Symmetri i natur, kunst og matematik
|
|
- Gustav Karlsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Symmetri i natur, kunst og matematik Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1. februar 2017 Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
2 Billeder af algebra! Gruppeteori! Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
3 Projektets baggrund En bro mellem gruppeteori og geometri Abstrakt gruppeteori på MAT3 Symmetriprojekt på MAT4 (Differential-)Geometri på MAT5 Projektet bygger bro Projektet konkretiserer (brug af) gruppeteori Projektet beskæftiger sig (bl.a.) med klassifikation Kun svag sammenhæng med kursusaktiviteter på MAT4 Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
4 Gruppedannelse inden gruppeteorien... Emner Vejledere Efter introduktionen: fem grupper Fire emneområder To vejledere Bedia A. Møller Lisbeth Fajstrup Fri studieaktivitet: 5 projektintroducerende kursusgange i uge Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
5 Indholdsoversigt 1 Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 2 Flytninger og symmetrigrupper 3 Arkitektur og symmetri: da Vincis sætning 4 Mønstre, ornamenter, M.C.Escher; krystaller 5 Symmetri og virus 6 Rubiks terning Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
6 Platoniske legemer Regulære polyedre (mangesider) 1 Tetraeder 2 Terning 3 Oktaeder 4 Ikosaeder 5 Pentagondodekaeder har stor grad af symmetri: Mange drejninger og spejlinger overfører legemet i sig selv! Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
7 Regulære polygoner og deres symmetri Figure: Regulær sekskant med symmetriakser Symmetrier: 1 Drejninger 2 Spejlinger Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
8 Regulære polygoner og deres symmetri Figure: Regulær sekskant med symmetriakser Symmetrier: 1 Drejninger 2 Spejlinger og deres komposition (sammensætning). Symmetrioperationerne udgør polygonens symmetrigruppe: Diedergruppen D n. Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
9 Symmetrigruppen D 3 af en ligesidet trekant består af spejlinger S A, S B, S C, rotationer (drejninger) R 120, R 240 og identitet i. Den har følgende kompositionstavle: i R 120 R 240 S A S B S C i i R 120 R 240 S A S B S C R 120 R 120 R 240 i S B S C S A R 240 R 240 i R 120 S C S A S B S A S A S C S B i R 240 R 120 S B S B S A S C R 120 i R 240 S C S C S B S A R 240 R 120 i (første flytning i søjle, anden flytning i række) Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
10 Det grundlæggende: Flytninger Drejninger og spejlinger er eksempler på flytninger: En afbildning f fra planen (eller rummet) ind i sig selv kaldes en flytning eller isometri, hvis og kun hvis den bevarer afstande: For alle punkter P, Q gælder: PQ = f (P)f (Q). Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
11 Det grundlæggende: Flytninger Drejninger og spejlinger er eksempler på flytninger: En afbildning f fra planen (eller rummet) ind i sig selv kaldes en flytning eller isometri, hvis og kun hvis den bevarer afstande: For alle punkter P, Q gælder: PQ = f (P)f (Q). Man kan vise, at en flytning 1 er vinkelbevarende, og 2 overfører en figur i en kongruent figur. Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
12 Det grundlæggende: Flytninger Drejninger og spejlinger er eksempler på flytninger: En afbildning f fra planen (eller rummet) ind i sig selv kaldes en flytning eller isometri, hvis og kun hvis den bevarer afstande: For alle punkter P, Q gælder: PQ = f (P)f (Q). Man kan vise, at en flytning 1 er vinkelbevarende, og 2 overfører en figur i en kongruent figur. Spørgsmål: Hvilke typer flytninger findes der i planen (rummet)? Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
13 Fire typer flytninger i planen B E A D C Fire slags flytninger udført på figur A: translation = parallelforskydning(b), rotation=drejning(c), spejling(d) og glidespejling(e) Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
14 Fire typer flytninger i planen B E A D C Fire slags flytninger udført på figur A: translation = parallelforskydning(b), rotation=drejning(c), spejling(d) og glidespejling(e) Web-illustration Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
15 Arkitektur: Leonardo da Vincis sætning Rosettegrupper symmetri af begrænsede plane figurer Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
16 Arkitektur: Leonardo da Vincis sætning Rosettegrupper symmetri af begrænsede plane figurer Symmetrigruppen Sym(F ) af en figur eller et ornament F (rosettegruppen) består af alle flytninger som overfører F is sig selv. Enhver begrænset plan figur F har som symmetrigruppe Sym(F ) enten 1 en diedergruppe D n (drejninger og spejlinger) eller 2 en cyklisk gruppe C n (kun drejninger). Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
