Vektorer. koordinatgeometri. for gymnasiet, udgave Karsten Juul

Transkript

1 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl

2 VEKTORER Koordinter til pnkt i plnen Koordinter til pnkt i rmmet Vektor: Definition, sprogrg, mm 4 Vektor: Koordinter 5 Koordinter til ektors sltpnkt 6 Nlektor 7 Længde f ektor 8 Modst ektor4 9 Tærektor 4 Tl gnge ektor 5 Vektor pls ektor 5 Vektor mins ektor 6 rojektion 6 4 rikprodkt 7 5 rikprodkt: Vinkelret? 7 6 rikprodkt: Vinkel mellem ektorer 8 7 rikprodkt: rojektion f ektor 8 8 Determinnt 9 9 Determinnt: rllel? Determinnt: Arel Krdsprodkt Krdsprodkt: rllel? Krdsprodkt: Arel 4 Krdsprodkt: Vinkelret ektor KOORDINATGEOMETRI 5 rmeterfremstilling for linje 6 Ligning for linje 4 7 Ligning for pln 5 8 Ligning for cirkel 6 9 Ligning for kgle 6 Afstnd fr pnkt til linje 7 Afstnd fr pnkt til pln 7 Vinkel mellem linjer 7 Vinkel mellem plner 8 4 Vinkel mellem sideflder 8 5 Vinkel mellem linje og pln 9 6 Vilkårligt pnkt på linje 9 7 Skæring mellem to linjer l og m 9 8 Skæring mellem linje og cirkel 9 Skæring mellem linje og kgle 4 Skæring mellem linje og pln 4 rojektion f pnkt på linje 4 rojektion f pnkt på pln 4 Tngent til cirkel 44 Tngentpln til kgle EVISER 45 eis for t i må prikke ind i en prentes 46 eis for formel eis for t i får nl når i prikker med nlektor 48 eis for regel om sklrprodkt og inkelret 49 eis for formlen for projektion f ektor 4 5 eis for prmeterfremstilling for en linje 4 5 eis for ligning for linje 5 5 eis for ligning for pln 5 5 eis for ligning for cirkel 5 54 eis for ligning for kgle 5 ØVELSER 6-4 Tidligere ersioner f dete hæfte hr skiftet dresse til Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl Neste ersion f dette hæfte kn downlodes fr mtdk/noterhtm Hæftet må rges i nderisningen his læreren med det smme sender en e-mil til kj@mtdk som oplser t dette hæfte enttes, og oplser hold, nie, lærer og skole 5/8-7

3 Koordinter til pnkt i plnen Koordintsstem i plnen Se figr De to koordintkser er inkelret på hinnden egndelsepnkt O er koordintksernes skæringspnkt og hr koordintsættet (,) VEKTORER Det hedder et pln, ikke en pln, men i geometri er egge dele korrekt I eksmensopger skries en pln c Koordintsæt til pnktet Q Vi nringer et fltrt pnkt i O O Vi forskder pnktet 5 enheder i -ksens retning så det kommer fr O til Når i forskder 5 enheder i -ksens retning, så lier -koordinten 5 enheder større Når i forskder i -ksens retning er det kn -koordinten der ændres Altså hr koordintsættet (5, ) Fr forskder i pnktet enhed i -ksens retning så det kommer fr til Q Når i forskder enhed i -ksens retning, så lier -koordinten enhed større Når i forskder i -ksens retning er det kn -koordinten der ændres Altså hr Q koordintsættet (5, ) Det første tl i koordintsættet er pnktets -koordint Det ndet tl i koordintsættet er pnktets -koordint d Koordintsæt til pnktet R å den øerste figr kn i kn komme til R ed t strte i O, forskde i -ksens retning og forskde 4 i -ksens retning Derfor er R (, 4) Koordinter til pnkt i rmmet Koordintsstem i rmmet Figren iser et koordintsstem i rmmet De tre koordintkser er inkelret på hinnden egndelsepnkt O egndelsespnktet er koordintksernes skæringspnkt ogstet O rges ofte til t etegne egndelsespnktet O hr koordintsættet (,,) O er et ogst! c Koordintsæt til pnktet R Q Vi nringer et fltrt pnkt i O Vi forskder pnktet 5 enheder i -ksens retning så det kommer fr O til Når i forskder 5 enheder i -ksens retning, så lier -koordinten 5 enheder større Når i forskder i -ksens retning er det kn -koordinten der ændres Altså hr koordintsættet ( 5,, ) Fr forskder i pnktet enhed i -ksens retning så det kommer fr til Q Når i forskder enhed i -ksens retning, så lier -koordinten enhed større Når i forskder i -ksens retning er det kn -koordinten der ændres Altså hr Q koordintsættet ( 5,, ) Fr Q forskder i pnktet enheder i z-ksens retning så det kommer fr Q til R Når i forskder enheder i z-ksens retning, så lier z-koordinten enheder større Når i forskder i z-ksens retning, er det kn z-koordinten der ændres Altså hr R koordintsættet ( 5,,) Det første tl i koordintsættet er pnktets -koordint Det ndet tl i koordintsættet er pnktets - koordint Det tredje tl i koordintsættet er pnktets z-koordint emærk t pnkterne R og T ligger lige lngt oer -plnen som indeholder -ksen og -ksen lnen der indeholder -kse og z-kse, kldes z-plnen, og z-plnen indeholder -kse og z-kse d Koordintsæt til pnktet S Der gælder t S (, 4, ) d i kn komme til pnktet S ed t strte i O, forskde i -ksens retning, 4 i -ksens retning og i z-ksens retning R R O z T Q (5,) R (, 4) R (5,,) S (,4, ) S Q Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl

4 Vektor: Definition, sprogrg, mm En ektor er en pil His i forskder en pil den t dreje den, så er pilen stdig smme ektor En ektor kn etegnes med et lille ogst med pil oer c å figrerne f og g gælder: Vektorerne og er smme ektor, for de kn forskdes oer i hinnden d de hr smme længde og smme retning Vektorerne og c er ikke smme ektor d de hr forskellig længde Vektorerne d og e er ikke smme ektor d de hr forskellig retning d å figr f går ektoren fr pnktet til pnktet Q Så kn denne ektor etegnes med Q Der gælder t Q og Q e Når en ektor er nrgt så den går fr et pnkt til et pnkt Q, så siger i: er ektorens strtpnkt og Q er ektorens sltpnkt Når i fsætter ektoren d fr, så er dens sltpnkt Q Q c h En firknt ACD er et prllelogrm netop his A DC 4 Vektor: Koordinter 4 Regel: Vi kn få en ektors koordintsæt ed t trække strtpnktets koordinter fr sltpnktets koordinter 4 Skriemåde: En ektors koordintsæt skries lodret 4c Når A, ) og, ), er 4d Når A,, ) og,, ), er ( A ( ( A ( 4e Eksempel 4f Eksempel å figr f er (5,) og Q (,) å figr g er R (,, ) og S (,, ) så ds Figr f ( 5) Q så og ds A Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl RS d 4g Dette koordintsæt fortæller t går 4h Dette koordintsæt fortæller t d går i -ksens retning og i -ksens retning, i -ksens retning i -ksens retning og Dette kn i også se på figr f i z-ksens retning Dette kn i også se på figr g 4i His en ektors strtpnkt er O(,), så er ektorens koordinter = sltpnktets koordinter En ektor er stedektor for et pnkt his den går fr O(,) til pnktet OA er stedektor for A D C R d z e S Figr g d

5 5 Koordinter til ektors sltpnkt 5 Når A (, ) og A er 5 Når A (,, ) og A er z, ),, ) ( ( z A A 5c I ord kn de to formler dtrkkes sådn: Når en ektor er fst d fr et pnkt, og mn lægger ektorens koordinter til pnktets koordinter, så får mn koordinterne til ektorens sltpnkt 5d Eksempel 5e Eksempel (4,) Ud fr figren sltter i:,, ), 6 Nlektor 5 ( z r r r, (,, z) r Med disse etegnelser får i d fr figren:,, z) ( r, r, z ) ( r 6 Vekoren med længde kldes nlektor og etegnes med o som er ogstet lille o med pil oer 6 I plnen er o, og i rmmet er o 6c å en figr er nlektor et pnkt 7 Længde f ektor 7 Skriemåde: Smolet etder længden f ektoren ( 45, ) (9, ) r r 7 Når, er 7c Når, er z z,5 7d Opge estem længden f ektoren I rmmet er dregningerne de smme,6 ortset fr t der er tre koordinter Sr Se 7 Sr Sr,5,6,5,6,9 Afsnit 7 fortsætter på næste side! Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl

6 7e Opge estem fstnd mellem A (,) og (6,5) Sr Se 4c, 7 Sr Se 4c Sr Se 4i, 4c A (,) (6,5) 6 ( ) A 5 A 8 ( 6) 8 6 Afstnd mellem A og er I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter Kontrol ed elektronisk flæsning på figr Afsætter pnkter med A 's og 's koordinter Forinder disse med ektor Måler elektronisk dennes længde Resltt er ligesom ed dregning 8 Modst ektor 8 Koordinter til modst ektor En ektor hr den modstte ektor En ektor hr den modstte ektor z 8 8c z 8d Modst ektor på figr Den modstte ektor til hr smme længde som og hr modst retning f 8e Eksempel å figren er Så er Se 8 ( ) I rmmet er dregningen den smme ortset fr t der er tre koordinter 9 Tærektor Kn plngeometri I rmmet kn rges krdsprodkt 9 Når i drejer en ektor 9 mod ret, så får i ektorens tærektor Se figr 9 Vi skrier â er tærektoren til oer en ektor for t etegne tærektoren En ektor i rmmet hr IKKE en tærektor Dette skldes t en ektor i rmmet kn drejes 9 på endelig mnge måder Vi kn ikke ide hilken f disse i skl rge â Afsnit 9 fortsætter på næste side! Figr 9 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

7 9c Formel for tærektor Vi dregner koordinterne til tærektoren ed hjælp f følgende formel: 9d 9e Eksempel: His, er â Se figr 9 9f Eksempel D skl IKKE hske t reglen Figr 9g iser et kdrt er nr 9 D skl læse reglen, Af 9 får i hske den, og forstå t den rges her Det smme gælder 5 A lle tilsrende henisninger Vi omskrier højresiden med Formel 9d og får A 5 Af dette og Formel 5 får i ( 7, ( 5) ) D C 5 A(7,) Figr 9g Altså er ( 8, ) Tl gnge ektor Koordinter til Vi gnger en ektor med et tl ed t gnge her f ektorens koordinter med tllet: k k c k k k k k d på en figr,5 er ensrettet med d,5 er positi,5 er,5 gnge så lng som er modst rettet d er negti er gnge så lng som e er nlektoren o f Længden f k er k gnge længden f Se 7c g k er ensrettet med his k er positi k er modstrettet his k er negti h His er o eller prllel med, så findes et tl k så er k Vektor pls ektor Koordinter til,5 c på en figr d på en figr His er fst i forlængelse f som på figr e, så er His og er fst d fr smme pnkt ektoren R som på figr f, og QRS er et prllelfr 's strtpnkt til 's spids ogrm, så er digonlen R lig Q Q R R Figr e Figr f Afsnit fortsætter på næste side! S Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

8 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl g Eksempel Figr h iser tre ektorer Af regel c får i 7 8 Herf og f får i ) ( 7) ( 8 Altså er 4 Vektor mins ektor Koordinter til c på en figr d på en figr His og er fst i forlængelse f hinnden som på figr e, så er T lig His og er fst d fr smme pnkt, så er ektoren fr 's spids til 's spids å figr f, er SQ lig e Omskrininger med pls, mins og gnge med tl 9 ) ( t t t t t t t t t t ) ( rojektion rojektion f pnkt på linje Når i fr et pnkt går inkelret ind på en linje l, kommer i til et pnkt på l som i klder projektionen f på l Sådn kn i tegne projektionen Kn plngeometri For t tegne projektionen f et pnkt på en linje l tegner i den linje m som går gennem og er inkelret på l Skæringspnktet mellem m og l er det pnkt i klder projektionen f på l Figr e Figr f Q T Q S l l l 7 8 Figr h l Afsnit fortsætter på næste side! Ordet projektion dtles pro jæg sjon IKKE pro sjæg sjon Ordet projicere dtles pro ji sere IKKE pro sji sere IKKE pro sjæg tere

9 c rojektion f ektor på ektor Linjen l er prllel med Når i projicerer strtpnkt og sltpnkt for på l, så får i strtpnkt og sltpnkt for en ektor som i klder projektionen f på d rojektion f pnkt på pln Når i fr et pnkt går inkelret ind på en pln, kommer i til et pnkt i som i klder projektionen f på l 4 rikprodkt 4 rikprodktet f to ektorer og er et tl Når i kender koordinterne, kn i dregne prikprodktet ed hjælp f formlerne i rmmerne rikprodktet kldes også sklrprodktet Sklr etder tl 4 4c 5 rikprodkt: Vinkelret? 5 Smolet læses er inkelret på eller og er ortogonle 5 netop når his herken eller er nlektor 5c Opge t og estem t så og er ortogonle Sr Uden hjælpemidler, se 4 og 5 Sr Se 5 t t og er ikke nlektor så de er ortogonle netop når deres prikprodkt er t = t + = t = t = I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter Her står hd Nspire gør i sole-linjen Det er ikke nok t skrie sole-linjen og er ortogonle når t Kontrol på kdreret ppir Når t = er å kdreret ppir tegner i denne ektor og Med inkelmåler måler i inklen mellem ektorerne Vi får t inklen er 9, som den sklle ære Afsnit 5c fortsætter på næste side! Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

10 Tnkegng g spørgsmålet å figren er den pnkterede linje inkelret på Vi ser t når t stiger fr til, så drejer 's retning Det ser d til t for en ærdi f t som ligger mellem og 6 rikprodkt: Vinkel mellem ektorer 6 Når i fsætter to ektorer d fr smme pnkt, dnner de to inkler Den f inklerne der er mindre end eller lig 8, klder i inklen mellem ektorerne 6 Når er inklen mellem og, er cos( ) 6c Når p hr ligningen cos() = p netop én løsning i interllet 8 Denne løsning etegnes cos (p) I Nspire må cos ikke skries 8 6d Opge og estem inklen mellem og som en potens Tegnet skl ælges på tegnpletten Sr Se 6, 6c, 4, 7 8 Vinkel mellem og er 8 ( ) cos ( ) cos ( ) 8 ( ) 94,987 94,4 Sr Se 6 og 6c Sr Se 6 og 6c I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter Kontrol ed elektronisk flæsning på figr 8 Vi tegner og Ved elektronisk måling f inklen mellem disse får i 94,987 Det er smme resltt som i fik ed dregning 7 rikprodkt: rojektion f ektor 7 rojektionen f på er 7 Længden f projektionen f på er Afsnit 7 fortsætter på næste side! Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

11 7c Smolet læses den nmeriske ærdi f når er et tl Der gælder, 4 4, 4 4,,5, 5,,5, 5, os er længden f fordi er en ektor er den nmeriske ærdi f fordi er et tl 7d Opge og estem projektionen f på Sr Se 7, 4, 7,,7 Sr Se 7 Sr Se 7 I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er tre koordinter,,7 Kontrol ed elektronisk flæsning på figr Elektronisk konstrktion f ektor og d fr O(,) linje l gennem 's strt- og sltpnkt linje m som er inkelret på l og går gennem 's sltpnkt skæringspnkt mellem l og m ektor fr O til skæringspnkt Denne ektor er projektionen f på Dens koordinter er lig endepnkts koordinter d strtpnkt er O Vi flæser elektronisk sltpnkts koordinter Det er (-,, -,7), smme resltt som ed dregning 7e Opge og estem længden f projektionen på 5 I rmmet er dregningerne de smme Sr Se 7,4, 7, 7c ortset fr t der er tre koordinter 5 ( ) ( ) 5 Sr Se 7 Sr Se 7 8 Determinnt Kn plngeometri 8 Determinnten det(, ) f to ektorer på er et tl Når i kender koordinterne, kn i dregne determinnten ed hjælp f formlen i rmmen To ektorer i rmmet hr ikke en determinnt 8 det(, ) Afsnit 8 fortsætter på næste side! Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

12 8c Opge 8 og estem det(, ) Sr Uden hjælpemidler, se 8 Sr Sr 8 det(, ) 8 ( ) 6 9 Determinnt: rllel? Kn plngeometri I rmmet kn rges krdsprodkt 9 Smolet læses og er prllelle 9 netop når det(, ) his herken eller er nlektor 9c Opge 4 og estem t så og er prllelle t Sr Uden hjælpemidler, se 9, 8 Sr Se 9 4 t og er ikke nlektor, så de er prllel netop når det(, ) ( ) t 4 6t 4 = 6t = 4 6t t Tnkegng g spørgsmålet å figren er den pnkterede linje prllel med Vi ser t når t stiger fr til, så drejer 's retning Det ser d til t for en ærdi f t som ligger mellem og Her står hd Nspire gør i sole-linjen Det er ikke nok t skrie sole-linjen når t når t når t når t Determinnt: Arel Kn plngeometri I rmmet kn rges krdsprodkt Arelet A f det prllelogrm der dspændes f og er A det(, ) Se figr Afsnit fortsætter på næste side! A Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl

13 Opge 8 og estem rel f prllelogrm dspændt f og Sr Uden hjælpemidler Se, 8, 7c Sr Se 8 Arel f prllelogrm dspændt f og er det(, ) ( ) c Eksempel Arelet T f treknt AC er T det( A, AC) C d Eksempel En skæ firknt QRS deler i op i to treknter for t finde relet Krdsprodkt Kn rmgeometri A T Krdsprodktet f to ektorer og er en ektor Når i kender koordinterne, kn i dregne krdsprodktet ed hjælp f formlen i rmmen Krdsprodktet kldes også ektorprodktet Q S R Vi skl ide t denne formel findes Vi skl ikke hske formlen Vi il ltid rge Nspire til t dregne krdsprodkt c Eksempel Dette er dregnet på Nspire ed t tste His det ikke skl læses f ndre, kn mn i stedet tste Krdsprodkt: rllel? Kn rmgeometri I plnen kn rges determinnt netop når o his herken eller er nlektor Eksempel 9 9 og å Nspire dregner i D er nlektor, er og prllelle Krdsprodkt: Arel Kn rmgeometri I plnen kn rges determinnt Arelet A f det prllelogrm der dspændes f og er A Afsnit fortsætter på næste side! Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl

14 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl Eksempel og å Nspire dregner i Arelet A f det prllelogrm der dspændes f og er ) ( A c Eksempel Arelet T f treknt AC er AC A T d Eksempel: En skæ firknt QRS deler i op i to treknter for t finde relet e Opge Figr iser klods i koordintsstem med enhed dm Gør rede for t t ACD er et prllelogrm, og estem rel f ACD Sr Se h, 4d, Sr Se h, 4d, A(,,) (,,) C(,4,) D(,,) A 4 DC D DC A er ACD et prllelogrm AD Arel f ACD er 6,78 AD A Arel f ACD er,7dm 6 4 Krdsprodkt: Vinkelret ektor Kn rmgeometri I plnen kn rges tærektor 4 Krdsprodktet f to ektorer er en ektor der er inkelret på egge ektorer: og 4 Højrehåndsreglen: Gri om med højre hånd så fingrene peger fr til Så il pege i tommelfingerens retning z Q R S A C T A(,,) (,,) C(,4,) D(,,) D A C z dregnet f Nspire

15 KOORDINATGEOMETRI 5 rmeterfremstilling for linje r r r t 5 r l 5, ) (, ) ( r r r t r r,, ) (,, z) ( z r l r r Når (, ) er et pnkt på l og Når (,, z) er et pnkt på l og r r r er prllel med l, så er følgende er prllel med l, så er følgende en prmeterfremstilling for l: en prmeterfremstilling for l: r 5c t r 5d z z r t r r 5e Når 5c er en prmeterfremstilling for l, 5f Når 5d er en prmeterfremstilling så gælder: for l, så gælder: (, ) er et pnkt på l,, ) er et pnkt på l r r er prllel med l 5g Antg t,, r og r i c 5c er erstttet med 5h estemte erstttet med tl Så estemte gælder: tl Så gælder: His i indsætter et tl for t og dregner højresiden, så får i koordinterne til et pnkt der ligger på linjen His koordinterne til et pnkt ikke kn fås på denne måde, så ligger pnktet ikke på linjen 5i En ektor der er prllel med l, kldes en retningsektor for l 5j Når A og er to forskellige pnkter på l, så er A prllel med l ( z r r r er prllel med l 5k Når A er et pnkt på l og A er prllel med l, så er et pnkt på l 5l Opgetpe: estem prmeterfremstilling for linje Metode: His der ikke er oplst koordinter til et pnkt på linjen, så find koordinter til et pnkt på linjen His der ikke er oplst koordinter til en ektor der er prllel med linjen, så find koordinter til en ektor der er prllel med linjen Indsæt koordinter fr pnkt og ektor i 5c eller 5d 5m Eksempel En linje l går gennem pnkterne A (5,, ) og (5, 7, 4) For t estemme en prmeterfremstilling for l rger i 5j, 4d og 5d D A og ligger på l, er A prllel med l 55 A 7 7 så l hr prmeterfremstillingen 4 4 Afsnit 5 fortsætter på næste side! Antg t,, z, r, r og r i 5d er erstttet med estemte tl Så gælder: His i indsætter et tl for t og dregner højresiden, så får i koordinterne til et pnkt der ligger på linjen His koordinterne til et pnkt ikke kn fås på denne måde, så ligger pnktet ikke på linjen A 5 t 7 z 4 l Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl

16 5n Eksempel Linjen på figren hr prmeterfremstillingen 7 t 4 Når t = er Når t = er Når t =,5 er = 7 + ( )( ) = 9 = 4 + ( ) = = 7 + ( ) = = 4 + = = 7 +,5( ) = = 4 +,5 =,5 7 5o Opge l : t Ligger pnktet (, ) på l? 4 Sr Uden hjælpemidler Se 5g og 5n (, ) ligger kn på l his der er et tl t så 7 + t( ) = 4 + t = Af første ligning får i t = Når t = gier den nden lignings enstreside 4 D den ikke gier : (, ) ligger ikke på l 6 Ligning for linje Kn plngeometri 6 Når (, ) er et pnkt på l og er inkelret på l, så kn i estemme en ligning for l ed først t sætte ind i formlen (, ) ( ) ( ) og derefter gnge ind i prenteserne og trække smmen så i får en ligning f tpen c l 6 Når c er en ligning for l, så er ektoren inkelret på l 6c Når i kender tllene, og c i en ligning c for en linje l, så kn i ndersøge om et pnkt ligger på l ed t sætte pnktets koordinter ind for og i ligningen His ligningen lier snd, så ligger pnktet på l His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke på l 6d En ektor der er inkelret på l kldes en normlektor for l 6e Opge l : + 4 = nktet (, ) ligger på l estem Sr Uden hjælpemidler Se 6c D (, ) ligger på linjen l med ligningen + 4 =, lier ligningen snd når i indsætter pnktet + 4 = = Afsnit 6 fortsætter på næste side! Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

17 6f Opge En linje l går gennem pnkterne A (, 7) og (,) estem ligning for l på formen + + c = Sr Uden hjælpemidler Se 5j, 9, 9d og 6 5 D A (, 7) og (,) ligger på l, er l prllel med A 7 6 ( 6) 6 Så er l inkelret på A D (, ) (, 7) er et pnkt på l, og er inkelret på l, hr l ligningen 5 ) ( ) ( 6 ( ) ( 5) ( 7) Ligning for pln Kn rmgeometri 7 Når (,, z) er et pnkt i en pln, og er inkelret på, c så kn i estemme en ligning for ed først t sætte ind i formlen ( ) ( ) c( z z) og derefter gnge ind i prenteserne og trække smmen så i får en ligning f tpen cz d 7 Når cz d er en ligning for, så er ektoren inkelret på c 7c Når i kender tllene,, c og d i en ligning cz d for en pln, så kn i ndersøge om et pnkt ligger i ed t sætte pnktets koordinter ind for, og z i ligningen: His ligningen lier snd, så ligger pnktet i His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke i 7d Når A og er to forskellige pnkter i, så er A prllel med 7e En ektor der er inkelret på, kldes en normlektor for 7f Når og er prllelle med, så er inkelret på his og ikke er prllelle, ds his ikke er nlektor 7g Opge En pln dspændes f pnkterne A (,, 4), (,,) og C (, 4, ) (ds er den pln der indeholder de tre pnkter) estem ligning for Sr Se 4d, 7d, 7f, 7 D A (,, 4), (,,) og C (, 4, ) ligger i, er følgende to ektorer prllelle med : A 5 og 4 AC A AC 5 Udregnet f Nspire Denne ektor er inkelret på d den ikke er nlektor og A og AC er prllelle med 8 D (,, z) (,, 4) er et pnkt i, og 5 er inkelret på, hr ligningen c ) ( ) c( z z ) ( 8 ( ) 5 ( ) ( ) ( z 4) 8 5 z c (,, z) 7h Udtrkket er den pln som linjerne l og m dspænder etder t l og m er to ikke-prllelle linjer der ligger i 7i Udtrkket plnen er dspændt f og etder t og er to ikke-prllelle ektorer der egge er prllelle med Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

18 8 Ligning for cirkel Kn plngeometri 8 ( ) ( ) r er ligning for en cirkel med centrm C, ) og rdis r ( 8 Når er et pnkt på en cirkel med centrm C, er cirklens rdis r C Se 7e 8c Eksempel En cirkel hr ligningen ( ) ( 5) 9 Vi omskrier til formen 8 : ( ) ( ( 5) ) Herf ser i t centrm er (, 5) og rdis er 8d Metode: Når i kender en ligning for en cirkel, så kn i ndersøge om et pnkt ligger på cirklen ed t sætte pnktets koordinter ind for og i ligningen - His ligningen lier snd, så ligger pnktet på cirklen - His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke på cirklen 8e Opge En cirkel hr ligningen 7 estem centrm og rdis Sr Uden hjælpemidler 7 Se i 8f- hordn d kommer frem til næste linje Se i 8f- hordn d kommer frem til næste linje ( ) ( 5) 9 Herf ser i t centrm er (, 5) og rdis er 9 Se 8 og 8c 8f Forklring til 8e 8f- Koefficienten til er Hldelen er, og i nden er Vi lægger til egge sider Koefficienten til er Hldelen er 5, og 5 i nden er 5 Vi lægger 5 til egge sider Konstntleddet er 7 Vi trækker 7 fr egge sider 8f- Koefficienten til er Hldelen er Derfor skl der stå i første prentes Koefficienten til er Hldelen er 5 Derfor skl der stå +5 i nden prentes emærk: Ifølge kdrtsætninger er ( ) og ( 5) 5 emærk: Indsættes o=, o= 5 og r = i ( ) ( ) r, så får i ( ) ( 5) 9 8f- His -led eller -led mngler, ser omskriningen lidt nderledes d: ) ( 5) 8 Centrm er (, 5) og rdis er 8 ( 9 Ligning for kgle Kn rmgeometri 9 ( ) ( ) ( z z) r er ligning for en kgle med centrm C,, ) og rdis r ( z 9 Regel: Når er et pnkt på en kgle med centrm C, er kglens rdis r C Se 7c og 7e 9c Eksempel En kgle hr ligningen ( ) ( z 5) 8 Vi omskrier til formen 9: Herf ser i t centrm er (,, 5) og rdis er 8 8 ( ) ( ( 5 ) ( ) ) 9d Metode: Når i kender en ligning ( ) ( ) ( z z) r for en kgle, så kn i ndersøge om et pnkt ligger på kglen ed t sætte pnktets koordinter ind for, og z i ligningen - His ligningen lier snd, så ligger pnktet på kglen - His ligningen lier flsk, så ligger pnktet ikke på kglen 9e Opge En kgle hr ligningen z z 8 estem centrm og rdis Sr Se forklring i 8e-8f z z 8 z 5 z 5 8 ) ( z 5) 8 Herf ser i t centrm er (,, 5) og rdis er 8 ( Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

19 Afstnd fr pnkt til linje Kn plngeometri Afstnden d fr et pnkt, ) til en linje l : c er ( c d Opge estem fstnd fr (, ) til linjen l : 4 Sr Afstnden fr (, ) = (,) til linjen l : c med = 4, =, c = er l d c 4 8 =, 6 4 ( ) 5 Afstnd fr pnkt til pln Kn rmgeometri Afstnden h fr et pnkt (,, z) til en pln : cz d er h h cz d Se c Vinkel mellem linjer Metode: His i kender retningsektorer r l og r m for linjer l og m, så find inklen mellem r l og r m Så il og 8 ære de to inkler som l og m dnner Se 6 og 6d r l m r m 8 l Metode: His i kender normlektorer n og n for to linjer l og l i plnen, så find inklen mellem n og n Så il og 8 ære de to inkler som l og l dnner Se 6 og 6d c Metode: His i for to linjer l og l i plnen kender en retningsektor r og en normlektor n, så find inklen mellem ˆr og n Så il og 8 ære de to inkler som l og l dnner Se 9d og 6 og 6d 6 8 d Opge To linjer l og m er giet ed l : 4 t og m : s z 5 z 5 estem den spidse inkel mellem l ogm Sr Se 6 8 l : 4 t m : s r l = r m = z 5 z 5 Af prmeterfremstillingerne ser i t r l er prllel l og t r m er prllel med m, så inklen mellem disse ektorer er en f de to inkler mellem l og m : = cos r m ( l r ( ) ) = cos ( ) = 95, ,9 rl r m ( ) D > 9 gælder: Den spidse inkel mellem l og m er 8 95,9 = Afsnit d fortsætter på næste side! 84, Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

20 Sr Vinkel mellem plner Kn rmgeometri Find inklen mellem normlektorer n og n til to plner og Så il og 8 ære de to inkler som og dnner Se 6 og 6d 4 Vinkel mellem sideflder Kn rmgeometri 4 Figren iser inklen mellem to flder Når i skl finde, finder i inkler mellem de to plner der indeholder flderne Der er to inkler og mellem disse plner His det ikke er oplst om inklen mellem flderne er den spidse eller stmpe f inklerne mellem plnerne, så må i rge 4 4 Til den ene sideflde skl i finde en normlektor n der peger ind i inklen (rg højrehåndsreglen 4) Til den nden sideflde skl i finde en normlektor n der peger d f inklen (rg højrehåndsreglen 4) Vinklen mellem n og n er inklen mellem sideflderne 4c His egge ektorer peger ind i inklen, eller egge peger d, finder i inklen (på figr oenfor) som ikke dnnes f sideflderne De to plner der indeholder sideflderne, dnner inklerne og 4d Opge Flden CD er indeholdt i plnen med ligningen + z = estem den stmpe inkel mellem flderne AC og CD Sr To flder n A n z C De to plner der indeholder de to flder A(,,) (,,) C(,,) D Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

21 5 Vinkel mellem linje og pln Kn rmgeometri 5 Først: Find inklen mellem en normlektor n til plnen og en retningsektor r til linjen Så: His er mindre end 9: Fr 9 trækkes for t få inkel mellem linje og pln His er større end 9: Fr trækkes 9 for t få inkel mellem linje og pln Se 6 og 6d Grøn streg er pln set fr siden lå streg er linje 6 Vilkårligt pnkt på linje 6 Vi omskrier prmeterfremstillingen for en linje l: 5 5 t t t Et ilkårligt pnkt på l er (, ) (5t, t) 7 Skæring mellem to linjer l og m r n? 5t t I rmmet er dregningen den smme ortset fr t der er tre koordinter r? n 7 åde l og m er giet ed prmeterfremstilling Først finder i et ilkårligt pnt på her linje: l: (, ) (s, 5s) og m: (, ) (t, t) Vi skl estemme s og t så de to pnkter hr ens -koordinter og ens -koordinter: s t 5 s t Vi løser dette ligningssstem mht s og t og får: s og t Når s er (, ) (s, 5s) (, 5) (4, ) Skæringspnktet er (, ) (4, ) 7 åde l og m er giet ed ligning Kn plngeometri Vi skl finde og så egge ligninger er opfldt: l: m: 6 Vi løser dette ligningssstem mht og og får 4 og Skæringspnktet er (, ) (4, ) 7c l er giet ed ligning, m ed prmeterfremstilling Kn plngeometri Først finder i et ilkårligt pnkt på m : I 6 står hordn i gør m: (, ) (t, t) Vi indsætter dette pnkt i ligningen l: og får (t ) ( t) Vi løser denne ligning mht t og får t Når t er (, ) (t, t) (, ) (4, ) Skæringspnktet er (, ) (4, ) I 6 står hordn i gør rmetrene s og t i de to pnkter må ikke ære smme ogst Skri t Nspire løser ligningssstemet med sole, eller skri mellemregninger Skri t Nspire løser ligningen med sole, eller skri mellemregninger I rmmet er dregningerne de smme ortset fr t der er koordinter Skri t Nspire løser ligningssstemet med sole, eller skri mellemregninger Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

22 8 Skæring mellem linje og cirkel Kn plngeometri 8 Linjen er giet ed prmeterfremstilling Først finder i et ilkårligt pnkt på linjen : (, ) (t, t) Vi indsætter dette pnkt i cirklens ligning og får 6 ( t ) 6(t) ( t) ( t) Vi løser denne ligning mht t og får t eller t Når t er (, ) (t, t) (, ) (, ) Når t er (, ) (t, t) (, ) (6, ) Skæringspnkterne er (, ) og ( 6, ) 8 Linjen er giet ed ligning Linjen og cirklen er giet ed ligningerne 6 6 Vi løser dette ligningssstem mht og og får og eller 6 og Skæringspnktet er (, ) (, ) og (, ) (6, ) I 6 står hordn i gør Skri t Nspire løser ligningen med sole, eller skri mellemregninger Skri t Nspire løser ligningssstemet med sole, eller skri mellemregninger 9 Skæring mellem linje og kgle Kn rmgeometri 9 Metode: Vi indsætter et ilkårligt pnkt fr linjen i kglens ligning, os Se 6 og 8 4 Skæring mellem linje og pln Kn rmgeometri 4 Metode: Vi indsætter et ilkårligt pnkt fr linjen i plnens ligning, os Se 6 og 7c Opge ln og ligning l er giet ed: : z 9 l : 4 t 5 estem skæringspnkt mellem l og z Sr Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl

23 4 rojektion f pnkt på linje Kn plngeometri 4 Vi il finde projektionen Q f pnktet (,) på linjen l: Q er skæringspnktet mellem l og linjen m der går gennem og er inkelret på l Af ligningen for l ser i t ektoren er inkelret på l, så m hr prmeterfremstillingen : m t Herefter kn i rge metoden fr 7c til finde Q 4 Vi il finde projektionen Q f pnktet (,) på linjen l: 7 t Q er skæringspnktet mellem l og linjen m der går gennem og er inkelret på l Af prmeterfremstillingen for l ser i t ektoren er prllel med l En ektor inkelret på l er, så m hr prmeterfremstillingen : m t Herefter kn i rge metoden fr 7 til finde Q 4c Opge En linje l går gennem pnkterne A(, ) og (9, 4) estem projektionen f (, ) på l Sr rojektionen f på l er skæringspnktet mellem l og linjen m der er inkelret på l og går gennem estemme ligning for l 9 9 A(, ) og (9, 4) ligger på en linje l A Vektor prllel med l : Vektor inkelret på l : l går gennem (, ) = (,) og er inkelret på, så l hr følgende ligning: ( ) + ( ) = 5( ) + ( ) = 5 + = estemme prmeterfremstilling for m r 5 m går gennem (, ) = (,) og er prllel med, så m hr følgende r r 5 prmeterfremstilling: t ds t r estemme skæringspnkt mellem l og m Vilkårligt pnkt på m som er (+5t, +t) indsætter i i ligning for l : 5(+5t) + (+t) = Nspire løser denne ligning mht t og får t = Når t = er det ilkårlige pnkt lig (+5( ), +( )) = (6, ) rojektionen f på l er ( 6,) Kontrol ed elektronisk flæsning på figr Elektronisk konstrktion: Tegn pnkter (,) og (9,-4) Tegn linje l gennem disse Tegn pnkt (,) Tegn linje m som er inkelret på l og går gennem (,) Tegn skæringspnkt mellem l og m Dette skæringspnkt er projektionen f på l Aflæs elektronisk koordinter til skæringspnkt Reslttet er (6,) ligesom i dregningen f projektionen Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl

24 4 rojektion f pnkt på pln Kn rmgeometri 4 Vi il finde projektionen Q f pnktet ( 6,, 5) på plnen : z 5 Q er skæringspnktet mellem og linjen m der går gennem og er inkelret på Af ligningen for ser i t ektoren er inkelret på, så m hr prmeterfremstillingen 6 m : t z 5 Herefter kn i rge metoden fr 4 og 4 til finde Q 4 Tngent til cirkel Kn plngeometri 4 Sprogrg: En tngent til en cirkel er en linje der hr præcis ét pnkt fælles med cirklen Dette pnkt kldes røringspnktet Når mn siger tngenten i, etder det t er røringspnktet 4 Regel: En tngent til en cirkel er inkelret på linjen gennem centrm og røringspnkt 4c Regel: En linje er tngent til en cirkel netop his fstnden fr centrm til linjen er lig rdis 4d Metode: nktet (4, 5) ligger på en cirkel med centrm C (,) Vi il finde en ligning for tngenten l i Ifølge 4 er C inkelret på l, så i kn finde ligningen for l ed t rge 4c og 6 4e Metode: Linjen l: 4 4 er tngent til en cirkel med centrm C (, 5) Vi il finde en ligning for cirklen Ifølge 4c kn i finde rdis ed t finde fstnden fr C til l (se ) Så kn i estemme cirklens ligning ed t rge 8 4f Metode: Vi il ndersøge om linjen l: 4 4 er tngent til cirlen M: ( ) ( 5) 8 Metode : Vi finder centrm og rdis som i 8c Så dregner i fstnden fr centrm til l og rger 4c Metode : Vi finder skæringspnkterne mellem l og M og rger 4 Skæringspnkterne finder i som i 8 44 Tngentpln til kgle Kn rmgeometri 44 Sprogrg: En tngentpln til en kgle er en pln der hr præcis ét pnkt fælles med kglen Dette pnkt kldes røringspnktet Når mn siger " tngentplnen i ", etder det t er røringspnktet 44 Regel: En tngentpln til en kgle er inkelret på linjen gennem centrm og røringspnkt 44c Regel: En pln er tngentpln til en kgle netop his fstnden fr centrm til plnen er lig rdis 44d Metode: nktet (4, 5, ) ligger på en kgle med centrm C (,, 4) Vi il finde en ligning for tngentplnen i ligger i, og ifølge 44 er C inkelret på, så i kn finde ligningen for ed t rge 4d og 7 44e Metode: lnen : z 4 er tngentpln til en kgle med centrm C (,, 5) Vi il finde røringspnktet Ld l ære linjen gennem C og Af 7 følger t er inkelret på og derfor (ifølge 44) prllel med l Vi kn n (se 5d) opskrie en prmeterfremstilling for l og derefter finde røringspnktet som skæringspnkt mellem l og (se 4) 44f Metode: lnen : z 4 er tngentpln til en kgle med centrm C (,, 5) Vi il finde en ligning for kglen Ifølge 44c kn i finde rdis ed t finde fstnden fr C til (se ) Så kn i estemme kglens ligning ed t rge 9 44g Metode: Vi il ndersøge om plnen : z 4 er tngentpln til kglen med centrm C (,, 5) og rdis 4 Vi dregner fstnden fr C til (se ) og rger 44c Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl C C l

25 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl EVISER 45 eis for t i må prikke ind i en prentes og er koordinter til, og tilsrende for og w ) ( ) ( ) ( w w w w w w w w w w w w w w w w w w w De to dtrk w ) ( og w w gier smme fire led, så de er smme tl: 45 w w w ) ( 46 eis for formel 46 og er koordinter til ) ( ) ( ) ( k k k k k k k ) ( k k k k k De to dtrk k ) ( og k gier smme resltt, så de er smme tl: 46 ) ( k k 47 eis for t i får nl når i prikker med nlektor og er koordinter til o så 47 o 48 eis for regel om sklrprodkt og inkelret Ld og ære forskellig fr nlektor og er koordinter til, og tilsrende for Når i fsætter og d fr smme pnkt, er ektoren fr 's spids til 's spids Af pthgors og dens omendte følger t netop når Vi omskrier denne ligning: ) ( ) ( ) ( ) ( N hr i eist t his og ikke er nlektor, så gælder 48 netop når Vi hr rgt ektorregel og 4, og tlregler: gnge ind i prentes, og ed pls er rækkefølge ligegldig I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Vi hr rgt ektorregel, 4 og 7, og tlregler: ed gnge er rækkefølge ligegldig, =, kdrtrod i nden, og gnge ind i prentes I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Vi hr rgt ektorregel 4, og tlregel om nl gnge tl I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Her hr i rgt d Her hr i rgt 7 og Her hr i rgt 4 er -koordinten til er -koordinten til

26 49 eis for formlen for projektion f ektor Se figren til højre hor er en ektor der ikke er nlektor rojektionen f på er en ektor der er o eller prllel med, så i kn få projektionen frem ed t gnge med et tl: t Når c er ektoren på figren, er t c egge sider i denne ligning prikker i med og får: t c Vi prikker ind i prentesen og får: ( t) c Første led på højre side omskrier i med 46, og sidste led er d c er nlektor eller inkelret på : t egge sider i denne ligning diiderer i med og får: t Vi indsætter dette dtrk for t i følgende ligning som i egrndede oenfor: t og får: 49 5 eis for prmeterfremstilling for en linje l er linjen som går gennem (, ) og er prllel med r r r r r t r, ) (, ) ( l t I et eis ehøer i ikke ide horfor i skrier estemte ligninger Det er nok t i kn se t ligningerne er rigtige Så hr i indset t sltreslttet er rigtigt c Et pnkt (, ) ligger på l netop når ektoren fr (, ) til (, ) er o r eller prllel med r ds ektoren fr (, ) til (, ) er lig r t, hor t er et tl r ds r i får (, ) når i lægger t 's koordinter til (, ) r ltså r 5 t r så i hr eist t 5 er en prmeterfremstilling for linjen l som går gennem (, ) og hr retningsektoren r r Se figr I rmmet er eiset det smme ortset fr t der er tre koordinter Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

27 5 eis for ligning for linje Kn plngeometri l er linjen som går gennem (, ) og er inkelret på Vektoren fr (, ) til (, ) er Se figr netop når Et pnkt (, ) ligger på l og dette gælder netop når ds 5 ) ( ) er o eller inkelret på ( Vi hr n eist t 5 er en ligning for linjen der går gennem (, ) og hr normlektoren 5 eis for ligning for pln Kn rmgeometri eiset er mgen til eiset i fsnit 5 ortset fr t der er tre koordinter og i siger pln i stedet for linje 5 eis for ligning for cirkel Kn plngeometri M er cirklen med centrm C (, ) og rdis r Et pnkt (, ) ligger på M netop når ds længden f C er r længden f er r Ved hjælp f længdeformlen (se 7) kn i skrie dette sådn: ( ) ( ) D egge sider er, kn i opløfte til nden Så får i ( r ) ( ) Dette er cirklens ligning (se 8) r (, ) (, ) l 54 eis for ligning for kgle Kn rmgeometri eiset er mgen til eiset i fsnit 5 ortset fr t der er tre koordinter og i siger kgle i stedet for cirkel Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

28 rg lnt og iskelæder når d dflder Kglepen ol er FORUDT! ØVELSER Øelse () Læs fsnit () Tegn pnkterne A(, 4), ( 4, ), C( 4, ), D(, ) (c) For A er = og = (d) Er = for pnktet A? Sr: (e) Tegn 4 pnkter hor = og kld dem, Q, R og S (f) Tegn 4 pnkter hor = 4 og kld dem H, I, J og K Øelse Se d () Angi hor tllet h er på -ksen () Angi hor tllet h er på -ksen ( h, k) (c) Angi hor tllene h og h er på -ksen (d) Tegn følgende pnkter: A (, h), ( k, ), C( h, k), D( h k, ) Øelse () Angi hor tllet 5 er på -ksen A(5, ) p () Angi hor tllet 5 + p er på -ksen q (c) Skri koordinter ed hjælp f p og q: (, ), C(, ), E D C D(, ), E(, ) z Øelse () Læs fsnit () Skri koordinter: A A(,, ) (,, ) C(,, ) (c) Tegn pnktet D(,, 4) (d) Tegn pnktet E(,, ) C Øelse Se d z Tegn følgende pnkter i koordintsstemet: (,, ) Q (,,) R (,, ) S (,, ) T (,, ) Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

29 Øelse Se c () Hilke f ektorerne er ens? () Hilke f ektorerne hr smme længde? (c) Hilke f ektorerne hr smme retning? (d) Hilke f ektorerne hr modst retning? (e) Tegn en ektor g som er prllel med e og hr smme længde som e, men ikke er smme ektor som e Øelse Se e () Afsæt d fr A () Afsæt d fr (c) Når i fsætter d fr, er sltpnktet C e c A d f (d) Når i fsætter d fr, er sltpnktet A (e) Når sltpnktet for er D, er strtpnktet (f ) Når i fsætter d fr, er sltpnktet C Tegn C D 4 Øelse Se 4-4f Skri koordinter: ( Q ( R ( S ( z Q c d 4 Øelse Se h og 4d d R c S z Q Der er giet pnkterne (,, 4) Q( 5,, 4) R(,, ) S(,, ) R () Undersøg om firknt QRS er et prllelogrm S 4 Øelse Se 4g () Koordintsættet fortæller t går i -ksens retning og i -ksens retning () Afsæt d fr (c) Koordintsættet fortæller t går i -ksens retning og i -ksens retning (d) Afsæt d fr Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

30 44 Øelse 6 A(4, ), p, q 7 () Tegn A () Afsæt p d fr A, og kld sltpnktet (c) Afsæt q d fr, og kld sltpnktet C (d) = (, ) AC 45 Øelse m er stedektor for A n er stedektor for p er stedektor for C q er stedektor for D () Læs fsnit 4i () Tegn m, n, C og D (c) m, A = (, ) (d) p, C = (, ) 5 Øelse 7 (5, 9), Q(,,5), () Læs fsnit 5c () Når er fst d fr, så hr sltpnktet ( +, + ) = (, ) (c) Når er fst d fr Q, så hr sltpnktet ( +, + ) = (, ) (d) Når er fst d fr R(, ) så hr sltpnktet (9, 5) 5 Øelse Se 5c Skri koordinter: 6 Øelse = (, ) = (, ) Q = ( A (8, ) og (4, 6) () Læs 6-6 () AA Se 4c (c) His C o, er C = ( Se 5c (d) His er nlektor, og strtpnktet for er ( 7, ), så hr sltpnktet (, ) p (4, 5) - -7 q A h k Q 7 Øelse () Læs 7c-7d z () Skri koordinter: A = ( = ( A (c) A (d) Udregn længden f Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

31 7 Øelse Se 7 Når t t, er 7 Øelse Læs fsnit 7e estem fstnden mellem pnkterne (, ) og Q(, 5) 8 Øelse Se 8 k Når, er 9 Fcit indeholder ogstet t 8 Øelse Se 8d Afsæt den modstte ektor til c d fr c 9 Øelse Se 9d () Når, er â k ) Når, er ˆ 5 k Fcit indeholder ogstet k 9 Øelse Se 9 og 8d () Afsæt tærektoren til d fr A () Afsæt den modstte ektor til d fr A (c) Afsæt ˆ d fr A A 9 Øelse Se 9, 4c, 9d og 5c () Figren iser to ens kdrter A (5, ), (, 7) C Skri snd eller flsk ed her ligning: A AC, A AC, A CD, A CD () Udregn koordintsættet til C A D (c) Udregn koordintsættet til D Øelse Se () Når, er 6 () Når t Øelse Se d () Tegn () Tegn,5 (c) Tegn 4, er 4 Øelse Se og 5, t og c 4 () (d) () (e) t (c) (f) c Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

32 Øelse Se c og d () Tegn ektoren () Tegn ektoren c (c) Tegn ektoren d c d Øelse Se c og 5c, og (, ) 5 () Udregn koordintsættet til c () Udregn koordintsættet til Q c Q Øelse Se og () 4, og c 7 k () Øelse Se c og d () Tegn ektoren () Tegn ektoren c (c) Tegn ektoren d 5 c c d Øelse Se d, d og 7 4 og 8 4 Vi fsætter og d fr et pnkt Vektorerne og dspænder et prllelogrm () estem længden f den f prllelogrmmets digonler der dgår fr () estem længden f den nden digonl 4 Øelse Se d 4 A og AC C 5 4 Øelse Se () Tegn den linje n som går gennem og er inkelret på l () Tegn det pnkt l som er projektionen f på l (c) Tegn det pnkt m som er projektionen f på m l m Øelse Se og c () Tegn en linje l som er prllel med () Tegn 's strtpnkt, og tegn det pnkt som er projektionen f dette pnkt på l (c) Tegn projektionen f 's sltpnkt på l (d) Tegn den ektor som er projektionen f på (e) Tegn projektionen f på Øelse Se og c l () Tegn projektionen f på l () Tegn projektionen f på n n Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl

33 4 Øelse Se 4, 4 og 4c () () (d) (e), 6 og c 4 4 Skri snd eller flsk ed her f følgende 5 påstnde: () rikprodktet f og er c (4) rikprodktet f og er () rikprodktet f og er 4 (5) c 4 () Sklrprodktet f og er (6) c 7 c (c) t t k Øelse Se 5 og 5 Skri snd eller flsk ed her f følgende 7 påstnde: () (5) er inkelret på () c (6) c () og er ortogonle (4) og c 4 (7) er ortogonle 6 c 5 Øelse Se 5c og 5c t 6 og 5 4 () Når t er () Når i fsætter ektoren fr () d fr pnktet (7,), så lier endepnktet (, ) = (, ) (c) Afsæt ektoren fr () d fr (d) For t, for t og for t skl d fsætte d fr Skri t-ærdierne ed de 4 ektorer (e) er inkelret på netop når Når i dregner enstre side, lier denne ligning til Vi løser denne ligning mht t og får t ds for denne ærdi f t er Dette kn godt psse med figren 6 Øelse Se 6d og cos 4 Når er inklen mellem og, er cos C(, ) 6 Øelse Se 4c og 6d rg 6 til t dregne inkel A i treknt AC (9, ) A(, ) Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl

34 7 Øelse Se c, 4g og 7d () Tegn den ektor som er projektionen f på () (c) Udregn koordintsættet til og skri mellemregninger: 7 Øelse Se 7c Skri snd eller flsk ed her f de 4 påstnde: () Den nmeriske ærdi f 6 er 6 () 7 7 () 5 5 (4) Når 5, er 7 Øelse Se 7e, 4g og c 4 5 og 4 () Udregn længden f, og skri mellemregninger: () Afsæt og d fr, tegn, og mål længden f 8 Øelse Se 8, 8 og 8c () () (d), 8 og c 4 Skri snd eller flsk ed her f følgende 4 påstnde: () Determinnten f og er c () Determinnten f og er () Determinnten f og er 5 (4) det(, c ) 4 det(, c ) (c) det(, ) t det(, ) t 9 Øelse Se 9 og 9 Skri snd eller flsk ed her f følgende 6 påstnde: () det( A, AC) () det( A, AD) () det( A, DE) (4) det( AD, E) 5 7 (5) A AC (6) 9 Øelse Se 9c 6 t og 5 4t () For her f t-ærdierne,,, og skl d fsætte d fr () og er prllelle netop når det(, ) Når i dregner enstre side, lier denne ligning til Vi løser denne ligning mht t og får t ds for denne ærdi f t er Vi ser t dette godt kn psse med figren A C E D Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl

35 Øelse Se 7c Skri snd eller flsk ed her f de 4 påstnde: () Den nmeriske ærdi f 5 er 5 () () (4) Når, er Øelse Se, c og 8 Skri snd eller flsk ed her f de påstnde: () Når ektorer og i plnen dspænder et prllelogrm med rel A, så er ltid A det(, ) () Når QR er en treknt i plnen med rel T, så er T det( Q, R) 4 () 4 er relet f det prllelogrm der dspændes f ektorerne og Øelse Se Udregn relet A f det prllelogrm der dspændes f og, og skri mellemregninger 6 og A = 5 Øelse Se c () 5 4 () Øelse Se c og () og 9 7 Øelse Se c, c og () A = ( () = ( (c) C = ( (d) (f) A (e) A AC AC () Af () kn i se t og ikke er prllelle d z (g) Arelet f treknt AC er T = C Øelse Se c, d, c og A z Udregn relet f firknt ACD, og skri mellemregninger A(6,,) (,8, ) C(,6,4) D(,,6) E(,8, ) F(,,7) D F C A Øelse Se () Vektorerne og er inkelret på hinnden og deres længder er og E () I prllelogrmmet QRS hr grndlinjen Q længden, og højden er 4 Q R Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge 5 7 Krsten Jl

36 4 Øelse Se 4, 4, og Figren iser 6 ektorer der er fst d fr smme pnkt og hr længde Vektorerne er to og to enten modst rettede eller inkelret på hinnden c d e 5 Øelse Se og En linje l hr prmeterfremstillingen l : 4 t () 4 Når t er Tegn pnktet med disse koordinter () 4 Når t er Tegn pnktet med disse koordinter (c) 4 Når t er Tegn pnktet med disse koordinter (d) 4 Når t er Tegn pnktet med disse koordinter (e) 4 Når t er Tegn pnktet med disse koordinter (f) 4 Når t, 5 er 5 Øelse Se 5g Tegn pnktet med disse koordinter En linje m hr prmeterfremstillingen m : s 8 4 () Når s er, så pnktet (, ) ligger på m () Når s 5 er, så pnktet ( 5, ) ligger på m (c) Når s 8 er, så pnktet ( 8,6) ligger på m 6 (d) Find et tl s så 5 eller skri t det ikke kn lde sig gøre (e) Ligger pnktet (,5) på m? 9 (f) Find et tl s så eller skri t det ikke kn lde sig gøre 48 (g) Ligger pnktet ( 9, 48) på m? 5 Øelse Se 5c, 9, 9d og 5j 4 () En linje l går gennem pnktet (, 5) og er prllel med ektoren 7 Skri en prmeterfremstilling for l : () En linje m går gennem pnktet (,) og er inkelret på ektoren 4 Skri en prmeterfremstilling for m : (c) En linje k går gennem pnkterne (, ) og (, 8) Skri en prmeterfremstilling for k : Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl (4,) d e f c l

37 54 Øelse Se 5, 5c Linjen l hr prmeterfremstillingen p h t, t q k () Tegn de pnkter på l hor prmeteren t hr følgende ærdier:,, og 4,5 () For det pnkt på l hor t = 5, er (, ) = (, ) h k ( p, q) 55 Øelse Se 5, 5c () Skri prmeterfremstilling for linjen l : t () Skri prmeterfremstilling for linjen m : m l 56 Øelse Se 5i, 5e, 5f og 5 () () Skri snd eller flsk ed her f følgende 6 påstnde: () His to linjer k og n egge er prllelle med en ektor r, så er k og n prllelle () His r er retningsektor for linjen n, så er r inkelret på n () His r er retningsektor for linjen n, så er r prllel med n (4) To linjer er ortogonle netop når deres retningsektorer er ortogonle 7 7 (5) er retningsektor for linjen med prmeterfremstillingen t (6) er retningsektor for linjen med prmeterfremstillingen t 5 To linjer l og m i rmmet hr følgende prmeterfremstillinger: l : 6 s z Undersøg om l og m er ortogonle 6 Øelse Se 6c og m : 4 t 6 z En linje l hr ligningen l : 6 () Når i indsætter koordinterne for pnktet (, ) for og i ligningen for l, så får i ligningen () Er denne ligning snd? Sr: (c) Ligger på l? Sr: (d) Når i indsætter koordinterne for pnktet Q (,) for og i ligningen for l, så får i ligningen (e) Er denne ligning snd? Sr: (f) Ligger Q på l? Sr: (g) Når i indsætter koordinterne for pnktet R (, t) for og i ligningen for l, så får i ligningen (h) Ligningen er snd netop når t (i) Af pnkterne med -koordint er det kn pnktet (, ) der ligger på l Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

38 6 Øelse Se 6, 9, 9d og 5e () Linjen l går gennem pnktet ( 8, 5) og er inkelret på ektoren rg 6 til t skrie ligning for l () Linjen m går gennem pnktet ( 4, ) og er prllel med ektoren rg 6 til t skrie ligning for m 5 (c) Linjen k hr prmeterfremstillingen t Herf ser i t (, ) er et pnkt på k, og 4 t er prllel med k rg 6 til t skrie en ligning for k 6 Øelse Se 6, 6d og 5e () Skri snd eller flsk ed her f følgende påstnde: () His to linjer i plnen er inkelret på smme ektor, så er de to linjer prllelle () For linjer l og m i plnen gælder t his l er inkelret på n, m er inkelret på p, og n er inkelret på p, så er l inkelret på m () His n er normlektor for linjen l, så er n inkelret på l (4) His n er normlektor for linjen l, så er n prllel med l (5) To linjer i plnen er ortogonle netop når deres normlektorer er ortogonle (6) To linjer i plnen er prllelle netop når deres normlektorer er prllelle (7) er normlektor for linjen med ligningen 5 5 (8) 5 (9) 5 () 5 () To linjer l og m er giet ed l : og 8 m : t Er l og m er prllelle 4 7 Øelse Se 7 og 7c () En pln er inkelret på n og går gennem (4, 6, 5) estem en ligning for () Ligger Q(, 6, ) i? 7 Øelse Se 7, 7d, 7f, 7g () I plnen ligger pnkterne A(4,, ), (,, ) og C(, 4, ) () estem to ektorer der er prllelle med og ikke er prllelle med hinnden (c) estem en ektor der er inkelret på, og estem en ligning for 7 Øelse Se 7e, 7, 7d og 7f () Skri snd eller flsk ed her f følgende påstnde: () His r er prllel med linjen l, og n er inkelret på plnen, så er l prllel med netop når r er inkelret på n () His r er prllel med linjen l, og n er inkelret på plnen, så er l prllel med netop når r er prllel med n () His n er normlektor for plnen, så er n prllel med (4) His n er normlektor for plnen, så er n inkelret på (5) er inkelret på plnen med ligningen z 6 (6) His en pln skærer koordintkserne i pnkterne A (4,,), (,,) og C (,,), så er A AC en normlektor til Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

39 74 Øelse Se 5f, 7d og 7f I plnen ligger pnktet (,, 5) og linjen m: 4 t, < t < z 6 () å m ligger pnktet (,, ) nkterne (,, ) og (,, ) ligger i og linjestkket med disse endepnkter er ikke prllel med m () Vektoren er prllel med m Vektorerne og er prllelle med og er ikke prllelle med hinnden Vektoren er inkelret på 8 Øelse Se 8 og 8c () Cirklen med ligningen ( ) ( ) 9 hr centrm C(, ) og rdis r = () Cirklen med ligningen ( 4) ( 5) 7 hr centrm C(, ) og rdis r = (c) Cirklen med ligningen ( p) ( q) 4 hr centrm C(, ) og rdis r = 8 Øelse Se 8e estem centrm og rdis for cirklen med ligningen Øelse Se 9 og 9 En kgle hr centrm (, 5, ), og pnktet (, 7, ) ligger på kglen Skri en ligning for kglen Øelse Se Skri snd eller flsk ed her f følgende påstnde: () Afstnden fr (, 7) til l: er () Afstnden fr Q (, ) til m: 4 5 er () Afstnden fr R (, ) til n: er Øelse Se og 7c 7 ) ( () lnen hr ligningen z d hor d er et negtit tl Afstnden fr egndelsespnktet O (,,) til plnen er d () Afstnden fr (t,,) til plnen : z er t eller t 5 Øelse r, s og n Afsæt r og s 5 4 d fr d fr (9, 4), og n d fr Q(4, 5) Linjen l er prllel med r og går gennem Tegn fire pnkter på l, og tegn l Tegn også linjen m som er prllel med s og går gennem Afsæt nˆ d fr Q Tegn fire pnkter på linjen h som går gennem Q og er inkelret på n, og tegn h Udregn inklen mellem l og m, og inklen mellem l og h, og kontrollér med inkelmåler Øelse Se, og c Fire linjer er giet ed c e g l : s, l : t, l : i j k, l 4: l m n d f h () For t finde inkel mellem l og l il i først finde inklen mellem og De to inkler som l og l dnner, er så () For t finde inkel mellem l og l 4 il i først finde inklen mellem og De to inkler som l og l 4 dnner, er så (c) For t finde inkel mellem l og l 4 il i først finde inklen mellem og De to inkler som l og l 4 dnner, er så Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl

40 Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl Øelse Se, 7, 7d og 7f To plner og hr ligningerne : d cz og : h gz f e En pln indeholder pnkterne ),, ( A, ),, ( og ),, ( c c c C som ikke ligger på linje () For t finde inkel mellem og il i først finde inklen mellem og De to inkler som og dnner, er så () For t finde inkel mellem og il i først finde inklen mellem de to ektorer og De to inkler som og dnner, er så 4 Øelse Se 4, 4, 4 og 4 er inklen mellem sideflderne AD og CD Skri snd eller flsk: () Vektoren AD A peger ind i inklen () Vektoren D A peger ind i inklen () Vektoren D C peger d f inklen (4) Vektoren D DC peger d f inklen (5) er lig inklen mellem AD A og D C (6) er lig inklen mellem D A og D C 5 Øelse Se 5 er en pln og l og m er linjer: : 4 z, l : f e d t c z, m : i h g t z () For t finde inklen mellem og l il i først finde inklen mellem og His denne inkel er 8, så er inklen mellem og l lig () For t finde inklen mellem og m il i først finde inklen mellem og His denne inkel er 5, så er inklen mellem og l lig 6 Øelse Se 6 () l : 4 8 s Et ilkårligt pnkt på l er ), ( ), ( () m: 7 9 t Et ilkårligt pnkt på m er ), ( ), ( 7 Øelse Se 7 l : s, m : 6 t 7 Øelse Se 7 l : 4, m : 7 Øelse Se 7c l : 4, m : t A C D z rg metoden fr 7 til t finde skæringspnktet mellem linjerne l og m den t rge elektronisk hjælpemiddel rg metoden fr 7 til t finde skæringspnktet mellem linjerne l og m den t rge elektronisk hjælpemiddel rg metoden fr 7c til t finde skæringspnktet mellem linjerne l og m den t rge elektronisk hjælpemiddel

41 8 Øelse Se 8 l : t, C : 9 rg metoden fr 8 til t finde de to skæringspnkter mellem linjen l og cirklen C den t rge elektronisk hjælpemiddel 8 Øelse Se 8 l :, C : ( ) rg metoden fr 8 til t finde de to skæringspnkter mellem linjen l og cirklen C den t rge elektronisk hjælpemiddel 9 Øelse Se 5d, 9, 9 () Linjen l er smmenfldende med z-ksen Skri prmeterfremstilling for l () Kglen K hr centrm i A(,, ) og skærer -ksen i (,, ) estem ligning for K (c) estem koordintsæt til skæringspnkt mellem l og K 4 Øelse Se 4 å figren er en skrå æg der indeholder pnkterne A, og C En metlstng er fstgjort på denne æg i pnktet F Metlstngen er også fstgjort i pnkterne D og E øerst på to lodrette stænger A z F D E Skri hordn i kn dregne koordinterne til F når i kender koordinterne til A,, C, D, E C 4 Øelse Se 5c, 4 (, 4) l : t, < t < () estem prmeterfremstilling for linjen m der går gennem og er inkelret på l () estem projektionen Q f på l (c) Der er ndre pnkter end his projektion på l er Q estem koordintsættet til to f dem 4 Øelse Se 4 () estem koordintsæt til retningsektor og til normlektor for l () Tegn normlektoren, og det pnkt Q som er projektion f på l (c) estem koordintsæt til retningsektor og til normlektor for m (d) Tegn nornlektoren, og det pnkt R som er projektion f på m (e) Udregn koordintsæt til R l m 4 Øelse Se 4 En linje l går gennem pnktet (6, 4, ) og er inkelret på plnen : z () estem koordintsæt til ektor der er inkelret på () estem koordintsæt til ektor der er prllel med l (c) estem prmeterfremstilling for l (d) estem skæringspnkt mellem l og (e) estem koordintsæt til projektionen f på 4 Øelse l : c, C : ( 5) ( ) 6 Vi indsætter estemte tl for, og c så linjen l er tngent til cirklen C 5 c Hilket tl får i så når i dregner? Sr: For t sre på dette hr i rgt følgende tre regler fr dette hæfte: og og Vektorer og koordintgeometri for gmnsiet, dge Krsten Jl