Kvantepartikel i centralpotential

Transkript

1 Kvantemekanik 11 Side 1 af 7 Bintatomet II Kvantepatike i centapotentia Det kan vises at bevægesesmængdemomentets støese dets pojektion på en akse samt enegien af en kvantepatike i et centapotentia e samtidigt måbae: ˆ ˆ ˆ L L ˆ ˆ ˆ ˆ z L H L z H = = = H = + V ( ) (11.1) m svaende ti at de findes et fudstændigt sæt af samtidige egenfunktione fo ˆ ˆ ˆ z L L H : φ ( ) = R ( ) Y ( θφ) n m n n m hvo enegien e kaakteiseet ved det adiae kvanteta n. (11.) Den adiae Schödingeigning Iføge hint ti opg. 9.1 KM1 e ˆ H = + V m tanθ θ θ sin θ φ ekstaopg. 1 ˆ L V + ( ). = + + m m ( ) (11.3) Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknoogi AAU 8/4/9

2 Kvantemekanik 11 Side af 7 Bintatomet II Indsættes udtyk (11.) og (11.3) i egenvædiigningen fo enegien Hˆ φ = φ n m n m n m fås vha. opg. Q udtyk (1.) og opg. U: = m m 1 Lˆ V R n Yn m n mr n Yn m dr d R + m d d n n Y n m ( ) ( ) ( θφ) ( ) ( θφ) Rn + ( + 1) Yn m VR m n Y ( ) n ( 1 + ) 1 d R + + VR = R m d m + n m R Y n m n n m n n n = : (11.4) som vise at de sfæisk hamoniske e uafhængige af enegien som demed e uafhængig af m svaende ti at indiceingen kan begænses ti Y og. n m Ved at foænge med og efteføgende indføe den adiae bøgefunktion n fo hviken udtyk (11.) i øvigt bive ti kan udtyk (11.4) skives φ ( ) ( ) u R (11.5) ( ) u n ( ) n n m = Y m ( ) ( + 1) ( ) θφ (11.6) dun + + V u n = n un m d m ( ) ( ) ( ). (11.7) Med denne 1D adiae Schödingeigning e de såedes som i det kassiske tifæde ykkedes at educee pobemstiingen fa 3D ti 1D idet føste ed i udtyk (11.7) epæsentee den adiae kinetiske enegi og udtykket i kantede paentese epæsentee det effektive potentia fa udtyk (1.9). Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknoogi AAU 8/4/9

3 Kvantemekanik 11 Side 3 af 7 Bintatomet II Gænsebetingese Bøgefunktionen fa udtyk (11.6) vi divegee i oigo medminde ( ) u =. (11.8) n Fo nupunktet fo den potentiee enegi vagt i det uendeigt fjene V ( ) educee udtyk (11.7) fo ti du n n = m un d im = (11.9) som iføge opg. V give oscieende fie/ioniseede øsninge fo > og eksponentiet aftagende bundne øsninge fo <. I det fg. ses kun på bundne tistande de såedes opfyde n ( ) im u =. (11.1) Udtyk (11.8) og (11.1) udgø gænsebetingesene fo de bundne tistande. Nomeing Iføge opg. S e u ( ) d = 1. (11.11) n Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknoogi AAU 8/4/9

4 Kvantemekanik 11 Side 4 af 7 Bintatomet II Paitet Da et centapotentia V ( ) e invaiant ove fo spejing i oigo ha bøgefunktionene φ ( n m θφ ) iføge KM6 s. 5 vedefineet paitet 1 idet paiteten kan vises at føge banekvantetaet sådan at s d -obitae ha ige paitet mens p f -obitae ha uige paitet som eksempificeet med den viste KM1 s. 3. p z -obita 1 Svaende ti at enegien og paiteten e kompatibe obsevabe. Kombinationen af otationssymmeti om z-aksen og fotegnsskifte ved spejing i xy-panen give såedes uige paitet. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknoogi AAU 8/4/9

