1 The Green s function integral equation method Green s funktioner Generelt Matlab opgaven... 7

Transkript

1

2 .

3 Indhold 1 The Green s function integral equation method Green s funktioner Generelt Matlab opgaven The Gaussian laser beam Introduktion Reciprok udbredelse langs z aksen Real udbredelse langs z aksen Gausisk laser The point-spread function and resolution limits Introduction Alm. Green s teori PSF Opløsnings grænser One-dimensional photonic crystals Fotoniske båndgab Matlab Two-dimensional photonic crystals D pind struktur I

4 II INDHOLD 5.2 2D krys struktur D huller i material Propagering i alle retninger Photonic crystal optical fibres Introduktion Anvendelse af 1D og 2D vidnen The plane-wave-expansion method D fotonisk krystal Linje defekt Quantum emitters 63 9 Surface plasmons Introduktion Optiske egenskaber af ædel metaller

5 Kapitel 1 The Green s function integral equation method The Green s function integral equation method. Literature: [1] Chapter Nano optics, group work 2, matlab exercise. Ifølge Wikipedia er en Green s funktion defineret som: In mathematics, a Green s function is a type of function used to solve inhomogeneous differential equations subject to specific initial conditions or boundary conditions. Under many-body theory, the term is also used in physics, specifically in quantum field theory, electrodynamics and statistical field theory, to refer to various types of correlation functions, even those that do not fit the mathematical definition. Green s functions are named after the British mathematician George Green, who first developed the concept in 1

6 2KAPITEL 1. THE GREEN S FUNCTION INTEGRAL EQUATION METHOD the 1830s. In the modern study of linear partial differential equations, Green s functions are studied largely from the point of view of fundamental solutions instead. Green s funktionen er en metode til at løse meget svære systemer, som normalt ikke kan løses analytisk. Hovedformålet i denne opgave er at løse et elektromagnetisk problem, hvor man vil afbillede E-feltet i et plan, som følge af invirkningen af den genstand som er i vejen. Opstilles problemet som et elektro magnetisk felt nær en nano-struktur, skal man find en bølgeligning, som er en inhomogen ligning. Denne kan ikke løses analytisk, derfor skal man bruge snedig matematik, så som Green s volumen integrel method. Når partikler er små nok kan de tilnærmes små dipoler. En gruppe af små dipoler bliver kaldt en ensamble og en sådan ensamble bliver defineret ud fra et indkommende E-felt. Den inducerede dipol er proportional til E-feltet i positionen af dipolen. Ud fra denne betragtning kan man indele en genstand i små partikler, og i hver partikel vil man have et konstant felt, disse små partikler kaldes for dipol celler, eller punkt dipoler. Man tager udgangspunkt et MEGET generelt tilfælde. Man har en struktur, som er stille stående, dermed ment materialet er homogent, isotroped og non magnetisk. Man antager hamoniske felter (e iωt ) og opskriver Maxwell s to curl ligninger. Ē = B t = iωµ ref µ 0 H (1.1) H = D t + J = iωɛɛ 0 Ē (1.2) = iωɛ 0 ɛ ref Ē + j e, Egentlig skulle curl en, af H feltet også have lagt J til, men efter som der ikke er nogen grund strøm fjernes denne

7 3 simpelthen bare. Volumen fordelingen af strømme fra det pertuberende E-felt er givet ved strømmen j e = iωɛ 0 [ɛ ɛ ref ]Ē, man begår en matematisk fejl ved at indføre reference systemet, derfor skal den også medtaget i j e, reference systemet i vores tilfælde er vakum. I den første ligning er den relativ magnetisk dielektrisitet konstant, µ ref = 1, fordi man antager et ens materiale der ikke er magnetisk og som er isotropt. Samtidig er materialet inhomogent derfor afhænger dielectrisitets konstanten af postitionen, ɛ ref ( r). Man udregner først Maxwell s E-felts curl ligning og dernæst resuneres frem til den and en ligning for H-feltet. Man tager udgangspunkt i curler ligning (1.1) for at komme frem til bølgeligningen, Ē =iωµ ( ) 0 iωɛref ɛ 0 Ē + j e = ω2 c 2 ɛ ref Ē + iωµ 0 j e (1.3) det man har her er et slevkonsistens problem, dvs man har bruge for at kende E-feltet for at kunne udregne E-feltet. For at kunne komme videre antages det at j e er kendt, med denne antagelse kan man flytte rundt på systemet så man har, Ē k2 0ɛ ref Ē =iωµ 0 j e ( k 2 0ɛ ref )Ē =iωµ 0 j e (1.4) hvor 1 c = µ 2 0 ɛ 0. Man indfører vakuum bølgetallet k 0 = ω c. Dernæst flyttes den første del over på venstre siden for at samle alle led som har noget med E-feltet at gøre på samme side. Denne ligning kan sjældent løses analytisk. Derfor kan man med fordel benytte sig af numeriske approksimationer eller semianalytiske metoder, såsom brug af Green s funktioner og volumen integrations metoden.

8 4KAPITEL 1. THE GREEN S FUNCTION INTEGRAL EQUATION METHOD 1.1 Green s funktioner Generelt Man antager at man har en operator virkende på en ukendt vektor felt og dette er lig et kendt vektor felt, ˆLĀ( r) = B( r), (1.5) hvor ˆL er en operator, Ā( r) er en ukendt funktion og B( r) er en kendt funktion. Dette er en inhomogen differential ligning, hvor løsningen kan findes på følgende måde: sum af homogene løsninger ( ˆLĀ( r) = 0) + en partikulær løsning ( ˆLĀ( r) = B( r)). Det antages at de homogene løsninger kendes. Det er dog stadig ret svært at løse den inhomogene løsning, derfor ses på en anden løsning med udgangs punkt i dirach delta funktionen δ( r r ). Det defineres at, ˆLḠi( r, r ) = n i δ( r r ) ˆLḠ( r, r ) =Īδ( r r ), (1.6) Ḡ( r, r ) kaldes for Dyadic Green s function og afhænger af det system man ønsker at se på, fx vil vi i denne opgave gerne så på et E-felt hvilket gør at man kan sige at ˆL k0ɛ 2 ref, som er det vi gerne vil udregne. Omskrivningen fra de to linjer i ligning (1.6) kan finde sted fordi ˆL opperere på hver søjle i matricen af gangen. Det antages nu kortvarigt at man kender Dyadic Green s function, for at kunne komme videre i udregningerne, vi kommer tilbage og udregner den senere. Man ganger igennem med 1 ved at gange B( r ) in på begge sider at lighedstegnet i den sidste ligning fra (1.6) og volumen integrer på begge sider, ˆLḠ( r, r ) B( r )dv = B( r )δ( r r )dv, (1.7) V V

9 1.1. GREEN S FUNKTIONER 5 dv indikerer at man ser på r tilfældene. Hele højre siden kan reduceres ned til B( r), hvilket gør at venstre siden må være lig ˆLĀ, hvilket man indsætter i ligning (1.5) og får, ˆLĀ( r) = V ˆLḠ( r, r ) B( r )dv (1.8) man kan bøffe ˆL ud så længe at man husker at lægge mærke til punktet hvor r = r, da der godt kan ske nogle funky ting der. Ved at flytte ˆL ender man med at kunne fjerne det, som gør at man har en ligning for løsningen på det ukendte felt, Ā = Ḡ BdV (1.9) Dette er essencen af brugen af Green s funktioner, ved at løse felter ud fra kendte kriterier. Hvis man altså som i denne opgave har en ligning som udtrykker løsningen for E-feltet, kan man regne baglæns og finde selve E-feltet, det er altså at betragte som en slags invers opperator. Kan undlades, blot opstil problemet og resultatet. Man kan igennem længere udregninger komme frem til en løsning for en scalar Green s funktion. Disse lange udregninger kommer her, Ē( r) = iωā( r) φ( r) (1.10) det første led beskriver det magnetiske vektor potential, det andet led beskriver et skalar potential. H( r) = 1 Ā( r). (1.11) µµ 0 Som det næste kan det udledes at der gælder, ved indsættelse af ligning (1.10) og (1.11) i Maxwell s anden ligning ( H = dd dt +J),

