Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul"

Transkript

1 Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul

2 Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner 5 Symol or stmunktion (uestemt integrl) 6 Bestem stmunktion med Nspire 7 Bestem stmunktion uden hjålpemidler 8 Bestem ( d 9 Integrl smmenst unktion Find en estemt stmunktionerne5 Bestemt integrl Hvd er det estemte integrl6 Udregn ( d med Nspire 6 Udregn ( d uden hjålpemidler6 Arel og estemt interl Arel og estemt integrl 7 5 Kvdrnt7 6 Arel mellem gr og -kse Uden hjålpemidler 8 7 Arel mellem gr og -kse Med hjålpemidler8 8 Arel mellem grer Eksempel 9 Arel mellem grer Eksempel Arel i tilålde der ikke er stndrd Opgve hvor integrl og rel er givet Opdelt omrçde Fortolk integrl Eksempel Fortolk integrl Eksempel 5 Fortolk integrl Eksempel 6 Bestem k sç rel er lig et oplyst tl Rumng omdrejningslegeme 7 Rumng omdrejningslegeme 8 Rumng skçl 9 Rumng ring 5 Andre nvendelser Andre nvendelser 5 Beviser Formler or estemt integrl 6 Hvd er en relunktion?7 Vigtig regel om relunktioner7 Bevis or t A' ( = ( 8 5 Arel nçr gr ligger over -kse9 6 Arel mellem grer 7 Arel nçr gr ligger under -kse Tidligere versioner dette håte hr skitet dresse til niveu_i_st_udgve_pd niveu_i_st_udgve_pd niveu_i_st_udgve_pd Integrlregning or A-niveu i st, udgve, Ä 7 Krsten Juul 5/-7 Nyeste version dette håte kn downlodes r HÅtet mç enyttes i undervisningen hvis låreren med det smme sender en e-mil til som oplyser t dette håte enyttes, og oplyser hold, niveu, lårer og skole

3 Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? g( er en stmunktion til ( hvis g( dierentieret giver ( dvs hvis g( ( UndersÄg om g( er stmunktion til ( Opgve Besvrelse UndersÄg om g( er en stmunktion til For t undersäge om g( er stmunktion til (, vil vi dierentiere g ( : g( ( ( ) D g( dierentieret ikke giver (, gålder: g( er ikke en stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( Opgve GÄr rede or t g( er en stmunktion til Besvrelse For t gäre rede or t g( er stmunktion til (, vil vi dierentiere g ( : g( ( ( ) D g( dierentieret giver (, gålder: g( er en stmunktion til ( Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul

4 En unktion hr mnge stmunktioner 5 8 c er stmunktion til unset hvilket tl vi skriver i stedet or c I koordintsystemet hr vi tegnet grerne or nogle stmunktionerne til (,5),75,75 (,5) Regel Hvis h( er en stmunktionerne til (, sç er unktionerne h( k smtlige stmunktioner til ( Regel Hvis h( er en stmunktion til (, sç vil stmunktionerne til ( unktioner hvis gr vi kn Ç ved t rykke h(-gren op eller ned våre de 5 Symol or stmunktion (uestemt integrl) Symolet ( d etyder: stmunktionerne til ( og låses: det uestemte integrl ( NÇr vi inder ud hvd ( d er lig, sç siger vi t vi integrerer ( Eksempel: ( ) d c 6 Bestem stmunktion med Nspire PÇ skelon-pletten vålger vi integrlskelonen Nspire skriver kun Én stmunktionerne: Vi mç selv tiläje c : For t inde stmunktion til (, skl vi eter integrltegnet ngive t : Husk t trykke pç häjrepilen inden du tster den lodrette streg! skl stç uden or Udregnet Nspire Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul

5 7 Bestem stmunktion uden hjålpemidler 7 k hr stmunktionen k k er en konstnt eks 6 hr stmunktionerne 6 c 7 hr stmunktionen 7c hr stmunktionen dvs hr stmunktionerne c eks hr stmunktionerne c MEN hr IKKE stmunktionen 7d hr stmunktionen ln( i intervllet dvs hr stmunktionerne ln( c, > 7e 7 hr stmunktionen ln( i intervllet dvs MEN hr stmunktionerne ln( c, > hr IKKE stmunktionen ln( e hr stmunktionen e dvs e hr stmunktionerne e c 7g Hvis: ( hr stmunktionen F( sç: k ( hr stmunktionen k F( eks hr stmunktionerne c dvs c 7h Hvis: ( hr stmunktionen F( g( hr stmunktionen G( sç: ( g( hr stmunktionen F( G( ( g( hr stmunktionen F( G( og eks eks 6 e hr stmunktionerne 6 e c hr stmunktionerne ln( c i intervllet 7i ( g ( ) g' ( d F( g( ) c, hvor F ( t) ( t) Se rmme 9 eks d d ) ( ) ( ) ( ) ( c d t t 7j Advrsel: Mn kn IKKE integrere et udtryk ved t integrere hver del udtrykket (ortset r visse specielle tilålde ), eks e hr IKKE stmunktionen e e 5e 8 Bestem ( d hr IKKE stmunktionen hr IKKE stmunktionen 8 Opgve Bestem integrlet 6 d Besvrelse e 5 e 6 d 6 c 6 c c 8 Opgve: Bestem integrlet (8 5) d Besvrelse (8 5) d 8 5 c 8 5 c 5 c Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul

6 9 Integrl smmenst unktion 9 Regel or stmunktion til smmenst unktion: ( g ( ) g' ( d F( g( ) c, hvor F ( t) ( t) Bevis or reglen ved hjålp metoden r rmme : Vi ruger reglen or t dierentiere smmenst unktion: F( g( ) c F( g( ) g' ( ( g ( ) g' ( D F( g( ) c dierentieret giver ( g ( ) g' (, er F( g( ) c en stmunktion til ( g ( ) g' ( Eksempler på rug denne regel: 9 d d ) ( ) ( ) ( ) ( c, d t t Kontrol or regneejl (se rmme ): ( ) ( ) ( ) ( ) 9c I Älgende eksempel tiläjer vi tllet orn or t opnç t det der stçr, er dierentilkvotienten den indre unktion For t lighedstegnet skl gålde, gnger vi smtidig integrlet med ( ) d ( ) d ( ) ( ) d c ) ( ) ( c, d t t 8 9d t t e d e ( d e c, d e e 9e : d d ( ) d ln( ) c d ln ( t), t t, Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul

7 Find en estemt stmunktionerne Opgve (Vi kender et punkt pç stmunktionens gr) F er en stmunktion til ( Det er oplyst t gren or F gçr gennem punktet (, 6) I nogle opgver er denne oplysning ormuleret sçdn: F ( ) 6 Find F Besvrelse D F er en stmunktion til (, indes en konstnt c sç F( c D gren or F gçr gennem punktet (, 6), mç ( ) sç c ( ) c, dvs F (, 6 NÄr vi indsåtter et grpunkts -koordint i orskriten og regner ud, sä Är vi grpunktets y-koordint Opgve (Vi kender en linje der er tngent til stmunktionens gr) F er en stmunktion til ( Det er oplyst t Linjen med ligningen y 5 er tngent til gren or F Find F Besvrelse D F er en stmunktion til (, indes en konstnt c sç F( c FÄrst udregner vi et punkt der ligger pç gren or F, nemlig det punkt (, y) hvori tngenten rärer gren A tngentens ligningen y 5 ser vi t tngenthåldningen er : F( ) D og, ) Çr vi y 5 y ( ) 5 y 6 ( y ligger pç linjen med ligningen NÄr vi indsåtter et grpunkts -koordint i orskriten or dierentilkvotienten og regner ud, sä Är vi grpunktets tngenthåldning At en linjes ligning er y etyder t or et punkt pä linjen kn vi udregne y-koordinten ved t gnge -koordinten med og lågge til resulttet Nu kender vi et punkt pç gren or F SÇ kn vi ruge metoden r opgve Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 7 Krsten Juul

8 Hvd er det estemte integrl Det estemte integrl r til ( ( d F( ) F( ) hvor F( er en stmunktion til ( Det estemte integrl er et tl Bestemt integrl er tllet Det uestemte integrl er unktioner Udregn ( d med Nspire PÇ skelon-pletten vålger vi integrlskelonen Eksempel: Husk t skrive dette! Udregn ( d uden hjålpemidler NÇr vi udregner estemte integrler uden hjålpemidler, er det prktisk t ruge symolet F ( som etyder F( ) F( ) Fordelen er t vi kn skrive stmunktionen inden vi indsåtter grånserne og or Simpel opgve Her skl du skrive en stmunktion til det der stär eter integrltegnet Du skl IKKE skrive +c Udregn ( 6 5) d Svr (6 5) d ( ) 5 ( ) 5 Çvre grånse såttes Érst ind SÄ indsåttes nedre grånse c Opgve med smmenst unktion Udregn ( ) d Svr (FÄrst inder vi stmunktionen ved hjålp metoden r rmme 9) ( ) d ( ) d ( ) ( ) d ( ) c ( ) ( ) 8 ( ) 8 ( ) ( ) d 8 8 c Integrlregning or A-niveu i st, udgve 6 7 Krsten Juul

9 Arel og estemt integrl Arel og estemt interl Regel Arel nçr gr er over -ksen A er relet mellem -gr og -kse i intervllet Hvis ( or er A ( d A Regel Arel nçr gr er under -ksen A er relet mellem -gr og -kse i intervllet Hvis ( or er A ( d BemÄrk: minus integrl er et positivt tl A c Regel Arel mellem grer A er relet mellem -gr og g-gr i intervllet Hvis ( g( or er A ( g( d A g 5 Kvdrnt I opgver hvor vi skl estemme reler, kn der stç ordet kvdrnt Koordintkserne deler plnen op i ire kvdrnter Figuren viser hvd de ire kvdrnter hedder kvdrnt kvdrnt y kvdrnt kvdrnt Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 7 Krsten Juul

10 6 Arel mellem gr og -kse Uden hjålpemidler Opgve Oplysninger r opgveteksten som du ruger, skl med i esvrelsen selv om det ikke er vist her Figuren viser gren or unktionen ( og linjen med ligningen Gren or skårer -ksen i punkterne (, ) og (, ) Bestem relet det grç omrçde Besvrelse Det grç omrçde er omrçdet mellem gren or og -ksen i intervllet D ( i dette intervl, er relet Se Her skl du skrive en stmunktion til det der stär eter integrltegnet Du skl ikke skrive +c Venstre grånse skl stä nederst ) ( d = Se = ( ) ( ) = 8 8 = = 9 Arelet det grç omrçde er Çvre grånse Érst, sä nedre Disse klmmer skl du kun ruge hvis opgven er uden hjålpemidler Med hjålpemidler skl du kun tste integrlet og trykke pä enter 7 Arel mellem gr og -kse Med hjålpemidler 7 Opgve (,5 6 Bestem rel omrçdet der i Ärste kvdrnt grånses -gr og koordintkser BemÇrkning Nspire tegner -gr, og vi mrkerer det sägte rel NÇr vi gçr r venstre mod häjre, sç strter omrçdet ved y-ksen, dvs der hvor er, sç integrlets nedre grånse er OmrÇdet slutter ved det ene Ållespunkt or -gr og -kse, sç dette punkts -koordint er integrlets Ävre grånse Vi skl läse ligningen ( = or t inde -koordinter til Ållespunkter or -gr og -kse PÇ igur ser vi t vi skl ruge den läsningerne der ligger mellem og rel 7 Opgve,5,5 ( d (,5 6 ) d Se (,5 6 Bestem rel omrçdet der i jerde kvdrnt grånses -gr og Ärstekse BemÇrkning Nspire tegner -gr, og vi mrkerer det sägte rel NÇr vi gçr r venstre mod häjre, sç strter omrçdet ved et Ållespunkt or -gr og -kse, sç dette punkts -koordint er integrlets nedre grånse OmrÇdet slutter ved et Ållespunkt or -gr og -kse, sç dette punkts -koordint er integrlets Ävre grånse Vi skl läse ligningen ( = or t inde -koordinter til Ållespunkter or -gr og -kse rel,5 ( d (,5 6 ) d,5 Se Rmme 7 ortsåtter pä nåste side Integrlregning or A-niveu i st, udgve 8 7 Krsten Juul

11 7c Opgve (,5 6 Bestem rel omrçdet der i Ärste kvdrnt grånses -gr og koordintkser Besvrelse Skl kunnes PÇ igur hr Nspire tegnet gr or (,5 6, og vi hr vist omrçdet der i Ärste kvdrnt er grånset -gr og koordintkser Vi ser t dette omrçde strter ved y-ksen, dvs ved =, sç integrlets nedre grånse er OmrÇdet slutter ved et Ållespunkt or -gr og -kse, sç dette punkts -koordint er integrlets Ävre grånse Nspire läser ligningen ( = dvs ligningen,5 6 mht og Çr t Ållespunkternes -koordinter er, 5 og Det sägte rel er ltsç rel mellem -gr og -kse i intervllet, 5 D ( i dette intervl, er Se rel = udregnet Nspire Arel omrçde der i Ärste kvdrnt grånses -gr og kser, er, Venstre grånse skl stä nederst Besvrelse Skl ikke kunnes, men er nyttig or nogen Smme igur som i esvrelse Besvrelse Skl ikke kunnes, men er god kontrol Vi tster (,5 6 og Çr Nspire til t tegne gr (se igur) For denne Çr vi Nspire til t udregne integrl r = til Ärste Ållespunkt or -gr og -kse NÇr der spärges om nedre grånse, tster vi enter NÇr der spärges om Ävre grånse, Ärer vi mrkär til skåringspunkt sç der stçr skåringspunkt, og klikker rel =,875, OvenstÄende er ikke en rugsnvisning til Nspire Det er et eksempel pä hvordn en esvrelse kn se ud Du skl gére Élgende: VÅlg i vårktéjsmenu UndersÉg grer / Integrl Hvis der er lere grer, spérges Érst gr? Klik pä den gr det drejer sig om Der spérges nedre grånse? Tst og tryk pä Enter Der spérges Évre grånse? Flyt mrkér til skåringspunkt sä der stär skåringspunkt og klik SÄ skrives integrlet OmrÄdet er nu levet rvet Integrlregning or A-niveu i st, udgve 9 7 Krsten Juul

12 8 Arel mellem grer Eksempel Opgve Bestem relet det omrçde der grånses grerne or unktionerne Besvrelse Skl kunnes ( og g( Nspire tegner grer or ( og g( PÇ igur ser vi t integrlets grånser er -koordinter til grers skåringspunkter Nspire läser ligningen ( = g(, dvs mht og Çr t -koordinterne til grernes skåringspunkter er og ADVARSEL: Det er ikke ltid t du skl lése denne ligning Se rmme 9 D g( ( or, er det sägte rel lig Besvrelse Skl ikke kunnes, men er nyttig or nogen Besvrelse Skl ikke kunnes, men er god kontrol Vi tster (= og g(= og Çr Nspire til t tegne grer (se igur) Venstre grånse skl stä nederst For disse Çr vi Nspire til t udregne rel mellem grer mellem skåringspunkterne NÇr der spärges om nedre og Ävre grånse, Ärer vi mrkär til skåringspunkt sç der stçr skåringspunkt og klikker rel =,67,6 Hvis grånserne ikke er skåringspunkter, men givne tl, kn vi ruge en ormulering som: udregne rel mellem grer r = til =5 NÇr der spärges om nedre og Ävre grånse tster vi tllene og 5 OvenstÄende er ikke en rugsnvisning til Nspire Det er et eksempel pä hvordn en esvrelse kn se ud Du skl gére Élgende: VÅlg i vårktéjsmenu UndersÉg grer / Arel omräde Hvis der er lere grer, spérges Érst gr? og gr? Klik pä gren Der spérges nedre grånse? Flyt mrkér til venstre skåringspunkt sä der stär skåringspunkt og klik Der spérges Évre grånse? Flyt mrkér til héjre skåringspunkt sä der stär skåringspunkt og klik SÄ skrives relet OmrÄdet er nu levet rvet Hvis en grånse ikke er et skåringspunkt, men eks, sä tst og tryk pä enter i stedet or t klikke 9 Arel mellem grer Eksempel rel ( ( g( ) d rel ( ( g( ) d 8 Her er integrlets grånser läsninger Her er integrlets grånser IKKE läsninger til ligningen ( = g( til ligningen ( = g( 5 Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul

13 Arel i tilålde der ikke er stndrd Opgve Figuren viser gren or unktionen ( og linjen l: y l er tngent til gren or i punktet (,) I Ärste kvdrnt grånser gren or smmen med linjen l og Ärsteksen en punktmångde M der hr et rel Bestem relet M Besvrelse Ligningen -ksen i punktet (, ) hr läsningen, sç l skårer l Arel M = (rel mellem -gr og -kse i intervllet ) = (rel mellem l og -kse i intervllet ) = d ( ) d = ( ) ( ) (( ) ) = Opgve Funktionen g er en stmunktion til unktionen Ligningen ( = g( hr netop läsninger Bestem relet det lç omrçde = Besvrelse D ( 6) = og ( ) =, mç 6 og våre de to läsninger til ligningen ( = g(, sç 6 og er -koordinter til -grens skåringspunkter med -ksen Det lç rel er ltsç relet mellem -gr og -kse i intervllet D ( i dette intervl, er relet lig minus integrlet: rel = ( d = g( = ( g() g( )) = ( ) = 6 ( g( d g er stmunktion til iälge tel Opgve hvor integrl og rel er givet Opgve Figuren viser to omrçder med reler og A Bestem A nçr det er oplyst t () Besvrelse () 5 ( d ( d d ( or 5 5 () ( d A d ( or 5 IÄlge indskudssåtningen (se ) er 5 ( d ( d ( d Her og (), () og () Çr vi ( ) A sç A 5 A Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul

14 Opdelt omrçde Arelet r til er summen relerne: = Integrlet r til er summen integrlerne: ( ) ( ) = Arel mellem -gr og -kse i intervllet er ( d Fortolk integrl Eksempel Opgve Det er oplyst t 7 ( ) d 6 Giv en geometrisk ortolkning dette Besvrelse Vi skitserer gren or unktionen D ( or, gålder: ( d i intervllet ( er relet mellem -gren og -ksen sç dvs 6 7 er relet mellem -gr og -kse i intervllet 7 er relet det grç omrçde 6 Fortolk integrl Eksempel Opgve Det er oplyst t nçr ( Giv en geometrisk ortolkning dette Besvrelse Vi tegner gren or D er er ( d A = grçt rel under -kse og B = grçt rel over -kse (integrl r til ) = ( A) + B = ( A) + B og dermed A = B + Det grç rel under -ksen er enhed stärre end det grç rel over 5 Fortolk integrl Eksempel Opgve PÇ iguren ses grerne or to lineåre unktioner og g som skårer hinnden i et punkt A hvis -koordint er Det oplyses t ( d ( ), 5 g d Fortolk tllet,5 Besvrelse Venstre integrl er rel mellem -gr og -kse i intervllet HÄjre integrl er rel mellem g-gr og -kse i intervllet 7 I lt:,5 er relet treknt ABO 7 Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul

15 6 Bestem k sç rel er lig et oplyst tl 6 Eksempel k er et tl stärre end Gren or ( og linjen med ligningen k grånser smmen med -ksen en punktmångde M der hr et rel Vi vil estemme k sç relet M er 5 For t Ç overlik over opgven tegner vi M or to vårdier k: PÅ igurerne ser vi t vi År rug or -koordinten til grens skåringspunkt med -ksen I skåringspunktet er y =, sç vi läser ligningen Vi Çr t gren skårer -ksen ved = k PÇ igurerne ser vi t relet M er d NÇr vi läser ligningen k d 5, Çr vi k =,678,67 som er svret pç opgven 6 Eksempel k er et positivt tl I nden kvdrnt grånser gren or ( k smmen med koordintksene en punktmångde M som hr et rel Vi vil estemme k sç relet M er For t Ç overlik over opgven tegner vi M or to vårdier k: PÅ igurerne ser vi t vi År rug or -koordinten til det venstre grens skåringspunkter med -ksen I skåringspunktet er y =, sç vi läser ligningen k Vi Çr t gren skårer -ksen ved = k PÇ igurerne ser vi t relet M er k NÇr vi läser ligningen k d k d, Çr vi k = som er svret pç opgven k 6c Eksempel k er et tl der er stärre end Gren or ( e og linjen med ligningen y = k grånser smmen med y-ksen en punktmångde M som hr et rel Vi vil estemme k sç relet M er For t Ç overlik over opgven tegner vi M or to vårdier k: PÅ igurerne ser vi t vi År rug or -koordinten til skåringspunktet mellem gren og linjen med ligningen y = k I skåringspunktet er y = k, sç vi läser ligningen e k Vi Çr t i skåringspunktet er = ln(k) ln( k) PÇ igurerne ser vi t relet M er e NÇr vi läser ligningen k e ln( k) d k d, Çr vi k =,59,59 som er svret pç opgven Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul

16 Rumng omdrejningslegeme 7 Rumng omdrejningslegeme PunktmÅngden M pç venstre igur drejer vi 6 om -ksen SÇ Çr vi omdrejningslegemet pç häjre igur 7 Formel or rumng V omdrejningslegeme: V ( π d M 7 Opgve Venstre igur ovenor viser gren or unktionen 5 (, OmrÇdet M mellem -gren og -ksen drejer vi 6 om -ksen SÇ Çr vi omdrejningslegemet som vi hr tegnet ovenor til häjre Bestem rumnget V dette omdrejningslegeme Besvrelse Husk! Husk! Venstre grånse skl stä nederst 8 Rumng skçl Opgve To unktioner og g er givet ved,, ( 8 g(,5 ( ),5, Det grç omrçde pç iguren drejer vi 6 om -ksen SÇ Çr vi en glsskçl Bestem rumnget glsset Besvrelse OmrÇdet mellem -gren og -ksen drejer vi 6 om -ksen SÇ Çr vi et omdrejningslegeme der ikke er en skçl For t gäre det til en skçl skl vi jerne noget Det vi jerner, er omdrejningslegemet som vi Çr ved t dreje omrçdet mellem g-gren og -ksen 6 om -ksen Rumnget glsset er π (,8 ) d π (,5 ( ),5) d 69, ,9 udregnet Nspire g Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul

17 9 Rumng ring Opgve To unktioner og g hr orskriterne 9 ( og g ( Det grç omrçde pç igur drejer vi 6 om -ksen SÇ Çr vi det ringormede omdrejningslegeme pç igur Bestem rumnget denne ring g g g Udregning Det grç omrçde pç igur drejer vi Advrsel π 57 ( d π Figur Figur Figur Figur 6 om -ksen SÇ Çr vi en skive hvis rumng er udregnet Nspire Herr skl vi tråkke hullets rumng Hullet er den skive vi Çr ved t dreje det grç omrçde pç igur 6 om -ksen Hullets rumng er ltsç π Hullets rumng kunne g( d 9 π udregnet Nspire vi hve udregnet ved t 997 AltsÇ er ringens rumng 57 π 9 π π ruge ormlen or rumng cylinder Vi kn IKKE slç udregningerne smmen i Ét integrl som vi kn med rel π 57 ( g( d π er IKKE ringens rumng! Det vi hr udregnet her, er rumnget det omdrejningslegeme vi Çr nçr det grç omrçde pç iguren til häjre drejes 6 om -ksen Andre nvendelser Andre nvendelser Hvis I i en eksmensopgve skl ruge integrl til t udregne ndet end gr-grånset rel og rumng omdrejningslegeme, sç vil der i opgven stç den integrlormel I skl ruge I skl sç inde ud t såtte tl ind i integrlormlen MÇske skl I Ärst udregne disse tl Det I skl udregne med et integrl kn Çde våre geometriske stärrelser og stärrelser r eks nturvidensk Opgve: Figuren viser en gvl Lngs den uede knt er et rädt lysstorär der hr orm som en del gren or ( = + 8 Gvlens redde er m Det oplyses t uelångden gren or en unktion i et intervl er ( d Bestem långden lysstoräret Overvejelser: ( = hr läsningerne og 6 sç = Hertil lågger vi gvlens redde og Çr = D '( = + 8, skl der under rodtegnet stç ( + 8) + Opgve: Et punkt pç en skårm evåger sig sçdn t h( t), t hvor h(t) er hstigheden (mm pr sekund) t sekunder eter t punktets evågelse strtede LÅngden l det stykke punktet evåger sig i de Ärste p sekunder, kn eregnes ved hjålp ormlen p l h( t) dt Hvor lngt evåger punktet sig i tidsrummet r til 8 sekunder eter strt? Overvejelser: LÅngden det stykke punktet evåger sig de Ärste sekunder, mç våre h h( ( g( (,t ) dt PÇ tilsvrende mçde udregner vi långden det stykke punktet evåger sig de Ärste 8 sekunder Forskellen pç de to långder mç våre svret pç spärgsmçlet Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 7 Krsten Juul

18 Formler or estemt integrl Beviser SÇtning (IndskudssÅtningen or integrler) NÇr hr en stmunktion i et intervl, og, og c er tl i dette intervl, sç er c ( d ( d ( d c SÇtning (Regneregler or estemt integrl) NÇr og g hr stmunktioner i et intervl, og og er tl i dette intervl, og k er et tl, sç er ( g( d ( d g( d ( g( d ( d g( d ( d k k ( d c d Bevis (IndskudssÅtningen or integrler) Ld F våre en stmunktion til c ( d ( d F( c) F( ) F( ) F( c) F( ) F( ) c IÄlge deinitionen pç estemt integrl ( d IÄlge deinitionen pç estemt integrl Hermed er såtningen evist Bevis (Regneregler or estemt integrl) De tre ormler kn evises pç nåsten smme mçde Vi eviser nummer to ( hr en stmunktion F (, og g( hr en stmunktion G ( Funktionen H ( F( G( er en stmunktion til h( ( g( d H( F( G( F( G( ( g( h( ) hvor reglen or t dierentiere en dierens er egrundelsen or ndet lighedstegn Nu er ( g( d h( d H ( ) H ( ) F( ) G( ) F( ) G( ) F ( ) F( ) ( G( ) G( )) ( d g( d Hermed er ormlen evist Integrlregning or A-niveu i st, udgve 6 7 Krsten Juul

19 Hvd er en relunktion? ( A( Den viste gr er pç en skårm NÇr vi tråkker -prikken mod häjre, liver det grç omrçde stärre A( er relet det grç omrçde A( kldes relunktionen or PÇ illedet ser vi t A( 9) 6 og A ( ) 5 Vigtig regel om relunktioner SÇtning Betyder t gren ligger pä eller over -ksen NÇr A( er relunktionen or en ikke-negtiv unktion (, sç gålder t dvs A( er en stmunktion til ( A( ( Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 7 Krsten Juul

20 Bevis or t A' ( = ( SÇtning (Se rmme og ) Bevis NÇr A( er relunktionen or en ikke-negtiv unktion (, er A( ( E D F G C H ( er ikke-negtiv og voksende i intervllet og er to tl i intervllet, og A iguren ser vi t Vi eviser kun pçstnden or voksende unktioner, men den gålder ogsç or unktioner der ikke er voksende rel rektngel CDGH < rel grç omrçde < rel rektngel CEFH Dette kn vi ogsç skrive sçdn: ( ) ( ) A( A( ) ( ( ) Ulighedstegnene gålder stdig nçr vi dividerer de tre udtryk med d er positiv: A( ) A( ) () ( ) ( ) PÇ tilsvrende mçde kn vi vise t () ogsç gålder nçr Vi giver vårdier der ligger tåttere og tåttere pç sç ) kommer vilkçrlig tåt pç ) ( ( SÇ kommer räken i () vilkçrlig tåt pç ) Med symoler kn vi skrive dette sçdn: () ( ) A( ) A( lim ) ( Fr dierentilregningen ved vi t dierentilkvotienten kn udregnes som en grånsevårdi pç Älgende mçde: () A( ) A( ) A( lim A () og () Älger t A ) ( ), og dette er det vi ville evise ( ) (d den iälge () er tåttere pç ( ) end ) er ) ( Integrlregning or A-niveu i st, udgve 8 7 Krsten Juul

21 5 Arel nçr gr ligger over -kse 5 SÇtning om rel mellem -gr og -kse nçr ( Bevis Hvis sç gålder ( or og M er omrçdet mellem -gren og -ksen i intervllet ( d relet M A( er relunktionen or ( F( er en stmunktion til ( IÄlge såtning er A( en stmunktion til ( M D A( og F( er stmunktion til smme unktion, indes en konstnt c sç (* ) A( F( c Nu Çs rel M A() IÄlge deinitionen pç relunktion A( ) A( ) D A ( ) F ) c F( c ( ) IÄlge (*) F( ) F( ) Hermed er såtning 5 evist ( d IÄlge deinitionen pç estemt integrl Integrlregning or A-niveu i st, udgve 9 7 Krsten Juul

22 6 Arel mellem grer 6 SÇtning om rel mellem grer Hvis der i et intervl gålder om to unktioner og g t ( g( og M er omrçdet mellem -gren og g-gren i dette intervl (se venstre igur), sç er rel M ( g( d M ( k M ( g( k g( Bevis Vi vålger et tl k sç grerne or Nu Çr vi Arel M rel M Hermed er såtningen evist ( k og g( k ligger over -ksen Se häjre igur rel mellem -kse rel mellem -kse og gr or ( k og gr or g( k ( kd g( k ( k g( k ( g( d d d iälge såtning om rel mellem -gr og -kse nçr ( iälge ormel or integrl dierens Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul

23 7 Arel nçr gr ligger under -kse 7 SÇtning om rel mellem -gr og -kse nçr ( Bevis A er relet mellem -gr og -kse i intervllet Hvis sç er ( or ( d A Gren or unktionen g( er smmenldende med -ksen, sç A er relet mellem -gr og g-gr i intervllet A g ( ( ( d iälge såtning om rel mellem grer d Hermed er såtningen evist ( d k i regel om integrl k ( Integrlregning or A-niveu i st, udgve 7 Krsten Juul

24 Stikordsregister A Andre nvendelser5 rel 7, 8,,,, rel mellem gr og -kse, med hjålpemidler8 rel mellem gr og -kse, uden hjålpemidler8 rel mellem grer7, rel mellem grer, evis rel over -kse7 rel under -kse 7 rel under -kse, evis rel, estem k rel, evis9 relunktion7, 9 relunktion, evis 8 B estemt integrl 6 estemt integrl smmenst unktion 6 estemt integrl med Nspire6 estemt integrl uden hjålpemidler6 uelångde5 F ortolk integrl I indskudssåtningen or integrler6 integrl, indskudssåtning 6 integrl, regneregler6 integrere K kvdrnt 7 N Nspire, 6, 9,, O omdrejningslegeme, 5 opdelt omrçde R regneregler or integrler 6 rumng rumng omdrejningslegeme rumng ring 5 rumng skçl S stmunktion,,, 5, 7 stmunktion med Nspire stmunktion til smmenst unktion stmunktion uden hjålpemidler stmunktion, grpunkt givet 5 stmunktion, tngent givet 5 U uestemt integrl,, 6 uestemt integrl smmenst unktion uestemt integrl uden hjålpemidler

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul

Integralregning. for A-niveau i stx, udgave Karsten Juul Integrlregning or A-niveu i st, udgve 5 Krsten Juul Stmunktion (uestemt integrl) Hvd er en stmunktion? UndersÄg om g( er stmunktion til ( GÄr rede or t g( er stmunktion til ( En unktion hr mnge stmunktioner

Læs mere

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul

Integralregning. 2. del. 2006 Karsten Juul Integrlregning del ( ( 6 Krsten Juul Indhold 6 Uestemt integrl8 6 Sætning om eksistens stmunktioner 8 6 Oplæg til "regneregler or integrl"8 6 Regneregler or uestemt integrl 9 68 Foreredelse til "integrtion

Læs mere

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul

Integralregning. for B-niveau i stx. 2015 Karsten Juul Integralregning or B-niveau i st 05 Karsten Juul Stikordsregister A areal mellem gra og -akse6, 7, 8, 9 areal mellem to graer0, arealunktion, 5, 6 B bestemt integral 5 bestemt integral med Nspire5 bestemt

Læs mere

Eksponentielle Sammenhænge

Eksponentielle Sammenhænge Kort om Eksponentielle Smmenhænge 011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder pensum i eksponentielle smmenhænge for gymnsiet og hf. Indhold 1. Procenter på en ny måde... 1. Hvd er en eksponentiel smmenhæng?....

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a

Bogstavregning. for gymnasiet og hf Karsten Juul. a a Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskelæder når du skriver og tegner i hæftet, så du får et hæfte der er egenet til jævnligt t slå op i under dit videre rejde med

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Udgve 014 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst 4.

Læs mere

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0

INTEGRALREGNING. Opgaver til noterne kan findes her. PDF. Facit til opgaverne kan hentes her. PDF. Version: 5.0 INTEGRALREGNING Version: 5.0 Noterne gennemgår egreerne: integrl og stmfunktion, og nskuer dette som et redsk til estemmelse f l.. reler under funktioner. Opgver til noterne kn findes her. PDF Fcit til

Læs mere

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul

Potens- sammenhænge. inkl. proportionale og omvendt proportionale variable. 2010 Karsten Juul Potens- smmenhænge inkl. proportionle og omvendt proportionle vrible 010 Krsten Juul Dette hæfte er en fortsættelse f hæftet "Eksponentielle smmenhænge, udgve ". Indhold 1. Hvd er en potenssmmenhæng?...1.

Læs mere

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l

Integralregning. 1. del. 2006 Karsten Juul. M l Integralregning del () M l () 6 Karsten Juul Indhold Stamunktion OplÄg om stamunktion Deinition a stamunktion 6 Kontrol a stamunktion 9 SÄtning om stamunktionerne til en unktion Deinition a ubestemt integral

Læs mere

Stamfunktion & integral

Stamfunktion & integral PeterSørensen.dk Stmfunktion & integrl Indhold Stmfunktion... Integrl (Uestemt integrl)... 2 Det estemte integrl... 2 Arel og integrl... Regneregler for estemte integrler... Integrler / stmfunktioner kn

Læs mere

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler

Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Lektion 7s Funktioner - supplerende eksempler Oversigt over forskellige tper f funktioner Omvendt proportionlitet og hperler.grdsfunktioner og prler Eksponentilfunktioner Potensfunktioner Lektion 7s Side

Læs mere

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul

Differentialregning. for B-niveau i hf udgave 3. 2015 Karsten Juul Dierentialregning r B-niveau i h udgave t s 05 Karsten Juul Dierentialkvtient. Tangent g räringspunkt..... FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient..... Frtlkning a ' vedr. gra... 4. Frtlkning a ' nçr er tiden....

Læs mere

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul

Integralregning. med Ävelser. for B-niveau i gymnasiet og hf. 2011 Karsten Juul Integralregning med Ävelser or B-niveau i gymnasiet og h 0 Karsten Juul Dette håte gennemgçr integralregningen or B-niveau uden at gäre det mere indviklet end kråvet Évelserne giver eleverne et kendskab

Læs mere

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1

Trigonometri. Trigonometri. Sinus og cosinus... 2 Tangens... 6 Opgaver... 9. Side 1 Trigonometri Sinus og osinus... 2 Tngens... 6 Opgver... 9 Side Sinus og osinus Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus til en vinkel ved t tegne vinklen midt

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri

Vektorer. koordinatgeometri Vektorer og koordintgeometri for gymnsiet, dge 5 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul

sammenhänge for gymnasiet og hf 2010 Karsten Juul LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er

Læs mere

Matematikkens sprog INTRO

Matematikkens sprog INTRO Mtemtikkens sprog Mtemtik hr sit eget sprog, der består f tl og symboler fx regnetegn, brøkstreger bogstver og prenteser På mnge måder er det ret prktisk - det giver fx korte måder t skrive formler på.

Læs mere

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel

Institut for Matematik, DTU: Gymnasieopgave. Integrationsprincippet og Keplers tønderegel Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel. side Institut for Mtemtik, DTU: Gymnsieopgve Integrtionsprincippet og Keplers tønderegel Littertur: H. Elrønd Jensen, Mtemtisk nlyse, Institut for Mtemtik,

Læs mere

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul

Bogstavregning. for gymnasiet og hf (2012) Karsten Juul Bogstvregning for gymnsiet og hf 010 (01) Krsten Juul Til eleven Brug lynt og viskeläder når du skriver og tegner i häftet, så du får et häfte der er egenet til jävnligt t slå op i under dit videre rejde

Læs mere

Regneregler for brøker og potenser

Regneregler for brøker og potenser Regneregler for røker og potenser Roert Josen 4. ugust 009 Indhold Brøker. Eksempler......................................... Potenser 7. Eksempler......................................... 8 I de to fsnit

Læs mere

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner

... ... ... ... ... ... ... b > 0 og x > 0, vil vi kalde en potensfunktion. 492 10. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER 0 49 0. Potensfunktioner POTENSFUNKTIONER DEFINITION En funktion med forskriften f( )= b hvor b > 0 og > 0 vil vi klde en potensfunktion. I MAT C kpitel så vi t hvis skl være et vilkårligt

Læs mere

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen,

ALGEBRA. symbolbehandling). Der arbejdes med hjælpemiddelkompetencen, INTRO Alger er lngt mere end ogstvregning. Alger kn være t omskrive ogstvtrk, men lger er f også t generlisere mønstre og smmenhænge, t eskrive smmenhænge mellem tlstørrelse f i forindelse med funktioner

Læs mere

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C

Michel Mandix (2017) Derfor er der behov for en række værktøjer, som kan bruges også til de vilkårlige trekanter. a b c A B C Mihel Mndix (07) Sinusreltionen Nott Side f 9 Sinusreltionen Indtil videre, er der kun eskrevet, hvordn mn eregner på retvinklede treknter. Men desværre er det lngtfr lle treknter, som er retvinklede.

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningseskrivelse Stmoplysninger til rug ved prøver til gymnsile uddnnelser Termin Juni 2016 Institution Uddnnelse Fg og niveu Lærere Hold Fvrskov Gymnsium Stx Mtemtik A Peter Lundøer (Lu) 3k Mtemtik

Læs mere

Kort om Potenssammenhænge

Kort om Potenssammenhænge Øvelser til hæftet Kort om Potenssmmenhænge 2011 Krsten Juul Dette hæfte indeholder bl.. mnge småspørgsmål der gør det nemmere for elever t rbejde effektivt på t få kendskb til emnet. Indhold 1. Ligning

Læs mere

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul

Bogstavregning. En indledning for stx og hf 2. del. 2008 Karsten Juul Bogstvregning En indledning for st og f. del 008 Krsten Juul ) )( ( ) ( ) ( Indold 0. Gnge to prenteser....,, osv... 7. Kvdrtsætninger... 0. Brøer. del... Bogstvregning. En indledning for st og f.. del.

Læs mere

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.

Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over. Opsmling Hvis mn ønsker mere udfordring, kn mn springe den første opgve f hvert emne over Brøkregning, prentesregneregler, kvdrtsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående tl i hånden:

Læs mere

TAL OG BOGSTAVREGNING

TAL OG BOGSTAVREGNING TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter,

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Lektion Bogstvregning Formler... Reduktion... Ligninger... Lektion Side 1 Formler En formel er en slgs regne-opskrift, hvor mn med bogstver viser, hvorledes noget skl regnes ud. F.eks. formler til beregning

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på esvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 9 Funktioner og modeller... Lineær funktion... Procentregning...

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st, udgave SkÄrmbillede fra TI-Nspire 015 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st, udgave 1 Hvad er en differentialligning? 1a OplÄg til differentialligninger1

Læs mere

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul

Differentialregning. for A-niveau i stx udgave Karsten Juul Dierentialregning r A-niveau i st udgave 4 t s 07 Karsten Juul Dierentialkvtient Tangent g räringspunkt FunktinsvÅrdi g dierentialkvtient Frtlkning a ' vedr gra 4 Frtlkning a ' nçr er tiden 5 Frtlkning

Læs mere

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme.

TAL OG REGNEREGLER. Vi ser nu på opbygningen af et legeme og noterer os samtidig, at de reelle tal velkendte regneoperationer + og er et legeme. TAL OG REGNEREGLER Inden for lgeren hr mn indført egreet legeme. Et legeme er en slgs konstruktion, hvor mn fstsætter to regneregler og nogle sætninger (ksiomer), der gælder for disse. Pointen med en sådn

Læs mere

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive)

Et udvalg af funktionerne tegnet på grafregneren (eller her med Derive) GDS, opgve 85 En strt på opgven (undervisnings- og tvleprotokol): En milie unktioner hr orskrit 4 ( ) + R, Et udvlg unktionerne tegnet på grregneren (eller her med Derive) Værdier tllet, or hvilke hr henholdsvis

Læs mere

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009.

Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk. Erik Vestergaard, 2009. Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, 009. Billeder: Forside: Collge f billeder: istock.com/titoslck istock.com/yuri Desuden egne fotos og illustrtioner Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk

Læs mere

Formelsamling Matematik C Indhold

Formelsamling Matematik C Indhold Formelsmling Mtemtik C Indhold Eksempler på besvrelser, lin, eksp, pot, geo... Tl, regneopertioner og ligninger... 6 Ligninger... 7 Geometri... 0 Funktioner og modeller... 3 Lineær funktion... 3 Procentregning...

Læs mere

ForlÄb om beviser vedr. vektorer og koordinatgeometri i planen

ForlÄb om beviser vedr. vektorer og koordinatgeometri i planen ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen ForÄb om beviser vedr. vektorer koordintgeometri i pnen Å 211 Krsten Juu Disse sider kn downodes fr www.mt1.dk. Siderne mç benyttes i undervisningen

Læs mere

Formelsamling Mat. C & B

Formelsamling Mat. C & B Formelsmling Mt. C & B Indhold BRØER... PARENTESER...3 PROCENT...4 RENTE...5 INDES...6 GEOMETRI... Arel f treknt... Vinkelsum i en treknt... Ens- vinklede treknter... Vilkårlig treknt... Ret- vinklet treknt...8

Læs mere

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0.

Ny Sigma 9, s Andengradsfunktioner med regneforskrift af typen y = ax + bx + c, hvor a 0. Ny Sigm 9, s 110 Andengrdsfunktioner med regneforskrift f typen y = x + x + c, hvor 0 Lineære funktioner (førstegrdsfunktioner) med regneforskrift f typen y = αx + β Grfen for funktioner f disse typer

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Udgve 016 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i st Procent 1. Procenter på en ny måde... 1. VÄkstrte.... Gennemsnitlig procent... LineÄr väkst. LineÄr

Læs mere

GrundlÄggende funktioner

GrundlÄggende funktioner GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf 013 Krsten Juul GrundlÄggende funktioner for B-niveu i hf Procent 1. Procenter på en ny måde.... 1 LineÄr väkst. LineÄr funktion... 3. LineÄr väkst... 4. Skriv

Læs mere

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul

PotenssammenhÄnge. 2009 Karsten Juul PotenssmmenhÄnge y b y k k 009 Krsten Juul Dette häfte er en fortsättelse f häftet "Eksponentielle smmenhänge, 009". Indhold 4. Hvd er en potens-smmenhäng?... 83 5. Hvordn ser grfen ud for en potens-smmenhäng...

Læs mere

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º).

1,0. sin(60º) 1,0 cos(60º) I stedet for cosinus til 60º og sinus til 60º skriver man cos(60º) og sin(60º). Mtemtik på VU Eksempler til niveu F, E og D Til lle vinkler hører der to tl, som kldes osinus og sinus. Mn finder sinus og osinus ved først t tegne vinklen i et koordint-system som vist til venstre. Derefter

Læs mere

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner

Elementær Matematik. Algebra Analytisk geometri Trigonometri Funktioner Elementær Mtemtik Alger Anlytisk geometri Trigonometri Funktioner Ole Witt-Hnsen Køge Gymnsium 0 Indhold Indhold... Kp. Tl og regning med tl.... De nturlige tl.... Regneregler for nturlige tl.... Kvdrtsætningerne.....

Læs mere

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder:

Geometrinoter 2. Brahmaguptas formel Arealet af en indskrivelig firkant ABCD kan tilsvarende beregnes ud fra firkantens sidelængder: Geometrinoter 2, jnur 2009, Kirsten Rosenkilde 1 Geometrinoter 2 Disse noter omhndler sætninger om treknter, trekntens ydre røringscirkler, to cirklers rdiklkse smt Simson- og Eulerlinjen i en treknt.

Læs mere

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant

Start pä ny 3D-figur. Tilpas koordinatsystem. Tegn trekant Intro til nspire_3d.tns Dokumentet nspire_3d.tns gär det meget hurtigere at tegne figurer til gymnasiets rumgeometri. Nyeste version kan downloades fra http://mat1.dk/noter.htm. Start pä ny 3D-figur 1)

Læs mere

Trigonometri. Matematik A niveau

Trigonometri. Matematik A niveau Trigonometri Mtemtik A niveu Arhus Teh EUX Niels Junge Trigonometri Sinus Cosinus Tngens Her er definitionen for Cosinus Sinus og Tngens Mn kn sige t osinus er den projierede på x-ksen og sinus er den

Læs mere

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion)

Mere end blot lektiehjælp. Få topkarakter i din SRP. 12: Hovedafsnittene i din SRP (Redegørelse, analyse, diskussion) Mere end lot lektiehjælp Få topkrkter i din SRP 12: Hovedfsnittene i din SRP (Redegørelse, nlyse, diskussion) Hjælp til SRP-opgven Sidste år hjlp vi 3.600 gymnsieelever med en edre krkter i deres SRP-opgve.

Læs mere

Pointen med Integration

Pointen med Integration Pointen med Integrtion Frnk Nsser 20. pril 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun nvendes til undervisning i klsser som bonnerer på MtBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en

Læs mere

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal.

Regneregler. 1. Simple regler for regning med tal. Regneregler. Simple regler for regning med tl. Vi rejder l.. med følgende fire regningsrter: plus (), minus ( ), gnge () og dividere (: eller røkstreg, se senere), eller med fremmedord : ddition, sutrktion,

Læs mere

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c

Matematik. Kompendium i faget. Tømrerafdelingen. 1. Hovedforløb. a 2 = b 2 + c 2 2 b c cos A. cos A = b 2 + c 2 - a 2 2 b c Kompendium i fget Mtemtik Tømrerfdelingen 1. Hovedforlø. Trigonometri nvendes til eregning f snd længde og snd vinkel i profiler. Sinus Cosinus Tngens 2 2 + 2 2 os A os A 2 + 2-2 2 Svendorg Erhvervsskole

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Køge Gymnsium 0 Ole Witt-Hnsen Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer... 3. Multipliktion f vektor med et tl...3 4. Opløsning

Læs mere

Integralregning. Erik Vestergaard

Integralregning. Erik Vestergaard Integrlregning Erik Vestergrd Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Erik Vestergrd, Hderslev 4 Erik Vestergrd www.mtemtikfysik.dk Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse. Indledning 4. Stmfunktioner 4. Smmenhængen

Læs mere

MM501 forelæsningsslides

MM501 forelæsningsslides MM501 forelæsningsslides uge 39, 009 Produceret f Hns J. Munkholm 1 Linerisering s. 66-67 Lineriseringen f f omkring x =, er den lineære funktion, der hr tngenten som grf. Klder mn den L er forskriften

Læs mere

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen

Hvordan Leibniz opfandt integralregningen Hvord Leiiz opdt itegrlregige 0 Krste Juul EglÄdere Isc Newto (6-) opdt i 66 itegrlregige. Tskere Gottried Wilhelm Leiiz (66-6) opdt i 6 itegrlregige. Ige dem oetliggjorde deres opidelse med det smme.

Læs mere

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER

STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 2007 MATEMATISK LINJE 2-ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER STUDENTEREKSAMEN NOVEMBER-DECEMBER 007 007-8-V MATEMATISK LINJE -ÅRIGT FORLØB TIL B-NIVEAU MATEMATIK DELPRØVEN UDEN HJÆLPEMIDLER Tirsdg den 18 december 007 kl 900-1000 BESVARELSEN AFLEVERES KL 1000 Der

Læs mere

Lektion 5 Det bestemte integral

Lektion 5 Det bestemte integral f(x) dx = F (b) F () Lektion 5 Det bestemte integrl Definition Integrlregningens Middelværdisætning Integrl- og Differentilregningens Hovedsætning Bereging f bestemte integrler Regneregler Arel mellem

Læs mere

3. Vilkårlige trekanter

3. Vilkårlige trekanter 3. Vilkårlige treknter 3. Vilkårlige treknter I dette fsnit vil vi beskæftige os med treknter, der ikke nødvendigvis er retvinklede. De formler, der er omtlt i fsnittet om retvinklede treknter, kn ikke

Læs mere

Differentialligninger

Differentialligninger Differentialligninger for A-niveau i st SkÄrmbillede fra TI-Nspire 013 Karsten Juul Differentialligninger for A-niveau i st 1 OplÄg til differentialligninger1 Hvad er en differentialligning?1 3 UndersÅg

Læs mere

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010

Matematikprojekt. Integralregning. Lavet af Arendse Morsing Gunilla Olesen Julie Slavensky Michael Hansen. 15 Oktober 2010 Mtemtikprojekt om Integrlregning Lvet f Arendse Morsing Gunill Olesen Julie Slvensky Michel Hnsen 15 Oktober 21 Indhold I Del 1................................ 3 I Generelt om stmfunktioner og integrler........

Læs mere

Lektion 6 Bogstavregning

Lektion 6 Bogstavregning Mtemtik på Åbent VUC Lektion 6 Bogstvregning Formler... Udtryk... Ligninger... Ligninger som løsningsmetode i regneopgver... Simultion... Opsmlingsopgver... Lvet f Niels Jørgen Andresen, VUC Århus. Redigeret

Læs mere

Diverse. Ib Michelsen

Diverse. Ib Michelsen Diverse Ib Michelsen Ikst 2008 Forsidebilledet http://www.smtid.dk/visen/billede.php?billedenr69 Version: 0.02 (2-1-2009) Diverse (Denne side er A-2 f 32 sider) Indholdsfortegnelse Regning med procent

Læs mere

MATEMATISK FORMELSAMLING

MATEMATISK FORMELSAMLING MATEMATISK FORMELSAMLING GUX Grønlnd Mtemtisk formelsmling til B-niveu, GUX Grønlnd Deprtementet for uddnnelse 05 Redktion: Rsmus Andersen, Jens Thostrup MtemtiskformelsmlingtilB-niveu GUX Grønlnd FORORD

Læs mere

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde

Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen runde Retningslinjer for bedømmelsen Georg Mohr-Konkurrencen 016. runde Besvrelser som flder uden for de løsninger som ligger til grund for pointskemerne, bedømmes ved nlogi så skridt med tilsvrende vægt i den

Læs mere

Differentialregning. integralregning

Differentialregning. integralregning Differentilregning og integrlregning Ib Micelsen Ikst 013 Indoldsfortegnelse Tegneøvelser...3 Introduktion... Definition f differentilkvotient og tngent...6 Tngentældninger...7 Den fledte funktion...7

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 2. Trigonometri Mtemtikkens mysterier - på et oligtorisk niveu f Kenneth Hnsen 2. Trigonometri T D Hvd er fstnden fr flodred til flodred? 2. Trigonometri og geometri Indhold.0 Indledning 2. Vinkler 3.2 Treknter og irkler

Læs mere

Eksamensopgave august 2009

Eksamensopgave august 2009 Ib Michelsen, Viborg C / Skive C Side 1 09-04-011 1 Eksmensopgve ugust 009 Opgve 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1 13 14 15 16 17 18 19 0 1 Givet ovenstående ensvinklede treknter. D treknterne er ensvinklede, er

Læs mere

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge

Matematik B-A. Trigonometri og Geometri. Niels Junge Mtemtik B-A Trigonometri og Geometri Niels Junge Indholdsfortegnelse Indledning...3 Trigonometri...3 Sinusreltionen:...6 Cosinusreltionen...7 Dobbeltydighed...7 Smmendrg...8 Retvinklede treknter...8 Ikke

Læs mere

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution:

Beregning af bestemt integrale ved partiel integration og integration ved substitution: Beregning f estemt integrle ved prtiel integrtion og integrtion ved sustitution: f John V. Petersen Prtiel integrtion Sætning : Prtiel integrtion... si. Løsning f integrle... si. Plot f løsningsrelet...

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler

Mat. B (Sådan huskes fomlerne) Formler, som skal kunnes til prøven uden hjælpemidler Mt. B (Sån huskes fomlerne) Formler, som skl kunnes til prøven uen hjælpemiler Inhol Her er tilføjet emærkninger til nogle f formlerne BRØKER... PARENTESER... EKSPONENTER... LOGARITMER... GEOMETRI... Arel

Læs mere

Spil- og beslutningsteori

Spil- og beslutningsteori Spil- og eslutningsteori Peter Hrremoës Niels Brock 26. novemer 2 Beslutningsteori De økonomiske optimeringssitutioner, vi hr set på hidtil, hr været helt deterministiske. Det vil sige t vores gevinst

Læs mere

Potens regression med TI-Nspire

Potens regression med TI-Nspire Potensvækst og modellering - Mt-B/A 2.b 2007-08 Potens regression med TI-Nspire Vi tger her udgngspunkt i et eksempel med tovværk, hvor mn får oplyst en tbel over smmenhængen mellem dimeteren (xdt) i millimeter

Læs mere

sammenhänge 2008 Karsten Juul

sammenhänge 2008 Karsten Juul LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?...

Læs mere

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG

ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C POTENS-SAMMENHÆNG INDHOLDSFORTEGNELSE 1 Formelsmling... side 2 Uddbning f visse formler... side 3 2 Grundlæggende færdigheder... side 5 2 Finde konstnterne og b i en formel...

Læs mere

Elementær Matematik. Vektorer i planen

Elementær Matematik. Vektorer i planen Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl... 4. Opløsning f en vektor efter

Læs mere

1 Plan og rumintegraler

1 Plan og rumintegraler 1 PLAN OG RUMINTEGRALER 1 1 Pln og rumintegrler Ligesom for funktioner f en vribel kn mn for kontinuerte funktioner f flere vrible definere deres integrle. Vi vil her kun beskæftige os med funktioner f

Læs mere

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen

Gymnasie-Matematik. Søren Toftegaard Olsen Gmnsie-Mtemtik Søren Toftegrd Olsen Søren Toftegrd Olsen Skovvænget 6-B 7080 Børkop Gmnsie-Mtemtik. udgve, revision 0 ISBN 978-87-99996-0-0 VIGTIGT: Denne og må ikke sælges eller ændres; men kn frit kopieres.

Læs mere

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6

k(k 1)(k 2)... (k n + 1) = = 12 2 = 6 Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Binomilformlen Binomilkoefficienter Binomilrækken Tylor polynomier Vurdering f Tylor s restled Eksponentilrækken konvereger mod eksponentilfunktionen Clculus

Læs mere

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock

Produkter af vektorer i 2 dimensioner. Peter Harremoës Niels Brock Produkter af vektorer i dimensioner Peter Harremoës Niels Brock Septemer 00 Indledning Disse noter er skrevet som supplement og delvis erstatning for tilsvarende materiale i øgerne Mat B og Mat A. Vi vil

Læs mere

Vektorer. koordinatgeometri. for gymnasiet, udgave Karsten Juul

Vektorer. koordinatgeometri. for gymnasiet, udgave Karsten Juul Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors

Læs mere

Hvad ved du om mobning?

Hvad ved du om mobning? TEST: Hvd ved du om moning? I testen her kn du fprøve, hvor meget du ved om moning på rejdspldsen. Testen estår f tre dele: Selve testen, hvor du skl sætte ét kryds for hvert f de ti spørgsmål. Et hurtigt

Læs mere

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul

Trekantsberegning 25 B. 2009 Karsten Juul Trekantsberegning 7,0 3 5 009 Karsten Juul ette häfte indeholder den del af trekantsberegningen som skal kunnes på - niveau i gymnasiet (stx) og hf ra sommer 0 kräves mere remstillingen undgår at forudsätte

Læs mere

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014

Kompendium. Matematik HF C niveau. Frederiksberg HF Kursus. Lars Bronée 2014 Kompendium Mtemtik HF C niveu π Frederiksberg HF Kursus Lrs Bronée 04 Mil: post@lrsbronee.dk Web: www.lrsbronee.dk Indholdsfortegnelse: Forord Det grundlæggende Ligningsløsning 8 Procentregning Rentesregning

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Monteringsvejledning

Monteringsvejledning ver. 1.1 5 x 6 meter flytr hytte Stykliste til flytr hytte 5 x 6 m [0500-000] 2 stk sideundrmmer 590 m [0500-110] 2 stk gvlundrmmer 500 m [0500-100] 4 stk hjørnevinkler [0500-150] 4 stk lsker til smling

Læs mere

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning

Opstakning og afstakning, fremadregning og tilbageregning 1 Opstkning og fstkning, fremdregning og tilgeregning 1.1 Fremdregning og tilgeregning...2 1.2 Æskeregning...2 1.3 Høseringe-regning, indkodning og fkodning...3 1.4 Vndret tilgeregning, t dnse en ligning...3

Læs mere

Bemærkning Den dobbelte Riemannsum af en funktion f : R R er. 2 Sætning (Polært koordinatskift) For f kontinuert på det polære rektangel

Bemærkning Den dobbelte Riemannsum af en funktion f : R R er. 2 Sætning (Polært koordinatskift) For f kontinuert på det polære rektangel Oversigt [S].4,.5,.7 Pol og sigtelinje [S] Appendi H. Polr coordintes Nøgleord og egreer epetition: Polære koordinter Lgkgestkker Koordintskift Tpe II vrinten August, opgve Populære nvendelser Flv højere...

Læs mere

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til

Formelsamling i Matematik på C og B og A niveau Dette er en formelsamling der er under konstant udvikling Så hvis du har ønsker til denne så sig til Niels Junges formelsmling Formelsmling i Mtemtik på C og B og A niveu Dette er en formelsmling der er under konstnt udvikling Så hvis du hr ønsker til denne så sig til Indhold Tble of Contents Specielle

Læs mere

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX)

MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Silkeborg 09-0-0 MATEMATIK-KOMPENDIUM TIL KOMMENDE ELEVER PÅ DE GYMNASIALE UNGDOMSUDDANNELSER I SILKEBORG (HF, HHX, HTX & STX) Udrbejdet f mtemtiklærere fr HF, HHX, HTX & STX. PS: Hvis du opdger fejl i

Læs mere

Matematik A Matematik kompendium til HTX 3år

Matematik A Matematik kompendium til HTX 3år Mtemtik A Mtemtik kompendium til HTX år Skrevet f Jco Lrsen og Mrtin Gyde Poulsen.år HTX Slgelse Udgivet f De Nturvidenskelige Side Indholdsfortegnelse StuGuide 4 Differentilregning 4 Integrlregning 4

Læs mere

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave

Teknisk Matematik. Teknisk Matematik Formler. Preben Madsen. 8. udgave Teknisk Mtemtik Formler Teknisk Mtemtik Formler Preen Mdsen 8. udge Teknisk mtemtik Formler er et prktisk opslgsærk, der gier et hurtigt oerlik oer lle formler fr læreogens enkelte kpitler. Ud oer formlerne

Læs mere

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000.

Taldiktat. Talhus. Tal. Format 5. Nr. 1. Enere 1. Tiere 10. Hundreder 100. Tusinder 1.000. Titusinder 10.000. Hundredetusinder 100.000 1.000. Tldiktt Nr. Timillioner 0.000.000 Millioner.000.000 Hundredetusinder.000 Tlhus Titusinder 0.000 Tusinder.000 Hundreder Tiere 0 Enere Prktivitet. Træk - kort i skjul fr et lmindeligt kortspil. Læg dem på

Læs mere

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum

Mattip om. Vinkler 2. Tilhørende kopier: Vinkler 2-3. Du skal lære om: Polygoner. Ligesidede trekanter. Gradtal og vinkelsum Mttip om Vinkler 2 Du skl lære om: Polygoner Kn ikke Kn næsten Kn Ligesidede treknter Grdtl og vinkelsum Ligeenede og retvinklede treknter At forlænge en linje i en treknt Tilhørende kopier: Vinkler 2-3

Læs mere

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se.

Om Dido var kyndig i matematik er nok tvivlsomt, men hun havde i hvert fald en veludviklet logisk sans, som vi skal se. Forord. Det isoperimetriske problem går i l sin enkelhed ud på t finde den lukkede kurve i plnen, blndt en mængde f kurver lle med smme omkreds, som fgrænser det størst mulige rel. Løsningen til det isoperimetriske

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger

Matematikkens mysterier - på et højt niveau. 3. Differentialligninger Mtemtikkens msterier - på et højt niveu f Kenneth Hnsen 3. Differentilligninger N N N 3 A A k k Indholdsfortegnelse 3. Introduktion 3. Dnmiske sstemer 3 3.3 Seprtion f de vrible 8 3.4 Vækstmodeller 8 3.5

Læs mere

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10

Eksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2. Eksempel = ( 1) = 10 Oversigt [LA] 9 Nem vej til rel Nøgleord og begreber Helt simple determinnter Determinnt defineret Effektive regneregler Genkend determinnt nul determinnt nul Produktreglen Inversreglen inversregel og

Læs mere

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE...

Michel Mandix (2010) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS LÆRESÆTNING... 4 SINUSRELATIONERNE... 4 COSINUSRELATIONERNE... MATEMATIK NOTAT MATEMATISKE EVISER AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: FERUAR 04 Michel Mndi (00) Side f 35 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... EN TREKANTS VINKELSUM... 3 PYTHAGORAS

Læs mere

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k

1 1 t 10 1. ( ) x 2 4. + k ================= sin( x) + 4 og har graf gennem (0,2), dvs F(0) = 2. + 4x + k 0x-MA (0.0.08) _ opg (3:07) Integrtion ved substitution ( x + 7) 9 t x + 7 > t 9 t 0 + k 0 0 ( x + 7)0 + k b) x x + 4 t x + 4 > 3 x t t t x 3 t x x + k 3 t t + k ( ) x 4 3 x + 4 + + k c) cos( x)

Læs mere

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R =

Planintegralet. Preben Alsholm 5. maj 2008. 1.1 Integralet af en funktion af én variabel. 1, x i ] et tal t i. Summen. n f (t i ) (x i x i 1 ) R = Plnintegrlet Preben Alsholm 5. mj 8 Plnintegrlet. Integrlet f en funktion f én vribel et bestemte integrl efinition Ld f være en funktion defineret på intervllet [ b]. Ld = x x... x n = b være en inddeling

Læs mere