Kurve- og plan-integraler

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Kurve- og plan-integraler"

Transkript

1 enote 22 1 enote 22 Kurve- og plan-integraler Vi vil her med udgangspunkt i de metoder og resultater der er opstillet i enote 21 vise, hvordan Riemann-integralerne derfra kan benyttes til blandt andet at finde længder af kurver og arealer af plane områder, for så vidt de er beskrevet på en passende parameterform Kurveintegraler Vi vil i udgangspunktet betragte kurver som er parametriserede på følgende måde ved en parameterfremstilling. En parametriseret kurve K r i rummet er givet ved en parameterfremstilling således: K r : r(u) = (x(u), y(u), z(u)) R 3, u [a, b]. (22-1) En given kurve kan sædvanligvis parametriseres på uendelig mange måder. Figur 22.1 viser tre forskellige parametriseringer af det rette linjestykke fra (0, 2, 2 1) til (0, 2, 1 2 ). Figur 22.2 viser tilsvarende to forskellige parametriseringer af en cirkel med radius 1 og centrum i (0, 0, 0). Figur 22.4 viser tilsvarende 2 forskellige parametriseringer af en skruelinje. Vi antager her og i det følgende, at de tre koordinatfunktioner x(u), y(u) og z(u) i parameterfremstillingerne er pæne funktioner af u. Vi antager simpelthen, at de alle tre er glatte funktioner af u således at de kan differentieres vilkårligt mange gange. Specielt er de afledede funktioner x (u), y (u) og z (u) derfor kontinuerte i intervallet [a, b]. Så har vi også, at r (u) = x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 (22-2) er en kontinuert funktion i intervallet [a, b]. Specielt kan denne funktion derfor integreres over intervallet, jvf. enote 21 og det har vi om lidt brug for i definition 22.5 nedenfor.

2 enote KURVEINTEGRALER 2 Figur 22.1: Linjestykket fra (0, 2, 1 2 ) til (0, 2, 1 2 ) er her parametriseret på 3 forskellige måder: r 1 (u) = ( 0, 2u, 1 2), u [ 1, 1] ; r2 (u) = ( ( 0, 2 u 3, 1 2), u [ 1, 1], og r3 (u) = 0, 2 sin( π 2 u), 1 2), u [ 1, 1]. Markeringerne på de enkelte linjestykker stammer fra den inddeling af det fælles parameterinterval [ 1, 1] som består af 20 lige store delintervaller. Bemærk, at længden af de tre kurver klart er den samme, selv om parametriseringerne er ret forskellige. Se Opgave Definition 22.1 Regulær parameterfremstilling En parameterfremstilling r(u) for en kurve K r - som i (22-1) - siges at være en regulær parameterfremstilling hvis følgende betingelse er opfyldt: r (u) = 0 for alle u [a, b]. (22-3) Opgave 22.2 Hvilke af parameterfremstillingerne i figurerne 22.1, 22.2, 22.4, og 22.5 er regulære?

3 enote KURVEINTEGRALER 3 En parametriseret kurve er andet og mere end blot billedmængden (punktmængden) r([a, b]), idet selve parametriseringen eksempelvis kan foreskrive at dele af punktmængden skal gennemløbes flere gange, se eksempel nedenfor. Man kan gerne tænke på intervallet [a, b] som en retlinet elastik i hvile. Vektorafbildningen r deformerer elastikken (ind i rummet) ved at bøje, strække eller komprimere elastikken. En lokal strækning gør selvfølgelig elastikken lokalt længere, mens en lokal komprimering gør elastikken lokalt kortere. Et første naturligt spørgsmål er derfor hvor lang hele elastikken er efter brug af afbildningen r. Kurveintegralet indføres blandt andet med henblik på at finde den totale længde af den deformerede kurve i rummet. Vi kan ligeledes forestille os, at den parametriserede kurve selv er masseløs, men at den til gengæld efter deformationen med r farves med en maling på en sådan måde at massetætheden af malingen langs med kurven (i gram pr. centimeter, f.eks.) er givet som en funktion f af stedet (x, y, z) i rummet altså sådan at massetætheden af malingen på stedet r(u) er f (r(u)). Opgaven er da at finde den totale masse af den deformerede og farvelagte parametriserede kurve. Bemærk, at med lidt fantasi kan vi endda gerne tillade, at massetætheden f antager negative værdier. Disse forestillinger skal naturligvis kun hjælpe os til at få en passende intuitiv forståelse af de indførte begreber; vi skal i de relaterede enoter se adskillige andre tolkninger og brug af kurveintegralet. Eksempel 22.3 Skruelinje Skruelinjen i figur 22.4 er præsenteret med 2 forskellige parametriseringer: r 1 (u) = ( cos(2πu), sin(2πu), π 5 u), u [ 1, 1], og r 2 (u) = ( cos(2π u 3 ), sin(2π u 3 ), π 5 u3), u [ 1, 1]. Markeringerne stammer fra den inddeling af parameterintervallet [ 1, 1] som består af 200 lige store delintervaller. Kurverne er igen klart lige lange (se opgave 22.16). Eksempel 22.4 Knude Knuden i Figur 22.5 har den noget komplicerede parameterfremstilling r(u) = ( 1 3 cos(u) 1 15 cos(5u) sin(2u), 1 3 sin(u) 1 15 sin(5u) 1 2 cos(2u), 1 3 cos(3u) ), hvor u [ π, π].

4 enote KURVEINTEGRALER 4 Figur 22.2: En cirkel i (x, y)-planen er her parametriseret på 2 forskellige måder: r 1 (u) = (cos(π u), sin(π u), 0), u [ 1, 1], og r 2 (u) = ( cos(π u 3 ), sin(π u 3 ), 0 ), u [ 1, 1]. Markeringerne stammer fra den inddeling af parameterintervallet [ 1, 1] som består af 100 lige store delintervaller. Længden af cirklen er 2π - uafhængig af parametriseringen. Vi definerer kurveintegration på følgende måde, og motiverer definitionen i afsnit nedenfor: Definition 22.5 Kurveintegral Lad f (x, y, z) betegne en kontinuert funktion på R 3. Kurveintegralet af funktionen f over en parametriseret kurve K r defineres ved K r f dµ = b hvor Jacobi-funktionen Jacobi r (u) er givet ved: a f (r(u)) Jacobi r (u) du, (22-4) Jacobi r (u) = r (u). (22-5) Jacobi-funktionen Jacobi r (u) betegner altså længden af tangentvektoren r (u) til kurven på stedet r(u).