10 6KAPITEL 1. THE GREEN S FUNCTION INTEGRAL EQUATION METHOD at bølgeligningen for A er givet ved, Ā =iωµµ 0ɛɛ 0 φ( r) 1 φ( r) = Ā iωµµ 0 ɛɛ 0 Dette sammen med ligning (1.10) til at komme frem til, (1.12) Ē( r) =iωā( r) 1 Ā( r) iωµµ 0 ɛɛ 0 ) =iω (1 + c2 1 ω 2 Ā( r) (1.13) µɛ ( =iω ) Ā( r) k2 hvor der gælder at Ā( r) = µµ 0 j( r)g V 0 ( r, r )dv. Nu skal man bruge nogle ninja trix for at komme videre. Man har disse udregner som kan vises at gælde, [ 2 + k 2 ]Ā = µµ 0 j( r) [ 2 + k 2 ]G 0 ( r, r ) = δ( r r ) (1.14) fra første til anden linje har man indført selve Green s regnereglen som netop er omtalt. I den tredje linje har man indført udtryktet for strømmen. Hertil, så begynder man igen med at snakke om tingene. Dette kan udvides til en Dyadic Green s funktion, [ Ḡ( r, r ) = Ī + 1 ] G k2 0 ( r, r ) (1.15) hvor G 0 ( r, r ), er et scalar felt og kan findes ved at se på E-feltet (Lorens Gate), G 0 ( r, r ) = e±ik r r 4π r r.

11 1.2. MATLAB OPGAVEN 7 Man kan nu anvende det man har lært fra ligning (1.6) til at finde en mulig løsning for ligning (1.3), Ḡ( r, r ) k 2 0ɛ ref ( r)ḡ( r, r ) = Īδ( r r ), (1.16) man kan nu gange igennem på begge sider med vores kendte vektor felt, iωµ 0 j e ( r ), on integrer dette, [ iωµ 0 k 2 0 ɛ ref ( r ) ] Ḡ( r, r ) j e ( r )dv = iωµ 0 j e ( r )δ( r r )dv V (1.17) hvor hele højre siden kan omskrives til vores kendte vektor felt, som ifølge ligning (1.3). Man kan rykke operatoren fra venstre siden uden for integralet og eliminere på begge sider, som gør at man får et udtryk for E-feltet som funktion af Dyadic Green s function, Ē( r) = Ē0( r) + iω ɛ 0 c 2 V Ḡ( r, r ) j e ( r )dv (1.18) dette er LIGNINGEN som resten af denne opgave er bygget op omkring. Dette er volumen integral ligningen! 1.2 Matlab opgaven Vi skulle designe en 3D F-celle, som er 7,5 nm høj og fylder et område af 50 gange 30 nm. Man indeler hele cellen i en masse små punkter (kasser), hvor hver kasse er 2,5 3 nm, dette gøres ud fra det syn at man skal udregne via Green s funktionen. Den måde som man designede F-cellen på var at man indelte F-cellen i tre kasser rykken, næsen og hovedet, dvs nogle x og y begrænsninger, hvorinde for at kasserne har en ikke 0 værdi og alt uden for de områder man har defineret er alt nul. Det er vigtigt at opdele F-cellen i små nok kasser, så man kan benytte antagelsen at det er en celle bestående af en masse punkt dipoler. V

12 8KAPITEL 1. THE GREEN S FUNCTION INTEGRAL EQUATION METHOD Man tager udgangspunkt i volumens integral ligningen, hvor vi benytter Thomas notation for ikke at ødelægge vores hoveder mere end nødvendigt, Ē( r) = Ē0( r) + V Ḡ( r, r )k0(ɛ( r 2 ) 1)Ē( r )dv (1.19) for at komme videre med dette erstatter man integralet med et lukket kurve integrale. E-feltet fra kasse i er beskrevet som Ēi, dette benytter man til at beskrive E-feltet i alle kasserne, altså bliver i = 1, 2, 3,..., N. Man opstiller nu problemet hvor man tager udgangspunkt i E i, forbi man benytter sum notation, som i sidste ende vil give det samme som matricen ville, N E i =E 0,i + A i,j (ɛ j 1)E j j=1 N E 0,i =E i A i,j (ɛ j 1)E j j=1 (1.20) der skulle også være et N i=1 på begge sider, men dette er indforstået og undlades derfor. Energierne er givet ved position som er givet ved det i de index, som bestemmer hvilken kasse der er tale om. Hvor A i,j Ḡ( r i, r j )k0 V 2, hvor der skal gælde at i j, og hvor V = (2, ) 3 m 3. Det kan ud fra siggularitets problemet og ud fra den antaglese at vi har firkantede kasser udledes at A i,j = 1 3 Ī, for i = j.

13 1.2. MATLAB OPGAVEN 9 Man kan nu omskrive ligning (1.17) til A xx 11 A xy 11 A xz 11 A xx 12 A xz 1N A yx 11 A yy 11 A yz 11 A yx E 1x 12. Ī (ɛ j 1) A zx 11 A zy E 1y 11 A zz 11 A zx 12. E 1z A xx 21 A xy 21 A xz 21 A xx 22. E 2x = E Nz A xx N1 A xy N1 A xz N1 A xx N2 A zz NN (1.21) hver sub matrice som ligger i diagonal af den fulde matrice skal være lig 1 3 Ī jf A i,j = 1 3Ī da i = j i disse matricer. Denne ligning er meget stor og omfattende at skrive, derfor kan den skrives på kort form, E x 0,1 E y 0,1 E z 0,1 E x 0,2. E z 0,N M x = ȳ. (1.22) Dette problem kan løses via matrix udregning. Man begynder med at opskrive Ḡ( r i, r j ), da denne indgår i beskrivelsen af A i,j som er den stor matrice in ligning (1.18), Ḡ( r i, r j ) = [ ( Ī 1 + i kr 1 ) (kr) 2 R R R 2 ( 1 + 3i kr 3 )] e ikr (kr) 2 4πR (1.23) hvor der er blevet indført R = r i r j og R = r i r j. Man benytter Ḡ til at udregne A ij, når matricen er udregnet tager man den inverse af denne og ganger med Ē0 for at få Ēi.

14 10KAPITEL 1. THE GREEN S FUNCTION INTEGRAL EQUATION METHO

15 Kapitel 2 The Gaussian laser beam The Gaussian laser beam. Literature: [1] Chapter 3.1 and Introduktion For at kunne beskrive en Gausisk laser beam (GLB) skal man igennem tre trin. Først skal man have en generel teknik for at kunne beskrive udbrede af elektromagnetiske felter, som giver anledning til nær og fjernfelts ting. dernæst skal man udlede lys udbredelse i en retning, med kun lidt i andre (en matematisk laser), som det tredje og sidste kan man nu beskrive en Gausisk laser beam (lys som hovedsageligt udbredes i en retning, men også bliver bredere og bredere jo længer man kommer fra origo ). For at kunne beskrive lys generelle udbredelse benyttes angulær spectrum representation (ASR), hvor man udtrykker E-feltet ved hjælp af bølgevektor og ikke almindelig koordinater. ASR er en matematisk teknik, som man benytter til at beskrive optiske felter, bruges især ved lasere og lys fokusering. 11

