4. Semidirekte produkter - teori og eksempler G version
|
|
- Tobias Nissen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 4. Semidirekte produkter - teori og eksempler G version Lad G være en gruppe, og A en undergruppe af automorfigruppen Aut(G). Vi danner en ny gruppe kaldet G A, (detsemidirekte produkt af G med A). Den underliggende mængde er G A. Kompositionen er defineret ved (g, ϕ)(g,ψ)=(gϕ(g ),ϕψ) for g, g G, ϕ, ψ A. Det er let at regne efter, at den associative lov er opfyldt. Det neutrale element er (1, 1), og det inverse element til (g, ϕ) er(ϕ 1 (g 1 ),ϕ 1 )idet (g, ϕ)(ϕ 1 (g 1 ),ϕ 1 )=(gϕ(ϕ 1 (g 1 )),ϕϕ 1 )=(gg 1,ϕϕ 1 )=(1, 1). Specielt kaldes G Aut(G) forholomorfet af G og betegnes Hol(G). Antag nu at G og H er grupper, og at der findes en homomorfi α : H Aut(G). Vi danner en ny gruppe kaldet G α H (det semidirekte produkt af G med H, relativ til α). Den underliggende mængde er G H, og kompositionen er defineret ved (g, h)(g,h )=(gα(h)(g ),hh ). (Man kan her forestille sig at konjugation af g med h, altså hg h 1, i denne gruppe erstattes med α(h)(g ). For elementer i en vilkårlig gruppe gælder jo ghg h = g(hg h 1 )hh ). I G α H er igen (1, 1) det neutrale element, og det inverse element til (g, h) er(α(h 1 )(g 1 ),h 1 ), idet (g, h)(α(h 1 )(g 1 ),h 1 )=(gα(h)(α(h 1 )(g 1 )),hh 1 ) =(g(α(h)α(h 1 ))(g 1 ),hh 1 )=(gα(1)(g 1 ),hh 1 ) =(gg 1,hh 1 )=(1, 1). Her blev det benyttet, at α er en homomorfi. Specielle tilfælde: (1) Hvis nu H Aut(G) og α er indlejringen af H i Aut(G), så falder de to ovenstående konstruktioner sammen. Derfor er den første et specielt tilfælde af den anden. 1
2 (2) Hvis α : H Aut(G) er defineret ved α(h) = 1 (identiteten), så er G α H = G H det sædvanlige direkte produkt. Nårdeterklart,hvadα er, vil vi ofte skrive G H istedetforg α H. Man kan være interesseret i at realisere en given gruppe som et semidirekte produkt: På den ene side har vi følgende: Hvis X = G α H er et semidirekte produkt, så vil G = {(g, 1) g G},H 0 = {(1,h) h H} være undergrupper af X. Afbildningerne g g =(g, 1),h h 0 =(1,h) er åbenbart isomorfier mellem G og G og mellem H og H 0. DeterklartatX = G H 0,ogatG H 0 = {(1, 1)}. Endvidere er G X, hvilket let ses fra multiplikationsformlen og formlen for inverse elementer. Hvis g =(g, 1) G og h 0 =(1,h) H 0, såer h 0 g (h 0 ) 1 =(1,h)(g, 1)(1,h 1 )=(α(h)(g),h)(1,h 1 )=(α(h)(g), 1) = (α(h)(g)) På den anden side kan vi betragte følgende situation: Antag at Y er en gruppe med undergrupper G og H, som opfylder G Y, Y = GH. SåkanY forbindes med et semidirekte produkt af G med H: Forh H lader vi α(h) være indskrænkningen af den indre automorfi κ h af Y til G. Vi har altså α(h)(g) =hgh 1 for h H, g G. Så er α en homomorfi fra H til Aut(G), og vi kan altså danne X = G α H. Hvad har X og Y med hinanden at gøre? Svaret gives her: (4A) Sætning: Lad Y = GH og X = G α H være som ovenfor. Så defineres ved ρ(g, h) =gh en surjektiv gruppehomomorfi fra X til Y. Der gælder G H = {1} ρ er en isomorfi. 2
3 Bevis: Lad g, g G, h, h H. Vihar ρ((g, h)(g,h )) = ρ(gα(h)(g ),hh ) (multiplikation i X) = ρ(g(hg h 1 ),hh ) (definition af α(h)) = g(hg h 1 )hh (definition af ρ) = ghg h (forkort h 1 h) = ρ(g, h)ρ(g,h ) (definition af ρ) Dermed er ρ en homomorfi, og da Y = GH er det klart, at ρ er surjektiv. Hvis G H = {1} ser vi, at ρ(g, h) =1 gh =1 g = h 1 G H = {1} g = h =1, så ρ er injektiv i dette tilfælde. Hvis G H {1}, såerρ(x, x 1 )=1når x 1,x G H, så ρ er ikke injektiv. Den ovenstående sætning viser, at når G H = {1}, så giver Y en indre karakterisering af et semidirekte produkt. Et eksempel på en gruppe Y realiseret som semidirekte produkt, er Y = S n, G = A n, H = (1, 2) n 2. Et andet eksempel, som vi allerede har mødt, er resultatet i (3G). Hvis G har en normal Hall undergruppe M, så eksisterer der et komplement L til M i G. DermederG et semidirekte produkt af M med L. Lad os se på nogle flere eksempler