KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

Transkript

1 KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium

2 Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio, divisio og komplekst kojugerede... De komplekse talpla... Polær repræsetatio... 5 Multiplikatio og divisio med polær form... 9 Eulers formel og idetitet... 0 Divisio med polær repræsetatio... 5 Poteser... 6 Rødder... 0 Kvadratrødder... De komplekse logaritmefuktio... 5 De komplekse sius- og cosiusfuktioer... 8 Fuktioer... Adegradsligiger...

3 E kort historie om imagiært og virkeligt Første skridt på veje til idførelse af komplekse tal i matematik blev taget midt i det 6. århudrede, da Gerolamo Cardao (50-576) i forbidelse med sit arbejde med. gradsligiger opdagede de tal, som Reé Descartes ( ) seere kaldte imagiære tal, og som vi u ka betege som komplekse tal med realdele 0. Cardao opdagede, at ha udervejs i løsige af e tredjegradsligig med reelle løsiger måtte arbejde med kvadratrødder af egative tal. Metode virkede, og ha forholdt sig ikke til, hvorda ma skulle forstå disse kvadratrødder af egative tal. Mage matematikere har bidraget til forståelse, fortolkige og avedelse af komplekse tal, og Leohard Euler (707-78) er (selvfølgelig) é af dem. I sit værk Vollstädige Aleitug ur Algebra fra 770 idførte ha de imagiære tal (som ha også kalder umulige tal) lige efter at have idført de grudlæggede regeregler, hvilket også er de fremgagsmåde, der bliver avedt i disse oter. Desude idførte Euler (der også idførte symbolere e, f xog ) betegelse i i stedet for symbolet, der tidligere havde været avedt. Ma ka ok ikke fide et præcist tidspukt for, hvorår de imagiære/umulige tal blev virkelige, me efter bidrag fra e ade uudgåelig matematiker C.F. Gauss ( ) heruder arbejdet med Algebraes Fudametalsætig, hvor det er ødvedigt at arbejde med komplekse tal for at kue sige, at alle te-gradspolyomier har etop rødder reget med multiplicitet blev de komplekse tal vistok af de fleste matematikere beteget som virkelige. E af udtagelsere er Charles Dodgso, der uder pseudoymet Lewis Carroll i 865 udgav boge Alice i Evetyrlad. I dette værk optræder også implicit kvaterioere, der er e slags udvidelse af de komplekse tal, som blev beskrevet af William Hamilto i 8. Alice i Evetyrlad ka læses som e satire over eller kritik af matematikkes udviklig i det 9. århudrede (et muligt SRP-eme). I 799 havde de orske matematiker Caspar Wessel idført de komplekse talpla og e geometrisk fortolkig af komplekse tal, me det var i et værk (Om directioes aalytiske betegig) skrevet på dask, der blev overset i æste 00 år, så det er de fraske matematiker Jea-Robert Argad, der i 806 ude at kede til Wessels arbejde også idførte e geometrisk fortolkig af komplekse tal, der har fået de komplekse talpla opkaldt efter sig (Argad-pla). Me disse oter vil hverke behadle komplekse tal som et forløb ide for matematikkes historie eller historisk matematik. Det vil være et almideligt matematisk forløb med defiitioer, sætiger og avedelser, hvor målet er, at du skal blive fortrolig med at rege med komplekse tal og forstå, hvorda ma idfører komplekse fuktioer. Så kroologie overholdes ikke (f.eks. idføres de komplekse talpla før Eulers formel, da de geometriske fortolkig som Euler ikke havde ka hjælpe på forståelse), og vi begyder med at repetere begrebet tallegeme, som vi arbejdede med i Grudlæggede matematiske begreber del

4 Tallegemet De Komplekse Tal Defiitio : Et legeme er e matematisk struktur beståede af e mægde M, hvortil der er kyttet de to biære operatorer + og, der virker på to elemeter fra M og daer ét elemet, og hvor operatorere opfylder følgede aksiomer: ) x, y M : x y M Stabilitet ) x, y M : x y M ) x, y M : x y y x ) x, y M : x y y x 5) x, y, M : x y x y 6) x, y, M : x y x y Kommutativitet Associativitet 7) x, y, M : x y x y x Distributivitet 8) 0 M : x M : x 0 x 9) M : x M : x x Neutrale elemeter 0) x M x M : x x 0 Modsat elemet ) x M \ 0 M : x x x Reciprokt elemet I.g fadt vi frem til, at både de ratioelle tal og de reelle tal med vores almidelige regler for additio og multiplikatio er legemer, mes det ikke er tilfældet for hverke de aturlige tal eller de hele tal, hvor det bryder samme ved heholdsvis aksiom 8 (da vi ikke har et eutralt elemet ved additio ide for de aturlige tal) og aksiom (da vi ikke ka fide reciprokke elemeter for adre tal ed - og ). Defiitio : De Komplekse Tal er e matematisk struktur beståede af mægde a, b a, b, hvortil der er kyttet de biære operatorer + (additio) og (multiplikatio) givet ved: a, b a, b a a, b b a, b a, b a a b b, a b a b Fra start er det væsetligt at bemærke, at + og, der står på vestreside i oveståede defiitioer, er de biære operatorer, der æves i defiitioe, mes +, og, der står på højreside, er de regeoperatioer, vi keder fra de reelle tal. For bemærk, at på højreside står regeoperatioere mellem reelle tal, mes de på vestreside står mellem komplekse tal. Vi skal seere idføre de imagiære ehed i, hvorved vores regeoperatioer fra de reelle tal æder regeoperatioere på vestreside, me fra start er det som sagt - for rigtigt at forstå defiitioe - vigtigt at bemærke, at der er tale om forskellige operatorer. De komplekse tal består altså af par af reelle tal, og du ka måske allerede se, hvorda vi seere ka idføre e fortolkig af de komplekse tal som pukter i plae.

5 Eksempel : Defiitio avedes til at addere og multiplicere komplekse tal:,8 7, 7,8 0,,5 (6, ) 6,5,,8 7, 7 8, 87, 56,68,5 (6, ) 6 5, 5 6 5, 0 7, Ordet legeme idgår ikke i Defiitio, for det er oget, der skal bevises: Opgavere 500* Sætig : De Komplekse Tal er et legeme. Vi skal altså vise, at vi med vores biære operatorer fra Defiitio får opfyldt de aksiomer fra Defiitio. Bevis : Stabilitete (aksiomere og ) er opfyldt, da vi får et komplekst tal, både år vi adderer og multiplicerer to komplekse tal (højresidere i de to ederste idetiteter i Defiitio er begge elemeter i ). Aksiom : Vi ser på to vilkårlige komplekse tal a, b og a, b :, hvor vi skal vise, at,,,,,, a b a b a a b b a a b b a b a b De blå lighedsteg følger af Defiitio, mes det røde lighedsteg følger af, at additio af reelle tal er kommutativ. Øvelse : Bevis aksiomere -7 ved at beytte Defiitio og at de reelle tal er et legeme, dvs. at regeoperatioer med reelle tal opfylder de aksiomer. Hvis du har løst opgavere 500 og 5005, har du måske allerede geemskuet bevisere for aksiomere 8-. Aksiom 8: Det vises u, at det komplekse tal 0,0 har de søgte egeskab. Lad a b være et komplekst tal. Defiitio og vores vide om det eutrale Øvelse : Vis, at, elemet ved additio for reelle tal giver: a, b 0, 0 a 0, b 0 a, b,0 er det eutrale elemet ved multiplikatio (aksiom 9), at a, b a b det modsatte elemet til a, b (aksiom 0) samt at, a b a b reciprokke elemet til a b, år a, b 0,0 (aksiom ), er er det Vi ved fra vores tidligere arbejde med legemer, at år De Komplekse Tal er et legeme, er der e hel buke regeregler, der er opfyldt, me da ogle af disse ivolverer subtraktio og divisio, skal disse regeoperatioer først defieres med defiitioer idetiske med dem, vi keder fra de reelle tal: 5

6 Defiitio : For de komplekse tal og (hvor 0,0 i de tre ederste tilfælde) idføres: Subtraktio defieres, dvs. det er det røde teg, der defieres. Divisio defieres, dvs. det er brøkstrege, der idføres. Ma forlæger e brøk med det komplekse tal Ma forkorter e brøk med det komplekse tal 0,0, ved., hvor, hvor 0,0, ved. Dvs. præcis som med almidelige tal er poite, at subtraktio defieres ved, at er det tal, der lagt til giver, mes divisio defieres ved, at kvotiete er det tal, der multipliceret med giver. Og ige er poite med begrebere forlæge og forkorte, at brøkes værdi ikke ædres ved dee operatio (sætigere.6 og.7). Med vores Defiitio og Defiitio beviste vi allerede i.g, at der gælder følgede: Sætig : For komplekse tal i : 0,0 0,0 :,0 : : 5: 6: 7: 8: 9:, hvor 0, :,0 : :,0,0 : NULREGLEN: hvis tallet optræder i ævere, gælder: i : 5:,0 6: 7: 8: 9: 0: : : 6