16 12 KAPITEL 2. THE GAUSSIAN LASER BEAM Figur 2.1: In the angular spectrum representation the fields are evaluated in planes (z=const.) perpendicular to an arbitraaily chosen axis z. Man benytter den flade man indsætter til at afbillede strukturen, som spreder lyset ud i alle retninger, man har altså et billed plan (x, y, z) og et objekt plan (x, y, z = 0). Det man udregner i billed planet er det indkommende lys og det spredte lys. Man benytter sig af den angulære repræsentation for E feltet, som beskriver den Gausiske laser stråle. Man begynder med at opskrive en Fourier transformationen (altså funktion i reciproket rum) af E-feltet som giver, Ê(k x, k y ; z) = 1 (2π) 2 Ē(x, y, z)e i(kxx+kyy) dxdy (2.1) Den inverse af ligning (2.1) (altså ligning i real rum) er

17 2.2. RECIPROK UDBREDELSE LANGS Z AKSEN 13 givet ved, Ē(x, y, z) = Ê(k x, k y ; z)e i(kxx+kyy) dk x dk y (2.2) det er kun den ene som skal have konstanten og fortegnet på exponenten skal være forskellig. Dette benyttes så man kan skrifte imellem disse to ligninger. De er hinandens unitære Fourier transformationer, som Lynge vill have sagt det. Man kan altså hoppe frem og tilbage imellem real og reciproket rum ved at benytte disse to Fourier ligninger. 2.2 Reciprok udbredelse langs z aksen Hvis man nu har et materiale som er homogent, isotropet, liniert, bare hele pivtøjet, et fiktivt materiale. Så kan man se at E-feltet vil opfylde Helmholz ligningen, ( 2 + k 2) Ē = 0 (2.3) hvor k = ωn/c = k 0 ɛ og n = µɛ. Hvis man nu definerer k z til at være k z = k 2 (kx 2 + ky), 2 hvor k z blot er k-vektoren for udbredelses retningen, og man indsætter nu det som står under integralet i ligning (2.2)i ligning (2.3) og husker hvad man har defineret k z som vil man komme frem til, ( 2 + k 2) Ê(k x, k y ; z)e i(kxx+kyy) = (Ê(kx, k y ; z) ( (ik x ) 2 + (ik y ) 2) + Ê(k x, k y ; z) ( k 2 x + k 2 y + k 2 z) ) dz 2 Ê(k x, k y ; z) e i(kxx+kyy) = 0 ( ) d 2 dz 2 + k2 z Ê(k x, k y ; z) = 0 + d2 (2.4)

18 14 KAPITEL 2. THE GAUSSIAN LASER BEAM hvor man ud fra dette og ud fra figuren kan se at Ê(k x, k y ; z) = Ê(k x, k y ; 0)e ±ikzz, dette viser at planet variere med afstanden af z, som er afstanden flade har til punket, hvor det spredte lys kommer fra. Dette kan opskrives som, Ê(k x, k y ; z) = Ĥ(k x, k y ; z)ê(k x, k y ; 0), (2.5) hvilket betyder at Ĥ(k x, k y ; z) = e ±ikzz, dette er den såkaldte propagation faktor. Denne oscilere (hvis der gælder at k 2 x + k 2 y < k 2 ), men har også aftagende del hvis k z er komplex (k 2 x + k 2 y > k 2, da dette betyder at det som står under kvadretroden i ligningen lige under (2.3) bliver negativt). Den betegnes som en filter funktion, da den frafiltere den komplekse del af k z. Hvis billed planet og objektivet er langt fra hinanden, vil den aftagende del blive frafiltreret og denne information vil derfor gå tabt. Dette giver anledning til den nedre grænse for opløsningen, x λ 2πn (2.6) Hvor n er real delen af det brydnings index af det medie man befinder sig i. Denne ligning bliver kastet i æ fjæs på os, derfor vises udledning ikke. Man kan desuden ud fra ligning (2.5) og ligning (2.2) komme frem til følgende, Ē(x, y, z) = Ê(k x, k y ; 0)e i(kxx+kyy±kzz) dk x dk y (2.7) dette er smart fordi det generelle felt kan beskrives ud fra vores billede plan og en exp funktion. Man indføre blot k z fordi det er smart, man integrer IKKE over denne. ± beskriver at retningen frem eller tilbage i planet.

19 2.3. REAL UDBREDELSE LANGS Z AKSEN Real udbredelse langs z aksen Som det næste kan man nu se på hvordan feltet udvikler sig langs z- aksen. Man begynder med at placere objekt planet, som har størrelsen (x, y ), i afstanden z = 0, desuden places billed planet i en konstant afstand z = c, dette plan har størrelsen (x, y). Benytter man så ligning (2.1) får man, Ê(k x, k y ; 0) = 1 (2π) 2 Ē(x, y, 0)e i(kxx +k yy ) dx dy (2.8) Denne ligning indsættes nu i ligning (2.7), så man får en ligning som beskriver problemet i det reelle rum og ikke i det reciprokke rum, Ē(x, y, z) = 1 (2π) 2 Ē(x, y, z = 0) (2.9) e i(kx(x x )+k y(y y )±k zz) dk x dk y dx dy hvor det inderste integral (...dk x dk y ) samt konstanten ude foran er udbredelses operatoren, Ĥ(x, y, z), fra ligning (2.5). Matematisk kan man se at der gælder Ĥ(x, y, z) = ˆF [Ĥ(k x, k y ; z)]. Dette gør at ligning kan opskrives på en lettere måde, Ē(x, y, z) = Ē(x, y, 0) Ĥ(x, y, z) (2.10) hvor betyder konvelution, som betyder man har et integral i et integral. På dansk et foldnings integral, da det inderste integral både indeholder det indre og det ydre integral. Man kan nu i real rum afbillede et objekt i et hvilket som helst plan langs den optiske akse.

20 16 KAPITEL 2. THE GAUSSIAN LASER BEAM 2.4 Gausisk laser Nu kan man endelig begynde på at tale om det endelige spørgsmål. Man har en laser beam som har en profil som vist på figure 2.2 venstre. Figur 2.2: Gausisk laser, man ser på figuren til venstre at den har højest intensitet, E, langs den optiske akse. Det højre billede viser hvad der sker hvis man prøver at fokusere systemet ned. Man begynder med at opskrive beam profil ligningen for en linier Gausisk stråle, Ē(x, y, 0) = Ē0e x 2 +y 2 W 0 2 (2.11) hvor Ē0 er et konstant felt som har indflydelse på højden af beam profilen og W 0 er beam taljen, radius af beam der hvor den er smallest. Nu har man set hvad E-feltet er ved z = 0, som det næste vil man gerne se alle andre steder, z 0. For nu at kunne udnytte den paraxiale tilnærmelse 1, indsætter man nu ligning (2.11)i ligning (2.8), for at lave en rum transformation, jf de første par ligner i dette 1 Den paraxial tilnærmelse: generelt for lasere har man at udbredelse i en retning og kun ganske lidt i de to andre retninger. Man har altså k x + k y k og k 2 x + k 2 y k 2, hvor hvis man indsætter dette i ligningen under ligning (2.3) kan man komme frem til k z som bestemmer om man har

21 2.4. GAUSISK LASER 17 kapitel. Ē0 Ê(k x, k y ; 0) = (2π) 2 = Ē0 (2π) 2 e x 2 +y 2 W 0 2 e iw 2 0 (kxx +ky y ) W 0 2 dx dy e x 2 iw 2 0 kxx y 2 iw 0 2 ky y W 0 2 dx dy, (2.13) man springer nu let og elefant til løsningen da der er for mange regne regler nederst på side 47 i bogen til at man magter at lave det, W 2 Ê(k x, k y ; 0) = Ē0 0 4π e (k 2 x +k2 y ) W 2 0 4, (2.14) man har nu et udtryk for udbredelsen af felter i det reciprokke rum. Man skal nu blot transformere den tilbage til real rum. Man indsætter altså ligning (2.14) i ligning (2.7) for at kunne komme frem til ligning som kan benytte sig af den paraxial tilnærmelsen. en løbende bølge eller en som aftager hurtigt. q k z = k 2 (kx 2 + k2 y ) s =k 1 k2 x + k2 y k 2 =k 1 k2 x + k2 y 2k 2! = k k2 x + k2 y 2k (2.12) hvor man fra linje to til tre benytter sig af regne reglen (Taylor approximation), 1 α 1 α hvilket gælder for små værdier af α, som giver god mening 2 iforhold til den antagelse man gjorde om størrelsen af k.