af forskellig natur. (4B) Eksempel: Diedergrupperne. Hvis G = g er en cyklisk gruppe, så er afbildningen ι : g g 1 en automorfi af G. I denne situation er G ι en diedergruppe. Hvis G = n, betegnes G ι med D n. Vi har så åbenbart, at D n =2n. Gruppen D n er frembragt af to elementer (g, 1) og (1,ι). Lad os bemærke, at (1,ι) = (g, ι) =2idet(g, ι) 2 =(gι(g), 1) = (gg 1, 1) = 1. Da D n frembringes af (g, ι) og(1,ι), ser vi, at en diedergruppe frembrages af 2 elementer af orden 2 (såkaldte involutioner ). På den anden side er en gruppe frembragt af 2 involutioner isomorf til en diedergruppe. Dette ses som følger. Antag at D = x, y, hvorx 2 = y 2 =1, x y. Viharså, at x 1 = x og y 1 = y. Sætg = xy. SåerG := g cyklisk, 3
4 og D = g, y. Endvidere er ygy 1 = yxyy 1 = yx = y 1 x 1 =(xy) 1 = g 1. Så konjugation med y svarer til afbildningen ι ovenfor. Når n N, n 3, så kand n realiseres som undergruppe af S n,idetvi betragter undergruppen D n = (1, 2,,n), τ =(1,n)(2,n 1) af S n. Hvis G = (1, 2,,n), H = τ, såerd n = GH og G D n, G H = {1}, idetjo τ(1, 2,,n)τ 1 =(n, n 1,, 2, 1) = (1, 2,,n) 1. DetersåklartatD n = D n. Vi har også atd3 = S 3, idet de har samme orden. Lad os bemærke, at for n =4er D4 =8,således at D 4 er en 2 Sylow gruppe i S 4, (og i øvrigt også is 5 ). Diedergruppernes definition kan umiddelbart udvides til tilfældet, hvor G er en abelsk gruppe. Afbildningen ι : g g 1 fra G G, erstadigen automorfi af G, så man kan danne en diabelsk gruppe G ι af orden 2 G. Vi vil i det følgende ikke skelne særskilt mellem den abstrakte gruppe D n og den konkrete permutationsgruppe Dn (4C) Eksempel: Permutationsmatricer og monomiale grupper. Når R er en kommutativ ring med 1 element, n N, danner mængden af invertible n n matricer med koefficienter fra R en gruppe kaldet GL(n, R) (= {A Rn n det A invertibel i R}). Når π S n defineres en matrix P (π) Rn n ved P (π) =[a ij ] hvor a ij = δ iπ(j) (δ er Kronecker delta ). Det er klart, at P (π) harnetopét element 0i hver søjle og i hver række. Induktiv anvendelse af søjleudviklingsreglen for determinanter viser, at det P (π) =± 1, så P (π) GL(n, R). Hvis π, ρ S n gælder P (π)p (ρ) =P (πρ): Lad P (π)p (ρ) =[c ij ]; så er c ij = k δ iπ(k) δ kρ(j) 0 Der eksisterer et k så k = ρ(j) og π(k) =i πρ(j) =i, 4
5 dvs. c ij = δ iπρ(j). Det betyder, at P er en homomorfi fra S n til GL(n, R). Det er klart, at P er injektiv, så vi kan betragte S n som en undergruppe af GL(n, R). En matrix påformenp (π), π S n kaldes en (n n ) permutationsmatrix. Der gælder: det P (π) =sign(π), (π sfortegn) P (π) t = P (π 1 ) for alle π S n. Begge disse udsagn bevises ved at skrive π som et produkt af transpositioner (dvs. permutationer påformen(i, j)): Permutationsmatricen P ((i, j)) opnås fra enhedsmatricen E n ved at ombytte den i te og den j te søjle. Derfor er det P (τ) = 1, når τ er en transposition. Det er også klart, at P (τ) =P (τ) t, når τ er en transposition. Hvis π = τ 1 τ 2 τ k, hvor alle τ i er transpositioner, såer n det(p (π)) = det(p (τ i )) = ( 1) k = sign(π) og i=1 P (π) t =[P (τ 1 ) P (τ k )] t = P (τ k ) t P (τ i ) t = P (τ k ) P (τ 1 )=P (τ k τ 1 )=P (π 1 ). En permutationsmatrix består af nuller pånær netop ét ettal i hver række og i hver søjle. Man kan nu erstatte ettallerne i en permutationsmatrix P (π), π S n med n elementer fra en given gruppe G. Hvis g 1,g 2,...,g n G, π S n sættes P (g 1,...,g n ; π) =(δ iπ(j) g i ). Dette er selvfølgelig ikke længere et element i GL(n, R), men en matrix med elementer fra mængden G {0} (idet vi fastlægger, at δ ii g = g, δ ij g =0for i j). Hvis nu G er en gruppe og A en undergruppe af S n sættes Mon(G, A) ={P (g 1,,g n ; π) g i Gπ A}, en mængde af G monomiale matricer. Hvis vi yderligere fastlægger, at 0 + g = g +0 = g for g G, vilg s komposition sammen med den sædvanlige matrixmultiplikation inducere en komposition på Mon(G, A). Hvis vi multiplicerer matricerne P (g 1,,g n ; π) og P (h 1,,h n ; ρ) 5
