Udsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Udsagnslogik. Anker Mørk Thomsen. 6. december 2013"

Transkript

1 Udsagnslogik Anker Mørk Thomsen 6. december 2013

2 Logiske Udsagn Sætningstyper Spørgende (interrogative): Hvor længe bliver du i byen? Befalinger (imperative): Gå tilvenstre efter næste sving? Ønsker (optative): Jeg ville gerne en tur til Rom i år Påstande (deklarative): Huset er rødt Et logisk udsagn er en påstand, som er enten sand eller falsk.

3 Boolske Operatorer Udtryk Navn Normal udtale P Q ækvivalens P er ækvivalent med Q P Q disjunktion P eller Q P Q konjunktion P og Q P Q implikation P medfører Q P Q konsekvens P følger af Q P Q biimplikation P hvis og kun hvis Q P negation ikke P

4 Boolske Operatorer Udtryk Navn er true, hvis og kun hvis P Q ækvivalens præcist et lige antal operander er false P Q disjunktion mindst én af operanderne er true P Q konjunktion alle operanderne er true P Q implikation Q er true eller P er false P Q konsekvens P er true eller Q er false P Q biimplikation P Q Q P P negation P er false

5 Præcedensregler Præcedens og

6 Omvendt polsk notation (postx notation) Dijkstras vigesporsalgoritme. Udtrykket omgives af et start- og slutsymbol, som ophæver hinanden. F. eks. #. Eks. #(a + b) 4 b 3 # Vigesporet er en stak, hvor man gemmer operander og parenteser Venstre- og højreparenteser ophæver hinanden Boolske operatorer Aritmetiske operatorer Precedence: fortegn (+, ) + og ^ potensopløftning

7 Udførelse af postx-udtryk Udførelse af et udtryk, der er på OPN Værdier stakkes Operationer udføres ved at fjerne operanderne fra stakken, udføre operationen og gemme resultatet på stakken

8 Sandhedstabeller P false false true true Q false true false true P Q R false false false false false true false true false false true true true false false true false true true true false true true true

9 Sandhedstabeller P Q P Q false false true false true false true false false true true true

10 Operatorernes egenskaber Denition Egenskaber ved operatorer. En operator er symmetrisk eller kommutativ, hvis og kun hvis a b = b a for alle a og b, hvor kan bruges. En operator er associativ, hvis og kun hvis (a b) c = a (b c) for alle a, b og c, hvor kan bruges. Denition Neutralt element. Et neutralt element e for en operator er deneret ved, at den ingen virkning har på resultatet, dvs. at x e = x.

11 Operatorernes egenskaber Operatorerne, og er alle associative og symmetriske (kommutative). Og de har alle et neutralt element, nemlig Operator Neutralt element Udtryk true (P true) P false P false P true P true P

12 Operatorernes egenskaber Denition Nul-element. Et nul-element nul for en operator er et element, som giver nul som resultat for alle værdier. Altså er x nul = nul for alle x, hvor kan anvendes. Operatorerne og har begge et nul-element. Operator Nul-element Udtryk true P true true false P false false

13 Boolske Udtryk Gyldigt udtryk En identier U op V Kommentar F. eks. P, Q, R21, U, V hvor op er en af,,,, og U og V er gyld U hvor U er et gyldigt udtryk (U) hvor U er et gyldigt udtryk

14 Boolske Udtryk Bachus-Naur notation U ::= true false var U ::= U op U U ::= ( U ) U ::= U op ::= var ::= identier

15 Boolske Udtryk Udtrykket (p q r p) q er et gyldigt logisk udtryk. Evalueret i tilstanden {p = true, q = false, r = true} fås (true false true true) false som er true. Prøv at nde en tilstand, hvor udtrykket er false Øvelse. Antag, at din computer kan evaluere 10 8 /n boolske udtryk U med n variabler hvert sekund. Hvor stor må n være, for at computeren kan udføre evalueringen af U i alle mulige tilstande indenfor ét år.