22 18 KAPITEL 2. THE GAUSSIAN LASER BEAM W0 2 Ē(x, y, z) =Ē0 4π W0 2 =Ē0 4π eikz = eikz Ē iz e kw0 2 e (k2 x +k2 y ) W e i(kx x+k yy) e ±i (x2 +y 2 ) W 2 0 k z k2 x +k2 y 2k z e i(kxx+kyy) e i(k2 x +k2 y )( W iz 2k ) dk x dk y iz kw 0 2, «(2.15) dette kan reduceres ved at indføre en masse ting. Man indføre ρ 2 = x 2 + y 2, hvor ρ er afstanden fra centrum af strålen og ud til hvor vi befinder os, dvs ρ kan være, men behøver ikke at være radiusen på beam profilen. z 0 = kw 2 0 2, beam radius som funktion af z placering W (z) = W z2, wave front radius R(z) = z(1 + z2 0 z 2 ) og sidst η(z) = arctan( z z 0 ). Alle disse ny indførte ting kan benyttes til at opskrive Gausian beam profil ved en hvilket som helt z afstand til billed planet er givet ved, W 0 Ē(ρ, z) = Ē0 W (z) e ρ (W (z)) 2 e i kz η(z)+ kρ2 2R(z) z 2 0 (2.16) Dette er en forskrift som beskriver hvordan en laser beam ser ud i en eller anden afstand z fra beam taljen. Man har et fint billede af forskellige ordens beam profiler. Fx er d dx = (10), d dy = (01), d d d2 d dx dy = (11) og dx 2 dy = (21). dk x dk y

23 2.4. GAUSISK LASER 19 Figur 2.3: Højere ordens Gausiske beams. a) 00, b) 10, c) 01, d) 11. I de tre sidste tilfælde svinger de modsat fase.

24 20 KAPITEL 2. THE GAUSSIAN LASER BEAM

25 Kapitel 3 The point-spread function and resolution limits The point-spread function and resolution limits. Literature: [1] Chapter 4.1 and 4.2 (p m) and Introduction En PSF er en funktion der beskriver hvorgodt man kan afbillede et objekt. Man har en dipol emitter (punktkilde af lys), punktkilden har dipol moment µ og er i position r 0, point spread funktion (PSF) mål for hvor nøjagtigt et optisk system kan afbillede denne punktkilde i billede plan. jo smaller afbilleding er i denne PSF des do bedre er opløsning i det optiske system, i det ideale tilfælde hvis PSF var en deltafunktion har man en fuldstændig nøjagtig afbilling af kilde, men det sker ikke i virkeligheden. Der skal være kontinuert power flow igennem hele sy- 21

26 22KAPITEL 3. THE POINT-SPREAD FUNCTION AND RESOLUTION LIMI stemet, dette gør at E-feltet er det samme efter linse to, som det var lige inden linse et, dog med en korrektions faktor. For at kunne have dette skal man også have total transmission i systemet. Denne korrektions faktor kan findes, p 1 =p 2 = p 3 p 1 nda 1 E 1 2 p 2 n 2 da 2 E 2 2 p 3 n da 3 E 3 2 da 2 =da 1 cos(θ) = da 3 cos(θ ) da 1 = da 3 cos(θ ) cos(θ) n cos(θ E 3 = E 1 ) n cos(θ) (3.1) man har altså at n cos(θ ) n cos(θ) er korrektions faktoren for at komme til energien i billed planet som den energi man havde ved object planet. Figur 3.1: Tegning af et optisk system hvor afstanden fra objektet til første linse er mindre en afstanden fra anden linse og hen til billed planet. Et eksempel på en PSF har man en intensitets måling har man

27 3.2. ALM. GREEN S TEORI 23 en PSF som ville se sådan ud som på figur 3.2, jo mere afgrænset et peak er jo bedre kan det afbilledes i målingen, jo mere udsmurt den er jo dårligere bliver billedet. Figur 3.2: De tre beam profiler, som man vil frem til. a) er kilde i x retning og set i xy plan. b) er kilde i x retning og set langs z akse. c) er kilde i z retning og set i xy plan. Man benytter ikke almindelig skalar teori, da denne teori ikke er tilstrækkelig god. Derfor gøres dette på den besværlige måde. 3.2 Alm. Green s teori Man starter ud med at se på punkt dipolen, E-feltet af sådan en kilde kan skrives via Dyadic Green s teori som, Ē( r) = ω2 c 2 ɛ 0 Ḡ( r, r 0 ) µ (3.2) man skal altså bruge sin Dyadic Greens funktion i et homognet materiale. Den Dyadiske Greens funktion skal opfylde, Ḡ = [Ī + 1k ] 2 G 0 ( r, 0) (3.3)

28 24KAPITEL 3. THE POINT-SPREAD FUNCTION AND RESOLUTION LIMI hvor G 0 = e ±ikr /(4πr). Omskrivningen r 0 0, betyder at man har lagt origo i r 0. Dette er den simpleste måde at opskive den Dyadiske Green s funktion, den fulde funktion findes i spørgsmål et, man kan ikke se i denne for at der findes flere ordens led, men det findes. Pga. far field tilnærmelsen medtager man kun første ordens ledene. Afstand fra punkt dipol til første linse er så stor at man kan antage far field, desuden sætter origo som værende punkt dipolen. Man anvender altså kun far field teori. Da man antager far field målinger, kan man se bort fra aftangende overflade lys (evenecant fields). Far field approximationen resulterer i denne forskrift for den Dyadiske Green s matrice, opskrevet i sfæriske koordinater, denne opskrivning er mulig da systemet er cirkel symmetrisk, Ḡ ( r, 0) =[Ī ˆrˆr]G 0 = eikr 4πr (1 cos 2 (φ) sin 2 (θ)) sin(φ) cos(φ) sin 2 (θ) cos(φ) sin(θ) cos(θ) (3.4) der opskrives kun den første søjle, da dipolen er i dette tilfæde kun er x-alignet. Det er taget fra ligning (4.2) i bogen på side 91. Man antager at dipolmomentet, µ = µ x n x, er i retningen af x- aksen, som det næste skal man beskrive feltet i alle punkter i afstand f fra punktet, til dette benyttes de to vinkler θ, som er langs z-aksen og φ som er i xy planet. Hvis man nu benytter dette for dipolmomentet og fra ligning (3.4) og indsætter dette i ligning (3.2) får man, Ē x (θ, φ; f) = ω2 µ x c 2 ɛ 0 e ikf 8πf n cos(θ ) n cos(θ) 1 + cos(θ) cos(θ ) (1 cos(θ) cos(θ )) cos(2φ) (1 cos(θ) cos(θ )) sin(2φ) 2 cos(θ) sin(θ ) cos(θ) (3.5) hvor den halve (1/4 1/8) kommer fra at man har reduceret så mange φ er ud som man kan, hvilket gør at man står tilbage med en

