Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder"

Transkript

1 Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget tilsvarende gør man ofte, når elektronisk data skal sendes via en såkaldt informationskanal. Det værktøj, man bruger, kaldes fejlkorrigerende koder. Uden fejlkorrigerende koder ville såvel en CD-afspiller som en DVD-afspiller være ubrugelig, og billeder sendt til jorden fra Mars eller månen ville være af en meget dårlig kvalitet.

2 Et eksempel på en fejlkorrigerende kode er den såkaldte binære Hammingkode. Her indpakkes beskeder af 4 binære symboler til ialt 7 symboler. Som vi skal se senere, beskytter denne indpakning de 4 symboler. Først et eksempel på, hvordan vi pakker ind. Eksempel 1: Beskeden (, 1, 1, ) indkodes ved hjælp af følgende figur Vi tilføjer tre ekstra symboler, e e f c b 1 1 a d g f g Figur 1: kaldet efg, ud fra følgende regler: Summen af elementerne i hver af de tre cirkler skal være lige. Eller sagt i et mere passende sprogbrug, summen i hver af de tre cirkler skal være modulo 2. Øverste cirkel giver anledning til: e (mod 2) e (mod 2) e =. Venstre cirkel giver anledning til: f (mod 2) 1 + f (mod 2) f = 1. 2

3 Højre cirkel giver anledning til: g (mod 2) 1 + g (mod 2) g = 1. Så beskeden (, 1, 1, ) indkodes altså til kodeordet (, 1, 1,,, 1, 1). Opgave 2: Indkod beskeden (1, 1,, 1) til et kodeord i den binære Hammingkode. Opgave 3: Indkod beskeden (1, 1, 1, 1) til et kodeord i den binære Hammingkode. I det følgende ser vi på, hvordan de tre ekstra symboler beskytter de 4 informationssymboler. Eksempel 4: Lad os sige, at du befinder dig i den modtagende ende af informationskanalen og at du modtager ordet (, 1, 1, 1,, 1, 1). Et første gæt ville være, at beskeden er (, 1, 1, 1). Men summen er ikke nul i alle de tre cirkler i nedenstående figur. Så der er altså ikke tale om Figur 2: et rigtigt kodeord. Der er sket fejl. Det er naturligt at starte med at antage, at der kun er sket en enkelt fejl. Som det fremgår af nedenstående figur, er dette en mulighed. Nemlig hvis symbolet 1 i positionen d i virkeligheden skulle have været. Vi konkluderer, at 3

4 det afsendte kodeord i virkeligheden var (, 1, 1,,, 1, 1) og at beskeden derfor er (, 1, 1, ). Opgave 5: Du modtager ordet (,, 1, 1,,, 1). Er dette et kodeord? Hvis vi nu antager, at der højst er sket en fejl, hvad er så det rigtige kodeord? Hvad er beskeden? Opgave 6: Du modtager ordet (, 1, 1,, 1,, ). Hvis vi nu antager, at der højst er sket en fejl, hvad er så det rigtige kodeord? Hvad er beskeden? Den binære Hammingkode er et eksempel på en såkaldt lineær kode. Det betyder, at hvis c 1 = (a, b, c, d, e, f, g) og c 2 = (A, B, C, D, E, F, G) er to kodeord, så er summen c 1 + c 2 = (a + A, b + B, c + C, d + D, e + E, f + F, g + G) også et kodeord. At dette rent faktisk er tilfældet ses på følgende måde. Vi konstaterer, at hvis c 1 = (a, b, c, d, e, f, g) er et kodeord i Hammingkoden, da må der gælde a + b + c + e er lige, a + c + d + f er lige og a + b + d + g er lige. Tilsvarende har vi, at hvis c 2 = (A, B, C, D, E, F, G) er et kodeord i Hammingkoden, da må der gælde A+B+C+E er lige, A+C+D+F er lige og A+B+D+G er lige. Men så er (a+a)+(b+b)+(c+c)+(e+e) = (a+b+c+e)+(a+b +C +E) lige (lige + lige er lige), (a+a)+(c+c)+(d+d)+(f +F ) = (a+c+d+f)+(a+c +D +F ) er lige og (a + A) + (b + B) + (d + D) + (g + G) = (a + b + d + g) + (A + B + D + G) er lige. Dermed er (a+a, b+b, c+c, d+d, e+e, f +F, g+g) et kodeord i Hammingkoden. Opgave 7: Ordene (, 1, 1,,, 1, 1) og (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) er begge kodeord i den binære Hammingkode. Find summen. Vis ved hjælp af de tre cirkler, at summen er et nyt kodeord. Lineære koder er specielt nemme at beskrive. Eksempel 8: Hver af de fire rækker i nedenstående system (kaldet en matrix) svarer til et kodeord i den binære Hammingkode. G = Vil du indkode for eksempel beskeden (1, 1,, 1), så kan du gøre det ved at lægge 1 gange række 1 sammen med 1 gange række 2, sammen med gange række 3 og sammen med 1 gange række 4. Hvorfor virker denne metode? Jo for det første er Hammingkoden lineær, så række 1 plus række 2 er et nyt kodeord. Til dette lægges række 4. Igen fås et kodeord, da summen af to kodeord jo er et kodeord igen. Så række 1 plus række 2 plus række 4 er helt klart et kodeord. Hvad er de fire første tal i det herved udregnede kodeord? Jo ved 4

