Du kan efter ønske opfatte integralet som et Riemann-integral eller et Lebesgue-integral (idet de to er identiske på C([a, b], C) jf. Theorem 11.8.

Transkript

1 Anlyse Øvelser Rsmus Sylvester Bryder. og 5. oktober 3 Supplerende opgve Ld C([, b], C) betegne rummet f lle kontinuerte funktioner f : [, b] C, hvor < b, og definér et indre produkt på C([, b], C) ved f, g b f(x)g(x) dx, f, g C([, b], C). Du kn efter ønske opftte integrlet som et Riemnn-integrl eller et Lebesgue-integrl (idet de to er identiske på C([, b], C) f. Theorem.8.) (i) Vis, t hvis f C([, b], C), så er f λ-næsten overlt hvis og kun hvis f (overlt). Det er klrt, t f overlt medfører t f λ-næsten overlt. Antg derfor, t f λ-n.o. og definér U {x [, b] f(x) }. D er U urbilledet f den åbne mængde C \ {} under f og dermed selv åben, idet f er kontinuert. Hvis der fndtes et punkt x [, b] således t f(x ), ville x U. D U er åben, ville der dermed findes en åben kugle K(x, r) U, hvor r >. Sættes v mx{, x r} og w min{b, x + r}, vil v < w (dette så vi i Supplerende opgve 3, uge 6), og (v, w) K(x, r), hvormed λ(u) λ((v, w)) w v >. Dette strider imod, t f vr lig λ-næsten overlt, således, t U må være tom, hvormed f overlt. (ii) Eftervis, t formlen ovenfor fktisk definerer et indre produkt på C([, b], C). (SP ) og (SP 3 ) er nemme: for f, g, h C([, b], C) og α, β C vil αf + βg, h og g, f b b (αf(x) + βg(x))h(x) dx α g(x)f(x) dx b b g(x)f(x) dx f(x)h(x) dx + β b b g(x)f(x) dx g(x)h(x) dx α f, h + β g, h b f(x)g(x) dx f, g. Altså er, ovenfor en sesquilineær form. Slutteligt skl vi tekke definithed (SP ); vi viser for f C([, b], C), t f, f og t f, f medfører f. Først og fremmest hr vi klrt, t f, f b f(x)f(x) dx idet f(x) for lle x [, b]. Hvis f, f, vil b b f(x) dx. f(x) dx, Eftersom x f(x) er Lebesgue-integrbel på [, b] og positiv, følger nu f Theorem.9 (i), t f(x) λ-næsten overlt. Altså må f(x) λ-næsten overlt, men d følger f (i), t f. Altså er, et indre produkt.

2 (iii) Beskriv normen på C([, b], C) der kommer fr det indre produkt,. Vi hr for f C([, b], C), t ( / b f f, f / f(x) dx), som netop er -normen f f i rummet L C ([, b], λ) (hvor f nturligvis er indeholdt). Bemærk for f, g C([, b], C), t f g λ-næsten overlt hvis og kun hvis f g overlt f. (i), således t [f] [g] i L C ([, b], λ) hvis og kun hvis f g. Inklusionen f [f] er derfor en inektiv lineær fbildning C([, b], C) L C ([, b], λ). Fktisk hr denne fbildning tæt billede i L C ([, b], λ) (dette vil vi dog ikke vise; men noget f beviset kommer f Supplerende opgve 5). Vis eventuelt de næste tre delopgver. Ld nu [, b] [, ]. Betrgt en følge (f n ) n C([, ], C), givet ved f n (x) for lle n og lle x [, ], f n (x) for x [, n+ ] og f n(x) for x [, ]. (iv) Vis, t f n f m N for lle n, m N. Konkludér, t (f n ) n er en Cuchy-følge. Ld N N og n, m N. Antg uden tb f generlitet, t n m. D hr vi, t n+ dermed m+ n+. Idet vi regner med Riemnn-integrler, får vi f n f m f n (x) f m (x) dx m+ m+ m+ m+ f n (x) f m (x) dx + f n (x) f m (x) dx + m+ dx + f n (x) f m (x) dx + m+ f n (x) f m (x) dx dx ( m + ) m + N. dx m+ og f n (x) f m (x) dx Ved trede lighedstegn benyttede vi, t f m (x) f n (x) for x [, ], smt f n(x) f m (x) for x [, m+ ] [, n+ ]. Endvidere vil f n(x), f m (x) [, ] for lle x [, ], så f n (x) f m (x) for lle x [, ], hvilket vi benyttede til uligheden. Altså hr vi vist det ønskede, hvormed vi konkluderer, t (f n ) n er en Cuchy-følge: for ε > kn vi tge N N så N > ε, hvormed f n f m N < ε for n, m N. (v) Ld g C([, ], C). Sæt U g (( 3, 3 )) og sæt V n [ n+, ]. Vis t for lle n. g f n 9 (λ(u) λ(v n)) Ld n N. Sæt W n [, ] [ ] n +,

3 og husk, t f n (x) for x [, n+ ] og f n(x) for x [, ]. Hvis x U W n, vil f n (x) {, } og 3 < g(x) < 3 ; vi konkluderer f dette, t g(x) f n(x) 3, hvormed g f n Vi hr nu, t g(x) f n (x) dx g(x) f n (x) dx U W n U W n 9 dx 9 λ(u W n). λ(u W n ) λ(u) + λ(w n ) λ(u W n ) λ(u) + ( λ(v n )) + λ(u W n ) λ(u) λ(v n ), hvilket giver det ønskede. (vi) Vis, t C([, ], C) ikke er et Hilbert-rum. (Benyt (v) og betrgt tilfældene U og U seprt.) Vi vil gerne komme frem til, t Cuchy-følgen (f n ) n ikke konvergerer imod nogen funktion g C([, ], C) i -normen, hvormed C([, ], C) ikke kn være fuldstændigt under denne norm. Antg derfor for modstrid, t f n g for et g C([, ], C), dvs. g f n. Idet vi lder U og V n være som i (v), hr vi, t λ(u) 9 g f n + λ(v n ). D følger, t λ(u). Bemærk nu, t U er åben, idet g er kontinuert. Hvis U vr ikke-tom, ville U indeholde et ikke-tomt intervl og dermed hve Lebesgue-mål strengt større end (som set i (i)), i modstrid med hvd vi hr fundet. Altså må U være tom, dvs. der gælder for lle x [, ], t g(x) / ( 3, 3 ). Bemærk nu, t g er nødt til t være reel. Jf. Corollry.8 findes en delfølge (f nk ) f (f n ) så f nk (x) g(x) næsten overlt på [, ]. Dermed vil g være reel næsten overlt, så Im(g) er lig næsten overlt. D Im(g) er kontinuert, idet g er kontinuert og z Im(z) er fstndsformindskende, vil f. (i) gælde, t Im(g) overlt, så g er reel. Idet g er reel og kontinuert, må U medføre enten t g(x) 3 for lle x [, ] eller t g(x) 3 for lle x [, ] (der kn ikke gælde t der findes punkter x, x [, ] så g(x ) 3 og g(x ) 3, idet dette ville betyde t g ville ntge lle værdier imellem 3 og 3 ). Hvis g 3 for lle x [, ], ville f n(x) g(x) f n (x) g(x) 3 3 for lle x [, ]. D ville g f n g(x) f n (x) dx g(x) f n (x) 4 dx 9 dx 9 grundet monotoni og diverse sætninger fr Kpitel 9, som Rsmus er for træt til t slå op. Dette strider imod, t g f n, så der må ltså gælde, t g 3. Dette medfører, t f n(x) g(x) g(x) 3 for n og x [, 6 ] (vi hr for n, t n+ 3 6, hvormed f n(x) for x [, 6 ]). Altså vil g f n g(x) f n (x) dx / /6 g(x) f n (x) dx / /6 4 9 dx 7, som igen strider imod, t g f n. Altså kn (f n ) n ikke konvergere under mod nogen funktion g C([, ], C), hvormed vi slutter, t C([, ], C) ikke er et Hilbert-rum. Supplerende opgve Verificér, t rummene l K (N), hvor K R eller K C, fr Exmple.5 (ii) er Hilbert-rum. Først og fremmest er l K (N), som vi fremover døber l, et vektorrum. For x (x n ) n, y (y n ) n l og λ K defineres x + y (x n + y n ) n og λx (λx n ) n. Det er klrt, t λx l, idet 3

4 x n < ; for N N definerer vi x (x,..., x N ), y (y,..., y N ) K N, hvorpå vi hr, t Idet x n + y n x n + y n + (x n y n + x n y n ) x l + y l + N (x n y n + x n y n ). (x n y n + y n x n ) x, y + y, x Re x, y x, y x K N y K N x l y l ved t benytte Cuchy-Schwrz ulighed på K N får vi derfor, t x n + y n x l + y l + x l y l ( x l + y l ) for lle N N. Derfor vil x + y l. Det indre produkt, : l l K givet ved x, y x n y n, x (x n ) n, y (y n ) n l er veldefineret. Vi hr netop for N N og x, y l, t vi ved t definere x ( x,..., x N ), y ( y,..., y N ) K N får x n y n x n y n x, y K N x y ( N ) / ( N ) / x n y n ( ) / ( ) / x n y n <, således t summen i det indre produkt er bsolut konvergent for x, y l, og tllet x, y dermed findes i K. Det er nu let t tekke, t, er et indre produkt: det er klrt lineært i første vribel, skævsymmetrisk, idet konugering er en kontinuert opertion, hvormed y, x y n x n lim N y n x n lim N Endvidere medfører x ligheden x for x l. y n x n lim N x n y n x n y n x, y. Slutteligt skl vi vise, t metrikken frembrgt f det indre produkt er fuldstændig. Ld derfor (x k ) k være en Cuchy-følge i l. Husk på t hver x k l er en følge i selv; vi skriver x k (x k n) n. For fst n og k, l N vil der gælde, t ( ) / x k n x l n x k n x l n x k x l. Dette medfører, t (x k n) k er en Cuchy-følge i K for lle n. D K selv er fuldstændigt, findes der x n K således t x k n x n for k. Vi betrgter nu følgen x (x n ) n som opnås på denne følge. Vi påstår, t () x l og () x k x i l. 4

5 For ε > lder vi nu M således t x k x l < ε for k, l M, hvilket er muligt idet (xk ) k er en Cuchy-følge. Specielt vil x k n x M n x k x M < ε 4 for lle N og k M. Hvis N er fst og vi lder k, får vi dermed, t Derfor vil x n x M n ε 4. x n x M n ε 4 <, hvorpå vi hr t y (x n x M n ) n l. Idet (x n ) n y + x M l, får vi nu, t x l. For k M vil vi slutteligt hve ( ) / x x k x x M + x M x k x n x M n + x M x k < ε + ε ε, således t x k x..4 Kommer normen på L ([, ], B[, ], λ [,] ) fr et indre produkt? Ne, desværre. Dette skyldes, t normen ikke opfylder prllelogrmloven: sæt for eksempel v(x) x og w(x) for x [, ]. D vil v + w x + dx og v w x dx smt v og w, men v + w.6 + v w ( ) + / ( ) x dx + ( x ) dx ( / 8 + ) 8 8, ( ) ( ( ) + ( ) ) ( v + w ) Ld V være et indre produkt-rum. Vis, t v w hvis og kun hvis Pythgors sætning v + w v + w gælder. Dette gælder ikke, medmindre V hr et reelt indre produkt. Bemærk generelt, t v + w v + w, v + w v, v + w + w, v + w v, v + v, w + w, v + w, w v + w + Re v, w for lle v, w V. Hvis v w, dvs. v, w, er det klrt, t Pythgors sætning gælder. Omvendt vil Pythgors sætning medføre, t Re v, w. Hvis det indre produkt er reelt, er det klrt, t v w. Som modeksempel til det generelle tilfælde kn vi betrgte v og w i i C med det indre produkt v, w vw. D vil v w og v + w, men v, w i. 5

6 . Vis, t g g, h, h H er kontinuert. For g, g H vil g, h g, h g g, h g g h f. Cuchy-Schwrz ulighed. Altså er fbildningen g g, h Lipschitz, og dermed kontinuert. Supplerende opgve 3 Ld H være et Hilbert-rum, og ld (e k ) k N være en ortonormlbsis for H. Ld x, y H og ntg, t for lle k N. (i) Beregn x, y og x, y. x, e k k, y, e k ( ) k k, D (e k ) k N er en ortonormlbsis, fås f Theorem.3, t og x x, e k k k k y y, e k k k k ( ) k k ( ) k 4 4 k således t x y 3. Slutteligt følger f smme sætning, t (ii) x, y x, e k y, e k k k k ( )k k k ( ) k k 3, ( ) k 4 3, k ( ) k For hvilke r > findes z H så for lle k N? z, e k k r Antg t der for r > findes z med ovenstående egenskb. D vil z z, e k k r k r. k D ovenstående række konvergerer, må der gælde, t r >, dvs. r >. Hvis vi omvendt hr, t r >, vil der gælde, t k k r k k <. D fås ved Theorem., t følgen r ( m k k r e k ) m N konvergerer imod et element z i H. Idet det indre produkt er kontinuert i begge k k 6

7 vrible, vil z, e k lim m k+m lim m m r e, e k r e, e k k+m lim r e, e k m k+m lim r e, e k m lim m k r k r, idet e, e k for k og e k, e k. Altså gælder det ønskede for r >. (Bemærk, t dette kn benyttes til t vise, t hvis k c k < og z k c ke k, vil z, e k c k for lle k N.) Supplerende opgve 4 Ld H være et Hilbert-rum, og ld y H, y, være givet. Vis, t mængden er et fsluttet underrum f H. Bestem M. M {x H x, y } Bemærk, t M {y}. D får vi f. Lemm.4, t M er et fsluttet underrum f H. D M {y}, vil M {y} : ({y} ). Bemærk først, t M {y} {y} er et underrum der indeholder y f. Lemm.4. Altså vil Cy M, hvor Cy er det fsluttede underrum {λy λ C} H. Bemærk nu, t hvis N N H er delmængder, vil N N (hvis x N, vil x, z for lle z N og specielt for lle z N, så x N ). Af dette får vi, t {y} (Cy) og dermed {y} (Cy). D Cy er et fsluttet underrum, vil M {y} (Cy) Cy Cy f. Corollry.6 (iii) (nden lighed gælder for vilkårlige underrum). Altså vil M Cy. (Mere generelt vil A være det mindste fsluttede underrum, der indeholder A.) Supplerende opgve 5 Betrgt målrummet ([, π], B([, π]), λ) og det tilhørende Hilbert-rum L C ([, π], λ). For hvert n Z lder vi e n : [, π] C være givet ved e n (t) π e int, t [, π]. Vis, t ([e n ]) n Z er et ortonormlt sæt i L C ([, π], λ). [Bemærkning: Det er et dybt resultt, som ikke vises i dette kursus, t ([e n ]) n Z fktisk er en ortonorml bsis for L C ([, π], λ).] Først og fremmest hr vi for n Z, t e n er kontinuert på [, π], dermed Riemnn-integrbel og f. Theorem.8 også Lebesgue-integrbel. Altså vil e n L C ([, π], λ). De følgende integrler kn betrgtes som både Riemnn- og Lebesgue-integrlerne; regnereglerne er ens. For n, m Z vil [e n ], [e m ] π e n (t)e m (t) dλ(t) π π 7 e int e imt dλ(t) π π e i(n m)t dλ(t).

8 Hvis n m, vil integrnden være lig, hvormed [e n ], [e m ] π λ([, π]). Hvis ikke, vil [e n ], [e m ] [ π i(n m) ei(n m)t ] π πi(n m) (( )(n m) e ). Altså er ([e n ]) n Z et ortonormlt sæt i L C ([, π], λ). Supplerende opgve 6 Betrgt vektorrummet C([, ], C) udstyret med det indre produkt πi(n m) (eπi(n m) e ) f, g f(x)g(x) dx, f, g C([, ], C), og med tilhørende norm f f, f /. Ld E være underrummet f C([, ], C) udspændt f funktionerne u (x) og u (x) x, x [, ]. Ld h C([, ], C) være givet ved h(x) x, x [, ]. Vi vælger i denne opgve t betrgte C([, ], C) som delrum f L ([, ]), idet de hr smme indre produkt. D kn vi med fordel benytte, t L ([, ]) er et Hilbert-rum og dermed vil resultterne fr Kpitel kunne bruges. (i) Find en ortonormlbsis for E. Vi benytter Grm-Schmidt-proceduren. Bemærk først, t u og u er lineært ufhængige. Sæt først e u u. D u, u, vil e (x) u (x) for lle x [, ]. Idet og u e kn vi sætte x dx u, e x dx, ( [ x ( dx x ) ) ] , e : u u, e e u u, e e (u e ), hvormed e (x) x 3. D vil {e, e } være en ortonormlbsis for E. (ii) Find, b C, som minimerer normen h u bu. Skitsér grfen for h og u + bu i smme koordintsystem. Bemærk først ved Theorem., t E er et fsluttet underrum. D E er fsluttet og konveks, følger f Proection theorem (.5), t proektionen P E h f h på E entydigt minimerer normen h x hvor x E (dvs. h P E h h x for lle x E), og eftersom ethvert x E er på formen x u + bu for, b C, vil P E h E ikke blot minimere normen, men også give os de ønskede, b C... såfremt vi kn finde dem. Og det kn vi! Jf. Theorem. vil P E h h, e e + h, e e. 8

9 Idet og vil h, e 5 h, e x dx [ 3 x3/ ] ( x 3/ 3x / ) dx [ 3 ] x 5/ x3/ 3 5, (P E h)(x) 3 e (x) e (x) ( x 3) x x for x [, ], således t de ønskede, b C er 4 5 og b 4 5. Nedenfor ses grferne for h og u +bu i smme koordintsystem. Bemærk, t relet mellem grferne over intervllet [, ] er meget småt; det er netop det som minimeringen f normen sørger for. (iii) Bestem h, h u bu og u + bu, hvor, b er som i spørgsmål (ii). Tkket være Pythgors sætning (Theorem. (ii)) behøver vi kun t finde to f de ovenstående. Først og fremmest vil h h, h x dx, således t h. Vi hr også f. Theorem. (i), t P E h u + bu, smt t P E h h, e + h, e , således t u + bu P E h Slutteligt følger f Pythgors, t hvormed h P E h h P E h , h u bu h P E h 5. Bemærk endvidere, t dette tl er særdeles småt; en fin indiktor for t proektionen hr minimeret normen i (ii). 9

10 (.6) Vis, t for H L (X, A, µ) og w H, t mængden M w {u H uw dµ } enten er {} eller et endimensionlt underrum i H. Sætter vi M w {u H u, w } { u H } uw dµ, ltså et endimen- vil Mw Cw f. Supplerende opgve 4, hvis ltså w, dvs. w. Her er Mw sionlt underrum. Hvis w, vil M w H, hvormed Mw H {}..7 Ld (e ) N være et ortonormlt sæt. (i) Vis, t ingen delfølge f (e ) N konvergerer. Dog vil lim e, h for lle h H. Hvis (e ) N konvergerede, ville det specielt være en Cuchy-følge. Vi hr dog for, k N med k, t e e k e, e e, e k e k, e + e k, e k +, således t e e k. Dermed kn (e ) ikke være Cuchy. For h H vil e, h h, e konvergere med sum mindre end h f. Bessels ulighed (Theorem. (iii)). D giver Divergenstesten, t leddene i summen går imod ; dvs. e, h for. Kontinuitet f kvdrtroden giver nu e, h og dermed e, h for, som ønsket. (ii) Vis, t Hilbert-kuben er fsluttet, begrænset og kompkt. Q : h H h c e, c, N Egentlig er det nok t vise, t Q er kompkt; i metriske rum er kompkte mængder fsluttede og begrænsede. Ikke desto mindre indgår fsluttet- og begrænsetheden f Q i beviset for t Q er kompkt, så vi viser disse. For enhver følge (c ) N med c og h c e hr vi, t f. Theorem. (v). Idet c h c, vil h π 6, hvilket viser, t Q er begrænset. Hvis vi endvidere hr en følge (h n ) n i Q, som konvergerer i H imod h, hr vi følger (c n) for hvert n med c n og h n c ne. Sæt nu c h, e. D vil c n h n, e h, e c, så c h, e lim h n, e lim n n c n. Det genstår nu t vise, t h c e. Ld ε >. D findes N N så h h n < ε for n N. Jf. Theorem. (i) vil k h c e k h h, e e k h c N e h h k N + h N c N e,

11 idet k c N e spn{e,..., e k } og vi benytter trekntsuligheden. Der findes nu N N så k h N c N e < ε for k N (idet h N c N e ). Altså hr vi for k N, t k h c e h h k N + h N c N e < ε + ε ε, hvormed h c e og h Q. Vi viser nu, t Q er kompkt (og nu bliver det tricky). Ld (h n ) n være en følge i Q; vi viser, t (h n ) hr en konvergent delfølge.. Definér c (n) h n, e, og bemærk, t c (n) for lle n. Altså er (c (n)) n N en begrænset følge i C. Jf. Heine-Borels sætning hr vi dermed, t denne hr en konvergent delfølge (c (n,k )) k N, hvis grænsepunkt vi klder c.. Idet c (n,k ) h n,k, e, får vi en konvergent delfølge (c (n,k )) k N f (c (n,k )) k N, hvis grænsepunkt i C vi klder c. Bemærk, t (n,k ) k N er en delfølge f (n,k ) k N. 3. Rekursivt hr vi for m hvor m, t c m (n m,k ) h nm,k, e m m, således t vi får en konvergent delfølge (c m (n m,k )) k N f (c m (n m,k )) k N, hvis grænsepunkt i C vi klder c m. Bemærk, t c m m, smt t (n m,k) k N er en delfølge f (n m,k ) k N. Mn skulle ikke tro det, men denne proces giver os fktisk mulighed for t konstruere et punkt i Q, som er grænsepunkt for en delfølge f (h n ) n. Bemærk nemlig først for m, t vi for k > m hr t n k,k indgår som følgeelement i (n k, ). Denne følge er en delfølge f (n k, ) og så videre og så videre op til (n m, ). Altså er c m (n k,k ) et følgeelement i (c m (n m, )). Fktisk er (c m (n k,k )) k>m også en delfølge. For k > m findes k så n k, n k,k og k + så n k, n k+,k+. D (n k, ) er en delfølge f (n k, ), hr vi, t n k, n k, for et. Spørgsmålet er så, om n k, n k+,k+ > n k,k n k,. Husk, t n k+,k+ > n k+,k. D der findes k så n k+,k n k, vil n k, n k,k, hvormed vi får det ønskede: t følgeelementerne i (n k, ) hørende til n k,k og n k+,k+ er plceret så den sidste f de to kommer efter den første. Ved t gå igennem delfølgerne op til (c m (n m, )), får vi t tllet hørende til n k,k er plceret strengt før tllet hørende til n k+,k+. Altså er (c m (n k,k )) k>m en delfølge f (c m (n m, )), og dermed må c m (n k,k ) c m for k. Af dette fås en delfølge (h nk,k ) k f (h n ) n så h nk,k, e m c m (n k,k ) c m for lle m. Vi definerer nu h m c me m ; dette element eksisterer i H ved Prsevls identitet og tilhører Q. Ld ε >. Tg N N således t mn+ 4 m < ε (idet m 4 m er konvergent). For m,..., N tges M m N så c m c m (n k,k ) < ε N for k M m. D hr vi for k mx{m,..., M N }, t t h h nk,k c m c m (n k,k ) m c m c m (n k,k ) + m m < ε, ε N + mn+ 4 m mn+ c m c m (n k,k ) idet c m c m (n k,k ) m for lle m. Altså vil h k,k h, så (h n ) n hr en konvergent delfølge.

12 (.) Ld (X, A, µ) være et målrum og (A ) N A være prvist disunkte mængder så X N A. Definér { } Y : u L (µ) u dµ, N. (i) Vis t Y Y k, hvis k. A c Bemærk først, t hvis u Y (vi skelner ikke mellem repræsentnter for ækvivlensklsser og ækvivlensklsser selv) for et N, vil u L (µ), hvormed A c u være målelig og integrbel. Jf. Theorem.9 fås nu, idet u Y, t A c u næsten overlt på X; ltså vil u(x) for næsten lle x A c, hvilket kn omskrives til, t A c u næsten overlt. Ld, k N med k og tg u Y smt u k Y k. Vi skl vise, t u u k. Idet A c u næsten overlt og A c k u k ditto, hr vi nu u, u k u u k dµ A u u k dµ + A c u u k dµ A u u k dµ. Idet A A c k, vil A u u k dµ A c k u u k dµ, således t u, u k, som ønsket. (iii) Find proektionen P : L (µ) Y. For u Y ved vi, t A c (x)u(x) næsten overlt. Altså må u A u næsten overlt (dvs. der gælder lighed i L (µ)), så et oplgt bud ville være, t proektionen er givet ved P (u) A u for u L (µ). First things first. Definér en fbildning F : L (µ) L (µ) ved F (u) A u. D er F klrt veldefineret, idet A u dµ u dµ < for lle u L (µ). Det tger ingen tid t se, t F er en lineær fbildning. For lle u L (µ) vil F (u) dµ c A A u dµ, A c så F (u) Y. Omvendt vil der for u Y gælde, t F (u) A u u i L (µ) som fundet ovenfor. Altså hr F billede lig Y, så Y er specielt et underrum. Endvidere er F kontinuert, idet F (u) F (v) A u A v dµ A u v dµ u v dµ u v for u, v L (µ). Dette medfører bl.. t Y er fsluttet; d u n u i L (µ) og (u n ) n er en følge i Y, vil u n F (u n ) F (u). Idet u n u, må u F (u) Y. Nu hr vi ltså vist, t Y er et fsluttet underrum smt t F er en lineær kontinuert fbildning med billede lig Y. Det lyder pænt meget som om F er den ønskede proektion; f. Corollry.6 er det eneste vi behøver t tekke, t F (u) Y og u F (u) Y for lle u L (µ); d må gælde grundet

13 entydighed, t P F. Vi ved llerede det første. For u L (µ) og v Y vil A v v næsten overlt, hvormed u F (u), v (u A u)v dµ A c u A v dµ. Altså følger, t P (u) A u for u L (µ). Blot for t opsummere: hvis E er et fsluttet underrum f et Hilbert-rum H og T : H H er en fbildning således t T (h) E og h T (h) E for lle h H, d er T P E. Dette følger direkte f Corollry.6 (ii), og det giver utomtisk, t T er lineær. Vi vr nødt til t vise en række ting om F ovenfor idet vi ikke vidste om Y vr et fsluttet underrum; dette fulgte f t (i) F vr lineær, (ii) F vr kontinuert, (iii) F (u) u for lle u Y og (iv) F (u) Y for lle u L (µ). (iii) og (iv) giver tilsmmen t F s billede er Y, således t (i) giver t Y er et underrum. (ii) og (iii) giver nu i fællesskb, t Y er fsluttet. 3