Løsning til eksamen 16/
|
|
- Anton Christoffer Beck
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 1 IMM - DTU 245 Probability BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen for variansen for en Poissonfordelt variabel. For formler se boksen øverst side 188 eller se øverst side 249. For Poissonvariansen benyttes boksen side 223 eller oversigten over Poissonfordelingen side 486. Idet X betegner antallet af solgte blomål findes standardafvigelsen af fortjenesten til SD(12.5 X) = 12.5 SD(X) = Spørgsmål 2) 5 44% Idet den samlede sandsynlighedsmasse skal være 1 findes: 8 i= 1 A i c i! e A = 1 c = 8 i= A i i! e A Spørgsmål 3) 3 56% Apparatets levetid svarer til levetiden af den længstlevende dims. Sandsynligheden for, at apparetet lever højst t tidsenheder er således.8 25 og sandsynligheden for at apparatets levetid overstiger t tidsenheder er Spørgsmål 4) 1 56% Idet X betegner trykpåvirkningen, Y betegner vridpåvirkningen, og Z betegner den samlede påvirkningen, findes Z = X+Y +3, hvor Z normal(5+8+3, 2+3) (se eventuelt resultatet i boksen side 363). P(Z < 25) = Φ Spørgsmål 5) 4 72% Løses ved brug af eksklusion/inklusion ( ) P(A B C) = P(A)+P(B)+P(C) P(A B) P(A C) P(B C)+P(A B C) Se side 22 eller 72 samt opgaverne og Her findes P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) = P(A B C). Spørgsmål 6) 4 41% Opgaven løses ved brug af den centrale grænseværdisætning se side 196 (249). Idet X i betegner vægten af en tilfældig passager og X = 3 X i betegner den totale vægt findes E(X) = E ( 3 X ) i = 3 E(X i) = 3E(X i ). Pga. uafhængigheden finder vi ligeledes V ar(x) = 3V ar(x i ) så SD(X) = 3SD(X i )..
2 2 Spørgsmål 7) 2 44% Resultatet er gengivet side 484 under resumeet for normalfordelingen. Udledningen er givet i eksempel 1 side 269. Spørgsmål 8) 4 47 % Opgaven er et standardeksempel på brug af gammafordelingen. Se side 286 side 289 og eksempel 4 side 29. Spørgsmål 9) 3 6% ( ) 2 Man løser e 1.5t1.5 =.5 til t = log (2) 3 = Alternativt kan man indsætte 1.5 værdierne i udtrykket for G(t) og indse at G(.5978) =.5. Spørgsmål 1) 4 37% For fast U = u er sandsynligheden for at X > U = u lig e u. Ved at integrere over de mulige værdier for U vægtet med tætheden f(u) = 1 fås 1 e u du. Opgaven er en kontinuert udgave af gennemsnittet af betingede sandsynligheder udtrykt i resultatet i boksen nederst side 417. Spørgsmål 11) 4 69% Vi benytter formlen for variabelskift side 34 og 332/333. Vi har Y = g(x) = X, hvoraf X = Y 2 og dg(x) dx = Ved indsættelse i formlen finder vi x f Y (y) = λe λx1 x = 2λye λy 2 2 Resultatet er en Weibull fordeling, se eventuelt opgave 4.3.4, og specielt Spørgsmål 12) 1 58% Vi benytter formlen for betinget middelværdi side 43, 425. E(X) = E V (E(X V )) = E V (.1 V ) =.1E(V ) = µ. hvor det tredje lighedstegn skyldes fordelingen af 1 vandmængden for en givet vægt og det fjerde er standardresultatet om linearitet af middelværdioperatoren. Spørgsmål 13) 3 62% Standareksempel på geometrisk fordeling. Hvert terningekast har en sandsynlighed på 1 for at resultatet bliver 3 øjne og de enkelte kast er uafhængige. Se 6 eventuelt side og 28. Spørgsmål 14) 1 93% Multiplikationsreglen side 37 øverst (boksen) eller side 73. P(A B) = P(B)P(A B) = 1 3 = Spørgsmål 15) 1 9% Den hypergeometriske fordeling side 125, 483 med G = 14, B = 11, N = 25, n = 5, g = 2, b = 2.
3 3 Spørgsmål 16) 3 68% Idet Cov(X, Y ) = E((X E(X))(Y E(Y ))) = E(XY ) E(X)E(Y ) (side 43) ser vi straks at uafhængige stokastiske variable er ukorrelerede. Se i øvrigt de sidste to linier på side 43. Spørgsmål 17) 2 2% Problemstillingen i opgaven svarer til problemstillingen i boksen sidst på side 46. Vi har således Cov(W, Z) = a2 1, idet variansen på X og Y begge er 4 4 a 1. Tilsvarende findes SD(W) = SD(Z) = så Corr(W, Z) = a a 2 +1 Løsningen til a2 1 = 1 er a = ± 3, hvoraf + 3 er anført som mulighed. a Spørgsmål 18) 2 94% Standardeksempel på anvendelse af binomialfordelingen, d.v.s, at antallet af defekte emner i et parti beskrives ved en binomial(n, p) fordeling. Middelværdi og varians for binomialfordelingen kan findes side 479. Spørgsmål 19) 4 39% Man benytter at eksponentialfordelingen er hukommelsesløs. Idet der alderen t er opnået og der spørges om hændelsen at komponenten fejler inden t kan spørgsmålet, idet T betegner levetiden, formuleres P(T < t T > t ) der netop er lig P(T < t t ) (den manglende hukommelse). Se i øvrigt boksen nederst side 279. Spørgsmål 2) 5 38% Opgaven kan løses ved brug af metoderne i afsnit 5.1. Vi finder den simultane tæthed for Y ved at integrere den simultane tæthed over de mulige værdier for X. Først konstateres, at det beskrevne område har arelaet 1, således 2 at den simultane tæthed er 2 indenfor området og ellers. Man finder herefter f Y (y) = 1 2dx = 2 2 y. y Spørgsmål 21) 1 48% Opgaven løses ved brug af Chebychevs ulighed side 191 nederst. Man identificerer k i formlen til at være 16 idet SD(X) = 4 i opgaven. 4 Spørgsmål 22) 3 49% Opgaven løses ved brug af Bayes regel, idet vi har den klassiske situation hvor der så at sige skal byttes om på de variable i den betingede sandsynlighed. Lad L betegne den hændelse, at ledningen er læk, og K betegne den hændelse, at trykket er under den kritiske grænse. Oplysningerne i opgaven er P(L) =.1, P(K L) =.39, og P(K L c ) =.394, hvor L c betegner den komplementære hændelse til L, at ledningen er intakt. Spørgsmålet i opgaven udtrykkes som P(K L)P(L) P(L K) =. Man finder P(L K) = 1 ved indsættelse af P(K L)P(L)+P(K L c )P(L c ) 2 talværdierne. Spørgsmål 23) 5 4% Svarmulighed 1 er oplagt forkert (grænsende til det rene vrøvl). P(Y = 1 X = 3) = = 1 = P(Y = 1) så svarmulighed 2 er heller ikke korrekt. 8 4
4 4 Værdimængderne for X og Y er forskellige så parret kan ikke være multinomialfordelt, hvilket udelukker mulighed 3. Betingelserne for anvendelsen af den centrale grænseværdisætning er på ingen måde til stede, hvilket udelukker mulighed 4. Endelig har vi E(X) = 3, idet X binomial ( 3, 1 2 2) og E(Y ) = P(Y = 1) = 1. 4 Da E(X + Y ) = E(X) + E(Y ) = = 7 ser vi, at mulighed 5 er korrekt. Til det første lighedstegn har vi brugt additionsreglen for middelværdier øverst side 167. Se eventuelt også side 168 for brug af indikatorvariable. Spørgsmål 24) 2 16% Idet T betegner varigheden af fræsearbejdet har vi P(t < T < t +δ) =f(t )δ for ( ) δ lille se side 263 eller 332. Idet T gamma 3, 3 har vi f(t µ ) = 3 ( 3 µ t ) 2 e t 3 µ µ 2!, hvor gammafordelingens tæthed kan findes side 286 eller 481. Spørgsmål 25) 5 66% Forudsætninger i opgaven svarer til antagelserne, der leder til Poissonfordelingen. Se afsnit 3.5 side , specielt side 229. Specifikt kan man benytte resultatet om udtynding på sede 232, til at indse at antallet af mælkebøtter på en m 2 kan beskrives ved en P oisson(1) fordeling. Med X P oisson(1) findes P(X 1) = e ! e 1 = 2 e 1 =.736. Spørgsmål 26) 3 77% Man benytter princippet om lige sandsynlige udfald. Der er ialt 75 børn fra familier med 3 børn, så den ønskede sandsynlighed er = 1 3. Spørgsmål 27) 4 62% ( n V ar( X) = V ar X ) i = 1 n n n 2V ar( X i ) ved brug af tredje linie side 249. Fra samme side femte linie får vi for uafhængige variable 1 n n 2V ar( X i ) 1 n 2 n V ar(x i ) = 1 V ar(x) n V ar(x) = n2 n Endelig er SD( X) = V ar( X) = SD(X) n Spørgsmål 28) 2 37% Man kan eksempelvis bruge formel (6) side 297. Først findes G(x) = f(x)dx = x 1 6t(1 t)dt = x [3t2 2t 3 ] t=1 t=x = 1 3x2 + 2x 3. Endelig fås hazard rate λx = 6x(1 x) 3 3x 2 +2x 3. Spørgsmål 29) 5 14% Da X og Y er uafhængige kan vi benytte formlen for forhold af uafhængige
5 5 variable - formel (g) side 383. f Z (z) = xλe λx µe µxz dx = xλµe x(λ+µz) dx Integralet kan løses ved delt integration. Alternativt kan man udnytte resultatet for middelværdien af en eksponentialfordelt variabel, eller omskrive integralet til integralet over en gamma tæthed. Middelværdimetoden xλe x(λ+µz) dx = λµ λ + µz x λ + µze x(λ+µz) dx = hvor det sidste lighedstegn gør brug af den første boks side 279. λµ (λ + µz) 2 Spørgsmål 3) 5 21% Man benytter formlen nederst side 417, der er en variant af formlen om gennemsnit af betingede sandsynligheder. P(Y = ) = P(Y = X = x)f X (x)dx = hvor vi har benyttet f X (x) = 1 e x - se eventuelt side 279. e x 1 e x dx = 1 2
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2003 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereSandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 11. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@imm.dtu.dk Dagens nye emner afsnit 6.3 (og 6.4 Betingede
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereINSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c
INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG c AALBORG UNIVERSITET FREDRIK BAJERS VEJ 7 G 9220 AALBORG ØST Tlf.: 96 35 89 27 URL: www.math.aau.dk Fax: 98 15 81 29 E-mail: bjh@math.aau.dk Dataanalyse Sandsynlighed og stokastiske
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 8. december 04 Kursus nr : 040 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2019 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 7. maj 019 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2018 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 08 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 00 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 17. december 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 17. december 015 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 29. maj 2015 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. maj 05 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 27. maj 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 27. maj 20 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift) (bord
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 19 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2006 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning
CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 9 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 006 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 20. december 2011 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 20. december 2017 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. december 07 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4
02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser, Uge 4 Vejledende løsning 5.46 P (0.010 < error < 0.015) = (0.015 0.010)/0.050 = 0.1 > punif(0.015,-0.025,0.025)-punif(0.01,-0.025,0.025) [1] 0.1
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: PQ. juli 200Z Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2014 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 04 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 4. juni 2013 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 8 sider Skriftlig prøve, den: 4. juni 20 Kursus nr : 0240 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2004 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side?? af?? sider Skriftlig prøve, den: 6. december 2004 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede) fordelingsfunktion
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 18. august 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 8. august 06 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af:
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mereSandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 7. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 4.5 og 4.6 (Kumulerede)
Læs mere3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable
3 Stokastiske variable 3.1 Diskrete variable Punktsandsnligheden benævnes P(x) = P(X = x). {x, P(x)} er en sandsnlighedsfordeling for den stokastiske variabel, X, hvis 1) P(x) $ 0 for alle værdier af x.
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereOpgaver i sandsynlighedsregning
Afdeling for Teoretisk Statistik STATISTIK Institut for Matematiske Fag Preben Blæsild Aarhus Universitet 9. januar 005 Opgaver i sandsynlighedsregning Opgave Lad A og B være hændelser således at P(A)
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN. Side 1 af 18 sider. Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405. Kursus navn: Sandsynlighedsregning
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 18 sider Skriftlig prøve, den: 2. juni 2009 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2012 Kursus nr : 02405. (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6.1 og 6.2 Betingede diskrete
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereSandsynlighedsregning 10. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 0. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 6. og 6. Betingede diskrete
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereSandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 8. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner 5.1 og 5.2 Ligefordeling med to
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereBetingede sandsynligheder Aase D. Madsen
1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient
Læs mereBetingning med en uafhængig variabel
Betingning med en uafhængig variabel Sætning Hvis X er en reel stokastisk variabel med første moment og Y er en stokastisk variabel uafhængig af X, så er E(X Y ) = EX. Bevis: Observer at D σ(y ) har formen
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider Skriftlig prøve, den: 16. december 2010 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: (navn) (underskrift)
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 28 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable: udfald
Læs merehvor a og b er konstanter. Ved middelværdidannelse fås videre
Uge 3 Teoretisk Statistik. marts 004. Korrelation og uafhængighed, repetition. Eksempel fra sidste gang (uge ) 3. Middelværdivektor, kovarians- og korrelationsmatrix 4. Summer af stokastiske variable 5.Den
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereSupplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable
IMM, 00--6 Poul Thyregod Supplement til kapitel 4 Om sandsynlighedsmodeller for flere stokastiske variable Todimensionale stokastiske variable Lærebogens afsnit 4 introducerede sandsynlighedsmodeller formuleret
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff
Course 242/2323 Introducerende Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 22 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark
Læs mere02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset
02402 Vejledende løsninger til Splus-opgaverne fra hele kurset Vejledende løsning SPL3.3.1 Der er tale om en binomialfordeling med n =10ogp=0.6, og den angivne sandsynlighed er P (X =4) som i bogen også
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereLøsning eksamen d. 15. december 2008
Informatik - DTU 02402 Introduktion til Statistik 2010-2-01 LFF/lff Løsning eksamen d. 15. december 2008 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 18. december 2013 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. december 0 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereNanostatistik: Opgaver
Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner
Læs mereLøsning til eksaminen d. 29. maj 2009
DTU Informatik 02402 Introduktion til Statistik 20-2-01 LFF/lff Løsning til eksaminen d. 29. maj 2009 Referencer til Probability and Statistics for Engineers er angivet i rækkefølgen [8th edition, 7th
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereBinomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.
Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Simultane fordelinger Kovarians og korrelation Uafhængighed Betingede fordelinger - Middelværdi og varians - Sammenhæng med uafhængighed 1 Figur 1: En tæthedsfunktion
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mere