7 Vi reger altså med pareteser og brøker på sædvalig vis, og år vi også kopierer defiitioere for poteser med heltallige ekspoeter fra de reelle tal, vil vi også kue overføre regereglere for disse (da bevisere for potesregereglere er baseret på potesdefiitioere og brøk- og paretesregereglere): Defiitio : a) Lad, og lad. Potese... defieres som: faktorer b) For ethvert tal gælder 0,0 c) Lad m, og lad \ 0,0. Så gælder Sætig : De fem potesregeregler for komplekse tal. Lad m,, og lad,, og 0,0.Der gælder så:. potesregeregel:. potesregeregel: m m m m. potesregeregel:. potesregeregel: 5. potesregeregel: m m m,0 m Bemærk, at sætigere og behadler komplekse tal ude at udtale sig om de reelle talpar, som de komplekse tal er opbygget af. F.eks. fortæller Sætig. os, hvorda vi dividerer et flerleddet udtryk med et komplekst tal, me ikke hvorda vi fider de reelle talpar, som udgør de ekelte kvotieter (se eksempel.c edefor). Bemærk også, at det ikke er sætigere og, der giver os idetitete. De følger af, at dee omskrivig ka foretages med alle størrelser (baaer, pærer, a b c og altså også log y, ). Me ige er det vigtigt at bemærke, at vi edu ikke ved, hvorda vi gager det reelle tal med det komplekse tal. Det ser vi dog sart på. Eksempel : Fid selv de sætiger og aksiomer, der avedes: a) ) b c) 9, 5,,8 6, 7, 9, 5,,8 9, 5 8, 9 7, 7, 6, 6, 6, 6, 6, Opgavere 50* 7

8 Opsamlig: Du skal på uværede tidspukt have bemærket, at selvom vi i Defiitio idførte e måske ved første øjekast ret mystisk regel for multiplikatio af to komplekse tal, så fugerer brøkstreger, pareteser og heltalspoteser på præcis samme måde som ved reelle tal. Det er meget vigtigt at bemærke disse ligheder, så du ka rege ubesværet med komplekse tal i disse situatioer. Me det er lige så vigtigt at bemærke forskellee, som vi sart skal se på. Som sagt magler vi at fide ud af, hvorda ma udreger de brøker, der optræder på højreside i Eksempel.c, og vi har ikke fået set på poteser med ratioelle ekspoeter, eller hvad der kommer a på det samme: Rødder. Husk på, at da vi for reelle tal gav betydig til potesere a p q og a, udyttede vi, at vi allerede kedte defiitioe på rødder ( 6 6 er det positive tal, der opløftet i 6. potes giver 6 ). Me som vi skal se, opfører de komplekse tal sig aderledes ed reelle tal, år det kommer til rødder. Vi keder allerede til de problemstillig, at både 6 6 og 6 6, hvorfor vi for at gøre kvadratrode etydig var ødt til at tilføje ordet positive i defiitioe. Med komplekse tal skal vi se, at der er seks forskellige komplekse tal, der opfylder 6 6, og der er geerelt forskellige komplekse tal, der opfylder. Dette veder vi tilbage til. Først skal vi have idført e otatio, der forbider reelle og komplekse tal, og som gør det muligt at betragte reelle tal som e del af de komplekse tal. Vi veder derfor u tilbage til at kigge på de par af reelle tal, som et komplekst tal er opbygget af. Idførelse af realdel og imagiærdel samt i Vi ser på komplekse tal ab,, hvor b 0, og vi skal u se, hvorfor ma ka fortolke dee type komplekse tal som reelle tal, dvs. der skal argumeteres for, at de reelle tal ka betragtes som e delmægde af de komplekse tal. Vi ser på additio og multiplikatio af to komplekse tal af dee type: a,0 a,0 a a,0 0 a a,0 a,0 a,0 a a 00, a 0 0 a a a,0 Bemærk ullere. Alle beregiger eder med at foregå på de første plads i talparret, og her gekedes vores velkedte opskrivig af additio og multiplikatio. Vi ka derfor idføre følgede defiitio: Defiitio 5: Det komplekse tal a,0ka betragtes som det reelle tal a, dvs. ma ka skrive: a,0 a Hvis vi f.eks. havde fået a,0 a,0 a a,0 eller a,0 a,0 0, a a (forkert!), ville der ete gælde adre regler, eller også ville resultatet være e ade type komplekst tal, og så havde vi ikke kuet idføre oveståede defiitio. 8

9 Eksempel : Vi er u i stad til at addere og multiplicere et komplekst tal med et reelt tal, da vi blot ka betragte det reelle tal som e særlig slags komplekst tal: 9, 6 9, 0, 6 9, 0 6, 6 c a, b c,0 a, b c a,0 b c a, b 5, 7, 0 5, , ,,,0, 0, 0, c a b c a b ca b cb a ca c b Og multiplikatio af to reelle tal ka udføres ide for det komplekse tallegeme ved:,0,0 0 0, 0 0,0 ac a c ac a c ac ac Dvs. vores gageteg fra reelle tal og fra komplekse tal (det røde) smelter samme. Det samme sker med additio:,0,0,0 0,0 a c a c a c a c a c Du ka altså godt - hvilket dog ville være at gøre tigee uødvedigt kompliceret rege med reelle tal ved hjælp af reglere fra komplekse tal. I Eksempel beviste vi de geerelle regler: Sætig : For alle tal c og a, b gælder:,,,, c a b ca c b c a b c a b Det er u ærliggede at se på komplekse tal ab,, hvor a 0 : 0, b 0, b 0 0, b b 0, b b 0, b 0, b 00 b b,0b b 0 b b,0 Her bemærkes det, at additio opfører sig på samme måde, som vi observerede hos de reelle tal, me ved multiplikatio sker der oget yt. Vi ser, at vores multiplikatio fører til et reelt tal, samt at det ikke er vores sædvalige måde at multiplicere (der kommer et fortegsskift). Vi ser derfor, at ma ikke kue have beteget 0,b som et reelt tal, me vi ka stadig give dee type tal et av: Defiitio 6: Komplekse tal af type 0,b kaldes imagiære tal, og mægde beståede af samtlige imagiære tal beteger vi her I. Der er flere tig at bemærke i forbidelse med dee defiitio: Der er ikke kosesus omkrig ordvalget. Nogle matematikere aveder imagiært tal syoymt med komplekst tal (og ka evt. avede betegelse ret imagiært tal om det, der her kaldes et imagiært tal). Når det ikke er et problem med dee maglede kosesus, hæger det samme med, at mægde af imagiære tal i sig selv ikke er så iteressat. Det er det komplekse tallegeme, der i si helhed er iteressat. Betegelse imagiært tal er uforståelig ud fra det foregåede. Det betyder jo, at tallet er e slags uvirkeligt tal, vi ku ka forestille os, me det kue vi allerede have sagt om de komplekse tal. Navet hæger samme med, at det var dee slags komplekse tal, ma historisk set først stødte på, fordi de som vi seere skal se fremkommer, år vi forsøger at uddrage kvadratrode af egative tal. 9

10 De imagiære tal med regeoperatorere fra de komplekse tal er IKKE et legeme. Allerede i Defiitio. går det galt, da der ikke er stabilitet ved multiplikatio. Det reelle tal 0 ka ifølge Defiitio 5 skrives 0,0, og dermed er det også et imagiært tal. Det er det eeste tal, der både tilhører de reelle og de imagiære tal. Det er i mægde af imagiære tal, at vi fider det berømte komplekse tal i. Defiitio 7: Det imagiære tal 0, beteges i, dvs. 0, i. Eksempel : Af Defiitio 7 følger: Vi ka u foretage følgede omskrivig: Vi har hermed vist: Sætig 5: a i b a, b i 0, 0, 0, 00,0 0,0 Sætig, 0, 0, 0 0, 0, 0, a b a b a b a b a b a bi Defiitioere 5, 6 og 7 samt Sætig 5 fører frem til følgede defiitio: Defiitio 8: I det komplekse tal a, b kaldes a for realdele og b for imagiærdele. Realdele skrives Re() og imagiærdele skrives Im() Tallet i kaldes for de imagiære ehed. Opskrivige a i b eller a b i kaldes de rektagulære repræsetatio af. Bemærk: Både realdel og imagiærdel er reelle tal. Eksempel 5: Det komplekse tal, 5 har realdele og imagiærdele -5 og ka skrives 5i. Det komplekse tal i har realdele - og imagiærdele og ka skrives,. Ma skriver Re i og i Im I Eksempel så vi, hvorda Defiitio 5 førte til, at ma kue rege med reelle tal ved hjælp af regereglere fra de komplekse tal. Med idførelse af de imagiære ehed og de rektagulære repræsetatio af komplekse tal er sammesmeltige blevet fuldkomme, dvs. vores biære operatorer + og fra Defiitio er smeltet samme med de tilsvarede biære operatorer fra de reelle tal. Eller med adre ord: Vi reger med helt almidelige + og, år vi opskriver komplekse tal på rektagulær form: Eksempel 6: Vi adderer og multiplicerer u de komplekse tal, og, a b a b agivet på rektagulær form, hvor vi reger, som om det hele var reelle tal, blot med de ekstra detalje, at i (Eksempel ). a, b a, b a i b a i b a a i b i b a a ib b a a, b b a, b a, b a i b a i b a a a i b i b a i b b a a b b i a b b a a a b b, a b b a 0

11 Eksempel 7: Med kokrete tal foregår udregigere på følgede måde: i i i i i 5 7i i 0 5i i i 0 i i Maple har forskellige symboler for de imagiære ehed, me du ka også blot avede et stort I skrevet med tastaturet. Oveståede udregiger udført i Maple: Eksempel 8: I Maple ka ma med kommadoere Re om Im få agivet heholdsvis realdele og imagiærdele af et komplekst tal (Udregigere i de to ederste ses i Eksempel 7): Opgavere 50* Vi ka samle op på dette afsit og illustrere vores kedte talmægder med følgede figur:

