Studieretningsprojekt

Transkript

1 EGAA GYMNASIUM Studieretningsprojekt Lineære ligningssystemer i oldtidens Kina Jesper Bergendorff, 3.x 12/19/2014

2 Indholdsfortegnelse Abstract... 3 Indledning... 4 Opgaveformulering: Redegør for hvordan matematik blev anvendt i den periode, hvor den kinesiske metode til at løse lineære ligningssystemer blev beskrevet i værket 九章算术 Giv en indføring i matricer og deres egenskaber. Forklar hvordan ligningssystemer kan opskrives på matrixform og gennemgå Gauss-elimination : Indledende om matricer : Regneregler : Matrixaddition : Matrixmultiplikation : Identitetsmatricer : Multiplikation af en matrix med en skalar : Invers matrix : Fra ligningssystem til matrix : At løse lineære systemer med Gauss-elimination : Elementære rækkeoperationer : Række-echelonform ved Gauss-elimination : Baglæns substitution : Gauss-Jordan metoden : Løsning af vedlagte ligningssystem med Gauss-elimination og baglæns substitution Gennemgå den kinesiske metode ud fra eksemplerne i 九章算术 og sammenlign med Gauss-elimination : Indledning til opgaven : Sammenligning af 3.1 med Gauss-elimination : Løsning : Den kinesiske metode : Sammenligning med Gauss-elimination Introducer determinanten for en kvadratisk matrice og indfør relevante egenskaber. Gennemgå hvordan man ved brug af Cramers regel kan løse lineære ligningssystemer ved hjælp af determinanter : Determinanten for en kvadratisk matrix : Definition : Relevante egenskaber, fordele og ulemper Side 2 af 30

3 4.2: Cramers regel : Definition : Bevis : Løsning af givne ligningssystem med Cramers regel: Vurder blandt andet ud fra dine analyser om eventuelle begrænsninger kan have medvirket til, at kinesisk matematik ikke har fået større udbredelse : Den kinesiske matematik : Placering og samfund Konklusion Litteraturliste Bilag : De Ni Kapitler om den Matematiske Kunst, kapitel 8, opgave 1: Abstract This paper seeks to discuss which possible factors that have inhibited the spread of early Chinese mathematics throughout the rest of the world, as well as analyzing and portraying some of the fundamental differences between classical Chinese mathematics and modern western mathematics. To discuss which possible factors may have affected the spread of Chinese mathematics, the application as well as the primary daily function of these mathematics, are presented. Then, an excerpt from the mathematical work "The Nine Chapters on the Mathematical Arts" is analyzed and compared to a modern, western method called Gauss elimination, both of which are methods to solve systems of linear equations by inserting them into matrices and performing certain operations on these matrices. In doing so, I will also utilize the Gaussian elimination method to solve a given linear system. Thereby the drawbacks of the lack of basic principles, on which the Chinese mathematics were created, are presented by the comparison to the modern method. When this comparison has been made, another method of solving linear equations will be presented, one which utilizes Cramer's rule, and this method will also be investigated and it's mathematical legibility proven. Again I will solve the same given linear system as before, only now I will solve the system by the presented method using Cramer's rule. Both methods are then seen to produce the same solution to the linear system. Thusly, the backdrop of knowledge needed to describe certain key factors to the inhibition of the spread of early Chinese mathematics has been laid out, and the evaluation finds that both the lack of the antique Greek axiomatic approach to math, the inherent practicality on which the mathematics relies, as well as the complex and constantly shifting political structures in Han-dynasty China, are all factors to blame in the lack of aforementioned spread of early Chinese mathematics. Side 3 af 30

4 Indledning Jeg har valgt emnet Kinesisk Matematik og Lineære Ligningssystemer fordi samspillet mellem kinesisk- og matematikfaget i dette tilfælde er enormt stærkt, og kan forklare og give indblik i viden, jeg ikke kunne opnå uden dette samspil. Jeg har fået følgende opgaveformulering udleveret: Opgaveformulering: Redegør for hvordan matematik blev anvendt i den periode, hvor den kinesiske metode til at løse lineære ligningssystemer blev beskrevet i værket 九章算术. Giv en indføring i matricer og deres egenskaber. Forklar hvordan ligningssystemer kan opskrives på matrixform og gennemgå Gauss-elimination Gennemgå den kinesiske metode ud fra eksemplerne i 九章算术 og sammenlign med Gausselimination Introducer determinanten for en kvadratisk matrice og indfør relevante egenskaber. Gennemgå hvordan man ved brug af Cramers regel kan løse lineære ligningssystemer ved hjælp af determinanter. Løs vedlagte lineære ligningssystem på en eller flere for opgaven relevante måder Vurder blandt andet ud fra dine analyser om eventuelle begrænsninger kan have medvirket til, at kinesisk matematik ikke har fået større udbredelse. Først er det altså centralt at danne sig et overblik over, hvad matematikken i perioden (Han-dynastiet) egentlig blev anvendt til. Dernæst gennemgår jeg matematikken bag dette og indfører denne med moderne notation, for endelig at sammenligne denne med metoden fra det kinesiske værk 九章算术. Til sidst vil jeg så gennemgå en anden måde, man kan løse lineære systemer på, og dernæst løse et givent lineært system. Til sidst vil jeg så anvende min nyligt erhvervede viden til at vurdere hvilke faktorer, der kunne spille ind på den ret så overraskende mangel af udbredelse af en ellers så tidligt succesfuld matematik som den kinesiske. Side 4 af 30

5 1. Redegør for hvordan matematik blev anvendt i den periode, hvor den kinesiske metode til at løse lineære ligningssystemer blev beskrevet i værket 九章算术. De Ni Kapitler om Den Matematiske Kunst ( 九章算术 ) er et matematisk værk fra oldtidens Kina, og har en, historisk set, obskur oprindelse. Siden at originalen af De Ni Kapitler, som altså er et samlingsværk af mange forskellige matematiske fremskridt i Kina op til bogens skabelse, menes at være gået tabt under kejser Qin Shi Huang ( 秦始皇 ), da han beordrede at alle bøger i kejserriget skulle brændes. 1 Den er, som mange andre matematiske værker fra Kina, bygget op omkring en stor samling af problemer, hvilke præsenteres og efterfølgende løses hver for sig. Problemerne er inddelt i kapitler, hvor de i hvert kapitel har et eller andet fællestræk, selvom dette ikke altid er lige klart, da kapitlet typisk tager navn efter den første problemstilling. 2 Opgaverne er helt og holdent baseret på praktiske problemer. Eksempler på dette kunne være kapitel 1, der handler om at finde arealet af forskellige størrelser af marker, kapitel 2, der indeholder problemer fra fx. agrikultur og handel, kapitel 5 der handler om forskellige problemer indenfor bygning og industri og kapitel 6 der handler om overvejelser om fair beskattelse. 3 Den tidligste bevarede kilde menes at stamme fra Han-dynastiets Kina, omkring år 200 f.v.t., skrevet af Zhang Cang ( 张苍 ) og ca. 100 år senere revideret af Geng Shou Chang ( 耿寿昌 ), begge af hvilke var ministre og akademikere under det vestlige Han-dynasti (206 f.v.t. til 24 e.v.t.). Både Zhang Cang og Geng Shou Chang arbejdede for kejseren, og i denne periode var der iværksat et stort restaureringsarbejde, så nogle af de klassiske værker, der blev brændt, kunne gendannes. Matematiske værker, som for eksempel De Ni Kapitler, blev typisk anvendt af folk, der sad på administrative poster i det daværende Kinas bureaukratiske styre, og blev anvendt til de opgaver af matematisk natur, som sådanne embedsmænd kunne komme ud for at skulle løse. 4 Indholdet af De Ni Kapitler kan godt anses som beskrivende for anvendelsen af matematik på denne periode, da denne var et samlingsværk, men det skal nævnes at der i det antikke Kina og helt op til middelalderen har været ekstremt mange matematiske værker, mange af hvilke var skabt af kinesiske matematikere der aldrig havde indbyrdes kontakt. Mange af disse værker er også for evigt tabt. 5 1 Dauben, Joseph W., 1998, ibid. 3 Kangshen, Shen, 1998, 2 4 Dauben, Joseph W., 1998, Needham, Joseph, 1959, 18 Side 5 af 30

6 2. Giv en indføring i matricer og deres egenskaber. Forklar hvordan ligningssystemer kan opskrives på matrixform og gennemgå Gausselimination 2.1: Indledende om matricer En matrix er en serie af tal, arrangeret i en bestemt rækkefølge, generelt noteret inden for firkantede parenteser. En matrix har rækker og kolonner, og minder derfor om en udvidet form for vektornotation. Nedenfor gives to eksempler på, hvordan matricer noteres. Der bruges generelt store bogstaver til at betegne matricer. Alle matricer har en størrelse, og matricers størrelse betegnes med, hvor altid er antallet af rækker, og altid er antallet af kolonner. Ovenstående matrix A er derved en matrix. Her er defineret en matrix B med størrelsen, da den har fire rækker og tre kolonner. Hvis en matrix har størrelsen, som for eksempel matrix A, siges den at være en kvadratisk matrix. 1 Ligheden med vektornotation er heller ikke en tilfældighed. Hvis en matrix har størrelsen, siges den at være en rækkevektor med komponenter, og ligeledes er den en kolonnevektor med komponenter, hvis den har størrelsen, hvilken er den form der minder mest om en vektor. Rækkerne og kolonnerne i en matrix er også række- og kolonnevektorer. For eksempel er første kolonnevektor til matrix. Hvis man vil referere til indgangene, de enkelte tal i matricen, bruges følgende notation generelt: Matrix er altså nogle indgange i en matrix af arbitrær størrelse. Her anvendes (bemærk at det lille bogstav referer til matrix med tilsvarende store bogstav) til at referere til indgangen, der befinder sig i - ende række og -ende kolonne. Altså kan jeg referere til indgangen 7 i matrix som, da den befinder sig i tredje række og tredje kolonne. 2 1 Fraleigh, John B., 1995, ibid. Side 6 af 30

7 2.2: Regneregler 2.2.1: Matrixaddition En matrix kan adderes med en anden matrix, såfremt de to matricer der adderes har samme størrelse og form,. Matrixaddition som operator bevirker blot, at hver indgang i matricen udregnes som vist: Dette gør det selvfølgelig klart, at matricerne skal have samme størrelse og form, og at den resulterende matrix også har samme størrelse og form som og. 1 Af denne definition er det også klart, at der findes en matrix som opfylder at, og det er når og har samme størrelse, og ikke har nogen indgange : Matrixmultiplikation Matrixmultiplikation en yderst brugbar operation, der tillader at jeg, som forklaret i næste afsnit, kan anvende matricer til at opstille lineære ligningssystemer på en effektiv og intuitiv måde. Først følger et eksempel, og dernæst vil jeg definere matrixmultiplikation generelt. Lad en matrix og en kolonnevektor være givet således: Multiplikation af disse størrelser foregår således: 2 Størrelsen af henholdsvis og kan ses at være og, pr. definition,. Som det også kan ses, foregår multiplikationen af disse to størrelser altså ved at gange den første række af på den første kolonne af, og dernæst gange den næste række af på den næste kolonne af. 3 Ud fra dette er det også tydeligt, at man ikke kan multiplicere to matricer, hvor den første matrices antal af kolonner ikke er lig det andet objekts antal af rækker. Derved er matrixmultiplikation af en matrix og en matrix udefineret, når følgende ikke opfyldes: når er. I tilfælde kan det ses at det går godt, fordi for begge matricer, men ville her være udefineret, da og. Det gælder kun i nogen tilfælde, at, og dette er ikke en generel egenskab. Nu har jeg vist, hvordan en matrix multipliceres med en kolonnevektor. For at kunne beskrive multiplikation mellem to matricer generelt, kan følgende viden på forhånd skrives ned og defineres: 1 Fraleigh, John B., 1995, 42 2 Fraleigh, John B., 1995, ibid. Side 7 af 30

8 Enhver matrix, der har mere end en kolonne, har blot flere kolonnevektorer, én kolonnevektor pr. kolonne. Her følger et eksempel, hvor jeg illustrerer ved at bruge den ovenfor viste metode til at multiplicere en matrix med en kolonnevektor. Her er det centralt at se, at en matrix altid har en eller flere kolonnevektorer, så denne operation kan også udføres for en matrix med arbitrært mange kolonnevektorer. Det ses at har antal kolonnevektorer: 1 Derved gælder det, at hvis matrix har størrelsen og matrix har størrelsen, har nødvendigvis størrelsen, da der er kolonner, der skal multipliceres. 2 Hvis man vil finde en enkelt indgang af en produktmatrix, gælder følgende generelt: 3 ( -ende rækkevektor fra ) prikket med ( -ende kolonnevektor af ) Denne generelle definition kan være svær at følge, så her følger et eksempel på en multiplikation af to vektorer. Lad og være defineret som følger: Vi ser først, at multiplikation af disse to matricer er defineret, da og. Derved kan vi begynde at udregne indgangene i vores nye matrix. Den første indgang,, udregnes per ovenstående definition ved at tage prikproduktet af rækkevektor med kolonnevektor : Da vi per definition ved, at har størrelsen, kan vi skrive denne symbolsk op og sætte første værdi ind: 1 Fraleigh, John B., 1995, ibid. 3 ibid. Side 8 af 30

9 Resten af disse værdier kan ligeledes udregnes, og produktmatricen kommer til at se ud således: Derved er multiplikationen gennemført : Identitetsmatricer En identitetsmatrix er en matrix, der opfylder at for en hvilken som helst matrix og matrix, har identitetsmatricen med størrelsen følgende egenskab: og Dette opnås ved at lade have ingen andre indgange end 1, og at kun have disse indgange på hoveddiagonalen, den diagonal der strækker sig fra venstre øverste hjørne til nederste højre hjørne i matricen. Dette bevirker også, at matricen kaldes en diagonal matrix. Formelt, kan det siges at hvor for og når. 1 Bemærk at det at gange identitetsmatricen på tilhørende matrix opfører sig fuldstændig, som når man ganger 1 på et tal : Multiplikation af en matrix med en skalar Multiplikation af en matrix med en skalar er defineret som, at produktet af en skalar og en matrix skrives og opfylder, at der findes en matrix der har samme størrelse som, og hver indgang er produktet af samme indgang i multipliceret med skalaren således:. I kontekst med subtraktion af matricer, kan multiplikation med en skalar være brugbar. Dette giver nemlig en definition til subtraktionen, når der er tale om to matricer af samme størrelse og, således: 2 Den resulterende matrix vil således have indgangene : Invers matrix En invers matrix til en matrix noteres, og har den egenskab at når en matrix multipliceres med sin inverse, er produktet identitetsmatricen. 3 Dette er brugbart i den fortolkning at man vil isolere x i et lineært system (dette gennemgås i næste afsnit), da man vil kunne gange den inverse matrix på begge sider af lighedstegnet og isolere (se om s egenskaber) således: En matrix kaldes invertibel, hvis det er muligt at skabe en matrix der opfylder. 1 Fraleigh, John B., 1995, 41 2 Fraleigh, John B., 1995, Fraleigh, John B., 1995, Side 9 af 30

10 2.3: Fra ligningssystem til matrix Grunden til, at det er enormt brugbart at anvende matricer i lineær algebra, er at man kan opskrive, og i langt de fleste tilfælde bearbejde såkaldte ligningssystemer samlet på matrixform. Specielt hvis matricerne, der bliver anvendt, ikke er særligt store, kan man regne på dem forholdsvis let og helt uden nødvendighed af computerkraft. Et lineært ligningssystem er en samling af simultane lineære ligninger, der, i tilfælde af at dette har en løsning, anvender samme ukendte med forskellige koefficienter for at få forskellige resultater. Dette system kan så løses ved at finde en værdi for hver ukendt. 1 For at beskrive, hvordan man kan omdanne et lineært ligningssystem til matrixnotation, giver jeg her et eksempel på et lineært ligningssystem: Disse to ligninger er lineære, og udgør med samme ukendte med forskellige koefficienter altså et lineært ligningssystem. Det er defineret, at dette system kan omskrives således: Venstre side af denne opstilling ligner umiskendeligt fra afsnittet med multiplikation af matrix med en kolonnevektor. Ved brug af den tidligere definition af produktet af matrix og kolonnevektor, kan det ses at dette system kan omskrives, så de to ukendte kan danne en kolonnevektor og ganges på den samlede matrix af koefficienterne således: Denne form skrives også formelt som, hvor betegner koefficientmatricen hvilken består af koefficienterne fra det lineære system, deraf navnet, og de to kolonnevektorer og indeholder henholdsvis de ukendte, og løsningerne på de enkelte ligninger. 2 Notationen er yderst brugbar, da den er generel og fungerer uden, at antallet af ukendte skal angives, hvilket i tilfælde af store systemer godt kan blive rodet. 2.4: At løse lineære systemer med Gauss-elimination Som bekendt er målet med lineær algebra altså at løse ligningssystemer, som det der blev vist i forrige afsnit, og grunden til, at man kan anvende den førnævnte notation til at lettere løse disse systemer, er fordi man kan anvende regnereglerne for matricer til sin fordel. For at man kan finde en løsning til et lineært system, må det altså ikke have nul løsninger, og løsningen til et system med uendelig løsninger bærer ingen betydning, da der kan vælges en arbitrær løsning. 3 Altså ligger humlen i at løse de ligningssystemer, der har én unik løsning. Ved anvendelse af den før introducerede notation fås det, at løsningen til et lineært ligningssystem på formen skrives som hvor er den kolonnevektor, der opfylder at produktet lige netop er. 1 Fraleigh, John B., 1995, 1 & Fraleigh, John B., 1995, Fraleigh, John B., 1995, Side 10 af 30

11 2.4.1: Elementære rækkeoperationer Centralt for løsningen af lineære systemer er det, at man kan omskrive systemet med lovlige matematiske operationer uden at ændre på løsningerne til systemet, så løsningerne bliver lettere at finde. Disse operationer grupperes for lineære ligningssystemer under navnet elementære rækkeoperationer. Jeg opstiller herunder et generelt lineært system med ligninger og ukendte: Dette system kan også opskrives på formen, hvor de størrelser, der bestemmer systemet, er koefficientmatrix og kolonnevektor med -ende komponent. Som nævnt tidligere, vil løsningen til dette system findes ved at finde kolonnevektor at sætte ind for kolonnevektor, altså den kolonnevektor, der opfylder at produktet lige netop er. Ved at opstille systemet i en udvidet matrix kan man ændre på både løsninger og ligninger samtidig, og derved bruge de elementære rækkeoperationer til lettere at finde en løsning til systemet. Hvis vi udvider matrix med kolonnevektoren med løsninger, får vi følgende udvidede matrix : 1 Elementære rækkeoperationer R1) To ligninger i et system kan byttes om Denne matrix kan ændres med de elementære rækkeoperationer som vises i den grønne boks. 2 Ingen af disse operationer ændrer på løsningerne til et system. 3 R2) Enhver ligning i et system kan ganges med en ikke-nul skalar : R3) Enhver ligning i et system kan adderes med produktet af en anden ligning og en skalar 2.4.2: Række-echelonform ved Gauss-elimination På basis af de ovenfor definerede egenskaber for elementære rækkeoperationer, kan der siges om en matrix at denne er rækkeækvivalent med hvis man kan få denne matrix ved at udføre elementære rækkeoperationer på, og at disse to systemer har samme løsninger. Når disse to matricer er rækkeækvivalenter, skrives dette. Målet med hele denne opstilling er, at opnå, at er på række-echelonform. Denne form er ikke unik og kan fremkomme på mange forskellige måder. Når man har opnået, at den udvidede matrix for et lineært ligningssystem er på række-echelonform, kan dette system nu løses på flere forskellige måder. 4 Disse metoder gennemgår jeg i de kommende afsnit. Når 1 Fraleigh, John B., 1995, 54 2 Fraleigh, John B., 1995, Fraleigh, John B., 1995, 56 4 Fraleigh, John B., 1995, 57 Side 11 af 30

12 en matrix er på række-echelonform, er hver første ikke-nul indgang i en række en såkaldt pivot. Pivoterne for matricen fra eksemplet ovenfor er altså og. Krav til række-echelonform 1) Alle rækker der kun indeholder 0 er skal stå under rækker med ikke-nul indgange 2) For hver række skal den første ikke-nul indgang stå til højre for den første ikke-nul indgang i rækken ovenfor Gauss-elimination er, når man reducerer en matrix til tilhørende række-echelonform med en algoritme, der først blev beskrevet af Carl Friedrich Gauss i starten af 1800-tallet. 12 Denne forklarer jeg nu trinvis mens jeg gennemgår et eksempel. Lad være en matrix: 1) Se på den første kolonne af matrix. Hvis denne kun indeholder 0-indgange, kigger vi på den næste kolonne indtil vi finder én, der indeholder en ikke-nul indgang, eller indtil matricen ikke har flere kolonner. Første kolonne i har ikke-nul indgange, og vi stopper derfor ved den første kolonne. 2) Ombyt rækker som nødvendigt, indtil det opnås at den øverste række af den første kolonne der har ikke-nul indgange er en ikke-nul værdi. Dette tal bliver så pivoten for denne række. Her behøver der heller ikke gøres noget ved matrix, da. 3) For hver række under den forrige, der har en ikke-nul indgang i første kolonne, skal der nu lægges gange den øverste række til denne række for at få et nul i første kolonne af denne række. Gør dette for hver række under den første, der har en ikke-nul indgang i første kolonne. På denne måde skaber man nuller under, hvilket er essentielt for at opnå række-echelonform. Dette trin skal udføres for anden række, da det har ikke-nul indgangen 5 i kolonne 1, men ikke for række 3. Altså skal der udføres følgende: Nu har vi udført trin 3. 1 Fraleigh, John B., 1995, 60 2 Fraleigh, John B., 1995, 61, "Historical note" Side 12 af 30

13 4) Når tredje trin er færdiggjort, skal vi nu lade som om, første række og kolonne ikke eksisterer, og dernæst udføre de forrige trin for den mindre matrix der fremkommer af at "krydse" første række og kolonne ud. Den matrix, der kommer af at krydse disse rækker ud, ser således ud: Vi ser på trin 1 og 2 og konkluderer at vi ikke kan anvende disse på denne matrix heller, så vi anvender trin 3 igen og trækker gange den øverste række fra den nederste for at skabe et nul under dennes pivot,. Vores matrix opfylder nu reglerne for række-echelonform, hvilken vi har opnået ved brug af Gauss-elimination. I de følgende afsnit vises måder hvorpå man kan løse systemet fra række-echelonform : Baglæns substitution Lad os se på den udvidede matrix fra eksemplet Krav til række-echelonform ovenfor. Denne kan meget simpelt skrives tilbage på lineær form, som ligningssystem, hvor det nu er tydeligt at den sidste ligning, kun har én ukendt, da der er ganget nul på de to andre, og én løsning. Vi finder denne ukendte og sætter værdien for denne ind i anden række, hvori der derved også kun er én ukendt. Så løser vi for anden rækkes ukendte, og sætter både værdien for denne og værdien for den forrige ukendte ind i første række. Denne metode kaldes baglæns substitution, da man starter med at finde værdien for den 'sidste' ukendte i matricen, den med højest -værdi, og substituerer denne ind i ovenstående rækker. Bemærk at det der gælder for matricer også gælder for tilhørende udvidede matrix, da vi anvender rækkeoperationer, hvilke også kan bruges på en kolonnevektor med indgange. 2 Denne metode er nem at bruge, og man vil for mindre matricer have let ved at finde systemets løsning, hvis det har en. Et system, der kan løses enten med en unik løsning eller med uendelige løsninger, kaldes konsistente. Det kan også ses på række-echelonformen, at hvis matrix eller række-ækvivalenten på rækkeechelonform matrix indeholder en række med kun nuller, række, hvor, så har systemet ingen løsning og siges at være inkonsistent. Hvis systemet har færre pivoter, end det har kolonner, har det uendelige løsninger, fordi en eller flere af de ukendte nu er frie variable, og kan løse systemet, hvis man tildeler 1 Fraleigh, John B., 1995, 60 2 Fraleigh, John B., 1995, 62 Side 13 af 30

14 dem en arbitrær værdi. Der er lige så mange frie variable, som der er kolonner uden pivoter. 1 Man kan også beholde sin matrix hele vejen igennem, uden at skrive tilbage på ligningsform, hvis dette ønskes : Gauss-Jordan metoden Forrige eksempel krævede, at mange matricer skulle skrives op, for at løsningen blev åbenlys. For at undgå dette, kan man i stedet for at følge algoritmen for Gauss-elimination slavisk, forsøge at opnå at hver pivot er 1, og også har nuller over sig i kolonnen, samtidig med at man opnår at der også er nuller under hver pivot. Hvis dette gøres, vil hver pivot i matricen være 1, og vil også være den tilsvarende rækkes eneste indgang. Denne form for matrix kaldes reduceret række-echelonform. Da hver række og hver kolonne kun har en indgang, vil løsningen kunne aflæses som det gøres i sidste skridt af eksemplet ovenfor : Løsning af vedlagte ligningssystem med Gauss-elimination og baglæns substitution Jeg vil løse det vedlagte lineære ligningssystem. Dette skriver jeg op her og skriver derefter ind i en udvidet matrix: Nu følger jeg algoritmen for Gauss-elimination, og ser at jeg skal nå ned til trin 3 og så gange rækker under den første. Dette gør jeg: på begge Dernæst på den nederste række: Nu går vi til trin 4 og kigger på den mindre matrix: 1 Fraleigh, John B., 1995, 59 2 Fraleigh, John B., 1995, 63 Side 14 af 30

15 Denne skal vi nu også skabe et nul under første indgang ved, og det gøres med igen: Heraf kan jeg altså aflæse, at, og derfor må det gælde at. Nu indsætter jeg dette i anden ligning (OBS!: taget fra række 2 i matricen ovenfor. Anden ligning fra det givne system indeholder intet ) og isolerer for : Nu indsætter jeg værdierne for og og løser for : Derved er systemet løst for de tre ukendte, og løsningen er: Side 15 af 30

16 3. Gennemgå den kinesiske metode ud fra eksemplerne i 九章算术 og sammenlign med Gauss-elimination I dette afsnit vil jeg sammenligne den relativt moderne algebraiske metode Gauss-elimination med den metode, der bliver brugt til at løse den samme slags algebraiske problemer i 九章算术, de Ni Kapitler om den Matematiske Kunst. Jeg vil nu gennemgå en opgave fra dette værk, opgave 1 fra kapitel 8, 1 hvilket er det kapitel, der omhandler opgaver omkring systemer med flere ligninger og flere ukendte. I senere opgaver arbejdes der dog med ligningssystemer med negative tal, men der redegøres blot kort for, hvordan man skal regne med negative tal, og ellers løses opgaven på nogenlunde samme måde som de forrige. 2 Herfor er den første opgave generelt beskrivende for den kinesiske metode. Jeg opstiller de følgende afsnit, hvori jeg arbejder med opgave 1 fra kapitel 8, på samme måde som opgaven, nemlig inddelt i indledning, løsning og metode. 3.1: Indledning til opgaven Kildetekst Betydning 今有 Her bruges 今有 som "nu er der", og mange opgaver i bogen indledes med dette. Hernæst opremses 上禾三秉, 中禾二秉, 下禾一秉, 實三十九斗 ; 上禾二秉, 中禾三秉, 下禾一秉, 實三十四斗 ; nogle bundter (neg) 秉 af nogle forskellige slags 上禾一秉, 中禾二秉, 下禾三秉, 實二十六斗 korn, det bedste korn 上禾,det mellemste korn 中禾 og det dårligste korn 下禾, og hvad disse forskellige antal bundter af forskellige korn giver af måleenheden 斗 (dou),når de lægges sammen. 問上 中 下禾實一秉各幾何? Her spørges der så med 問, hvad udbyttet 實 345 for et enkelt af hvert bundt af hver type korn er, i dou : Sammenligning af 3.1 med Gauss-elimination Indledningen er her en opstilling af et lineært ligningssystem. Antallet af bundter kan her ses som koefficienter til kornsorterne, som er de ukendte. Ligningerne bliver til sidst sat lig et antal måleenheder. Jeg lader 上禾, 中禾 og 下禾. Resultaterne er antallet af 斗. Jeg opskriver ligningssystemet her: Dette ligningssystem løses så i det kommende afsnit, og fremgangsmåden vises i afsnit Bilag 1, 方程 "Rectangular arrays" 2 Lam, Lay Yong, 1992, Dette tegn bruges flere gange med meget forskellig betydning i opgaven. Jeg henviser til kilder med tegnforklaring, når jeg oversætter det. Her oversættes det til "udbytte" 4 Lam, Lay Yong, 1992, Kangshen, Shen, 1998, afsnit Side 16 af 30

17 3.2: Løsning Kildetekst 荅曰 : 上禾一秉, 九斗 四分斗之一, 中禾一秉, 四斗 四分斗之一, 下禾一秉, 二斗 四分斗之三 Betydning Der indledes her med " 荅曰 :", hvilket kan oversættes direkte som "svaret siger:" og selvfølgelig skal forstås som at der nu skal forelægge et svar. Dernæst står der, at et bundt af det bedste korn svarer til 9 dou og en kvart ( 四分斗之一 oversættes som en fjerdedel dou gange en), et bundt af det mellemste korn svarer til 4 dou og en kvart, og et bundt af det ringeste korn svarer til 2 dou og tre kvarte (da der står 四分斗 implicit "gange" 三之 ). 3.3: Den kinesiske metode Kildetekst 方程術曰, 置上禾三秉, 中禾二秉, 下禾一秉, 實三十九斗, 於右方 中 左禾列如右方 以右行上禾遍乘中行而以直除 Betydning Reglen om ligninger siger ( 方程术 kan direkte oversættes som "ligningskunsten" og er et navn for metoden der anvendes) Put tre bundter af det bedste korn, to bundter af det mellemste korn og et bundt af det ringeste korn, lig 39 dou, på højresiden. Midterste og venstre kornkolonne ( 禾列 ) dannes på samme måde som til højre ( 如右方 ). Her ender jeg med et matrix-lignende objekt, der ser således ud: 以右行上禾遍乘中行而以直除 Bemærk at ligningerne er stillet op i kolonner, ikke rækker, med højre kolonne værende første ligning. At ligningerne er stillet op på denne måde har nok bare været konvention i Kina. Bemærk også at kildeteksten ikke melder noget om, hvad dette objekt er for en matematisk størrelse eller hvilke egenskaber det har. "Brug højre kolonnes antal bundter af bedste korn til at gange alle steder på den midterste række, og derefter træk højre fra midterste kolonne så mange gange som muligt. Derefter, gang igen og træk fra igen" Her skal jeg altså gange 3 på hvert led i min anden ligning og trække første ligning fra anden ligning. Jeg udfører disse operationer her, og skriver tilsvarende elementære rækkeoperation under systemet: Her kan jeg se, at jeg kan trække højre kolonne fra to gange, før der kommer et nul: Side 17 af 30

18 又乘其次, 亦以直除 "Igen, gang den venstre kolonne 1, hvorefter der også skal trækkes fra" Jeg udfører altså samme operationer som før, blot for venstre kolonne: 然以中行中禾不盡者遍乘左行而以直除 "Brug den midterste kolonnes mellemste korn (som er tilovers) 2 til at gange på den venstre række, og træk fra så mange gange som muligt" Jeg skal anvende indgangen 5 til at gange på venstre kolonne, og så trække fra så mange gange som muligt: 左方下禾不盡者, 上為法, 下為實 實即下禾之實 "Det, der er tilovers af venstre kolonnes ringeste korn, er ( 法, reglen, "det der bliver delt med") divisor, og det nederste er dividend(en af betydningerne af 實, "det der bliver delt"). Dette er netop udbyttet af det ringeste korn" 1 其次 "næste" oversættes her til venstre kolonne, da kineserne læste fra højre mod venstre, og den midterste kolonne derfor var den "første" og den venstre af logisk følge bliver den "næste", da den er venstre for midten 2 " 中禾不盡者 " oversættes her som "det mellemste korn, der ikke er forsvundet". Der refereres til, at man ikke skal anvende den mængde af det mellemste korn, der var til at starte med, men altså den mængde der er til overs efter de første par regneoperationer. Side 18 af 30

19 Her er oversættelsen en smule mudret. I L.Y. Lams "An overview" oversættes 實 (shí) slet ikke, 1 men ud fra tegnets forskellige betydninger, hvoraf sum eller udbytte er en betydning, kan oversættelsen på dansk godt bære samme mening som den kinesiske sætning. Tegnet kan dog også oversættes som "riskorn før de bliver taget ud af skallen" 2, og da der godt kan være tale om riskorn her, er jeg i tvivl om den præcise betydning af hvert 實. I hvert fald er meningen, at svaret for det ringeste korn er den brøk der kommer af at stille følgende brøk op: 下禾 求中禾, 以法乘中行下實, 而除下禾之實 餘如中禾秉數而一, 即中禾之實 "Hvis man vil finde løsningen for det mellemste korn, skal man gange midterrækkens nederste konstant (antal dou) med divisoren ( 法 bruges hele tiden som 36), og derefter træk det ringeste korns udbytte fra det resterende af midterrækken. Divider 3 resterne (her menes antal dou) med antallet af bundter af det mellemste korn, dette er netop udbyttet af det mellemste korn ( 中禾之實 )" Her stopper man med at regne i den matrix, man har sat op. I stedet bruges matricen blot som et værktøj at henvise til, når man skal bruge de tal den indeholder. Den matrix vi har indtil videre ser således ud: Antallet af dou i den midterste kolonne er ved multiplikation med reglen ( 法 ) og subtraktion med det ringeste korns udbytte ( 下禾之實 ): Dette skal så divideres med antallet af bundter af det mellemste korn: Dette er nu shi for denne kolonne. 求上禾亦以法乘右行下實, 而除下禾 中禾之實 餘如上禾秉數而一, 即上禾之實 "Hvis man vil finde løsningen for det bedste korn, skal man gange divisoren ( 法 ) på højre rækkes nederste konstant (antal dou). Dernæst skal man trække antallet af de ringeste korns dou fra antallet af 1 Lam, Lay Yong, 1992, Kangshen, Shen, 1998, afsnit Konstruktionen "A 如 B 而一 " betyder ifølge Lam, Lay Yong, 1992, 8, at dividere A med B Side 19 af 30

20 de bedste korns dou. Derefter skal resterne divideres med det bedste korns antal bundter, og dette er svaret for det bedste korn" Altså ganger jeg nederste konstant i venstre kolonne på nederste i højre (bedste korns dou): 上禾斗下禾斗 Dernæst instrueres man til at trække antallet af de ringeste korns shi fra dette: Og dernæst instrueres man til at trække midterste kolonnes antal af shi, fra: Dette simplificeres: For bedst at kunne have overblik over hvad der sker, har jeg farvekodet de tal, der tilhører hinanden. Farvekoderne ses i matricen forneden: Dette tal, 333, er altså det bedste korns shi. 實皆如法, 各得一斗 "Divider alle shi med fa, så fås hver enkelte kornsorts dou for et enkelt bundt". Denne simple operation udføres: 下禾 中禾 上禾 3.3.1: Sammenligning med Gauss-elimination Den største forskel i notationen er, at systemet skrives op i kolonner i stedet for rækker. Bemærk også at resultaterne her blot behandles som en del af det matrixlignende objekt, ligesom det gøres i Gausselimination. Med moderne notation tilhører svarene dog sin egen kolonne, og dette skel gøres ikke i metoden fra De Ni Kapitler. Der reflekteres heller ikke over noget af dette i kildeteksten. Notationen kommenteres ikke, og der gives ingen forklaring på, hvorfor disse operationer kan give en løsning. 1 Som det kan ses af operationerne i starten, forsøges der at opnå hvad der for kolonner svarer til rækkeechelonform, altså kolonne-echelonform. Metoden fungerer ikke ligesom Gauss-elimination, og søger at 1 九章算术卷第八, (bilag 1) Side 20 af 30

21 skabe disse nuller ved at gange på den midterste kolonne, og dernæst trække fra så mange gange som muligt for at eliminere den første indgang i rækken. Man vil altid skulle trække fra maksimum gange for at få et nul, da. Bogen opstiller ingen generel regel for fremgangsmåden her. I moderne notation ser problemet nemlig således ud, efter de første operationer for midt- og venstrekolonnen: Når denne form opnås, begynder tingene at blive lidt mere komplicerede. Nu forkastes matrixformen nemlig, og matricen bruges blot til at referere til. I stedet gøres operationerne 7 til 13 på koefficienterne. Jeg opskriver ligningssystemet, som det ser ud i matrix : Herfra vil det være muligt at lave baglæns substitution. I operation 7 kunne matricen for eksempel lige så godt være beholdt, da metoden blot springer over skridtet med at gange på hele kolonnen, og trække fra hele kolonnen. I stedet instrueres man blot til, at når man ganger 36 på den nederste værdi i den midterste kolonne, og dernæst trækker 99 fra denne, og dividerer med 5, så får man svaret. Dette fungerer, fordi det også ville have fungeret at gange på hele kolonnen og trække hele kolonnen fra (se elementære rækkeoperationer), men der gives ingen forklaring på hvorfor dette er gyldigt. 1 Til gengæld sørges der for, at der til sidst kan divideres med 36 i hele rækken med løsninger, hvilket måske har lettet udregningerne. I trin 9 og 10 udføres noget, der minder om baglæns substitution. Der nævnes ikke et begreb om, at det ringeste og mellemste korn nu har deres egne "værdier" pr. bundt og derfor kan sættes ind i ligningen, som det gøres i baglæns substitution, men dette bruges alligevel uden forklaring til at isolere fra den øverste række i : Hvorefter der selvfølgelig deles med tre for at få svaret for et bundt af det bedste korn. Metoden er altså ikke forklaret som en generel løsning, selvom den har samme funktion som Gauss-elimination. Hvor nyere, vestlig matematik argumenterer logisk for alle operationer der foregår, er den gamle kinesiske metode overhovedet ikke fokuseret på at kunne løse tænkte problemer med abstrakte systemer, og udnytter i stedet virkelige eksempler der må have løsninger. 1 九章算术卷第八, (bilag 1) Side 21 af 30

22 4. Introducer determinanten for en kvadratisk matrice og indfør relevante egenskaber. Gennemgå hvordan man ved brug af Cramers regel kan løse lineære ligningssystemer ved hjælp af determinanter. Enhver matrix har et tal forbundet til sig, som kaldes determinanten. Det viser sig at determinanten er brugbar til bl.a. at løse lineære ligningssystemer, hvilket jeg vil gennemgå i de kommende afsnit. 4.1: Determinanten for en kvadratisk matrix 4.1.1: Definition Determinanten for en matrix er blot den ene indgang, og er en førsteordensdeterminant. Determinanten for en matrix findes som forneden, og er forventeligt nok en andenordensdeterminant: Disse er begge definitioner, som ud fra matematisk induktion kan give hvordan determinanten for, og sågar matricer skal findes. Jeg starter med at beskrive determinanten for en matrix. Her indfører vi størrelsen, som er den matrix der fremkommer af at krydse -ende række og -ende kolonne ud i en matrix. 1 Det kan ses, at i en matrix vil man ende med at få en matrix ved at krydse en kolonne og en række ud, og en sådan matrix kan man godt finde determinanten for. Altså er tredjeordensdeterminanten givet således: Tallene, etc. kaldes cofaktorerne (angives med mærke, fx. ) til, og. Med denne definition kan der nu redegøres for at finde determinanten af enhver matrix. Mere generelt kan det siges, at cofaktoren til en indgang er givet ved: Det er selvfølgelig centralt at fortegnet er rigtigt, hvilket kan finde en -tegradsdeterminant således: sørger for. Altså kan det udledes, at man 1 Fraleigh, John B., 1995, Side 22 af 30

23 Hvor er en matrix. Det kan ses, at hvis matricen ikke er kvadratisk, kan udledningen ikke bruges til noget, og determinanter for disse er, pr. afsnittets første definition, udefinerede : Relevante egenskaber, fordele og ulemper Det er let at se, at hvis man forsøger sig med at finde determinanten fra fx. en matrix, så kommer det til at tage utroligt lang tid ud fra den forrige definition. Heldigvis kan man omgå forrige definition en smule, og gøre processen lidt hurtigere, ved at observere om matricen har en kolonne eller en række med mange nuller. Det er nemlig gyldigt at lægge cofaktorerne sammen i en rækkefølge, man selv vælger, sådan at man får at for nogle tal og hvor og : På denne måde kan man opnå en væsentligt lettere løsning, hvis altså matricen har nogle rækker eller kolonner med mange indgange 0, da man kan udvide på disse først og derved slippe for en del udregninger, da indgangene 0 selvfølgelig giver 0 når de ganges på tilhørende cofaktor. 2 Der er også måder hvorpå man hurtigt kan bestemme nogle ting om determinanten. For det første gælder det, at hvis man bytter om på to rækker i en kvadratisk matrix, bliver determinanten. Hvis to rækker i en kvadratisk matrix er ens, gælder det at determinanten er lig nul, da man kan bytte om på disse to rækker, stadig have den samme matrix, men nu få at, hvilket kun gælder for 0. Hvis en række er ganget med en skalar, er determinanten også blot. 3 Den letteste måde at finde determinanten for en vilkårligt stor kvadratisk matrix, vil dog være at omskrive denne til en echelonform, hvor man ikke ganger skalarer på nogle af rækkerne, men ellers bruger de andre to elementære rækkeoperationer. Dernæst kan man så bruge, at hvis en række i matricen kun indeholder nuller, er determinanten 0. Hvis matricen ikke opfylder dette, er determinanten givet således: Hvor er antallet af elementære rækkeoperationer, man har udført på matrix. Om denne metode er hurtigere for et menneske, eller en computer, afhænger helt og holdent af matricen der er tale om. 4 En kvadratisk matrix er invertibel, hvis og kun hvis. 5 Dette giver også, at for hvilken som helst identitetsmatrix er determinanten altid 1, da der kun er pivoter og disse kun er 1. Uanset størrelsen af er determinanten stadig 1, da hvor. 4.2: Cramers regel 4.2.1: Definition Cramers regel er en del af metode, hvormed man med determinanter kan løse lineære ligningssystemer, såfremt ligningssystemet har lige så mange ukendte som det har ligninger (så koefficienterne kan opstilles i en kvadratisk matrix). Cramers regel siger: 1 Fraleigh, John B., 1995, Fraleigh, John B., 1995, Fraleigh, John B., 1995, Fraleigh, John B., 1995, Fraleigh, John B., 1995, 259 theorem 4.3 Side 23 af 30

24 Hvis man har et lineært system på formen, hvor er en kvadratisk matrix, og dette system er konsistent med én unik løsning, kan man ifølge Cramers regel finde denne løsning ved: For alle hvor er den matrix der fås af at udskifte den -ende kolonnevektor af med kolonnevektor. Lad os se på, hvorfor dette gælder : Bevis Lad være et lineært ligningssystem, hvor er invertibel. Derved kan vi vide, at. Jeg påstår nu, at det at matricen er invertibel betyder at, det lineære ligningssystem, den repræsenterer, har én unik løsning. Jeg fremstiller her løsningen ved at gange invers til på begge sider Altså er en løsning til systemet. For en arbitrær løsning vil løsningen ligeledes være: Derfor er den eneste løsning altså. Lad nu være den matrix, der fremkommer af at lade den - ende kolonnevektor af en identitetsmatrix udskiftes med. Produktet vil for alle kolonner hvor give den -ende kolonne af, og i tilfælde er alle indgangene i kolonnen. Derved er altså den matrix, der fremkommer af at udskifte -ende kolonnevektor af med kolonnevektoren med løsninger. Bemærk, at denne matrix netop er fra definitionen af Cramers regel. Nu ved jeg, at, og ved determinanters multiplikative egenskab fås det derfor at. Hvis man udregner ved at udvide på -ende række får man (da det ses at : Derved kan det ses at, og der kan nu isoleres for ved: Derved kan den -ende ukendte altså findes og systemet kan løses : Løsning af givne ligningssystem med Cramers regel: Jeg opskriver det givne ligningssystem, som jeg vil løse, og skriver det om til matrixform: 1 Fraleigh, John B., 1995, Proof of Cramer's Rule, Side 24 af 30

25 Nu vil jeg finde og dernæst for. Jeg starter med at finde determinanten af ved metoden fra afsnit : Dette kan mit CAS-værktøj, Maple, gøre en del hurtigere end jeg kan, så jeg bruger nu fremover dette til at finde determinanter. Nu udskifter jeg så første kolonne i med for at få : Løsningerne er altså givet ved: Side 25 af 30

26 Nu har jeg fundet løsningerne til det vedlagte system ved hjælp af Cramers regel. Disse er skrevet op forneden: Denne løsning er heldigvis også den samme, som jeg har fundet frem til tidligere ved hjælp af Gausselimination. Side 26 af 30

27 5. Vurder blandt andet ud fra dine analyser om eventuelle begrænsninger kan have medvirket til, at kinesisk matematik ikke har fået større udbredelse Årsagerne til den manglende udbredelse af kinesisk matematik er mangfoldige og i mange tilfælde dybt komplicerede, for eksempel med henhold til selve matematikken, men også samfundet og sågar landets geografiske placering. I de følgende afsnit gennemgår jeg nogle af hovedårsagerne til, at kinesisk matematik ikke har fået større udbredelse. 5.1: Den kinesiske matematik Som det kan ses af min analyse af den første opgave fra kapitel otte i 九章算术, er metoden der bliver fremstillet i dette store matematiske værk, hvilket ellers bliver hyldet som et af de største fremskridt i kinesisk matematik rent historisk, hverken generel eller særligt brugervenlig, selvom jeg har redegjort for at den nærmest udelukkende var til praktisk anvendelse. Det kan mærkes, at værket skal studeres, for at forstås fuldt ud, og der forklares ikke, hvad der har været tænkt bag de enkelte instrukser til løsningerne af opgaverne. Da der ikke søges at opbygge en generel regel, et fundament, hvorpå fremtidig matematik kan bygge, bliver det med tiden sværere at vise sammenhænge i matematikken. Dette kan definitivt have en begrænsende effekt på matematikken, specielt da den mødtes med den vestlige matematik, når Jesuitterne bragte denne til Kina i det sene Ming-dynasti i form af Euklidisk geometri samt nye og gamle algebraiske metoder, fra renæssancen og gennem hele deres tilstedeværelse i Kina. 1 Den aksiomatisk opbyggede og strukturerede matematik fra vesten har simpelthen kunnet trumfe den kinesiske matematik, som på dette tidspunkt havde tabt interesse selv for kineserne. 2 Det er dog først lang tid efter De Ni Kapitler, at kinesisk matematik faldt bagud i forhold til vestlig matematik. Kineserne var blandt andet det første samfund, der regnede på negative tal. 3 Altså kunne den kinesiske matematik godt have spredt sig hvis andre faktorer ikke også havde spillet ind. 5.2: Placering og samfund De få landforbindelser, Kina har haft udadtil, kan have spillet en enorm rolle i den relativt lille udbredelse af kinesisk matematik. Den eneste måde, matematikere realistisk set kunne komme i kontakt med mere vestlige lande, var ved at anvende Silkevejen, og denne kan nok også have haft indflydelse gennem kontakt med araberne, som i år 800 til middelalderen næsten enehændigt revolutionerede algebra. Hvis ikke man skulle rejse ad land, skulle man sejle nedenom Indokina for at komme vestpå, igen en for de fleste alt for lang rejse for hvad der kunne ligge i vente. Det skiftende styre i så stort et land som Kina har også betydet konstante perioder med tumult, hvilke bl.a. var kampe mellem herremand og træl - og derved direkte følge af den konfutsianske samfundsopfattelse, og denne konstante cirkel af blomstring, stilstand og dernæst reform 4, har også betydet at der i forskellige dynastier har været lagt vægt på forskellige ting, og matematikken kan have lidt under dette. Jeg nævnte fx. tidligere, at den senere del af Ming-dynastiet så et betydeligt fald af interessen for kinesisk matematik. 1 Needham, Joseph, 1959, ibid. 3 Swetz, Frank, 1979, pp Kobylinski, Hanna, 1976, 49 Side 27 af 30

28 Konklusion Jeg kan nu konkludere, at kinesisk matematik under Han-dynastiet var af hovedsagelig praktisk kaliber. Opfattelsen af, at matematikken var et redskab til at løse praktiske problemstillinger, gjorde derfor at matematikken ikke lod sig opbygge på basis af abstrakte aksiomatiske principper, som for eksempel den antikke græske matematik. Denne begrænsning har blandt andet ført til at den kinesiske matematik har været svær at generalisere, homogenisere og udbrede. Andre faktorer har også spillet ind på, at kinesisk matematik har fået overraskende lidt udbredelse, i forhold til hvor succesfuld den var i sine tidlige stadier. For eksempel har de skiftende dynastier og den dertilhørende tumult i nogen perioder helt sat en stopper for udviklingen af ny matematik. Samtidig har Kinas geografiske beliggenhed, med de krigeriske mongolstammer nordpå og bjergene vestpå, og hav på øst- og sydsiden, gjort det svært for kinesiske matematikere at have kontakt til den vestlige verden. Dog har den kinesiske matematik været langt foran den vestlige, hvis man ser på kundskaberne omkring denne periode. Med den kinesiske metode kunne man nogenlunde effektivt løse et lineært ligningssystem ved hjælp af en metode, der på mange måder ligner, og fungerer på samme principper som Gausselimination, hvilket er en metode formuleret næsten to årtusinder senere, end den blev nedskrevet i værket De Ni Kapitler om den Matematiske Kunst ( 九章算术 ). Ved sammenligning af den gamle kinesiske metode og Gauss-elimination finder man også, at matematikerne der skrev De Ni Kapitler ikke viste nogen tegn på at forstå begrebet om, at man kan finde en værdi for en ukendt og så sætte den ind i en anden ligning, som gøres i baglæns substitution. Jeg har også fundet, at der er mange forskellige måder at løse disse lineære ligningssystemer på, en af hvilke, der i visse tilfælde kan være mere effektiv end Gausselimination, kan være løsning ved hjælp af Cramers regel. Jeg har også fundet løsningen på ligningssystemet givet i opgaven ved brug af både Gauss-elimination og Cramers regel. En af grundene til, at dette ville blive svært ved anvendelse af den kinesiske metode, er at der netop ikke fremkommer en generel regel til løsning af sådanne systemer, og at al arbejde derudover kun ville bestå i kvalificerede gæt. Side 28 af 30

29 Litteraturliste Dauben, Joseph W.: "Ancient Chinese mathematics: The (Jiu Zhang Suan Shu) vs. Euclid's Elements", International Journal of Engineering Science nr.36, 1998 Elsevier Science Ltd. Fraleigh, John B. m.fl. (1995): Linear Algebra, 3rd Edition, Addison-Wesley Publishing Company Kangshen, Shen m.fl. (1998): The Nine Chapters on the Mathematical Art; Companion and Commentary, Science Press, Beijing Kobylinski, Hanna (1976), Kinas Historie Til 1840, Nordisk Forlag Lam, Lay Yong (1994): 九章算术, an overview, Springer-Verlag Needham, Joseph (1959): Science and Civilisation in China Vol. 3: Mathematics and the Sciences of the Heavens and the Earth, Cambridge University Press Proof of Cramer's Rule, besøgt d Swetz, Frank (1979): The Evolution of Mathematics in Ancient China, Mathematics Magazine, Vol. 52, No. 1 (Jan., 1979), pp 九章算术卷第八, besøgt d Side 29 af 30