Trekantsberegning. for B- og A- niveau i stx og hf udgave Karsten Juul

Transkript

1 Trekantsberegning for - og - niea i stx og hf dgae 3 l Karsten Jl

2 Indhold 1. Vinkler Regler for inkler Omkreds, areal, häjde Omkreds Rektangel Kadrat HÄjde.... HÄjde-grndlinje-formel for trekants areal....6 Eksemel hor areal er kendt....7 HÄjde der ikke er tegnet Pythagoras såtning Katete og hyotense Pythagoras' såtning estem katete med Pythagoras' såtning estem hyotense med Pythagoras' såtning Srogbrg ModstÇende inkel eller side etegnelse for modstçende inkel eller side Ord for siderne i en retinklet trekant Ensinklede trekanter....1 Ord og metoder i ogaer om ensinklede trekanter.... Simel ogae om ensinklede trekanter....3 Sammensat ogae om ensinklede trekanter osins, sins, tangens og Nsire osins, sins og tangens i retinklet trekant De tre regler for cosins, sins og tangens i retinklet trekant Eksemler Ç dregninger med cos, sin og tan i retinklet trekant Sinsformlen for areal af trekant Sinsformlen for areal af trekant eis for sinsformlen for areal af trekant Eksemler Ç brg af sinsformlen for areal af trekant Sinsrelationen Sinsrelationen eis for sinsrelationen estem inkel med sinsrelationen estem side med sinsrelationen Ogae med to läsninger osinsrelationen osinsrelationen eis for cosinsrelationen eis for cosinsrelationen, -niea estem inkel med cosinsrelationen estem side med cosinsrelationen... 14

3 11. Nogle begreber HÄjde Median Vinkelhaleringslinje Nogle betegnelser Sammensat ogae KadratsÅtninger De 11 ogaetyer med sider og inkler i retinklet trekant De 4 formler til dregning af sider og inkler i retinklet trekant De 4 ogaetyer i läser ed hjål af cosinsrelationen eller sinsrelationen De 3 ogaetyer med sinsformlen for trekants areal... 0 De 3 formler for ilkçrlig trekant... 0 Tidligere ersioner af dette häfte kan downloades fra htt://mat1.dk/noter.htm. I fålgende häfte er der Åelser, men ikke alle er releante for brgerne af närärende häfte. htt://mat1.dk/oeelser_til_haeftet_kortfattet_trekantsberegning_for_gymnasiet_og_hf.df Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf, dgae 3 Ç 016 Karsten Jl. Nyeste dgae af dette häfte kan downloades fra htt://mat1.dk/noter.htm. HÄftet mé benyttes i nderisningen his läreren med det samme sender en til kj@mat1.dk som olyser at dette häfte benyttes, og olyser hold, niea, lärer og skole. 1/8-016

4 1. Vinkler. 1.1 Regler for inkler. 1.1 a 1.1 b 1.1 c d 1.1 e 1.1 f r I en trekant er de tre inkler altid 180 tilsammen: r 180 r 180 I ligebenet trekant er inkler ed grndlinje lige store, ds. nçr = er =. l m His l og m er arallelle, er =. 1.1 g = 1.1 h w = + = w 1.1 i En inkel i en trekant er sids his den er nder 90 ret his den er 90 stm his den er oer 90.. Omkreds, areal, häjde..1 Omkreds. Udregn omkreds sçdan: LÅg siderne sammen. Ds. Omkreds = a+b+c+d+e EMÉRK: f er ikke med i omkredsen. Et linjestykke inden i figren er ikke en side og härer ikke med til omkredsen.. Rektangel. Udregn rektangels omkreds sçdan: LÅg siderne sammen. Ds. Omkreds = l+b+l+b = l+b Udregn rektangels areal sçdan: LÅngde gange bredde. Ds. real = lb.3 Kadrat. Udregn kadrats omkreds sçdan: LÅg siderne sammen. Ds. Omkreds = s+s+s+s = 4s Udregn kadrats areal sçdan: Side gange side. Ds. real = ss = s Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

5 .4 HÄjde. HÅjden fra er det linjestykke der gér fra og inkelret ind É den modstéende side. HÅjden fra gér inkelret ind É den modstéende sides forlängelse. Siden er håjden fra.. HÄjde-grndlinje-formel for trekants areal. For trekanter gålder: areal = 1 häjde grndlinje Trekants areal = En af håjderne i trekanten. 1 da Grndlinje, ds. den af siderne der er inkelret É den algte håjde. a c d b Formlen brges ikke kn til at bestemme areal. His i kender to af tallene areal, håjde og grndlinje, sé kan i bestemme det sidste af tallene..6 Eksemel hor areal er kendt. real = 10 = 1 häjdegrndlinje 1 h 8 19, 8 h areal 10 1, LÄsning af ligningen den hjålemidler: 10 1 h 10 h h , h h 7, LÄsning af ligningen med hjålemidler:.7 HÄjde der ikke er tegnet. Ogae: Figren iser en gal. estem häjden af galen. 17m 19 m 6 m 8 9 Sar: Vi tegner den iste häjde h. Vi ser Ç den retinklede trekant. f reglen for sins i retinklet trekant fçr i h = 6sin(9) Se 7.1 b Ds. h =,863 Galens häjde er m. h 9 6 m Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 016 Karsten Jl

6 3. Pythagoras' såtning. 3.1 Katete og hyotense. Siderne og ertrekantens kateter. Det kan i se fordi inklen imellem og er ret. Siden r er hyotensen. Det kan i se fordi r ikke er en af kateterne. darsel: His en trekant ikke er retinklet, sç har den herken hyotense eller kateter. r 3. Pythagoras' såtning. Pythagoras såtning som formel For en retinklet trekant gålder: nçr og er kateter, og r er hyotense. Pythagoras såtning i ord r GÄlder kn i retinklet trekant. Den ene katete i anden ls den anden katete i anden er hyotensen i anden. r 3.3 estem katete med Pythagoras' såtning. Vi ser: kateterne er a og 6 hyotensen er 10 Derfor er a 6 10 LÄsning af ligningen den hjålemidler: a 10 6 a 10 6 da 0<a a a a LÄsning af ligningen med hjålemidler: 3.4 estem hyotense med Pythagoras' såtning. Vi ser: kateterne er og 1 hyotensen er t Derfor er 1 t LÄsning af ligningen den hjålemidler: 1 t 1 t da 0<t 169 t t 13 1 t LÄsning af ligningen med hjålemidler: Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

7 4. Srogbrg ModstÇende inkel eller side. er modstçende inkel til siden l, og l er modstçende side til inklen, fordi l ikke städer o til. Vi ser at m og n städer o til, sç m og n er ikke modstçende til. l w m er modstçende til m. w er modstçende til n. n 4. etegnelse for modstçende inkel eller side. His der stçr i trekant DEF er f 14 gålder det er siden oer for inkelsidsen F der er 14. Srogbrgen er nemlig sçdan at nçr et stort bogsta er en inkelsids i en trekant, gålder det tilsarende lille bogsta er siden oer for inkelsidsen, D f E e d F his der ikke fremgçr andet. Eksemel Ç dnyttelse af denne srogbrg: I en trekant hor inkel er ret, er a b c. darsel: Se figr til häjre. Det dr ikke his d skrier m =,6. LÅseren kan ikke ide om det er eller der er,6. Skri m Ç den side d mener. D skal altid tegne en skitse i en geometriogae. M 4.3 Ord for siderne i en retinklet trekant. Siden er en katete fordi den städer o til den rette inkel. Siden r er hyotensen fordi den ikke städer o til den rette inkel. Siden er den hosliggende katete til inkel fordi er den af kateterne der städer o til inkel. Siden er den modstçende katete til inkel fordi er den af kateterne der ikke städer o til inkel. darsel: Ordene katete og hyotense kan kn brges i en retinklet trekant. r Eksemler r d n 8 k 63 w t g r er hosliggende katete til n er hosliggende katete til w h er modstçende katete til inklen Ç 63 t er modtçende katete til d er modtçende katete til w Hyotensen er 8 g er hyotense 7 h Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

8 . Ensinklede trekanter..1 Ord og metoder i ogaer om ensinklede trekanter. PÇ figren har jeg brgt ber til at ise hilke inkler der er lige store: De to inkler med dobbeltber er lige store. De to inkler med enkeltber er lige store. De to sidste inkler mç sç Åre lige store da inklerne i en trekant tilsammen er 180. t de to trekanter har samme inkler, dtrykker i ed at sige at trekanterne er ensinklede. Regel: NÇr to trekanter har samme inkler, er der en skalafaktor. NÇr i ganger siderne i den ene trekant med skalafaktoren, sç fçr i siderne i den anden trekant. PÇ figren har jeg ist at jeg har algt at kalde skalafaktoren k, og at jeg har algt at det er siderne i enstre trekant der skal ganges med skalafaktoren. (1) 0k = 8 da siderne der er 0 og 8 har lige store modstçende inkler (dobbeltber). () 47k = da siderne der er 47 og har lige store modstçende inkler (ingen ber). (3) nk = 46, da siderne der er n og 46, har lige store modstçende inkler (enkeltber). f (1) fçr i k = 8 = 1,4 Vi har n dregnet k og kan brge k til at dregne og n. 0 f () fçr i = 471,4 = 6,8 46, f (3) fçr i n = = 33 1,4. Simel ogae om ensinklede trekanter. Ogae Trekanterne og DEF Ç figren er ensinklede. estem d og c. Sar Trekanterne er ensinklede, sç der er der en skalafaktor som i ganger sider i med for at fç sider i DEF. c 6 4 D 9 1 F NÉr der i ogaen stér ordet ensinklede, skal i normalt dregne en skalafaktor. d E 6 = 9 da siderne der er 6 og 9, har ens modstçende inkler. = 1, Vi har diideret begge sider med 6. Vi har n dregnet og kan brge til at dregne d og c. 4 = d da siderne der er 4 og d, har ens modstçende inkler. 41, = d d =.6. c = 1 da siderne der er c og 1, har ens modstçende inkler. c 1, = 1 c =.8. Vi har diideret begge sider med 1,. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side 016 Karsten Jl

9 .3 Sammensat ogae om ensinklede trekanter. Ogae PÇ figren er arallel med DE. estem E. 1 E 1 Sar Da er arallel med DE, er trekanterne og DE ensinklede, sç der er en skalafaktor k. Udregning af k : k 1 k 1 k 3 da siderne der er og 1, har samme modtçende inkel. Vi har n dregnet k og kan brge k til at dregne. D Ved hjäl af reglerne for ensinklede trekanter kan i dregne längder af sider i trekanterne, men E er ikke side i en af trekanterne. Vi dregner derfor fårst. SÉ kan i derefter dregne E ed at träkke fra 1. Udregning af : Udregning af E : E E da og siden der er 1, har ens modstçende inkler. 6. osins, sins, tangens og Nsire. I mange ogaer med trekanter har i brg for at regne med noget der hedder cosins, sins og tangens. I et matematikfelt i et noteinde i Nsire taster i cos(6) og ctrl-enter (cmd-enter Ç Mac) : NÇr i låser denne ligning, siger i: cosins til 6 er 0, Flere dregninger: NÇr i låser disse ligninger, siger i sins til 138 er 0, og tangens til 1, er 0, His er en inkel i en trekant og 7cos() = 4, sç skal i läse denne ligning. Ligningen har mange ositie og negatie läsninger, men da er en inkel i en trekant, skal i kn finde läsninger mellem 0 og 180. Nsire läser ligningen 7cos() = 4 mht. for 0<<180 og fçr =,101. His er en inkel i en retinklet trekant, skal i kn finde läsninger mellem 0 og 90. HUSK: Oer sole-linjen skrier i med sädanligt matematiksrog had der foregér i solelinjen. HUSK altid: HÅjreklik, ttribtter, Grader for at Äre helt sikker. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

10 7. osins, sins og tangens i retinklet trekant. 7.1 De tre regler for cosins, sins og tangens i retinklet trekant. NÇr sç gålder: er en sids inkel i en retinklet trekant r er hyotensen er ' s hosliggende katete er ' s modstçende katete 7.1 a r cos( ) ds. hyotense gange cos() er 's hosliggende katete 7.1 b r sin( ) ds. hyotense gange sin() er 's modstçende katete 7.1 c tan( ) ds. 's hosliggende katete gange tan() er 's modtçende katete I mange tilfålde hedder inklen og siderne noget andet end,,, r. Derfor er det ofte en fordel at dtrykke reglerne i ord som i har gjort til enstre for formlerne. Se TYPE 1-9 side r Her er fire billeder af samme trekant: f de tre regler 7.1 a-c fçr i at fälgende seks formler gålder for trekanten anset hordan den ender: r cos( ) r cos( ) r sin( ) r sin( ) tan( ) tan( ) NÇr d skal regne en ogae med kendte tal: IndsÅt de kendte tal i en af formlerne. His bogstaet i skal finde, stçr alene Ç den ene side af lighedstegnet: Udregn den anden side af lighedstegnet. Ellers: rg sole. I ramme 7. er ist hordan sçdanne besarelser ser d. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

11 7. Eksemler Ç dregninger med cos, sin og tan i retinklet trekant. 7. a Ogae estem inkel. Sar f den retinklede trekant D fçr i 6sin( ). Nsire läser ligningen 6sin( ) mht. for 0 90 og fçr 6, 447 6, b Ogae estem. Sar f den retinklede trekant D fçr i cos( 0). D Nsire läser ligningen cos( 0) mht. for 0 og fçr 7, , c Ogae 30 meter fra et trå sigter i o mod toen. Vinklen mellem sigtelinje og andret er. Trekanten til häjre er en model af denne sitation. estem tråets häjde. Sar f denne retinklede trekant fçr i 30 tan() h. TrÅets häjde er 38 m. h 30 Enhed: meter 7. d Ogae Et nkt D ligger Ç siden i den retinklede trekant. estem D. Sar Vinkel D i trekant D er da inkelsm i trekant er 180. Vinkel D i trekant D er da de to inkler tilsammen er en hal omgang D = 1, ifälge reglen for cos i retinklet trekant 7. e Ogae Rektanglets areal er 6. estem rektanglets omkreds. Sar b h 6 b tan( 33,69) h Nsire läser ligningssystemet da rektangels areal dregnes som bredde gange häjde. ifälge reglen for tangens i retinklet trekant. b h 6 og b tan( 33,69) h mht. b og h for b > 0 og h > 0 og fçr b = 3,00000 og h =,00000 (matematikfeltet er indstillet til 6 cifre). Rektanglets omkreds er b+h = 10,00. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

12 8. Sinsformlen for areal af trekant. 8.1 Sinsformlen for areal af trekant. Sinsformlen for areal af trekant er T 1 sin( ) hor T er arealet, og er to sider i trekanten, og er inklen mellem disse sider. T Formlen brges ikke kn til at bestemme areal. His i kender tre af tallene T,, og, sé kan i bestemme det sidste af tallene. Sinsformlen for areal af trekant dtrykt i ord: real af trekant = 1 den ene side den anden side sins til inklen imellem de to sider. 8. eis for sinsformlen for areal af trekant. PÇ figren tegner i en häjde h der deler trekanten o i to deltrekanter. areal = 1 grndlinje häjde T = 1 h T = 1 sin() Dette er häjde-grndlinje-formelen for trekants areal. PÇ figren ser i at og h er grndlinje og häjde. da sin() = h ifälge regel for sin i retinklet trekant (brgt Ç enstre deltrekant). Dette er sinsformlen for trekants areal, sç i har beist at den gålder. h 8.3 Eksemler Ç brg af sinsformlen for areal af trekant. Ogae realet af trekant D er 31,6. estem långden af D. estem arealet af trekant D. Sar Da areal af trekant D er 31,6, fçr i af sinsformlen for areal af trekant: 31,6 = 0, D sin(110). Nsire läser ligningen 31,6 = 0, D sin(110) mht. D og fçr D = 13,41 13, D f trekant D og sinsformlen for areal af trekant fçr i: real af trekant D er Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

13 9. Sinsrelationen. 9.1 Sinsrelationen. Sinsrelationen gålder i alle trekanter og siger at hor sin( ) sin( ) siden er modstçende til inklen siden er modstçende til inklen Vi brger IKKE sinsrelationen i retinklet trekant, da i har simlere formler til retinklet trekant. 9. eis for sinsrelationen. PÇ figren har i tilfäjet en häjde h, der deler trekanten i to trekanter. Da disse er retinklede, er sin( ) h og sin( ) h. sin( ) sin( ) da begge sider er lig h. sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) sin( ) Vi har diideret begge ligningens sider med sin( ) sin( ) Vi har forkortet de to bräker. Dette er sinsrelationen, sç i har beist at den gålder. h. 9.3 estem inkel med sinsrelationen. Ogae estem inklen Ç figren. Sar f sinsrelationen fçr i sin( ) sin(110). Nsire läser ligningen 34 mht. for sin( ) sin(110) og fçr 37, 9094 eller 14, 091 ds. = 37,9 for mç Åre mindre end 90 da en af de andre inkler er oer estem side med sinsrelationen. Ogae estem siden b Ç figren. Sar Vi fçr brg for siden b 's modstçende inkel: = stér den for matematikfeltet. ttribtter skal Äre = og grader. TilfÅj efter facit. b 6 f sinsrelationen fçr i: sin( 48) sin(10) 7 b 6 Nsire läser mht. b for 0b og fçr b 4, Ds.: b = 4,6 sin( 48) sin(10) 6 10 Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

14 9. Ogae med to läsninger. Ogaen I trekant er (* ) 34, a og c 8. Vi il dregne inkel. Skitsen Vi tegner en skitse: Udregningen Vi såtter ind i sinsrelationen: 8 sin(34) sin( ) Nsire läser denne ligning mht. for og fçr: 63, eller 116, De to trekanter Det iser sig at der er to trekanter der ofylder (*). I den ene af disse trekanter er 63,, og i den anden er 116,. Vi il tegne de to trekanter. FÄrst tegner i og inkel. 34 l 8 Pnktet ligger Ç l, og afstanden fra til er. Derfor tegner i en cirkel med centrm og radis : N har i de to trekanter. l 34 8 Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

15 10. osinsrelationen osinsrelationen. osinsrelationen gålder i alle trekanter og siger at hor r cos( ), og r er trekantens sider siden r er modstçende til inklen Vi brger IKKE cosinsrelationen i retinklet trekant, da i har simlere formler til retinklet trekant. 10. eis for cosinsrelationen. I ramme 10.3 stçr et beis der er beregnet for -niea. PÇ figren har i tilfäjet en häjde. Vi brger ythagoras Ç den häjre af de to retinklede trekanter og fçr: r = h + n m h n r I denne ligning erstatter i h med m (ythagoras brgt Ç den enstre af de to retinklede trekanter, se (1) nedenfor), og i erstatter n med m (da m og n tilsammen er ). SÇ fçr i r = m + ( m) Heri erstatter i m med cos() og fçr r = (cos()) + ( cos()) (Venstre trekant: hyotense gange cos er inkels hosliggende katete, se () nedenfor). Nsire redcerer häjre side og fçr r = + cos() (se (3) nedenfor) Dette er cosinsrelationen som hermed er beist. emårkninger (1) m +h = er ythagoras brgt Ç den enstre af de to retinklede trekanter. h = m i har trkket m fra begge sider. () I den enstre af de to retinklede trekanter ser i at er hyotense m er hosliggende katete til inklen sç cos() = m da hyotense gange cosins til inkel er lig inkels hosliggende katete. (3) NÇr Nsire redcerer, ser det sçdan d: Vi ser at Nsire fçr samme tre led som i har skreet, men Nsire skrier de tre led i en anden råkkefälge. De tre led er, og. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

16 10.3 eis for cosinsrelationen. -niea Had er cosins? osins er en fnktion der er indbygget i matematikrogrammer. Forbindelsen mellem cosins og trekantsberegning er fastlagt ed fälgende tre regler: (1) NÇr er en sids inkel i en retinklet trekant r er hyotensen er ' s hosliggende katete sç gålder: ds. r cos( ) hyotense gange cos() er 's hosliggende katete () NÇr og tilsammen er 180 sç gålder: cos() = cos() (3) cos(90) = 0 eis nçr häjden falder inden for trekanten PÇ figren har i tilfäjet en häjde h. HÄjden deler trekanten i to retinklede trekanter. LÅngden af denne katete kalder i m. SÇ mç långden af denne katete Åre m. Den häjre retinklede trekant har kateter h og m og hyotense r. Den enstre retinklede trekant har kateter h og m og hyotense. Vi brger ythagoras Ç her af disse trekanter og fçr h = r ( m) og h = m. De to häjresider er begge lig h, sç de er lig hinanden: r ( m) = m r = m +( m) Vi har lagt ( m) til begge sider. r = m + +m m Vi har omskreet ( m) ed brg af en af kadratsåtningerne. r = + m m og m gçr d mod hinanden. (4) r = + cos() Regel for cosins i retinklet trekant brgt i enstre trekant gier cos() = m. Ligningen (4) er cosinsrelationen som hermed er beist i det tilfålde hor häjden falder inden for trekanten. Ramme 10.3 fortsätter É näste side. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

17 eis nçr häjden falder den for trekanten Vi har tilfäjet en häjde h sç der fremkommer en stor og en lille retinklet trekant. Den lille retinklede trekant har kateter h og m og hyotense. Den store retinklede trekant har kateter h og +m og hyotense r. Vi brger ythagoras Ç her af disse trekanter og fçr h = r (+m) og h = m. De to häjresider er begge lig h, sç de er lig hinanden: r (+m) = m r = m +(+m) Vi har lagt (+m) til begge sider. r = m + +m +m Vi har omskreet (+m) ed brg af en af kadratsåtningerne. r = + +m m og m gçr d mod hinanden. r = + +cos() Regel for cosins i retinklet trekant brgt i enstre trekant gier cos() = m. r = + +( cos()) Da og tilsammen er 180, er cos() = cos(). () r = + cos() Ligningen () er cosinsrelationen som hermed er beist i det tilfålde hor häjden falder den for trekanten estem inkel med cosinsrelationen. Ogae estem inklen Ç figren. Sar f cosinsrelationen fçr i: 3,,4 6,0,4 6,0 cos( ) 3,,4 Nsire läser ligningen 3,,4 6,0,4 6,0 cos( ) mht. for og fçr 3, 09. Ds.: = 3,1. 6,0 10. estem side med cosinsrelationen. Ogae estem siden Ç figren. Sar f cosinsrelationen fçr i: = cos(9) Nsire läser ligning = cos(9) mht. for 0 og fçr 1, Ds.: =, Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

18 11. Nogle begreber HÄjde. En häjde i en trekant er et linjestykke der gçr fra en inkelsids til et nkt Ç den modstçende side og er inkelret Ç denne side. I enher trekant er der tre häjder. PÇ figren er ist häjden ha fra Ç siden a. F.eks.: His det i en ogae er olyst at D er häjden Ç (se figr), sç har d fçet olyst at inkel D er ret. SÇ kan d brge reglerne for retinklet trekant. h a D 11. Median. En median i en trekant er et linjestykke der gçr fra en inkelsids til midtnktet af den modstçende side. I enher trekant er der tre medianer. D PÇ figren er ist medianen mb fra Ç siden b m b His det i en ogae er olyst at D er median Ç (se figr), sç har d fçet olyst at D og D er lige lange: F.eks.: His d kender D eller kan dregne D, sç kan d dregne ed at gange D med. F.eks.: His d kender eller kan dregne, sç kan d dregne D ed at diidere med Vinkelhaleringslinje. En inkelhaleringslinje i en trekant er en linje der gçr gennem en af inkelsidserne og halerer inklen. I enher trekant er der tre inkelhaleringslinjer. PÇ figren er ist inkelhaleringslinjen for inkel. w w His det i en ogae er olyst at D er inkelhaleringslinje for inkel D (se figr), sç har d fçet olyst at inklerne og er lige store: F.eks.: His d kender eller kan dregne, sç kan d dregne inkel i trekant ed at gange med. F.eks.: His d kender inkel i trekant eller kan dregne den, sç kan d dregne inkel ed at diidere inkel med Nogle betegnelser. er inkel i trekant. Eksemel: PÇ figren er RSQ. S R er linjestykket med endenkter og. er långden af linjestykket. Eksemel: PÇ figren er PQ og PS ikke samme linjestykke, men PQ PS. I en trekant betegner, og bçde nkter og inkler. Eksemel: Man kan skrie P 90 eller P 90. P Q Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

19 1. Sammensat ogae. En grndogae i trekantsberegning kan d läse ed at finde ogaen i oersigten side En sammensat ogae kan d ikke läse ed at finde ogaen i en lårebog da der er alt for mange mligheder. Meningen med en sammensat ogae er at d skal se hordan d kan läse den ed hjål af grndogaer. I mange sammensatte ogaer er der tegnet et linjestykke som deler en trekant o i to deltrekanter. For at finde d af had d skal gäre, kan d tegne de tre trekanter her for sig og skrie tal og bogstaer Ç dem. NÇr d har tegnet de tre trekanter, ser d om der er en af dem hor d kan regne noget d. His det d har regnet d, ogsç er en side eller inkel i en af de andre trekanter, sç skrier d ogsç resltatet her. Det er isår igtigt at tegne den store trekant da det iser sig at linjen inden i den er distraherende nçr man regner Ç den store trekant. 13. KadratsÅtninger. De tre kadratsåtninger: Kadratet Ç en sm: Kadratet Ç en differens: ( a b) a b ab ( a b) a b ab To tals sm gange samme tals differens: ( a b)( a b) a b Srogbrg: kadratet Ç et tal = tallet oläftet til anden. Eksemel: kadratet Ç 4 = 16 og kadratet Ç 3x = 9x. Eksemler Ç brg af kadratsåtningerne: Kadratet Ç en sm: (3x ) (3x) 3x 9x 30x ( a b) a b a b Kadratet Ç en differens: (3x ) (3x) 3x 9x 30x ( a b) a b a b To tals sm gange samme tals differens: (3x ) (3x ) (3x) ( a b) ( a b) a b 9x Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

20 De 11 ogaetyer med sider og inkler i retinklet trekant I trekanten til häjre er siderne med långde 3 og 4 kateter, fordi inklen mellem dem er ret. Siden med långde er hyotense, fordi den ikke er en af kateterne. Forestil dig at d sidder i den sidse inkel og holder i de to inkelben. Den katete d holder i, er inklens hosliggende katete. Den anden katete er inklens modstçende katete. 4 3 Tye 1 Tye Tye 3 Hyotensen og en sids inkel. Vinklens hosliggende katete. cos(37) t Nsire dregner enstre side inklens hosliggende katete sids inkel hyotensen En sids inkel og dens hosliggende katete. Hyotensen. t cos( 37) 4 Nsire läser mht. t inklens hosliggende katete sids inkel hyotensen Hyotensen og en katete. Vinklen mellem disse. cos( ) 4 Nsire läser mht. for t t 37 4 inklens sids inkel hyotensen hosliggende katete 4 Tye 4 Tye Tye 6 Hyotensen og en sids inkel. Vinklens modstçende katete. sin (37) Nsire dregner enstre side En sids inkel og dens modstçende katete. Hyotensen. t sin ( 37) 3 Nsire läser mht. t Hyotensen og en katete. Katetens modstçende inkel. sin ( ) t inklens sids inkel hyotensen inklens sids inkel hyotensen 3 modstçende katete modstçende katete Nsire läser mht. for inklens modstçende katete sids inkel hyotensen t 37 t 3 3 Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

21 Tye 7 Tye 8 Tye 9 En sids inkel og dens hosliggende katete. Vinklens modstçende katete. 4 tan(37) Nsire dregner enstre side En sids inkel og dens modstçende katete. Vinklens hosliggende katete. t tan( 37) 3 Nsire läser mht. t De to kateter. En sids inkel. 4 tan( ) 3 t inklens modstçende katete sids inkel inklens hosliggende katete inklens modstçende katete sids inkel inklens hosliggende katete Nsire läser mht. for inklens modstçende katete sids inkel inklens hosliggende katete t 4 t 3 3 Tye 10 Tye 11 De to kateter. Hyotensen. 3 4 t hyotense kateter Nsire läser mht. t for Hyotensen og en katete. Den anden katete. t 4 Nsire läser mht. t for hyotense kateter 0 t 0 t t t De 4 formler til dregning af sider og inkler i retinklet trekant Her af de 11 metoder oenfor brger en af fälgende fire formler: I en retinklet trekant gålder (1) den_ene_katete + den_anden_katete = hyotensen For en sids inkel i en retinklet trekant gålder: () hyotensen cos( inkel ) = inklens_hosliggende_katete (3) hyotensen sin( inkel ) = inklens_modstående_katete (4) inklens_hosliggende_katete tan( inkel ) = inklens_modstående_katete Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

22 De 4 ogaetyer i läser ed hjål af cosinsrelationen eller sinsrelationen Tye 1: Udregn side med cosinsrelationen Trekanten er ikke retinklet. En inkel mellem to sider og disse to sider. Siden oer for inklen. altid 6 6 cos(41,4) inklensben siden oer for inklen Nsire läser ligningen mht. for ,4 Tye 13: 4 Udregn inkel med cosinsrelationen Trekanten er ikke retinklet. De tre sider. Vinklen. altid 6 6 cos( ) inklensben siden oer for inklen Nsire läser ligningen mht. for Tye 14: Udregn side med sinsrelationen Trekanten er ikke retinklet. En side og to inkler. En af de andre sider. sin( 41.4) sin( ) siden der er 6 enheder, ligger oer for inklen der er 8,8 siden der er enheder, ligger oer for inklen der er 41,4 Nsire läser ligningen mht. for 0 41,4 His det ar siden oer for den kendte inkel i sklle finde, sç mçtte i färst dregne denne inkel ed at dnytte at smmen af de tre inkler er ,8 6 Tye 1: Udregn inkel med sinsrelation Trekanten er ikke retinklet. To sider og inklen oer for en af dem. Vinklen oer for den anden af de to sider. 4 8,8 sin( 4 ) sin( 8,8 6 ) siden der er 6 enheder, ligger oer for inklen der er 8,8 siden der er 4 enheder, ligger oer for inklen af stärrelse Nsire läser ligningen mht. for Nsire gier bçde en läsning nder 90 og en läsning oer 90. Hsk at begrnde hilken af läsningerne der skal brges. I dette tilfålde kan begrndelsen Åre: "Vinklen er nder 90 da siden oer for inklen ikke er den stärste i trekanten." I nogle ogaer er det olyst om inklen er stm (ds. oer 90 ) eller sids (ds. nder 90 ). Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

23 De 3 ogaetyer med sinsformlen for trekants areal Tye 16 realet er altid 1 To sider og inklen mellem dem. realet. T 1 6sin(41,4 ) inklen skal Åre mellem disse sider Nsire dregner ligningens häjre side. T 6 41,4 Tye 17 altid 9,9 1 realet, inklen mellem to sider og en af de to sider. Den anden af de to sider. 1 sin(41,4 ) Nsire läser ligningen mht.. inklen skal Åre mellem disse sider 9,9 41,4 Tye 18 altid 9,9 1 realet og to sider. Vinklen mellem de to sider. 1 6 sin( ) inklen skal Åre mellem disse sider Nsire läser ligningen mht. for Ligningen har bçde en läsning nder 90 og en läsning oer 90. His ogaen er i en räe, sç il der Åre flere olysninger sç det fremgçr hilken af de to trekanter ogaen drejer sig om. 9,9 6 De 3 formler for ilkçrlig trekant Her af metoderne 1-18 brger en af fälgende tre formler: I alle trekanter gålder 1 () T sin( ) nçr T er trekantens areal og er inklen mellem siderne og. (6) sin( ) nçr er siden oer for inklen og er siden oer for inklen. sin( ) (7) r cos( ) nçr, og r er siderne og er inklen mellem og. Trekantsberegning for - og -niea i stx og hf Side Karsten Jl

24 Stikordsregister areal, 9, 0 areal og sins 9 beis for cosinsrelationen 1, 13 beis for sinsformlen for areal af trekant 9 beis for sinsrelationen 10 cosins 7 cosins og Nsire 6 cosins i retinklet trekant 7, 17, 18 cosinsrelationen 1, 14, 19 ensinklede trekanter, 6 hosliggende katete 4, 17, 18 hyotense 3, 17, 18 häjde, 1 häjde-grndlinje-formel for trekants areal katete 3, 17, 18 kadrat 1 kadratsåtninger 16 median 1 modstçende katete 4, 17, 18 modstçende side 4 modstçende inkel 4 omkreds 1 Pythagoras' såtning 3, 18 rektangel 1 ret inkel 1 retinklet trekant 17, 18 sammensat ogae 16 sins 7, 9 sins i retinklet trekant 7, 17, 18 sins og Nsire 6 sinsformel for areal 9 sinsrelationen 10, 19 skalafaktor sids inkel 1 stm inkel 1 tangens 7 tangens i retinklet trekant 7, 18 tangens og Nsire 6 to läsninger 11 ilkçrlig trekant 0 inkel 1, 1 inkelhaleringslinje 1