12 Subtraktio, divisio og komplekst kojugerede Vi er u klar til at se på, hvorda subtraktio og divisio foregår, år ma arbejder med komplekse tal agivet på rektagulær form. Sætig 6: Subtraktio: a i b c i d a c i b d a i b a c b d b c a d Divisio: i c i d c d c d Bevis 6: I Defiitio fastsatte vi subtraktio på sædvalig vis, så vi har: a i b c i d c i d a i b Vi husker på, at regetegee u fugerer som for reelle tal. Adet led på vestreside trækkes fra på begge sider: a i b c i d a i b c i d a c i b i d a c i b d Ma trækker altså blot realdelee fra hiade og imagiærdelee fra hiade. Divisio er ikke så simpel. Defiitio briger os ikke videre, me vi ka beytte e egeskab, du måske har opdaget i forbidelse med opgaveregig. Vi forlæger brøke med c i d og husker udervejs, at i : a i b a i b c i d a c i a d i bc i bd a c bd i bc a d c i d c i d c i d c i c d i d c i d c d Det smarte og væsetlige er, at vores æver u er et reelt tal. Det betyder emlig, at vi ka udrege de to brøker, vi får, år vi u dividerer begge led i tællere med ævere og får idholdet i Sætig 6. I beviset og sætige ovefor idgår to udtryk, der optræder så ofte, år ma reger med komplekse tal, at de har fået deres ege ave: Defiitio 9: For det komplekse tal a ib gælder: De komplekst kojugerede af skrives eller * og er givet ved: a i b Modulus (også kaldet orme, størrelse eller de umeriske værdi) af skrives og er givet ved: a b Udtrykket for modulus af et komplekst tal er idetisk med udtrykket for lægde af e vektor i plae eller afstade fra puktet (a,b) til origo i et koordiatsystem. Det ser vi på i æste afsit, hvor de komplekse talpla idføres. Me først ogle kokrete eksempler. Eksempel 9: De komplekst kojugerede af i er i, de komplekst kojugerede af 9 i er 9 i, de komplekst kojugerede af 6i er 6i og de komplekst kojugerede af 7 er 7. i Modulus: i 5 8 i i 7 7

13 Som vi så til sidst i Eksempel 9, fugerer modulus af et komplekst tal på samme måde som de umeriske værdi, vi keder fra reelle tal, år de virker på et reelt tal, dvs. vores allerede kedte umeriske værdi af reelle tal er egetlig blot et særtilfælde af det mere geerelle udtryk ide for de komplekse tal. Når vi i æste afsit idfører de komplekse talpla, ka vi da også idføre e defiitio på umerisk værdi (modulus), der ka bruges både ide for de komplekse tal og de reelle tal. I Maple ka ma da også bruge vores velkedte symbol samt kommadoe abs til at bestemme modulus. Hvis ma bruger kommadoe orm, skal ma være opmærksom på, at det ligesom for vektorer er -orme, vi skal bruge. De komplekst kojugerede keder vi ikke fra de reelle tal. I Maple ka ma avede kommadoe cojugate eller OverBarOver, der fides uder Accets : Opgavere 50* Øvelse : Vis, ved at avede Defiitio 9 og regereglere for komplekse tal, at der for alle komplekse tal a ib gælder: ) ) ) Re ) Im Subtraktio er ikke svært ide for de komplekse tal, me som vi så i Sætig 6, er divisio ikke så simpelt, da det er et stort udtryk, der idgår. I stedet for at skulle huske det store udtryk ka det være e fordel at avede følgede metode, der giver meig, år ma ser på Øvelse.: Metode til divisio ide for de komplekse tal: Divisio foretages ved at forlæge brøke med de komplekst kojugerede af ævere. i i 5 6i 5 i 6 7 i Eksempel 0: Subtraktio: i i i i Divisio: i i i i i i i i i i 5i 8 i 8 i 5 5 7i i i

14 I Maple idtastes udtrykkee fra Eksempel 0 med samme otatio: Opgavere 50* På uværede tidspukt skal du have bemærket, at år ma arbejder med komplekse tal på de rektagulære form, er additio og subtraktio simpelt at udføre, mes multiplikatio og specielt divisio er kompliceret. Vi skal sart have idført e såkaldt polær repræsetatio, hvor det er lige omvedt. Og det er vigtigt. For klart de fleste formler ide for fysik og adre aturvideskaber er baseret på multiplikatio og divisio, og desude er poteser og rødder og vi skal sart se på rødder baseret på multiplikatio. Vi skal u have idført de komplekse talpla, der gør det muligt for os at illustrere komplekse tal grafisk. De komplekse talpla Vi ser på det komplekse tal a i b. Realdele er a, og imagiærdele er b, og de komplekse talpla er så et helt almideligt kartesisk koordiatsystem, hvor ma afsætter som puktet ab,, dvs. realdele ud ad førsteakse og imagiærdele ud ad adeakse. Opgavere 505* Der er flere tig at bemærke i forbidelse med de komplekse talpla (figurer på æste side): Da additio og subtraktio foregår ved at addere og subtrahere realdelee for sig og imagiærdelee for sig, ka operatioere foretages grafisk ved hjælp af stedvektorere til puktere (vektoradditio og -subtraktio foregår jo koordiatvis). Et komplekst tal og dets komplekst kojugerede er placeret symmetrisk omkrig førsteakse. Vi ka u komme med e alterativ defiitio på umerisk værdi, der gælder for både reelle tal og komplekse tal: Defiitio (alterativ til e del af Defiitio 9): De umeriske værdi (modulus, størrelse eller orm) af et komplekst tal er afstade fra tallet til origo i de komplekse talpla.

15 Polær repræsetatio Når vi u idfører de polære repræsetatio af komplekse tal, vil det som ævt vise sig at blive emmere at udføre multiplikatioer og divisioer. De polære repræsetatio gør brug af to begreber: Modulus, som vi allerede keder, samt argumet (eller fase), som vi u skal have idført. For at gøre opskrivige emmere avedes r for modulus (det er et passede bogstav, da modulus jo er e afstad i de komplekse talpla), mes (det græske bogstav phi) avedes om et argumet, da det som vi skal se er e vikel. Defiitio 0: For et komplekst tal 0 kaldes vikle (målt i radiaer) for et argumet af, hvis r cos i si, hvor r, og udtrykket på højreside kaldes de polære repræsetatio af. Hovedargumetet af er det argumet, der ligger i itervallet, At er et argumet af skrives Der er ige argumeter af tallet 0. arg, mes hovedargumetet af skrives Arg. Defiitio 0 bygger på vores vide om ehedscirkle, vektorer og parameterfremstillige for e cirkel. Hvis a, b, mellem stedvektore til puktet, æste side):, så er hovedargumetet af altså vikle reget med forteg i itervallet ab og e vektor esrettet med førsteakse (se figure på 5

16 Af Defiitio 0 (og figure ovefor) følger altså: arcos br si Det er ret simpelt at komme fra polær repræsetatio til rektagulær repræsetatio, da ma blot udreger r cos og r si for at få a og b: Eksempel : Vi ser på det komplekse tal 6 cos0,5 isi 0,5, der tydeligvis er på polær form. Vi vil gere skrive det på rektagulær form og udreger a 6cos 0,5 5,8 og b 6si 0,5, 0, hvilket giver os 5,8,0 i. Om et adet komplekst tal oplyses det, at modulus er, og et argumet er -,. Vi øsker at skrive det på rektagulær form og udreger: cos, i si, cos, si, i 0, 7,9 i Det er ikke helt så simpelt at komme fra rektagulær til polær form, fordi ma skal tage hesy til, b r si hvilke kvadrat det komplekse tal ligger i. For vi ved, at ta, me vi ka a rcos b IKKE ud fra dette slutte, at ta, fordi ta ikke er e ijektiv fuktio. For at idføre a arcta (dvs. ta ) var vi ødt til at idskræke defiitiosmægde for ta til,, og da fuktioer og deres omvedte fuktioer bytter Dm og Vm, er værdimægde for arcta derfor,. Dvs. b ta giver ku værdier i itervallet, a, me hvis vores komplekse tal ligger i. eller. kvadrat, ligger ige argumeter af tallet i dette iterval. Det er dee problemstillig, vi skal have løst. Vi har allerede beskæftiget os med e ligede situatio i Ifiitesimalregig del Sætig, så måske virker følgede figur lidt bekedt: 6

17 Som vi allerede ved, og som vi ka få geopfrisket ved at se på edeståede figur, er ta e periodisk fuktio med periode, hvilket vi gør brug i argumetatioe. Hvis det komplekse tal a i b ligger i. eller. kvadrat eller på de positive del af b førsteakse (hvilket ka samles uder betigelse a 0 ), vil ta give os a hovedargumetet af. Hvis ligger i. kvadrat ( på figure) eller på de egative del af førsteakse (dvs. b a 0 b 0), vil ta give os e vikel i itervallet,0 a (på figure vil det give hovedargumetet af ), og vi skal altså lægge til resultatet for at få hovedargumetet for. b Hvis ligger i. kvadrat ( på figure), dvs. a 0 b 0, vil ta give os e vikel i a itervallet 0, (på figure vil det give hovedargumetet af ), og vi skal altså trække fra resultatet for at få hovedargumetet for. Hvis er et imagiært tal, dvs. ligger på adeakse ( a 0 ), ka vi ikke bruge arcta, me her er der heller ikke brug for oge udregig, da vi ka kokludere, at hvis b 0, så er Arg, og hvis b 0, så er Arg. Vi har hermed aalyseret os frem til følgede: Fremgagsmåde til bestemmelse af modulus og hovedargumet ud fra rektagulær form: For det komplekse tal a i b, der ikke er 0, gælder: r a b a 0 a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 a 0 b 0 b b b Arg ta Arg ta Arg ta a a Arg Arg a 7

