Kurve- og plan-integraler
|
|
- Sidsel Lange
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet at finde længder af kurver og arealer af plane områder, for så vidt de er beskrevet på en passende parameterform Kurveintegraler Vi vil i udgangspunktet betragte kurver som er parametriserede på følgende måde ved en parameterfremstilling. En parametriseret kurve K r i rummet er givet ved en parameterfremstilling således: K r : r(u) = (x(u), y(u), z(u)) R 3, u [a, b]. (22-1) En given kurve kan sædvanligvis parametriseres på uendelig mange måder. Figur 22.1 viser tre forskellige parametriseringer af det rette linjestykke fra (0, 2, 2 1) til (0, 2, 1 2 ). Figur 22.2 viser tilsvarende to forskellige parametriseringer af en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0, 0). Figur 22.4 viser tilsvarende 2 forskellige parametriseringer af en skruelinje. Vi antager her og i det følgende, at de tre koordinatfunktioner x(u), y(u) og z(u) i parameterfremstillingerne er pæne funktioner af u. Vi antager simpelthen, at de alle tre er glatte funktioner af u således at de kan differentieres vilkårligt mange gange. Specielt er de afledede funktioner x (u), y (u) og z (u) derfor kontinuerte i intervallet [a, b]. Så har vi også, at r (u) = x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 (22-2) er en kontinuert funktion i intervallet [a, b]. Specielt kan denne funktion derfor integreres over intervallet, jvf. enote 21 og det har vi om lidt brug for i definition 22.5 nedenfor.
2 enote KURVEINTEGRALER 2 Figur 22.1: Linjestykket fra (0, 2, 1 2 ) til (0, 2, 1 2 ) er her parametriseret på 3 forskellige måder: r 1 (u) = ( 0, 2u, 1 2), u [ 1, 1] ; r2 (u) = ( ( 0, 2 u 3, 1 2), u [ 1, 1], og r3 (u) = 0, 2 sin( π 2 u), 1 2), u [ 1, 1]. Markeringerne på de enkelte linjestykker stammer fra den inddeling af det fælles parameterinterval [ 1, 1] som består af 20 lige store delintervaller. Bemærk, at længden af de tre kurver klart er den samme, selv om parametriseringerne er ret forskellige. Se Opgave Definition 22.1 Regulær parameterfremstilling En parameterfremstilling r(u) for en kurve K r - som i (22-1) - siges at være en regulær parameterfremstilling hvis følgende betingelse er opfyldt: r (u) = 0 for alle u [a, b]. (22-3) Opgave 22.2 Hvilke af parameterfremstillingerne i figurerne 22.1, 22.2, 22.4, og 22.5 er regulære?
3 enote KURVEINTEGRALER 3 En parametriseret kurve er andet og mere end blot billedmængden (punktmængden) r([a, b]), idet selve parametriseringen eksempelvis kan foreskrive at dele af punktmængden skal gennemløbes flere gange, se eksempel nedenfor. Man kan gerne tænke på intervallet [a, b] som en retlinet elastik i hvile. Vektorafbildningen r deformerer elastikken (ind i rummet) ved at bøje, strække eller komprimere elastikken. En lokal strækning gør selvfølgelig elastikken lokalt længere, mens en lokal komprimering gør elastikken lokalt kortere. Et første naturligt spørgsmål er derfor hvor lang hele elastikken er efter brug af afbildningen r. Kurveintegralet indføres blandt andet med henblik på at finde den totale længde af den deformerede kurve i rummet. Vi kan ligeledes forestille os, at den parametriserede kurve selv er masseløs, men at den til gengæld efter deformationen med r farves med en maling på en sådan måde at massetætheden af malingen langs med kurven (i gram pr. centimeter, f.eks.) er givet som en funktion f af stedet (x, y, z) i rummet altså sådan at massetætheden af malingen på stedet r(u) er f (r(u)). Opgaven er da at finde den totale masse af den deformerede og farvelagte parametriserede kurve. Bemærk, at med lidt fantasi kan vi endda gerne tillade, at massetætheden f antager negative værdier. Disse forestillinger skal naturligvis kun hjælpe os til at få en passende intuitiv forståelse af de indførte begreber; vi skal i de relaterede enoter se adskillige andre tolkninger og brug af kurveintegralet. Eksempel 22.3 Skruelinje Skruelinjen i figur 22.4 er præsenteret med 2 forskellige parametriseringer: r 1 (u) = ( cos(2πu), sin(2πu), π 5 u), u [ 1, 1], og r 2 (u) = ( cos(2π u 3 ), sin(2π u 3 ), π 5 u3), u [ 1, 1]. Markeringerne stammer fra den inddeling af parameterintervallet [ 1, 1] som består af 200 lige store delintervaller. Kurverne er igen klart lige lange (se opgave 22.16). Eksempel 22.4 Knude Knuden i Figur 22.5 har den noget komplicerede parameterfremstilling r(u) = ( 1 3 cos(u) 1 15 cos(5u) sin(2u), 1 3 sin(u) 1 15 sin(5u) 1 2 cos(2u), 1 3 cos(3u) ), hvor u [ π, π].