17 Arkitektur: Leonardo da Vincis sætning Rosettegrupper symmetri af begrænsede plane figurer Symmetrigruppen Sym(F ) af en figur eller et ornament F (rosettegruppen) består af alle flytninger som overfører F is sig selv. Enhver begrænset plan figur F har som symmetrigruppe Sym(F ) enten 1 en diedergruppe D n (drejninger og spejlinger) eller 2 en cyklisk gruppe C n (kun drejninger). Argument: Tyngdepunktet skal bevares! under hver symmetri! Derfor kan Sym(F ) kun indeholde drejninger og spejlinger hverken translationer eller glidespejlinger! Vælg akser (drejninger) med mindst mulig vinkel. Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
18 Arkitektur: Leonardo da Vincis sætning Rosettegrupper symmetri af begrænsede plane figurer Symmetrigruppen Sym(F ) af en figur eller et ornament F (rosettegruppen) består af alle flytninger som overfører F is sig selv. Enhver begrænset plan figur F har som symmetrigruppe Sym(F ) enten 1 en diedergruppe D n (drejninger og spejlinger) eller 2 en cyklisk gruppe C n (kun drejninger). Argument: Tyngdepunktet skal bevares! under hver symmetri! Derfor kan Sym(F ) kun indeholde drejninger og spejlinger hverken translationer eller glidespejlinger! Vælg akser (drejninger) med mindst mulig vinkel. Rosette-mønstre cyklisk Rosette-mønstre dieder Do it yourself! Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
19 Symmetrier af begrænsede delmængder af rummet Rotationer undergrupper af SO(3) Spejlinger og rotationer undergrupper af O(3) Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
20 Båndornamenter og frisegrupper 1 Translationer Eksempler: Friser, vaser, trøjer, musik! Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
21 Båndornamenter og frisegrupper 1 Translationer Eksempler: Friser, vaser, trøjer, musik! Et båndornament har en centerlinje c, som overføres i sig selv under alle ornamentets symmetrier. Ornamentets symmetrigruppe Sym(F ) indeholder translationer langs med centerlinjen med en eller flere enheder i begge retninger. Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
22 Båndornamenter og frisegrupper 1 Translationer Eksempler: Friser, vaser, trøjer, musik! Et båndornament har en centerlinje c, som overføres i sig selv under alle ornamentets symmetrier. Ornamentets symmetrigruppe Sym(F ) indeholder translationer langs med centerlinjen med en eller flere enheder i begge retninger. Hver af disse translationer kan karakteriseres ved et heltal hvor mange enheder til højre eller venstre? Translationerne danner en undergruppe T (F ) < Sym(F ) som er isomorf med heltalsgruppen (Z, +). Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
23 Båndornamenter og frisegrupper 2 Frisegruppen Frisegruppen Sym(F ) svarende til F består af alle ornamentets symmetrier. Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
24 Båndornamenter og frisegrupper 2 Frisegruppen Frisegruppen Sym(F ) svarende til F består af alle ornamentets symmetrier. Den kan (udover translationerne) indeholde: 1 Spejlinger i centerlinjen c; 2 Spejlinger i akser c; 3 Punktspejlinger i punkter på c, og/eller 4 Glidespejlinger (med c som akse). Der findes 7 væsensforskellige typer frisegrupper. Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
25 Båndornamenter og frisegrupper 2 Frisegruppen Frisegruppen Sym(F ) svarende til F består af alle ornamentets symmetrier. Den kan (udover translationerne) indeholde: Frisemønstre 1 Spejlinger i centerlinjen c; 2 Spejlinger i akser c; 3 Punktspejlinger i punkter på c, og/eller 4 Glidespejlinger (med c som akse). Der findes 7 væsensforskellige typer frisegrupper. Do it yourself! Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
26 Plane ornamenter Mathigon) Eksempler: Tapeter, islamiske mønstre, M. C. Eschers tegninger (Fra Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
27 Plane ornamenter (Fra Mathigon) Eksempler: Tapeter, islamiske mønstre, M. C. Eschers tegninger Et (uendeligt) plant ornament F er karakteriseret ved, at der findes translationer i to forskellige (ikke-parallelle/lineært uafhængige) retninger, som overfører ornamentet i sig selv. Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
28 Plane ornamenter (Fra Mathigon) Eksempler: Tapeter, islamiske mønstre, M. C. Eschers tegninger Et (uendeligt) plant ornament F er karakteriseret ved, at der findes translationer i to forskellige (ikke-parallelle/lineært uafhængige) retninger, som overfører ornamentet i sig selv. En translation karakteriseres ved et par af heltal (hvor mange enheder i den første retning (±), hvor mange i den anden (±)). Translationerne danner en undergruppe T (F ) Sym(F ), som er isomorf med gruppen af heltalspar (Z Z, +). Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
29 Tapetgrupper Ornamentgruppen eller tapetgruppen Sym(F ) indeholder alle ornamentets symmetrier. Udover parallelforskydningerne kan den indeholde 1 Drejninger med vinklen 0 o, 60 o, 90 o, 120 o, 180 o, 240 o, 270 o, 300 o (kun disse er mulige: den krystallografiske restriktion); 2 Spejlinger i akser parallel til forskydningsvektorer; 3 Glidespejlinger i akser parallel til forskydningsvektorer. Der findes 17 væsensforskellige typer ornamentgrupper (tapetgrupper). Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