18 Eksempel : Vi vil bestemme modulus og hovedargumet for følgede komplekse tal og efterfølgede opskrive dem på polær form: 5 7i r : a : Da 0 Arg b 7 ta ta 0,95 a 5 i 7 cos 0,95 si 0,95 i: r 6 7 Da a 0 b 0 : Arg b ta ta,90 a i 7 cos,90 si,90 i: 9 r Da a 0 b 0 er Arg 9cos isi Husk, at Maple ikke aveder ta, me arcta: Maple har dog også kommadoe argumet, der giver hovedargumetet af et komplekst tal (ogle gage defieres hovedargumetet til at ligge i itervallet 0,, me Maple aveder vores defiitio, der vist også er de mest almidelige): Opgavere 506* Da si og cos begge er periodiske fuktioer med periode, er der uedelig mage argumeter af et komplekst tal, emlig alle de vikler, der er hovedargumetet plus et multiplum af : 8

19 Multiplikatio og divisio med polær form Vi skal ikke se på additio og subtraktio af komplekse tal agivet på polær form. Her vil ma typisk omskrive til rektagulær form og udføre regeoperatioe der. Så vi spriger direkte til multiplikatio. Her får vi brug for additiosformlere, som vi beviste i slutige af Vektorgeometri del : ADDITIONSFORMLERNE si cos cos( v w) cos v cos w si v si w cos( v w) cos v cos w si v si w si( v w) si v cos w cos v si w si( v w) si v cos w cos v si w Vi ser på de to komplekse tal r cos i og r i si. Vi øsker at multiplicere dem og kaster os hovedkulds ud i det. Bemærk, hvorda vi i sidste skridt aveder første og tredje additiosformel: cos si cos si cos cos cos si si cos i si si r i r i r r i i i r r cos cos si si cos si si cos i si r r cos Vi har altså vist følgede sætig: Sætig 7: For r cos i si og r cos i si gælder: si r r cos i Eller i ord: Ma multiplicerer to komplekse tal ved at multiplicere deres moduli og addere deres (hoved-)argumeter. Grafisk ka det illustreres med edeståede figur. Det behøver ikke at være hovedargumetere, der avedes. Ma ka avede et hvilket som helst argumet. Det er bare oftest hovedargumetere, der er agivet i de to komplekse tal. Summe af to hovedargumeter ka godt ligge ude for,, me ma ka så blot addere eller subtrahere, hvis ma øsker hovedargumetet for produktet af de to tal. 9

20 Eksempel : Komplekse tal på polær form multipliceres: cos i si 7 cos i si 7 cos i si 6 cos i cos,6 i si,6 cos i si 0, si 0, cos, i si, cos i si cos i si 6 cos i si 6 cos i si Ovefor blev der trukket fra det udregede argumet for at få hovedargumetet. i,67 cos,8 i si,8 9 cos,67 si 6 cos,8 i si,8 6 cos,80 Ovefor blev der lagt til det udregede argumet for at få hovedargumetet. i si, 80 Selvom det ku er få sider side, vi idførte de polære repræsetatiosform, er du muligvis allerede træt af hele tide at skulle skrive cos i si Opgavere 507*, og da vi sart skal arbejde videre med de polære form i forbidelse med divisio, roduddragig og ligigsløsig, kue det være rart med e kortere skrivemåde. Her er skrivemåde cis e mulighed, der avedes ogle steder. Vi skal dog u se, at der faktisk fides e ade overraskede og smuk mulighed. Eulers formel og idetitet Når vi arbejder med reelle tal, ka vi have ekspoetialfuktioer med et hvilket som helst positivt grudtal, me de med grudtallet e er oget gaske særligt og har fået sit helt eget av, de aturlige ekspoetialfuktio eller exp. Ide for de komplekse tal bliver de aturlige ekspoetialfuktio helt cetral, for vi ka ikke ude de give meig til adre ekspoetialfuktioer (og såda var det jo trods alt ikke ide for de reelle tal, hvor vi sagtes kue forstå f.eks. 5 x ude at skulle iddrage exp). Ide for de komplekse tal taler vi derfor om de komplekse ekspoetialfuktio, der skrives e. Som det fremgår, er det e udvidelse af vores aturlige ekspoetialfuktio fra de reelle tal. Idee er, at ma udytter taylorrække kedt fra de reelle tal. I Ifiitesimalregig del (og tilhørede opgaver) viste vi følgede, som vi skal gøre brug af i dette afsit: 5 6 x x x x x x e x...!!! 5! 6! x x x x x si x x...! 5! 7! 9!! x x x x x cos x...!! 6! 8! 0! 0

21 Vi idfører u de komplekse ekspoetialfuktio med følgede defiitio: Defiitio : De komplekse ekspoetialfuktio beteges e og er givet ved: 5 6 m!!! 5! 6! m0 m! e... Der er flere tig at bemærke ved dee defiitio: Da vi udytter taylorrække for de aturlige ekspoetialfuktio fra de reelle tal, ved vi, at de komplekse ekspoetialfuktio giver samme resultat som de aturlige ekspoetialfuktio, år de virker på reelle tal. Vores komplekse ekspoetialfuktio er altså e udvidelse af de aturlige ekspoetialfuktio. Egetlig burde det vises, at række er koverget, så der er e rækkesum på højreside. Det KAN vises, me det er ikke oget, vi kommer id på i gymasiet. Vi ka udrege hvert led på højreside, da tællere er poteser med heltallige ekspoeter (Defiitio ), mes ævere er reelle tal. Og det er det smarte ved defiitioe. Vi kue ikke ide defiitioe udrege vestreside ide for de komplekse tal, me det ka vi u, da højreside er et udtryk, der ka udreges ide for de komplekse tal (Sætig ). Da Sætig gælder for både reelle og komplekse tal, ka vi overføre potesregereglere x x y x y e e e og e x y e fra de reelle tal, for opskrevet med deres taylorrækker ser de første af y e de to potesregeregler ud som: x y x y x x y y x... y... x y...!!!!!! Da brøk- og paretesregereglere er es for reelle tal og komplekse tal, må der altså også for to komplekse tal og gælde: !!!!!! Ma ka gøre tilsvarede med de ade af de to potesregeregler. Dvs. ma har: Sætig 8: For de to komplekse tal og gælder: e e e e e e Eksempel : Sætig 8 avedes til at reducere følgede udtryk: i59i e e e e i 59i 7i 57i6i e e e e 57i 6i i e e e e 85i i 6i 9i e e 85i i 57i e 6i 9i 7i e

22 Lad os se på, hvad Defiitio fortæller os, hvis vores komplekse tal er et (ret) imagiært tal, dvs. i b. Bemærk, at b er et reelt tal, så vi ka udytte taylorrækkere for sius og cosius ide for de reelle tal. Desude avedes i, i i, i, i 5 i, i 6, i 7 i, i 8,..., der følger af vores vide om, at i : ib i b i b i b i b i b i b e e ib...!!! 5! 6! 7! i b i b i b i b i b i b ib...!!! 5! 6! 7! b i b b i b b i b b i b ib...!!! 5! 6! 7! 8! 9! b b b b b b b b... i b... cos b i si b!! 6! 8!! 5! 7! 9! Dee overraskede sammehæg mellem de aturlige ekspoetialfuktio og de trigoometriske fuktioer dukker altså op, år ma arbejder med komplekse tal, og hermed har vi fudet e simplere måde at skrive vores cos i si Dvs. vi ka u omforme ordlyde af vores Defiitio 0, så vi ka skrive et komplekst tal med modulus r og et argumet som på. r e i, og dee form skal du lægge mærke til, for det er oftest de emmeste form at avede, år ma arbejder med komplekse tal. Vi samler oveståede udregiger i e sætig: Sætig 9: For det imagiære tal ibgælder: ib e cos b i si b EULERS FORMEL Det komplekse tal 0 med modulus r og et argumet ka skrives som: r Et berømt specialtilfælde af Eulers formel er Eulers idetitet. De fremkommer, år ma idsætter b i Eulers formel: i e i e i cos si e i i0 e i 0 Det ka virke lidt uderligt at flytte - over på vestreside i sidste skridt, da ma ormalt ville foretrække at have ét led på hver side af lighedsteget, og ma ka da også ogle gage se i sammehæge agivet som e, me de er mest berømt på de ade form: Sætig 0: Eulers idetitet. i e 0 I 988 blev dee formel ved e afstemig bladt matematikere kåret som de smukkeste matematiske sætig (sætiger af Euler edte også på. og 5. pladse). Og det er virkelig e gaske særlig sætig. De imagiære ehed forbider matematikkes fire vigtigste tal 0,, og e i dee idetitet. Ma ka sige, at i (eller ok mere rimeligt de komplekse tal) afslører e hidtil skjult sammehæg mellem vidt forskellige områder ide for matematikke.

