Elementær Matematik. Vektorer i planen

Transkript

1 Elementær Mtemtik Vektorer i plnen Ole Witt-Hnsen 0

2 Indhold. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer.... Sum og differens f to vektorer.... Multipliktion f vektor med et tl Opløsning f en vektor efter givne retninger Vektorers koordinter Stedvektor. Vektors længde Drejningsvinkel. Projektion f liniestykke på linie Skrlrprodukt Projektion f vektor på vektor Sklrproduktet udtrykt i koordinter.... Tværvektor...6. Determinnt for et vektorpr...7. Liniens ligning. Afstnd fr punkt til linie Liniers skæring. To lineære ligninger med to uekendte Koordinttrnsformtioner...

3 Vektorer i plnen. Prllelforskydninger i plnen. Vektorer En prllelforskydning f en figur i plnen er en opertion hvor lle figurens punkter flyttes det smme stykke i den smme retning. Prllelforskydningen som fører punktet A over i punktet B kn skrives som A B. En prllelforskydning kn derfor pssende illustreres ved et orienteret liniestykke tegnet som en pil. Det er indlysende t to pile med smme længde og smme retning repræsenterer den smme prllelforskydning. Mængden f lle pile med smme længde og retning kldes for en vektor. En enkelt pil kldes en repræsentnt for vektoren. D lle pilene svrer til smme prllelforskydning vil vi herefter etegne en pil som en vektor i stedet for det mere omstændelige - men korrekte en repræsentnt for vektoren. En vektor der forinder to punkter A og B i plnen skrives som AB men mn kn også skrive en vektor som et enkelt lille fremhævet ogstv eller et lille ogstv med en pil over. Følgende skrivemåder er således ækvivlente: = AB Længden f en vektor skrives med to lodrette streger: = AB. Længdesymolet må ikke forveksles med det smme symol for numerisk værdi f et tl. Blndt vektorer findes speielt én som hr længden nul. Den etegnes nulvektoren og skrives o. Nulvektoren tillægges ikke nogen retning. En egentlig vektor er en vektor som ikke er nulvektoren. En vektor med længden kldes en enhedsvektor. Enhedsvektorer etegnes ofte som e i j og k. To vektorer og siges t være prllelle skrives hvis der findes en repræsentnt for og en repræsentnt for som er prllelle. To vektorer siges t være ensrettede eller modst rettede når deres repræsentnter er henholdsvis ensrettede eller modst rettede. To vektorer og siges t være ortogonle eller står vinkelret på hinnden skrives hvis der findes en repræsentnt for og en repræsentnt for som er ortogonle. Ved en retningsvektor for en linie forstås en vektor som er prllel med linien. Ved en normlvektor til en linie forstås en vektor som er vinkelret på linien.. Sum og differens f to vektorer Ld os ntge t vi foretger en prllelforskydning svrende til vektoren og dernæst en prllelforskydning svrende til vektoren som vist på figuren nedenfor. Den resulterende prllelforskydning svrer d til vektoren fr s egyndelsespunkt til s endepunkt. D dette er resulttet f de to prllelforskydninger etegnes det med vektoren +.

4 Vektorer i plnen Denne vektor kldes også for sum-vektoren eller summen f vektorerne og. Bemærk t + i lmindelighed er side i en treknt med de to ndre sider og. Ifølge trekntsuligheden gælder der t en side i en treknt ltid er mindre en summen f de to ndre sider. + < + hvor + = + gælder kun hvis og er ensrettede. Vektorddition er kommuttiv. Der gælder sætningen:. + = + Hvis mn på smme figur som er nvendt til t konstruere + fsætter ud fr s egyndelsespunkt og konstruerer + vil og udspænde et prllelogrm d de modstående sider repræsenteret f er lige lnge og prllelle. + og + er egge digonlen i dette prllelogrm og derfor er + = +. Denne sætning viser smtidig t mn kn konstruere sumvektoren + på en nden måde. Hvis mn nemlig fsætter og ud fr smme punkt og konstruerer det prllelogrm som udspændes f og vil digonlen være en repræsentnt for +. Denne konstruktion kldes ofte for kræfternes prllelogrm. Vendingen kommer fr fysikken fordi mn finder resultnten f to kræfter på denne måde. Vektorddition er ssoitiv. Der gælder sætningen:. + + = + +. På figuren ovenfor er konstrueret de to vektorer: + + og + +. Det ses t summen i egge tilfælde er den vektor der forinder s egyndelsespunkt med endepunktet f. For vektorer gælder indskudsreglen: Hvis A B og C er punkter i plnen gælder der uindskrænket:

5 Vektorer i plnen. AB AC CB Dette følger f definitionen på sum f to vektorer. Speielt er 0 AA AB BA Ved den modstte vektor til en vektor forstår mn en vektor med smme længde men modst rettet. Den modstte vektor til skrives hvilket ofte læses som minus. Den modstte vektor til nulvektoren er nulvektoren og der gælder i lle tilfælde t + - = o. Betrgter vi vektorligningen x + = er løsningen åenrt en vektor som dderet til giver. Denne vektor etegnes differensvektoren mellem og og skrives.4.5 Konstruktionen f er vist ovenfor. Vektorerne og er fst ud fr smme punkt. Det ses t vektoren der forinder endepunktet med endepunktet f netop er differensvektoren. Af den nden figur ses imidlertid t differensvektoren også kn opnås ved t tge summen f og -. Dette fordi firknten med siderne og - er et prllelogrm så de to ndre sider og + er identiske vektorer. Der gælder ltså:.5 = + På smme måde som det er tilfældet med reelle tl kn vi derfor skrive i stedet for +. En nyttig konsekvens f dette er t det ligesom for regning med tl gælder: t mn kn flytte en vektor over på den nden side f lighedstegnet ved t skifte fortegn. Dette følger f nedenstående omskrivninger: = + <=> + - = <=> =. Multipliktion f vektor med et tl Ved vektoren t hvor er en vilkårlig vektor og t er et reelt tl forstår mn følgende: Hvis t = 0 så er t = o nulvektoren Hvis t > 0 så er t en vektor med længden t som er ensrettet med. Hvis t < 0 så er t en vektor med længden -t som er modst rettet med. I lle tilfælde er længden f t : t = t.

6 Vektorer i plnen 4. Eksempel Nedenfor er vist nogle eksempler på multipliktion f vektor med et tl. For multipliktion f vektor med tl gælder der nogle tilsyneldende simple regneregler. Hvis s og t etegner reelle tl og og er vilkårlige vektorer gælder.. s t = s t s+t = s +t t + = t + t Bevis for den første regneregel: Hvis s=0 eller t=0 er egge vektorer nulvektoren. Hvis hverken s eller t er 0 vil de to vektorer s t og s t hve smme retning eller modst retning f lt eftersom s t>0 eller s t<0. Endvidere gælder der: s t = s t = s t = s t = s t Den nden regneregel er lidt mere komplieret t vise. Hvis s og t hr smme fortegn hr s+t s t og s +t smme retning. Nedenfor ses t de også hr smme længde så det er smme vektor. s + t = s + t = s +t = s + t = s + t Hvis s og t hr modst fortegn og s+t 0 hr s+t enten smme fortegn som s eller t. Antger vi t s+t hr smme fortegn som s hr s+t og t smme fortegn. Vi finder d ifølge ovenstående: s = s+t + -t = s+t +-t =s+t - t => s+t = s +t Hvis s+t = 0 så er t = -s og dermed: s +t = s +-s = s -s = o Hvis og er egentlige ikke prllelle vektorer kn sætningen: t + = t + t vises hvis vi nvender ksiomet om t ligednnede treknter er ensvinklede. Nedenfor er vist de to ligednnede treknter der dnnes f vektorerne og + smt f vektorerne t t og t +. D treknterne er ligednnede er siden der svrer til + lig med t +. Ifølge konstruktionen ses t denne side også er t + t. Altså er t + = t + t Hvis og er egentlige prllelle vektorer er t + og t + t også prllelle og ensrettede hvorf sætningen følger trivielt. Hvis enten eller er nulvektoren så er sætningen også triviel. Vi eviser endelig følgende lille sætning.. Hvis og er to vektorer hvor o og enten er nulvektoren eller prllel med så findes der netop ét tl t så = t.

7 Vektorer i plnen 5 Bevis: Hvis = t så er = t og dermed t. Endvidere hvis er ensrettet med er t > 0 hvis er modst rettet er t <0 og hvis = o er t = 0. I lle tilfælde findes der kun et tl som opfylder = t. At t estemt på denne måde fktisk opfylder = t er indlysende idet de to vektorer hr smme retning og længde. Ud fr. kn mn speielt estemme en enhedsvektor som er ensrettet med en given vektor. e Det ses umiddelrt t e = og t e er ensrettet med 4. Opløsning f en vektor efter givne retninger Ld der være givet to ikke prllelle linier l og m smt en vilkårlig vektor = AB. Vi tegner to linier prllelle med l og m gennem henholdsvis A og B. Linierne skærer hinnden i punktet C. Ifølge Indskudssætningen gælder: AB AC CB Idet vi sætter l = AC og m = CB gælder åenrt 4. = l + m Vi hr ltså fået skrevet som en sum f to vektorer som er prllelle med henholdsvis l og m. Denne opløsning er entydig. Antg nemlig t også kn skrives som en sum f to vektorer l og m prllelle med henholdsvis l og m så gælder der: l + m = l + m <=> l - l = m - m På venstre side f den sidste ligning står en vektor der er prllel med l og på højre side en vektor der er prllel med m. D l og m er ikke prllelle må de egge være nulvektoren og dermed: l = l og m = m. Formlen 4. kldes opløsning f en vektor efter to givne retninger. Hvis = l + m og og er to vektorer prllelle med henholdsvis l og m kn vi ifølge. estemme tl s og t således t: l = s og m = t For to ikke prllelle retninger l og m og to egentlige vektorer og kn ltså kun på en måde skrives som en linerkomintion f og. Dette kldes også for opløsningen f efter og. 4. = s + t

8 Vektorer i plnen 6 5. Vektorers koordinter Vi indfører nu et lmindeligt retvinklet koordintsystem med egyndelsespunkt O. Enhedspunkterne på x og y-ksen 0 og 0 etegner vi E og F. Vi lder i og j etegne de to ortogonle enhedsvektorer 5. i = OE og j = OF Disse to vektorer kldes for koordintsystemets sisvektorer. D koordintsystemet er fuldstændig fstlgt ved O og de to sisvektorer etegner vi det med O i j. Ifølge 4. kn enhver vektor skrives som en entydigt estemt linerkomintion f de to sisvektorer. 5. = x i + y j xy kldes for koordinterne til vektor. Mn hr trdition for t nvngive koordinterne med det smme ogstv som vektoren forsynet med indeks og og i øvrigt skriver mn ofte koordinterne på højknt og nvender lighedstegn mellem koordinterne og vektoren som vist med eksemplerne nedenfor = i + j = i = j = 0 Hvis = i + j og = i + j følger det f regnereglerne for ddition f vektorer og multipliktion f vektor med tl: + = i + j + i + j = + i + + j - = i + j - i + j = - i + - j k = k i + j = k i + k j Herf følger - ikke særlig overrskende - regneregler for koordinter til vektorer = - = k k = k

9 Vektorer i plnen 7 6. Stedvektor. Længden f en vektor Ld der i plnen være givet et koordintsystem O i j. For et vilkårligt punkt P = xy i plnen kldes vektoren OP for stedvektoren til P. Projektionen f P på. og. ksen er Q x0 og R 0 y. Ifølge sætning. gælder der: 6. OP OQ x i og OR y j og dermed x OQ + OR x i + y j = y Vi hr hermed vist t koordinterne til et punkt er lig med koordinterne til punktets stedvektor. En vilkårlig vektor = er stedvektor for punktet A så = OA. Ifølge fstndsformlen gælder der: 6. = OA =OA = Længden f en vilkårlig vektor er kvdrtroden f kvdrtsummen f dens koordinter. Hvis A og B er to vilkårlige punkter i plnen gælder ifølge indskudssætningen: 6. OB OA AB og dermed AB OB OA Hvis A og B gælder der OA og OB Indsættes dette i 6. får mn 6.4 AB Vi hr således vist den vigtige sætning. Koordinterne til den vektor der forinder to vilkårlige punkter A og B er endepunktets koordinter minus egyndelsespunktets koordinter. For længden f AB finder mn ifølge 6. en formel som er identisk med fstndsformlen. 6.5 AB

10 Vektorer i plnen Eksempel. Mnge små geometriske sætninger kn evises elegnt ved vektorregning. Vi viser først sætningen: Koordinterne til midtpunktet M f liniestykket der forinder A og B er middeltllet mellem endepunkternes koordinter. Ld A og B være vilkårlige punkter i plnen. Ifølge Indskudssætningen gælder: OM OA AM OA 6.7 OM OB OA Skrevet ud i koordinter: 6.7 OM AB OA Det ses herf f midtpunktets koordinter er middeltllet mellem endepunkternes koordinter. OB OA 6.8 Eksempel. Vi vil estemme koordinterne til medinernes skæringspunkt S i en treknt A B og C. Ld A = og B = og C =. Vi ved fr geometrien t medinen forinder en vinkelspids med midtpunktet f den modstående side og t medinernes skæringspunkt S deler medinen i som kn redueres til OS OA forholdet : således t: Ifølge indskudssætningen gælder: OM OA OA 6.9 OA OC OB AM AS OS OA AS OA AM OA OM OA Ifølge sætning 6.7 er OM OB OC så vi får OC OB OA OS Skrevet ud i koordinter OS Koordinterne til medinernes skæringspunkt er middeltllet mellem koordinterne til trekntens hjørner. D udtrykket er symmetrisk i A B og C er det underordnet hvilken f trekntens hjørner vi vr gået ud fr. Vi kn herefter ud fr vektorregning slutte t medinerne går gennem smme punkt. 7. Projektion f liniestykke på linie. Drejningsvinkel For t indføre sklrproduktet f to vektorer er det nødvendigt t præisere nogle små sætninger fr geometrien. 7. eksempel. Liniestykker regnet med fortegn. På en orienteret tllinie en koordintkse kn mn med fordel regne liniestykker med fortegn. Et liniestykke der forinder punkterne A og B skrives AB. Længden f liniestykket skrives som ekendt AB. AB regnes for positivt hvis B ligger i den positive retning i forhold til A ellers negtiv. Helt præist gælder der: Hvis AB = AB så er BA = AB. Om punkter A B og C på en tllinie gælder der ufhængig f deres indyrdes plering indskudssætningen: 7. AB = AC + CB

11 Vektorer i plnen 9 Hvis B ligger til højre for A og C ligger mellem A og B følger det umiddelrt t AB = AC + CB. Hvis B ligger til højre for A og C ligger til højre for B gælder der: AC = AB + BC <=> AB = AC BC <=> AB = AC + CB Hvis AB = AB ltså B ligger til venstre for A og C ligger mellem B og A gælder der. BA = BC + CA <=> AB = CB AC <=> AB = AC + CB De øvrige tilfælde f indskudssætningen kn vises helt på smme måde. Hvis A og B hr koordinterne og gælder der i lle tilfælde: AB = -. Dette kunne også være nvendt til t evise indskudssætningen. 7. Eksempel. Drejningsvinkel. Hvis mn hr to vektorer eller to orienterede liniestykker definerer mn vinklen mellem vektorerne som den numerisk mindste drejning der fører den ene vektor eller orienterede liniestykke over i en vektor eller orienterede liniestykke der hr smme retning som den nden. Med denne definition er vinklen mellem to vektorer eller orienterede liniestykker ltid mellem 0 og Mn hr tidligere indført egreet retningsvinkel for en linie som en drejningsvinkel der fører.ksens positive retning over i en retning ensrettet med en hlvlinie l. Hvis v er en retningsvinkel for l kn smtlige retningsvinkler for linien skrives som: v + p 60 0 og v p 60 0 smlet v + p 80 0 hvor p er et helt tl. På figuren er indført et koordintsystem med to linier l og m med retningsvinkler u og v. Vi ønsker t finde vinklen w mellem l og m. På helt smme måde som for punkter på en linie gælder der en indskudssætning for retningsvinkler som også regnes med fortegn. Af figuren ses umiddelrt med pleringen f l og m: v = u + w => w = v - u Med rug f indskudssætningen gælder dette imidlertid ufhængigt f pleringen f l og m og ufhængigt f fortegnet og størrelsen f u og v. Mn kn nemlig sige t den drejning der fører l over i m estår f to drejninger: En på u som fører l over i x-ksen plus en drejning v som fører x-ksen over i m. I lt en drejning på w = u + v = v - u Vi kn ltid finde en vinkel mellem to vektorer eller orienterede liniestykker med retningsvinkler u og v som v - u. For t finde vinklen mellem de to vektorer som defineret ovenfor kn det være nødvendigt t skifte fortegn eller ddere et multiplum f Det er dog vigtigt for det følgende t notere sig t osv-u er uforndret ved sådnne opertioner. 7. Eksempel. Projektion f liniestykke på en orienteret linie. Ved projektionen f et punkt på en linie forstår mn nedfældning f den vinkelrette. Mn tegner konstruerer en stiplet linie gennem punktet P vinkelret på linien l. Projektionen P l f P på linien l er skæringspunktet mellem de to linier.

12 Vektorer i plnen 0 Projektionen f et liniestykke AB på en linie l er liniestykket A l B l som forinder projektionen f A og B på l. Hvis AB er vinkelret på l kn projektionen udrte til et punkt. Hvis mn indfører en orientering på linien l og lder v være drejningsvinklen mellem liniernes positive orienteringer fr l til AB så gælder der idet liniestykkerne regnes med fortegn: A l B l = AB os v. Bevis. Hvis vi prllelforskyder AB vinkelret på linien l så A ligger på l er projektionen f AB uforndret. Se figuren ovenfor. Hvis v < 90 0 ses det ud fr den retvinklede treknt A l B B l t A l B l = AB os v og dermed A l B l = AB os v. Hvis 90 0 < v < 80 0 vil der gælde: A l B l = AB os v. Idet A l B l = A l B l gælder som før: A l B l = AB os v. For et rudt liniestykke AC og CB som vist på figuren vil der gælde t summen f den med fortegn regnede projektion f AC og CB vil være lig med projektionen f AB. Hvis drejningsvinklerne til AC og CB egge er mindre end 90 0 eller egge er mellem 90 0 og 80 0 følger dette umiddelrt f figuren. I ndre tilfælde følger sætningen ved t nvende indskudssætningen for A l C l og B l som er projektionen f A C og B på l. Dette kn generliseres til følgende sætning: 7.4 Projektionen f en rudt linie på en linie er lig med projektionen f den linie som forinder den rudte linies endepunkter. 8. Sklrprodukt Resultterne fr eksempel 7. og 7. kn direkte overtges til t gælde for vektorer. Et orienteret liniestykke kn nemlig opfttes som en repræsentnt for en vektor så vinklen mellem to vektorer og for projektion f vektor på vektor hr smme etydning som for deres repræsentnter. Dette fører umiddelrt til sætningen: 8. Summen f projektionerne f to vektorer og på en vektor er lig med projektionen f sumvektoren +. Betegner vi projektionen f en vektor på med gælder der ltså. + = + Vi vil nu indføre sklrproduktet f to vektorer. En sklr etyder et tl i modsætning til en vektor. Vi indfører sklrproduktet geometrisk dvs. ufhængigt f et vlgt koordintsystem. Ved sklrproduktet mellem to egentlige vektorer forstår mn produktet f deres længder gnge osinus til vinklen imellem dem. Sklrproduktet med en nulvektor er nul. Skrlrproduktet skrives med en prik og det etegnes også som prikproduktet. 8. = os v hvor v = / er vinklen mellem og. Det er vigtigt t notere sig t os v er den med fortegn regnede projektion f en repræsentnt for på et liniestykke med smme orientering som. Tilsvrende er os v er den med fortegn regnede projektion f en repræsentnt for på et liniestykke med smme orientering som.

13 Vektorer i plnen For regning med sklrproduktet gælder der nogle vigtige sætninger. 8. Kommuttive lov Distriutive lov 8.6 k k k 8.7 o o 0 8. følger umiddelrt f definitionen idet: / = / og osv = os-v. 8.4 følger f : os0 Hvis vi sætter u = v = og w = så kn 8.5 vises ved følgende omskrivning: v u os os os os v u os w Vi hr her som tidligere med nd + etegnet de med fortegn regnede projektioner f en repræsentnt for og + på et liniestykke orienteret på smme måde som og nvendt sætning 7.4. Sætning 8.6 følger f t hvert f de udtryk kn opfttes som længden f gnge k gnge projektionen f på. 8.7 følger umiddelrt f definitionen f sklrproduktet smt nul-reglen for et produkt f tl idet os os 0 v o o v v Herf følger den vigtige sætning: To egentlige vektorer er ortogonle hvis og kun hvis deres sklrprodukt er 0. o o 0 Med regnereglerne for sklrproduktet gælder mnge f de regneregler vi kender for regning med reelle tl men hvor ddition er erstttet f vektorsum og multipliktion f sklrprodukt. For det første hr mn trdition for t sætte: =. Men det kn ikke nvendes på højere potenser nturligvis. Vi vil herefter vise kvdrtsætningerne ved nvendelse f regnereglerne

14 Vektorer i plnen + = + + = = Og på smme måde: + = = + - Helt tilsvrende får mn Endelig emærker vi t 8.9 Eksempel. - + = = = - = os v d osinus til en vinkel ltid er numerisk mindre end. Om to vektorer og gælder : = = og + = Bestem grdtllet mellem og. Vi finder først sklrproduktet ud fr oplysningerne. + = => + = 9 => + = 9 <=> + + = 9 <=> + + = 9 <=> = - os v 6 v Eksempel Vi vil evise sætningen t i en vilkårlig treknt skærer højderne hinnden i smme punkt. På figuren er vist en treknt ABC. Der er tegnet højderne fr A og B som skærer hinnden i punktet P. Endvidere er tegnet vektoren = Idet = PA og = PB gælder der Tilsvrende er BC = PC - AB = PB - PB = PC. Vi vil vise t AB. PA = og AC = PC - PA = Ifølge konstruktionen gælder: og hvorf følger = 0 og = 0 <=> = og = => = <=> - =0 <=> =0 <=> <=> AB Vi hr derfor t CP er højden fr C på AB gennem P så i en treknt går højderne gennem smme punkt.

15 Vektorer i plnen Bemærk t vi hr regnet eksempel 8.0 rent geometrisk uden nvendelse f koordintsystem. Vi vil nu vise hvorledes mn simpelt kn udlede osinus-reltionen uden nvendelse f koordintsystem. 8. Eksempel. Cosinus-reltionen. På figuren er vist en treknt ABC. Vi sætter = AB = AC og hermed = BC = AC AB = Det er klrt t trekntens sider hr længderne = = nd = -. Vi udregner d. = - = = + = + os A 8. = + os A Som er den velkendte osinus reltion for siden. 9. Projektion f vektor på vektor Vi hr tidligere vist t sklrproduktet = os v hvor v = kn fortolkes som gnge hvor er den med fortegn regnede projektion f en repræsentnt for på en linie som er ensrettet med. Gnger vi denne projektion med en enhedsvektor som er ensrettet med så finder vi projektionen f på. os v e Herf finder mn formlen for projektionen f en vektor på en vektor. 9. e For længden f projektionen får mn ved t tge længden på højre side f det første udtryk Sklrproduktet udtrykt i koordinter Vi indfører nu et koordintsystem O i j i plnen. D i og j er ortogonle enhedsvektorer gælder der 0. i = i i = j = j j = og i j = j i = 0

16 Vektorer i plnen 4 Ld og hve koordinterne og. Der gælder således: = i + j og = i + j Vi udregner nu sklrproduktet ved hjælp f regnereglerne for sklrprodukt og 0. = i + j i + j = i + i j + j i + j = + Vi hr d fundet følgende vigtige udtryk for sklrproduktet udtrykt i koordinter 0. = + 0. Eksempel Vi vil estemme et koordintudtryk for projektionen f Ifølge 9. gælder: For vinklen hr vi ifølge definitionen f sklrproduktet: på smt vinklen mellem de to vektorer os v v Eksempel. Additionsformlerne. Additionsformlerne er fællesnvnet for nogle formler til eregning f osu-v sinu-v osu+v og sinu+v. Ld e u = os u sin u og e v = os v sin v være to enhedsvektorer svrende til retningsvinklerne u og v. Vinklen imellem dem er på nær fortegn og et multiplum f 60 0 som lder osinus uforndret er u-v. Tger vi sklrproduktet f de to enhedsvektorer får vi ifølge definitionen: e u e v = e u e v osu-v = osu-v = osu-v Udregner vi derimod sklrproduktet i koordinter får mn e u e v = os u os v + sin u sin v Herf fås den første f dditionsformlerne 0.5 osu-v = os u os v + sin u sin v Ersttter vi v med v finder mn osu+v = os u os-v + sin u sin-v = os u os v - sin u sin v 0.6 osu+v = os u os v - sin u sin v Ersttter vi i 0.6 u med 90-u finder mn os90-u-v = os90 u os v sin90 u sin v

17 Vektorer i plnen 5 som giver 0.7 sinu-v = sin u os v os u sin v Og endelig hvis mn ersttter v med v i 0.7 får mn 0.8 sinu+v = sin u os v + os u sin v Det skl emærkes t dditionsformlerne ligesom osinusreltionen følger meget elegnt f vektoregning. Den geometriske udledning f dditionsformlerne er meget tungere. 0.9 Eksempel. Cosinus og sinus til den doelte og hlve vinkel. Hvis vi i 0.6 og 0.8 sætter u = v = x får mn reltionerne osx+x = osx = os x os x - sin x sin x = os x - sin x sinx+x = sinx = sin x os x + os x sin x = sin x os x Anvender mn grundreltionen os x + sin x = med omskrivningerne os x = - sin x <=> sin x = - os x på formlen for osx får mn følgende formler: 0.0 osx = os x - sin x = os x = - sin x 0. sinx = sin x os x + os x sin x = sin x os x Ersttter mn x med ½x i 0.0 får mn formler for os½x og sin½x. osx = os x => os x = os ½x Løses denne ligning med hensyn til os½x får mn: 0. x os x os Anvend plus når ½x ligger i. eller 4. kvdrnt ellers minus Tilsvrende får mn fr osx = - sin x 0. Eksempel x os x sin Anvend plus når ½x ligger i. eller. kvdrnt ellers minus De logritmiske formler for ddition f sinus og osinus. Ved t ddere de to dditionsformler 0.5 og 0.6 får mn osu-v + osu+v = os u os v + sin u sin v + os u os v - sin u sin v = os u os v. Indfører vi nu x = u-v og y = u+v og løser med hensyn til u og v får mn: u =½x + y og v = ½ x - y Indsættes dette ovenfor får mn den første f de logritmiske formler 0.4 x y xy os x os y os os Formlerne kldes for logritmiske fordi mn ersttter en ddition med en multipliktion. På helt tilsvrende vis får mn de øvrige logritmiske formler.

18 Vektorer i plnen x y xy os x os ysin sin x y xy sin x sin ysin os x y xy sin x sin yos sin. Tværvektor For en vilkårlig vektor definerer mn tværvektoren til som den vektor der fremkommer ved t dreje en vinkel 90 0 i positiv omløsretning. Af definitionen følger t Endvidere ses det t og 0 = 0 i = j j = - i Der gælder nogle små sætninger for regning med tværvektorer. k k og Af figuren nedenfor fremgår det t vektorerne k og vil være ensrettede eller modst rettede eftersom k og er det. Endvidere hr k og k smme længde idet Hvorf følger k k. k k k k k ^ ^ Idet og er vilkårlige vektorer etrgter vi treknt OAB hvor OA AB og OB. Ved en drejning på 90 0 omkring O føres A over i A B føres over i B. der gælder derfor: OA B og A OB. Idet OB = OA A B ses t der gælder

19 Vektorer i plnen 7 Tværvektoren til en sum f vektorer er lig med summen f tværvektorerne til de enkelte vektorer Ld en vilkårlig vektor i et koordintsystem O i j. i j. Ved nvendelse f regnereglerne for tværvektor finder mn i j i j i j j Herf ses t tværvektoren til hr koordinterne.. Eksempel I et koordintsystem er givet vektoren Bestem koordint sættet for.. Om en vektor oplyses t 4 nd 9 i Vi sætter som giver ˆ og opskriver derefter de to sklrprodukter i koordinter - = 4 og - - = 9 <=> - = 4 og + = -9 Ved t løse disse to ligninger mht. og får mn 5. Determinnt for et vektorpr For to vilkårlige vektorer og definerer mn determinnten det for vektorprret som. det = Hvis og og udregnes determinnten i koordinter finder mn det = = - + = -. det = - Ud fr koordintudtrykket ses t det = - det idet

20 Vektorer i plnen 8 det = - + = - - = - det Determinnten skrives ofte ved hjælp f et determinntsymol som er to lodrette streger hvor koordinterne oftest skrives på højknt.. det = Som en udregning viser kn koordinterne også skrives rækkevis. det = = = - For egentlige vektorer og gælder t er prllel med hvis og kun hvis determinnten f vektorprret er nul.. <=> det = 0 Dette følger f det = 0 0 Der gælder følgende geometriske sætning: For egentlige vektorer og gælder t det er relet f det prllelogrm som udspændes f og. Ld der være givet to egentlige vektorer og smt punkter O A og B således t OB. Vi minder om formlen for længden f projektionen f vektor på vektor. OA og

21 Vektorer i plnen 9 Formlen udtrykker t den numeriske værdi f sklrproduktet er lig med længden f den ene vektor gnge længden f projektionen f den nden vektor på den første. Anvender vi dette på determinnten f vektorprret får mn:.4 det ˆ ˆ er længden f og ˆ er længden f s projektion på. Som det fremgår f figuren ovenfor er ˆ netop højden i det prllelogrm som hr som det ene sæt prllelle sider og som det ndet. Dette gælder hvd enten ˆ er ensrettet med eller modst rettet. Herf følger:.4 det = Arelet f det prllelogrm der udspændes f og..5 Eksempel: Arelet f en treknt udspændt f to vektorer. Ld en treknt være givet ved punkterne A- B45 og C70. Arelet f treknten er hlvdelen f relet f det prllelogrm der udspændes f vektorerne AB og AC AB AC Arelet f treknten er derfor: 0 7 ½ 0 7 ½ det ½ AC AB T.6 Eksempel: Arelet f en treknt udtrykt ved koordinterne til A B og C.. Hvis: C B A er koordinterne til vinkelspidserne så er: AC AB og dermed: det AB AB T Mn definerer omløsretningen for vektorprret som positiv hvis den mindste drejning der fører over i er i den positive omløsretning.

22 Vektorer i plnen 0 Det ses endvidere på figuren t ' er ensrettet med når omløsretningen for vektorprret er positiv og ' er modst rettet når omløsretningen for vektorprret er negtiv. Herf ses t fortegnet for omløsretningen er den smme som fortegnet for determinnten det udtrykt ved sklrproduktet. Ved retningsvinklen for en vektor forstår mn retningsvinklen for en hlvlinie som er ensrettet osv med. Hvis P er retningspunkt på enhedsirklen for en vinkel v så gælder der: e OP. sin v osv En vektor med retningsvinkel v kn derfor skrives sin v Det er herefter muligt t opskrive et udtryk for det svrende til det vi kender for sklrproduktet. Sklrproduktet er ufhængig f vlget f koordintsystem så ved udregning f et sklrprodukt kn vi vælge koordintsystemet som vi ønsker. Vi vælger d. ksen så den er ensrettet med. Hvis vinklen mellem og er v er denne vinkel retningsvinkel for. Herf følger: osv og 0 sin v og hermed osv.6 det = sin v => det 0 sin v sin v.7 Eksempel. Sinusreltionerne. Ld os tænke os en treknt ABC udspændt f to vektorer CB og CA så svrer til siden til siden og den mellemliggende vinkel er C. Ifølge formlen ovenfor kn mn finde relet f treknten som T = ½ det = ½ sinc Helt tilsvrende får mn formlerne T = ½ sina og T = ½ sinb. Ved t sætte ½ sina = ½ sinb = ½ sinc og dividere igennem med ½ genfinder mn sinusreltionerne: sin A sin B sinc

23 Vektorer i plnen. Liniens ligning. Afstnd fr punkt til linie Ld en linie l i plnen være fstlgt ved et punkt P 0 x 0 y 0 og en normlvektor til linien n. Vi kn d udtrykke følgende: Punktet Pxy ligger på linien hvis og kun hvis vektorerne n og P P0 n P0 P = 0 er ortogonle ltså hvis x - x 0 + y - y 0 = 0 x + y x 0 - y 0 = 0. x + y + = 0 hvor vi hr st = -x 0 - y 0. Det emærkes t ligningen også er opfyldt når P = P 0 idet P P = o. 0 0 Afstnden d = distp l fr punktet P til linien l kn på smme måde findes ved t udtrykke t d er lig med længden f projektionen f vektoren P 0 på n. For projektionen f f en vektor på en vektor og for længden f denne projektion hr vi tidligere fundet de to udtryk. P. Herf fås: 4. d dist l P n P P og 0 x x0 y y0 n x y Det sidste udtryk svrer til det vi tidligere hr udledt i den nlytiske geometri uden rug f vektorer.

24 Vektorer i plnen 4.4 Eksempel: En linie l hr normlvektoren n = 4 og linien går gennem P-. Bestem en ligning for linien. Vi indsætter i x - x 0 + y - y 0 = 0 og får: x + + 4y = 0 <=> x + 4y = 0 Bestem fstnden fr linien til punktet A Ved indsættelse i 4 fås: d = 4 En linie hr retningsvektor r = - og går gennem -4. Bestem en ligning for linien. Tværvektoren til r vil være en normlvektor til linien. n =. Herf estemmes linien ligning som før x + 4 +y = 0 <=> x + y + 6 = 0 4. Liniers skæring. To lineære ligninger med to uekendte. Når mn skl løse to lineære ligninger med to uekendte skrives det i lmindelighed op på følgende måde: x + y = x + y = Dette kn opfttes som ligningen for to linier hvor C er flyttet over på den nden side f lighedstegnet. En løsning x y svrer til et koordintsæt der tilfredsstiller egge ligninger og som dermed er liniernes skæringspunkt. Ligningssystemet kn imidlertid også opfttes som en vektor der er skrevet som en linerkomintion f vektorerne og. Opfttet på denne måde får ligningssystemet udseendet:. x y Pointen er nu den t opfttet som en vektorligning kn ligningssystemet løses ved ren vektorregning. Multiplierer vi nemlig ligningen sklært med tværvektoren finder mn x y = 0 d de er ortogonle ifølge definitionen på tværvektor. Hvis 0 det 0 og ikke er prllelle så hr ligningssystemet netop en løsning y.. det y det

25 Vektorer i plnen På helt tilsvrende måde ved t multiplierer ligningen sklært med tværvektoren til. y x det det det det det det x det kldes for ligningssystemets determinnt. Hvis determinnten er forskellig fr 0 hr ligningssystemet netop løsning givet ved udtrykkene ovenfor. Opskrives løsningen ved hjælp f koordinter giver det x + y = x + y = Ligningssystemets determinnt etegnes D. D =. Hvis D 0 hr ligningssystemet netop en løsning: y x At løse to lineære ligninger med to uekendte på denne måde etegnes som determinntmetoden. Eksempel. To lineære ligninger med to uekendte Ld der være givet de to ligninger x -y =-4 -x +5y =7 Determinnten er D = så ligningssystemet hr netop en løsning: y x 5. Koordinttrnsformtioner Vi vil se på koordinttrnsformtioner ved rottioner i plnen. Nedenfor er vist to koordintsystemer med smme egyndelsespunkt men hvor det ene koordintsystem er drejet en vinkel i forhold til det ndet. Bsisvektorerne i de to koordintsystemer fremgår f figuren. y

26 y x Vektorer i plnen 4 j j i i x D i er en enhedsvektor med retningsvinkel hr den koordinterne i = os sin. j er tværvektoren til i så j = -sin os. Der gælder ltså: i os i sin j j sin i os j I det lmindelige koordintsystem hr punktet P og dermed stedvektoren mens P i det roterede koordintsystem hr koordinterne x y. OP koordinterne xy OP Indsættes udtrykkene for i til i og j finder mn: x i y j og OP x i y j og j i den sidste f ligningerne og smles leddene med hensyn x y x os y sin i x sin y os OP j Hvor vi smler x-koordinten og y koordinten. x x os y sin og y x sin y os Hvis ligningerne løses på sædvnligvis med hensyn til x og y får mn til slut de ønskede trnsformtionsformler 4. x x os y sin og y x sin y os Mn hr trdition for t skrive trnsformtionsformlerne på mtrixform. Førstekoordinten i søjlen til venstre får ved t gnge som ved et sklrprodukt første række i mtrien med søjlen til højre og sådn fremdeles. x os sin x 4. y sin os y

27 Vektorer i plnen 5 Indeks. Determinnt for et vektorpr...7 Additionsformlerne...4 relet f prllelogrm...8 ssoitiv... sisvektorer...6 Cosinus og sinus til den doelte og hlve vinkel...5 Cosinus-reltionen... determinntmetoden... differensvektoren... Drejningsvinkel...8 egentlig vektor... enhedsvektor... ensrettede vektorer... For multipliktion f vektor med tl regneregler...4 indskudsreglen... kommuttiv... koordinttrnsformtioner... Liniers skæring... Længde f vektor... medinernes skæringspunkt...8 normlvektor... nulvektor... opløsning f en vektor efter to givne retninger...5 ortogonle enhedsvektorer...6 ortogonle vektorer... prllelforskydning... pil... Projektion f liniestykke på linie....8 Projektion f vektor på vektor... repræsentnt... retningsvektor... rottioner i plnen... Skrlrprodukt...0 stedvektor...6 sumvektor... To lineære ligninger med to uekendte... trnsformtionsformlerne...4 trekntsuligheden... Tværvektor...6 vektor... Vektorers koordinter...6 Vektors længde...6