30 Tapetgrupper Ornamentgruppen eller tapetgruppen Sym(F ) indeholder alle ornamentets symmetrier. Udover parallelforskydningerne kan den indeholde 1 Drejninger med vinklen 0 o, 60 o, 90 o, 120 o, 180 o, 240 o, 270 o, 300 o (kun disse er mulige: den krystallografiske restriktion); 2 Spejlinger i akser parallel til forskydningsvektorer; 3 Glidespejlinger i akser parallel til forskydningsvektorer. Der findes 17 væsensforskellige typer ornamentgrupper (tapetgrupper). Do it yourself 1! Do it yourself 2! Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
31 Analyse af et givet ornament F Ornamentet Sym(F ) Symmetrigruppen (17 typer) T (F ) Undergruppen af parallelforskydninger ( = Z Z) P 0 (F ) Punktgruppen ( = I, C 2, C 3, C 4, C 6, D 2, D 3, D 4, D 6 ) N(F ) Net eller gitter (billeder af ét punkt under T (F )). Der er fem typer: parallelogram, rektangulær, centreret rektangulær, kvadratisk, hexagonal M(F ) Motiv: lukket delmængde af planen, således at Sym(F )(M(F )) overdækker planen og er minimal med denne egenskab Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
32 17 tapetgrupper Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
33 Krystallers symmetri Krystaller vokser rumligt regelmæssigt med udgangspunkt i deres molekylære struktur. Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
34 Krystallers symmetri Krystaller vokser rumligt regelmæssigt med udgangspunkt i deres molekylære struktur. Man kan vise rent matematisk, at der findes ialt 230 væsensforskellige symmetrigrupper (de såkaldte rumgrupper) for krystalstrukturer. Man bruger dem især ved røntgenanalyse af sådanne strukturer. Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
35 Krystallers symmetri Krystaller vokser rumligt regelmæssigt med udgangspunkt i deres molekylære struktur. Man kan vise rent matematisk, at der findes ialt 230 væsensforskellige symmetrigrupper (de såkaldte rumgrupper) for krystalstrukturer. Man bruger dem især ved røntgenanalyse af sådanne strukturer. En væsentlig begrænsning er igen den krystallografiske restriktion: De eneste mulige drejninger i et rumligt mønster har vinkler 0 o, 60 o, 90 o, 120 o, 180 o, 240 o, 270 o, 300 o. Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
36 Krystallers symmetri Krystaller vokser rumligt regelmæssigt med udgangspunkt i deres molekylære struktur. Man kan vise rent matematisk, at der findes ialt 230 væsensforskellige symmetrigrupper (de såkaldte rumgrupper) for krystalstrukturer. Man bruger dem især ved røntgenanalyse af sådanne strukturer. En væsentlig begrænsning er igen den krystallografiske restriktion: De eneste mulige drejninger i et rumligt mønster har vinkler 0 o, 60 o, 90 o, 120 o, 180 o, 240 o, 270 o, 300 o. Kemi og symmetri 1 Kemi og symmetri 2 Flere muligheder hvis man tillader mere fleksible topologiske symmetrier Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
37 Symmetrier i virus De fleste vira har en viruscapsid, som ligner et ikosaeder. Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
38 Hvorfor er viruscapsider ikosaederformede? Genetisk økonomi - mange ens byggeklodser - så symmetrisk som muligt. (Watson og Crick) Matematikspørgsmål: I hvilken forstand er et ikosaeder det mest symmetriske? Hvilke andre muligheder er der? Hvor stor en symmetrigruppe har ikosaederet? Hvor stor en byggeklods skal man bruge - Fundamental domain Endelige undergrupper af SO(3) Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
39 Rubiks terning Rubiks terning Elementære drejninger: F (front), B (back), U (top), D(bottom), L (left), R (right). Symmetrigruppen er en undergruppe af permutationsgruppen S 48 af de 48 terninger som ikke er i centrum af en side. Den har orden G = = Enhver konfiguration kan overføres til udgangspunktet ved højst 20 elementære drejninger. Lisbeth Fajstrup og Bedia Akyar Møller () Symmetri i natur, kunst og matematik Februar / 23
Symmetri i natur, kunst og matematik
Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.2.2012 Indholdsoversigt 1. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 2. Flytninger og symmetrigrupper 3. Arkitektur og symmetri: da Vincis sætning
Læs mereSymmetri i natur, kunst og matematik
Institut for matematiske fag Aalborg Universitet Nørresundby Gymnasium, 5.12.07 Indholdsoversigt 1. Indledning og lysbilleder 2. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 3. Flytninger og symmetrigrupper
Læs mereSymmetri i natur, kunst og matematik
Institut for matematiske fag Aalborg Universitet 1.2.2013 Indholdsoversigt 1. Polygoner, platoniske legemer og deres symmetri 2. Flytninger og symmetrigrupper 3. Arkitektur og symmetri: da Vincis sætning
Læs mereSymmetri og matematik i natur og forståelse
Institut for Matematik Aarhus Universitet 26. september 2017 Felix Kleins Erlangen program (1872) Geometriske objekter skal klassificeres ved egenskaber, der er invariante under transformationer (symmetrier)
Læs mereSymmetrier og Mønstre Symmetri, molekylær gastronomi og livets kemi, Karl Anker Jørgensen, Kemi Symmetri og netværk i biologiens verden, Jens Mogens O
Offentlige foredrag i naturvidenskab nat.au.dk/foredrag Det Naturvidenskabelige Fakultet, Aarhus Universitet Folkeuniversitetet i Århus Symmetrier og mønstre Symmetrier og Mønstre Symmetri, molekylær gastronomi