4 enote KURVEINTEGRALER 4 Figur 22.2: En cirkel i (x, y)-planen er her parametriseret på 2 forskellige måder: r 1 (u) = (cos(π u), sin(π u), 0), u [ 1, 1], og r 2 (u) = ( cos(π u 3 ), sin(π u 3 ), 0 ), u [ 1, 1]. Markeringerne stammer fra den inddeling af parameterintervallet [ 1, 1] som består af 100 lige store delintervaller. Længden af cirklen er 2π - uafhængig af parametriseringen. Vi definerer kurveintegration på følgende måde, og motiverer definitionen i afsnit nedenfor: Definition 22.5 Kurveintegral Lad f (x, y, z) betegne en kontinuert funktion på R 3. Kurveintegralet af funktionen f over en parametriseret kurve K r defineres ved K r f dµ = b hvor Jacobi-funktionen Jacobi r (u) er givet ved: a f (r(u)) Jacobi r (u) du, (22-4) Jacobi r (u) = r (u). (22-5) Jacobi-funktionen Jacobi r (u) betegner altså længden af tangentvektoren r (u) til kurven på stedet r(u).
5 enote KURVEINTEGRALER 5 Figur 22.3: Carl Gustav Jakob Jacobi. Se Biografi. Læg mærke til, at det symbol, der står på venstre side af lighedstegnet i (22-4), kun er et symbol for kurveintegralet. Det integral vi skal regne ud står på højre side. Og det kan lade sig gøre at integrere, fordi både f, r og r er kontinuerte, således at integranden er kontinuert. Hvis vi indsætter r(u) = (x(u), y(u), z(u)) i udtrykket for kurveintegralet får vi: b f dµ = f (x(u), y(u), z(u)) x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 du. (22-6) K r a Bemærkning 22.6 Parameterfremstillingen (22-1) for kurven er regulær hvis parameterfremstillingens Jacobi-funktion er positiv: Jacobi r (u) = r (u) > 0 for alle u i det givne interval [a, b]. Eksempel 22.7 En vægtet cirkel Givet funktionen f (x, y, z) = 7x og et parametriseret cirkelstykke C r : r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = (cos(u), sin(u), 0), u [ π 2, π]. Kurveintegralet af f over C r er π f dµ = C r π/2 = = π π/2 π π/2 f (x(u), y(u), z(u)) 7 cos(u) x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 du ( sin(u)) 2 + (cos(u)) 2 du 7 cos(u) du = 7.
6 enote KURVEINTEGRALER 6 Figur 22.4: En skruelinje i rummet med to forskellige parametriseringer. Se eksempel Som nævnt, og som vi vil godtgøre nedenfor - i afsnit om Motivering af kurveintegralet - kan kurveintegraler benyttes til at finde længder af parametriserede kurver og til at finde den totale masse af parametriserede kurver med givne massetætheder. Hvis massetætheden er konstant 1 fås længden (man kan finde længden af en sådan kurve ved at veje den): Definition 22.8 Længden af en kurve Længden af den parametriserede kurve K r : r(u) = (x(u), y(u), z(u)), u [a, b] defineres som kurveintegralet L(K r ) = K r 1 dµ = b a r (u) du. (22-7)
7 enote KURVEINTEGRALER 7 Figur 22.5: En knude. Se eksempel 22.4 Eksempel 22.9 Længde af cirkelstykke Det parametriserede cirkelstykke C r : r(u) = (cos(u), sin(u), 0), u [ π 2, π] har længden L(C r ) = C r 1 dµ = = = π π/2 π π/2 π x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 du ( sin(u)) 2 + cos(u)) 2 du π/2 1 du = 3 π 2. Eksempel Multiple cirkelvindinger Den parametriserede plane kurve C r : r(u) = (cos(u), sin(u), 0), u [ π 2, 7π] har længden L( C r ) = 15 π 2 svarende til at parametriseringen lægger det lange interval flere
8 enote KURVEINTEGRALER 8 gange rundt på enhedscirklen! Eksempel Længden af en plan spiral Den parametriserede plane spiral (se figur 22.6) K r : r(u) = ( u cos(u), u sin(u), 0 ), u [0, π/2] har længden L(K r ) = K r 1 dµ = = π/2 0 π/2 0 π/2 x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 du (cos(u) u sin(u)) 2 + (sin(u) + u cos(u)) 2 = 1 + u 2 du 0 [ ] π/2 = (1/2)u 1 + u 2 + (1/2) arcsinh(u) 0 = (π/4) 1 + (π/2) 2 + (1/2) arcsinh(π/2) du (22-8) = (π/8) 4 + π 2 + (1/2) ln(2) (1/2) ln( π π 2 ) = Figur 22.6: Del af en plan spiral. Se eksempel
9 enote KURVEINTEGRALER 9 Eksempel Ellipsens længde Længden af en ellipse. Den parametriserede ellipse (se Figur 22.7) K r : r(u) = ( a cos(u), b sin(u), 0 ), u [ π, π] har længden L(K r ) = K r 1 dµ = = π π π π = 4aE x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 du a 2 sin 2 (u) + b 2 cos 2 (u) du ( ) b 2 1, a hvor E betegner det såkaldte fuldstændige elliptiske integral af 2. orden. Om funktionen E(u) nævner vi her kun, at funktionsværdien i u = 0 er E(0) = π/2, således at ovenstående resultat betyder, at når ellipsen specielt er en cirkel, dvs. når a = b, så får vi den korrekte omkreds af cirklen med radius a: L = 2πa. Figur 22.7: En ellipse med halvakser a = 1 og b = 2. Se eksempel
10 enote KURVEINTEGRALER 10 Eksempel Skruelinjens længde Den parametriserede skruelinje K r : r(u) = (cos(u), sin(u), u), u [ 2π, 2π] har længden L(K r ) = K r 1 dµ = = = 2π 2π 2π 2π 2π 2π x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 du ( sin(u)) 2 + (cos(u)) du 2 du = 4π 2. Definition En-entydig parameterfremstilling Parameterfremstillingen i (22-1) for kurven K r siges at være en-entydig hvis der for alle u 1 [a, b] og for alle u 2 [a, b] gælder følgende: u 1 = u 2 medfører at r(u 1 ) = r(u 2 ). (22-9) Opgave Hvilke af parameterfremstillingerne i figurerne 22.1, 22.2, og 22.4, henholdsvis i eksemplerne 22.9, 22.10, og 22.13, er en-entydige? Opgave Vis, at Definition 22.8 giver samme længde for de tre parametriseringer af linjestykket i figur 22.1, samme længde af de to cirkelstykker i figur 22.2 og samme længde af de to skruelinjer i figur Opgave Find længden (med 3 decimaler) af knuden i figur 22.5.
11 enote KURVEINTEGRALER 11 Opgave Find regulære, en-entydige parameterfremstillinger af linjestykket (figur 22.1), cirklen (figur 22.2), og skruelinjen (figur 22.4), således at alle parameterfremstillingerne har det fælles parameterinterval [0, π ] Motivering af kurveintegralet Hvis vi deler intervallet [a, b] i n lige store dele, så har hvert delinterval længden δ u = (b a)/n og delepunkternes koordinater i [a, b] bliver: u 1 = a, u 2 = u 1 + δ u = a + δ u, u 3 = u 2 + δ u = a + 2δ u, u 4 = u 3 + δ u = a + 3δ u,... b = u n + δ u = a + nδ u. (22-10) Med hver af disse fast valgte værdier af u i som udviklingspunkt kan vi nu bruge Taylor s grænseformel for hver af de 3 koordinat-funktioner x(u), y(u), og z(u) for r(u) = (x(u), y(u), z(u)) til første orden og med de tilhørende epsilon-funktioner som følger, se enote 17: x(u) = x(u i ) + x (u i ) (u u i ) + ε x (u u i ) u u i y(u) = y(u i ) + y (u i ) (u u i ) + ε y (u u i ) u u i z(u) = z(u i ) + z (u i ) (u u i ) + ε z (u u i ) u u i. (22-11) Disse 3 formler kan vi samle og udtrykke med vektor-notation således: r(u) = r(u i ) + r (u i ) (u u i ) + ε i (u u i ) ρ i, (22-12) hvor vi bruger den korte skrivemåde ρ i = u u i = (u u i ) 2 for afstanden mellem den variable værdi u og den faste værdi u i i parameterintervallet. Desuden gælder at vektoren ε i (u u i ) = ( ε x (u u i ), ε y (u u i ), ε z (u u i ) ) (0, 0, 0) = 0 for u u i. Hvert del-interval [u i, u i + δ u ] fra u-aksen afbildes på kurve-stykket r(u), u [u i, u i + δ u ], og dette kurve-stykke kan vi approksimere med den lineære del af udtrykket i (22-12), som fås ved at fjerne ε i -bidraget fra højre side i (22-12): r app i (u) = r(u i ) + r (u i ) (u u i ), u [u i, u i + δ u ]. (22-13)
12 enote KURVEINTEGRALER 12 Se figurerne 22.8 og 22.9 hvor de approksimerende linjestykker er vist for en parametriseret cirkel, for to forskellige parametriseringer og for forskellige værdier af n. Det i te linjestykke har pr. definition kontakt med kurven i sit ene endepunkt. Det kalder vi kontaktpunktet for linjestykket. Længden af en kurve Hvert enkelt af de i alt n approksimerende linjestykker har en længde, se Figur Længden af det i te linjestykke er ifølge (22-13) L i = r app i (u i + δ u ) r app i (u i ) = r (u i ) δ u. (22-14) Summen af disse n længder er (for store værdier af n) klart en god approksimation til længden af kurven, således at vi kan skrive L app (n) = n L i = i=1 n r (u i ) δ u, (22-15) i=1 Da ovenstående sum er en integralsum (se enote 21) for den kontinuerte funktion r (u) over intervallet [a, b], opnås i grænsen, hvor n går imod uendelig: L app (n) L = b a r (u) du for n. (22-16) Vi har dermed motiveret definitionen af længden af en kurve som angivet ovenfor, nemlig som kurveintegralet af den konstante funktion 1 over den parametriserede kurve. Masse, vægten af en kurve med massetæthed Hvis vi antager, at hvert enkelt linjestykke i (22-13) tildeles en konstant massetæthed givet ved værdien af funktionen f (x, y, z) i linjestykkets kontaktpunkt med kurven, så får vi massen af det i te linjestykke: M i = f (x(u i ), y(u i ), z(u i )) r (u i ) δ u = f (r(u i )) r (u i ) δ u. Den totale masse af hele systemet af linjestykker er derfor følgende, som er en god approksimation til massen af hele kurven, når kurven tildeles massetætheden f (r(u)) på stedet r(u) : M app (n) = n M i = i=1 n f (r(u i )) r (u i ) δ u. (22-17) i=1 Dette er igen en integralsum, men nu for den kontinuerte funktion f (r(u)) r (u) over intervallet [a, b]. Vi får altså i grænsen, hvor n går mod uendelig: M app (n) M = b a f (r(u)) r (u) du for n. (22-18)
13 enote PLANINTEGRALER 13 Figur 22.8: Kurven r(u) = (cos(2πu), sin(2πu), 0), u [ 1, 1], med henholdsvis 10, 20, og 30 approksimerende linjestykker. Det er rimeligt at definere længden af kurven som den totale længde af de approksimerende linjestykker i den grænse hvor antallet af linjestykker går mod uendelig. Dermed har vi motiveret definitionen af massen af en kurve med massetætheden f (r(u)) (for så vidt denne funktion er positiv i [a, b] ) og dermed den generelle definition af kurveintegralet, Definition Planintegraler Et parametriseret område i planen er givet ved en parameterfremstilling P r : r(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) R 2, u [a, b], v [c, d], (22-19) hvor x(u, v) og y(u, v) er givne (typisk glatte) funktioner af de to parameter-variable u og v. Planintegraler opstilles, betegnes, og beregnes helt analogt til kurveintegralerne:
14 enote PLANINTEGRALER 14 Figur 22.9: Kurven r(u) = ( cos(2πu 3 ), sin(2πu 3 ), 0 ), u [ 1, 1], med henholdsvis 30, 60 og 100 approksimerende linjestykker. Det er stadig rimeligt at definere længden af kurven som den totale længde af de approksimerende linjestykker i den grænse hvor antallet af approksimerende linjestykker går mod uendelig. Definition Planintegral Lad f (x, y) betegne en kontinuert funktion på R 2. Planintegralet af funktionen f over det parametriserede område P r defineres ved P r f dµ = d b hvor Jacobi-funktionen Jacobi r (u, v), c a f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv, (22-20) Jacobi r (u, v) = r u(u, v) r v(u, v) sin(θ(u, v)), (22-21) er arealet af det parallelogram i planen, der på stedet r(u, v) udspændes af de to tangentvektorer r u(u, v) og r v(u, v) til de respektive koordinatkurver igennem punktet r(u, v) i planen (funktionen θ(u, v) [0, π] betegner vinklen mellem disse tangentvektorer).
15 enote PLANINTEGRALER 15 Figur 22.10: Dette område i planen er givet ved følgende parameterfremstilling, der repræsenterer polære koordinater i planen: r(u, v) = (u cos(v), u sin(v)), u [0, 1], v [ π, π]. Parameterrektanglet ses til venstre. Den deformeres og afbildes (ved brug af r) på det plane område i midten. Til højre er antydet placeringen og størrelsen (pånær en faktor 4) af de til det givne net hørende approksimerende parallelogrammer (her er der tale om rektangler). Definition Regulær parameterfremstilling for et område i planen Parameterfremstillingen (22-19) siges at være en regulær parameterfremstilling for det plane område hvis der gælder følgende: Jacobi r (u, v) > 0 for alle u [a, b], v [c, d]. (22-22) Definition En-entydig parameterfremstilling Som for parametriserede kurver siges parameterfremstillingen i (22-19) at være enentydig hvis forskellige punkter i definitionsmængden afbildes i forskellige punkter i billedmængden i planen. Opgave Vis, at Jacobi r (u, v) (i (22-44)) også kan findes som den numeriske værdi af determinanten af den (2 2)-matrix, der som søjler har koordinaterne for de to vektorer r u(u, v) og r v(u, v).
16 enote PLANINTEGRALER 16 Figur 22.11: Plant område med parabelkoordinater. Dette område i planen er givet ved parameterfremstillingen r(u, v) = (u v, 1 2 (u2 v 2 )), u [ 2, 2], v [0, 2]. Figuren til højre antyder igen et system af areal-approksimerende parallelogrammer pånær faktor 4. Eksempel Standard graf-afgrænset område Laf f (x) betegne en positiv funktion på et x-interval [a, b]. Så kan vi parametrisere området imellem x-aksen og grafen for funktionen f (x) på følgende simple måde: P r : r(u, v) = (u, v f (u)), u [a, b], v [0, 1]. (22-23) Se figur (hvor funktionen f (x) = 1 + x + x 2 er benyttet til illustration). Til bestemmelse af arealet af området imellem grafen for f (x) og x-aksen har vi nu helt generelt: fordi Jacobi r (u, v) = f (u), (22-24) r u(u, v) = (1, v f (u)) r v(u, v) = (0, f (u)), og (22-25) sådan at determinanten af den matrix, der har søjlerne r u(u, v) og r v(u, v), netop i dette tilfælde er funktionen f (u) selv og dermed er også Jacobifunktionen givet ved f (u) ifølge opgave Heraf fås det ønskede areal rekonstrueret som: Areal(P r ) = 1 dµ = P r = 1 ( b 0 b a a f (u) du. ) f (u) du dv (22-26) Overvej, hvad der sker med integralet i (22-26), hvis f (x) tillades at være negativ på givne delintervaller af [a, b].
17 enote PLANINTEGRALER 17 Figur 22.12: Parametrisering af området imellem x-aksen og grafen for funktionen f (x) = 1 + x + x 2. Se eksempel Eksempel Elliptisk område Det parametriserede elliptiske område i planen (se figur 22.13) har arealet P r : r(u, v) = ( av cos(u), bv sin(u) ), u [ π, π], v [0, 1]. Areal(P r ) = P r 1 dµ = 1 π 0 π abv du dv = abπ, idet Jacobi r (u, v) = abv. Sammenlign med beregningen af længden af ellipsen i eksempel Opgave Niveau-afgrænset elliptisk område Et elliptisk område i planen er afgrænset af niveaukurven K 0 ( f ) for andengradspolynomiet f (x, y) = 2 x y x y 8 x 10 y (22-27) Bestem længden af niveukurven og bestem arealet af det afgrænsede elliptiske område i (x, y)-planen. Se figur Vink: eksempel 20.1 i enote 20.
18 enote PLANINTEGRALER 18 Figur 22.13: Et elliptisk område i planen med halvakser a = 1 og b = 2. Se eksempel Bemærk, at de approksimerende parallelogrammer (her vist skalerede) ikke er rektangler. Eksempel Spiral-område Det parametriserede spiral-afgrænsede område i planen (se Figur 22.15) har arealet P r : r(u, v) = ( vu cos(u), vu sin(u) ), u [ 0, π/2], v [ 0, 1]. Areal(P r ) = P r 1 dµ = 1 π/2 0 0 v 2 u du dv = π 3 /48, idet Jacobi r (u, v) = v 2 u. Sammenlign med beregningen af længden af spiralen i eksempel Motivering af plan-integralet Hvis vi i analogi med opstillingen af kurveintegralet deler begge parameter-intervallerne [a, b] og [c, d] i henholdsvis n og m lige store dele, så har hvert u-delinterval længden δ u = (b a)/n og hvert v-delinterval har længden δ v = (d c)/m. Tilsvarende bliver delepunkternes koordinater i (u, v)-parameterområdet (som jo er rektanglet [a, b] [c, d]
19 enote PLANINTEGRALER 19 Figur 22.14: Et elliptisk område i planen er afgrænset af en ellipse som er niveaukurven K 0 ( f ) for andengradspolynomiet f (x, y) = 2 x y x y 8 x 10 y Se opgave og eksempel 20.1 i enote 20. i R 2 ) - jvf. enote 20: (u 1, v 1 ) = (a, c), (u 1, v j ) = (a, c + (j 1)δ v ), (u i, v 1 ) = (a + (i 1)δ u, c), (u i, v j ) = (a + (i 1)δ u, c + (j 1)δ v ),... (b, d) = (a + nδ u, c + mδ v ). (22-28) Med hvert af disse faste punkter (u i, v j ) som udviklingspunkt kan vi igen benytte Taylor s grænseformel, nu for hver af de 2 koordinat-funktioner x(u, v) og y(u, v) for r(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) til første orden med tilhørende epsilon-funktioner: r(u, v) = r(u i, v j ) + r u(u i, v j ) (u u i ) + r v(u i, v j ) (v v j ) + ρ ij ε ij (u u i, v v i ), hvor u [ u i, u i + δ u ], v [ v j, v j + δ v ]. Her betegner ρij = (22-29) (u u i ) 2 + (v v j ) 2 afstanden mellem det variable punkt (u, v) og det faste udviklingspunkt (u i, v j ) i parameterområdet. Der gælder her, at vektorfunktionen ε ij (u u i, v v j ) (0, 0) = 0 for (u u i, v v j ) (0, 0).
20 enote PLANINTEGRALER 20 Figur 22.15: Et spiral-afgrænset område i planen. Se eksempel Hvert del-rektangel [u i, u i + δ u ] [v j, v j + δ v ] afbildes på det plane del-område, som vi kan angive med r(u, v) evalueret i parameter-del-rektanglet u [u i, u i + δ u ], v [v j, v j + δ v ] og dette delområde af det plane område kan vi approksimere med den lineære del af udtrykket i (22-29), som igen netop fås ved at fjerne ε ij -bidraget fra højre side i (22-29): r app ij (u, v) = r(u i, v j ) + r u(u i, v j ) (u u i ) + r v(u i, v j ) (v v j ), (22-30) hvor u og v stadig gennemløber del-intervallerne u [ u i, u i + δ u ], v [ v j, v j + δ v ]. Disse lineære approksimationer er parallelogrammer, som udspændes af de to tangentvektorer r u(u i, v j ) δ u og r v(u i, v j ) δ v. Areal af plant område Hvert enkelt af de ialt n m approksimerende parallelogrammer har et areal. Arealet af det (i, j) te parallelogram er givet ved Areal ij = r u(u i, v j ) r v(u i, v j ) sin(θ(u i, v j )) δ u δ v = Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v. (22-31) Opgave Bevis denne påstand: Arealet af et parallelogram er produktet af længderne af de to udspændende vektorer og sinus til den mellemliggende vinkel. Se enote 6
21 enote PLANINTEGRALER 21 Summen af disse ialt n m arealer er klart en god approksimation til arealet af hele fladestykket, således at vi har Areal app (n, m) = m n j=1 i=1 Areal ij = m n j=1 i=1 Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v. (22-32) Da ovenstående sum er en dobbelt integralsum for den kontinuerte funktion Jacobi r (u, v) over parameter-rektanglet [a, b] [c, d] får vi i grænsen, hvor n og m begge går mod uendelig (se enote 21 ): Areal app (n, m) Areal = d b c a Jacobi r (u, v) du dv for n, m. (22-33) Dette er begrundelsen for definitionen af arealet af et parametriseret område i planen som angivet ovenfor, nemlig som fladeintegralet af den konstante funktion 1. Massen, vægten af et plant område Hvis vi nu antager, at hvert enkelt parallelogram i (22-30) tildeles en konstant massetæthed givet ved værdien af funktionen f (x, y) i parallelogrammets kontaktpunkt med fladen, så får vi massen af det (i, j) te parallelogram : M ij = f (x(u i, v j ), y(u i, v j )) Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v = f (r(u i, v j )) Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v. (22-34) Den totale masse af hele systemet af parallelogrammer er derfor følgende, som er en god approksimation til massen af hele det plane område når dette gives massetætheden f (r(u, v)) i punktet r(u, v). M app (n, m) = m n j=1 i=1 M ij = m n j=1 i=1 f (r(u i, v j )) Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v. (22-35) Dette er en dobbelt integralsum for den kontinuerte funktion f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) over parameter-rektanglet [a, b] [c, d]. Vi får altså i grænsen, hvor n og m går mod uendelig: M app (n, m) M = d b c a f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv for n, m. (22-36) Dermed har vi motiveret definitionen af massen af et parametriseret område i planen med massetætheden f (r(u, v)) og dermed også den generelle definition af planintegralet, definition
22 enote PLANINTEGRALER 22 Eksempel Total vægt af ring-område Lad f (x, y) = 1 + x være vægtfunktion på det plane område i (x, y)-planen der er afgrænset af x-aksen og de to øvre halvcirkelbuer af cirklerne med radius henholdsvis 1 og 1/2, begge med centrum i (0, 0), se figur En parametrisering af området er for eksempel: P r : r(u, v) = (u cos(v), u sin(v)), hvor u [1/2, 1], v [0, π]. (22-37) Når området er vægtet med vægtfunktionen f (x, y) bliver den totale vægt af området: M(P r ) = f dµ = P r π 1 0 1/2 f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv, (22-38) hvor sådan at f (r(u, v)) = 1 + x(u, v) = 1 + u cos(v) Jacobi r (u, v) = u, M(P r ) = = = = π 1 0 π 0 π 0 1/2 (1 + u cos(v)) u du dv ] u=1 [ 1 2 u u3 cos(v) ( ) 24 cos(v) dv [ 3 8 v sin(v) = 3 8 π. ] v=π v=0 u=1/2 dv og (22-39) (22-40) Den totale masse af området med den givne vægtfordeling er altså M(P r ) = 3π/8. Til sammenligning er arealet af området jo også Areal(P r ) = 3π/8 men det er et tilfælde.
23 enote PLANINTEGRALER 23 Figur 22.16: Et (halvt) ring-område i planen med antydet vægtfordeling. Se eksempel
24 enote OPSUMMERING Opsummering Vi har i denne enote opstillet de begreber og metoder, der giver os præcise udtryk for længder af kurver, arealer af plane områder og mere generelt kurve- og plan-integraler af (vægt-)funktioner på kurver og plane områder, der er parametriserede ud fra henholdsvis et interval eller et rektangulært parameter-område. Kurve- og plan-integralerne er opstillet ved hjælp af de respektive Jacobi-funktioner, som angiver hvor meget parameterintervallet eller parameter-området lokalt deformeres når det afbildes over i den ønskede kurve eller over i det ønskede plane område ved de valgte vektor-afbildninger r(u) og r(u, v). For en rum-kurve K r med parameterfremstillingen r(u) = (x(u), y(u), z(u)) har vi følgende motiverede kurveintegral af funktionen f (x, y, z) over rumkurven: K r f dµ = b a f (r(u)) Jacobi r (u) du, (22-41) hvor Jacobi-funktionen Jacobi r (u) er givet ved længden af parametriseringens tangentvektor: Jacobi r (u) = r (u). (22-42) For et plant område P r med parameterfremstillingen r(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) har vi ligeledes motiveret følgende definition af planintegralet af funktionen f (x, y) over området: P r f dµ = d b c a f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv, (22-43) hvor Jacobi-funktionen Jacobi r (u, v) nu er givet ved parallelogram-arealet udspændt af koordinatkurvernes tangentvektorer: Jacobi r (u, v) = r u(u, v) r v(u, v) sin(θ(u, v)), (22-44) hvor θ(u, v) [0, π] betegner vinklen mellem de to tangentvektorer r u(u, v) og r v(u, v).
Flade- og rum-integraler
enote 25 1 enote 25 Flade- og rum-integraler Flade og rumintegraler opstilles her på stort set samme måde som kurve- og planintegralerne i enote 22, som derved sammen med den grundlæggende generelle indførelse
Læs mereVektorfelter langs kurver
enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote
Læs mereFlade- og rum-integraler
enote 23 1 enote 23 Flade- og rum-integraler Flade og rumintegraler opstilles her på stort set samme måde som kurve- og planintegralerne i enote 22, som derved sammen med den grundlæggende generelle indførelse
Læs mereIntegration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU
Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU 20. februar 2008 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.2 Approksimerende summer
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereSTEEN MARKVORSEN DTU MATEMATIK
STEEN MARKVORSEN DTU MATEMATIK 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.1.1 Rumfang-problemet............................ 6 1.2 Approksimerende summer og
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereIntegration i flere Variable. Steen Markvorsen DTU Matematik
Integration i flere Variable Steen Markvorsen DTU Matematik 20. februar 2009 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.1.1 Rumfang-problemet............................
Læs mereIntegration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU
Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU 14. februar 2006 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad er et punkt og hvordan ser vi det?...................... 6 1.2 Summer og integraler................................
Læs mereIntegration i flere Variable
Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik og Learning Lab DTU 28. januar 2005 2 Indhold Introduktion 5. Hvad er et punkt og hvordan ser vi det?...................... 6.2 Summer
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereOPGAVE 1 Det nedenstående klip er fra et Maple-ark hvor en reel funktion f (x, y) med definitionsmængden (x,y) x 2 + y 2 < 1 } bliver undersøgt:
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Skriftlig prøve den 7. maj 00. Kursus Navn: Matematik (-timers prøve for forårssemesteret). Kursus nr. 0005 Tilladte hjælpemidler: Alle af DTU tilladte hjælpemidler må medbringes
Læs mereGeometriske grundbegreber 8. lektion
1 / 14 Geometriske grundbegreber 8. lektion Martin Raussen Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.4.2008 2 / 14 (Regulære) parameterfremstillinger for en flade Eksempler Kurver på flader og
Læs mereEpistel E2 Partiel differentiation
Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +
Læs mereReeksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 17.
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 17. februar 2017 Dette eksamenssæt består af 11 nummererede sider med
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereIntegralregning Infinitesimalregning
Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement
Læs mereMujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011
Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereMat 1. 2-timersprøve den 13. maj 2017.
Mat. -timersprøve den. maj 7. JE.5.7 Opgave restart:with(plots): En funktion f af to reelle variable er for x, y s, givet ved f:=(x,y)-y/(x^+y^); f d x, y / y x Cy f(x,y); y x Cy Spørgsmål I x, y Kplanen
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereOpgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.
Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereBevægelsens Geometri
Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereVi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.
Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne
Læs mereKapitel 1. Planintegraler
Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereMaj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her
Læs mereStokes rotationssætning
enote 27 1 enote 27 Stokes rotationssætning I denne enote vil vi benytte Gauss divergenssætning fra enote 26 til at motivere, bevise, og illustrere Stokes sætning, som udtrykker en præcis sammenhæng mellem
Læs mereCirkulær hyperboloide (snoet trætårn i Camp Adventure ved Gisselfeld Kloster v/ Haslev)
Cirkulær hyperboloide (snoet trætårn i Camp Adventure ved Gisselfeld Kloster v/ Haslev) https://en.wikipedia.org/wiki/quadric#euclidean_space Ligning og parametrisering https://en.wikipedia.org/wiki/hyperboloid
Læs mereProjektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik
Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereLidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet
Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 9. august 6 Dette eksamenssæt består af nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereSupplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej
Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereEksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 5.
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 5. januar 08 Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereMatematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Læs mereFunktion af flere variable
Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk
Læs merePrøveeksamen i Calculus
Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereIntegration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU
Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU 13. februar 2007 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad er et punkt og hvordan ser vi det?...................... 6 1.2 Approksimerende
Læs mereMatematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.
Læs mere(Prøve)Eksamen i Calculus
(Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereSupplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo
SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereEksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012
Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereEksamen i Calculus. Onsdag den 1. juni Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet
Eksamen i Calculus Onsdag den 1. juni 211 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt
Læs mereEksamen maj 2018, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2018, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots!
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at
GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.
Læs mereEksamen maj 2019, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.
Læs meret a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 0. februar 019 Dette eksamenssæt
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014
Eksamen i Calculus Tirsdag den 3. juni 2014 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Januar 18 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereTrekants- beregning for hf
Trekants- beregning for hf C C 5 l 5 A 34 8 B 018 Karsten Juul Indhold 1. Vinkler... 1 1.1 Regler for vinkler.... 1. Omkreds, areal, højde....1 Omkreds..... Rektangel....3 Kvadrat....4 Højde....5 Højde-grundlinje-formel
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereKalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015
Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad
Læs mereReeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016
Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereDifferentiabilitet. f(h) = f(x 0 +h) f(x 0 ). y = f(x) f(h) df(h) Figur 1: Tangent, tilvækst og differential. lim. df(h) = f (x 0 )h.
Differentiabilitet 1 Funktioner af én reel variabel Tilvækstfunktionen f med udgangspunkt i x 0 er en reel funktion af tilvæksten : f() = f(x 0 +) f(x 0 ). y = f(x) Tangent (x 0,f(x 0 )) df() f() x 0 x
Læs mereOm første og anden fundamentalform
Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt
Læs mereπ can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af π
can never be expressed in numbers. William Jones og John Machins algoritme til beregning af. Oprindelsen til symbolet Første gang vi møder symbolet som betegnelse for forholdet mellem en cirkels omkreds
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013
Eksamen i Calculus Tirsdag den 11. juni 2013 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereGrafmanipulation. Frank Nasser. 14. april 2011
Grafmanipulation Frank Nasser 14. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00
Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave B
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Opgaven består af fire dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereTemaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010
Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor
Læs mereTing man gør med Vektorfunktioner
Ting man gør med Vektorfunktioner Frank Villa 3. august 13 Dette dokument er en del af MatBog.dk 8-1. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-9775--9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mere