6 under anvendelse af de ovennævnte regler, fås en matrix [c ij ], hvor c ij = k δ iπ(k) g i δ kρ(j) h k = δ iπρ(j) g i h ρ(j) = δ iπρ(j) g i h π 1 (i) således, at P (g 1,,g n ; π)p (h 1,,h n ; ρ) =P (g 1 h π 1 (1),,g n h π 1 (n); πρ). Med denne matrixmultiplikation bliver Mon(G, A) en gruppe med P (1,, 1; (1)) som neutralt element, hvor P (g 1,,g n ; π) som inverst element har P (g 1 π(1),,g 1 π(n) ; π 1 ). Mon(G, A)kaldesen(G )monomial gruppe. Nu er Mon(G, A) et indre semidirekte produkt af den normale undergruppe G = {P (g 1,,g n ;(1)) g i G, i =1, 2,,n}, (som er isomorf med G } G {{} ) med undergruppen A = {P (1,, 1; π) n π A} (som er isomorf til A.) (4D) Eksempel: Lad os se på den monomiale gruppe Mon(G, A) (som semidirekte produkt) udefra. Hvis A S n og G = } G G {{} (= G n ), kan vi definere en homomorfi n α : A Aut(G )ved α(π)(g 1,,g n )=(g π 1 (1),,g π 1 (n)). Det kan virke mærkværdigt, at afbildningen β : A Aut(G )givetved β(π)(g 1,,g n )=(g π(1),,g π(n) ) ikke er en homomorfi. Sammenhængen mellem α og β er at α(π) =β(π 1 ), så hvis en af afbildningerne er en homomorfi, så er den anden en antihomomorfi. At det er α, der er en homomorfi, ses som følger: Antag at π, ρ A. Lad α(ρ)(g 1,,g n )=(h 1,,h n ) α(π)(h 1,,h n )=(k 1,,k n ). 6
7 Ifølge definitionen er h i = g ρ 1 (i) og k i = h π 1 (i) for i =1,,n.Vifår så at k i = h π 1 (i) = g ρ 1 (π 1 (i)) = g (πρ) 1 (i). Derforer α(π) α(ρ)(g 1,,g n )=(k 1,,k n ) =(g (πρ) 1 (1),,g (πρ) 1 (n)) =α(πρ)(g 1,,g n ), altså α(π) α(ρ) =α(πρ). Kun når A er abelsk, vil β være en homomorfi. Vi kan nu definere en isomorfi ϕ G α A ϕ = Mon(G, A) ved ϕ(g 1,,g n ; π) =P (g 1,,g n ; π). Multiplikationen i G A er jo (g 1,,g n ; π)(h 1,,h n ; ρ) =(g 1 h π 1 (1),,g n h π 1 (n); πρ). Det er jo nødvendigt men ikke så pænt, at man skal anvende π 1 på h i ernes indices. Dette kan undgås ved at bytte om på G og A, som vi gør i næste eksempel. (4E) Eksempel: (Kransprodukt, wreath produkt). Som i (4D) er A S n og G = } G G {{}. Vi definerer en komposition på A G ved n (π; g 1,,g n )(ρ; h 1,,h n )=(πρ; g ρ(1) h 1,,g ρ(n) h n ). Herved bliver A G en gruppe med ((1); 1,, 1) som neutralt element, og (π; g 1,,g n )har(π 1 ; h 1,,h n ) som inverst element, hvor h i = g 1 π 1 (i). Denne gruppe kaldes for kransproduktet af G med A, og betegnes G A. Det viser sig, at G A også kan realiseres ved monomiale matricer, og at G A Mon(G, A). Hvis (π; g 1,,g n ) G A sættes P (π; g 1,,g n )=(δ iπ(j) g j ). Den eneste forskel her fra P (g 1,,g n ; π) er,at g i er erstattet med g j. Hvis vi multiplicerer P (π; g 1,,g n )medp (ρ; h 1,,h n )fås P (πρ; g ρ(1) h 1,,g ρ(n) h n )således at P matricerne danner en gruppe Mon (G, A), som er isomorf til G A. 7
8 Vi har nu ved hjælp af G og A konstrueret 4 grupper, to matrixgrupper Mon(G, A) ogmon (G, A), samt to abstrakte grupper G α A (i (4D)) og G A her. Vi har vist, at G α A Mon(G, A) og at G A Mon (G, A). For nu at fuldstændiggøre billedet, vil vi vise, at Vi indskyder en bemærkning. G α A G A. (4F) Bemærkning: Den modsatte gruppe. HvisG er en vilkårlig gruppe kan vi danne dens modsatte gruppe G op, som følger. Den underliggende mængde er G s elementer, og kompositionen i G op,ergivetved g h = hg (hvor vi på højre side har brugt kompositionen i G!) Det er klart, at G op er en gruppe med samme neutrale element og samme inverse elementer. Endvidere er afbildningen ι : g g 1 en isomorfi mellem G og G op,idet ι(gh) =(gh) 1 = h 1 g 1 = ι(h)ι(g) =ι(g) ι(h). (4G) Sætning: Lad G A og G α A være som før. Ved ψ :(π; g 1,,g n ) (g 1 1,,g 1 n ; π 1 ) defineres en isomorfi mellem G A og (G α A) op.derforgælderogsåat Bevis: Vi har G A G α A. ψ(π; g 1,,g n ) ψ(ρ; h 1,,h n )=(h 1 1,,h 1 n ; ρ 1 )(g1 1,,gn 1,π 1 ) =(h 1 1 g 1 ρ(1),,h 1 n g 1 ρ(n) ; ρ 1 π 1 )=ψ(πρ; g ρ(1) h 1,,g ρ(n) h n )= ψ((π; g 1,,g n )(ρ; h 1,,h n )). 8
9 Kransproduktet egner sig til at definere interessante klasser af grupper med en struktur, der er overskuelig uden at være banal. Det er let at finde kransprodukter som undergrupper i symmetriske grupper: (4H) Bemærkning: Hvis G S m og A S n,såerg A(isomorf til) en undergruppe af S mn. Bevis: Lad (π; g 1,,g n ) G A, og betragt P (π; g 1,,g n )=[δ iπ(j) g j ]. Hvis vi erstatter g j med P (g j ), bliver P (π; P (g 1 ),,P(g n )) til en mn mn permutationsmatrix. (4I) Eksempel: (på (4H))Ladm =2,n =3,π =(1, 2, 3) A S 3, g 1 =(1, 2), g 2 =(1),g 3 =(1, 2) G S 2 således at P (π; P (g 1 ), P (g 2 ), P (g 3 )skalværeen6 6-permutationsmatrix. Lad os beregne denne og den tilhørende permutation. Først betragtes permutationsmatricen P (π) P (π) = ifølge (4C). I denne matrix erstattes ettallet i j te søjle med 2 2-matricen P (g j ) j =1, 2, 3 og nullerne med 2 2-nulmatricer P (π; P (g 1 ),P(g 2 ),P(g 3 )) = Dette er en 6 6-permutationsmatrix. Den tilhørende permutation ρ aflæses ved at se på positionen af ettallet i de enkelte søjler. Vi får ( ) ρ = (Her er for eksempel ρ(1) = 4 fordi ettallet i 1. søjle er på 4. plads). Derfor er ρ =(1, 4, 6)(2, 3, 5). 9
10 En anden måde at beregne ρ på er som følger: Betragt g 1 som permutation af {1, 2}, g 2 som permutation af {3, 4} og g 3 som permutation af {5, 6}. Såer g 1 g 2 g 3 =(1, 2)(3)(4)(5, 6) = (1, 2)(5, 6). Dernæst betragtes π =(1, 2, 3) som en permutation (π) af 6 der permuterer mængderne {1, 2}, {3, 4}, {5, 6} ved og , altså For produktet (π)g 1 g 2 g 3 fås så (π) =(1, 3, 5)(2, 4, 6). (1, 3, 5)(2, 4, 6)(1, 2)(5, 6) = (1, 4, 6)(2, 3, 5), den samme permutation ρ som før! (At vi skriver foran π, altså (π) betyder intuitivt at der er tale om en duplikering af π. Hvisρ =(1, 3) S 3 er tilsvarende (ρ) =(1, 5)(2, 6).) (4J) Bemærkning: Hvis G er endelig, og A S n,sågælder G A = G n A. (4K) Eksempel: (Sylow grupper i de symmetriske grupper S p a). Lad p være et primtal. Hvis n N lader vi ν p (n) være det største ikke negative tal, så p ν p (n) n. F.eks.erν 3 (72) = 2, da 72 = Lad os betragte ν p ( S p a ), a 1. Der gælder ν p ( (S p a ) =ν p (p a!). Det er klart, at p a 1 af tallene 1,,p a er delelig med p, nemlig p, 2p,,p a 1 p. Endvidere er p a 2 delelig med p 2 (hvis a 2), nemlig p 2, 2p 2,,p a 2 p 2. Ved at fortsætte med p 3 osv. fås ν p (p a!) = p a 1 + p a =(p a 1)/(p 1). For a = 1 er en p Sylow gruppe i S p cyklisk, frembragt af f.eks. (1, 2,,p), altså Z p. Ifølge (4J) er Z p Z p = p p+1. Dermed har Z p Z p samme orden som en p Sylow gruppe i S p 2. Dette generaliseres: Lad os induktivt definere gruppen X a ved X 1 = Z p, X a = X a 1 Z p. Ved induktion efter a ses, at X a er isomorf til en undergruppe af S p a (brug (4H)), samt at ν p X a = ν p ( S p a ) = ν p (p a!) (brug (4J)), således at p Sylow gruppen af S p a er et itereret kransprodukt af a cykliske grupper af orden p. Lad os se på en konkret realisering af p Sylow gruppen i S p 2. Denne gruppe har en elementær abelsk undergruppe af orden p p, nemlig (1, 2,,p) (p +1,, 2p) (,p 2 ). 10
11 Dette svarer til undergruppen G G i det generelle tilfælde. Gruppen A bliver i dette eksempel til gruppen frembragt af (1,p+1, 2p +1,, (p 1)p + 1)(2,p+2,, (p 1)p +2) (p, 2p,,p 2 ) I tilfældet p = 2 er 2 Sylow gruppen af S 4 frembragt af (1, 2) og (1, 3)(2, 4). Gruppen G G bliver (1, 2) (3, 4) og A = (1, 3)(2, 4). Hvisvigår til S 8 bliver dens 2 Sylow gruppe frembragt af (1, 2), (1, 3)(2, 4) og (1, 5)(2, 6)(3, 7)(4, 8). Prøv af overveje dette! Hvordan ser det ud i S 16? Bemærk, at hver af disse elementer er en duplikering af det forrige på samme måde som i (4I)! (4L) Bemærkning: Man kan vise, at p Sylow gruppen i S n, n vilkårligt, kan beskrives således: Skriv n p adisk, dvs. n = a 0 + a 1,p+ + a k p k, hvor 0 a i p 1. SåerS n s p Sylow gruppe isomorf til X a 1 1 X a 2 2 X a k k, a hvor X i i = X i X }{{} i og X i er som i det forrige eksempel. a i (4M) Eksempel: Kransproduktet spiller også en rolle ved beskrivelsen af centralisatorer af elementer i symmetriske grupper. Vi nøjes med tilfældet, hvor et element er et produkt af cykler af samme længde. Lad k, l N og antag, at κ S kl er et produkt af k disjunkte cykler af samme længde l. Vi forklarer at C Skl (κ) = Z l S k, hvor Z l er en cyklisk gruppe af orden l. Vi antager, at κ =(a 11,a 12,,a 1l )(a 21,a 22,,a 2l ) (a k1,a k2,,a kl ), hvor a ij erne er forskellige tal mellem 1 og kl. Når ϕ S kl er ϕκϕ 1 =(ϕ(a 11 ),ϕ(a 12 ),,ϕ(a 1l )) (ϕ(a k1 ),ϕ(a k2 ),,ϕ(a kl )). 11
12 Derfor er ϕ C(κ) =C Skl (κ) hvis og kun hvis cykelmængderne og {(a 11,a 12,,a 1l ),, (a k1,a k2,,a kl )} {(ϕ(a 11 ),ϕ(a 12 ),,ϕ(a 1l )),, (ϕ(a k1 ),ϕ(a k2 ),,ϕ(a kl ))} er identiske. Det betyder, at hvis ϕ C(κ) og vi kender ϕ(a i1 ), så er også ϕ(a i2 ),,ϕ(a il ) fastlagte, idet rækkefølgen i cyklerne skal respekteres: Hvis ϕ(a i1 )=a i j hvor 1 i k og 1 j l, såmå ( ) ϕ(a ij )=a i (j +j 1) for 1 j l, hvor det andet indeks regnes modulo l. Et element ϕ C(κ) eraltsåhelt fastlagt ved ϕ(a 11 ),ϕ(a 21 ),,ϕ(a k1 ). Da a 11,a 21,,a k1 alle er i forskellige cykler i κ,må også ϕ(a 11 ),ϕ(a 21 ),,ϕ(a k1 ) være i forskellige cykler. På den anden side vil ethvert valg af ϕ(a 11 ),ϕ(a 21 ),,ϕ(a l1 ) i forskellige cykler levere et element i C(κ) ved hjælp af( ) ovenfor. Givet π S k kan vi specielt definere dets duplikeringselement (π) C(κ) vedat ( ) (π)a i1 = a π(i)1 1 i k. (Ifølge ( ) gælder også (π)a ij = a π(i)j for alle i, j). Lad nu ϕ C(κ) være fastlagt ved at ( ) ϕ(a i1 )=a π(i)ti for 1 i k. Her er 1 t i l for alle i. Da ϕ(a 11 ),,ϕ(a k1 ) er forskellige cykler, er π en permutation af 1,,k,altså π S k. Ifølge definitionen af (π 1 )fås så fra ( ) og( ) (π 1 )ϕ(a i1 )=a iti. Det er klart, at (π 1 )= (π) 1, idet er en homomorfi S k C(κ). Lad os sætte ψ = (π 1 )ϕ = (π) 1 ϕ.viharså, at ψ(a i1 )=a iti for 1 i k. Lad os betegne cyklerne i κ med z 1,,z k,altså z i =(a i1,a i2,,a il ). 12
13 Da disjunkte cykler er ombyttelige, er det klart, at z i C(κ) for alle i. Derfor er også elementetψ defineret ved Nu er for 1 i k ψ = z t z t z t k 1 k C(κ). ψ (a i1 )=z t i 1 i (a i1 )u (overvej dette) = a iti (overvej igen!) Vi kan altså slutte, at ψ = ψ og får et Hvis vi definerer en afbildning ϕ = (π) z t z t k 1 k. α : Z k S k C(κ) ved at α(π; s 1,,s k )= (π) z s 1 1 zs k k, hvor s i erne regnes modulo l = z i,såerα surjektiv ifølge det ovenstående. Det er let at se, at α er en homomorfi, og at kernen af α er triviel. Dermed er α en isomorfi. Sammenfattende kan vi altså sige, at hvis man vil opfatte G A, hvorg S m og A S n, som undergruppe af S mn,ladermanden kopier af G i G = G G (n gange) operere på parvis disjunkte delmængder af {1,,mn}, hvor hver af disse delmængder har m elementer. Ved duplikering blæses elementerne i A op til at permutere de n disjunkte delmængder, som G erne opererer på. Om undergrupper i et direkte produkt I dette afsnit angives en algoritme til i pricippet at bestemme alle undergrupper i et direkte produkt af to grupper. Denne algoritme findes sædvanligvis ikke i lærebøger om gruppeteori, selv om den faktisk er relativ enkel. 13
14 Lad G og H være grupper og X = G H det direkte produkt af G med H. Betragt følgende mængde af 5-tupler: U(G, H) ={(G 1,G 2,H 1,H 2,ϕ)} hvor G 2 G 1 G er undergrupper i G, H 2 H 1 H undergrupper i H, og ϕ en gruppeisomorfi ϕ : G 1 /G 2 H 1 /H 2. Hvis T =(G 1,G 2,H 1,H 2,ϕ) U(G, H) sættes U T = {(g, h) G H g G 1,h H 1 og ϕ(gg 2 )=hh 2 }. Her opfattes gg 2 (hhv. hh 2 ) som element i G 1 /G 2 (hhv. H 1 /H 2 ). (4N) Sætning: Afbildningen T U T er en bijektion mellem mængden U(G, H) og mængden af undergrupper af G H. Bevis: Lad os først bemærke, at hvis T U(G, H), så er U T en undergruppe af G H: Hvis (g, h), (g 1,h 1 ) U T gælder ϕ(gg 2 )=hh 2 og ϕ(g1 1 G 2)= h 1 1 H 2,daϕ er en homomorfi. Heraf fås også at ϕ(gg 1 1 G 2 )=ϕ(gg 2 )ϕ(g 1 1 G 2 )=hh 2 h 1 1 H 2 = hh 1 1 H 2 så(gg 1 1,hh 1 1 )=(g, h)(g 1,h 1 ) 1 U T. Det er også klart, at hvis T,T U(G, H) ogt T (altså hvis mindst én af de fem koordinater i T og T er forskellig), så eru T U T. Lad nu U være en undergruppe af G H. Vi viser, at der findes T U(G, H), således at U = U T.Sæt G 1 = {g G Der findes h H, så g, h) U} G 2 = {g G (g, 1) U} H 1 = {h H Der findes g G, så(g, h) U} H 2 = {h H (1,h) U}. Det er klart at G 1,G 2 er undergrupper af G, ogh 1,H 2 er undergrupper af H og G 2 G 1, H 2 H 1. Antag nu, at h H 1, x H 2. Vælg g G, så(g, h) U. Vi har også (1,x) U såvifår (g, h)(1,x)(g, h) 1 =(1,hxh 1 ) U, 14
15 dvs. hxh 1 H 2.DermederH 2 H 1 (og analogt G 2 G 1 ). Antag at g G, ogath, h 1 H begge opfylder (g, h) U, (g, h 1 ) U. Fra definitionen af H 1 fås h, h 1 H 1. Endvidere er også g G 1. Vi har (g, h) 1 (g, h 1 )=(1,h 1 h 1 ) U, så h 1 h 1 H 2.HermederhH 2 = h 1 H 2.Vi ser at der ved ψ : g hh defineres en afbildning fra G 1 H 1 /H 2. Det er klart, at denne afbildning er en homomorfi. Hvis x ker(ψ), så eksisterer et h 2 H 2,så(x, h 2 ) U. Da(1,h 2 ) U (fordi h 2 H 2 )fås (x, 1) U, altså x G 2. Det er også letatse,atψ er surjektiv. Ifølge den 1. isomorfisætning for grupper inducerer ψ en isomorfi ϕ : G 1 /G 2 H 1 /H 2 og vi får så umiddelbart, at U = U T,hvorT =(G 1,G 2,H 1,H 2,ϕ) U(G, H). (4O) Bemærkning: Lad (G 1,G 2,H 1,H 2,ϕ)=T U(G, H) somovenfor. Der gælder U T = G 1 H 2 = G 2 H 1, hvis grupperne er endelige. (Overvej dette!) (4P) Bemærkning: En speciel klasse af undergrupper af G H er dem på formen G 1 H 1, G 1 undergruppe i G, H 1 undergruppe i H. Det tilsvarende T U(G, H) erså (G 1,G 1,H 1,H 1, 1). Generaliseringen af (4N) til et direkte produkt af tre eller flere undergrupper er meget mere besværlig end man måske umiddelbart skulle tro! 15
Gruppeteori Abstrakt gruppeteori Noter ved Jørn B. Olsson Version 2009
Gruppeteori Abstrakt gruppeteori Noter ved Jørn B. Olsson Version 2009.. what wealth, what a grandeur of thought may spring from what slight beginnings. (H.F. Baker on gruppebegrebet) 1 INDHOLD: 1. Lidt
Læs mereNote om endelige legemer
Note om endelige legemer Leif K. Jørgensen 1 Legemer af primtalsorden Vi har i Lauritzen afsnit 2.1.1 set følgende: Proposition 1 Lad n være et positivt helt tal. Vi kan da definere en komposition + på
Læs mereMatematik 2AL, vinteren
EO 1 Matematik 2AL, vinteren 2002 03 Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder, så længe skriften er læselig, og udviskninger foretages grundigt. Overstregning trækker ikke ned og anbefales
Læs mereAlgebra2 Obligatorisk opgave
Algebra2 Obligatorisk opgave Anders Bongo Bjerg Pedersen, 070183 Eksamensnummer 45 23. maj 2005 Opgave 1 Vi har: σ = σ 6 5 = (σ 3 ) 2 (σ 5 ) 1 = (1 3 5 2 4)(8 7 6). b) Ordnen af en p-cykel er (jfr. 2.18)
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereOversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger
Oversigt over gruppeteori: definitioner og sætninger (G, ) kaldesengruppe, når følgende aksiomer er opfyldt: 0) (G, ) er en organiseret (stabil) mængde: a, b G a b G 1) Den associative lov gælder, dvs.
Læs mereKlassiske Grupper. Noter af Jørn B. Olsson
Klassiske Grupper Noter af Jørn B. Olsson 1 INDHOLD: 1. Den generelle lineære gruppe 2. Endelige lineære grupper 3. Ortogonal og symplektisk geometri 4. Symplektiske grupper 5. Ortogonale grupper 6. Unitære
Læs mereEuler-karakteristik for fusionskategorier
Euler-karakteristik for fusionskategorier Martin Wedel Jacobsen 17. april 2010 Indledning Der findes mange forskellige metoder til delvis klassifikation af endelige grupper. En af de mest velkendte er
Læs mereMATEMATIK 3 AL. Klassisk Algebra. Christian U. Jensen. Typeset by AMS-TEX
MATEMATIK 3 AL Klassisk Algebra Christian U. Jensen 2004 Typeset by AMS-TEX Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c 2004 Matematisk Afdeling FORORD TIL 1998-UDGAVEN At lære og at tilegne
Læs mereVi indleder med at minde om at ( a) = a gælder i enhver gruppe.
0.1: Ringe 1. Definition: Ring En algebraisk struktur (R, +,, 0,, 1) kaldes en ring hvis (R, +,, 0) er en kommutativ gruppe og (R,, 1) er en monoide og hvis er såvel venstre som højredistributiv mht +.
Læs mereMM05 - Kogt ned. kokken. Jacob Aae Mikkelsen. 23. januar 2007
MM05 - Kogt ned Jacob Aae Mikkelsen kokken 23. januar 2007 1 INDHOLD 1 ARITMETIK I Z Indhold 1 Aritmetik i Z 2 2 Kongruens i Z 4 3 Ringe 6 4 Aritmetik i F[x] 9 5 Kongruens i F[x] og kongruensklasse aritmetik
Læs mere6. Fokale undergrupper, Grün s sætninger, Z grupper G version
6. Fokale undergrupper, Grün s sætninger, Z grupper G6-2004-version Vi starter med et par generelle bemærkninger. Som sædvanligt betegner G =[G, G] kommutatorundergruppen i gruppen G. (6A) Lemma: Lad H
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereMordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
Læs mere2. Gruppen af primiske restklasser.
Primiske restklasser 2.1 2. Gruppen af primiske restklasser. (2.1) Setup. I det følgende betegner n et naturligt tal større end 1. Den additive gruppe af restklasser modulo n betegnes Z/n, og den multiplikative
Læs mereFacitliste 1 MAT 2AL. 5. f (x) er irreducibel i Z 5 [X].
Facitliste 1 Facitliste til eksamensopgaver Facit til de første 14 opgavesæt er blevet til paa basis af Jonas B. Rasmusssens facitliste. Han regnede størstedelen af opgaverne, medens han fulgte kurset,
Læs mereFacitliste til nyere eksamensopgaver
Facitliste Facitliste til nyere eksamensopgaver Listen indeholder facit (eller vink) til eksamensopgaverne (i MatAL, Alg og ) fra sommeren 003 og fremefter. Bemærk, at de facitter, der står på listen,
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereLineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære
Lineær algebra: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C =
Læs mereDet Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version
Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereMinilex Mat 2AL. .. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ. Mangler 3.10-3.16
Minilex Mat 2AL.. Henrik Dahl hdahl@tdc-broadband.dḳ.. Mangler 3.10-3.16 Resumé ADVARSEL - dette er et total underground-dokument!. Det er livsfarligt at bruge ukritisk. Der er næsten sikkert graverende
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereDesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant
DesignMat Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant Preben Alsholm Uge 5 Forår 010 1 Kvadratiske matricer, invers matrix, determinant 1.1 Invers matrix I Invers matrix I Definition. En n n-matrix
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mere3. Hall undergrupper og komplementer G version
1 3. Hall undergrupper og komplementer G3-2004-version I dette kapitel betragtes kun endelige grupper. Lad altså G være en endelig gruppe. Definition: En undergruppe H i G kaldes en Hall undergruppe, hvisder
Læs mereTapetmønstre. Symmetri i 2 dimensioner. 4. Semester - MAT4 Aalborg Universitet
Tapetmønstre Symmetri i 2 dimensioner 4. Semester - MAT4 Aalborg Universitet G3-112 16. maj 2012 Institut for Matematiske Fag Matematik Fredrik Bajers Vej 7G Telefon 99 40 99 40 http://www.math.aau.dk
Læs mereOversigt [LA] 3, 4, 5
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f
GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar
Læs mere1.1 Legemer. Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal.
SEKTION 11 LEGEMER 11 Legemer Legemer er talsystemer udstyret med addition og multiplikation, hvor vi kan regner som vi plejer at gøre med de reelle tal Definition 111 Et legeme F er en mængde udstyret
Læs mereSymmetri. - i tapetmønstre
Symmetri - i tapetmønstre MAT 4. SEMESTER PROJEKT GRUPPE G3-114 MATEMATIK & STATISTIK AALBORG UNIVERSITET DEN 23. MAJ 2012 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Telefon 99
Læs mereDefinition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse matricer Test invers
Læs mereNøgleord og begreber. Definition multiplikation En m n-matrix og en n p-matrix kan multipliceres (ganges sammen) til en m p-matrix.
Oversigt [LA] 3, 4, 5 Matrix multiplikation Nøgleord og begreber Matrix multiplikation Identitetsmatricen Transponering Fra matrix til afbildning Fra afbildning til matrix Test matrix-afbildning Inverse
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereLINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH
LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som
Læs mereForside. Matematik og Statistik. Symmetri. Tapetmønstre. Gruppe G maj 2014
Forside Matematik og Statistik Symmetri Tapetmønstre Gruppe G3-110 23. maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Læs mereEn gruppeteoretisk undersøgelse af Rubik s Cube en
Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination og span Test linearkombination Hvad er en matrix Matrix multiplikation Test matrix multiplikation
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereHomotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig gruppe
D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Kandidatprojekt i matematik Sune Precht Reeh Homotopiteori for pomængden af p-undergrupper i en endelig
Læs mereKommutativ algebra, 2005
Kommutativ algebra, 2005 Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Kommutativ algebra, 2005 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København
Læs mereGruppekohomologi og Gruppeudvidelser
DET NATURVIDENSKABELIGE FAKULTET KØBENHAVNS UNIVERSITET Lise Volsing Smith Gruppekohomologi og Gruppeudvidelser Bachelorprojekt i matematik. Institut for matematiske fag, Københavns Universitet Bachelor
Læs mereExponentielle familer, ark 2
1 Exponentielle familer, ark 2 Eksponentielle familier OPGAVE 21 Beksriv den eksponentielle familie på (R, B) givet ved følgende data: V er R med det sædvanlige indre produkt, den kanoniske stikprøvefunktion
Læs mereLigningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet
Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra fortsat
Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereMatematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer
Matematik: Struktur og Form Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Martin Raussen Department of Mathematical Sciences Aalborg University 2017 1 / 12 Matrixmultiplikation Am n = [aij ], Bn
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereLineær Algebra, TØ, hold MA3
Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereRubiksterningen i et Gruppeteoretisk Perspektiv. Gruppe G3-111
Rubiksterningen i et Gruppeteoretisk Perspektiv Gruppe G3-111 Aalborg Universitet Matematik - 4. semester Forår 2016 Matematik - 4. semester Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst http://www.math.aau.dk
Læs mereOversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3
Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereMatricer og Matrixalgebra
enote 3 1 enote 3 Matricer og Matrixalgebra Denne enote introducerer matricer og regneoperationer for matricer og udvikler hertil hørende regneregler Noten kan læses uden andet grundlag end gymnasiet,
Læs mereNøgleord og begreber
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereMatematik: Videnskaben om det uendelige 1
Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element
Læs mere6.1 Reelle Indre Produkter
SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II
Læs mereMatematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014
Matematik og Statistik Rubiks terning Symmetri Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske Fag
Læs mereEksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Læs mereEn algebra opsamling INDLEDNING. Indhold. Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008
En algebra osamling Jens Kusk Block Jacobsen 13. januar 2008 INDLEDNING Her har jeg samlet forskellige ting, der relaterer til algebra. Dokumentet er en osamling til Concrete Abstract Algebra (1) af Niels
Læs mereGamle eksamensopgaver (MASO)
EO 1 Gamle eksamensopgaver (MASO) Opgave 1. (Vinteren 1990 91, opgave 1) a) Vis, at rækken er divergent. b) Vis, at rækken er konvergent. Opgave 2. (Vinteren 1990 91, opgave 2) Gør rede for at ligningssystemet
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereModule 1: Lineære modeller og lineær algebra
Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........
Læs mereForord. H.Holm & M.M.Larsen INDHOLD
INDHOLD Indhold 1 Extensioner af K med C(X) 1 1.1 Extensioner og monomorfier............................ 1 1.2 Essentielt normale operatorer............................ 4 1.3 Cuntz-isometrier...................................
Læs mere3D-grafik Karsten Juul
3D-grafik 2005 Karsten Juul Når der i disse noter står at du skal få tegnet en figur, så er det meningen at du skal få tegnet den ved at taste tildelinger i Mathcad-dokumentet RumFig2 Det er selvfølgelig
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereDis1 2008-09 Ugeopgave 1
Dis1 2008-09 Ugeopgave 1 Rasmus Sylvester Bryder 20. februar 2009 1 F08 opgave 1 (i) Der skal gøres rede for at [2] er en primisk restklasse i Z/49, og den inverse dertil skal ndes. Altså skal gælde, at
Læs mereAsymptotisk testteori
Kapitel 8 Asymptotisk testteori Vi vil nu beskæftige os med den asymptotiske teori for estimation under pæne hypoteser og for test af disse hypoteser. Vi skal især undersøge det forhold at hvis den fulde
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereUENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereForelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling
Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 1 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 1.1 Indledning - typer af ligningesystemer og løsninger Den lineære ligning 2x=3 kan løses umiddelbart ved at dividere med 2 på begge sider, så vi får:
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereGRUPPE TEORI. Flemming P. Pedersen. Afskrift af forelæsningsnoter ved Jens Jensen. (Ørsted Laboratoriet, NBIfAFG, april 2003)
GRUPPE TEORI Flemming P. Pedersen Afskrift af forelæsningsnoter ved Jens Jensen (Ørsted Laboratoriet, NBIfAFG, april 2003) Indholdsfortegnelse 1. Indledning 1 2. Gruppebegrebet 1 3. Den symmetriske gruppe
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mere4.1 Lineære Transformationer
SEKTION 41 LINEÆRE TRANSFORMATIONER 41 Lineære Transformationer Definition 411 ([L], s 175) Lad V, W være F-vektorrum En lineær transformation L : V W er en afbildning, som respekterer lineær struktur,
Læs mereMatematik Camp Noter og Opgaver
Matematik Camp 2018 Noter og Opgaver Freja Elbro Simon Skjernaa Erfurth Jonas Rysgaard Jensen Benjamin Muntz Anders Jess Pedersen Eigil Fjeldgren Rischel Nikolaj Jensen Ulrik Indhold Indhold i 1 Introduktion
Læs mere6. RSA, og andre public key systemer.
RSA 6.1 6. RSA, og andre public key systemer. (6.1). A skal sende en meddelelse til B. Denne situation forekommer naturligvis utallige gange i vores dagligdag: vi kommunikerer, vi signalerer, vi meddeler
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereUdeladelse af én observation. Note til kapitlerne 4, 5 og 6
Udeladelse af én observation Note til kapitlerne 4, 5 og 6 I de følgende resultater 1-10 bevises en række resultater, der alle vedrører udeladelse af én observation. Derved bevises og uddybes en række
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mere