Læs mere1 F Flytningsgeometri F Flytningsgeometri
1 lytningsgeometri lytningsgeometri 2 At undersøge mønstre i kunst, arkitektur, flisebelægninger og dekorationer giver mulighed for en undersøgende tilgang til geometrien i det hele taget. Læreren har
Læs mereFlytninger og mønstre
Flytninger og mønstre KTIVITET ESKRIV MØNSTRE FLYTNINGER OG MØNSTRE 7 I dette kapitel skal du arbejde med flytninger og mønstre i planen. Der findes mønstre overalt omkring os. Det er indenfor kunst og
Læs mereFlytninger og mønstre
Flytninger og mønstre KTIVITET ESKRIV MØNSTRE FLYTNINGER OG MØNSTRE 9 I dette kapitel skal du arbejde med flytninger og mønstre i planen. Der findes mønstre overalt omkring os. Det er indenfor kunst og
Læs mereOM KAPITLET FLYTNINGER OG MØNSTRE. Elevernes egne svar eller Elevernes egne forklaringer. I
OM KPITLET I dette kapitel om flytninger og mønstre skal eleverne undersøge forskellige egenskaber og sammenhænge ved flytningerne: spejling, drejning og parallelforskydning. Eleverne skal tillige analysere
Læs mereLinjer. Figurer. Format 4. Nr. 14. Navn: Klasse: Dato: Kopiark til elevbog side 17
Linjer Nr. 14 a a Forlæng linjerne med lineal. Mål afstanden mellem de linjer, der sandsynligvis er parallelle. Farv linjer med samme farve, hvis de er parallelle. Find parallelle linjer i tegningerne,
Læs mereSymmetri. - i tapetmønstre
Symmetri - i tapetmønstre MAT 4. SEMESTER PROJEKT GRUPPE G3-114 MATEMATIK & STATISTIK AALBORG UNIVERSITET DEN 23. MAJ 2012 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Telefon 99
Læs mereMatematik interne delprøve 09 Tesselering
Frederiksberg Seminarium Opgave nr. 60 Matematik interne delprøve 09 Tesselering Line Købmand Petersen 30281023 Hvad er tesselering? Tesselering er et mønster, der består af en eller flere figurer, der
Læs merei tredje kilogram (kg) længde cirkeludsnit periferi todimensional hjørne
median 50% halvdel geometri i tredje 3 rumfang normal 90 grader underlig indskrevet kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) rumfang beholder fylde liter passer ben sds bredde deci centi lineal tiendedel
Læs mereForside. Matematik og Statistik. Symmetri. Tapetmønstre. Gruppe G maj 2014
Forside Matematik og Statistik Symmetri Tapetmønstre Gruppe G3-110 23. maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske
Læs mereKompetencetræning #2 også til prøven. 31. Januar 2019
Kompetencetræning #2 også til prøven 31. Januar 2019 Bordet rundt Har I prøvet noget af? Var der nogle forhindringer i at prøve noget af? Hvis du har prøvet noget af hvor var udfordringerne så for dig
Læs mereMatematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling )
Matematik Færdigheds- og vidensmål (Geometri og måling ) Kompetenceområde Klassetrin Faser 1 Eleven kan kategorisere Efter klassetrin Eleven kan anvende geometriske begreber og måle Eleven kan kategorisere
Læs mereMødet. 6 Geometri. Begreb Eksempel Navn. Parallel. Vinkelret. Linjestykke. Polygon. Cirkelperiferi. Midtpunkt. Linje. Diagonal. Radius.
6.01 Mødet Begreb Eksempel Navn Parallel Vinkelret Linjestykke Polygon Cirkelperiferi Midtpunkt Linje Diagonal Radius Ret vinkel 6.02 Fire på stribe Regler Hver spiller får en spilleplade (6.03). Alle
Læs mereSymmetrien i krystaller
Symmetrien i krystaller Matematisk krystallografi Speciale 7. juni 2018 Anne-Marie Landbo Institut for Matematiske Fag Skjernvej 4A 9220 Aalborg Ø http://math.aau.dk Titel: Symmetrien i krystaller Synopsis:
Læs mere1 Oversigt I. 1.1 Poincaré modellen
1 versigt I En kortfattet gennemgang af nogle udvalgte emner fra den elementære hyperbolske plangeometri i oincaré disken. Der er udarbejdet både et Java program HypGeo inkl. tutorial og en Android App,
Læs mereFigurer med ligesidede trekanter deltaedere
Figurer med ligesidede trekanter deltaedere I denne aktivitet arbejdes der med den mindste regulære polygon vi har, nemlig den ligesidede trekant. Polygon betyder mangekant. Trekanten er mindst på den
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs merefortsætte høj retning mellem mindre over større
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde t system rod orden nøjagtig præcis
Læs mereTapetmønstre. Symmetri i 2 dimensioner. 4. Semester - MAT4 Aalborg Universitet
Tapetmønstre Symmetri i 2 dimensioner 4. Semester - MAT4 Aalborg Universitet G3-112 16. maj 2012 Institut for Matematiske Fag Matematik Fredrik Bajers Vej 7G Telefon 99 40 99 40 http://www.math.aau.dk
Læs mereAffine transformationer/afbildninger
Affine transformationer. Jens-Søren Kjær Andersen, marts 2011 1 Affine transformationer/afbildninger Følgende afbildninger (+ sammensætninger af disse) af planen ind i sig selv kaldes affine: 1) parallelforskydning
Læs mereLinjespillet. Figurer. Format6. Nr. 18. Kopiark til elevbog side 16
Nr. 18 Linjespillet Farv højde Farv linje Farv linjestykke Farv halvlinje Farv en parallel linje Farv en vinkelret linje Par- eller gruppeaktivitet. Kast på skift en 6-sidet terning. Vælg en farve hver.
Læs mereHop videre med. Udforskning af opgaverne for 6. og 7. klassetrin i Danmark. 1 a) Tegn alle de mulige symmetriakser på vejskiltene.
Hop videre med Udforskning af opgaverne ne bygger videre på opgaver fra Kænguruen og lægger op til, at klassen sammen kan diskutere og udforske problemstillingerne. Opgavenumrene henviser til de opgaver,
Læs mereTilhørende: Robert Nielsen, 8b. Geometribog. Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden.
Tilhørende: Robert Nielsen, 8b Geometribog Indeholdende de vigtigste og mest basale begreber i den geometriske verden. 1 Polygoner. 1.1 Generelt om polygoner. Et polygon er en figur bestående af mere end
Læs mereForskellig eller ens? Geometriforløb i 5 klasse.
Forskellig eller ens? Geometriforløb i 5 klasse. Introduktion til undervisningsforløbet Forløbet behandler forskellige plangeometriske problemstillinger ud fra dagligdagsbegreberne ens og forskellig. Alle
Læs mereGratisprogrammet 27. september 2011
Gratisprogrammet 27. september 2011 1 Brugerfladen: Små indledende øvelser: OBS: Hvis et eller andet ikke fungerer, som du forventer, skal du nok vælge en anden tilstand. Dette ses til højre for ikonerne
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereUndersøgelser af trekanter
En rød tråd igennem kapitlet er en søgen efter svar på spørgsmålet: Hvordan kan vi beregne os frem til længder, vi ikke kan komme til at måle?. Hvordan kan vi fx beregne højden på et træ eller et hus,
Læs mereMatematik og Statistik. Rubiks terning. Symmetri. Gruppe G3-106 23. Maj 2014
Matematik og Statistik Rubiks terning Symmetri Gruppe G3-106 23. Maj 2014 Aalborg Universitet Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Ø Tfl. 99409940 Institut for Matematiske Fag
Læs mere2 Oversigt II. 2.1 Tessellationer. 2.2 En {3, 7} tessellation
2 versigt II En fortsættelse af gennemgangen af den elementære hyperbolske plangeometri i Poincaré disken. I denne note viser vi, hvorledes teorien om euklidisk symmetri af regulære hyperbolske polygoner
Læs merekilogram (kg) passer isometrisk liter veje kvadratmeter kasse
i tredje 3 i anden kilogram (kg) bage forkortelse tusinde (1000) efter bagved foran placering beholder fylde passer ben sds bredde deci centi tiendedel isometrisk centicube stoksforhold prikpar længere
Læs mereMatematiklærerdag 2008
Matematiklærerdag 2008 Klaus Thomsen Institut for Matematiske Fag Det Naturvidenskabelige Fakultet Aarhus Universitet March 27, 2008 Matematik og kemi. Matematik og kemi. Intelligente tællemetoder - frit
Læs mereØvelse 1. bygges op, modellen
Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere naturvidenskaberne, og han søgte hele sit liv at finde de fysiske love,
Læs mereMaxiMat og de forenklede Fælles mål
MaxiMat og de forenklede Fælles mål Dette er en oversigt over hvilke læringsmål de enkelte forløb indeholder. Ikke alle forløb er udarbejdet endnu, men i skemaet kan man se alle læringsmålene også de,
Læs mereLærereksemplar. Kun til lærerbrug GEOMETRI 89. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål.
Kun salg ved direkte kontakt mellem skole og forlag. Kopiering er u-økonomisk og forbudt til erhvervsformål. GEOMETRI 89 Side Emne 1 Indholdsfortegnelse 2 Måling af vinkler 3 Tegning og måling af vinkler
Læs mereKUNST OG MATEMATIK. På Holstebro Kunstmuseum. Big Bang Odense den
KUNST OG MATEMATIK På Holstebro Kunstmuseum Big Bang Odense den 2.4.2019 Skolesamarbejde Omvisninger Skolesamarbejde Omvisninger Undervisningsforløb Skolesamarbejde Omvisninger Undervisningsforløb
Læs merebrikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, F+E+D ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering er kun
Læs mereKeplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre).
Keplers verdensbillede og de platoniske legemer (de regulære polyedre). Johannes Kepler (1571-1630) var på mange måder en overgangsfigur i videnskabshistorien. Han ydede et stort bidrag til at matematisere
Læs mereMatematik med LEGO WeDo 4.-6. klasse. Lærervejledning Symmetri og drejning. Formål: Aktivitet
Lærervejledning Symmetri og drejning Eleverne skal bygge karusseller efter et billede. De skal sammenligne en symmetrisk og en asymmetrisk karrusel opfører sig nå der drejer rundt. De skal afgøre om nogle
Læs mere6 Geometri. Faglige mål. Geometriske begreber. Vinkler. Modeller. Kongruens og ligedannethed
6 Geometri Faglige mål Kapitlet Geometri tager udgangspunkt i følgende faglige mål: Geometriske begreber: kunne sætte matematiske begreber ind i en matematisk kontekst samt kende den visuelle betydning
Læs mereTrekanthøjder Figurer
Trekanthøjder D E N C B F G T I H L N S J M F K ST O T I U Q R V SK X Y 97887204290_Vaerkstedmap_Kopisider_-70.indd 24 24 /0/2 :46 M Trekanthøjder D B L F E H C G I J I L K M O R S N Y Q G Y E T U 97887204290_Vaerkstedmap_Kopisider_-70.indd
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereSpor Matematiske eksperimenter. Komplekse tal af Michael Agermose Jensen og Uwe Timm.
Homografier Möbius transformationer Følgende tema, handler om homografier, inspireret af professor Børge Jessens noter, udgivet på Københavns Universitet 965-66. Noterne er herefter blevet bearbejdet og
Læs meregeometri trin 2 brikkerne til regning & matematik preben bernitt
brikkerne til regning & matematik geometri trin 2 preben bernitt brikkerne til regning & matematik geometri, trin 2 ISBN: 978-87-92488-16-9 1. Udgave som E-bog 2003 by bernitt-matematik.dk Kopiering er
Læs mereKAPITEL 3. Spejling og figurer. Er det symmetrisk? Er det spejlet? Er der figurer i figurerne?
KAPITEL 3 Spejling og figurer Er det symmetrisk? Er det spejlet? Er der figurer i figurerne? Tegn symmetriakser ELEVBOG 2A SIDE 42-45 arbejdsark 102 117 K F I Tegn 4. Spejling symmetriakser ELEVBOG 2A
Læs mere************************************************************************
Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man
Læs mereÅrsplan matematik 8. klasse
Årsplan matematik 8. klasse 2019-2020 Eleverne arbejder med grundbogen Matematrix 8. I undervisningen inddrages digitale undervisningsredskaber såsom Geogebra, Wordmat, MatematikFessor, emat, excel og
Læs mereLad os prøve GeoGebra.
Brug af Geogebra i matematik Programmet Geogebra er et matematisk tegneprogram. Det findes i øjeblikket i flere versioner. Direkte på nettet uden download. http://www.geogebra.org/cms/ Klik på billedet.!
Læs mereSådan gør du i GeoGebra.
Sådan gør du i GeoGebra. Det første vi skal prøve er at tegne matematiske figurer. Tegne: Lad os tegne en trekant. Klik på trekant knappen Klik på punktet ved (1,1), (4,1) (4,5) og til sidst igen på (1,1)
Læs mereMAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe
HaNs CHRIsTIaN HaNsEN JOHN schou kristine JEss JEppE skott MAteMAtIk FoR LæReRStUDeReNDe Geometri 1. 6. klasse Hans Christian Hansen, Joh n Schou, Kristine Jess og Jeppe Skott Matematik for lærerstuderende
Læs mereMatematik. Trinmål 2. Nordvestskolen 2006 Forord. Trinmål 2 (4. 6. klasse)
Matematik Trinmål 2 Nordvestskolen 2006 Forord Forord For at sikre kvaliteten og fagligheden i folkeskolen har Undervisningsministeriet udarbejdet faghæfter til samtlige fag i folkeskolen med bindende
Læs mereKomplekse perler: Möbiustransformationer, hyperbolske mønstre og fraktaler
: Möbiustransformationer, hyperbolske mønstre og fraktaler Institut for matematiske fag Aalborg Universitet AAU 26.3.2010 Matematiske perler Möbiustransformationer Definition Möbiustransformation: En afbildning
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri
Tip til. runde af - Geometri, Kirsten Rosenkilde. Tip til. runde af Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en særlig teoretisk indføring,
Læs mereOversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering
MULTI 4 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning undersøgende arbejde Eleven kan læse og skrive enkle tekster med og om matematik
Læs mereForord 3 Strukturen i denne bog 6
Indhold i Epsilon Forord 3 Strukturen i denne bog 6 Introduktion til del I. De naturlige tal 10 1 Børns talbegreber og regneoperationer omkring de første skoleår 12 Tal og det at tælle 15 Det indledende
Læs mereElevbog s. 14-25 Vi opsummerer hvad vi ved i. kendskab til geometriske begreber og figurer.
Årsplan 5. LH. Matematik Lærer Pernille Holst Overgaard (PHO) Lærebogsmateriale. Format 5 Tid og fagligt Aktivitet område Uge 33-37 Tal Uge 38-41 (efterårsferie uge 42) Figurer Elevbog s. 1-13 Vi opsummerer
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereFinde midtpunkt. Flisegulv. Lygtepæle
Finde midtpunkt Flisegulv Lygtepæle Antal diagonaler Vinkelsum Vinkelstørrelse Et lille geometrikursus Forudsætninger (aksiomer): Parallelle linjer skærer ikke hinanden uanset hvor meget man forlænger
Læs mereÅRSPLAN M A T E M A T I K
ÅRSPLAN M A T E M A T I K 2013/2014 Klasse: 3.u Lærer: Bjørn Bech 3.u får 5 matematiktimer om ugen: MANDAG TIRSDAG ONSDAG TORSDAG FREDAG Lektion 1 Lektion 2 Lektion 3 Matematik Matematik Lektion 4 Matematik
Læs mereInge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA december 2001. Ideer til programmet Mønster
Inge B. Larsen ibl@dpu.dk INFA december 2001 Ideer til programmet Mønster Indhold Emne Type Side Klassetrin Forord 2 Spejle og skubbe Aktivitet 1 3-4 B-M Spejling og symmetri Aktivitet 2 5-6 M-Æ Spejle
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereGeoGebra. Tegn følgende i Geogebra. Indsæt tegningen fra geogebra. 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5)
Tegn følgende i Geogebra 1. Indsæt punkterne: (2,3) (-2, 4) (-3, -4,5) Forbind disse tre punker (brug polygon ) 2. Find omkreds, vinkler, areal og sidelængder 3. Tegn en vinkelret linje fra A og ned på
Læs merebruge en formel-samling
Geometri Længdemål og omregning mellem længdemål... 56 Omkreds og areal af rektangler og kvadrater... 57 Omkreds og areal af andre figurer... 58 Omregning mellem arealenheder... 6 Nogle geometriske begreber
Læs mereMatematik på Åbent VUC
Lektion 8 Geometri Når du bruger denne facitliste skal du være opmærksom på, at: - der kan være enkelte fejl. - nogle af facitterne er udeladt - bl.a. der hvor facitterne er tegninger. - decimaltal kan
Læs mereAndreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009
Andreas Nielsen Kalbyrisskolen 2009 Matematiske kompetencer. Matematiske emner (tal og algebra, geometri, statistik og sandsynlighed). Matematik i anvendelse. Matematiske arbejdsmåder. Tankegangskompetence
Læs mereBasisblokke addition Programmet viser enere, 10-bunker, 100- bunker osv. Det kan bruges til at visualisere, hvordan man lægger tal sammen.
Tal og algebra Abacus Dette program er en elektronisk udgave af en kugleramme. Man kan flytte en kugle eller en gruppe af kugler ved at klikke på en af kuglerne. Hvis man klikker på Nulstil, vender alle
Læs mereOversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI. Problembehandling. Modellering
MULTI 5 Forenklede Fælles Mål Oversigt over Forenklede Fælles Mål i forbindelse med kapitlerne i MULTI Kapitel 1 Faglig læsning Opmærksomhedspunkt Eleven kan anvende ræsonnementer i undersøgende arbejde
Læs merefortsætte høj retning benævnelse afstand form kort
cirka (ca) omtrent overslag fortsætte stoppe gentage gentage det samme igen mønster glat ru kantet høj lav bakke lav høj regel formel system lov retning højre nedad finde rundt system rod orden nøjagtig
Læs mereMerKaBa Stjernetetraeder - Kristusbevidsthedens Netværk
MerKaBa Stjernetetraeder - Kristusbevidsthedens Netværk Et stjernetetraeder er den mest basale figur, som findes i det 3-dimensionale univers. Det formes af to sammensatte tetraedre og danner en 3-dimensional
Læs mereBjørn Grøn. Euklids konstruktion af femkanten
Bjørn Grøn Euklids konstruktion af femkanten Euklids konstruktion af femkanten Side af 17 Euklids konstruktion af femkanten Et uddrag af sætninger fra Euklids Elementer, der fører frem til konstruktionen
Læs mereRubiksterningen i et Gruppeteoretisk Perspektiv. Gruppe G3-111
Rubiksterningen i et Gruppeteoretisk Perspektiv Gruppe G3-111 Aalborg Universitet Matematik - 4. semester Forår 2016 Matematik - 4. semester Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst http://www.math.aau.dk
Læs mereProjekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT.
Projekt 1.4 Tagrendeproblemet en instruktiv øvelse i modellering med IT. Projektet kan bl.a. anvendes til et forløb, hvor en af målsætningerne er at lære om samspillet mellem værktøjsprogrammernes geometriske
Læs mereTip til 1. runde af Georg Mohr-Konkurrencen. Geometri. Georg Mohr-Konkurrencen
Tip til. runde af Georg Mohr-Konkurrencen Geometri Her er nogle centrale principper om og strategier for hvordan man løser geometriopgaver. et er ikke en teoretisk indføring, men der i stedet fokus på
Læs mereF-dag om geometri. Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade
F-dag om geometri Fremstilling og beskrivelse af stiliserede blade I foråret fejrede Canada at landet havde eksisteret som nation i 150 år. I den anledning blev der fremstillet et logo, der tog afsæt i
Læs merePunktgrupper. Klaus Thomsen
Punktgrupper Klaus Thomsen 1. Forord Disse noter er skrevet med henblik på et efteruddannelses-kursus for gymnasielærere i matematik og/eller kemi. Formålet er at give en introduktion til matematikken
Læs mereEn gruppeteoretisk undersøgelse af Rubik s Cube en
Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er godt. Ost er
Læs mereSteen Toft Jørgensen, Matematik 1, DTU Compute (2009-) ( : Helsingør Gymnasium)
1 Steen Toft Jørgensen, Matematik 1, DTU Compute (2009-) (1979-2018: Helsingør Gymnasium) 2 Facts modtaget via mailkontakt. Facts: Tårnet er 45 m højt. Hyperboloiden er 28 m foroven og forneden i diameter,
Læs mereProjekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse!
Projekt 1.5: Tagrendeproblemet en modelleringsøvelse! Det er velkendt at det største rektangel med en fast omkreds er et kvadrat. Man kan nemt illustrere dette i et værktøjsprogram ved at tegne et vilkårligt
Læs mere1.1.1 Første trin. Læg mærke til at linjestykket CP ikke er en cirkelbue; det skyldes at det ligger på en diameter, idet = 210
1.1 Konstruktionen Denne side går lidt tættere på den hyperbolske geometri. Vi bruger programmet HypGeo, og forklarer nogle geometriske konstruktioner, som i virkeligheden er de samme, som man kan udføre
Læs mereÅRSPLAN MATEMATIK 8. KL SKOLEÅRET 2017/2018
ÅRSPLAN MATEMATIK 8. KL SKOLEÅRET 2017/2018 Der tages udgangspunkt i forenklede fællesmål fra UVM for matematik på 7-9. Klasse. Ved denne plan skal der tages højde for, at ændringer kan forekomme i løbet
Læs mereSeminariernes Matematiklærerforening: Matematisk krystallografi Quasi-krystaller - aperiodiske fladeudfyldninger
Seminariernes Matematiklærerforening: Matematisk krystallografi Quasi-krystaller - aperiodiske fladeudfyldninger Johan P. Hansen Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet matjph@mi.aau.dk 9. september
Læs merePretty Little Crystals
Pretty Little Crystals Krystallografi fra et matematisk aspekt Speciale 10. januar 2018 Vini Mølgaard Olsen Institut for Matematiske Fag Skjernvej 4A 9220 Aalborg Ø 99409940 Institut for Matematiske Fag
Læs mereLineær Algebra, kursusgang
Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.
Læs mereProgrammering og geometri i scratch
side 1 Programmering og geometri i scratch scratch.mit.edu Steen Petersen spe05 side 2 Introduktion til programmering i Scratch Opret dig som bruger på scratch.mit.edu. Det er gratis, og det giver dig
Læs mereEleven kan handle med overblik i sammensatte situationer med matematik. Eleven kan anvende rationale tal og variable i beskrivelser og beregninger
Kompetenceområde Efter klassetrin Efter 6. klassetrin Efter 9. klassetrin Matematiske kompetencer handle hensigtsmæssigt i situationer med handle med overblik i sammensatte situationer med handle med dømmekraft
Læs mereLineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer
Lineær algebra: Lineære afbildninger. Standardmatricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Lineære afbildninger En afbildning T : R n R m fra definitionsmængden R n ind i dispositionsmængden
Læs mereDENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE.
Geogebra. DENNE LILLE MANUAL TIL GEOGEBRA DÆKKER NOGENLUNDE DE EMNER, DER VEDRØRER FOLKESKOLEN TIL OG MED 10. KLASSE. (dvs. det er ikke alle emner i SYMBOLLINIEN, der beskrives). Navnet GEOGEBRA er en
Læs mereMatematik: Videnskaben om det uendelige 1
Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element
Læs mereMatematik i stort format Udematematik med åbne sanser
17-09-2010 side 1 Matematik i stort format Udematematik med åbne sanser Fredag d. 17. september kl. 11.15-12.15 Næsbylund Kro, Odense Mette Hjelmborg 17-09-2010 side 2 Plan Hvad er matematik i stort format?
Læs mereMatematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singu
Matematik og Form: Matrixmultiplikation. Regulære og singulære matricer Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2012 Matrixmultiplikation Definition Definition A = [a ij ], B = [b ij ]: AB = C
Læs mereMatematik til Skolen for Livet
MATEMATIKKENS UENDELIGE UNIVERS Hvor kommer vi fra? Hvad er vi? Hvor går vi hen? Michael Gregaard 1999 Matematik til Skolen for Livet pp1 OVERSIGT Regning med fletninger Fascinerende knuder P 1 P2 Pn Ikke-euklidisk
Læs mereUndervisningsplan: Matematik Skoleåret 2014/2015 Strib Skole: 5B Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: Side 1 af 5
Ugenumre: Hovedområder: Emner og temaer: 33 Addition og subtraktion Anvendelse af regningsarter 34 Multiplikation og division Anvendelse af regningsarter 35 Multiplikation med decimaltal Anvendelse af
Læs mereIntroducerende undervisningsmateriale til Geogebra
Klaus Frederiksen & Christine Hansen Introducerende undervisningsmateriale til Geogebra - Dynamisk geometriundervisning www.bricksite.com/ckgeogebra 01-03-2012 Indhold 1. Intro til programmets udseende...
Læs mereTesselering med polygoner
Regulære polygoner n-kant Regulære polygoner Vinkelmål Vinkelsum Antal diagonaler Manglende vinkel Fladedækkende alene 3 60 180 0 0 4 90 360 2 0 5 108 540 5 36 6 120 720 9 0 7 128,57 900 14-25,71 8 135
Læs mereEN SKOLE FOR LIVET. Uge Emne Mål Materialer/aktiviteter (4 uger) Tal på tal
FAG: Matematik KLASSETRIN: 6. Klasse Hvert kapitel i Kontext er beregnet til ca. 4-5 uger. I kapitlerne regnes henholdsvis i hånden, på lommeregner samt i IT-programmer som GeoGebra og Excel. I løbet af
Læs mereDagens program. Velkommen og præsentation.
Dagens program Velkommen og præsentation. Evt. udveksling af mailadresser. Forenklede Fælles Mål om geometri og dynamiske programmer. Screencast, hvordan og hvorfor? Opgave om polygoner i GeoGebra, løst
Læs mereFaglig årsplan 2010-2011 Skolerne i Oure Sport & Performance. Emne Tema Materialer. Læringsmål Faglige aktiviteter. Evaluering.
Fag: Matematik Hold: 27 Lærer: Jesper Svejstrup Pedersen Undervisnings-mål 9 klasse Læringsmål Faglige aktiviteter Emne Tema Materialer ITinddragelse Evaluering 32-37 i arbejdet med geometri at benytte
Læs mere