23 Sætigere 8 og 9 (Eulers formel) giver os et udtryk for de komplekse ekspoetialfuktio, da vi for et vilkårligt komplekst tal a ib har: Sætig 8 Sætig 9 aib a ib a e e e e e cos b i si b Sætig : De komplekse ekspoetialfuktio giver for a i b : a e e cos b i si b Og hermed er vi jo fremme ved et udtryk, der ka bereges, da a og b begge er reelle, og da vi derfor ka avede de aturlige ekspoetialfuktio og de trigoometriske fuktioer, vi keder fra de reelle tal. Eksempel 5: Sætig avedes til at berege forskellige værdier for de komplekse ekspoetialfuktio: i i i e e cos si e 0 e Her er værdie altså et reelt tal, selvom ekspoete er et komplekst tal. e i e cos i si e 0 i i e Her er værdie et (ret) imagiært tal. i e e cos i si e i i e e Værdie er et komplekst tal. Maple ka også udrege værdiere. Ved at højreklikke og vælge Complex Maps og a+bi Form, får ma: Opgavere 508* Med skrivemåde fra Sætig 9 ka Sætig 7 omformuleres til: Sætig 7 med y skrivemåde: For de komplekse tal r og r gælder: ei ei r r ei

24 Eksempel 6: Om det komplekse tal som 7e i. oplyses det, at 7og Arg, så vi ka skrive det Det ka aflæses, at det komplekse tal 5e i har modulus 5 og hovedargumetet Når og multipliceres, får ma: i i i i 6 7 e 5e 7 5e 5 e E multiplikatio af to adre komplekse tal: i 0,7i,5i 0,7,5,i 9e e 9e 99 e. Maple ka (selvfølgelig) også rege med de komplekse ekspoetialfuktio, me facit agives stadig på rektagulær form, med midre du højreklikker og vælger Complex Maps (Polar form): Eksempel 7: Da ma ka aflæse modulus og et argumet ud fra forme r e i, er det meget emt at afsætte komplekse tal i de komplekse talpla (hvis ma har e vikelmåler og lieal). Tjek, at du forstår afsætige af edeståede komplekse tal. 5e e e e e i e 5e e 5e i i i i i i 6 i i Det er altså u for alvor blevet emt at multiplicere komplekse tal (år blot de er på forme r e i ), og vi er klar til at tage fat på divisio, poteser og rødder. Opgavere 50*

25 Divisio med polær repræsetatio Vi tager udgagspukt i vores sædvalige defiitio på kvotiete. Vi skriver de to komplekse tal og deres kvotiet på forme r ei : r ei, r ei og r e i (hvor 0 ), emlig Hermed omskrives til: i r e r e r e r r e r e i i i i Da de to moduli skal være es, hvis de komplekse tal skal være idetiske, har ma altså: r r r r r r Argumetere skal ku være es bortset fra e evt. afvigelse med et multiplum af, dvs.: p p Vi har altså vist følgede sætig (som også blev bevist i opgave 507 og følger af Sætig 8): Sætig : Divisio af det komplekse tal r med r ( r 0 ) foregår ved: ei r r e i ei Eller i ord: Ma dividerer to komplekse tal med hiade ved at dividere moduli og trække argumetere fra hiade. Ige skal ma være opmærksom på, at ma ka avede et hvilket som helst argumet for hvert komplekse tal, og selv hvis ma aveder hovedargumetere, ka ma risikere, at ma for kvotietes argumet eder ude for itervallet,, me ma ka i så fald blot addere et arg Arg p ). passede multiplum af, hvis ma øsker at agive hovedargumetet ( Bemærk, at Sætig fortæller os, at divisio følger de. potesregeregel, hvilket gør udregigere emmere, da du ka rege, som du er vat til. Eksempel 8: Vi ser på tallee Nogle kvotieter udreges: i 5 i e e 0,9, e i, e i, e i i i, 5e og 5 5 e i 7 5 i i e 6 e 6 e ( er trukket fra argumetet) 5 e i e 0,9,,5i i i i 6 6 e e e ( er lagt til argumetet) 6 6 5

26 Husk, det er ikke oget krav, at ma aveder hovedargumetet. De sidste kvotiet i Eksempel 7 9 i i i kue også godt være agivet e eller e eller e eller Det er samme komplekse tal, der agives, uaset hvilket argumet af tallet, der avedes. Eksempel 9: Tjek, at du ka se, hvorda produktere og 5 6samt kvotietere og 5 er fremkommet. Opgavere 55* Poteser Vi ka beytte sætigere 7 og (multiplikatio og divisio) til at bestemme r e i. Sætige lyder:, år Sætig : For det komplekse tal r e i gælder følgede, år : r e i Ige skal det bemærkes, at ma ka avede et hvilket som helst argumet for, og er også blot et eller adet argumet for passede multiplum af., hvor ma ige ka få hovedargumetet ved at addere et 6

27 Et særtilfælde af Sætig blev opdaget af Abraham de Moivre (667-75) og kedes som De Moivres formel: cos i si cos i si Me Sætig er jo både kortere og mere idholdsrig, så vi skal ikke bruge tid på oveståede. Sætig bevises ved et såkaldt Iduktiosbevis (hvilket ka virke som et lidt pudsigt av, da beviset som alle adre matematiske beviser er aksiomatisk-deduktivt, me det skyldes, at det er baseret på Iduktiosaksiomet, der såda set blot slår fast, at iduktiosbeviser er gyldige): Bevis (Iduktiosbevis): Vi vil gere vise, at e i r er sadt for alle, år r e i, og med et iduktiosbevis sker det ved at vise tig: ) Først vises, at udsaget er sadt for et (velvalgt). Her vælges, og vi ser med det samme, at udsaget er sadt, for med har ma i e i r r e. ) Vi skal u vise, at hvis udsaget er sadt for, så er det også sadt for. Bemærk, at u ser vi ikke lægere på, me på et hvilket som helst. Så vi atager u, at udsaget er sadt for, dvs. r e. Vi ka så udrege: i Sætig. Atagelse Sætig 7 i i i i r e r e r r e r e Dvs. vi ka se, at udsaget så også er sadt for. Når vi sammeholder ) og ), har vi vist, at udsaget e i r er sadt for alle, for ) har fortalt os, at det er sadt for, og ifølge ) må det så også være sadt for. Og år det er sadt for, må det ifølge ) også være sadt for, og år det er sadt for, må det ifølge ) også være sadt for. Og således ka ma fortsætte. Me vi skulle jo vise, at udsaget er sadt for, så i dette tilfælde er vi ødt til at udvide pukt ): ) fortsat: Vi vil u også vise, at hvis udsaget er sadt for, så er det også sadt for. Så vi atager, at udsaget er sadt for, dvs. r e. Vi udreger så: i Sætig. Atagelse Sætig 0 i r e r i i e r e i r e r Dvs. udsaget er så også sadt for. Når vi sammeholder ) med de fortsatte del af ), ka vi sige, at ) fortæller os, at udsaget er sadt for, og ) fortæller os så, at det dermed også er sadt for 0, og år det er sadt for 0, er det ifølge ) også sadt for, og år det er sadt for, er det ifølge ) også sadt for, og år det er sadt for, er det ifølge ) også sadt for, osv. Det er hermed vist, at r e er sadt for alle. i Iduktiosbeviser aveder implicit aktuel uedelighed, dvs. de såkaldte ituitioister, der blev omtalt i forbidelse med uedelighedsbegrebet, accepterer ikke dee type beviser, me bortset fra hos dee (ubetydelige) sidegre er de bredt accepteret. Ma skal blot være opmærksom på, at ma ikke overser oget, år ma argumeterer i skridt ). For hvis argumetet ikke holder, år f.eks., bryder det hele samme (der er kostrueret forskellige sydebeviser, hvor ma etop arrer læsere med e argumetatio, der egetlig lyder rigtig, me ikke holder for et ekelt ). 7

28 Sætig fortæller os, hvorda vi opløfter i e give heltallig potes. Bemærk, at vi allerede i Sætig idførte potesregereglere, me de gjorde os ikke i stad til helt kokret at berege e potes. Vi ved u, at modulus behadles som potesopløftig ide for de reelle tal, mes argumetet skal gages med ekspoete (hvorefter ma evt. ka korrigere med et multiplum af ). Vi ser på ogle eksempler: Eksempel 0: Vi udreger forskellige poteser af e i : i e i i e e i i e 8e i e 6e 5 i5 i 5 5 e e i6 i 6 6 e 6e i 7 i7 i 7 7 e 8e i i e 56e i e e e e e e e e 8 i i i i i i e e 6 i i e e 5 i5 5 5 i e e 6 i6 6 6 i I de komplekse talpla ligger de forskellige poteser på følgede måde. Bemærk, at skalaere på de to figurer er gjort forskellige for at skabe plads til både positive og egative ekspoeter, dvs. figure til højre ka placeres ide i de midste cirkel på figure til vestre ( 0 er idteget på begge figurer): I oveståede eksempel daer puktere e spiral. Når ma ser på komplekse tal med modulus, ligger alle potesere på ehedscirkle (se Eksempel ), og hvis hovedargumetet desude ka skrives som, hvor,,5,6,7,..., daer potesere hjørere i e regulær -kat (se Eksempel ). 8

29 Eksempel : Nogle poteser af to komplekse tal med modulus illustreret grafisk (de røde cirkler er ehedscirkler): Eksempel : Nogle poteser af komplekse tal med modulus og argumet : Bemærk, at ogle poteser ligger ove i hiade. Ige ligger ogle poteser ove i hiade F.eks. er 9 og 5 7. me det er ikke agivet på figure. 9

30 Det med, at potesere ligger ove i hiade, må virke bekedt for ehver, der har beskæftiget sig med at udrege poteser af de to komplekse tal med modulus, der også er reelle tal, emlig og...,,,,,,,,... og...,,,,,,,,.... Opgavere 50* Rødder Med Sætig fik vi helt styr på poteser med heltallige ekspoeter, og det er forudsætige for at kue arbejde med rødder. For ide for de komplekse tal defieres rødder på (æste) samme måde som ide for de reelle tal, således at vores rødder ide for reelle tal ige blot bliver et særtilfælde ide for de komplekse tal: Defiitio : Lad \ 0. De te rod af det komplekse tal skrives og er de komplekse tal, der opløftet i te potes giver, dvs.: Som det fremgår af defiitioe, er roduddragig ikke e etydig operatio. Der er flere tal, der opfylder defiitioe i e kokret situatio. Me det er jo heller ikke oget yt. Der er f.eks. også to tal, der opfylder x 9, og vi har så blot valgt at gøre kvadratrode etydig ved at udvælge det positive tal, der kvadreret giver 9. Vi ka også gøre de komplekse rødder etydige ved at idføre hovedværdie af rode. Me først skal vi have styr på, hvilke tal der opfylder Defiitio : \ 0 Sætig : Lad og r e i, hvor r er modulus og et argumet af. Så er: m i r e, m 0,,,,..., Hvor er de komplekse te rod, mes er de te rod ide for de reelle tal. Eksempel : Sætig avedt på et egativt tal (bemærk, at vi allerede kedte de ee værdi): 0 i i e e i 8 8e 8 e m0,, e e e 5 i i i e e e m i i i i På figure til højre er det illustreret grafisk. Tjek, at du ka se, hvorda det for alle de tre værdier af kubikrode gælder, at år de kuberes, giver det -8. Prøv også at geemskue, hvorfor der ikke er flere ed disse tre tal, hvorom det gælder. De røde prik med e sort prik idei agiver hovedværdie for rode, hvilket vi idfører seere. 0