5 enote KURVEINTEGRALER 5 Figur 22.3: Carl Gustav Jakob Jacobi. Se Biografi. Læg mærke til, at det symbol, der står på venstre side af lighedstegnet i (22-4), kun er et symbol for kurveintegralet. Det integral vi skal regne ud står på højre side. Og det kan lade sig gøre at integrere, fordi både f, r og r er kontinuerte, således at integranden er kontinuert. Hvis vi indsætter r(u) = (x(u), y(u), z(u)) i udtrykket for kurveintegralet får vi: b f dµ = f (x(u), y(u), z(u)) x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 du. (22-6) K r a Bemærkning 22.6 Parameterfremstillingen (22-1) for kurven er regulær hvis parameterfremstillingens Jacobi-funktion er positiv: Jacobi r (u) = r (u) > 0 for alle u i det givne interval [a, b]. Eksempel 22.7 En vægtet cirkel Givet funktionen f (x, y, z) = 7x og et parametriseret cirkelstykke C r : r(u) = (x(u), y(u), z(u)) = (cos(u), sin(u), 0), u [ π 2, π]. Kurveintegralet af f over C r er π f dµ = C r π/2 = = π π/2 π π/2 f (x(u), y(u), z(u)) 7 cos(u) x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 du ( sin(u)) 2 + (cos(u)) 2 du 7 cos(u) du = 7.

6 enote KURVEINTEGRALER 6 Figur 22.4: En skruelinje i rummet med to forskellige parametriseringer. Se eksempel Som nævnt, og som vi vil godtgøre nedenfor - i afsnit om Motivering af kurveintegralet - kan kurveintegraler benyttes til at finde længder af parametriserede kurver og til at finde den totale masse af parametriserede kurver med givne massetætheder. Hvis massetætheden er konstant 1 fås længden (man kan finde længden af en sådan kurve ved at veje den): Definition 22.8 Længden af en kurve Længden af den parametriserede kurve K r : r(u) = (x(u), y(u), z(u)), u [a, b] defineres som kurveintegralet L(K r ) = K r 1 dµ = b a r (u) du. (22-7)

7 enote KURVEINTEGRALER 7 Figur 22.5: En knude. Se eksempel 22.4 Eksempel 22.9 Længde af cirkelstykke Det parametriserede cirkelstykke C r : r(u) = (cos(u), sin(u), 0), u [ π 2, π] har længden L(C r ) = C r 1 dµ = = = π π/2 π π/2 π x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 du ( sin(u)) 2 + cos(u)) 2 du π/2 1 du = 3 π 2. Eksempel Multiple cirkelvindinger Den parametriserede plane kurve C r : r(u) = (cos(u), sin(u), 0), u [ π 2, 7π] har længden L( C r ) = 15 π 2 svarende til at parametriseringen lægger det lange interval flere

8 enote KURVEINTEGRALER 8 gange rundt på enhedscirklen! Eksempel Længden af en plan spiral Den parametriserede plane spiral (se figur 22.6) K r : r(u) = ( u cos(u), u sin(u), 0 ), u [0, π/2] har længden L(K r ) = K r 1 dµ = = π/2 0 π/2 0 π/2 x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 du (cos(u) u sin(u)) 2 + (sin(u) + u cos(u)) 2 = 1 + u 2 du 0 [ ] π/2 = (1/2)u 1 + u 2 + (1/2) arcsinh(u) 0 = (π/4) 1 + (π/2) 2 + (1/2) arcsinh(π/2) du (22-8) = (π/8) 4 + π 2 + (1/2) ln(2) (1/2) ln( π π 2 ) = Figur 22.6: Del af en plan spiral. Se eksempel

9 enote KURVEINTEGRALER 9 Eksempel Ellipsens længde Længden af en ellipse. Den parametriserede ellipse (se Figur 22.7) K r : r(u) = ( a cos(u), b sin(u), 0 ), u [ π, π] har længden L(K r ) = K r 1 dµ = = π π π π = 4aE x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 du a 2 sin 2 (u) + b 2 cos 2 (u) du ( ) b 2 1, a hvor E betegner det såkaldte fuldstændige elliptiske integral af 2. orden. Om funktionen E(u) nævner vi her kun, at funktionsværdien i u = 0 er E(0) = π/2, således at ovenstående resultat betyder, at når ellipsen specielt er en cirkel, dvs. når a = b, så får vi den korrekte omkreds af cirklen med radius a: L = 2πa. Figur 22.7: En ellipse med halvakser a = 1 og b = 2. Se eksempel

10 enote KURVEINTEGRALER 10 Eksempel Skruelinjens længde Den parametriserede skruelinje K r : r(u) = (cos(u), sin(u), u), u [ 2π, 2π] har længden L(K r ) = K r 1 dµ = = = 2π 2π 2π 2π 2π 2π x (u) 2 + y (u) 2 + z (u) 2 du ( sin(u)) 2 + (cos(u)) du 2 du = 4π 2. Definition En-entydig parameterfremstilling Parameterfremstillingen i (22-1) for kurven K r siges at være en-entydig hvis der for alle u 1 [a, b] og for alle u 2 [a, b] gælder følgende: u 1 = u 2 medfører at r(u 1 ) = r(u 2 ). (22-9) Opgave Hvilke af parameterfremstillingerne i figurerne 22.1, 22.2, og 22.4, henholdsvis i eksemplerne 22.9, 22.10, og 22.13, er en-entydige? Opgave Vis, at Definition 22.8 giver samme længde for de tre parametriseringer af linjestykket i figur 22.1, samme længde af de to cirkelstykker i figur 22.2 og samme længde af de to skruelinjer i figur Opgave Find længden (med 3 decimaler) af knuden i figur 22.5.