16 Boolske Udtryk Evaluering af boolsk udtryk. true false true [evaluering af, h/ojeste prioritet] true false [evaluering af ] true

17 Boolske Udtryk Evaluering af boolsk udtryk true false (false true true) [evaluring af ] true true (false true true) [evaluering af f /orste ] true (false true true) [evaluering af i parentes] true (true true) [evaluering af i parentes] true true [evaluering af ] true

18 Regneregler for boolske operatorer Symmetrisk p q q p og p q q p Kaldes også kommutativ Associativ p (q r) (q p) r og p (q r) (q p) r Idempotens p p p og p p p Neutralt element p true p og p false p Nul værdi p false false og p true true Enten-eller p p Modstrid p p false Exkluderet middel p p true Implikation p q p q Lighed (p q) (p q) Absorbering p (p q) p og p (p q) p Distribution p (q r) (p q) (p r) og p (q r) (p q) (p r) demorgans love (p q) p q og (p q) p q

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

Boolsk algebra For IT studerende

Boolsk algebra For IT studerende Boolsk algebra For IT studerende Henrik Kressner Indholdsfortegnelse Indledning...3 Logiske kredsløb...4 Eksempel:...4 Operatorer...4 NOT operatoren...5 AND operatoren...5 OR operatoren...6 XOR operatoren...7

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

BOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik

BOSK F2011, 1. del: Udsagnslogik ( p q) p q February 1, 2011 Sandhedsværdier og udsagnsvariable I dag handler det om logiske udsagn. Mere præcist om de logiske udsagn vi kan bygge ud fra sandhedsværdier, udsagnsvariable og logiske konnektiver.

Læs mere

Kursus 02199: Programmering. Kontrol af programudførelsen. afsnit 3.1-3.5. if (indkomst > 267000) topskat = (indkomst-267000) * 0.

Kursus 02199: Programmering. Kontrol af programudførelsen. afsnit 3.1-3.5. if (indkomst > 267000) topskat = (indkomst-267000) * 0. Kursus 02199: Programmering afsnit 3.1-3.5 Anne Haxthausen IMM, DTU 1. Kontrol af programudførn (afsnit 3.1) 2. Valg-sætninger (if og switch) (afsnit 3.2 og 3.3) 3. Bloksætninger (afsnit 3.2) 4. Logiske

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Noter til C# Programmering Selektion

Noter til C# Programmering Selektion Noter til C# Programmering Selektion Sætninger Alle sætninger i C# slutter med et semikolon. En sætning kontrollerer sekvensen i programafviklingen, evaluerer et udtryk eller gør ingenting Blanktegn Mellemrum,

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

16. december. Resume sidste gang

16. december. Resume sidste gang 16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn

Læs mere

Matematiske metoder - Opgaver

Matematiske metoder - Opgaver Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.

Læs mere

JavaScript. nedarvning.

JavaScript. nedarvning. JavaScript er et sprog, der kan give en hjemmeside mere funktionalitet og gøre den interaktiv, så den reagerer på læsernes handlinger. CGI (Common Gateway Interface) har hidtil været de protokoller, man

Læs mere

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen

Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,

Læs mere

Henrik Bulskov Styltsvig

Henrik Bulskov Styltsvig Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem

Aalborg University. Synopsis. Titel: Traveling Salesman Problem Aalborg University Department of Computer Science. Fredrik Bajers Vej 7E, 9220 Aalborg Ø. Titel: Traveling Salesman Problem Projektperiode: 16. maj 2003 til 20. juni 2003 Semester: BOS03 Gruppebetegnelse:

Læs mere

Om matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen

Om matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen Om matematisk logik Henning Christiansen, Troels Andreasen Contents 1 Indledning 3 2 Propositionel logik 5 2.1 Propositionelle logiksprog..................... 5 2.1.1 Syntaks...........................

Læs mere

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 29. december 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

BRP Tal. Om computer-repræsentation og -manipulation. Logaritmer

BRP Tal. Om computer-repræsentation og -manipulation. Logaritmer BRP 13.9.2006 Tal. Om computer-repræsentation og -manipulation. Logaritmer 1. Opgaverne til i dag dækker det meste af stoffet 2. Resten af stoffet logaritmer binære træer 3. Øvelse ny programmeringsopgave

Læs mere

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014

Matematik. 1 Matematiske symboler. Hayati Balo,AAMS. August, 2014 Matematik Hayati Balo,AAMS August, 2014 1 Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske symboler.

Læs mere

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse.

Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. Oprindelse. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik. I dette hæfte arbejdes der med to-tals systemet og logiske udtryk. Vi oplever at de almindelige regneregler også gælder her, og vi prøver

Læs mere

Omskrivningsgymnastik

Omskrivningsgymnastik Omskrivningsgymnastik Frank Villa 16. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming

Matematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte

Læs mere

Matematisk Metode Notesamling

Matematisk Metode Notesamling Matematisk Metode Notesamling Anders Bongo Bjerg Pedersen Stud.Scient, Matematisk Institut, KU 21. november 2005 Bemærkninger til noterne: Hosliggende noter er fra faget Matematisk Metode, afholdt i blok

Læs mere

Forelæsning Uge 2 Torsdag

Forelæsning Uge 2 Torsdag Forelæsning Uge 2 Torsdag Java syntax og style guide Sætninger Simple sætninger (assignment, interne og eksterne metodekald) Sammensatte sætninger (blok, selektion, gentagelse) Udtryk og operatorer Brug

Læs mere

Kapitel 3 Betinget logik i C#

Kapitel 3 Betinget logik i C# Kapitel 3 i C# er udelukkende et spørgsmål om ordet IF. Det er faktisk umuligt at programmere effektivt uden at gøre brug af IF. Du kan skrive små simple programmer. Men når det bliver mere kompliceret

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Introduktion til abstrakt matematik

Introduktion til abstrakt matematik Matematik Y Introduktion til abstrakt matematik Flemming Topsøe 2002 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-11-2 c Matematisk Afdeling 2002 Indhold Indhold Forord 5 BML:

Læs mere

DATALOGI 1E. Skriftlig eksamen mandag den 23. juni 2003

DATALOGI 1E. Skriftlig eksamen mandag den 23. juni 2003 Københavns Universitet Naturvidenskabelig Embedseksamen DATALOGI 1E Skriftlig eksamen mandag den 23. juni 2003 Opgaverne vægtes i forhold til tidsangivelsen herunder, og hver opgaves besvarelse bedømmes

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel

Grundlæggende matematiske begreber del 2 Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel Grundlæggende matematiske begreber del Algebraiske udtryk Ligninger Løsning af ligninger med én variabel x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium 1 Indholdsfortegnelse ALGEBRAISKE UDTRYK... 3 Regnearternes

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 21. august 2015 Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Forelæsning Uge 2 Mandag

Forelæsning Uge 2 Mandag Forelæsning Uge 2 Mandag Sætninger Simple sætninger (assignment, interne og eksterne metodekald) Sammensatte sætninger (blok, selektion, gentagelse) Udtryk og operatorer Java syntax og style guide Afleveringsopgave:

Læs mere

5. Kontrolstrukturer - Motivation og Oversigt

5. Kontrolstrukturer - Motivation og Oversigt 5. Kontrolstrukturer - Motivation og Oversigt I dette og de følgende afsnit vil vi - vigtigst af alt - møde forgreninger og løkker. Sådanne kaldes kontrolstrukturer, fordi vi med disse kan kontrollere

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Egenskaber ved Krydsproduktet

Egenskaber ved Krydsproduktet Egenskaber ved Krydsproduktet Frank Nasser 23. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Matematikkens fundament i krise