31 Eksempel : Ifølge Sætig ka rodekspoete godt være egativ, og argumetet behøver ikke at være hovedargumetet: 5 5 i i i 8 i 8 5 i m i e e m0,,,, e e e e i 8 5 e e e e 6 i 5 8 i 5 i 5 e e i i 5 i 8 i i e e e Bemærk, at røddere ligesom potesere placerer sig i hjørere af e regulær polygo. Modulus for er så stor, at tallet ikke ka komme med på figure, me de blå pil agiver retige, der er sammefaldede med de ee værdi for rode. Ige er de røde prik med e sort prik idei hovedværdie af rode. Eksempel 5: Vi ser u på e rod, vi allerede keder fra arbejdet med reelle tal, me som u udvides, år der arbejdes med komplekse tal. 0 0 i i 0 5 e 5 e 5 Hovedværdie 5i 0 i i 0 m i i0 5 e 5 e e 65 e m 0,,, 0 i i 5e 5e 5 0 i i i 5e 5e 5e 5i Ige placerer røddere sig som hjørere i e regulær polygo. Og ige er de røde prik med e sort prik idei hovedværdie af rode. Bemærk, at hovedværdie svarer til de værdi, vi får ide for de reelle tal. Vi ka u forstå Maples løsig af edeståede ligig:

32 Eksempel 6: Vi ser u på ogle kvadratrødder: Først et positivt reelt tal: 0 0 i i0 i0 e e e 0 i i e e Så et (ret) imagiært tal: Hovedværdie 0 i i i e e Hovedværdie i e 5 i i i e e e Så et egativt reelt tal: 0 i i i e e i e i i i e e e Så et komplekst tal: 9e 0 i i i 9 e i i 9e e Hovedværdie e Hovedværdie i Bemærk, at røddere placerer sig som edepukter på e diagoal i e cirkel med cetrum i origo. Det svarer til e regulær -kat, hvis ma reger -kater med bladt polygoere. Vi har u set, hvorda røddere placerer sig i forhold til hiade og er klar til at fastsætte hovedværdie: Defiitio : Hovedværdie af e rod er værdie svarede til m 0, år ma i Sætig lader være hovedargumetet af. Øvelse : Tjek, at Defiitio passer med agivelse af hovedværdie i eksemplere -6 (bemærk, at du i Eksempel først selv skal fide hovedargumetet). Maple aveder de komplekse roduddragig og agiver ku hovedværdie (selvom resultatere er agivet på rektagulær form, ka du godt sammelige dem med de røde prikker med e sort prik idei fra eksemplere -6): Opgavere 55*

33 Bevis : Vi ser på tal r e i. Sætig bevises ved at vise fire tig: ) De agive værdier opfylder Defitio. ) De agive værdier er forskellige. ) For ethvert heltal m gælder, at værdiere for m og m er es. ) Hvis m ikke er et heltal, opfylder de pågældede værdi ikke Defiitio. m i Ad : Vi ser på et tal på forme r e, hvor m er et helt tal (det begræsede atal m-værdier er ideholdt i dee mægde). Sætig avedes til at opløfte et sådat tal: m i i m i m i r e r e r e r e Udervejs blev det beyttet, at år m er et heltal, så er met multiplum af. Ad : Moduli er es for de forskellige værdier, så år det skal vises, at disse er forskellige, skal der ses på argumetere. Disse skal ikke blot være forskellige (det er de oplagt, da værdiere for m er forskellige), me må heller ikke afvige fra hiade med et multiplum af. m m Da, og da m, vil ma addere (eller subtrahere hvis er egativ) et tal til, der er midre ed, og dermed ka to værdier ikke afvige fra hiade med et multiplum af. Ad : Lige som ovefor bemærkes det, at moduli for værdiere er es, så år det skal vises, at værdiere er es, skal det vises, at de afviger fra hiade med et multiplum af : m m m m (da ) Ad : Nu ses på situatioe, hvor m ikke er heltal: m i i m i m i r e r e r e r e Da m ikke er et heltal, afviger argumetere ikke fra hiade med et multiplum af, og dermed er potese ikke lig. I Defiitio idførtes de te rod af et komplekst tal med. Bemærk, at der IKKE gælder (forkert), for højreside er etydig, mes vestreside er flertydig (vestreside svarer til forskellige tal). Me ige keder vi allerede dee problemstillig fra de reelle tal, for her gælder jo, da rode er defieret til at være et positivt tal. Så i dee problemstillig hjælper det altså hverke at gøre roduddragig etydig (reelle tal) eller flertydig (komplekse tal). Ma ka godt ligesom ide for de reelle tal udvide potesbegrebet for komplekse tal, så ekspoetere må være ratioelle og irratioelle. Faktisk ka ma gå hele veje og opløfte komplekse tal i komplekse poteser. Me det ser vi ikke på her. Vi skal u se lidt mere på kvadratrødder og derefter have set på tre udvidelser af fuktioer, vi keder fra de reelle tal.

34 Kvadratrødder Sætig omhadler de te rod og dermed også kvadratrode, så egetlig er der ikke brug for flere sætiger, me for at gøre arbejdet med adegradsligiger emmere, tager vi her kvadratrødder for sig selv. Sætig 5: For de flertydige komplekse kvadratrod gælder følgede, hvor er de etydige reelle kvadratrod: 0 0, år er et positivt reelt tal. i, år er et egativt reelt tal. r e r e i i, år r e i er et komplekst tal 0 i m Bevis 5: Sætig giver, at for r e i i e r er r e m0,. i r e Hermed er sidste lije i Sætig 5 vist. Vi skal derfor ku se på de tre første udsag: Positivt reelt tal: Her er hovedargumetet 0, så ma har: 0 i r e r r 0 i i e e r r r r Tallet 0: Her siger ulregle, at hvis et tal kvadreret giver ul, så er tallet 0. Negativt reelt tal: Her er hovedargumetet, så ma har: i r e r i i r i i i e e e r r r r i i r Bemærk, at uaset om er et reelt, imagiært eller komplekst tal, er de to værdier for kvadratrode hiades modsatte elemeter (hvilket på polær form agives ved at addere argumetet med ). Eksempel 7 (Fortsættes på æste side): Nogle komplekse kvadratrødder udreges: i 9 i 65 i 65 5i i i 7 i 7 I edeståede udregiger omreges til hovedargumetet: i i 0,5i i 6 e e e 0,i i i i e e 6e e i 0,5 i 0,5 6 e e e

35 Eksempel 7 (fortsat): Hvis det komplekse tal er på rektagulær form, skal ma udrege modulus og et argumet for at kue uddrage kvadratrode. Vi øsker at bestemme 7i : Modulus bereges: Argumetet bereges Så er 7 7i , a : Arg i 7 ta,66,66 i 0,58i 7, 66 e, 76 e,0,5 i i0,58,7i 7, 66 e, 76 e,0,5i i Opgavere 50* De komplekse logaritmefuktio Ige er det såda, at år vi sakker om de komplekse logaritmefuktio, så er det egetlig de aturlige komplekse logaritmefuktio, dvs. det er udvidelse af vores aturlige logaritmefuktio fra de reelle tal. Vi tager udgagspukt i vores komplekse tal r e i på polær form med modulus r og argumet. Hvis vi aveder vores logaritmedefiitio og de første logaritmeregeregel fra de reelle tal, får vi følgede, år vi tager logaritme på begge sider: i i e l l e l l l r r r i Og på dee måde defierer vi de komplekse logaritmefuktio: Defiitio : De komplekse logaritmefuktio agives l og virker på et komplekst tal forskelligt fra 0 ved: l l r i Her er r modulus og et argumet af. l på højreside er de aturlige logaritmefuktio fra de reelle tal. Hovedværdie af de komplekse logaritmefuktio agives L og er givet ved: L hvor hoved er hovedargumetet af. l r i, Bemærk følgede: De komplekse logaritmefuktio giver ligesom roduddragig ikke etydige fuktiosværdier. Faktisk er der uedelig mage fuktiosværdier, der afviger fra hveradre med et multiplum af i, fordi argumetere afviger med et multiplum af. Dvs. hvis vi keder é fuktiosværdi w for logaritmefuktioe, vil ehvert af tallee w i p, p også være e fuktiosværdi for logaritmefuktioe. Hvis ma vil have e etydig logaritmefuktio, skal ma arbejde med hovedværdie, der er baseret på, at ma aveder hovedargumetet af det komplekse tal. Når ma aveder hovedværdie af de komplekse logaritmefuktio på et reelt tal, får ma samme værdi, som de aturlige logaritmefuktio giver (hvilket jo også er et krav, hvis det skal fugere som e udvidelse). hoved 5