11 enote KURVEINTEGRALER 11 Opgave Find regulære, en-entydige parameterfremstillinger af linjestykket (figur 22.1), cirklen (figur 22.2), og skruelinjen (figur 22.4), således at alle parameterfremstillingerne har det fælles parameterinterval [0, π ] Motivering af kurveintegralet Hvis vi deler intervallet [a, b] i n lige store dele, så har hvert delinterval længden δ u = (b a)/n og delepunkternes koordinater i [a, b] bliver: u 1 = a, u 2 = u 1 + δ u = a + δ u, u 3 = u 2 + δ u = a + 2δ u, u 4 = u 3 + δ u = a + 3δ u,... b = u n + δ u = a + nδ u. (22-10) Med hver af disse fast valgte værdier af u i som udviklingspunkt kan vi nu bruge Taylor s grænseformel for hver af de 3 koordinat-funktioner x(u), y(u), og z(u) for r(u) = (x(u), y(u), z(u)) til første orden og med de tilhørende epsilon-funktioner som følger, se enote 17: x(u) = x(u i ) + x (u i ) (u u i ) + ε x (u u i ) u u i y(u) = y(u i ) + y (u i ) (u u i ) + ε y (u u i ) u u i z(u) = z(u i ) + z (u i ) (u u i ) + ε z (u u i ) u u i. (22-11) Disse 3 formler kan vi samle og udtrykke med vektor-notation således: r(u) = r(u i ) + r (u i ) (u u i ) + ε i (u u i ) ρ i, (22-12) hvor vi bruger den korte skrivemåde ρ i = u u i = (u u i ) 2 for afstanden mellem den variable værdi u og den faste værdi u i i parameterintervallet. Desuden gælder at vektoren ε i (u u i ) = ( ε x (u u i ), ε y (u u i ), ε z (u u i ) ) (0, 0, 0) = 0 for u u i. Hvert del-interval [u i, u i + δ u ] fra u-aksen afbildes på kurve-stykket r(u), u [u i, u i + δ u ], og dette kurve-stykke kan vi approksimere med den lineære del af udtrykket i (22-12), som fås ved at fjerne ε i -bidraget fra højre side i (22-12): r app i (u) = r(u i ) + r (u i ) (u u i ), u [u i, u i + δ u ]. (22-13)

12 enote KURVEINTEGRALER 12 Se figurerne 22.8 og 22.9 hvor de approksimerende linjestykker er vist for en parametriseret cirkel, for to forskellige parametriseringer og for forskellige værdier af n. Det i te linjestykke har pr. definition kontakt med kurven i sit ene endepunkt. Det kalder vi kontaktpunktet for linjestykket. Længden af en kurve Hvert enkelt af de i alt n approksimerende linjestykker har en længde, se Figur Længden af det i te linjestykke er ifølge (22-13) L i = r app i (u i + δ u ) r app i (u i ) = r (u i ) δ u. (22-14) Summen af disse n længder er (for store værdier af n) klart en god approksimation til længden af kurven, således at vi kan skrive L app (n) = n L i = i=1 n r (u i ) δ u, (22-15) i=1 Da ovenstående sum er en integralsum (se enote 21) for den kontinuerte funktion r (u) over intervallet [a, b], opnås i grænsen, hvor n går imod uendelig: L app (n) L = b a r (u) du for n. (22-16) Vi har dermed motiveret definitionen af længden af en kurve som angivet ovenfor, nemlig som kurveintegralet af den konstante funktion 1 over den parametriserede kurve. Masse, vægten af en kurve med massetæthed Hvis vi antager, at hvert enkelt linjestykke i (22-13) tildeles en konstant massetæthed givet ved værdien af funktionen f (x, y, z) i linjestykkets kontaktpunkt med kurven, så får vi massen af det i te linjestykke: M i = f (x(u i ), y(u i ), z(u i )) r (u i ) δ u = f (r(u i )) r (u i ) δ u. Den totale masse af hele systemet af linjestykker er derfor følgende, som er en god approksimation til massen af hele kurven, når kurven tildeles massetætheden f (r(u)) på stedet r(u) : M app (n) = n M i = i=1 n f (r(u i )) r (u i ) δ u. (22-17) i=1 Dette er igen en integralsum, men nu for den kontinuerte funktion f (r(u)) r (u) over intervallet [a, b]. Vi får altså i grænsen, hvor n går mod uendelig: M app (n) M = b a f (r(u)) r (u) du for n. (22-18)

13 enote PLANINTEGRALER 13 Figur 22.8: Kurven r(u) = (cos(2πu), sin(2πu), 0), u [ 1, 1], med henholdsvis 10, 20, og 30 approksimerende linjestykker. Det er rimeligt at definere længden af kurven som den totale længde af de approksimerende linjestykker i den grænse hvor antallet af linjestykker går mod uendelig. Dermed har vi motiveret definitionen af massen af en kurve med massetætheden f (r(u)) (for så vidt denne funktion er positiv i [a, b] ) og dermed den generelle definition af kurveintegralet, Definition Planintegraler Et parametriseret område i planen er givet ved en parameterfremstilling P r : r(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) R 2, u [a, b], v [c, d], (22-19) hvor x(u, v) og y(u, v) er givne (typisk glatte) funktioner af de to parameter-variable u og v. Planintegraler opstilles, betegnes, og beregnes helt analogt til kurveintegralerne:

14 enote PLANINTEGRALER 14 Figur 22.9: Kurven r(u) = ( cos(2πu 3 ), sin(2πu 3 ), 0 ), u [ 1, 1], med henholdsvis 30, 60 og 100 approksimerende linjestykker. Det er stadig rimeligt at definere længden af kurven som den totale længde af de approksimerende linjestykker i den grænse hvor antallet af approksimerende linjestykker går mod uendelig. Definition Planintegral Lad f (x, y) betegne en kontinuert funktion på R 2. Planintegralet af funktionen f over det parametriserede område P r defineres ved P r f dµ = d b hvor Jacobi-funktionen Jacobi r (u, v), c a f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv, (22-20) Jacobi r (u, v) = r u(u, v) r v(u, v) sin(θ(u, v)), (22-21) er arealet af det parallelogram i planen, der på stedet r(u, v) udspændes af de to tangentvektorer r u(u, v) og r v(u, v) til de respektive koordinatkurver igennem punktet r(u, v) i planen (funktionen θ(u, v) [0, π] betegner vinklen mellem disse tangentvektorer).