5 at betragte matricen ovenfor ser vi, at disse netop udgør vores besked (1, 1,, 1). Metoden virker selvfølgelig ikke bare for beskeden (1, 1,, 1) men for alle beskeder (a, b, c, d). Opgave 9: Benyt metoden fra eksempel 8 til at indkode beskeden (1,, 1, 1). Lister vi alle lovlige kodeord i Hammingkoden, så vil vi opdage, at bortset fra kodeordet (,,,,,, ) så er der ingen kodeord med mindre end 3 ikke-nul symboler. Det mindste antal ikke-nul symboler, der kan forekomme i et kodeord forskelligt fra (,,, ) kaldes minimumsafstanden, og forkortes d. Der gælder følgende simple resultat, som vi dog ikke vil bevise. Sætning 1: En lineær kode med minimumsafstand d kan rette d 1 2 fejl (altså (d 1)/2 rundet ned). Opgave 11: Hvor mange fejl kan den binære Hammingkode rette? Hvis en kode har minimumsafstand d = 4, hvor mange fejl kan den så rette? Hvad hvis den har minimumsafstand d = 17? Indtil videre har vi kun arbejdet med symbolerne og 1. Det vil sige, vi har indtil videre kun arbejdet med det binære alfabet F 2 = {, 1}. Man arbejder i praksis med forskellige alfabeter svarende til de såkaldte endelige legemer. Disse har alle størrelsen p m, hvor p er et primtal. I det følgende ser vi kun på de tilfælde, hvor m = 1. Altså på de tilfælde, hvor alfabetet indeholder p elementer. Eksempel 12: Alfabetet F 3 = {, 1, 2} tilfredsstiller ligningen 3 =. Det vil sige = 2, = 3 = og = 4 = = + 1 = 1. Vi siger, at vi reducerer modulo 3. Tilsvarende gælder 2 2 = 4 = = + 1 = 1. Vi får følgende additions- og multiplikationstabeller Opgave 13: Alfabetet F 5 = {, 1, 2, 3, 4} tilfredsstiller ligningen 5 =. Vi siger, at vi regner modulo 5. Udfyld følgende additions- og multiplikationstabeller

