...3 Middelværdi:...4 Geemsit:...4

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit

Program. Statistisk inferens En enkelt stikprøve og lineær regression Stat. modeller, estimation og konfidensintervaller. Fordeling af gennemsnit Faculty of Life Sciece Program Statitik ifere E ekelt tikprøve og lieær regreio Stat. modeller, etimatio og kofideitervaller Clau Ektrøm E-mail: ektrom@life.ku.dk Fordelig af geemit Statitik ifere for

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Statistik Lektion 8. Test for ens varians

Statistik Lektion 8. Test for ens varians Statitik Lektio 8 Tet for e varia ra tidligere Hvi populatioe er ormalfordelt med varia, å gælder ( ) S ~ χ hvor er tikprøve tørrele og S er tikprøvevariae. χ -fordelig med - frihedgrader χ Tet af Variae

Læs mere

Morten Frydenberg version dato:

Morten Frydenberg version dato: Morte Frdeberg versio dato: 4--4 Itroduktio til kurset Statistik Forelæsig Morte Frdeberg, Sektio for Biostatistik af Biostatistik dele af. semester kurset. Statistiske modeller Biomialfordelige Normalfordelige

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Statistik Lektion 20 Ikke-parametriske metoder. Repetition Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Statistik Lektion 0 Ikkeparametriske metoder Repetition KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Asymptotisk estimationsteori

Asymptotisk estimationsteori Kapitel 5 Asymptotisk estimatiosteori De fleste eksperimeter har e idbygget størrelse, som regel kaldet eller N. Dette repræseterer typisk atallet af foretage måliger, atallet af udersøgte idivider, atallet

Læs mere

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test

Ikke-parametriske metoder. Repetition Wilcoxon Signed-Rank Test Kruskal-Wallis Test Friedman Test Chi-i-anden Test Ikkeparametriske metoder Repetition Wilcoxon SignedRank Test KruskalWallis Test Friedman Test Chiianden Test Run Test Er sekvensen opstået tilfældigt? PPPKKKPPPKKKPPKKKPPP Et run er en sekvens af ens elementer,

Læs mere

Bestemmelse af vandføring i Østerå

Bestemmelse af vandføring i Østerå Bestemmelse af vadførig i Østerå Geerelt varierer vadstade og vadførige i daske vadløb over året. Normalt er vadførige lille om sommere for derpå at øge om efteråret. Om vitere ses ormalt de højeste vadføriger

Læs mere

Introduktion til Statistik

Introduktion til Statistik Itroduktio til Statistik 4. udgave Susae Ditlevse og Helle Sørese Susae Ditlevse, susae@math.ku.dk Helle Sørese, helle@math.ku.dk Istitut for Matematiske Fag Købehavs Uiversitet Uiversitetsparke 5 2100

Læs mere

Statistik 9. gang 1 REGRESSIONSANALYSE. Korrelation (kontrol af model) Regression (tilpasning af model)

Statistik 9. gang 1 REGRESSIONSANALYSE. Korrelation (kontrol af model) Regression (tilpasning af model) Statstk 9. gag REGRESSIONSANALYSE Korrelato kotrol af model Regresso tlpasg af model Statstk 9. gag KORRELATIONS ANALYSE. Grad af fælles varato mellem X og Y. Område og fordelg af sample data 3. Optræde

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet)

Bekendtgørelse om takstændringer i offentlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jernbanevirksomheder m.v. (takststigningsloftet) Oversigt (idholdsfortegelse) Bilag 1 Bilag 2 Bilag 3 De fulde tekst Bekedtgørelse om takstædriger i offetlig servicetrafik i trafikselskaber og hos jerbaevirksomheder m.v. (takststigigsloftet) I medfør

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning

Læs mere

Program. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen

Program. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Begreber og definitioner

Begreber og definitioner Begreber og defiitioer Daske husstades forbrug på de medierelaterede udgiftsposter stiger og udgør i 2012*) 11,3 % af husstadees samlede forbrug mod 5,5 % i 1994. For husstade med de laveste idkomster

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test]

Anvendt Statistik Lektion 6. Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Anvendt Statistik Lektion 6 Kontingenstabeller χ 2- test [ki-i-anden-test] Kontingenstabel Formål: Illustrere/finde sammenhænge mellem to kategoriske variable Opbygning: En celle for hver kombination af

Læs mere

Teoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering

Teoretisk Statistik, 18. november Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi hen? Proportional allokering Optimal allokering Uge 47 I Teoretisk Statistik, 8. oveber 003 Stikprøveteori: hvor er vi, og hvor skal vi he? Proportioal allokerig Optial allokerig Heruder: Saeligig af variaser og ødvedige stikprøvestørrelser for de forskellige

Læs mere

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05

Hvis α vælges meget lavt, bliver β meget stor. Typisk vælges α = 0.01 eller 0.05 Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ

Læs mere

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011)

Formelsamling til statistik-del af metodekursus, 4. semester, lægevidenskab Version 3 (26/9-2011) Formelsamlig til statistik-el af metoekursus, 4. semester, lægevieskab Versio 3 (6/9-011) Kære læser Dee formelsamlig er lavet me ugagspukt i Meical Statistics, seco eitio af Betty R. Kirkwoo og A. C.

Læs mere

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression

Logistisk Regression. Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression Repetition Fortolkning af odds Test i logistisk regression Logistisk Regression: Definitioner For en binær (0/) variabel Y antager vi P(Y)p P(Y0)-p Eksempel: Bil til arbejde vs alder

Læs mere

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser

Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Kapitel 7 Forskelle mellem centraltendenser Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 29 Indledning 1. z-test for ukorrelerede data 2. t-test for ukorrelerede data med ens

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Supplement til Kreyszig

Supplement til Kreyszig Supplemet til Kreyszig Forelæsigsoter til Matematik F Idholdsfortegelse side 1. Numerisk itegratio. Fejlvurderig af trapez og Simpso algoritmere 1. Dekompoerig af brøker (Laplace trasformatio) 3. Permutatioer

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele

Anvendt Statistik Lektion 5. Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Anvendt Statistik Lektion 5 Sammenligning af to grupper * Sammenligning af middelværdier * Sammenligning af andele Motiverende eksempel Antal minutter brugt på rengøring/madlavning: Rengøring/Madlavning

Læs mere

Obligatorisk indikator i kvalitetsrapport 2.0. klasse for folkeskoler er en obligatorisk indikator i Kvalitetsrapporten.

Obligatorisk indikator i kvalitetsrapport 2.0. klasse for folkeskoler er en obligatorisk indikator i Kvalitetsrapporten. Socioøkoomi for karakterere for res afgagsprøver Obligatori idikator i kvalitetsrapport 2.0 De socioøkoomie for geemsittet af karakterere for de bude prøver for 9. klasse for folkeoler er e obligatori

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen

Sandsynlighedsregning 9. forelæsning Bo Friis Nielsen Dages eer afsit 5.3 og 5.4 Siultae kotiuerte fordeliger P(X dx,y dy = f(x,ydxdy Sadsylighedsregig 9. forelæsig Bo Friis Nielse Mateatik og Coputer Sciece Daarks Tekiske Uiversitet 8 Kgs. Lygby Daark Eail:

Læs mere

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = )

1 Hb SS Hb Sβ Hb SC = , (s = ) PhD-kursus i Basal Biostatistik, efterår 2006 Dag 6, onsdag den 11. oktober 2006 Eksempel 9.1: Hæmoglobin-niveau og seglcellesygdom Data: Hæmoglobin-niveau (g/dl) for 41 patienter med en af tre typer seglcellesygdom.

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA)

Anvendt Statistik Lektion 9. Variansanalyse (ANOVA) Anvendt Statistik Lektion 9 Variansanalyse (ANOVA) 1 Undersøge sammenhæng Undersøge sammenhænge mellem kategoriske variable: χ 2 -test i kontingenstabeller Undersøge sammenhæng mellem kontinuerte variable:

Læs mere

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.

Tema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

Simpel Lineær Regression - repetition

Simpel Lineær Regression - repetition Smpel Leær Regresso - repetto Spørgsmål: Afhæger leært af?. Model: β + β + ε ε d N(0, σ 0 ) Sstematsk kompoet + Stokastsk kompoet Estmato - repetto Vha. Mdste Kvadraters Metode fder v regressosle hvor

Læs mere

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.

Tema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i

Læs mere

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL

Kapitel 10 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Kapitel 0 KALIBRERING AF STRØMNINGSMODEL Torbe Obel Soeborg Hydrologisk afdelig, GEUS Nøglebegreber: Kalibrerigsprotokol, observatiosdata, kalibrerigskriterier, idetificerbarhed, etydighed, parameterestimatio,

Læs mere

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese

Ensidet eller tosidet alternativ. Hypoteser. tosidet alternativ. nul hypotese testes mod en alternativ hypotese Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 6: Kapitel 7: Hypotesetest for gennemsnit (one-sample setup). 7.4-7.6 Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere