1 Løsning og mindste kvadraters løsninger af lineære ligningssystemer

Transkript

1 Løsg og mdste kadraters løsger af leære lggssystemer Def. Lære lggssystemer Et leært lggssystem er et system af m lgger ubekedte, hor dsse ka skres som: a a... a b a a... a b m m2 2 m m Dsse systemer ka også skres på matr form således: or løsgsmægde for systemer er de for hlket systemet er kosstet. s systemet ge løsger har, er løsgsmægde tom det sges at systemet er kosstet. eorem.2. [L] Et m homoget system af leære lgger har e kke-trel løsg hs A b m. Bes eorem.2. [L] Et homoget system er altd kosstet ( 0 er altd e løsg). REF forme af matrce har højst m kke-ul rækker. Dered er der også maksmalt m poter. Sde der er ubekedte og m så må der ære e eller flere fre arabler. De fre arabler ka derfor ble get arbtrære ærder og for eher ærd af de fre arable er der e løsg tl systemet. Def. Mdste kadrat Mdste kadrater er e metode bruger tl at lae et best ft af e ge mægde data, således at ma ka strukturere dsse som eksempels e ret lje eller oget tlsarede. Get et m leært lggssystem A b med m (oerdetermeret), så ka kke geerelt forete at fde et resdual: for hlket A b. Derfor hs b r b A m, så for ethert ka forme et Dstace mellem b og A er get ed: b A r or øsker at fde e ektor for hlket r l ære mmal. E ektor ˆ der gør dette sges at ære e mdste kadraters løsg tl systemet A b. Det følgede teorem garaterer at e såda tætteste ektor p kke blot ekssterer, me er uk:

2 eorem 5.3. [L] m Lad S ære et uderrum ogb m. Da er projektoe p af b på S uk og tættest påb. Altså: b y b p y S ^ y p m E ektor p S l desude ære tættest på e ektor b b p S Bes eorem 5.3. V ed at m S S m. V ka derfor skre b ukt som summe: b p z or p S og z S. Lad ys ^ y p, da gælder der (fra b trækkes p, ge lægges p tl og y trakkes fra): 2 2 b y b p p y Da b p z S og p y S ger Pythagoras lo (la eetuelt tegg): b y b p p y hor 2 py 0 da p y hlket ger 2 2 b y b p For at se at b p S hs p er ektore tættest på b, atag at qs ^ b q S, da er q p, og så følger samme argumet som oerståede (med y q) Proposto [N] 2 2 b q b p Systemet A A A b er kosstet, og z er e løsg tl dette system z er e mdste kadraters løsg tl A b. Bes Proposto Lad p P b Sø A Az p b Az Sø A b Az N A 0 A b Az A b A Az 0 A Az A b Det l sge z er e løsg tl hor p er mdste kadraters løsg tl A b. A Az A b Az p 2

3 eorem [N] Lad V ære et F ektorrum, lad,..., V,...,. Et elemet S ka og lad S spa udtrykkes etydgt som e leær kombato af,...,,..., er leært uafhægge. Bes eorem Da spa,..., ka skre a... a med a,..., a F. Lad os atage at også ka skres som b... b. Så er 0 a... a b... b a b... a b s,..., er leært uafhægge l lgge 0 c... c c 0,..., c. Dette l sge at a b 0 a b så ka skres ukt som e leær kombato af,...,. s,..., er leært afhæge l lgge 0 c... c hae e kke-trel løsg c,..., c så 0 c... c og får at 0 a... a c... c... a c a c or a c a for et eller adet,...,. Så ka kke skres ukt hs,..., er leært afhægge. 3

4 2 Vektorrum og uderrum Def. Uderum Et kke-tomt delmægde S af et F ektorum V kaldes et uderum hs: (tlsamme kaldet lukkethedsegeskaber) C: y S, af : ay S (skalamultplkato) C2: y, ws : y w S (ekteraddto) Def. Lear trasformato Lad VW, ære F ektorum. E leær trasformato L : V W er e afbldg som respekterer leære strukturer, det l sge følgede er opfyldt:, V, a, a F : L a a a L a L Def. Ker Lad L : V W ære e lear trasformato. Kere af L er da Ker L V L 0 W Def. Bllede Lad L : V W ære e lear trasformato, lad S V ære et uderrum, da er blledemægde L S ww w L, S eorem 4.. [L] s L : V W er e leær trasformato og S et uderrum afv. Så er. Ker L et uderrum af V 2. LS et uderrum af W Bes teorem 4.. For : Ker L er e kke-tom mægde da 0 V C (skalarmultplkato): Lad Ker V, a C2 (ektoradto):, w Ker L er da et uderum. V og 0 L0. W V F, da gælder La al a0w 0w Ker L Ker L, da gælder L w L Lw Ker L W W W 4

5 For 2: LS er kke-tom da 0W L0V LS. C: Lad af, w L for et S, da gælder aw al La. Da a S så La LS C2: Lad w L, w L, S, da gælder w w L L L for et S så L 2 LS LS er da et uderrum. Def. Spa Lad V ære et F ektorrum,,..., V udspæder V ( V spa ektor V ka skres som e lear kombato af,..., V eorem 3.4. [L] og da 2 2 2,..., ) hs og ku hs eher s spa,..., V, så er ethert sæt af m ektorer tlhørede V ære leært afhægge. Bes teorem 3.4. Det mulgt at opskre u for,..., m som e lear kombato af,...,. For e ektor V u a j j j, da ka skres som e lear kombato af u. u... mum m m u a j j j m a j j j m Lad os prøe at løse det homogee lggssystem a j 0. Dette er et lggssystem med m j arable (ubekedte) og lgger. Da m er der flere ubekedte ed der er lgger. Da ekssterer der e kke-trel løsg,..., c c c m. Dette betyder at følgede gælder m c u... c u c u 0 0 m m j j Dered er u,..., u m leært afhægge. 5

7 3 Leær uafhægghed Def. Leær uafhægghed Lad V ære et F ektorrum, og lad,..., V Et sæt,..., af ektorer er leært uafhægge c... c 0 c 0,..., c 0 s der fdes e kke-trel løsg tl lggssystemet kaldes,..., afhægge og e af ektorere ka skres som e learkombato af de adre. Def. Spa Lad V ære et F ektorrum,,..., V udspæder V ( V spa ektor V ka skres som e lear kombato af,..., V eorem 3.3. [L] og lad X,..., Lad,...,. Så gælder der,..., ) hs og ku hs eher X er sgulær,..., er leært afhægge Bes eorem 3.3. V har e lgg c... c 0 Der ka skres på matrform: Xc 0 V ed at hs X er ertbel, så har lgge Xc 0 ku løsge c 0, da Xc 0 X Xc X 0 c 0. V ed også at hs lgge Xc 0 ku har løsge c 0 så er X ertbel. (Sætg.4.8 [N]) 7

8 eorem 3.4. [L] s spa,..., V, så er ethert sæt af m ektorer tlhørede V ære leært afhægge. Bes teorem 3.4. Det mulgt at opskre u for,..., m som e lear kombato af,...,. For e ektor V u a j j j, da ka skres som e lear kombato af u. u... mum m m u a j j j m a j j j m Lad os prøe at løse det homogee lggssystem a j 0. Dette er et lggssystem med m j arable (ubekedte) og lgger. Da m er der flere ubekedte ed der er lgger. Da ekssterer der e kke-trel løsg,..., c c c m. Dette betyder at følgede gælder m c u... c u c u 0 0 m m j j Dered er u,..., u m leært afhægge. 8

10 4 Bass for ektorrum; koordatserg Def. Ordet bass Lad V ære et F ektorrum, og lad,..., V,..., er e ordet bass for V hs.,..., er leært uafhægge 2.,..., udspæder V Normalt er rækkefølge rreleat, me sse tlfælde ka det ære ødedgt at hae dem ordet (lket det bl.a. er for koordatserg) eorem 3..3 [N] Lad V ære et F ektorrum, e bass deholdt,..., V 0, som er udspædt af edelg mage ektorer,...,. Da har V Bes eorem 3..3 [N] Idukto. Altså dukto atallet af ektorer de udspædede mægde. Bass : V ed at for V. V 0 og at V spa, derfor er 0 så Iduktoshypotese V atager at udsaget gælder for et ektorrum udspædt af ektorer. Iduktosskrdt V l gere se at det gælder for et ektorrum udspædt af ektorer. Lad V spa,...,. er leært uafhægge, så er s,...,,..., e bass for V. er leært uafhægge og derfor e bass s,..., er leært afhægge, så ka é af dem skres som e leærkombato af de adre. Efter omummererg ka atage at c... c duktoshypotese har V e bass deholdt,...,. I begge tlfælde har V e bass deholdt,...,. Def. Koordatserg Lad V spa,..., og følge. Me så er,..., ære e ordet bass for V. Lad V ; ka skres etydgt som e leær kombato af,...,, c... c. 0

11 c Der fdes således et etydgt elemet... F, som ager koordatere for mht. V. Dette kaldes c koordatektore for mht. V og skrer Lemma [N] Koordatserg bearer leær struktur, ds:. w w 2. r r c... c Bes Lemma : Lad w,, skr c... c, w d... d. w c d c d og så gælder der Da er... c d c d c d c d w w 2: Lad, skr c... c da er r rc... rc og rc c rc c r... r... r Proposto [N] Lad U u,..., u, V,..., Lad b b ære to ordede baser for et F ektorrum W. K Mat, Der gælder. K er ertbel F ære get ed søjleform som 2. ww : w K w Vb Ub u u... Vb Vb 3. K er de etydge matr Mat F således at, 2 gælder.

12 Bes Proposto : Atag at K... 0 så V b... u 0 u... u u VB Idet at koordatserg bearer leær struktur. Så u... u 0 og da u,..., u er leært uafhægge, er de eeste løsg tl K 0 løsge 0. Da 0 er de este løsg er K ertbel. 2: V udtrykker u som e leær kombato af,..., Vb u k... k hor k... k u Vb som er de te søjle K Skr w cu... cu så w U b c... c V dsætter u c k... c k... c k... c k w c k k c k k så kc... k c w Kc K w Vb k c... kc Ub 2

13 3: Atag at w K ' w for alle w W Vb Ub Dette gælder specelt for u for,..., ' te søjle K u K ' u K ' e ì ' te søjle K ' K og K ' har altså samme søjler og derfor er Note for bes: u e ' te plads Ub V b Ub K' K da u udtrykket s ege base er u

14 5 Matrcer og leære trasformatoer Def. Lear trasformato Lad VW, ære F ektorrum. E leær trasformato L : V W er e afbldg som respekterer leære strukturer, det l sge følgede er opfyldt: Sætg 4.2. [N] Lad L :, V, a, a F : L a a a L a L m F F ære e leær trasformato. Defer M LMat m, Så er L M L for alle Bes Sætg 4.2. Lad F. M L L e,..., L e F, ka da skres som... F ed ML er de etydge matr med dee egeskab. e e. V bereger der leær trasformato på dee... Le... Le L L e e Le,..., Le... M L Atag at der u fdes e ade matr M ' LMat F med ' Søjlere ML og dee egeskab. m, ì ' tesøjle M L Le M ' Le ì ' tesøjle M ' L M ' L er es, og da er M ' L M L. L M L. Så gælder der at M L er da de etydge matr med 4

15 Dagram V l gere se at dette dagram kommuterer: Sætg [N] Lad, VW ære F ektorrum. Lad V og W w w b,.., Lad L : V W ære e lear trasformato. Defer Så er L M L egeskab. for alle V Wb Wb, Vb Vb MW, V L L,..., L W b b b Wb, og at M b,..., ære ordede baser for V og W. Wb, Vb Bes Sætg Lad V så ka skres som... og dered er L er de etydge matr med dee V b... La u de leære trasformato på. Lad os u se på koordatserge af dee... L... L L L... L L L W b Wb... L L W b Wb L,..., L... W b Wb M L Wb, Vb Vb 5

16 Lad os u atage der fdes e ade matr M ' LMat F hor L M ' L Dette gælder specelt for,..., så Wb, Vb m, Wb Wb, Vb Vb ì ' te søjle M L, L M ', L M ', L e ì ' te søjle M ', L W V W V W V W V Så søjlere M Wb, Vb b b W b b V b b b b b b M L og M' L er es og derfor er M ' L M L Wb, Vb Wb, Vb L de etydge matr med dee egeskab. Def. Ker Lad L : V W ære e lear trasformato. Kere af L er da Ker L V L 0 W Wb, Vb Wb, Vb. Derfor er Def. Bllede Lad L : V W ære e lear trasformato, lad S V ære et uderrum, da er blledemægde L S ww w L, S eorem 4.. [L] s L : V W er e leær trasformato og S et uderrum afv. Så er 3. Ker L et uderrum af V 4. LS et uderrum af W Bes teorem 4.. For : Ker L er e kke-tom mægde da 0 V C (skalarmultplkato): Lad Ker V, a C2 (ektoradto):, w Ker L er da et uderum. V og 0 L0. W V F, da gælder La al a0w 0w Ker L Ker L, da gælder L w L Lw Ker L W W W For 2: LS er kke-tom da 0W L0V LS. C: Lad af, w L for et S, da gælder aw al La. Da a S så La LS C2: Lad w L, w L, S, da gælder w w L L L for et S så L 2 LS LS er da et uderrum. og da

17 6 Determater Def. Determat l eher For e For e matr er det mulgt at assocere e skalar det A a. matr er matr er A a A a A det... med de te række og j te søjle slettet. A j kaldes kofaktor for A og det A. hor j Aj det Mj M j kaldes morer af A Det er lgegyldgt om hlke række eller søjle udkler fra eorem 2..2 [L] F, da gælder at det A det A Lad A Mat, Bes eorem 2..2 Dette er et duktosbes oer Bass : Dette gælder tralt da A A det A det A Iduktoshypotese: V atager at det gælder for alle kk matrcer. Iduktosskrdt: V skal se det gælder for alle k k matrcer. Lad AMat kk, F da er og M j er matrce A A a M a M a M det det det... det 2 2 er er alle M matrcer kk og ka bruge duktoshypotese: j A a M a2 M2 a M det det det... det Da a det M a2 det M2... a det M blot er det det A det A A udklet efter første søjle: 7

18 eorem [L] F er sgulær A A Mat, det 0 Bes eorem Det er mulgt at rækkereducere A tl RREF ed edelgt mage rækkeoperatoer, så V tager u determate på begge sder Da det 0 A E... k E A Ek E A det E...det E det A det det... E for,..., k ford E er e elemetær rækkeoperato, så gælder der at k det 0 det 0. s A er sgulær så l hae e ul-række og ka udkle lags dee og få det 0. s A er ertbel så l I og da er eorem 2.3. [L] (Cramers regel) Lad AMat, F ære ertbel og lad bf. Lad søjle A med b. De etydge løsg ˆ tl systemet A Bes eorem 2.3. A b er de etydge løsg tl A Og for,..., det A ˆ,,..., det A b. Så har det. A ære matrce der fås ed erstatte de te b er get ed; ˆ A b adj A b det A ' te række adj Ab det A det det det A b A... A b A A 8

19 7 Egeærder og egeektorer Def. Egeærd og egeektor Lad AMat F F er e egeærd for A hs der fdes F \ 0,, A kaldes da for e egeektore tl A assoceret tl. Def. Egerum Ved omskrg af deftoe oefor får Løsgsrummet N A I egeektorer tl e ge egeærd. Def. Smlartet Lad B A B AI 0 kaldes for egerummet tl matrce A. Egerummet består af alle Mat F. B sges at ære smlar tl A hs der ekssterer e matr,, S AS eorem 6.. [L] Lad A, BMat, F ære smlare. Da er pa pb Bes eorem 6.. Da A og B er smlare ka B skres som Lad os berege pb B B S AS. det p B I det det det det det det p A S AS I S A I S S det A I S S det A I I det A I AI, så S Mat, F så: 9

20 Def. Dagoalserbar F. A er dagoalserbar hs der ekssterer e ertbel matr Lad A Mat, V Mat, F så or D er dagoal. eorem [L] Lad A Mat, D V AV F. A er dagoalserbar A har lear uafhægge egeektorer Bes eorem Lad,..., ære lear uafhægge egeektorer tl A med tlhørede egeærd. Lad X,..., da er AX A,..., A,...,,..., XD Da X har leært uafhægge søjleektorer, så er X ertbel. Så A er altså dagoalserbar. A er u dagoalserbar og derfor AX XD X AX X XD X AX D X AX D XX AX XD AX XD d X,...,, D d Lad så d XD d d d,...,,..., 20

21 Da AX XD ( ka gage med e på begge sder for at plle første søjle ud) må d,..., d må ære egeærder for A med tlhørede egeektorer,...,. Ford X er ertbel er,..., lear uafhægge. 2

22 8 Dagoalserg Def. Egeærd og egeektor Lad AMat F F er e egeærd for A hs der fdes F \ 0,, A kaldes da for e egeektore tl A assoceret tl. Def. Dagoalserbar F. A er dagoalserbar hs der ekssterer e ertbel matr Lad A Mat,, så V Mat, F så or D er dagoal. eorem [L] Lad A Mat, D V AV F. A er dagoalserbar A har lear uafhægge egeektorer Bes eorem Lad,..., ære lear uafhægge egeektorer tl A med tlhørede egeærd. Lad X,..., da er AX A,..., A,...,,..., XD Da X har leært uafhægge søjleektorer, så er X ertbel. Så A er altså dagoalserbar. A er u dagoalserbar og derfor AX XD X AX X XD X AX D X AX D XX AX XD AX XD 22

23 d X,...,, D d Lad så Da AX d XD d d d,...,,..., XD ( ka gage med e på begge sder for at plle første søjle ud) må d,..., d må ære egeærder for A med tlhørede egeektorer,...,. Ford X er ertbel er,..., lear uafhægge. Def. Utær U Mat, er utær, hs søjlere U udgør e ortoormalbass for E matr. Def. ermtsk matr A Mat, er hermte sk hs E matr eorem..9 [N] (Schurs teorem) A A A Lad. Der fdes e utær matr A Mat, Bes eorem..9 Beser er ed dukto oer. Bass relt det alle matrcer er øretragulære. Iduktoshypotese U Mat, så Mat. V atager at udsaget gælder for alle matrcer Iduktosskrdt A Mat, Lad, U AU er e øretrekatsmatr. og lad ære e egeærd for A, med tlsarede egeektor. V ka arragere at. ka uddes tl e bass for dee bass, får e ortoormalbass,..., for Lad U Mat,,...,. U er da utær ed kostrukto. V har da ( pller først søjle af U AU ud) U AU e U A U U U e e., og ed at aede Gram-schmdt på V ka altså skre 23

24 U AU 0 r A or 0 er e søjleektor og r er e rækkeektor med dgage. C Mat, så Ifølge duktoshypotese så ekssterer der e matr øretrekatsmtr. Defer u U C C AC er øre e Matrce U 2 er utær da de sdste søjler udgør e ortoormal mægde, og her for sg er ortogoale på de første søjle, som er e ehedsektor. Så er produktet U UU 2også utær. V l se at U AU er øre-tragulær. Da blokstørelsere matrcere er es ka bruge blok matr multplkato. U AU U U AU U C 0 A 0 C 0 C A 0 C 0 r 0 r rc C AC rc B Dee matr er øre tragulær da B (fra duktoshypotese) er det. 24

25 eorem..0 [N] (Spektralsætg for hermte ske matrcer) Lad A Mat, så U Mat, ære hermte sk. Så ka A dagoalseres, ds der fdes e utær matr Er dagoal med reelle dagoaldgage. Bes eorem..0 U AU U Mat, så Ifølge Schurs sætg fdes der e utær matr øretrekatsmatr. er hermte sk da: Me U AU U U A U AU U AU er e t t t, t t t Da må t, j 0 for j og da t, t, må t, ære reel. er da e dagoalmatr med reelle dgage. 25

26 9 Idre produkt Def. Idre produkt Et dre produkt på et reelt ektorrum V er e fukto, :VV, således at for alle, y, z V, a, b :., 0 med lghed 0 2., y y, 3. a by, z a, z b y, z Def. Norm og ortogoaltet Lad V ære et ektorrum med dre produkt,. Norme, også kaldt lægde af V er da deferet tl, y V er ortogoale hs, eorem 6..4 [N] (Pythagoras) y, 0 Lad V ære et reelt ektorrum med dre produkt,, og lad u, V ære ortogoale. Da gælder u u Bes eorem 6..4 V bereger 2 u ed brug af dre produkt, : 2 u u, u u, u, 2 u, u, u, u u, forsder da u. 26

27 Def. Vektorprojekto Lad V ære et reelt ektorrum med dre produkt,, og lad u, V med 0 så er p u,, Vektorprojektoe af u på. jælpelemma 6..6 [N] (ge bes) Lad V ære et reelt ektorrum med dre produkt,, og lad u, V med 0 og lad p ære ektorprojektoe af u på.. u p, er ortogoale 2. u p u er et skalarmultplum af eorem 6..7 [N] (Cauchy-Schwarz ulghede) Lad V ære et reelt ektorrum med dre produkt,, og lad u, V. Da gælder u, u Og lghed gælder hs, og ku hs, u, er leært afhægge. Bes eorem 6..7 s 0, da er u, 0 u og u, er klart leært afhægge. s 0, så lad p ære ektorprojektoe af u på. u p, er da ortogoale (følge lemma 6..6) og derfor er u p, p det også. Pythagoras ger da: u u p p lket ger at hs ma løser forhold tl 2 p og dsætter deftoe af p 2 Som ka løses forhold tl u, : u u p p u, 2 2 u, 2 u 2 2 u p 2 2 u 2 2 lket da ger u, u 27

28 Lghed gælder hs, og ku hs V, og derfor leært afhægge. 2 u p 0 u p. Lemma 6..6 sger at så er u et skalarmultplum af 28

29 0 Ortogoalkomplemet og projekto Def. Ortogoalkomplemet Lad Y ære et uderrum Y y 0y Y Kaldes ortogoalkomplemetet tl Y. jælpelemma 5..6 [N] A Mat, så er N A Sø A eorem [N] Lad S ære et uderrum. Da er S også et uderrum med dms dms Bes eorem s S 0, så er s S, lad,..., R S S og dm S dm s 0. 0 r ære e bass for S. Lad X,..., r. Da er S Sø X Sø X Lemma 5..6 sger da at S Sø X N X proposto 2..8). Dmesoe udreges: dm. N X atal søjler X rak X rak X r dm S. Derfor må N X er et uderrum (følge 29

30 eorem [N] s S e bass for 0, S, og,..., r er e bass for S og,..., r er e bass for S, så er,...,. Bes eorem Ifølge sætg 3..4 er det ok at se at,..., er uafhægge. Atag at c... c c... c 0 r r r r Lad da y c... cr r, z cr r... c. Så y S, z S. Så har y z 0 y z y, z S S 0 Dette betyder altså at: For y : c... cr r 0 c 0,..., cr 0 For w : cr r... c 0 cr 0,..., c 0 lsamme ger dette: c... cr r cr r... c 0 c 0,..., c 0 og dered er,..., uafhægge. 30

31 eorem [L] Lad S ære et uderrum af et dreproduktrum V med dre produkt,. Lad,..., ære e ortoormalbass for S og lad V. s or p c c, Så p S. Bes eorem [Ædret ldt] V l gere se at p, y 0 y S Lad y a... a da: p, y p, a... a p, a j j j j j j 0 a p, a p,, a c, c a c, c a c c 3

32 Ortogoale og ortoormale baser Def. Ortogoal mægde Lad V ære et dre-produkt rum. Lad mægde.,..., \ 0 V. s, 0, j er,..., e ortogoal j eorem 5.5. [L] Lad V ære et dre-produkt rum. Lad,..., V ære e ortogoal mægde, så er,..., leært uafhægge. Bes eorem 5.5. Atag at c... c 0 For j,..., tag det dre produkt på begge sder af udregge Da, 0 år j fås j c,..., 0 j c j c c, 0 j j j j j 2 0 Da er e del af e ortogoal mægde er 0, hlket medfører at j,..., er dered leært uafhægge. j 2 0. Dered må c 0 og j j Def. Bass Lad V ære et F ektorrum, og lad,..., V,..., er e bass hs.,..., er leært uafhægge 2.,..., udspæder V Def. Ortoormal mægde E ortogoal mægde u u er ortoormal u, u hor j j j 0 j j 32

33 eorem 5.6. [L] (Gram-Schmdt processe) Lad V ære et dre-produktrum med dre produkt,. Lad,..., ære e bass for V. Defer Og defer u,..., 2 u rekurst ed u p k k k k pk or for k,..., Altså de ortogoale projekto af k Da er,..., k u p, u u..., u u k k k k k spa u u. på k u u e ortoormal bass for ortoormal bass for V. Bes eorem 5.6. Lad S spa k Idukto k : Bass k :,..., k for k,...,. spa,..., k for k,..., Det er klart at u er e ehedsektor med samme retg som Iduktoshypotese: Atag at,..., k Iduktosskrdt: Lad u u er e ortoormal bass for p k ære projektoe af k Da k k og p på S spa u u k u,..., u e. Specelt er spa u spa S. og at spa,..., k Sk for k,..., k. Sætg ger da p, u u..., u u k k k k k S ka de skres som e lear kombato af,..., k. p c... c k k k k pk k c... ck k 0 33

34 Da højresde er e kke-trel ( c' er er kke alle 0) learkombato af,..., k. Desude er p spa,..., S k k k k Ifølge sætg så er k p k S og dered er k k pk u for,..., k. Lad u uk k pk. Så er u,..., uk e ortoormal mægde og er deholdt Sk. p k k Da u,..., uk er k uafhægge elemeter rummet Sk af dmeso k udgør de e bass, og u,..., uk er e ortoormal bass for k S. Iduktosskrdtet er taget og resultatet dermed best. 34

35 2 Ortogoale og utære matrcer Def. Ortoormalt mægde E ortogoal mægde u u er ortoormal u, u hor j j j 0 j j Def. Ortogoalmatr Q Mat, er e ortogoalmatr hs søjlere Q udgør e ortoormalbass for E matr eorem [L] Q Mat, er e ortogoalmatr Q Q I Bes eorem Lad os berege QQ,j te dgag. Q Q q q j q, q j j j 0 j j Q Mat, Derfor gælder det at er e ortogoalmatr Q Q I. Def. Utær U Mat, er utær, hs søjlere U udgør e ortoormalbass for E matr. Def. ermtsk matr A Mat, er hermte sk hs E matr eorem..9 [N] (Schurs teorem) A A A Lad. Der fdes e utær matr A Mat, Bes eorem..9 Beser er ed dukto oer. Bass relt det alle matrcer er øretragulære. Iduktoshypotese U Mat, så Mat. V atager at udsaget gælder for alle matrcer, U AU er e øretrekatsmatr. 35

36 Iduktosskrdt A Mat, og lad ære e egeærd for A, med tlsarede egeektor. Lad V ka arragere at. ka uddes tl e bass for dee bass, får e ortoormalbass,..., for Lad U Mat,,...,. U er da utær ed kostrukto. V har da ( pller først søjle af U AU ud) V ka altså skre U AU e U A U U U e e., og ed at aede Gram-schmdt på U AU 0 r A or 0 er e søjleektor og r er e rækkeektor med dgage. C Mat, så Ifølge duktoshypotese så ekssterer der e matr øretrekatsmtr. Defer u U C C AC er øre e Matrce U 2 er utær da de sdste søjler udgør e ortoormal mægde, og her for sg er ortogoale på de første søjle, som er e ehedsektor. Så er produktet U UU 2også utær. V l se at U AU er øre-tragulær. Da blokstørelsere matrcere er es ka bruge blok matr multplkato. U AU U U AU U C 0 A 0 C 0 C A 0 C 0 r 0 r rc C AC rc B Dee matr er øre tragulær da B (fra duktoshypotese) er det. 36

37 eorem..0 [N] (Spektralsætg for hermte ske matrcer) Lad A Mat, så U Mat, ære hermte sk. Så ka A dagoalseres, ds der fdes e utær matr Er dagoal med reelle dagoaldgage. Bes eorem..0 U AU U Mat, så Ifølge Schurs sætg fdes der e utær matr øretrekatsmatr. er hermte sk da: Me U AU U U A U AU U AU er e t t t, t t t Da må t, j 0 for j og da t, t, må t, ære reel. er da e dagoalmatr med reelle dgage. 37

38 3 Utær dagoalserg Def. Utær U Mat, er utær, hs søjlere U udgør e ortoormalbass for E matr. Def. ermtsk matr A Mat, er hermte sk hs E matr eorem..9 [N] (Schurs teorem) A A A Lad. Der fdes e utær matr A Mat, Bes eorem..9 Beser er ed dukto oer. Bass relt det alle matrcer er øretragulære. Iduktoshypotese U Mat, så Mat. V atager at udsaget gælder for alle matrcer Iduktosskrdt A Mat, Lad, U AU er e øretrekatsmatr. og lad ære e egeærd for A, med tlsarede egeektor. V ka arragere at. ka uddes tl e bass for dee bass, får e ortoormalbass,..., for Lad U Mat,,...,. U er da utær ed kostrukto. V har da ( pller først søjle af U AU ud) U AU e U A U U U e e., og ed at aede Gram-schmdt på V ka altså skre U AU 0 r A or 0 er e søjleektor og r er e rækkeektor med dgage. C Mat, så Ifølge duktoshypotese så ekssterer der e matr øretrekatsmatr. Defer u U C C AC er øre e 38

39 Matrce U 2 er utær da de sdste søjler udgør e ortoormal mægde, og her for sg er ortogoale på de første søjle, som er e ehedsektor. Så er produktet U UU 2også utær. V l se at U AU er øre-tragulær. Da blokstørelsere matrcere er es ka bruge blok matr multplkato. U AU U U AU U C 0 A 0 C 0 C A 0 C 0 r 0 r rc C AC rc B Dee matr er øre tragulær da B (fra duktoshypotese) er det. eorem..0 [N] (Spektralsætg for hermte ske matrcer) Lad A Mat, så U Mat, ære hermte sk. Så ka A dagoalseres, ds der fdes e utær matr Er dagoal med reelle dagoaldgage. Bes eorem..0 U AU Ifølge Schurs sætg fdes der e utær matr øretrekatsmatr. er hermte sk da: Me U Mat, så U AU U U A U AU U AU er e 39

40 t t t, t t t Da må t, j 0 for j og da t, t, må t, ære reel. er da e dagoalmatr med reelle dgage. 40

41 4 Kadratske former Def. Kadratsk form E kadratsk form er e fukto : Grude tl de kaldes e kadratsk form er: s Så f A f get ed..., A a j, hor a a f a a a... a a... a a a a a A Mat, V ser at alle led dgår der mdst to er, hlket er grude tl at de kaldes e kadratsk form. Eksempel 0 y 2y y y y 2y y y y 2 2 eorem.3.3 (oedaksesætge) A Mat, ære symmetrsk, og lad,..., ære A s egeærder, talt med multplctet. Lad R Mat, Der fdes e rotatosmatr og e tlsarede rotato af koordater u R så A u... u 2 2 For alle 4

42 Bes teorem.3.3 Ifølge spektralsætge så fdes der e ortoormal bass,..., for egeektorer. Så,..., er e ortoormal matr. Lad beståede af A s,..., hsdet,..., R,..., hsdet,..., R er da e rotatosmatr, hs søjler er egeektorer for A og som udgør e ortoormal bass for V har da. R AR, or,..., er egeærdere tl,...,, så A R R V har da for alle A R R u u hor u R u... u 2 2 Def. Post deft Lad A Mat, A er post deft hs: \ 0 : A 0 eorem [L] A Mat, ære symmetrsk. Lad A er post deft A s egeærder alle er poste. 42

43 Bes eorem Lad ære e egeærd for A med tlhørede egeektor. Da A 2 Dette medfører A 0 2 Det l sge at eher egeærd er post. Da A symmetrsk ka A følge spektralsætge dagoalseres og der ekssterer e ortoormalbass,..., for hor,..., er A s egeektorer. Lad \ 0 så ka skres som e lear kombato af,..., a... a or a, for,..., og 2 2 a (bare bereg, a... a, a... a ) a... a a A... a A a... a a... a A a a A a a j a... a a 2 a a m j j (usk at 0 hs j j 43

44 5 Leære dfferetallgger Def. Leære dfferetallgger Et geerelt dfferetallggsystem skres som f,..., ' f,..., ' Et leær dfferetaltlggssystem er på forme er et system hor afbldge trasformato. De har da e stadard matr repræsetato A. I kke-matr form: a... a ' f er e leær a... a ' or er e dfferetabel fukto. Dette ka skres kompakt på matrform s har lgge Som l ble løst æste bes. Lemma 0.. [N] Lad,a lgge ar e etydg løsg : Bes 0.. s c d ' ' ' A a t z med z0 a get ed z t e t e cd t ct dt e e ct e cos dt s dt e a 44

45 d dt e e dt dt e d dt d dt ct e c d dt dt t ct ct cos s s cos e ct cos s dt e ct dt e e e e cd t t Så e opfyldet ' me har startærd. V gager derfor t geem hele beregge oefor. V fder derfor ud af at startærd z0 a. Er dee så etydg? V atager at der ekssterer e fukto startærd y0 a. V kgger på fuktoe e t y t t z t t e med a som er e kostat, som går e a er e løsg tl ' med yt som er e løsg tl og l se horda dee ædrer sg, dffereterer altså d e t y t e t y t e t y t dt ' t e y ' t y t t e y t y t 0 ' med Så fuktoe e de ger: t y t er altså kostat. Derfor må dsætte hlke som helst ærd for t og se had Dee lgg løser forhold tl Altså er yt zt de etydge løsg tl t e y t e y y a ' t e y t a y t y t a e ae t z t t med startærd z0 a. 45

46 eorem (Putzers algortme) Lad Lad P0 A Mat, I og for k,..., or Så gælder. Lad,..., ære egeærder for A, talt med multplctet. k, Pk A ji og defer j Qt r t Pk k k0 r t e t og defer r k duktt for k 2,..., ed Q0 Bes eorem V ser at Så V ser at A kommuterer med med t kt I og Q' t AQt Qt A. r t 0 ks rk e e rk s ds e 0 0 k0 0 k s k k : r t e e r s ds 0 k Qt. Dette ger os at Qt A AQt V l u gere se at Q' t AQt Så har derfor at Q 0 r 0 P P I k k k k0 A I for,..., så de kommuterer med P0,..., P og derfor også.. Først l dfferetere r k for k. t d r t e e r s ds e e r t dt kt k s kt kt k k k k 0 t kt ks k k k 0 k k k e e r s ds r t r t r t 46

47 k k 0 k 0 Q ' t r ' t P k r t r t P k k k k Og har at Q ' t AQ t r t r t P A r t P k k k k k k k0 k0 k 0 k 0 0 r t A I P r t P k k k k k r t P r t P r k k k k t P Det sdste gælder da Cayley amlto sætge sger at Q' t AQ t 0 Q' t AQ t og sætge er best. A I... A I P 0. Da 47

48 6 Marko Processor Def. Marko Process E Marko Process er e sekes af hædelser med følgede egeskaber. Sættet af tlstade er edelgt 2. De æste tlstad afhæger ku af de forrge tlstad 3. Sadsylghedere ed hædelsesskft er kostate Def. Sasyelghedsektor E ektor med kke-egate dgage og såda at summe af des dgage er kaldes e sadsylghedsektor. Def. Stokastsk Matr A Mat, er e stokastsk matr hs her af des søjler her er e sadsylghedsektor. E matr Eksempel 0,8 0 0,2 er e sadsylghedsektor. De fortæller at 80% kører Lambogh og 20% kører Fat. A 0, 0, 2 0,9 0,8 fortæller at 0% af dem der kører Lambogh gør det også ed e hædelse, mes 20% af dem der kører Fat skfter tl Lambogh. 90% skfter fra Lambogh tl Fat og 80% af dem der kører Fat bler ed med det. A 0 0, 0, 2 0,8 0,9 0,8 0, 2 0,0,8 0,20,2 0,9 0,8 0,8 0,2 0,08 0,04 0, 72 0,6 0,2 0,88 48

49 Lemma [N] Lad e.... Lad 2. Lad. A Mat, med kke-egate dgage, er e sadsylghedsektor e ære e matr med kke-egate dgage. A er stokastsk e A e Bes Lemma : e... hs og ku hs er e sadsylghedsektor. 2: Skr A a a,...,. Så:,..., e A e a e a,..., e s og ku hs a,..., a er sadsylghedsektorer. Lemma [N] A Mat, ære e stokastsk matr. Lad Så er e egeærd for A. Bes Lemma Lad os berege Ae V ser at e er e egeektor tl for A e e e A e A. Derfor er Så p 0 og derfor er e egeærd tl A. A A p 0. Me: A det p A I det det p A AI A I 49

50 eorem [L] s A er e stokastsk matr med domat egeærd så l Marko række koergere mod e steady-state ektor. Bes eorem s A er dagoalserbar: Lad y ære egeektore tl (Så A YDY ), så år k. Lad Y y y,..., ære e matr der dagoalserer A D k k k 0 E k 0 Og hs 0 er e sadsylghedsektor og Så cy bler steady-state ektore. c Y 0 så: A YD Y YD c YEc Y c e c y k k k k 0 0 s A kke er dagoalserbar ka dette stadg beses, me dette er ude for pesum. 50