36 Eksempel 8: Vi tager logaritme af et positivt reelt tal, et (ret) imagiært tal, et egativt reelt tal og et komplekst tal: Positivt reelt tal (bemærk, at det i første skridt omskrives til komplekst tal): L i0 L l e ee e i 0 l e i p, p Imagiært tal: i Li Le l i i l i i i p, p Negativt reelt tal: 7 7 i 7 l 7 i i p p L e L e e e i 7 i l e 7, Komplekst tal: i i 8 L e 8 L l 8 e i 8 i e e l i 8 i i p, p 8 e Nogle af oveståede værdier er agivet i de komplekse talpla edefor (hovedværdiere er markeret med e hvid prik i midte). Bemærk, hvorda alle værdiere for et kokret komplekst tal har samme realdel, mes imagiærdelee afviger fra hveradre med et multiplum af (de blå og røde farve på figure har ikke oget med farvere ovefor at gøre). 6

37 Eksempel 9: Vi ser på ogle værdier for logaritme virkede på tal placeret på ehedscirkle: L i e l i 0 i i 5 i 5 i i i 6 Le i Le i Le i Le i osv... 6 Når har modulus, vil logaritme til altså være imagiært, hvilket er illustreret edefor: Som ma ka se ud fra Defiitio (og oveståede eksempel), ligger hovedværdiere for logaritmefuktioe i et båd omkrig førsteakse: Maple agiver hovedværdie, år ma tager logaritme af både reelle og komplekse tal. Da Maple fortolker log som l, ka ma avede begge dele. Nogle gage ka det være ødvedigt at højreklikke på udtrykket og vælge Complex Maps for at fide værdie: Opgavere 55* 7

38 De komplekse sius- og cosiusfuktioer Vi udvider sius- og cosiusfuktioere til de komplekse tal ved ige at tage udgagspukt i taylorrækkere ide for de reelle tal. Dvs. vi siger: Defiitio 5: De komplekse fuktioer si og cos er givet ved: si m m! 5! 7! 9!!! 5! m0 m! cos m m!! 6! 8! 0!!! m0 m! Med Defiitio 5 sikres det, at de komplekse si og cos giver det samme som de reelle si og cos, år de virker på reelle tal. I Sætig 8 fadt vi e sammehæg mellem de trigoometriske fuktioer og de komplekse ekspoetialfuktio, år dee virker på et (ret) imagiært tal. Vi skal u se, at e ligede sammehæg gælder geerelt for komplekse tal. Der tages udgagspukt i defiitioere og 5: e...!!! 5! 6! 7! 8! (Defiitio )!!! 5! 6! 7! 8! i e i i i i... (Her udyttes sætigere. og.)!!! 5! 6! 7! 8! i si i i i i i... Idetitete i Defiitio 5 er forlæget med i! 5! 7! 9! i 5 e i i i i... (Her udyttes i, i i, i, i i,...) Øvelse 5: Tjek, at du har styr på, hvor i ere og fortegee kommer fra i oveståede. Vi ka u se, at der gælder følgede (tjek ige, at du ka se, at fortegee og i ere passer): Sætig 6: For ethvert komplekst tal gælder: i e cos i si i e cos i si Hvis ma i stedet øsker at isolere cos eller si, ka det ske ved at addere eller subtrahere de to ligiger: i i i i i e e e e cos i si cos i si e e cos cos i i i i i e e e e cos i si cos i si e e i si si i i i i i i i e e e e Da i, ka det sidste udtryk omskrives: si i i i i i Vi har altså vist, at der gælder følgede udtryk for de komplekse trigoometriske fuktioer: i i 8

39 Sætig 7: For ethvert komplekst tal gælder: cos e e si e i e i i i i Ved hjælp af Sætig 7 ka vi u forholdsvis let fide sius- og cosiusværdier for (ret) imagiære tal: Eksempel 0: Sætig 7 beyttes til at berege følgede: ii ii e ii ii e e e e cos e e e e e i,5 cosi, 76 ii ii e e e e ii ii e e e e e si i i i, 669i si i i i i e,75i I Maple idtastes det helt almideligt, me Maple omskriver som udgagspukt udtrykket ved hjælp af de hyperbolske fuktioer cosh e x e x x og sih x x x e e : Opgavere 50* Ved at beytte Sætig 7 og rege løs, ka ma se, at ogle af vores velkedte sammehæge fra de reelle tal også gælder ide for de komplekse tal: e e e e e e cos cos si cos i i i i i i i i i i i i i i i i e e e e e e i i i si e e e e si i i i i i i i e e e e e e e i i i i i i i i i e e e e e e e e i i i i i i i i e e e e e e e e i e e i i i ii 0 e e e e i e i 9

40 Sætig 8: For ethvert komplekst tal gælder: GRUNDRELATIONEN cos cos si si cos si Eksempel : Med tallee fra Eksempel 0 afprøver vi grudrelatioe i to kokrete situatioer: i i i cos si,5,75,8,8 i i i cos si, 76, 669,5,5 Det er værd at bemærke, at vores komplekse sius- og cosiusfuktioer godt ka give værdier med både realdel og imagiærdel ude for itervallet [-,]. Me grudrelatioe holder alligevel. Ma ka beytte sætigere 7 og til at berege sius- og cosiusværdier for komplekse tal, selvom det ikke er så emt som for imagiære tal: Eksempel : Beregiger på e række komplekse tal: e e cos e e si i i i i i i 5 5 e e e e e cos isi e cos isi cos 5i i 7, 67 0, 7i i i i i i i 5 5 e e e e e cos isi e cos isi si 5i i i i e e cos e e si e e si e e cos i i i 0, 7 7, 6i Grudrelatioe testes edu egag: i i i i i i cos 5 si 5 7, 67 0, 7 0, 7 7, 6 587, , 6 586, , 6 Og så e ekelt ikke helt tilfældig beregig der atyder, at der også for de komplekse fuktioer optræder e periodicitet: i i i i i i e e e e e cos isi e cos isi cos i e i0 e i0 e e,76 Sammelig med Eksempel 0. Opgavere 5* Eksemplere og opgavere har atydet, at der både optræder e form for periodicitet, og at der muligvis ikke er oge øvre græse for modulus af cosius- og siusværdiere. Vi udersøger dette ved at arbejde videre med Sætig 7. Vi agiver det komplekse tal på rektagulær form, dvs. a i b : 0

41 i aib i aib bi a bia e e e e b cos e cos a i a a i a b b b b e e e e cosa i si a i aib i aib bia bia b si e cos si e e e e si i i i b b e cosa i si a e cosa i si a b b b b e e e e si a i cosa Det ses, at det er realdele af, der optræder i de reelle cos og si, mes imagiærdele optræder i ekspoetere i de aturlige ekspoetialfuktio. Dvs. de komplekse sius- og cosiusværdier ædrer sig ikke, år der lægges et multiplum af til realdele, dvs. cos p cos og si p si. Periodicitete er altså koblet til realdele. Det er imagiærdele af, der fører til de store moduli. Vi har u set eksempler på udvidelser af fuktioer fra de reelle tal til de komplekse tal. Nogle var flertydige (rødder og logaritmer), og adre var etydige (ekspoetialfuktioe og de trigoometriske fuktioer). Me vi har egetlig slet ikke fået set på selve fuktiosbegrebet. Det er et helt eme for sig, og vi skal ku meget kort berøre det her. Ide for de reelle tal viste vi med f : Fuktioer reelle tal. På samme måde skriver vi ide for de komplekse tal f :, at fuktioe f afbilder fra de reelle tal id i de fuktioe f afbilder fra de komplekse tal id i de komplekse tal. Vi ka også skrive år vi arbejder med e kokret fuktio, f.eks. f : cos. og viser dermed, at f : f, Vi har arbejdet med både flertydige og etydige fuktioer ide for de komplekse tal, mes vi ide for de reelle tal gjorde meget ud af, at fuktioer skulle være etydige (der må ikke være flere fuktiosværdier, der svarer til de samme x-værdi). Det er dog vigtigt at bemærke, at der ikke er forskel på de to tilfælde, for ide for de reelle tal defierede vi os om ødvedigt til etydighede. Kvadratrødder defierede vi som de positive tal, der kvadreret giver radikade (hvilket svarer til e begræsig af defiitiosmægde for f : x x ), og arcsi, arccos og arcta gjorde vi etydige ved at begræse defiitiosmægdere for cos, si og ta. Ide for de komplekse tal ka vi gøre fuktioere etydige ved at kigge på hovedværdier eller hovedargumeter, hvilket vi som bekedt har gjort ved at avede stort begydelsesbogstav, L og Arg (kvadratrode har vi agivet med symbolet, me vi kue også skrive sqrt og Sqrt). Vi skal u se på e markat forskel på komplekse og reelle fuktioer.

