1 skaren af exp = den naturlige

Transkript

1 Eksonntil- og ritmunktionr Rtition (rimært.-klss-sto sulrt md dirntilrgnings-ovrvjlsr) Funktionsskrn ( ) ( ) stlæggr or R + \{ } ksonntilunktionr. Scilt klds ( ) ( ) ksonntilunktion. Rrnc: GDS, s skrn dn nturlig md værdirn Figurn hrundr visr grrn or unktionrn ( ) ( ),, og 3 smt or hvr diss grr tngntn til grn md ørstkoordint til røringsunktt. klds dt nturlig tl (tysk: di Eulrsch Zhl). r t irrtionlt tl, dt vil sig R \ Q; dr gældr md hnholdsvis og dcimlr ølgnd tilnærmlsr: ig. MAT (JL), ril 4 ksonntil- og ritmunktionr s. sidr

2 For ksonntilunktionr ( ) ( ) () Dm( ) R () ( ) Vm R + (4) ( y) ( ) ( y) ( ) ( y) ( y) gældr: + y y + ( ) ( ) ( )( y) ( y) y, orudst d d ( ) ( ln( ) ) y y y ( ) ln ( ) ( ) ln( ) ( ) ' ln ( ) ( ) ( ) r monotont voksnd, hvis > ( ) r monotont tgnd, hvis < < (3) ( ) r monoton -ksn r vndrt symtot til grn or ( ) ( ) (5) ( ) + ( + ) ( ), klds ksonntilunktionns grundtl Hvr gng dr ddrs til -værdirn, multilicrs d tilhørnd y - værdir ltså md. Mn kunnn ltså tl om n gng-vækst. Til SAMMENLIGNING: g, b + stlæggr or R og b R skrn linær unktionr. Hr gældr åbnbrt: g b + + b + b + + g unktionsskrn ( ) b ( ) ( ) ( ) ( ), b, b Hvr gng dr ddrs til -værdirn, ddrs dr hr til d tilhørnd y -værdir. Linær vækst kunn ltså klds n lus-vækst. HUSK: dr r gørnd orskl å skrn ksonntilunktionr og skrn otnsunktionr ( ). ( ) ( ) Dt r ktisk muligt t dinr ksonntilunktionr som unktionr, dr oyldr btinglsrn () til (5), og muligt t vis, t dr inds n sådn unktion or hvrt nst. R + \{ } MAT (JL), ril 4 ksonntil- og ritmunktionr s. sidr

3 Ld os mind os slv om nogl grundlæggnd bgrbr. GRUNDLAG INJEKTIVITET (n-ntydighd) r gnrlt dinrt vd: En unktion r injktiv (n-ntydig), hvis dr gældr: Dm : ( ) ( ) ( ),. Grisk btydr dt, t n vilkårlig vndrt linj højst kn skær grn i ét unkt. INVERS unktion r gnrlt dinrt vd: Ld vær n injktiv unktion. Vd dn invrs unktion til orstås dn unktion. ( y) HUSK, t, dr oyldr: ( y) ( ) y bstmms ltså vd t løs ligningn ( ) y md hnsyn til (omvndt) unktion. r t smmnhængnd symbol, dr btydr invrs Dt ølgr umiddlbrt, t hr ltså INTET t gør md ( ( ) ) ( ) Vm( ) og Vm ( ) Dm( ) Dm smt om smmnsætningrn, t ( )( ) ( ( ) ) ( y ) ( )( y) ( ( y) ) ( ) y. og,. ( ). Hvis G btgnr grn or og G btgnr grn or {(, y ) y ( ) } og G ( y, ) ( y) G { }., gældr Dr gældr så: (, y ) G y ( ) ( y) ( y, ) G. Indtgnt i smm koordintsystm vil t unkt (, y ) ltså ligg å grn or hvis og kun hvis unktt md d ombyttd koordintr ( ) y, liggr å grn or. D to grr r ltså hinndns sjlbilld i linjn md ligningn y. MAT (JL), ril 4 ksonntil- og ritmunktionr s. 3 sidr

4 D ( ) r monoton unktionr, r ( ) injktiv (n-ntydig) unktionr. Dt vil sig, t dr ksistrr tilhørnd invrs (omvndt) unktionr. Diss klds ritmunktionr: dt vil sig: Scilt klds ( ) ( ) lg( ) Briggschr Logrithmus) og ( ) ln( ) ( ) ( ) ( y) ( ) y. -tls-ritmn (tysk: dkdischr llr dn nturlig ritmunktion (tysk: ntürlichr Logrithmus, ltin: rithmus nturlis). Dt r ovrvjnd d to ritmunktionr, vi rbjdr md. Figurn hrundr visr grrn or unktionrn ( ) og ( ) smt linjn md ligningn y. D d to unktionr r hinndns omvndt, r grrn hinndns sjlbilld i linjn md ligningn y. ig. MAT (JL), ril 4 ksonntil- og ritmunktionr s. 4 sidr

5 D ritmunktionr og ksonntilunktionr r hinndns invrs, ovrtgr ritmunktionn n rækk gnskbr (md ssnd ovrsættls). For ritmunktionr ( ) Dm( ) R + Vm( ) R ( y) ( ) ( y) + y y ( ) y ( ) ( ) ( y) md R + \{ } ln ( ) ( ) ( ) ln( ) d d ln gældr: ( ) ( ) ln ln ( ) ( ) ( ) ( ) d ln( ) d ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) d d ln ( ) ln ( ) ln ( ) ( ) r monotont voksnd, hvis > scilt r båd ( ) og ( ) ln monotont voksnd r monotont tgnd, hvis < < ( ) ( ) ( ) ( ) ln ( ) y -ksn r lodrt symtot til grn or ( ) MAT (JL), ril 4 ksonntil- og ritmunktionr s. 5 sidr

6 Figurn hrundr visr grrn or ( ) (svrnd til ( ) ln ), 3 og md værdirn (svrnd til ( ) ).,, ig. 3 Problmr Dr r to roblmr i orhold til ksonntil- og ritmunktionrn, som vi r gåt nogt lt hn ovr.. Dt r ikk å orhånd klrt, hvd skl btyd or irrtionl R \ Q. Dt r ikk å orhånd klrt, hvd dr dinrr dt irrtionl tl MAT (JL), ril 4 ksonntil- og ritmunktionr s. 6 sidr

7 Problm, or irrtionl R \ Q Vi kn orstå vd skridt or skridt t udvid mængdn mulig -værdir, hvis vi smtidig skridt or skridt indsnævrr mængdn mulig -værdir: n n z R n N n... n gng R \{ } R \{ } n N n R \{ } z Z s ovnor n R + N, hvor, om s ovnor R + N, N ( ) s ovnor, R + N, N s ovnor, r R + r Q or r Q inds Z og N så r, drmd gældr r, s ovnor Mn dnn orståls kn ikk umiddlbrt udvids til R + R??? Dr må gæld nogt i rtning : r R + R or r, hvor r Q Grisk kunn vi sig, t unktrn ( ) grn or unktionn ( ), or irrtionl R \ Q udyldr hullrn i, hvis vi indskrænkr os til t tgn dn or Q. MAT (JL), ril 4 ksonntil- og ritmunktionr s. 7 sidr

8 Problm, dinition dt irrtionl tl Vi kn dirntir ksonntilunktionn ( ) ( ) dirnskvotintn og brug tr-trins-rgln vd t s å ( + ) + +. Hvis vi ntgr, t ( ) ( ) åbnbrt + lim lim, ltså ( ) ( ) '( ) ' og scilt ( ) ( ) '( ) '( ) '( ) '. r n dirntibl unktion, så gældr Vi kn ltså nøjs md t undrsøg, om ( ) ( ). r dirntibl i Dn nturlig ksonntilunktion kn dinrs som dn ksonntilunktion, hvis tngnt md ørstkoordint til røringsunktt hr hældningn, or hvilkn dt ltså gældr + (*) lim llr '( ). For dn nturlig ksonntilunktion vil dr så gæld ( ) ( ) '( ) ( ) ( ) ' llr ( ) '. SAMMENSAT FUNKTION Vi huskr, t vi kn dirntir smmnstt unktionr: ( g) '( ) '( g( ) ) g '( ) Rrnc: GDS, s. 6-. MAT (JL), ril 4 ksonntil- og ritmunktionr s. 8 sidr

9 Dtt kn vi brug til nu t s å d rstrnd ksonntilunktionr: ( ) ( ) og drmd ln ln( ) ( ) ln( ) ln ( ) ( ) ( )' ( )' ln( ) ln( ) ln( ) ( ) '. Hvis dt r muligt t dinr t tl som bskrvt ovnor, r dn nturlig ksonntilunktion dirntibl i, drmd dirntibl i hl R og drmd r ll ksonntilunktionr dirntibl i hl R. Dr r ndr mådr t dinr. F.ks. gældr lim + n n llr n n!!!! 3! 4! 6 4 n FAKULTET DEFINTION or n N gældr: n 3... ( n ) n!,! llr ltrntivt: DEFINTION or n N gældr:! og n! n ( n )! Tilsvrnd r dr ndr mådr t dinr dn nturlig ksonntilunktion,.ks.: n. ( ) n n! MAT (JL), ril 4 ksonntil- og ritmunktionr s. 9 sidr

10 Hvis vi dinrr å n diss ltrntiv mådr, må vi i stdt or t dinr (* s. 8) vis, t (* s. 8) gældr. Dt kn.ks. gørs md udgngsunkt i n grisk igttgls: Dt ss igurn ig. 4 h < h < + h + h + h sr vi å < <, gældr ltså + ( ) ( ) og drmd or < < o or < < lim + lim lim ( + ) lim + + lim lim+ + ( + ) ølglig må udr n sndwichbtrgtning i bgg tilæld gæld lim ltså '( ). MAT (JL), ril 4 ksonntil- og ritmunktionr s. sidr