29 3.3. PSF 25 halv i alle led. Det er IKKE et E-felt s x komponent, E-feltet har stadig komponenter i alle retninger, det er retningen på punkt dipolens retning. Man har nu en forskrift for E-feltet fra punkt dipolen og hen til linse to. Afstanden imellem linse et og to er ligegyldig, da man alligevel er i far field, derfor er Ē også noteret med index. Det vigtigste er korrektions faktoren som man også havde fra før, det er nemlig denne som fortæller noget interessant. Den fortæller at feltet i objekt planet er det samme som lige efter linse to. Man er nu igennem den angulære repræsentation kommet frem til et udtryk som beskriver billed planet ved en propagator som flytter én hen til billed planet. Man har altså nu en forskrift for E-feltet frem til den anden linse, men ikke hele vejen til observations punktet, derfor skal der noget mere ninja matematik til for at komme hele vejen. Som det næste indføres pint spred funktionen (PSF). Note to self: hvis punkt dipolen har en arbritrer retning, så finder man det samlede E-felt ved blot at udregne alle tre retninger og lægge dem sammen til sidst. 3.3 PSF Nu skal man udregne det hele også fra linse to til observations punktet. Til dette formål benytter man sig af ligning (3.47) fra side 60 i bogen, som beskriver E-feltet for fokusering af et sådan felt. Ē(ρ, ϕ, z) = ikfe ikf 2π θ max 2π 0 0 Ē (θ, φ)e ikz cos(θ) e ikρ sin(θ) cos(φ ϕ) sin(θ)dφdθ, (3.6) ved at antage at fokal længden for observations punktet er meget større end fokal længden objektet, f f, hvilket medfører at vinklen θ er meget lille. Man kan benytte følgende matematiske antagelse,

30 26KAPITEL 3. THE POINT-SPREAD FUNCTION AND RESOLUTION LIMI som er en Taylor udledning, [ 1 ± 1 ( ) 2 n f f sin (θ)] 2 1 ± 1 ( ) 2 f n f sin 2 (θ) (3.7) denne antagelse giver anledning til en ny forskrift for E-feltet, som ligner det man havde før til forveksling, Ē(ρ, ϕ, z) = ω2 c 2 ɛ 0 Ḡ P SF µ (3.8) igen PSF funktione beskriver hvor godt man kan afbillede noget i billed planet. Den nye Dyadic Green s PSF er givet på formen, og der vises ikke hvordan man kommer frem til det, Ḡ P SF = ik 8π Ĩ 00 + Ĩ02 cos(2φ) Ĩ 02 sin(2φ) Ĩ 02 sin(2φ) Ĩ 00 Ĩ02 cos(2φ) 2iĨ01 cos(φ) 2iĨ01 sin(φ) f f ei(kf k f ) n n, (3.9) hvor Ĩ erne er kort from af alle θ integralerne, de disse ikke kan løses analytisk, hvorimod φ godt kan løses, derfor beholdes disse. Forkortelserne af I kan ses i ligningerne (4.8) til (4.10) på side 92 i bogen. Denne Dyadic Green s PSF kan beskrive hele det optiske system, hvor den almindelige kun beskriver frem til den anden linse, ikke hele vejen en til observations punktet. Den almindelige Dyadic Green s funktion gælder for spredningen af lys fra en punkt kilde igennem et homogent medie, hvor Dyadic Green s PSF gælde for en dipol der udsender et E-felt igennem et optisk system. Man har altså en forskrift der beskriver det optiske system. Resten af matematikken kan undlades og blot vise billerne

31 3.3. PSF 27 fra figur 3.2. Igen ses på en punkt dipol som kun er orienteret i x-retningen, man vil nu udregne E-feltet i både z retning og i xy planet. Da systemet er cirkel symmetrisk ses først på et dipolmonet i x-retningen, dernæst undlades y-retningen, da det er det samme, og sidst ses på en z-retning. Vi antager lav vinkel for θ max. Desuden defineres den nummereiske apatur, NA = n sin(θ max ). Den lave vinkel gør at man kan lave Taylor approximationer som gør følgende cos(θ) 1 og sin(θ) θ. Desuden flytte man nu billed planet til at være i z = 0, som gør at objekt planet er i z = meget. Man kan nu løse Ĩ integralerne fra ligning (3.9) og opskrive en forskift for E-feltet, Ē(x, y, z = 0) 2 = π4 µ 2 x NA 4 ( ɛ 2 0 nn λ 6 M 2 2 J ) 2 1(2π ρ) (3.10) 2π ρ hvor ρ = ρ NA Mλ, ρ = x 2 + y 2 og J 1 er en første orden Bessel funktion. NA er den numeriske apartur. Der findes en nedre grænse for hvad man kan måle ρ = 0, 6098 Mλ NA, hvor M = n f n f. Man kan foretage de samme udregninger bare hvor ρ = 0 og z 0. Dette giver anledning til værdig langs z-aksen og ikke et plan, se figuren. Ē(x = 0, y = 0, z) 2 = π4 µ 2 x NA 4 ɛ 2 0 nn λ 6 M 2 ( ) 2 sin(π z) (3.11) (π z) hvor z = NA2 2n M 2 λ. Igen har man en nedre grænse for hvor langt man kan gå ned før man ikke kan gå længere z = 2n M 2 λ NA. 2 Som det sidste ændre man retning på dipolmomentet, nu er den ikke i planet, men langs observations aksen, µ = µ z n x, dette giver anledning denne ligning, Ē(x, y, z = 0) 2 = π4 µ 2 z NA 6 ɛ 2 0 n3 n λ 6 M 2 ( 2 J ) 2 2 sin(2π ρ) (3.12) (2π ρ)

32 28KAPITEL 3. THE POINT-SPREAD FUNCTION AND RESOLUTION LIMI 3.4 Opløsnings grænser Der vil nu kort blive talt lidt om opløsnings grænser for et optisk system. Til dette ser man på to dipoler med størrelsen, k 11 = k 2 x + k 2 y, og med indbyrdes afstand r 11 = x 2 + y 2, når man ikke kan se forskel på dem mere så er den ikke go mere. Figur 3.3:. Hver dipol vil have hver sin PSF. Hvis de to punker flyttes tættere og tættere sammen vil man få mere og mere overlappende funktioner, den nedre grænse er en PSF brede. Jo større noget bliver i reciproket rum, jo mindre bliver det i real rum, derfor ønske det at k 11 bliver så stor som muligt, som gør at r 11 kan blive så lille som muligt. Der findes en nedre grænse for opløsningen, denne er givet ved 0, 61 λ NA.

33 Kapitel 4 One-dimensional photonic crystals One-dimensional photonic crystals. Literature: [1] Chapter Nano optics, groupwork Fotoniske båndgab Generelt en periodisk struktur som giver anledning til at lys ikke kan udbredes i andre retninger end den ønskede i et pågældende materiale. Dette kan fx opnås ved at have to forskellige materiale med forskellige materiale egenskaber, dette kunne fx være et metal eller en halvleder og luft. Den optiske bølge er givet ved bølge tallet k = (k x, k y, k z ). Der vil blive set på transvers magnetiske (TM) og transvers elektriske bølger (TE), disse to former for bølger er vinkelrette på hinanden, det gør at man kan se dem som p og s polariseret lys. Feltet er uniformt i x retningen, da der ikke er nogen ændring i strukturen i denne retning, det samme gælder for y retningen. 29

34 30 KAPITEL 4. ONE-DIMENSIONAL PHOTONIC CRYSTALS Figur 4.1: Man kan se at perioden z n = nd. Forskriften for E-feltet for en TE bølge er givet ved, Ē( r) = E(z)e i(kxx+kyy) n x = E(z)e i(kyy) n x, (4.1) hvor n x indikerer at feltet svinger i x-retningen. Forskriften for H- feltet for en TM bølge er givet ved, H( r) = H(z)e i(kxx+kyy) n x = H(z)e i(kyy) n x, (4.2) man kan i begge tilfælde undlade k x x delen, da Maxwells ligninger ellers ikke er opfyldt. Man indfører nu to tællere, j = 1, 2 og n = 1, 2, 3,..., N hvor n dækker over et eller andet tilfældigt lag, hvilket lag man ønsker at se på. Man skal opskrive en superposition, da der er både et indkommende flet, men også et reflekteret felt fra hver overgang imellem de to medier. Felt amplityden som funktion af z for E-feltet er givet ved, E(z) = a n,j e ikz,j(z nd) + b n,j e ikz,j(z nd) (4.3) forskriften for H-feltet er det samme, den eneste forskel er at de er vinkelret på hinanden. Fra tidligere ved man at k z = k 2 (kx 2 + ky), 2 desuden ved man at k = kx 2 + ky, 2 sidst ved man at k = ω c ɛj. Samler man disse