42 E kompleks fuktio afbilder fra de komplekse talpla til de komplekse talpla: Vi skulle altså have haft rumlige dimesioer til rådighed, hvis vi skulle have teget grafer på sædvalig vis. Af magel på rumlige dimesioer har ma fudet på oget adet. I de komplekse talpla placeres pukter med e vis farve og lysstyrke. Puktets placerig agiver vores uafhægige variabel (dvs. vestre del af figure ovefor er udgagspuktet), mes fuktiosværdie agives med farve og lysstyrke (dvs. puktere på højreside af figure ovefor afbildes ikke, me deres placerig er omformet til farve og lysstyrke af de tilsvarede pukter på vestreside. Dvs. placerige af puktet f omformes til farve og lysstyrke for puktet ). Farve agiver hovedargumetet af fuktiosværdie ud fra edeståede skala: Lysstyrke agiver modulus af fuktiosværdie. Sort er ul, mørke farver er små moduli, lyse farver er store moduli og hvid er rigtig store moduli (mit gæt er, at lysstyrke ka skaleres op og ed præcis som e almidelige y-akse, således at rigtig store moduli ka dække over vidt forskellige værdier afhægig af de kokrete situatio). Grafe for de komplekse logaritmefuktio f : L ser således ud:

43 Ifiitesimalregig: Også for komplekse fuktioer idføres differetiabilitet i et givet pukt ved at se på, om f f 0 differeskvotiete har e græseværdi for 0, og dee græseværdi kaldes i så 0 fald differetialkvotiete i puktet, og dee skrives ' f. Her skal ma være opmærksom på, at u ka ærme sig 0 fra alle retiger og ikke ku retiger, som ide for de reelle tal. Vores regeregler for differetialkvotieter (produktregle, sammesat fuktio, sum, ) gælder ide for de komplekse tal, me der er også masser af forskelle og ye egeskaber, som vi ikke berører her. Når ma arbejder med komplekse fuktioer ide for fysik, vil de fysiske størrelser ofte afhæge af tide, der ikke er kompleks. Her gælder der så, at ma differetierer realdel og imagiærdel hver for sig. 0 Adegradsligiger Vi ved, at ide for de reelle tal ka adegradsligiger have 0, eller løsiger, og vi bruger diskrimiates forteg til at skele mellem de tre tilfælde. Vi skal u se, at ide for de komplekse tal har alle adegradsligiger midst é løsig. Alle vores kedte situatioer med 0 løsiger (egativ diskrimiat) forvadles til situatioer med løsiger ide for de komplekse tal. Vi idleder med selve sætige. Bemærk, at der arbejdes med komplekse koefficieter (situatioere med reelle koefficieter er ideholdt i disse), og bemærk, at der arbejdes med de komplekse kvadratrod, dvs. vores kvadratrod er flertydig (og derfor har vi ikke brug for vores fora kvadratrode): Sætig 9: Adegradsligige løsigere:, hvor a, b, c og a 0, har a b c 0, G b b ac a Hvor er de (flertydige) komplekse kvadratrod. Der idgår ikke oge diskrimiat i sætige, fordi ma ikke lægere behøver først at bestemme des forteg, me ma ka godt idføre d b ac, så udsaget bliver: b d a Beviset for sætige vil lagt he ad veje lige det tilsvarede bevis fra de reelle tal, fordi vi ifølge Sætig har de samme paretes- og brøkregeregler. Bemærk, hvorda beviset til sidst, år kvadratrode iddrages, faktisk bliver emmere ed det tilsvarede bevis ide for de reelle tal, da vi ikke behøver at forholde os til radikades forteg (dvs. vi spriger diskrimiatskridtet over):

44 Bevis 9: Vi omskriver adegradsligige, så isoleres: a b c a ab ac 0 Da a0, må ligige forlæges med a 0 Kvadratkompletterig De flertydige komplekse kvadratrod uddrages (Defiitio sikrer biimplikatioe) a b b ac a b b ac b b ac a Eksempel : Følgede adegradsligiger med reelle koefficieter løses (Sætig 5 avedes ved de komplekse kvadratrødder): ) ) : b b ac 6 96 a 6 5 0: i i b b ac 5 6 a i i Da Maple reger med komplekse tal, er der ikke oget yt i at løse adegradsligiger ide for de komplekse tal med Maple. Ma aveder helt almideligt solve : Det er (selvfølgelig) stadig tilladt at faktorisere og avede ulregle i stedet for at avede diskrimiatmetode. Faktisk vil faktoriserigsmetode altid kue bruges ide for de komplekse tal, da der altid er løsiger til ligige, me det er bare blevet væsetligt sværere at geemskue, hvorda ma faktoriserer, hvilket begræser avedelighede af metode. Opgavere 550*

45 Geerelt om adegradsligiger med REELLE koefficieter: Når ma har løst ogle adegradsligiger med reelle koefficieter ide for de komplekse tal, bemærker ma ok, at år løsigere er komplekse, er de altid hiades kojugerede. Det ses b d hurtigt ud fra Sætig 9, år ma opdeler højreside i to brøker:. a a Første brøk giver et reelt tal, år koefficietere er reelle, og for de ade brøk gælder: d 0: De komplekse kvadratrod giver to reelle tal, så hele udtrykket svarer til to reelle tal. b d d 0: Ifølge Sætig 5 får ma så i, hvor d er positiv. Imagiærdelee bliver a a b altså hiades modsatte elemeter. Og da realdele er de samme i begge komplekse a tal, er der altså tale om komplekst kojugerede tal. Vi ved altså, at løsigere til adegradsligiger med reelle koefficieter er komplekst kojugerede, hvis de er komplekse. I opgave 50 blev det med adre bogstaver - vist, at p i q p i q p p q, hvilket fortæller os, at a w w 0 giver os e adegradsligig på forme fra Sætig 9, me med reelle koefficieter (bemærk, at de imagiære ehed forsvider, år de to pareteser multipliceres). Vi har altså vist, at der gælder: Sætig 0: Adegradsligige a b c 0, G, hvor a, b, c og a 0, har ete eller reelle løsiger eller to komplekse løsiger, der er hiades komplekst kojugerede. For alle komplekse tal w er a w w 0 ; a 0 e adegradsligig med reelle koefficieter. På figure på æste side illustreres, hvorda ma går fra reelle ulpukter til komplekse ulpukter, år e parabel parallelforskydes lodret. Bemærk, at figure til vestre er et almideligt koordiatsystem ide for de reelle tal, mes figure til højre illustrerer vores komplekse talpla. Til vestre ses 7 parabler, der er grafer for polyomier på forme x x c. Alle parablere har altså samme form, og alle parableres toppukt har førstekoordiate -. Ved at øge c, forskydes parablere lodret opad, og du skal forestille dig, at vi begyder med parabel A og forskyder de trivis opad, idtil parabel G. Parabel A skærer førsteakse i - og, parabel B skærer i - og, parabel C i - og 0, mes edelig parabel D rører førsteakse i -. Disse ulpukter for polyomiere er reelle, og på billedet til højre er de placeret på førsteakse i de komplekse talpla. Me herefter slipper parablere jo førsteakse, dvs. parablere E, F og G skærer ikke førsteakse, og vi ved, at det betyder, at de tilsvarede polyomier ikke har oge reelle ulpukter. Me vi ved også, at der til gegæld er komplekse ulpukter. Og spørgsmålet er så, hvor de ligger i de komplekse talpla? Dette er illustreret på billedet til højre. Her ses det, at realdele ikke ædrer sig, me ligger fast på -, hvilket var det sted, hvor parablere slap førsteakse. Til gegæld kommer der e imagiærdel på ulpuktere, og des umeriske værdi øges, jo mere parable forskydes opad (hvilket er forsøgt illustreret med de stiplede pile). 5

46 Det er altså ikke såda, at ma pludselig haver et adet sted i de komplekse talpla, år parablere slipper førsteakse, og polyomiere ikke lægere har reelle ulpukter. Ma begyder bare at bevæge sig i e ade retig i de komplekse talpla. Adegradsligiger med komplekse koefficieter: Eksempel : Sætig 9 avedes til at løse i i i 5 8 0: b b ac 5i 5i i 8i 5i 5 0i i a i i 5i 8 6i 5i i 5i i i i i i i Kvadratrode blev udreget med Maple. Maple ka selvfølgelig også løse ligige med solve : Det bemærkes, at år koefficietere er komplekse, er løsigere til adegradsligige ikke ødvedigvis hiades kojugerede. Faktisk er de det som udgagspukt ikke. Det er ku, hvis ma som med f.eks. i i i tilfælde med i ka forkorte ligige i dette så de får reelle koefficieter i dette tilfælde I Eksempel var der problemer med at udrege kvadratrode, fordi vi ku har set på, hvorda det gøres på polær form, mes adegradsligiger typisk aveder rektagulær form. Hvis der arbejdes med pæe, hele tal (dvs. træigsopgaver), ka ma dog godt gætte sig til røddere på e måde, der mider om faktoriserige af adegradspolyomier. Hvis vi skal bestemme værdiere for a i b, skal vi fide de talpar, c i d a i b c d i cd a i b b b c d c d a cd c d a cd cd, der opfylder: 6

47 Bemærk, at ma i betigelsere for c og d gefider poite, at de to værdier af kvadratrode er hiades modsatte elemeter, for hvis ma fider et talpar cd,, der opfylder betigelsere, vil c, d også gøre det, da kvadratere forteg på begge størrelser. Vi har altså vist: c og Sætig : a i b er tallee c i d, der opfylder d samt produktet cd ikke ædrer sig, år ma skifter c d a cd b Eksempel 5: Vi skal udrege 5 i. Da b, skal vi altså fide to tal c og d med forskellige forteg, hvis produkt skal være -6. Vi ka frit lade c være positivt og d egativt, for vi skal efterfølgede også bruge det modsatte tal, år begge værdier skal agives. Hvis det er hele tal, ka der altså være tale om talparree 6, og,, og da c d 5, ses det, at det første talpar ka bruges. Dvs.: 6 i 5 i 6 i Nu skal 60 i udreges. b Da b, skal c og d ige have forskellige forteg, og da 6, er de mulige hele talpar,6,,8og,. Da det ses, at det er talparret c d 60, skal d være umerisk størst, og,8, der ka bruges: 8i 60 i 8i Opgavere 55* Du skulle u gere være i stad til at foretage udregiger med komplekse tal og ka samtidig tæke over, om du aser dem som virkelige tal. Herfra ka du f.eks. gå videre med tredjegradsligiger, fjerdegradsligiger, kvaterioer, holomorfe fuktioer og Algebraes Fudametalsætig. 7

48 Figurer til Caspar Wessels værk Om directioes aalytiske betegig publiceret i 799 Afbildig af de komplekse siusfuktio 8