Matematikkens fundament i krise Matematikkens fundament i krise Videnskabsfagprojekt ved IMFUFA, RUC David Hilbert 1862-1943 Gottlob Frege Georg Cantor 1845-1918 Gottlob Frege Henri Poincaré 1854-1912 Gottlob Frege Bertrand Russell 1872-1970

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Selvreference i begrænsningsresultaterne

Selvreference i begrænsningsresultaterne Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Kontraktbaseret Programmering Anker Mørk Thomsen 1. udgave ISBN: 978-87-40-41315-1

Kontraktbaseret Programmering Anker Mørk Thomsen 1. udgave ISBN: 978-87-40-41315-1 -1 Kontraktbaseret Programmering Anker Mørk Thomsen 1. udgave ISBN: 978-87-40-41315-1 Forord Denne bog er blevet til gennem undervisning i faget Kontraktbaseret Udvikling på bacheloruddannelsen i Softwareudvikling.

Læs mere

Relationel Algebra...1. Indholdsfortegnelse...1. Operationer på den relationelle model...2

Relationel Algebra...1. Indholdsfortegnelse...1. Operationer på den relationelle model...2 Relationel Algebra Indholdsfortegnelse Relationel Algebra...1 Indholdsfortegnelse...1 Operationer på den relationelle model...2 Mængdeoperationerne...2 Union...2 Difference...2 Intersection...3 Hvilke

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen:

Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer

Læs mere

Python 3 kursus lektion 1:

Python 3 kursus lektion 1: Python 3 kursus lektion 1: Her laves et nyt program Her køre programmet! Her skrives koden: Gem (CTRL-s) Tryk F5 (for at køre) www.madsmatik.dk d.14-01-2016 1/5 At skrive til skærmen: Hello World Man kan

Læs mere

Reeksamen i Diskret Matematik

Reeksamen i Diskret Matematik Reeksamen i Diskret Matematik Første studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 23. august, 2016, 9.00-13.00 Dette eksamenssæt består af 11 nummerede sider med 16 opgaver. Alle opgaver er multiple

Læs mere

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH

LINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som

Læs mere

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit.

Med TI-89 / TI-92 Plus kan du også sammenligne eller manipulere binære tal bit for bit. Kapitel 20: Talsystemer 20 Resumé af talsystemer... 344 Indtastning og omregning af talsystemer... 345 Udførelse af matematiske beregninger med hexadecimale og binære tal... 346 Sammenligning eller manipulation

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Det Digitale Niveau. Niels Olof Bouvin Institut for Datalogi Aarhus Universitet

Det Digitale Niveau. Niels Olof Bouvin Institut for Datalogi Aarhus Universitet Det Digitale Niveau Niels Olof Bouvin Institut for Datalogi Aarhus Universitet Level : Det digitale niveau Level 5 Problem-oriented language level Translation (compiler) Level 4 Assembly language level

Læs mere

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt

tal og algebra F+E+D brikkerne til regning & matematik preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra E+D ISBN: 978-87-92488-35-0 2. udgave som E-bog 2012 by bernitt-matematik.dk Denne

Læs mere

1 Opsumering fra tidligere. 2 Dagsorden 3 BIMS. 4 Programtilstande. Statements/kommandoer (Stm) i bims. 3.1 Abstrakt syntaks for bims

1 Opsumering fra tidligere. 2 Dagsorden 3 BIMS. 4 Programtilstande. Statements/kommandoer (Stm) i bims. 3.1 Abstrakt syntaks for bims 1 Opsumering fra tidligere Hvis A er kontekstfrit, S er der et p > 0 s Alle s A hvor s p kan splittes op som s = uvxyz så argument 1-3 holder A er ikke kontekstfrit, hvis for ethvert bud på p kan findes

Læs mere

Noter til C# Programmering Iteration

Noter til C# Programmering Iteration Noter til C# Programmering Iteration Programflow Programmer udfører det meste af deres arbejde vha. forgrening og løkker. Løkker Mange programmeringsproblemer kan løses ved at gentage en handling på de

Læs mere

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt

brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er

Læs mere

Induktive og rekursive definitioner

Induktive og rekursive definitioner Induktive og rekursive definitioner Denne note omhandler matematiske objekter, som formelt er opbygget fra et antal basale byggesten, kaldet basistilfælde eller blot basis, ved gentagen brug af et antal

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 1. Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 1 Fortegnsregler og udregningsrækkefølger Mat C HF basisforløb-intro side 2 1. Fortegn. 1.Fortegnsregler og udregningsrækkefølger - En introduktion med opgaver

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Sproget Limba. Til brug i G1 og K1. Dat1E 2003

Sproget Limba. Til brug i G1 og K1. Dat1E 2003 Sproget Limba Til brug i G1 og K1 Dat1E 2003 Abstract Limba er et simpelt imperativt sprog med hoballokerede tupler. Dette dokument beskriver uformelt Limbas syntaks og semantik samt en fortolker for Limba,

Læs mere

Sproget Rascal (v. 2)

Sproget Rascal (v. 2) Sproget Rascal (v. 2) Til brug i K1 på kurset Oversættere Opdateret 29/11 2004 Abstract Rascal er et simpelt Pascal-lignende imperativt sprog. Dette dokument beskriver uformelt Rascals syntaks og semantik

Læs mere

På en digital indgang kan en computer kun se forskel på, om en kontakt er tændt eller slukket. Men til gengæld er den hurtig og god til at regne.

På en digital indgang kan en computer kun se forskel på, om en kontakt er tændt eller slukket. Men til gengæld er den hurtig og god til at regne. Boolesk Algebra og det binære talsystem - temahæfte informatik Dette temahæfte introducerer to-talsystemet og logiske udtryk (Boolesk algebra). Vi oplever, at de almindelige regneregler også gælder i to-talsystemet,

Læs mere

Ligningsløsning som det at løse gåder

Ligningsløsning som det at løse gåder Ligningsløsning som det at løse gåder Nedenstående er et skærmklip fra en TI-Nspirefil. Vi ser at tre kræmmerhuse og fem bolsjer balancerer med to kræmmerhuse og 10 bolsjer. Spørgsmålet er hvor mange bolsjer,

Læs mere

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber

Iteration af et endomorft kryptosystem. Substitutions-permutations-net (SPN) og inversion. Eksklusiv disjunktion og dens egenskaber Produktsystemer, substitutions-permutations-net samt lineær og differentiel kryptoanalyse Kryptologi, fredag den 10. februar 2006 Nils Andersen (Stinson 3., afsnit 2.7 3.4 samt side 95) Produkt af kryptosystemer

Læs mere

Aritmetiske Forelæsning Pr ogrammering operatorer tir 1999 sda præcedens september 1999 Logiske Sammenligningsoperatorer operatorer præcedens

Aritmetiske Forelæsning Pr ogrammering operatorer tir 1999 sda præcedens september 1999 Logiske Sammenligningsoperatorer operatorer præcedens Programmering 1999 Forelæsning 3, tirsdag 7. september 1999 Aritmetiske og logiske operatorer, præcedens Den indbyggede klasse String: tegnstrenge Metoder i klasser Metoder: returtype eller void Metoder:

Læs mere

En simpel, men ganske præcis forklaring på, hvad et argument er, stammer fra Monty Pythons sketch The Argument Clinic:

En simpel, men ganske præcis forklaring på, hvad et argument er, stammer fra Monty Pythons sketch The Argument Clinic: Kapitel 2 Argumenter Jeg er ked af at sige det, men det fag, jeg brød mig mindst om var matematik. Jeg har tænkt over det. Jeg tror grunden er, at matematik ikke efterlader noget at diskutere. Hvis du

Læs mere

dcomnet-nr. 6 Talrepræsentation Computere og Netværk (dcomnet)

dcomnet-nr. 6 Talrepræsentation Computere og Netværk (dcomnet) dcomnet-nr. 6 Talrepræsentation Computere og Netværk (dcomnet) Efterår 2009 1 Talrepræsentation På maskinkodeniveau (Instruction Set Architecture Level) repræsenteres ordrer og operander ved bitfølger

Læs mere

Forelæsning Uge 2 Mandag

Forelæsning Uge 2 Mandag Forelæsning Uge 2 Mandag Sætninger Simple sætninger (assignment, interne og eksterne metodekald) Sammensatte sætninger (blok, selektion, gentagelse) Udtryk og operatorer Java syntax og style guide Afleveringsopgave:

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Introduktion til prædikatlogik

Introduktion til prædikatlogik Introduktion til prædikatlogik Torben Braüner Datalogisk Afdeling Roskilde Universitetscenter 1 Plan Symbolisering af sætninger Syntaks Semantik 2 Udsagnslogik Sætningen er den mindste syntaktiske enhed

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Eksempel: Skat i år 2000

Eksempel: Skat i år 2000 Kursus 02199: Programmering afsnit 2.1-2.7 Anne Haxthausen IMM, DTU 1. Værdier og typer (bl.a. char, boolean, int, double) (afsnit 2.4) 2. Variable og konstanter (afsnit 2.3) 3. Sætninger (bl.a. assignments)

Læs mere

p q Både p og q S S F F S F S F F F Sandhedstabel for konjunktionen p q p eller q S S S S F S F Sandhedstabel for disjunktionen p q Hvis p så q S S S

p q Både p og q S S F F S F S F F F Sandhedstabel for konjunktionen p q p eller q S S S S F S F Sandhedstabel for disjunktionen p q Hvis p så q S S S 3. Udsagnslogik Der er meget mere at sige om den logiske slutning end det, man får ud af at studere Aristoteles' klassiske syllogismer. elv hos Aristoteles findes der mange andre væsentlige bidrag til

Læs mere

Python programmering. Per Tøfting. MacFest

Python programmering. Per Tøfting. MacFest Python programmering MacFest 2005 Per Tøfting http://pertoefting.dk/macfest/ Indhold Måder at afvikle Python program på Variabler Data typer Tal Sekvenser Strenge Tupler Lister Dictionaries Kontrolstrukturer

Læs mere

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version

Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Note til Programmeringsteknologi Akademiuddannelsen i Informationsteknologi Algoritmeskabeloner: Sweep- og søgealgoritmer C#-version Finn Nordbjerg 1/9 Indledning I det følgende introduceres et par abstrakte

Læs mere

Programmering i C. Kurt Nørmark 2005 Institut for Datalogi, Aalborg Universitet. Sammendrag

Programmering i C. Kurt Nørmark 2005 Institut for Datalogi, Aalborg Universitet. Sammendrag Programmering i C Kurt Nørmark 2005 Institut for Datalogi, Aalborg Universitet Sammendrag Dette er et undervisningsmateriale om introducerende programmering i et imperativt sprog. Mere konkret er det et

Læs mere

Design by Contract. Design and Programming by Contract. Oversigt. Prædikater

Design by Contract. Design and Programming by Contract. Oversigt. Prædikater Design by Contract Design and Programming by Contract Anne Haxthausen ah@imm.dtu.dk Informatics and Mathematical Modelling Technical University of Denmark Design by Contract er en teknik til at specificere

Læs mere

Michel Mandix (2014) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2

Michel Mandix (2014) INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 MATEMATIK NOTAT 02 - ARITMETIK & ALGEBRA AF: CAND. POLYT. MICHEL MANDIX SIDSTE REVISION: AUGUST 2017 Aritmetik og Algebra Side 2 af 16 Indholdsfortegnelse: INDHOLDSFORTEGNELSE:... 2 ARITMETIK... 3 REGNEARTERNE...

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Kontraktbaseret Design. Anker Mørk Thomsen

Kontraktbaseret Design. Anker Mørk Thomsen Kontraktbaseret Design Anker Mørk Thomsen 5. marts 2014 -2 Kontraktbaseret Design Anker Mørk Thomsen 1. udgave ISBN: 9788740491500 Forord Bogen er blevet til gennem undervisning i faget Kontraktbaseret

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Java Programmering. En bog for begyndere. Skrevet af Henrik Kressner

Java Programmering. En bog for begyndere. Skrevet af Henrik Kressner Java Programmering En bog for begyndere Skrevet af Henrik Kressner Indholdsfortegnelse Introduktion...3 1 Introduktion til Java...4 1.1 Javakoden...4 1.2 Det første program...6 1.2 Skriv til skærmen...6

Læs mere

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet

Algebra. Anders Thorup. Matematisk Afdeling Københavns Universitet Algebra Anders Thorup Matematisk Afdeling Københavns Universitet Anders Thorup, e-mail: thorup@math.ku.dk Algebra, 3. udgave Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø ISBN 87-91180-28-7

Læs mere

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi

DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET. Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN. Grundkurser i Datalogi DATALOGISK INSTITUT, AARHUS UNIVERSITET Det Naturvidenskabelige Fakultet EKSAMEN Grundkurser i Datalogi Antal sider i opgavesættet (incl. forsiden): 1 (tretten) Eksamensdag: Tirsdag den 8. april 2008,

Læs mere

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser

Mat C HF basisforløb-intro side 1. Kapitel 5. Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1 Kapitel 5 Parenteser Mat C HF basisforløb-intro side 1. Fortegn for parenteser 5. Parenteser - En introduktion med opgaver (og facitliste)- Det plus- eller minus- tegn,

Læs mere

Sproget Six. Til brug i rapportopgaven på kurset Oversættere. Vinter 2006. Abstract

Sproget Six. Til brug i rapportopgaven på kurset Oversættere. Vinter 2006. Abstract Sproget Six Til brug i rapportopgaven på kurset Oversættere Vinter 2006 Abstract Six er baseret på det sprog, der vises i figur 6.2 og 6.4 i Basics of Compiler Design. Den herværende tekst beskriver basissproget

Læs mere

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014

Vinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014 Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Genetiske fuzzy systemer

Genetiske fuzzy systemer Genetiske fuzzy systemer Af: Rune Kappelgaard & Simon W. Olsen Resumé: Fuzzy logic er et stringent logiksystem med et ubegrænset antal sandhedsværdier, der har vist sig at være et effektivt grundlag for

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Eksamen Computerarkitektur 2013Q4. Niels Olof Bouvin. Studienummer Navn

Eksamen Computerarkitektur 2013Q4. Niels Olof Bouvin. Studienummer Navn Eksamen Computerarkitektur 2013Q4 Niels Olof Bouvin Studienummer Navn Vejledning Eksamen varer en time fra kl. 9 til kl. 10. Husk at skrive studienummer og navn tydeligt på forsiden, inden eksamen afsluttes.

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Lær Python - Dag 4, modul 2 Objektorienteret programmering

Lær Python - Dag 4, modul 2 Objektorienteret programmering Lær Python - Dag 4, modul 2 Objektorienteret programmering Simon J. Larsen 28. oktober 2017 Institut for Matematik og Datalogi Metoder Metoder Indtil videre har vi kun brugt objekter til at gemme værdier.

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Eksempler på problemløsning med differentialregning

Eksempler på problemløsning med differentialregning Eksempler på problemløsning med differentialregning 004 Karsten Juul Opgave 1: Monotoniforhold = 1+, x 3 3 x Bestem monotoniforholdene for f Besvarelse af opgave 1 Først differentierer vi f : (3 x) (3

Læs mere

[Skriv dokumentets titel]

[Skriv dokumentets titel] [Skriv dokumentets titel] Opgaveformulering: Med entydigt fokus på den semantiske del, ønskes en indføring i moderne elementær domslogik. På udsagnsniveau skal begreber som konnektivernes semantik, tautologi,

Læs mere