Rumfang af væske i beholder

Transkript

1 Matematikprojekt Rumfang af væske i beholder Maila Walmod, 1.3 HTX Roskilde Afleveringsdato: Fredag d. 7. december

2 Fru Hansen skal have en væskebeholder, hvor rumfanget af væsken skal kunne aflæses med en målepind ud fra væskehøjden. Beholderen skal være udformet som en liggende cylinder og ved hjælp af målepinden skal fru Hansen let kunne benytte den til opmåling. Da det ikke er opgivet hvad beholderen skal bruges til, og vi selv skal bestemme målene på cylinderen faldt det mig ind at en liter er et tilsyneladende passende rumfang. Formlen for rumfanget af en cylinder er: V = π * r 2 * h figur 1.1 V = volumen, rumfanget, her 1 L. r = radius af grundfladen h = højde af cylinder (her ligger den ned) (se figur 1.1) Jeg ville først sætte radius til 10 cm, da jeg tænkte, at det var et godt rundt og lige tal. Men så slog det mig hvordan en mælkekarton ser ud, og at jeg på den måde ville ende med en enormt kort, men meget tyk cylinder. Men cylinderens radius må heller ikke være for lille, da det så vil blive sværere at aflæse. Slutteligt blev jeg enig med mig selv om at sætter radius til 5 cm. Da 1 L er det samme som 1 dm 3, var min plan først at lave tallene i dm, for at få det i liter med det samme. Men mange af udregningerne var nemmest at foretage med cm og ml, så det valgte jeg i stedet. Nu kender jeg tre faktorer ud af fire fra ovestående formel for udregningen af volumen af cylinderen. Den ubekendte faktor er højden, h, som kan isoleres i formlen og udregnes. Dette gøres ved at dividere med π * r 2 på begge sider: V = π * r 2 * h <=> h = V / (π * r 2 ) Med tallene sat ind bliver resultatet: h = 1000 cm 3 / (π * 5 cm 2 ) = 12,73 cm Det virker for mig nærliggende at dele målepinden op i intervaller af 0,1 L, altså 1 dl eller 100 ml. Når der er vand i cylinderen vil rumfanget kunne beregnes ved at gange det cirkelafsnit (se figur 1.2) med længden af cylinderen, da det jo er rumfanget fru Hansen er interesseret i. figur 1.2 Formlen for beregningen af rumfangetcirkelafsnit er: V ca = r 2 /2 * ((π π * v / 180 ) - sinv) * h Her er vinklen ubekendt, men den skal man finde for at komme videre. Jeg ville først blot isolerer vinklen, men det rakte dog ud over mine kompetencer, da både v og sinv skulle isoleres og omregnes. Men der var da andre måder at gøre det på, hvor man ikke analytisk finder det præcise resultat, men finder et der kommer meget tæt på. Enten får man ved en lidt mere upræcis metode kan det dog give et ganske brugbart resultat. Ved at sætte denne formel ind i et koordinatsystem kan man ud fra volumen af væsken finde vinklen. På 2

3 y-aksen er volumen af vandet, og på x-aksen kan man så aflæse højden i cm. Da regneprogrammet excel ikke kunne regne det i dm er resultatet i cm, men dette kan hurtigt laves om ved at dividere med 10, 1 cm = 0,1 dm. (se bilag 1) Jeg har som tidligere nævnt valgt et interval på 1 dm 3, 0,1 L. Her aflæser jeg blot min graf for hver 100 ml på volume-aksen. De aflæste tal har jeg så sat ind i et diagram. (se figur 1,3) Dette er dog et ret upræcist resultat, da det kan være svært at aflæse, og der også kun er gitterlinjer pr. 200 ml, 0,2 L. Der er derfor en lidt mere præcis måde at gøre det på ved at benytte funktionen numericsolve på lommeregneren. Den forkortes til nsolve, og på en TI-89 Titanium-lommeregner kan man finde funktionen ved at gå ind i F2 og gå ned til nummer 8, nsolve. Det betyder, at lommeregneren i stedet for at løse ligningen og finde vinklen analytisk, hvilket den ikke kunne, prøver sig frem med forskellige tal til den finder et der kommer meget tæt på. Det jeg skrev ind på lommeregneren var følgende: nsolve(r 2 /2 * ((π π * x / 180 ) - sin (x x) ) * h = V, x) Med de kendte værdier, radius og højde, indsat: nsolve(5 2 /2 * ((π π * x / 180 ) - sin (x x) ) * h = V, x) Det er altså samme formel som tidligere, der udregner volumen af vandet, men her er vinklen der er ukendt angivet som x i stedet. V kender vi også, da jeg bare sætter den værdi ind jeg gerne vil finde vinklen for. Her er det igen i cm og ml. Det sidste x efter et komma fortæller blot lommeregneren at det er x jeg vil have den til at finde i ligningen. Ved at starte med at sætte 1000 ml ind som V, hvilket skulle være en helt fuld cylinder, får jeg et resultat, der giver 360. Men ved de næste volumeværdier er resultatet for vinklen ikke helt så lige tal (se figur figur ) figur 1.3 3

4 Herefter kan jeg finde højden af vandet i cylinderen, da den svarer til pilhøjden i cirkelafsnittet. Formlen for pilhøjden er: h = r * (1 - cos(v/2)) Radius er konstant så det er blot viklen der varriere. Den finder jeg fra figur 1,4, hvor alle vonklerne er regnet ud. (se figur 1,5) figur 1.5 Her har jeg så nogle tal, der er meget tæt på de helt præcise cm-tal for volumen af vandet i cylinderen. Hvis de tegnes ind på en 15 cm lang pind vil den kunne stikkes ned i vandet og fru Hansen vil kunne afmåle hvor langt op pinden er våd. Da tallene allerede er i cm skal de bare tegnes ind på pinden fra bunden og op ad. Der vil så være 5 cm øverst til at holde på. En lidt enklere ting er bare at tegne linjerne for volumen ind på endefladen, da den hvis den er gennemsigtig vil være nem at aflæse, når den bare ligger plant. Her er det de samme mål, da det jo er højden der er den afgørende faktor. (model, se bilag 2) 4

5 Bilag 1 5

6 Bilag 2 6