35 4.1. FOTONISKE BÅNDGAB 31 ω får man k z,j = 2 c ɛ 2 j k 2. Udbredelsen er altså frekvens og materiale afhængig, dette betyder at man kan skrædder sy ens fotoniske krystal, ved at ændre en eller begge af disse ting. Som det næste opstiller man grænse betingelserne. Den grænse man ser på er imellem medie 1 (n) og medie 2 (n + 1). Først opskrives i interfacen for tangential komposanten for E- feltet E n,1 (z n ) = E n+1,2 (z n ) og for H-feltet får man H n,1 (z n ) = H n+1,2 (z n ), man har altså at tengential komposanten skal være kontinuert hen over interfacen af de to medier. Da der kun er to grænse betingelse opskrives Maxwells to curl ligninger, Ē = B t = iωµµ H 0 H = 1 Ē, iωµ 0 ˆx ŷ ẑ = x y z = ŷ E z ẑ E y E 0 0 H = 1 E iωµ 0 z (4.4) hvor i den sidste linje går ẑ ledet ud, da den er lig 0, da man kun ser på tangential komposanten og ikke den som er parallel med udbredelses retningen. I den første linje medtager man ikke µ da denne er lig 1, da man har non magnetisk materialer. Benytter man dette sammen med ens grænse betingelse for H-feltet får man, 1 iωµ 0 z E n,1(z n ) = 1 iωµ 0 z E n+1,2(z n ). Det samme gøres nu for den anden Maxwell curl hvor man i sidste ende kommer 1 frem til ɛ 1 z H n,1(z n ) = 1 ɛ 2 z H n+1,2(z n ). Som det næste benytter man alle de grænse betingelser man netop har fundet frem til for at udregne ligningerne (4.1) og (4.2). Man begynder med at se på grænsen for E-feltet imellem medie 1 og 2 ved at sætte ligning (4.3) lig sig selv, blot med forskellig j og dermed

36 32 KAPITEL 4. ONE-DIMENSIONAL PHOTONIC CRYSTALS også n, a n,1 e ikz,1(z nd) + b n,1 e ikz,1(z nd) =a n+1,2 e ikz,2(z (n+1)d) + b n+1,2 e ikz,2(z (n+1 a n,1 + b n,1 =a n+1,2 e ikzd + b n+1,2 e ikzb (4.5) hvor begge exp funktionerne på venstre siden bliver til 1 da expomenten er lig 0, fordi z = nd, fordi det er præcis græsen man ser på. Exp funktionerne på højre siden får man e ±ikz,2d. Det samme gælder for H-felts udregningerne da både grænse betingelserne og udgangs ligningen er den samme. Som det næste udregner man den anden grænse betingelse for E-feltet, dog stadig ved at indsætte ligning (4.3), ik z,1 a n,1 e ikz,1(z nd) ik z,1 b n,1 e ikz,1(z nd) = ik z,2 a n+1,2 e ikz,2(z (n+1)d) ik z,2 b n+1,2 e ikz,2(z (n+1)d) (4.6) man får igen de samme omskrivninger, hvor exp funktionerne på venstre siden bliver til 1 og på højre siden bliver de til e ±ikz,2d. Man vi nu gerne kunne udtrykke de to a er og de to b er, derfor omskrives ligning (4.6) til, a n,1 b n,1 = ik z,2 ik z,1 ( an+1,2 e ikz,2d b n+1,2 e ikz,2d) (4.7) hvor ikz,2 ik z,1 = P T E som hedder factor that depends on the polarisation, dette betyder der også er en for TM denne er givet ved P T M = ikz,2 ɛ 1 ik z,1 ɛ2. Dette er dog ikke nok ligninger til at udtrykke a erne og b erne, derfor skal der opstilles flere ligninger. Dette gøres ved at se i den modsatte retning altså se på interfacen n 1 n og ikke n n + 1, som man gjorde før. Først den første grænse betingelse, a n 1,2 + b n 1,2 = a n,1 e ikz,1d + b n,1 e ikz,1d (4.8) Dernæst den anden grænse betingelse, a n 1,2 b n 1,2 = 1 P T M E ( an,1 e ikz,1d b n,1 e ikz,1d) (4.9)

37 4.1. FOTONISKE BÅNDGAB 33 Pga. periodisitet kan man anvende Block, dette medfører at det elektriske felt ved to periodiske similære punkter kan skrives som, E(z+2d) = E(z)e ik B2d, ud fra dette kan man opskrive følgende, a n+1,2 =a n 1,2 e ik B2d b n+1,2 =b n 1,2 e ik B2d (4.10) med disse kan man omdanne n + 1 til n 1 eller omvendt, så længe man husker at medtage Block eksponenten. Dette elleminerer to af vores variable, som gør at man kan opstille et matrix lignings system for fx E-feltet fra ligning (4.6), e ikz,2d e ikz,2d a n+1,2 b n+1,2 a n,1 b n,1 = (4.11) ved hjælp at denne matrix ligning kan man helt elleminere behovet for at finde a erne og b erne fordi man skal finde determinanten for denne matrice, det(m) = 0, man skal have en ikke triviel løsning da de trivielle løsninger ville give anledning til at a/b vektoren skal være lig nul. Man må ikke kunne reducere matricen til en diagonal matrice, dette medføre at der er ikke nul løsninger i vektoren. Hvis man løser dette får man et udtryk som er givet ved Block vektoren, og bølge tallene, cos(2k B d) = cos(k z,1 d) cos(k z,2 d) 1 P 2 T E M + 1 sin(k z,1 d) sin(k z,2 d) P T E M (4.12) for hver Block vektor, k B, har man en ny dispersions relation. Man kan benytte denne ligning til via Matlab at finde båndstrukturen for et givet materiale. ( )

38 34 KAPITEL 4. ONE-DIMENSIONAL PHOTONIC CRYSTALS 4.2 Matlab Man tager udgangspunkt i en struktur som ligner den som er i figur 4.1, hvor perioden (fra kant 21 til kant 21) er givet ved breden Λ, og breden af materiale 1 er a, hvilket vil sige at materiale 2 har breden Λ a. Man vender koordinat systemet så z løber langs interfacen, x er i probagations retningen og y er ind i papiret. Man begynder nu med at opstille E-felts ligningen, hvor feltet svinger op og ned i y retningen og propageere i x-retningen, Ē( r) =ŷu kb,β,n(x)e ik Bx e iβz = ŷe =e ik Bx e iβz n ẽ n e ignx, (4.13) den sidste linje er Fourier form hvor man har skrevet Block faktoren u, og hvor G = 2π/Λ, fra linje et til to forsvinder ŷ, da man går fra at se på feltet til blot at se på felt styrken. Som det næste indfører man en forskrift for dielektrisitets konstanten. Da strukturen er periodisk, kan man opskrive ɛ på Fourier from i reciproket rum, ɛ(x) = n ɛ ne ignx. Som det næste ser man på Fourier koficienten af dielektrisitets konstanten for et arbitrært n, ɛ n, Λ ɛ n = 1 e ignx ɛ(x)dx Λ 0 a = 1 e i 2π Λ nx ɛ 1 dx + e i 2π Λ nx ɛ 2 dx Λ 0 a ( = 1 [ ] a [ ] ) Λ iλ 2π iλ ɛ 1 e i Λ nx 2π + ɛ 2 e i Λ nx Λ 2πn 0 2πn a = 1 ( iλ (ɛ 1 e i 2π Λ na ɛ 1 + ɛ 2 ɛ 2 e i 2π na)) Λ Λ 2πn = i 2πn (ɛ 1 ɛ 2 ) ( e igna 1 ) Λ (4.14)

39 4.2. MATLAB 35 imellem linje et og to laver man yderligere udskiftningen G = 2π Λ, desuden laver man opsplitningen af integralet. Som det næste ser man på særtilfældet hvor n = 0. ɛ 0 = 1 Λ a 0 ɛ 1 dx + Λ a ɛ 2 dx = 1 Λ (aɛ 1 + (Λ a)ɛ 2 ) a ( =ɛ 1 Λ + ɛ 2 1 a ) Λ (4.15) Nu har man alle værktøjerne til at kunne opstille og løse HHL. Først opskrives den generelle form, ( 2 + k 2 0ɛ j )E = 0 (4.16) indsætter man nu ligning (4.13) og lader 2 virke på denne får man, ( (ng+k B ) 2 +0 β 2 )ẽ n e ignx e ikbx e iβz +k0 2 ɛ m ẽ n e ig(n m)x e ikbx e iβz = 0 n (4.17) flytter man nu det andet led over på højre siden, ganger igennem med 1 og fjerner de exp led som kan gå ud, får man n,m ((ng + k B ) 2 + β 2 )ẽ n e ignx = k0 2 ɛ m ẽ n e ig(n m)x (4.18) n man indføre et tredje index for ikke at rode rundt i de to n er, sådan så højre siden summer over m og n. For at ligningen kan være opfyldt skal de to exp funktioner være lig hinanden, for at dette er tilfældet skal der gælde at n = m + n, hvilkdet medføre at m = n n. Benytter man dette kan man omskrive til, n,m ((ng + k B ) 2 + β 2 )ẽ n = k0 2 ɛ n n ẽ n (4.19) n n,n

40 36 KAPITEL 4. ONE-DIMENSIONAL PHOTONIC CRYSTALS dette er den ligning som Matlab skal løse for at finde forskellige værdier for k 0. Men inden den kan det giver vi den værdierne i de to matricer som er indholdt i denne ligning, ɛ 1 1 ɛ 1 2 ɛ 1 n ɛ n n = ɛ 2 1 ɛ 2 2. n,n.... ɛ n 1 ɛ n n ((1G + k B ) 2 + β 2 ) 0 0 ((ng + k B ) 2 + β 2 0 ((2G + k B ) 2 + β 2 ) 0 ) =. n ((ng + (4.20) man skal i realiteten udregne for < n < dette kan dog af praktiske grunde ikke lade sig gøre, derfor begrænser man sig til kun at udregne så lidt som man kan nøjes med, dvs man udregner tilpas mange n indtil værdierne man får ud begynder at stagnere.

41 4.2. MATLAB 37 Figur 4.2:.

42 38 KAPITEL 4. ONE-DIMENSIONAL PHOTONIC CRYSTALS

43 Kapitel 5 Two-dimensional photonic crystals Two-dimensional photonic crystals. Literature: [2] Chapter D pind struktur En 2D fotonisk struktur en en struktur som er periodisk i et plan og homogent i den sidste retning, det er altså en inhomogen fordeling af diel konstanter. En sådan 2D fotonisk struktur kan være uendeligt høje pinde, høj dielektrisitets konstant, som er sat i en bestemt afsand til hinanden på en plade, se figur 5.1, som gør at de er omringet af luft, lav dielektrisitets konstant. Stolperne er placeret med intern afstand, centrum til centrum, a og har en radius på r, udbredelses planet er xy planet og den homogene retning er z. Fordi den er periodiskt kan man anvende Bloch til at beskrive problemet. Desuden begrænser vi os til kun at se i k, da der kun sker udbredelse i xy planet, bølgen kommer nemlig til at sving i k z retningen. Man kan opstille en pe- 39

44 40 KAPITEL 5. TWO-DIMENSIONAL PHOTONIC CRYSTALS Figur 5.1: Skematisk tegning af en 2D struktur bestående af pinde på en over flade, der er luft imellem pindende (lav ɛ) og pindene består af fx et metal (høj ɛ). riodic function, som er den samme som for en forløbende gitter translation, den er altså invariant overfor en gitter translation, aka den er den samme uanset hvor man befinder sig i gitteret, Ē( r) = U( r)e i k r (5.1) hvor U kb ;n( r) er en periodisk funktion, som er invariant over for gitter translationer, desuden har denne periodiske funktion, den samme periode som det felt man ser på. Ved hjælp af dette E-felt kan man løse bølgeligningen, Ē( r) k2 0ɛ j ( r)ē( r) = 0 (5.2) k 0 bølgevektor i vakuum. Dette kan omskrives til Helmholz ligningen (egenværdi ligning) ( 2 + k0ɛ 2 ) j Ē = 0 (5.3) hvor k0ɛ 2 j = k 2. Man kan opstille en forskrift for diel konstanten ɛ(x, y) = ɛ n,m e i(gnx+gmy) (5.4) n,m=

45 5.1. 2D PIND STRUKTUR 41 Da k z = 0 kan man opdele det lys man ser i to typer polarisationer, disse er TM, som vil have magnetfeltet i planet og derfor E-feltet i z retningen, og TE, som vil have H-feltet i z retningen. Disse har man har talt om i en tidligere opgave. (T M) : Ē( r) = E( r)ẑ (5.5) (T E) : H( r) = H( r)ẑ (5.6) man ser på begge disse typer da de nemlig godt kan resultere i forskellig udbredelse i planet, om det er TM eller TE man ser på. Dog holder vi os i planet k z = 0. Man kan benytte disse transvers elektriske og transvers magnetiske ligninger til at plotte båndstrukturen. Man antager en struktur lignende den som er beskrevet i figur 5.1, hvor pindene er Al 2 O 3 (ɛ = 8.9) og de er omgivet af luft (ɛ = 1), desuden antager man at radius er givet ved r/a = 0, 2. Figur 5.2: Båndstrukturen for en struktur bestående af væge som er sat op i et mønster som vist i den lille rude nederst til højre i figuren. Lys med frekvens i det fotoniske båndgab kan ikke udbredes i strukturen, dvs. der findes nogle bølgelængder som

46 42 KAPITEL 5. TWO-DIMENSIONAL PHOTONIC CRYSTALS ikke er tilladte i denne struktur. Man begynder med at se på TM udbredelse. En tilstand koncentrer det meste af dets E-felt i regioner med høj diel, altså pindene, for at kunne sænke dens frekvens, desuden ved man at et højere bånd skal være vinkelret på et nedre bånd, dette er grunden til den store opsplitning imellem de to nedre bånd. For at kunne være vinkelret på det nedre bånd må det øvre have det meste af dets E-felt i luften og ikke i pindene. Koncentrations faktor, KF, angiver hvor høj en koncentration af E-felt der er i områder med høj diel konstant, KF = ɛal ( r) Ē( r) 2 dv ɛ( r) Ē( r) 2 dv (5.7) hvis man udregner dette for denne struktur vil man komme frem til at 83% vil være i første tilstand af Al 2 O 3 og kun 32 % i anden tilstand. Ser man på koncentrationen af E-feltet i strukturen for de forskellige gitter punkter i den ireducible Brilluionzone får man figur 5.3, hvor man har stående bølger, der er ikke nogen gruppe hastighed for det som ellers kunne ligne bølger i figuren. Grænse betingelserne der skal gælde for at Maxwell s ligner er opfyldt er for de to medier at E 1, = E 2, og D 1, = D 2,, desuden ved man at D = ɛ j E,j. Det er fedt for E feltet at være i områder med høj diel, dette sænker nemlig energien, hvilket giver plads til flere tilladte tilstande, ω luft = kx cɛ 1 og ω pind = kx cɛ 2, da ɛ 2 > ɛ 1 vil det resultere i mindre ω pind < ω luft. Normal komposanten for D-feltet skal være kontinuert over interfacen imellem Al og luft. D-feltet er vinkelret på H-feltet, hvilket gør at det er parallelt med E-feltet, som gør at normalen til D-feltet er parallelt med H-feltet. Men da man går fra en høj diel region til en lav diel region falder feltet drastisk når det kommer uden for høj diel regionerne hvor feltet helst vil befinde sig, dette kan tydeligst ses på figur 5.3, Γ bånd 2, hvor der er højt positivt felt i pindene, og når man kommer udenfor pindene vil feltet falde til let negativt.

47 5.2. 2D KRYS STRUKTUR 43 Ved TE svinger E-feltet i planet, hvilket gør at det ikke vil blive bremset på samme måde af de høj diel regioner, som i TM tilfeldet, hvor E-feltet svingede langs pindene D krys struktur Man kan nu prøve det samme igen, bare denne gange er pindene forbundet, så man laver et gitter mønster i stedet for. Dette gitter mønster og dets båndstrukture for hhv TM og TE er afbilledet i figur D huller i material 5.4 Propagering i alle retninger Som det sidste kan man antage at k z 0, at der altså nu er propagation i alle tre retninger.

48 44 KAPITEL 5. TWO-DIMENSIONAL PHOTONIC CRYSTALS Figur 5.3: Her er D-feltet plottet, D-feltet har den sammenhæng med E-feltet at D = ɛe. D-feltet skal ikke være kontinuert hen over grænserne, hvorimod E-feltet skal være kontinuert. Planerne i de høj diel områder kaldes for no-dal-planer. TM feltet for bånd 1, som er det nederste bånd fra figur 5.2, og bånd 2, som er det andet bånd i samme figur, og vist ved de tre gitter punkter, som vist på x aksen af båndstrukturen.

49 5.4. PROPAGERING I ALLE RETNINGER 45 Figur 5.4: Her er H-feltet plottet, for at få en ide om E feltet skal man se på heldningen. TNK BAGLÆNS. TE feltet for bånd 1 og bånd 2 for kun χ punktet. Figur 5.5: Båndstrukturen for en struktur bestående af væge som er sat op i et mønster som vist i den lille rude nederst til højre i figuren.

50 46 KAPITEL 5. TWO-DIMENSIONAL PHOTONIC CRYSTALS Figur 5.6: E feltet plottet. TM feltet for bånd 1 og bånd 2 for kun χ punktet Figur 5.7: H feltet plottet, for at få en ide om E feltet skal man se på heldningen. TE feltet for bånd 1 og bånd 2 for kun χ punktet.

51 5.4. PROPAGERING I ALLE RETNINGER 47 Figur 5.8: Skematisk tegning af en 2D struktur bestående af huller i en overflade, der er luft i hullerne (lav ɛ) og alt imellem hullerne består af fx et metal (høj ɛ). Figur 5.9: Yderligere skematisk tegning af en 2D struktur bestående af huller i en overflade. Figur 5.10: Båndstrukturen for en struktur bestående af væge som er sat op i et mønster som vist i den lille rude nederst til højre i figuren. Den ireducible brilluin zone og det gitter som er tegnet er 90 forkert af hinanden, forskellen på k rum og r rum.

52 48 KAPITEL 5. TWO-DIMENSIONAL PHOTONIC CRYSTALS Figur 5.11: Båndstrukturen hvor lyset propagere i alle tre retninger.

53 Kapitel 6 Photonic crystal optical fibres Photonic crystal optical fibres. Literature: [2] Chapter Introduktion Man begynder ved at tage udgangspunkt i nogle forskellige fotoniske båndgabs strukture for at kunne forklare hvordan man får fotoniske båndgab ud af dem. Man begynder i det simpleste tilfælde hvor man er i 1D, som vist på figur 4.1. Hvis man har et TM felt der propagere i sådan en struktur vil man have E feltet til at svinge i xy planet og for TE vil man have at H feltet svinger i planet. Dette giver anledning til en båndstruktur som er vist på figur 4.2, men også i Matlab øvelsen hørende til spørgsmål 4. For at lys kan propagere i et mede skal det være over light linen. Hvis man nu havde en 2D fotonisk båndgabs struktur bestående af en masse huller i et medie, figur 5.8, ville man komme frem til en båndstruktur som vist på figur Ved at indføre defekter i krystallet kan man fange lyset. Dette bruges ved fx at indføre en 49

54 50 KAPITEL 6. PHOTONIC CRYSTAL OPTICAL FIBRES linje defekt hvor man så ville kunne fange og lede lyset, dette kan gøre på to måder. I den første fjerner man hullerne, så man har et høj diel område som lyset skal propagere i og i det andet tilfælde vil man indføre en kontinuert grove, som kan lede lyset. Generelt for alle typer fotoniske strukture gælder der at egentilstande som ligger op af hinanden skal være vinkelrette på hinanden. Det er fedt for E feltet at være i områder med høj diel, dette sænker nemlig energien, hvilket giver plads til flere tilladte tilstande, ω luft = kx cɛ 1 og ω pind = kx cɛ 2, da ɛ 2 > ɛ 1 vil det resultere i mindre ω pind < ω luft. 6.2 Anvendelse af 1D og 2D vidnen Det som blev fortalt in introduktionen er egentlig ikke hvad spørgsmålet handlede om, men det ledte godt op til det. For spørgsmålet går nemlig mere ud på hvordan man anvender den viden man har til at lave optiske fibre via fotoniske krystaller. Figur 6.1:. Man har tre typer strukture. Den første hedder en Brak fiber, hvor hullet er meget større end tykkelsen af de lag som fiberen er gjort af, se figur 6.1.a, ideen er nemlig hvis diameteren på fiberet bliver stort nok vil man kunne tilnærme et lille område til at være

55 6.2. ANVENDELSE AF 1D OG 2D VIDNEN 51 en 1D struktur, som gør at man udnytter at det virker som et perfekt spejl, som gør at lyset ikke kan kople ud af strukturen. Den anden struktur hedder en index guided struktur, som i princip virker på samme måde som den anden, man har en defekt i midten af kablet, i form af et manglende hul, som gør at der er en region med højere diel konstant end resten af strukturen, se figur 6.1.c, man benytter altså at det effektive brydnings index for kladding området er mindre en kernen. Man kan tune hvilke bølgelængder der bedst kan propagere i sådanne strukture ved at ændre på hul størrelsen, hvor tæt de ligger sammen og ved at gøre defekten i midten større eller mindre relativt til hullerne. Hvis bølgelængden på det lys man sender igennem er for lille vil det begynde at koble ud igennem området med huller. Det tredje tilfælde er at man helt fjerner det område midt i kablet, at man altså har et område der er luft, som vist på figur 6.1.b. Her ville man have et højere effektivt brydnings index i kladding området end i kernen af strukturen. Det specielle ved denne struktur er at man fanger lyset i lav diel området, hvilket er modsat det bølgeledere man har idag, det smarte ved at fange lyset i lav diel områderne er dog af man mindsker det tab der er i sådanne bølgeledere. Har man en fiber som vist i figur 6.1.c kan man tegne en light line (øverst højre hjørne), LL i denne er ikke linier, den er forskellig fra materiale til materiale og den beskriver minimums ω for en given k x. Generelt hvis man har lys som kommet langt væk fra så kan man kun eksitere modes som ligger over light linen (LL). Hvis man vil have eksiteret modes, som ligger under denne LL skal man have en nærfelts kilde. Har man en fiber som vist i figur 6.1.b kan man tegne en LL for lys i vakum. De blå områder er de tilladte tilstande for strukturen, dvs hvis man vil have flere tilladte tilstande kan man blive nød til at sænke LL en. Man kan se at der findes nogle tilstande i båndgabet af denne struktur. Det snedige er at man kan fange lyset på kanten imellem hul og kladding område, i denne tilstand vil lyset aftage

56 52 KAPITEL 6. PHOTONIC CRYSTAL OPTICAL FIBRES Figur 6.2:. exponentielt ind imod hullet og ud i strukturen, lyset er altså meget lokaliseret til denne overflade (kant).

57 6.2. ANVENDELSE AF 1D OG 2D VIDNEN 53 Figur 6.3:.