5 Kvantemekanik 11 Side 5 af 7 Bintatomet II Bintatomet n beskivese af et bintatom kæve at man kan opskive en vikåig tistand ( t ) ψ. n sådan vikåig tistand kan skives som en oveejing af egentistande fo en ee fee indbydes kompatibe obsevabe og i dette tifæde væges af paktiske åsage samtidige egentistande fo Lˆ Lˆ H ˆ : 3 z ψ n i t n ( ) ( ) m t = φ n m e u n ( ) i n t = Y m ( θφ) e. (11.1) De sfæisk hamoniske kendetegne jf. udtyk (1.) udeukkende ˆL og L ˆz og e demed de samme fo ae centapotentiae og ikke speciee fo bintatomet. De adiae bøgefunktione med tihøende enegie findes deimod ved at øse den adiae Schödingeigning fa udtyk (11.7) som fo bint e givet ved ( + 1) du e + u = u m 4 n e d me πε med gænsebetingese givet ved udtyk (11.8) og (11.1). n n n (11.13) Udtyk (11.13) kan ved at egne afstand i enhede af Bohadie a : q a (11.14) 4πε = Å eme a 59 3 Atenativt kan de som beskevet KM1 s. -3 foetages et basisskift ti en basis indehodende p - og p -obitae de ikke e egenfunktione fo L ˆ men fo hhv. Lˆ og Lˆ. z x y x y Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknoogi AAU 8/4/9

6 Kvantemekanik 11 Side 6 af 7 Bintatomet II og ved at egne ioniseingsenegien/bindingsenegien 4 > i enhede af Rydbeg Ry : iføge opg. W skives med gænsebetingese γ > Ry e Ry= 136 ev 8πε a q q ( + 1) (11.15) du + u= γ u (11.16) dq ( ) u( q) u = im =. (11.17) q I opg. W findes de adiae bøgefunktione + 1 ( n ++ 1) a u = Np e (11.18) ( ) ( ) n n hvo p n e et poynomium af oden n samt de detihøende tiadte eneginiveaue ( n + + 1) Ry ; = n n neginiveauene ses såedes at væe degeneeede i n + og defo indføes hovedkvantetaet sådan at man opnå det vekendte udtyk (1.16): n. (11.19) n n (11.) Ry = n. (11.1) n 4 De e såedes tae om bundne tistande. Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknoogi AAU 8/4/9

7 Kvantemekanik 11 Side 7 af 7 Bintatomet II Iføge KM1 s. 3 e de tae om en s-obita fo = en p-obita fo =1 osv. Da disse obitae ikke e entydige men ha foskeig enegi fo foskeige udvides den spektoskopiske notation med hovedkvantetaet n sådan at man tae om ns - np -obita osv.: idet n + 1 iføge udtyk (11.). ns: 134 s s s s np : p3 p4 p nd : 3 d4 d nf : 4 f n (11.) Som nævnt i KM1 kan hve af disse obitae have + 1 foskeige oienteinge. Obitae med samme n udgø en ska og obitae med samme n og samme udgø en undeska. 5 K ( n= ) ( ) I en kemisk/spektoskopisk notation navngives disse skae 1 M ( n= 3) og så femdees efte afabetet. L n= n p z -obita e iføge udtyk (11.6) samt TABL 8.1 og 9.1 f.eks. givet ved ( ) u1 1 a 3 φ 1 ( ) = Y1 ( θφ ) = e c osθ (11.3) 6a a 4π hviket iføge Fig. 9.4 svae ti den ottetas-fomede iustation KM1 s. 3. Bemæk at ovenstående beskivese kun e af bintatomet og ikke uden videe kan geneaisees ti ande atome. F.eks. e eneginiveauenes degeneation i n + samt m kun gædende fo bint. 5 F.eks. indehode p -undeskaen såedes 3 obitae i fom af en p x - en kan indehode eektone med hhv. spin op og spin ned. p y - og en p z -obita som hve isæ Thomas B. Lynge Institut fo Fysik og Nanoteknoogi AAU 8/4/9