6 Vi behandler afslutningsvis de såkaldte Reed-Solomonkoder. Disse er defineret for alle alfabeter. Eksempel 14: Lad os for eksempel betragte alfabetet F 5. Lad os sige, at vi gerne vil have beskeder af længde 3 pakket ind i kodeord af længde 5. Vi vil opstille en matrix, som i eksempel 8. Da vi vil have beskeder af længde 3, skal denne matrix have 3 rækker. Vi vælger som første række (1, 1, 1, 1, 1). Som anden række vælger vi ( ) = (, 1, 2, 3, 4). Som tredie række vælger vi ( ) = (, 1, 4, 4, 1). Så anden række er altså fremkommet ved at stoppe punkterne, 1, 2, 3, 4 ind i polynomiet x, tredie række er fremkommet ved at stoppe punkterne, 1, 2, 3, 4 ind i polynomiet x 2 og første række er fremkommet ved at stoppe punkterne, 1, 2, 3, 4 ind i polynomiet 1. G = Vil vi nu indkode beskeden (1, 2, 4) lægger vi simpelthen 1 gange række 1 sammen med 2 gange række 2 og sammen med 4 gange række 3. Vi får 1 (1, 1, 1, 1, 1)+2 ( 1, 1 1, 2 1, 3 1, 4 1 )+ 4 ( 2, 1 2, 2 2, 3 2, 4 2 ) = ( , , , , , ) = (p(), p(1), p(2), p(3), p(4)), hvor p(x) = 1+2x+4x 2. Generelt indkodes beskeden (a, b, c) til (p(), p(1), p(2), p(3), p(4)), hvor p(x) = a + bx + cx 2. Bemærk, at denne indkodning har en enkelt ulempe! Når først vi har indkodet vores besked, da kan vi ikke direkte se af kodeordet, hvad beskeden er. F.eks. indkodes (1, 2, 4) ovenfor til (1, 2, 1, 3, 3). Dette er ikke et problem i praksis. Opgave 15: Lad os igen betragte alfabetet F 5. Lad os nu sige, at vi gerne vil have beskeder af længde 2 pakket ind i kodeord af længde 5. Opskriv den tilhørende matrix. Hvilket polynomium skal du bruge for at indkode beskeden (2, 2)? Opgave 16: Samme som opgave 15 men med beskeder af længde 4. Hvilket polynomium skal du bruge for at indkode beskeden (2, 1, 3, 1)? En af fordelene ved Reed-Solomonkoderne er, at det er så let at finde deres minimumsafstand. Eksempel 17: Betragt koden fra eksempel 14. Et kodeord findes ved at benytte et polynomium af grad højst 2. Et ikke-nul polynomium af grad højst 2 har højst to nulpunkter. Derfor må der i ethvert ikke-nul kodeord forekomme højst 2 nuller. Men så er der mindst 3 ikke-nul symboler. Hermed er minimumsafstanden d lig 3. Vi kan rette = 1 fejl. 6

7 Opgave 18: Benyt metoden fra eksempel 17 til at finde minimumsafstanden af koden i opgave 16. Hvor mange fejl kan vi rette? Opgave 19: Benyt metoden fra eksempel 17 til at finde minimumsafstanden af koden i opgave 15. Opgave 2: Find selv på flere eksempler. Prøv for eksempel at lave Reed-Solomonkoder over alfabetet F 7 = {, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. I det følgende vil vi gerne arbejde os hen imod at vise, at et polynomium af grad n højst kan have n forskellige nulpunkter. Vi får brug for divisionsalgoritmen for polynomier. Vi nupper lige et eksempel med heltal først. Eksempel 21: Betragt de positive heltal a = 7612 og b = 7. Vi vil gerne finde ikke-negative heltal q og r således, at der gælder a = q b + r og således, at r < b holder. Divisionsalgoritmen er velkendt, men er måske her skrevet lidt anderledes op end I er vant til : 7 = Vi konkluderer, at 7612 = Altså er q = 187 og r = 3. Opgave 22: Lad a = 9635 og lad b = 4. Find q og r, så a = q b + r, hvor q og r er ikke-negative heltal, og hvor r < 4. Vi konstaterer, at divisionsalgoritmen altid stopper (det vil sige, den bliver færdig i endelig mange trin). Det er også let at indse, at vi altid vil ende med et r som opfylder r < b. At vores bud på q og r altid opfylder a = qb + r, ses nok lettest ved at betragte eksempel 21 en gang til. Eksempel 23: Vi betragter udregningerne i eksempel 21. Sidste linie i den ni-liniers udregning svarer til r. Ottende linie svarer til 7 b og syvende linie svarer til 7 b + r. Sjette linie svarer til 7

8 8 b og femte linie svarer til 8 b + 7 b + r. Fjerde linie svarer til b og tredie linie svarer til b + 8 b + 7 b + r. Anden linie svarer til 1 b og første linie svarer til 1 b b+8 b+7 b+r. Vi har 1 b b+8 b+7 b+r = (1++8+1) b+r = q b+r. Men første linie er jo også lig a, og vi har a = q b + r. Vi går nu over til at se på divisionsalgoritmen for polynomier. Det virker selvfølgelig lidt mere abstrakt end ovenstående, men er dybest set det samme. Eksempel 24: Betragt polynomierne a(x) = 8 x x og b(x) = 2 x + 1. Vi vil finde polynomier q(x) og r(x) så a(x) = q(x) b(x) + r(x), hvor graden af r(x) er mindre end graden af b(x). 8x 3 + 6x 2 + x + 1 : 2x + 2 = 4x 2 8x 3 + 8x 2 2x 2 + x + 1 x 2x 2 2x 2x x Så q(x) = 4x 2 x + 1 og r(x) = 1 opfylder a(x) = q(x) b(x) + r(x) og ganske rigtigt er r(x) af grad nul. Opgave 25: Lad a(x) = 8x 4 + 4x 3 2x 2 + x + 1 og b(x) = x + 4. Find ved hjælp af divisionsalgoritmen q(x) og r(x), så a(x) = q(x)b(x) + r(x) og så graden af r(x) er mindre end graden af b(x). Opgave 26: Lad a(x) = 8x 4 + 4x 3 2x 2 + x + 1 og b(x) = x 2 + x + 4. Find ved hjælp af divisionsalgoritmen q(x) og r(x), så a(x) = q(x)b(x) + r(x) og så graden af r(x) er mindre end graden af b(x). Opgave 27: I denne opgave benyttes metoden fra eksempel 23. Denne gang tager vi udgangspunkt i eksempel 24. Forklar, hvorfor vi kan være sikre på, at divisionsalgoritmen altid stopper. Forklar hvorfor vi altid ender med et r(x) som har grad mindre end b(x). Forklar hvorfor der altid gælder a(x) = q(x)b(x) + r(x). Eksempel 28: Vi øger nu abstraktionsniveauet yderligere idet vi istedet for de rationale tal vil arbejde med legemet F 3 fra eksempel 12. Blandt andet gælder der altså nu 2 2 = 1 og 1 2 = 2. Vi betragter polynomierne a(x) = 2x 3 + 2x 2 + x + 1 og b(x) = x + 2. Vi søger som ovenfor q(x) og r(x), men denne gang med koefficienter i F 3. 8

9 Så q(x) = 2x 2 + x + 2 og r(x) =. 2x 3 + 2x 2 + x + 1 : x + 2 = 2x 2 2x 3 + x 2 x 2 + x + 1 +x x 2 + 2x 2x x + 1 Opgave 29: Ligesom i ovenstående eksempel regner vi i legemet F 3. Lad a(x) = 3x 2 + x 2 + 2x + 1 og b(x) = 2x + 2. Find ved hjælp af divisionsalgoritmen q(x) og r(x). Opgave 3: I dette eksempel regner vi i legemet F 3 fra eksempel 13. Lad a(x) = 2x 3 + 2x 2 + x + 1 og b(x) = x + 2 og find ved hjælp af divisionsalgoritmen q(x) og r(x). Eksempel 31: Betragt polynomiet f(x) = x 3 7x x 8 med koefficienter i de rationale tal. Ved indsættelse kan man overbevise sig om, at f(x) har nulpunkterne 1, 2 og 4. Vi vil nu bevise, at det ikke har flere nulpunkter end disse. Vi får kraftigt brug for divisionsalgoritmen. Først tages udgangspunkt i nulpunktet 1. Vi søger som sædvanlig q(x) og r(x) så x 3 7x x 8 = q(x) (x 1) + r(x) (1) og så r(x) har grad mindre end polynomiet x 1. Men så er r(x) altså en konstant. Vi ved, at =, og selvfølgelig gælder også q(1) (1 1) =. Vi konkluderer, at r(x) derfor bliver nødt til at være lig. x 3 7x x 8 : x 1 = x 2 x 3 x 2 6x x 8 6x 6x 2 + 6x 8x x 1 Vi har altså f(x) = (x 2 6x + 8) (x 1) +. Bemærk, at vi som forventet fik rest r lig. Vi fortsætter nu med at kigge på nulpunktet 2. Da 2 ikke er nulpunkt i polynomiet x 1, 9