15 enote PLANINTEGRALER 15 Figur 22.10: Dette område i planen er givet ved følgende parameterfremstilling, der repræsenterer polære koordinater i planen: r(u, v) = (u cos(v), u sin(v)), u [0, 1], v [ π, π]. Parameterrektanglet ses til venstre. Den deformeres og afbildes (ved brug af r) på det plane område i midten. Til højre er antydet placeringen og størrelsen (pånær en faktor 4) af de til det givne net hørende approksimerende parallelogrammer (her er der tale om rektangler). Definition Regulær parameterfremstilling for et område i planen Parameterfremstillingen (22-19) siges at være en regulær parameterfremstilling for det plane område hvis der gælder følgende: Jacobi r (u, v) > 0 for alle u [a, b], v [c, d]. (22-22) Definition En-entydig parameterfremstilling Som for parametriserede kurver siges parameterfremstillingen i (22-19) at være enentydig hvis forskellige punkter i definitionsmængden afbildes i forskellige punkter i billedmængden i planen. Opgave Vis, at Jacobi r (u, v) (i (22-44)) også kan findes som den numeriske værdi af determinanten af den (2 2)-matrix, der som søjler har koordinaterne for de to vektorer r u(u, v) og r v(u, v).

16 enote PLANINTEGRALER 16 Figur 22.11: Plant område med parabelkoordinater. Dette område i planen er givet ved parameterfremstillingen r(u, v) = (u v, 1 2 (u2 v 2 )), u [ 2, 2], v [0, 2]. Figuren til højre antyder igen et system af areal-approksimerende parallelogrammer pånær faktor 4. Eksempel Standard graf-afgrænset område Laf f (x) betegne en positiv funktion på et x-interval [a, b]. Så kan vi parametrisere området imellem x-aksen og grafen for funktionen f (x) på følgende simple måde: P r : r(u, v) = (u, v f (u)), u [a, b], v [0, 1]. (22-23) Se figur (hvor funktionen f (x) = 1 + x + x 2 er benyttet til illustration). Til bestemmelse af arealet af området imellem grafen for f (x) og x-aksen har vi nu helt generelt: fordi Jacobi r (u, v) = f (u), (22-24) r u(u, v) = (1, v f (u)) r v(u, v) = (0, f (u)), og (22-25) sådan at determinanten af den matrix, der har søjlerne r u(u, v) og r v(u, v), netop i dette tilfælde er funktionen f (u) selv og dermed er også Jacobifunktionen givet ved f (u) ifølge opgave Heraf fås det ønskede areal rekonstrueret som: Areal(P r ) = 1 dµ = P r = 1 ( b 0 b a a f (u) du. ) f (u) du dv (22-26) Overvej, hvad der sker med integralet i (22-26), hvis f (x) tillades at være negativ på givne delintervaller af [a, b].

17 enote PLANINTEGRALER 17 Figur 22.12: Parametrisering af området imellem x-aksen og grafen for funktionen f (x) = 1 + x + x 2. Se eksempel Eksempel Elliptisk område Det parametriserede elliptiske område i planen (se figur 22.13) har arealet P r : r(u, v) = ( av cos(u), bv sin(u) ), u [ π, π], v [0, 1]. Areal(P r ) = P r 1 dµ = 1 π 0 π abv du dv = abπ, idet Jacobi r (u, v) = abv. Sammenlign med beregningen af længden af ellipsen i eksempel Opgave Niveau-afgrænset elliptisk område Et elliptisk område i planen er afgrænset af niveaukurven K 0 ( f ) for andengradspolynomiet f (x, y) = 2 x y x y 8 x 10 y (22-27) Bestem længden af niveukurven og bestem arealet af det afgrænsede elliptiske område i (x, y)-planen. Se figur Vink: eksempel 20.1 i enote 20.

18 enote PLANINTEGRALER 18 Figur 22.13: Et elliptisk område i planen med halvakser a = 1 og b = 2. Se eksempel Bemærk, at de approksimerende parallelogrammer (her vist skalerede) ikke er rektangler. Eksempel Spiral-område Det parametriserede spiral-afgrænsede område i planen (se Figur 22.15) har arealet P r : r(u, v) = ( vu cos(u), vu sin(u) ), u [ 0, π/2], v [ 0, 1]. Areal(P r ) = P r 1 dµ = 1 π/2 0 0 v 2 u du dv = π 3 /48, idet Jacobi r (u, v) = v 2 u. Sammenlign med beregningen af længden af spiralen i eksempel Motivering af plan-integralet Hvis vi i analogi med opstillingen af kurveintegralet deler begge parameter-intervallerne [a, b] og [c, d] i henholdsvis n og m lige store dele, så har hvert u-delinterval længden δ u = (b a)/n og hvert v-delinterval har længden δ v = (d c)/m. Tilsvarende bliver delepunkternes koordinater i (u, v)-parameterområdet (som jo er rektanglet [a, b] [c, d]

19 enote PLANINTEGRALER 19 Figur 22.14: Et elliptisk område i planen er afgrænset af en ellipse som er niveaukurven K 0 ( f ) for andengradspolynomiet f (x, y) = 2 x y x y 8 x 10 y Se opgave og eksempel 20.1 i enote 20. i R 2 ) - jvf. enote 20: (u 1, v 1 ) = (a, c), (u 1, v j ) = (a, c + (j 1)δ v ), (u i, v 1 ) = (a + (i 1)δ u, c), (u i, v j ) = (a + (i 1)δ u, c + (j 1)δ v ),... (b, d) = (a + nδ u, c + mδ v ). (22-28) Med hvert af disse faste punkter (u i, v j ) som udviklingspunkt kan vi igen benytte Taylor s grænseformel, nu for hver af de 2 koordinat-funktioner x(u, v) og y(u, v) for r(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) til første orden med tilhørende epsilon-funktioner: r(u, v) = r(u i, v j ) + r u(u i, v j ) (u u i ) + r v(u i, v j ) (v v j ) + ρ ij ε ij (u u i, v v i ), hvor u [ u i, u i + δ u ], v [ v j, v j + δ v ]. Her betegner ρij = (22-29) (u u i ) 2 + (v v j ) 2 afstanden mellem det variable punkt (u, v) og det faste udviklingspunkt (u i, v j ) i parameterområdet. Der gælder her, at vektorfunktionen ε ij (u u i, v v j ) (0, 0) = 0 for (u u i, v v j ) (0, 0).

20 enote PLANINTEGRALER 20 Figur 22.15: Et spiral-afgrænset område i planen. Se eksempel Hvert del-rektangel [u i, u i + δ u ] [v j, v j + δ v ] afbildes på det plane del-område, som vi kan angive med r(u, v) evalueret i parameter-del-rektanglet u [u i, u i + δ u ], v [v j, v j + δ v ] og dette delområde af det plane område kan vi approksimere med den lineære del af udtrykket i (22-29), som igen netop fås ved at fjerne ε ij -bidraget fra højre side i (22-29): r app ij (u, v) = r(u i, v j ) + r u(u i, v j ) (u u i ) + r v(u i, v j ) (v v j ), (22-30) hvor u og v stadig gennemløber del-intervallerne u [ u i, u i + δ u ], v [ v j, v j + δ v ]. Disse lineære approksimationer er parallelogrammer, som udspændes af de to tangentvektorer r u(u i, v j ) δ u og r v(u i, v j ) δ v. Areal af plant område Hvert enkelt af de ialt n m approksimerende parallelogrammer har et areal. Arealet af det (i, j) te parallelogram er givet ved Areal ij = r u(u i, v j ) r v(u i, v j ) sin(θ(u i, v j )) δ u δ v = Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v. (22-31) Opgave Bevis denne påstand: Arealet af et parallelogram er produktet af længderne af de to udspændende vektorer og sinus til den mellemliggende vinkel. Se enote 6

21 enote PLANINTEGRALER 21 Summen af disse ialt n m arealer er klart en god approksimation til arealet af hele fladestykket, således at vi har Areal app (n, m) = m n j=1 i=1 Areal ij = m n j=1 i=1 Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v. (22-32) Da ovenstående sum er en dobbelt integralsum for den kontinuerte funktion Jacobi r (u, v) over parameter-rektanglet [a, b] [c, d] får vi i grænsen, hvor n og m begge går mod uendelig (se enote 21 ): Areal app (n, m) Areal = d b c a Jacobi r (u, v) du dv for n, m. (22-33) Dette er begrundelsen for definitionen af arealet af et parametriseret område i planen som angivet ovenfor, nemlig som fladeintegralet af den konstante funktion 1. Massen, vægten af et plant område Hvis vi nu antager, at hvert enkelt parallelogram i (22-30) tildeles en konstant massetæthed givet ved værdien af funktionen f (x, y) i parallelogrammets kontaktpunkt med fladen, så får vi massen af det (i, j) te parallelogram : M ij = f (x(u i, v j ), y(u i, v j )) Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v = f (r(u i, v j )) Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v. (22-34) Den totale masse af hele systemet af parallelogrammer er derfor følgende, som er en god approksimation til massen af hele det plane område når dette gives massetætheden f (r(u, v)) i punktet r(u, v). M app (n, m) = m n j=1 i=1 M ij = m n j=1 i=1 f (r(u i, v j )) Jacobi r (u i, v j ) δ u δ v. (22-35) Dette er en dobbelt integralsum for den kontinuerte funktion f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) over parameter-rektanglet [a, b] [c, d]. Vi får altså i grænsen, hvor n og m går mod uendelig: M app (n, m) M = d b c a f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv for n, m. (22-36) Dermed har vi motiveret definitionen af massen af et parametriseret område i planen med massetætheden f (r(u, v)) og dermed også den generelle definition af planintegralet, definition

22 enote PLANINTEGRALER 22 Eksempel Total vægt af ring-område Lad f (x, y) = 1 + x være vægtfunktion på det plane område i (x, y)-planen der er afgrænset af x-aksen og de to øvre halvcirkelbuer af cirklerne med radius henholdsvis 1 og 1/2, begge med centrum i (0, 0), se figur En parametrisering af området er for eksempel: P r : r(u, v) = (u cos(v), u sin(v)), hvor u [1/2, 1], v [0, π]. (22-37) Når området er vægtet med vægtfunktionen f (x, y) bliver den totale vægt af området: M(P r ) = f dµ = P r π 1 0 1/2 f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv, (22-38) hvor sådan at f (r(u, v)) = 1 + x(u, v) = 1 + u cos(v) Jacobi r (u, v) = u, M(P r ) = = = = π 1 0 π 0 π 0 1/2 (1 + u cos(v)) u du dv ] u=1 [ 1 2 u u3 cos(v) ( ) 24 cos(v) dv [ 3 8 v sin(v) = 3 8 π. ] v=π v=0 u=1/2 dv og (22-39) (22-40) Den totale masse af området med den givne vægtfordeling er altså M(P r ) = 3π/8. Til sammenligning er arealet af området jo også Areal(P r ) = 3π/8 men det er et tilfælde.

23 enote PLANINTEGRALER 23 Figur 22.16: Et (halvt) ring-område i planen med antydet vægtfordeling. Se eksempel

24 enote OPSUMMERING Opsummering Vi har i denne enote opstillet de begreber og metoder, der giver os præcise udtryk for længder af kurver, arealer af plane områder og mere generelt kurve- og plan-integraler af (vægt-)funktioner på kurver og plane områder, der er parametriserede ud fra henholdsvis et interval eller et rektangulært parameter-område. Kurve- og plan-integralerne er opstillet ved hjælp af de respektive Jacobi-funktioner, som angiver hvor meget parameterintervallet eller parameter-området lokalt deformeres når det afbildes over i den ønskede kurve eller over i det ønskede plane område ved de valgte vektor-afbildninger r(u) og r(u, v). For en rum-kurve K r med parameterfremstillingen r(u) = (x(u), y(u), z(u)) har vi følgende motiverede kurveintegral af funktionen f (x, y, z) over rumkurven: K r f dµ = b a f (r(u)) Jacobi r (u) du, (22-41) hvor Jacobi-funktionen Jacobi r (u) er givet ved længden af parametriseringens tangentvektor: Jacobi r (u) = r (u). (22-42) For et plant område P r med parameterfremstillingen r(u, v) = (x(u, v), y(u, v)) har vi ligeledes motiveret følgende definition af planintegralet af funktionen f (x, y) over området: P r f dµ = d b c a f (r(u, v)) Jacobi r (u, v) du dv, (22-43) hvor Jacobi-funktionen Jacobi r (u, v) nu er givet ved parallelogram-arealet udspændt af koordinatkurvernes tangentvektorer: Jacobi r (u, v) = r u(u, v) r v(u, v) sin(θ(u, v)), (22-44) hvor θ(u, v) [0, π] betegner vinklen mellem de to tangentvektorer r u(u, v) og r v(u, v).

Flade- og rum-integraler

Flade- og rum-integraler enote 23 1 enote 23 Flade- og rum-integraler Flade og rumintegraler opstilles her på stort set samme måde som kurve- og planintegralerne i enote 22, som derved sammen med den grundlæggende generelle indførelse

Læs mere

Vektorfelter langs kurver

Vektorfelter langs kurver enote 25 1 enote 25 Vektorfelter langs kurver I enote 24 dyrkes de indledende overvejelser om vektorfelter. I denne enote vil vi se på vektorfelternes værdier langs kurver og benytte metoder fra enote

Læs mere

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU 20. februar 2008 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.2 Approksimerende summer

Læs mere

Andengradsligninger i to og tre variable

Andengradsligninger i to og tre variable enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker

Læs mere

STEEN MARKVORSEN DTU MATEMATIK

STEEN MARKVORSEN DTU MATEMATIK STEEN MARKVORSEN DTU MATEMATIK 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.1.1 Rumfang-problemet............................ 6 1.2 Approksimerende summer og

Læs mere

Gradienter og tangentplaner

Gradienter og tangentplaner enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem

Læs mere

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU 14. februar 2006 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad er et punkt og hvordan ser vi det?...................... 6 1.2 Summer og integraler................................

Læs mere

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen DTU Matematik

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen DTU Matematik Integration i flere Variable Steen Markvorsen DTU Matematik 20. februar 2009 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad handler det om?................................ 6 1.1.1 Rumfang-problemet............................

Læs mere

Integration i flere Variable

Integration i flere Variable Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik og Learning Lab DTU 28. januar 2005 2 Indhold Introduktion 5. Hvad er et punkt og hvordan ser vi det?...................... 6.2 Summer

Læs mere

Funktioner af to variable

Funktioner af to variable enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Epistel E2 Partiel differentiation

Epistel E2 Partiel differentiation Epistel E2 Partiel differentiation Benny Lautrup 19 februar 24 Funktioner af flere variable kan differentieres efter hver enkelt, med de øvrige variable fasthol Definitionen er f(x, y) x f(x, y) f(x +

Læs mere

Vektorfelter. enote Vektorfelter

Vektorfelter. enote Vektorfelter enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af

Læs mere

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A

Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave A Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet. 6. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet 6. juni 16 Dette eksamenssæt består af 1 nummererede sider med 14 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

8 Regulære flader i R 3

8 Regulære flader i R 3 8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således

Læs mere

Integralregning Infinitesimalregning

Integralregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Integralregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne integral og stamfunktion, og anskuer dette som et redskab til bestemmelse af arealer under funktioner. Noterne er supplement

Læs mere

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)

Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her

Læs mere

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30.

Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 135, 270, 60, 30. Opgaver Polære koordinater Opgave 1 Opskriv følgende vinkler i radianer 180, 90, 15, 70, 60, 0. Opgave Bestem sin π Opgave. Et punkt p i xy-planen er givet ved de kartesiske koordinater,. Bestem p s polære

Læs mere

Kapitel 1. Planintegraler

Kapitel 1. Planintegraler Kapitel Planintegraler Denne tekst er en omarbejdet version af kapitel 7 i Gunnar Mohrs noter til faget DiploMat 2, og opgaverne er et lille udpluk af opgaver fra Mogens Oddershede Larsens bog Matematik

Læs mere

Stokes rotationssætning

Stokes rotationssætning enote 27 1 enote 27 Stokes rotationssætning I denne enote vil vi benytte Gauss divergenssætning fra enote 26 til at motivere, bevise, og illustrere Stokes sætning, som udtrykker en præcis sammenhæng mellem

Læs mere

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge.

Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge. Cykloider Vi begynder med at repetere noget af det tidligere gennemgåede som vi skal bruge Retningspunkt (repetition) Figur 1 viser enhedscirklen Det viste punkt P er anbragt sådan at den øverste af buerne

Læs mere

Bevægelsens Geometri

Bevægelsens Geometri Bevægelsens Geometri Vi vil betragte bevægelsen af et punkt. Dette punkt kan f.eks. være tyngdepunktet af en flue, et menneske, et molekyle, en galakse eller hvad man nu ellers har lyst til at beskrive.

Læs mere

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik

Projektopgave 1. Navn: Jonas Pedersen Klasse: 3.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/ Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Projektopgave 1 Navn: Jonas Pedersen Klasse:.4 Skole: Roskilde Tekniske Gymnasium Dato: 5/9-011 Vejleder: Jørn Christian Bendtsen Fag: Matematik Indledning Jeg har i denne opgave fået følgende opstilling.

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 3. Januar 17 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående

Læs mere

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej

Supplement til Matematik 1GB. Jan Philip Solovej Supplement til Matematik 1GB Jan Philip Solovej ii c 2001 Jan Philip Solovej, Institut for Matematiske Fag, Københavns Universitet. Alle har tilladelse til at reproducere hele eller dele af dette materiale

Læs mere

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock

Vektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår

Læs mere

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU

Integration i flere Variable. Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU Integration i flere Variable Steen Markvorsen Institut for Matematik, DTU 13. februar 2007 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Hvad er et punkt og hvordan ser vi det?...................... 6 1.2 Approksimerende

Læs mere

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet

Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Lidt om plane kurver og geometrisk kontinuitet Jesper Møller og Rasmus P. Waagepetersen, Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet September 3, 2003 1 Indledning Dette notesæt giver en oversigt

Læs mere

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3.

Eksamen i Calculus. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. 3. Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. januar 7 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))

GEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r)) GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3

Læs mere

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo

Supplerende opgaver. 0. Opgaver til første uge. SO 1. MatGeo SO 1 Supplerende opgaver De efterfølgende opgaver er supplerende opgaver til brug for undervisningen i Matematik for geologer. De er forfattet af Hans Jørgen Beck. Opgaverne falder i fire samlinger: Den

Læs mere

Funktion af flere variable

Funktion af flere variable Funktion af flere variable Preben Alsholm 6. oktober 2008 1 Funktion af flere variable 1.1 Punktmængder i R k : Definitioner Punktmængder i flerdimensionale rum: Definitioner q Normen af x 2 R k er kxk

Læs mere

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel

MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen

Læs mere

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet

Matematik A. 5 timers skriftlig prøve. Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen i Grønland maj 2009 GLT091-MAA Matematik A 5 timers skriftlig prøve Undervisningsministeriet Fredag den 29. maj 2009 kl. 9.00-14.00 Matematik A 2009 Prøvens varighed er 5 timer.

Læs mere

Prøveeksamen i Calculus

Prøveeksamen i Calculus Prøveeksamen i Calculus Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Marts 6 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med 4 afkrydsningsopgaver.

Læs mere

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012

Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 2012 Eksamen i Calculus Mandag den 4. juni 212 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med ialt

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 9. november 25 Divergens af et vektorfelt [Sektion 9.8 og.7 i bogen, s. 43]. Definition af og og egenskaber for divergens Lad

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00

Matematik A. Højere handelseksamen. 1. Delprøve, uden hjælpemidler. kl. 9.00-14.00 Matematik A Højere handelseksamen 1. Delprøve, uden hjælpemidler kl. 9.00-10.00 hh101-mat/a-27052010 Torsdag den 27. maj 2010 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven uden hjælpemidler Prøvens varighed er 1 time.

Læs mere

(Prøve)Eksamen i Calculus

(Prøve)Eksamen i Calculus (Prøve)Eksamen i Calculus Sæt 1, april 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende (prøve)eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015

Kalkulus 1 - Opgaver. Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis. 20. januar 2015 Kalkulus 1 - Opgaver Anne Ryelund, Anders Friis og Mads Friis 20. januar 2015 Mængder Opgave 1 Opskriv følgende mængder med korrekt mængdenotation. a) En mængde A indeholder alle hele tal fra og med 1

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at

GEOMETRI-TØ, UGE 3. og resultatet følger fra [P] Proposition 2.3.1, der siger, at GEOMETRI-TØ, UGE 3 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad γ : (α, β) R 2 være en regulær kurve i planen.

Læs mere

Den todimensionale normalfordeling

Den todimensionale normalfordeling Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54

t a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54 Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad

Læs mere

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z

z j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,

Læs mere

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet

Højere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A

Aalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

DTU. License to Thrill

DTU. License to Thrill XM @ DTU License to Thrill Den bedste rette linje S. Markvorsen & P. G. Hjorth Institut for Matematik, Bgning 303S, DTU DK-800 Kgs. Lngb 1 Den bedste rette linje Hvordan findes den "bedste"rette linje

Læs mere

Integralregning ( 23-27)

Integralregning ( 23-27) Integralregning ( -7) -7 Side Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner til hver af funktionerne a) f() =, + 7 ) f() = 7 + 7 c) f() = ep() + ln() d) f() = e ep() + Bestem ved håndkraft samtlige stamfunktioner

Læs mere

Affine transformationer/afbildninger

Affine transformationer/afbildninger Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning

Læs mere

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.

Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske

Læs mere

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016

Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 2016 Reeksamen i Calculus Onsdag den 17. februar 216 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader

GEOMETRI-TØ, UGE 11. Opvarmningsopgave 2, [P] 6.1.1 (i,ii,iv). Udregn første fundamentalform af følgende flader GEOMETRI-TØ, UGE Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave, [P] 5... Find parametriseringer af de kvadratiske flader

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen

Matematik A. Højere teknisk eksamen Matematik A Højere teknisk eksamen Matematik A 215 Prøvens varighed er 5 timer. Alle hjælpemidler er tilladte. Opgavebesvarelsen skal afleveres renskrevet, det er tilladt at skrive med blyant. Notatpapir

Læs mere

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0

i x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0 BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den

Læs mere

Differentialkvotient af cosinus og sinus

Differentialkvotient af cosinus og sinus Differentialkvotient af cosinus og sinus Overgangsformler cos( + p ) = cos sin( + p ) = sin cos( -) = cos sin( -) = -sin cos( p - ) = - cos sin( p - ) = sin cos( p + ) = -cos sin( p + ) = -sin (bevises

Læs mere

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016

STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 STEEN MARKVORSEN DTU COMPUTE 2016 2 Indhold 1 Regulære flader i rummet 5 1.1 Det sædvanlige koordinatsystem i rummet..................... 5 1.2 Graf-flader for funktioner af to variable......................

Læs mere

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010

Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 2010 Temaopgave: Parameterkurver Form: 6 timer med vejledning Januar 1 Parameterkurver Vi har tidligere set på en linjes parameterfremstilling, feks af typen: 1 OP = t +, hvor t R, og hvor OP er stedvektor

Læs mere

Kurver i planen og rummet

Kurver i planen og rummet Kurver i planen og rummet John Olsen 1 Indledning Dette sæt noter er forelæsningsnoter til foredraget Kurver i planen og rummet. Noterne er beregnet til at blive brugt sammen med foredraget. Afsnit 2 er

Læs mere

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA

GUX. Matematik. A-Niveau. August 2015. Kl. 9.00-14.00. Prøveform a GUX152 - MAA GUX Matematik A-Niveau August 05 Kl. 9.00-4.00 Prøveform a GUX5 - MAA Matematik A Prøvens varighed er 5 timer. Prøven består af opgaverne til 0 med i alt 5 spørgsmål. De 5 spørgsmål indgår med lige vægt

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Skoleår 2016/2017, eksamen maj-juni 2017 Institution Kolding HF & VUC Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold

Læs mere

MATEMATIK A-NIVEAU-Net

MATEMATIK A-NIVEAU-Net STUDENTEREKSAMEN MAJ AUGUST 2007 2011 MATEMATIK A-NIVEAU-Net torsdag 11. august 2011 Kl. 09.00 14.00 frs112-matn/a-11082011 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøve 1: 2 timer med autoriseret formelsamling

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Aug.-dec. 2009 Institution Grenaa Tekniske Skole Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold HTX Matematik A Michael

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1). Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Delmængder af Rummet

Delmængder af Rummet Delmængder af Rummet Frank Villa 15. maj 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016

Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Eksamen i Calculus Fredag den 8. januar 2016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 7 nummererede sider med

Læs mere

Matematik A August 2016 Delprøve 1

Matematik A August 2016 Delprøve 1 Anvendelse af løsningerne læses på hjemmesiden www.matematikhfsvar.page.tl Sættet løses med begrænset tekst og konklusion. Formålet er jo, at man kan se metoden, og ikke skrive af! Opgave 1 - Vektorer,

Læs mere

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin December/januar 14/15 Institution VUC Vestegnen Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Mat A Karin Hansen

Læs mere

3D-grafik Karsten Juul

3D-grafik Karsten Juul 3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig

Læs mere

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement

Uge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale

Læs mere

LINEÆRE DEFORMATIONER AF PLANE FIGURER OG MODELERING AF GÆRCELLERS VÆKST

LINEÆRE DEFORMATIONER AF PLANE FIGURER OG MODELERING AF GÆRCELLERS VÆKST Temaøvelsesopgave 2A Rev. 08.10.10. LINEÆRE DEFORMATIONER AF PLANE FIGURER OG MODELERING AF GÆRCELLERS VÆKST Figur 1 NB: Denne version er ikke til udprintning. Hvis I vil udprinte teksten så fjern midlertidigt

Læs mere

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering:

Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: Emneopgave: Lineær- og kvadratisk programmering: LINEÆR PROGRAMMERING I lineær programmering løser man problemer hvor man for en bestemt funktion ønsker at finde enten en maksimering eller en minimering

Læs mere

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach.

Mathematicus AB1. # a # b. # a # b. Mike Vandal Auerbach. Mathematicus AB1 # a # b # a # b Mike Vandal Auerbach www.mathematicus.dk Mathematicus AB1 1. udgave, 2017 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og må anvendes til ikke-kommercielle formål.

Læs mere

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1

Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Oversigt [S] 9.6, 11.1, 11.2, App. H.1 Her skal du lære om 1. Funktioner i flere variable 2. Grafen og niveaukurver 3. Grænseovergange og grænseværdier 4. Kontinuitet i flere variable 5. Polære koordinater

Læs mere

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1

Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Oversigt [S] 5.2, 5.4, 12.1 Nøgleord og begreber Bestemt integral Areal iemann summer Volumen Dobbelt integral Test dobbelt integral iemann dobbeltsummer Nyttige regneregler for integral Test integral

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) Integralregning 3 Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 7 opgaver over. Opgave 1 1 Skitser det omdrejningslegeme, der fremkommer, når grafen for f ( x) x 1 i [ 1,] drejes 360 om x-aksen.

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold December 2015 vinter VUC Vestegnen stx Mat A Gert Friis

Læs mere

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a

gl. Matematik A Studentereksamen Torsdag den 22. maj 2014 kl gl-1stx141-mat/a gl. Matematik A Studentereksamen gl-1st141-mat/a-05014 Torsdag den. maj 014 kl. 9.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1-6 med i alt 6 spørgsmål. Delprøven

Læs mere

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra

Matrx-vektor produkt Mikkel H. Brynildsen Lineær Algebra Matrx-vektor produkt [ ] 1 2 3 1 0 2 1 10 4 Rotationsmatrix Sæt A θ = [ ] cosθ sinθ sinθ cosθ At gange vektor v R 2 med A θ svarer til at rotere vektor v med vinkelen θ til vektor w: [ ][ ] [ ] [ ] cosθ

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4

Kapitel 4. Trigonometri. Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Kapitel 4 Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri).

Læs mere

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion

Projekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit

Læs mere

Reeksamen i Calculus

Reeksamen i Calculus Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1) Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Jeg ønsker at aflægge prøve på nedenstående eksaminationsgrundlag. Jeg har foretaget ændringer i vejlederens fortrykte forslag: nej ja Dato: Underskrift HUSK at

Læs mere

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag:

Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Eksaminationsgrundlag for selvstuderende Skolens eksaminationsgrundlag: Jeg ønsker at gå til eksamen i nedennævnte eksaminationsgrundlag (pensum), som skolen har lavet. Du skal ikke foretage dig yderligere

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere