Magnetisme. Ladede partikler i bevægelse kan mærke et magnetfelt. Lorentzkraften: F = ee + ev x B

Transkript

1 Magnetisme Ladede partikler i bevægelse kan mærke et magnetfelt Lorentzkraften: F = ee + ev x B

2 Magnetiske feltlinier Magnetfelt kan repræsenteres ved feltlinier Retning angiver feltets retning Størrelse angives ved tætheden af linier Feltlinier er kontinuerte (ingen start eller slut) Der findes ikke magnetiske monopoler/ladninger Dette er magnetfelter i vacuum (B) Analog til elektrisk dipol

3 Magnetiske momenter Ladning i en strømloop medfører et magnetisk moment (og tilhørende felt) Længden af vektor ds er arealet af strømloop Enhed = A*m 2 Sammenhæng med impulsmomenter L = r x p I atomer fremkommer magnetisk moment fordi ladede partikler med en masse bevæges i orbitaler (m 0 => p 0 ) Magnetiske moment er parallelt og proportionalt med impulsmoment μ = γl γ = gyromagnetiske forhold (hvor stort et magnetisk moment fremkommer fra givet impulsmoment)

4 Einstein de Haas effect Ferromagnetisk stang anbringes i strømspole Strøm => Magnetfelt => Magnetisk moment induceres langs stang Magnetisk moment giver også impulsmoment μ = γl Newtons 3. lov => stang begynder at dreje Måling af impulsmoment giver måling af magnetisk moment

5 Magnetiske momenter i et magnetifelt E = -μ. B Energien er minimal hvis μ og B er parallele μ = γl Kraftmoment Generelt M = dl/dt M = μ x B (appendix B) 1/γdμ/dt = μ x B => ændring i μ er vinkelret på μ og B => precession af μ rundt om B μ er tidsuafhængig Hvis ikke μ og L hang sammen ville B-felt dreje μ langs felt

6 Magnetisk moment fra en elektron Omkreds = 2πr Periode = 2πr/v Strøm = ladning per tid = -ev/2πr For kvantemekaniske elektroner er impulsmomentet ħ = mvr ħ/m = vr μ = Iπr 2 = (-ev/2πr)πr 2 = -evr/2 = -eħ/2m = -μ B = γħ μ B = Bohr magneton = enhed for magnetisk moment = x Am 2 Idet μ = γl fås γ = -e/2m

7 Magnetisering = magnetisk moment per volumen I vacuum kan magnetfelter beskrives ved B og H B = μ 0 H Når et materiale placeres i et felt bliver sammenhæng mere kompliceret idet materialet magnetiseres (M) Det samlede felt i materialet er B = B 0 + B M = μ 0 (H + M) I lineære materialer angiver en materialekonstant hvor stor en magnetisering et givet felt kan inducere M = χh B = μ 0 (1 + χ)h

8 Magnetiske fluxtæthed B 0 + B M Magnetisk feltstyrke vacuumpermeabilitet B = μh = μ 0 H + μ 0 M Magnetisk moment per volumen (magnetisering) Magnetisk susceptibilitet Permeabilitet for stoffet Magnetisk flux fra feltet χ = M/H Magnetisk flux fra prøven Angiver hvor meget en prøve kan magnetiseres i et felt H μ = μ 0 (1+χ) Men hvor stor er M?

9 Orbital moment, Spin moment Kvantetal: n, l, m l, m s l, m l angiver impulsmoment for elektron i given orbital Størrelsen af impulsmomentet L er ħ* l(l+1) (egenværdier for operatoren L 2 ) Projektionen ind på z-akse er m l * ħ (egenværdier for operatoren L Z ) Magnetisk moment μ= γl (fra før) μ = -e/2m e *m l * ħ = -m l *μ B μ = l(l+1)μ B 2l+1 mulige værdier for l, m l er projektion på z-aksen

10 Orbital momenter i magnet felt H=H 0 eb 2m e L z

11 Intrinsisk impulsmoment grundet spin s = m s = ±½ (2s+1 mulige spinværdier) Impulsmoment fra spin = m s * ħ = ± ħ/2 (langs given akse) Størrelsen S er ħ* s(s+1) => ħ* 3/2 Tilhørende magnetisk moment μ = g* s(s+1)*μ B (størrelse) Fra kvantemekanik g = g faktor = 2(1+α/2π +...) = (α = finstrukturkonstant) Energi i magnetfelt : E = gμ B m s B => Zeeman effekt: Splitning gμ B B ±μ B B

12 Orbital og intrinsiske momenter i magnetfelt H=H 0 eb 2m e L z +g e S z

13 Magnetiske momenter igen En elektron har et moment p.g.a. spin og bane Spin moment fra 1 elektron μ s = g s(s+1) = 1.73 BM (s=½, g=2) For et atom med flere uparrede elektroner μ s = g S(S+1) Total spin

14 Hvis banemoment (L) medtages: μ s = (4S(S+1)+L(L+1)) Hunds regler: 1) Maximer spin moment. 2) Maximer orbital moment For Fe 3+ (high spin) eller Eu 2+ haves uparrede elektroner i alle d (eller f) orbitaler => L = 0 (spin only)

15 Isolerede atomer i et magnetfelt Elektronspin har en energi i B felt (langs z-akse) E = gμ B Bm s ~ ±μ B B Hamiltonoperator for frie atomer Hamiltonoperator for atomer i et magnetfelt B Hvis stoffet har eget felt (paramagnetisme) Bidrag for alle stoffer (diamagnetisme) Husk isolerede : Ingen vekselvirkning mellem atomer

16 Diamagnetisme Elektronbevægelse giver en tilbagemagnetisering (svækkelse af B) Rent kvantemekanisk fænomen B felt langs z (0,0,B) Negativ Alle atomer giver et lille diamagnetiske bidrag til M

17 Diamagnetisme fortsat... Z eff yderste elektroner har ca samme radius Passer godt for ioniske forbindelser (lukkede skaller => ingen uparrede elektroner)

18 Paramagnetisme Atomer har magnetisk moment p.g.a. orbital og spin fra uparrede elektroner J = L + S Uden et ydre magnetfelt er disse momenter tilfældigt orienterede I et magnetfelt vil momenter delvist rettes ind Vi antager i det følgende at magnetiske IKKE vekselvirker med hinanden Øges B, øges tendensen til afretning af momenter Øges T, øges tendens til randomisering Magnetisering forventes derfor at være proportional med B/T

19 Semiklassisk beskrivelse af paramagnetisme B-felt langs z-aksen Momenter med vinkel θ har energi μbcosθ Areal af ring 2πsinθdθ Areal af kugle 4π => ½sinθdθ Sandsynlighed for at have moment mellem θ og dθ proportional med exp(μbcosθ/kt)*½sinθdθ y = μb/kt x = cosθ Gennemsnitlige moment langs B

20 M s = mætnings magnetisering = n*μ Μ = n*<μ Ζ > χ = μ 0 *(μb/3k B T)*n*μ/Β = C/T Curies Lov

21 Magnetisk felt B Magnetisk moment Magnetisk susceptibilitet Orbital moment Spin moment Diamagnetisme Paramagnetisme Curies lov

22 Paramagneter øger magnetisk flux (flere feltlinier) (χ positiv) Stoffet har permanente magnetiske momenter Diamagneter mindsker magnetisk flux (færre feltlinier) Der induceres et felt modsatrettet ydre felt

23 Magnetiske egenskaber Magnetiske effekter kræver tilstedeværelse af uparrede elektroner For uorganiske materialer findes de typisk på metalcentre (d, f)

24 Magnetiske vekselvirkninger Mange forskellige mekanismer hvorved momenter kan vekselvirke (bliver hurtigt meget svært) Simpleste dipol-dipol vekselvirkning Typisk værdi μ = 1μ B, r = 1Å => E = 1K Exchange vekselvirkning Ren kvantemekanisk effekt Elektrostatisk vekselvirkning: Elektroner vil helst ikke være samme sted i rummet Og Pauli princip gør, at de ikke kan have samme kvantetal Direkte exchange: vekselvirkning mellem elektroner i en kemisk binding

25 Superexchange: ordning gennem andre atomer (langtrækkende) Vis Ni d-orbitaler i oktaedrisk felt Indirekte exchange i metaller: RKKY vekselvirkning Magnetisk moment på et atom vekselvirker med ledningselektroner => spinpolarisering af ledningselektroner Ledningselektroner spinvekselvirker med andre atomers momenter Ordning

26 Magnetisk ordning Magnetiske momenter på atomer vekselvirker => ekstra led i Hamiltonoperatoren Dette energibidrag medfører spontan magnetisk ordning ved tilstrækkelig lav T For paramagneter betyder vekselvirkning mellem momenter at Curie loven brydes => Curie-Weiss lov χ = C/(T-θ) Ferromagnet: χ større end for paramagnet => θ > 0 Anti ferromagnet: χ mindre end for paramagnet => θ < 0

27 χ = C/(T-θ) Under T c (eller T N ) følger (anti)ferro magneter ikke Curie-Weiss

28 Ferro: χ stor (går mod konstant, falder hen mod T c ) Antiferro: χ lille (går mod 0 ved 0K momenter udslukker hinanden, Stiger med T op mod T N )

29 Pauli paramagnetisme

30 Spinel (ferrites hvis Fe 3+ ) Kemi 11: CCP pakning af O 2- A 8 B 16 O 32 A 2+ i 1/8 af tetraedriske huller B 3+ i ½ af oktaedriske huller (Mg 2+ ) t (2Al 3+ ) o (O 2- ) 4 Hvis nogle B 3+ er i tetraedriske kaldes strukturen invers spinel Max ½ af B 3+ kan være i tet (Fe 3+ ) t (Fe 2+,Fe 3+ ) o (O 2- ) 4 Fe 3 O 4

31 Størrelse A 2+ større end B 3+ oktaeder huller større end tetraeder Elektrostatisk tiltrækning Størst for 3+ omgivet af 6 ligander (oktaeder) Hvad bestemmer placering? Krystal felt stabilisering

32 Spinel magnetiske egenskaber struktur tegnet uden ilt Spin på oktaedriske og tetredriske sites er anti-parallelle Dobbeltexchange mellem M 2+ og M 3+ på oktaeder site (ferro) Superexchange mellem tet og okt (antiferro) ZnFe 2 O 4 Invers spinel (Fe 3+ ) t (Zn 2+,Fe 3+ ) o (O 2- ) 4 8 Fe 3+ på 8a 8 Fe 3+ på 16d 0 spin 8 Zn 2+ på 16d har ingen uparrede elektroner Magnetisk moment er 0 ved T = 0K (antiferromagnet)

33 MgFe 2 O 4 burde være som ZnFe 2 O 4 men den er ferrimagnet To mulige forklaringer 1. forbindelse er ikke fuldstændig invers (Fe 3+ ikke ligeligt fordelt) 2. Effektivt moment for Fe 3+ forskelligt for tet og okt sites (kovalent kemisk binding til ligander) 1 er gældende og ved høj T omdannes struktur til normal spinel Termisk syntese betingelser: quenched samples mere inverse end langsomt afkølede => quenched sample mere magnetisk MnFe 2 O 4 er 80% invers, men Mn 2+ og Fe 3+ er begge d 5 => magnetiske uafhængig af T (Ferri-magnet med 5 uparrede elektroner)

34 Faststofopløsninger med spinel struktur M 1-x Zn x Fe 2 O 4 M = Mg, Ni, Co, Fe, Mn For x = 0 (ingen Zn) haves stort set inverse spinelstrukturer (Fe 3+ ) t (M 2+,Fe 3+ ) o (O 2- ) 4 Forventet antal uparrede elektroner Mg = 0, Ni = 2, Co = 3, Fe = 4, Mn = 5 ZnFe 2 O 4 er normal spinel ved stuetemperatur men ingen antiferro kobling mellem jern => paramagnet Når M 2+ udskiftes med Zn 2+ fås flydende overgang fra normal til invers Zn 2+ kan også udskifte på tetraeder plads (Zn x Fe 3+ 1-x ) t (M 2+ 1-x,Fe 3+ 1+x ) o (O 2- ) 4 x = 0 => μ = 0 x = 1 => μ = 10 nås aldrig i praksis (magnetisk kobling ødelægges)

35 Granater (garnets) A 3 B 2 X 3 O 12 Koordinationstal 8 (12) tetraeder Oktaeder Iron garnets (B) 16 Fe3+ på 16a (X) 24 Fe 3+ på 24d Antiferromagnetisk kobling => Partiel udligning af spin (ferri) => 5 uparrede elektroner per formelenhed YIG har Y 3+ (d 0 ion) => 5 BM net moment

36 Faststofopløsning Y x Gd 3-x Fe 5 O 12 Gd 3+ har 7 uparrede elektroner på 24 c site Kobler antiparallelt til 24d 3x7 5 = 16 BM net moment (ferri) For Tb Yb haves også orbital moment => effektive moment større end med spin formel

37 Magnetic order paramagnetisme (anti-)ferromagnetisme ferrimagnetisme Exchange vekselvirkning Curie-Weiss lov Neel og Curie temperaturer Granater Spinel