10 må 2 i følge ovenstående være nulpunkt i x 2 6x + 8. Vi regner ligesom ovenfor. x 2 6x + 8 : x 2 = x x 2 2x 4x x + 8 Hermed haves x 2 6x+8 = (x 2) (x 4), og dermed altså f(x) = (x 1) (x 2) (x 4). Ud fra denne opskrivning (faktorisering) er det klart, at der ikke kan være flere nulpunkter end de tre vi allerede kender. Sætning 32: Lad f(x) være et polynomium af grad g over et givet legeme. Da kan f(x) højst have g forskellige nulpunkter i legemet. Opgave 33: Skitser med baggrund i eksempel 31 et bevis for sætning 32 (hint: antag, at f(x) har mindst d + 1 forskellige nulpunkter og nå frem til en modstrid). Sætning 34: Betragt Reed-Solomon koden over alfabetet F p defineret ved hjælp af polynomier af grad op til g. Koden har minimumsafstand mindst lig p g. Opgave 35: Bevis sætning 34 ved hjælp af sætning 32. Opgave 35: Lad polynomiet f(x) = x 3 + 2x 2 x 2 have koefficienter i F 3. Find ved indsættelse rødderne i F 3 for dette polynomium. Benyt metoden fra opgave 31 til at finde ud af, hvilken af disse rødder, der er dobbeltrod. Opgave 36: Vi betragter divisionsalgoritmen for positive heltal (behandlet i eksempel 21). Vi vil argumentere for, at det r vi finder ved hjælp af algoritmen altid er det mindste positive heltal, som opfylder, at a = q b + r. Lad q og q være positive heltal og lad r og r være positive heltal mindre end b således at a = q b + r og a = q b + r. Vi vil vise, at så gælder q = q og r = r. Betragt differensen = a a = (q b + r) (q b + r ) = (q q ) b (r r ). Overbevis dig om, at der er følgende to muligheder. Mulighed 1: q = q og r = r. Mulighed 2: Der gælder (q q ) b b og r r < b. Argumenter for, at mulighed 2 aldrig kan forekomme. Genereliser resultatet til divisionsalgoritmen for polynomier. 1

11 Opgave 37: Legemet F 2 2 = F 4 består af elementerne Der benyttes følgende regneregler {, 1, α, 1 + α} (2) 2 = og α 2 + α + 1 = (3) Første regel indebærer, at og + er det samme. Kan du se hvorfor? Vis, at der derfor gælder α 2 = α +1. Opskriv additionstabellen for F 4. Hvilke elementer i (2) svarer til α 2 og α 3? Konkluder, at {α, α 2, α 3 } svarer til ikke-nul elementerne i (2). Udnyt, at α 2 α 2 = α 4 = α 3 α, til at finde det element i (2), som svarer til α 2 α 2. Opskriv multiplikationstabellen for F 4. 11

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget

Læs mere

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249 Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2 Eventuelle kommentarer kan sendes til olav@mathaaudk

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi)

Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi) Fejlkorrigerende koder, secret sharing (og kryptografi) Olav Geil Afdeling for Matematiske Fag Aalborg Universitet Møde for Matematiklærere i Viborg og Ringkøbing amter 7. november, 2006 Oversigt Fejlkorrigerende

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder

Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Miniprojekt 3: Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Denne note er skrevet med udgangspunkt i [, p 24-243, 249] Et videre studium kan eksempelvis tage udgangspunkt i [2] Eventuelle kommentarer

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.

Vi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe. 0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.

Læs mere

Moderne kryptografi. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet. Elektronik og IT-Gruppen 24. april 2008

Moderne kryptografi. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet. Elektronik og IT-Gruppen 24. april 2008 Moderne kryptografi Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Elektronik og IT-Gruppen 24. april 2008 Matematik og ingeniørvidenskab Uden ingeniørvidenskab var komplekse tal blot en kuriøsitet

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri

Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri Projekt 3.1 Fjerdegradspolynomiets symmetri I kapitel 3 har vi set at grafen for et andengradspolynomiet p x a x x c () altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x. a Tilsvarende er grafen for tredjegradspolynomiet

Læs mere

DesignMat Lineære differentialligninger I

DesignMat Lineære differentialligninger I DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En

Læs mere

Affine - et krypteringssystem

Affine - et krypteringssystem Affine - et krypteringssystem Matematik, når det er bedst Det Affine Krypteringssystem (Affine Cipher) Det Affine Krypteringssystem er en symmetrisk monoalfabetisk substitutionskode, der er baseret på

Læs mere

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.

Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Lineære ligningssystemer

Lineære ligningssystemer enote 2 1 enote 2 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II

DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet

Tilsvarende har vbi i kapitel 3 set, at grafen for tredjegradspolynomiet Projekt 3 Fjerdegradspolynomiets symmetri Indledning: Symmetri for polynomier I kapitel har vi set at grafen for et andengradspolynomiet altid er symmetrisk omkring den lodrette akse x a p x a x x c ()

Læs mere

Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004

Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger

DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger DiploMat 1 Inhomogene lineære differentialligninger Preben Alsholm Uge Efterår 2008 1 Lineære Differentialligninger af anden orden 1.1 Den inhomogene ligning I Den inhomogene ligning I Vi betragter nu

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Opgave 1 Regning med rest

Opgave 1 Regning med rest Den digitale signatur - anvendt talteori og kryptologi Opgave 1 Regning med rest Den positive rest, man får, når et helt tal a divideres med et naturligt tal n, betegnes rest(a,n ) Hvis r = rest(a,n) kan

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering

Algebra med Bea. Bea Kaae Smit. nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Algebra med Bea Bea Kaae Smit nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende regler 7 3.1 Tal..........................

Læs mere

Analytisk plangeometri 1

Analytisk plangeometri 1 1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007

Opgaver. Kapitel 1 fra Bogen. Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Opgaver Kapitel 1 fra Bogen Georg Mohr-Konkurrencens vinderseminar 1. udgave 2. oplag 2007 Dette kapitel indeholder opgaver af ret varierende sværhedsgrad. De letteste ligger i forlængelse af, hvad der

Læs mere

Ringe og Primfaktorisering

Ringe og Primfaktorisering Ringe og Primfaktorisering Michael Knudsen 16. marts 2005 1 Ringe Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1,0,1,2,...}. På Z har to regneoperationer, + (plus) og (gange), der til to hele tal

Læs mere

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007

Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 Talteoriopgaver Træningsophold ved Sorø Akademi 2007 18. juli 2007 Opgave 1. Vis at når a, b og c er positive heltal, er et sammensat tal. Løsningsforslag: a 4 + b 4 + 4c 4 + 4a 3 b + 4ab 3 + 6a 2 b 2

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som a + b

Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som a + b vil have samme chance for at få eller 7 skilling i et retmæssigt spil, som det senere vil blive vist. Proposition I Hvis jeg har samme chance for at få a eller b, er det for mig lige så meget værd som

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Kapitel 2 Tal og variable

Kapitel 2 Tal og variable Tal og variable Uden tal ingen matematik - matematik handler om tal og anvendelse af tal. Matematik beskæftiger sig ikke udelukkende med konkrete problemer fra andre fag, og de konkrete tal fra andre fagområder

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk

Algebra. Dennis Pipenbring, 10. februar 2012. matx.dk matx.dk Algebra Dennis Pipenbring, 10. februar 2012 nøgleord andengradsligning, komplekse tal, ligningsløsning, ligningssystemer, nulreglen, reducering Indhold 1 Forord 4 2 Indledning 5 3 De grundlæggende

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

Komplekse tal og polynomier

Komplekse tal og polynomier Komplekse tal og polynomier John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal, polynomier og legemsudvidelser. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Noter om komplekse tal

Noter om komplekse tal Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at

Læs mere

Matricer og Matrixalgebra

Matricer og Matrixalgebra enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,

Læs mere

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8

Hvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8 Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb.

sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. sætning: Hvis a og b er heltal da findes heltal s og t så gcd(a, b) = sa + tb. lemma: Hvis a, b og c er heltal så gcd(a, b) = 1 og a bc da vil a c. lemma: Hvis p er et primtal og p a 1 a 2 a n hvor hvert

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul

Lineære sammenhænge. Udgave 2. 2009 Karsten Juul Lineære sammenhænge Udgave 2 y = 0,5x 2,5 2009 Karsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse af hæftet "Variabelsammenhænge, 2. udgave 2009". Indhold 1. Lineære sammenhænge, ligning og graf... 1 2. Lineær

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor

Vektorrum. enote Generalisering af begrebet vektor enote 7 1 enote 7 Vektorrum I denne enote opstilles en generel teori for mængder, for hvilke der er defineret addition og multiplikation med skalar, og som opfylder de samme regneregler som geometriske

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25

t a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25 Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion

Læs mere

Komplekse tal og rækker

Komplekse tal og rækker Komplekse tal og rækker John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Komplekse tal og rækker. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. I afsnit 2 bliver

Læs mere

PeterSørensen.dk : Differentiation

PeterSørensen.dk : Differentiation PeterSørensen.dk : Differentiation Betydningen af ordet differentialkvotient...2 Sekant...2 Differentiable funktioner...3 Bestemmelse af differentialkvotient i praksis ved opgaveløsning...3 Regneregler:...3

Læs mere

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007

MM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007 MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik

Læs mere

TALTEORI Ligninger og det der ligner.

TALTEORI Ligninger og det der ligner. Ligninger og det der ligner, december 006, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Ligninger og det der ligner. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan få i Marianne Terps og Peter

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss

Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Matematik opgave Projekt afkodning Zehra, Pernille og Remuss Opgave A Sæt de overstående symboler ind i en matematisk sammenhæng der gør dem forståelige. Det kan være som en sætning eller med tal og bogstaver

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere