Analytisk perturbationsteori for matricer
|
|
- Nicklas Dideriksen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Institut for Matematiske Fag Analytisk perturbationsteori for matricer Speciale af Kenn Erik Markholm Andersen Efterår 2009
2
3 Institut for Matematiske Fag Fredrik Bajers Vej 7G 9220 Aalborg Øst Telefon Fax Synopsis: Titel: Analytisk perturbationsteori for matricer Projektperiode:.sep. -. dec 2009 Forfatter: Kenn Erik Markholm Andersen Vejleder: Arne Jensen Oplagstal: 4 Sidetal: 49 Bilagsantal og art: Ingen Afsluttet:. dec I denne rapport betragtes perturbation af egenværdier for lineære operatorer på endeligdimensionale komplekse vektorrum. Det undersøges hvordan egenværdierne ændrer sig med operatoren, når denne afhænger analytisk af en parameter. Da den karakteristiske ligning til bestemmelse af egenværdierne i dette endeligdimensionale tilfælde er givet ved et polynomium af to variable, bevises der en del resultater om polynomier. For at studere egenværdierne indføres resolventen for operatoren og perturbation af denne gennemgåes. Ligeledes findes en stambrøksopsplitning af resolventen.
4
5 ABSTRACT Given a linear operator in a finite-dimensional complex vectorspace. It is of interest to know how the eigenvalues change with the operator, when the operator depends on a parameter analytically. To answer this question the resultant of the operator is studied in detail. Various properties of the resolvent are stated and proved and these are used to investigate the singularities of the resolvent. Also the partial fraction decomposition of the resolvent has been derived. To this end a number of tools from complex analysis proves useful and some of them are discussed and proved. Since the characteristic equation of the operator, in this finite-dimensional setting, is given by a polynomial equation in two variables, a selection of results on polynomials are stated and proved, so that the characteristic equation can be examined. Algebraic functions are introduced in order to state and prove the main theorem about the behaviour of the eigenvalues. The concept of a norm is used to define the norm of an operator, which is the basic tool in the estimates of the following sections on the resolvent. Finally a number of examples are given to illustrate the theory.
6
7 FORORD I denne rapport er det underforstået, at der ved feks. T ζ skal forstås T ζi., hvormed der ikke altid skelnes (notationsmæssigt) mellem skalarer og operatorer. Der betragtes kun lineære operatorer på endeligdimensionale komplekse vektorrum. Generelle henvisninger skrives som eksempelvis [AJ], hvor [AJ] så kan findes i litteraturlisten. Specifikke henvisninger skrives som f.eks. [AJ, s. 2, Theorem 3.6], hvor [AJ] igen kan findes i litteraturlisten, s. 2 angiver sidetallet og Theorem 3.6 er navnet på resultatet. Der skelnes ikke mellem analytisk og holomorf. Alle kurver antages at være stykkevis glatte. Alle mængder antages at være åbne og sammenhængende, medmindre andet er nævnt.
8
9 INDHOLDSFORTEGNELSE Introduktion 0. Preliminaries Resultater fra kompleks funktionsteori Resultater om polynomier Algebraiske funktioner Hovedsætningen Ledsagermatricen Operatornorm Perturbation af resolventen Singulariteter for resolventen Eksempler Operator repræsenteret ved (2 2)-matrix Operator repræsenteret ved (3 3)-matrix Kilder 49
10
11 KAPITEL INTRODUKTION. PRELIMINARIES.. RESULTATER FRA KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI Definition. Analytisk En funktion der er defineret og komplekst differentiabel overalt i et område Θ kaldes en analytisk funktion. En analytisk funktion kaldes også holomorf. Definition.2 Meromorf Lad G C være et domæne og lad f : G \ P C være en holomorf funktion med isolerede singulariteter i P. Hvis alle punkter i P er poler, siges f at være meromorf i G. Følgende bliver nyttig: Sætning.3 Rouches sætning Lad de to funktioner f (z) og ϕ(z) være analytiske i det enkeltsammenhængende område Θ. Lad den simple lukkede kurve C være indeholdt i Θ og lad f (z) 0 på C. Antag desuden, at f (z) > ϕ(z) på C. Så har de to funktioner f (z) og f (z)+ϕ(z) det samme antal nulpunkter i den del af Θ der er omsluttet af C. Bevis: Da f og ϕ begge er analytiske i Θ er f + ϕ det også. [Conway, s. 23, 3.4 Argument Principle] giver således (med en lidt anden notation), at C f (z) f (z) dz = N og C f (z) + ϕ (z) dz = M, f (z) + ϕ(z) hvor N betegner summen af ordenerne af nulpunkterne for f omsluttet af C og M betegner summen af ordenerne af nulpunkterne for f + ϕ omsluttet af C. Nu vælges orienteringen af C til at være positiv, hvilket er underordnet i sætningen, men nødvendigt i dette bevis. Det skal vises, at N = M, hvilket således er ækvivalent med at vise, at som er ækvivalent med at vise, at C C f (z) f (z) dz = C f (z) + ϕ (z) f (z) + ϕ(z) dz ( f (z) + ϕ (z) f (z) + ϕ(z) f (z) )dz = 0. f (z) Side
12 Speciale Afsnit.: Preliminaries Ved direkte udregning ses, at og Der gælder altså f (z) + ϕ (z) f (z) + ϕ(z) f (z) f (z) = ϕ (z)f (z) ϕ(z)f (z) f (z)(f (z) + ϕ(z)) ( + ϕ(z) f (z) ) + ϕ(z) f (z) = ϕ (z)f (z) ϕ(z)f (z). f (z)(f (z) + ϕ(z)) Problemet kan således omskrives til f (z) + ϕ (z) f (z) + ϕ(z) f ϕ(z) (z) ( + f (z) = + ϕ(z) f (z) f (z) ) ( + ϕ(z) f (z) ) C + ϕ(z) dz = 0. (.) f (z) Det haves, at f (z) > ϕ(z) ϕ(z) på C, hvormed <. Dermed ligger værdierne for + ϕ(z) i den højre halvplan (indenfor cirklen med centrum i og radius - specielt bliver f (z) + ϕ(z) f (z) f (z) aldrig nul eller reelt og negativt) hvor logaritmen er veldefineret. Derfor kan integralet i (.) nu udregnes på følgende måde. Da (ln f (x)) = f (x) ses, at integranden f (x) har stamfunktionen ln( + ϕ(z) ). [AJ, s. 2, Theorem 3.6] giver således, at integralet er f (z) lig nul, idet C er en lukket kurve. Beviset er således fuldført.. Sætning.4 Laurents sætning Lad f være en kompleks funktion, som er analytisk på ringen R < z z 0 < R 2, hvor z 0 er centrum for de to cirkler med radius R og R 2. Så kan f repræsenteres ved en Laurent-række, f (z) = n= a n (z z 0 ) n, hvor a n = γ f (z) (z z 0 ) n+ dz, og γ er en simpel lukket kurve med positiv omløbsretning, som omslutter z 0 og ligger mellem cirklerne med radius R og R 2. Rækken konvergerer for R < z z 0 < R 2. Specielt konvergerer rækken uniformt på ρ z z 0 ρ 2, hvor R < ρ < ρ 2 < R 2. Udtrykket n= a n (z z 0 ) n Side 2
13 Afsnit.: Preliminaries Speciale skal forstås som summen af de to uendelige rækker n= a n (z z 0 ) n og a n (z z 0 ) n, n=0 hvor a n er defineret som ovenfor. Det bemærkes, at hvor n= a n (z z 0 ) n = n= b n (z z 0 ) n, b n = (z z 0 ) n f (z)dz. γ Denne del kaldes principaldelen af Laurent-rækken...2 RESULTATER OM POLYNOMIER I dette afsnit gennemgåes en række nyttige resultater om polynomier. Som korollar til Rouches sætning, sætning.3, fås følgende nyttige resultat: Sætning.5 Algebraens fundamentalsætning Ethvert egentligt polynomium med komplekse koefficienter har præcis lige så mange komplekse rødder som graden af polynomiet, hvis rødderne tælles med multiplicitet. Bevis: Lad p(z) være givet ved Det fås, at p(z) = a 0 + a z + + a n z n, hvor a n 0. p(z) a n z n = a 0 a n z n + a a n z n + + a n + for z 0. a n z Her ses, at højresiden (og dermed også venstresiden) går mod for z gående mod uendelig. Der findes derfor et tilpas stort tal R, så der for z = R gælder p(z) a n z n < p(z) a n z n a n z n < p(z) an z n a n z n < p(z) an z n < an z n a0 + a z + + a n z n < an z n. Vælg nu et R så stort, at a0 + a z + + a n z n < an z n for z = R, Side 3
14 Speciale Afsnit.: Preliminaries så er betingelserne fra Rouches sætning, sætning.3, opfyldt, med f (z) = a n z n og ϕ(z) = a 0 + a (z) + + a n z n. Da f (z) = a n z n har n rødder (0 er rod med multiplicitet n) indenfor cirklen z = R, (R > 0), så har p(z) = f (z) + ϕ(z) også n rødder, såfremt R vælges så stor, at alle rødder for p(z) ligger i z < R. Da f (z) = a n z n kun har roden 0, ændres/øges antallet af rødder ikke uanset hvor stor R bliver. Beviset er hermed færdigt. Lemma.6 Givet et polynomium p(λ) der har λ = a som rod, så gælder: λ = a er multipel rod i p(λ) hvis og kun hvis λ = a er rod i p (λ). Bevis: Antag, at λ = a er multipel rod i p(λ). Det betyder, at p(λ) = (λ a) m q(λ) hvor q(λ) er et polynomium af grad deg q = deg p m hvor m er et naturligt tal, m 2. Heraf fås p (λ) = m(λ a) m q(λ) + (λ a) m q (λ) = (λ a) m (mq(λ) + (λ a)q (λ)), hvoraf det ses, at λ = a er rod i p (λ). Antag nu, at λ = a er rod i både p(λ) og p (λ), da findes polynomier q og q 2 så Ved differentiation af p(λ) fås p(λ) = (λ a)q (λ) og p (λ) = (λ a)q 2 (λ). p (λ) = q (λ) + (λ a)q (λ). De to udtryk for p (λ) sættes nu lig hinanden Dette kan omskrives til q (λ) + (λ a)q (λ) = (λ a)q 2(λ). q (λ) = (λ a)(q 2 (λ) q (λ)). Ved at indsætte dette i udtrykket for p(λ) fås p(λ) = (λ a) 2 (q 2 (λ) q (λ)), hvoraf det ses, at λ = a er multipel rod i p(λ). Bemærk, at ovenstående bevis faktisk viser, mere end der står i sætningen, nemlig at hvis λ = a er rod i p(λ) med multiplicitet m 2, så er λ = a rod i p (λ) med multiplicitet m. Nu indføres en variant af Euklids algoritme for polynomier. Givet to polynomier p(λ) og q(λ), hvor deg p > deg q, så indføres følgende algoritme: Divider q op i p og find resten r. Divider r op i q og find resten r 2. Divider r 2 op i r og find resten r 3. Fortsæt på denne måde, indtil resten er en konstant. Denne konstant Side 4
15 Afsnit.: Preliminaries Speciale er outputtet for algoritmen. Algoritmen ser altså således ud: p(λ) = q 0 (λ)q(λ) + r (λ), hvor degr < deg q, q(λ) = q (λ)r (λ) + r 2 (λ), hvor degr 2 < degr, r (λ) = q 2 (λ)r 2 (λ) + r 3 (λ), hvor degr 3 < degr 2,. r n 2 (λ) = q n (λ)r n (λ) + r n (λ), hvor degr n < degr n, (.2) stop ved degr n 0 og giv r n som output. [Cohen, s. 23, Theorem 5] giver eksistens og entydighed af outputtet r n ved denne algoritme, hvormed det giver mening at fastsætte følgende: Definition.7 Resultant Givet to polynomier p(λ) og q(λ), hvor deg p > deg q. Outputtet r n fra ovenstående algoritme kaldes resultanten R(p,q) for de to polynomier. Dvs. R(p,q) r n. Bemærk, at r n, og dermed resultanten, er en konstant. Eksempel.8 Betragt de tre polynomier Da der gælder, at giver algoritmen p(λ) = λ 2 + 2λ, q (λ) = λ + 3 og q 2 (λ) = λ + 2. λ 2 + 2λ = (λ )(λ + 3) + 3 og λ 2 + 2λ = λ(λ + 2) + 0, R(p,q ) = 3 og R(p,q 2 ) = 0. Bemærk desuden, at p og q 2 har den fælles rod λ = 2, mens p og q ikke har nogen fælles rødder. Proposition.9 To polynomier p(λ) og q(λ), hvor deg p > deg q, har en fælles rod λ 0, hvis og kun hvis deres resultant er identisk lig nul, dvs. hvis og kun hvis R(p,q) 0. Bevis: Antag, at p(λ) og q(λ) har en fælles rod, λ 0, hvormed p(λ 0 ) = 0 og q(λ 0 ) = 0. Ved indsættelse af λ 0 i algoritmens første linie fås direkte, at r (λ 0 ) = 0. Ved indsættelse af λ 0 i algoritmens anden linie fås tilsvarende, at r 2 (λ 0 ) = 0. Således fortsættes til algoritmens sidste linie, som giver r n (λ 0 ) = 0. Da degr n 0, må r n 0. Antag nu, at R(p,q) 0. Dvs., at r n 0, hvormed algoritmens sidste linie giver, at r n 2 (λ) = q n (λ)r n (λ). (.3) Side 5
16 Speciale Afsnit.: Preliminaries Da r n (λ) er et polynomium af grad mindst een (ifølge algoritmen) følger det, af algebraens fundamentalsætning, sætning.5, at r n (λ) har mindst een rod. Lad λ 0 være rod i r n (λ), da giver (.3), at λ 0 også er rod i r n 2 (λ). Algoritmens andensidste linie: r n 3 (λ) = q n 2 (λ)r n 2 (λ) + r n (λ) viser nu, at λ 0 er rod i r n 3 (λ), da λ 0 er rod i r n 2 (λ) og r n (λ). Ved at gå baglæns igennem algoritmen, fås af algoritmens første linie, at da λ 0 er rod i q(λ) og r (λ), er λ 0 også rod i p(λ). Det er dermed vist, at p(λ) og q(λ) har en fælles rod. Definition.0 Diskriminant Givet et polynomium p n af grad n, så defineres diskriminanten, D n, for polynomiet som resultanten af polynomiet og dets afledte, dvs. D n R(p n,p n ). Eksempel. Betragt det generelle andengradspolynomium Heraf fås Da fås p 2 (λ) = aλ 2 + bλ + c, a 0, p 2 (λ) = 2aλ + b. ( aλ 2 + bλ + c = 2 λ + b )(2aλ + b) + c b2 4a 4a D 2 R(p 2,p 2 ) = c b2 4a = 4a (b2 4ac). Bemærk afvigelsen fra den sædvanlige diskriminant d = b 2 4ac. Der gælder dog, at D 2 = 0 = d præcis når b 2 4ac = 0, således at p(λ) har en dobbeltrod hvis og kun hvis D 2 = 0. Proposition.2 Polynomiet p n (λ) har mindst een multipel rod hvis og kun hvis D n 0. Bevis: Antag først, at polynomiet p n (λ) har mindst een multipel rod. Så er denne rod også rod i p n (λ) ifølge lemma.6 og proposition.9 giver således at R(p n,p n ) 0. Det følger så af definition.0, at D n 0. Antag nu, at D n 0. Definition.0 giver således at R(p n,p n ) 0, hvilket ifølge proposition.9 er ensbetydende med at p n (λ) og p n (λ) har mindst een fælles rod, hvorefter Side 6
17 Afsnit.: Preliminaries Speciale det følger af lemma.6 at p n (λ) har mindst een multipel rod. Ved et polynomium p af to variable ζ og λ forstås en dobbeltsum af formen m n p(ζ,λ) = a j l ζ j λ l. j =0 l=0 Definition.3 Reducibel Givet et polynomium p(ζ,λ), ζ Ω, analytisk i ζ. Så kaldes p reducibel, hvis og kun hvis der findes polynomier p (ζ,λ) og p 2 (ζ,λ) der er ikke-konstante og analytiske i ζ, så p(ζ,λ) = p (ζ,λ)p 2 (ζ,λ). Diskriminanten for p(ζ, ) betegnes D(ζ). Proposition.4 Polynomiet p(ζ,λ) er reducibelt, hvis D(ζ) 0 for alle ζ Ω. Bevis: I dette bevis benyttes en variant af algoritmen givet i (.2). Ved hvert skridt i algoritmen i (.2) divideres der med et polynomium. Hvis man således anvender denne algoritme direkte på polynomiet p(ζ,λ) og dets afledte (hvor disse betragtes som polynomier i λ, med koefficienter der afhænger polynomielt af ζ), så risikerer man at dividere med et udtryk, hvor koefficienterne der afhænger af ζ giver anledning til et nulpunkt for udtrykket. Ved alligevel at benytte algoritmen, men så efter hvert skridt gange den fremkomne ligning igennem med en faktor (der afhænger af ζ, men ikke af λ), således at eventuelle nulpunkter fjernes, så opnår man en variant af den oprindelige algoritme. Denne variant anvendes i det følgende, men de førnævnte faktorer der afhænger af ζ udelades, for at lette opskrivningen. Bemærk dog at dette ikke har betydning for de konklusioner der drages. Antag, at D(ζ) 0 for alle ζ Ω. Så følger det af definition.0, at algoritmen i (.2) giver outputtet r n 0, hvormed algoritmens sidste linie er givet ved r n 2 (λ) = q n (λ)r n (λ). Indsættes dette udtryk for r n 2 (λ) i algoritmens andensidste linie, som er givet ved fås r n 3 (λ) = q n 2 (λ)r n 2 (λ) + r n (λ), r n 3 (λ) = q n 2 (λ) [ q n (λ)r n (λ) ] + r n (λ) = r n (λ) [ q n 2 (λ)q n (λ) + ]. Indsættes dette udtryk for r n 3 (λ), samt udtrykket for r n 2 (λ) i algoritmens trediesidste linie, som er givet ved r n 4 (λ) = q n 3 (λ)r n 3 (λ) + r n 2 (λ), Side 7
18 Speciale Afsnit.: Preliminaries fås r n 4 (λ) = q n 3 (λ)r n (λ) [ q n 2 (λ)q n (λ) + ] + q n (λ)r n (λ) = r n (λ) [ q n 3 (λ) [ q n 2 (λ)q n (λ) + ] + q n (λ) ]. Det følger heraf, at man ved at fortsætte med at gå baglæns gennem algoritmen på denne måde, opnår en faktorisering af polynomiet p. Da der i algoritmen gælder, at degr n < degr n og degr n = 0, følger det, at faktorerne i førnævnte faktorisering ikke er konstanter, hvormed det er blevet bevist, at p er reducibelt...3 ALGEBRAISKE FUNKTIONER Definition.5 Algebraisk funktion En løsning w = f (z) til ligningen g 0 (z) + g (z)w + g 2 (z)w g m (z)w m = 0, (.4) hvor g n (z) er polynomier af z alene og mindst et af dem er egentligt, kaldes en algebraisk funktion. Ligningen (.4) kan skrives kortfattet som G(z,w) = 0. Eksempel.6 Polynomier er algebraiske funktioner idet her er w = f (z) f (z) + w = 0 g n 0 for n >, g (z) og g 0 (z) f (z). Eksempel.7 Rationale funktioner er algebraiske funktioner idet her er f (z) = a(z) a(z) + b(z)f (z) = 0 b(z) g n 0 for n >, g b(z) og g 0 a(z). Side 8
19 Afsnit.: Preliminaries Speciale Eksempel.8 En rational funktion opløftet til en brudden potens er en algebraisk funktion idet her er f (z) = ( a(z) b(z) ) p q (f (z)) q = ( a(z) b(z) )p (a(z)) p + (b(z)) p (f (z)) q = 0, g n 0 for n { 0,q }, g q (b(z)) p og g 0 (a(z)) p. Eksempel.9 Ligningen x 2 + y 2 = giver y = ± x 2 begge grene hører til den algebraiske funktion y, selvom y ikke er en funktion i sædvanlig forstand. De trigonometriske funktioner, eksponentialfunktionerne og logaritmefunktionerne er alle eksempler på ikke-algebraiske funktioner eller transcendente funktioner. For m 4 kan ligningen i (.4) løses direkte, hvorved man opnår et eksplicit udtryk for funktionen w = f (z), der derefter kan undersøges. For m > 4 er dette ikke længere muligt og derfor opstår spørgsmålet om hvorvidt der i det hele taget findes en løsning w = f (z) til ligningen, om den er entydig, og hvilke egenskaber den ellers har. Før disse spørgsmål besvares, gøres først nogle antagelser. Det antages, at G(z,w) er irreducibel, jævnfør definition.3. Denne antagelse er ikke urimelig, for hvis G var reducibelt, så f.eks. G(z,w) = G (z,w)g 2 (z,w), ville behandlingen af problemet G(z,w) = 0, ved hjælp af nulreglen, kunne deles op i behandlingen af de to (simplere) problemer G (z,w) = 0 og G 2 (z,w) = 0. Ved at substituere en fast værdi z 0 med z i ligningen, fås en polynomiel ligning i w med skalar koefficienter. Denne ligning vil generelt have m forskellige løsninger/rødder, medmindre man er i et af de to følgende tilfælde:. g m (z 0 ) = 0, hvormed graden af polynomiet er mindre end m og antallet af løsninger/rødder dermed også er mindre end m, ifølge algebraens fundamentalsætning, sætning G(z 0,w) = 0 har multiple rødder. Det sidste sker netop når ligningens diskriminant er identisk lig nul, som det fremgår af proposition.2. Der gælder desuden, at hvis G(z,w) er irreducibel, så er diskriminanten, D(z), ikke identisk lig nul, ifølge proposition.4, men derimod et polynomium af en bestemt grad. Det fremgår af. og 2., at undtagelserne kun kan ske for et endeligt antal specielle værdier af z, som fremover benævnes a,...,a r. I det følgende vil der (til at begynde med) blive set bort fra sådanne kritiske punkter. Der gælder således, at G(z 0,w) = 0 har præcis m forskellige rødder, w () (m) 0,...,w 0 for hvert z = z 0 forskelligt fra de kritiske punkter. Målet er nu følgende: Sætning.20 G(z,w) antages at være af formen G(z,w) = g 0 (z)+g (z)w +g 2 (z)w 2 + +g m (z)w m og irreducibel. Ligningen G(z,w) = 0 definerer præcis een m tydig analytisk funktion w = F (z) i den punkterede plan, dvs. planen bortset fra de kritiske punkter. Side 9
20 Speciale Afsnit.2: Hovedsætningen.2 HOVEDSÆTNINGEN Betragt en lineær operator T på et endeligdimensionalt komplekst vektorrum X og lad ζ T (ζ) være analytisk i Ω. Funktionen p(ζ,λ) = det(t (ζ) λ) er analytisk i Ω C. Dette ses let hvis standardmatricen for T er en (2x2)-matrix, idet alle fire indgange i matricen er analytiske. Heraf følger resultatet for en (nxn)-matrix ved induktion. Bemærk, at en funktion af to komplekse variable kaldes analytisk, hvis den er analytisk i hver af de variable når den anden variabel holdes fast (separat analytisk). Lad p(ζ,λ) = ( ) n (λ n + a n (ζ)λ n + + a (ζ)λ + a 0 (ζ)). Nu betragtes et simpelt nulpunkt, λ 0, for p(ζ 0,λ), hvor ζ 0 Ω er fast. Proposition.2 Givet (ζ 0,λ 0 ) Ω C, så p(ζ 0,λ 0 ) = 0 og p λ (ζ 0,λ 0 ) 0, så findes δ,δ 2 > 0, så at p(ζ;λ) har præcis ét nulpunkt, λ 0 (ζ), i λ λ 0 < δ for ζ ζ 0 < δ 2. λ 0 (ζ) afhænger analytisk af ζ og p(ζ,λ 0 (ζ)) = 0 overalt i ζ ζ 0 < δ 2. Bevis: Ideen er at benytte implicit funktionssætningen som angivet i [Wade, s. 356,.47 Theorem [The Implicit Function Theorem]]. Bemærk, at der i det følgende er byttet om på x og t i forhold til i Wade og at 0 bruges i flere betydninger, således at der (notationsmæssigt) ikke skelnes mellem tallet 0 og punktet (0,0). Lad ζ = x + i x 2 og λ = t + i t 2, hvormed de (via isomorfien mellem C og R 2 ) kan betragtes som punkterne (x,x 2 ) og (t,t 2 ) i R 2. Lad desuden p(ζ,λ) = p (x,x 2,t,t 2 ) + i p 2 (x,x 2,t,t 2 ), således at F = (p,p 2 ) : V R 2. Tilsvarende kan Ω C betragtes som en åben delmængde, V, af R 4. Da p(ζ,λ) er analytisk i Ω C, opfylder F = (p,p 2 ) kravet om at være C på V. At der er givet (ζ 0,λ 0 ) Ω C, så p(ζ 0,λ 0 ) = 0 kan dermed oversættes til at der er givet (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) V, således at p(x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) = p (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) + i p 2 (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) = 0. Det skal nu vises, at d = (p,p 2 ) (t,t 2 ) (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) 0. For at lette notationen en anelse, skrives punktet (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) ikke i de følgende udregninger. Der gælder ] d = det [ p t p t 2 p 2 t p 2 t 2 = p p 2 p 2 p t t 2 t t 2 ( ) 2 ( ) 2 p p = + t t 2 = p () 2, (.5) Side 20
21 Afsnit.2: Hovedsætningen Speciale hvor der blev gjort brug af Cauchy-Riemann ligningerne p t = p 2 t 2, p t 2 = p 2 t. [AJ, s. 2, Theorem 2.4] giver, at Heraf følger, at p (λ 0 ) = p t (t 0,,t 0,2 ) i p t 2 (t 0,,t 0,2 ). p λ (ζ 0,λ 0 ) = p t (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ) i p t 2 (x 0,,x 0,2,t 0,,t 0,2 ). Da p λ (ζ 0,λ 0 ) 0 fås specielt, at p (λ 0 ) 0, hvormed p (λ 0 ) 2 0. Således følger nu af (.5), at d 0. (.6) Det følger så af Implicit funktionssætningen, at der eksisterer en åben mængde W R 2 der indeholder (x 0,,x 0,2 ) og en entydig, kontinuert, differentiabel funktion g = (g,g 2 ), g : W R 2, således at og g (x 0,,x 0,2 ) = (g (x 0,,x 0,2 ),g 2 (x 0,,x 0,2 )) = (t 0,,t 0,2 ) F (x,x 2,g (x,x 2 ),g 2 (x,x 2 )) = 0 for alle (x,x 2 ) W. Det vil sige, at g (x,x 2 ) = t og g 2 (x,x 2 ) = t 2 for alle (x,x 2 ) W. Det skal nu vises, at g er analytisk i ζ, hvilket gøres, ved at vise, at g opfylder Cauchy- Riemann ligningerne. Resultatet følger så af [AJ, s. 2, Theorem 2.4]. Da F (x,x 2,t,t 2 ) = 0 for alle (x,x 2 ) W fås specielt, at p (x,x 2,t,t 2 ) = 0 og (.7) p 2 (x,x 2,t,t 2 ) = 0 for alle (x,x 2 ) W. Differentiation af (.7) med hensyn til x giver ifølge Kædereglen p g + p g 2 = p, t x t 2 x x p 2 g + p 2 g 2 = p 2. t x t 2 x x (.8) Det ses, at (.8) kan betragtes som et inhomogent lineært ligningssystem i de to ubekendte g x og g 2 x. Ligningssystemet (.8) har en entydig løsning, hvis og kun hvis dets determinant er forskellig fra nul, dvs. når d = det p [ p t p 2 t 2 p 2 t t 2 ] 0. (.9) Side 2
22 Speciale Afsnit.2: Hovedsætningen Det følger af (.5) og (.6), at (.9) er opfyldt, hvormed ligningssystemet (.8) har en entydig løsning. Denne løsning er givet ved Cramer s regel [Lay, s. 96, Theorem 7 Cramer s Rule] ( g, g ) 2 x x = p p 2 x t 2 + p 2 p x t 2, p p 2 t d d x + p 2 p t x. (.0) Ved at differentiere (.7) med hensyn til x 2 og løse det derved fremkomne ligningssystem, fås tilsvarende ( g, g ) 2 x 2 x 2 = p p 2 x 2 t 2 + p 2 p x 2 t 2, p p 2 t d d x 2 + p 2 p t x 2. (.) Da p er analytisk i både ζ = x + i x 2 og λ = t + i t 2 giver Cauchy-Riemann ligningerne p = p 2, x x 2 p = p 2, t t 2 p = p 2, x 2 x p = p 2. t 2 t (.2) Da det skal vises, at g er analytisk i ζ = x + i x 2, skal det vises, at g opfylder Cauchy- Riemann ligningerne g x = g 2 x 2, g x 2 = g 2 x. (.3) Ved at sammenligne løsningerne fra (.0) og (.) og anvende (.2) ses det, at (.3) er opfyldt. Første del af (.3) verificeres således g = p p 2 + p 2 p = p ( 2 p + p )( p ) 2 x x t 2 x t 2 x 2 t x 2 t = p t p 2 x 2 + p 2 t p x 2 = g 2 x 2. Anden del af (.3) kan verificeres på tilsvarende måde. Sættes λ 0 (ζ) nu lig g (ζ) er sætningen bevist, idet det bemærkes, at de åbne mængder der kommer fra Implicit funktionssætningen i Wade, indeholder de i Proposition.2 nævnte cirkelskiver, for passende valg af deres radier. Proposition.22 λ 0 (ζ) er rod af multiplicitet m 2 i p(ζ 0,λ) hvis og kun hvis D(ζ 0 ) = 0. Bevis: Da ζ 0 er fast, kan p(ζ 0,λ) betragtes som et polynomium af den ene variabel λ, hvormed resultatet følger af Proposition.2. Nu formuleres hovedsætningen: Side 22
23 Afsnit.2: Hovedsætningen Speciale Sætning.23 Givet p(ζ,λ) = λ n +a n (ζ)λ n + +a 0 (ζ). Antag, at λ 0 er et nulpunkt af multiplicitet m for p(ζ 0,λ) = 0. Så findes δ > 0, så at for alle ζ der opfylder ζ ζ 0 < δ har p(ζ,λ) præcis m nulpunkter (talt med algebraisk multiplicitet) tæt ved λ 0. Mere præcist: Der findes heltal p, p 2,..., p k, p j, k j = p j = m og funktioner (ikke nødvendigvis forskellige) λ,...,λ k (multiple værdier), så at hver λ j har en konvergent Puiseuxrække λ j (ζ) = λ 0 + l= c l (ζ ζ 0 ) l/p j. De m egenværdier er givet ved p værdier af λ, p 2 værdier af λ 2, etc. Bevis: Vi kan antage, at p(ζ,λ) er irreducibelt. I modsat fald, kan man faktorisere i irreducible faktorer og betragte dem enkeltvis. Antagelsen om irreducibilitet giver ifølge proposition.4, at D(ζ) ikke er identisk nul. Lad { ζ j } være den diskrete delmængde af Ω, hvor D(ζ j ) = 0. Dvs. for ζ Ω \ { ζ j } har p(ζ,λ) n forskellige rødder i λ ifølge Proposition.2. Dvs. at alle rødder er simple! Nu betragtes et af de exceptionelle punkter ζ j. For nemheds skyld kaldes det ζ 0. Det antages, at p(ζ 0,λ 0 ) = 0 og at λ 0 har multiplicitet m, < m n. Man får brug for følgende Proposition.24 Lad ζ 0 være et exceptionelt punkt for p(ζ,λ). Antag, at p(ζ,λ) er irreducibelt samt at p(ζ 0,λ 0 ) = 0 og at λ 0 har multiplicitet m, < m n. Givet ε > 0 tilstrækkeligt lille, så findes et δ = δ(ε) > 0, så at for 0 < ζ ζ 0 < δ(ε) har ligningen p(ζ,λ) = 0 præcis m forskellige rødder som alle ligger i {λ : λ λ 0 < ε}. Bevis: Skriv p(ζ,λ) = (λ λ 0 ) n + b n (ζ)(λ λ 0 ) n + + b (ζ)(λ λ 0 ) + b 0 (ζ). Dette gøres ved at benytte, at λ = λ λ 0 + λ 0 og derefter gange ud og omarrangere leddene. Antagelsen om, at λ 0 er et nulpunkt af multiplicitet m for p(ζ 0,λ), betyder, at b j (ζ 0 ) = 0 for j = 0,...,m og b m (ζ 0 ) 0. Vælg δ > 0 og lad B(ζ 0,δ ) = {ζ : ζ ζ 0 < δ } så at b m (ζ) 0 for ζ B(ζ 0,δ ) Ω og desuden D(ζ) 0, for 0 < ζ ζ 0 < δ. Det er nu muligt at skrive p(ζ,λ) således: p(ζ,λ) = b m (ζ)(λ λ 0 ) m ( + A(ζ,λ) + B(ζ,λ)), hvor A(ζ,λ) = b m+(ζ) b m (ζ) (λ λ 0) + bn (ζ) b m (ζ) (λ λ 0) n m + b m (ζ) (λ λ 0) n m B(ζ,λ) = b m (ζ) b m (ζ) + + b 0(ζ) λ λ 0 b m (ζ) (λ λ 0 ) m og Der gives nu en vurdering af A(ζ,λ) og B(ζ,λ). Vurdering af A(ζ,λ) : Side 23
24 Speciale Afsnit.2: Hovedsætningen Lad c = min ζ B(ζ 0,δ ) b m (ζ) og M = max b j (ζ). ζ B(ζ 0,δ ) ζ=0,,...,n Bemærk, at c > 0 idet b m (ζ) 0 for ζ B(ζ 0,δ ). Lad et ε, som opfylder både 0 < ε < 2 og ε < c 4M være givet. For λ λ 0 = ε haves A(ζ,λ) M c (ε + ε2 + + ε n m ) = M c ε εn m ε < 2ε M c < 2. Det er således blevet vist, at for alle ζ, ζ ζ 0 < δ og alle λ, λ λ 0 = ε gælder Vurdering af B(ζ,λ) : A(ζ,λ) < 2. Lad µ = c 2 ( ε + ε ε m ). Vælg δ < δ således, at der for alle ζ ζ 0 < δ gælder b j (ζ) < µ, j = 0,,...,m. Dette er muligt, da b j (ζ 0 ) = 0. For λ λ 0 = ε og ζ ζ 0 < δ fås B(ζ,λ) < µ c ( ε + ε ε m ) = 2. Ved en mindre omskrivning af p(ζ,λ), fås at: Heraf følger nu p(ζ,λ) = b m (ζ)(λ λ 0 ) m + (A(ζ,λ) + B(ζ,λ))b m (ζ)(λ λ 0 ) m. p(ζ,λ) b m (ζ)(λ λ 0 ) m = (A(ζ,λ) + B(ζ,λ))b m (ζ)(λ λ 0 ) m p(ζ,λ) bm (ζ)(λ λ 0 ) m = (A(ζ,λ) + B(ζ,λ))bm (ζ)(λ λ 0 ) m ( A(ζ,λ) + B(ζ,λ) ) bm (ζ)(λ λ 0 ) m < bm (ζ)(λ λ 0 ) m. Lad ζ, ζ ζ 0 < δ være fast. Det er så blevet vist, at for λ λ 0 = ε gælder bm (ζ)(λ λ 0 ) m > p(ζ,λ) bm (ζ)(λ λ 0 ) m. Det bemærkes, at b m (ζ)(λ λ 0 ) m 0 for ζ ζ 0 < δ og λ λ 0 = ε, idet b m (ζ) 0 for ζ B(ζ 0,δ ) og δ < δ. Rouches sætning, sætning.3 giver således, at b m (ζ)(λ λ 0 ) m og b m (ζ)(λ λ 0 ) m + p(ζ,λ) b m (ζ)(λ λ 0 ) m = p(ζ,λ) har det samme antal nulpunkter i λ λ 0 < ε. Eftersom b m (ζ)(λ λ 0 ) m har præcis m nulpunkter (λ = λ 0 er m- dobbelt nulpunkt) i λ λ 0 < ε, er det således vist, at p(ζ,λ) har præcis m nulpunkter i λ λ 0 < ε. Da δ blev valgt, således at D(ζ) 0, for 0 < ζ ζ 0 < δ, følger det, da Side 24
25 Afsnit.2: Hovedsætningen Speciale δ < δ, at D(ζ) 0, 0 < ζ ζ 0 < δ. At D(ζ) 0 betyder, ifølge proposition.2, at disse nulpunkter er simple. Altså har p(ζ,λ) m forskellige nulpunkter i λ λ 0 < ε. Beviset for hovedsætningen fortsætter... Der gælder stadig p(ζ,λ) = 0, ζ Ω, og p er irreducibel. Graden i λ er n. Der er n rødder i λ, alle simple, hvis ζ Ω \ { ζ j }. Disse afhænger analytisk af ζ, for ζ tæt på ζ og væk fra alle ζ j. Lad nu ζ Ω \ { ζ j } være fast. Lad desuden ϕ (ζ;ζ ),...,ϕ n (ζ;ζ ) være de funktioner der giver de n nulpunkter for p(ζ,λ). Disse funktioner er defineret på hele Ω og er kontinuerte i de exceptionelle punkter, på grund af de ovenstående argumenter. Nu undersøges hvad der sker i et af de exceptionelle punkter. Lad ζ 0 være et exceptionelt punkt og lad λ 0 være et nulpunkt af multiplicitet m > for p(ζ 0,λ) = 0. Lad Γ være en cirkel med centrum i ζ 0 og med så lille en radius, at der ikke er andre ζ j på eller indenfor cirklen. Tag z 0 Γ og tag den analytiske funktion ϕ (ζ; z 0 ), som er defineret på den lille cirkelskive B 0 = {ζ : ζ z 0 < δ(z 0 )}. Cirkelskiven indeholder ikke nogen singulære punkter, så ϕ (ζ; z 0 ) er analytisk på denne cirkelskive. Tag z på Γ, hvor z z 0 og z B 0 og konstruer cirkelskiven B = {ζ : ζ z < δ(z )}. Til punktet z svarer der funktioner ϕ (ζ; z ),...,ϕ n (ζ; z ) definerede og analytiske i B. Da B 0 B {}, må een af disse stemme overens med ϕ (ζ; z 0 ). Derfor er ϕ (ζ; z ) defineret i Ved at fortsætte med at konstruere cirkelskiver på denne måde, kan man lave en åben overdækning af Γ og da Γ er kompakt, kan denne overdækning udtyndes til en endelig overdækning, hvilket vil sige, at man kan komme hele vejen rundt i et endeligt antal skridt. Fortsættelses-argumentet fører til roden ϕ (z 0,z 0 ). Hvis ϕ (z 0,z 0 ) = ϕ (z 0,z 0 ) er argumentet færdigt og der haves en cykel med periode. Hvis ϕ (z 0,z 0 ) = ϕ j (z 0,z 0 ), j > fortsættes argumentet. Da der højst kan være n egenværdier for p(ζ 0,λ), stopper processen. Antag at man returnerer til den oprindelige værdi efter en p-cykel. Så vil man have defineret en funktion F (ζ) på ringen µ < ζ ζ 0 < µ 2 som er analytisk med p værdier i denne ring. Definer G (ζ) = F (ζ 0 + ζ p ). Så er denne funktion en entydig (enkeltværdi) funktion på ringen µ < ζ < µ 2. Da alle funktioner ϕ j (ζ,z 0 ) er kontinuerte i ζ 0, har denne funktion en Laurentudvikling uden negative potenser (altså en Taylorudvikling), dvs. at G (ζ) rent faktisk er analytisk i ζ < µ 2, således at G (ζ) = l=0 c l ζ l, ζ < µ 2. Heraf følger, at F (ζ 0 + ζ p ) = c l ζ l l=0 og dermed F (ζ) = c l (ζ ζ 0 ) l/p. l=0 Side 25
26 Speciale Afsnit.3: Ledsagermatricen.3 LEDSAGERMATRICEN Et polynomium hvor koefficienten til højestegradsleddet er kaldes et monisk polynomium. Definition.25 Ledsagermatrix Givet et monisk polynomium p n (x) = a 0 + a x + + a n x n + x n, så kaldes matricen a a A n = 0 0 a a n for ledsagermatricen til p n (x). Der gælder følgende Proposition.26 det(a n λi n ) = ( ) n p n (λ), for n 2. Altså, at rødderne i polynomiet p n præcis er egenværdierne for matricen A n. Bevis: Beviset gennemføres ved hjælp af induktion over n. Basistrin: For n = 2 fås: ([ ] [ ]) 0 a0 λ 0 det(a 2 λi 2 ) = det a 0 λ [ ] λ a0 = det λ a så basistrinnet er okay. Induktionstrin: Antag, at = λ( λ a ) ( a 0 ) = λ 2 + a λ + a 0 = ( ) 2 (λ 2 + a λ + a 0 ) = ( ) 2 p 2 (λ) det(a n λi n ) = ( ) n p n (λ), for et eller andetn. Side 26
27 Afsnit.4: Operatornorm Speciale Det skal nu vises, at det(a n+ λi n+ ) = ( ) n+ p n+ (λ). Matricen opskrives λ a 0 λ a. A n+ λi n+ = a λ 0 a λ λ a n Ved at lave kofaktor-ekspansion langs den første række i matricen, fås determinanten til at være λ 0 0 a λ 0 a 2 det(a n+ λi n+ ) = λdet 0 0 a 3 + ( ) n+ a λ a n ved at benytte induktionsantagelsen (og bemærke, at den sidste søjle i determinanten er magen til søjlen i definitionen på ledsagermatricen, bortset fra at alle elementerne har indeks der er højere) fås, at ovenstående er lig = λ( ) n (a + a 2 λ + + a n λ n + λ n ) + ( ) n+ a 0 = ( ) n+ (a λ + a 2 λ a n λ n + λ n+ ) + ( ) n+ a 0 = ( ) n+ (a 0 + a λ + a 2 λ a n λ n + λ n+ ) = ( ) n+ p n+ (λ). Hermed er beviset fuldført..4 OPERATORNORM Først introduceres begrebet norm. Definition.27 Et normeret vektorrum (X, ) består af et vektorrum X og en afbildning : X R + med egenskaberne. x = 0 x = 0, x X, 2. αx = α x x X og α C, 3. x + y x + y x,y X, hvor kaldes for normen. Side 27
28 Speciale Afsnit.4: Operatornorm Der gælder følgende Sætning.28 Lad T være en lineær operator på et normeret vektorrum X. Lad desuden For dim X = 0 sættes b = c = 0. Så gælder. T x a x x X, 2. a = b = c = d. a = inf{k R + : T x K x, x X }, { } T x b = sup x : x X, x 0, c = sup{ T x : x X, x = }, d = sup{ T x : x X, x }. Bevis: Punkt følger direkte af definitionen af a. Punkt 2 vil blive vist ved at vise, at For ethvert x X, x 0, haves, at Det vil sige, at og da må a b. For x X, x 0, gælder der, at a b c d a. T x b T x b x. x b {K : T x K x, x X }, a = inf{k : T x K x, x X }, T x x = T x = x x T x = x T x = T x x (.4) Det bemærkes, at x =, hvormed x Af (.4) og (.5) fås således at T x x sup{ T x : x X, x = } = c. (.5) T x c. (.6) x Side 28
29 Afsnit.4: Operatornorm Speciale Da (.6) gælder for alle x X, x 0, så gælder den specielt når der tages supremum over alle x X, x 0 og idet { } T x b = sup x : x X, x 0, fås b c. Da er {x : x X, x = } {x : x X, x }, sup{x : x X, x = } sup{x : x X, x } og dermed c d. Antag, at x, og x X. Så giver punkt, at og da T x a x a, d = sup{ T x : x X, x }, fås d a. Nu indføres operatornormen. Definition.29 For enhver lineær operator T på X defineres normen af T, betegnet T, som tallet T = inf{k R + : T x K x, x X }. Normen af T, T, giver et mål for størrelsen af T, idet T er den mindste værdi af K, der gør, at uligheden T x K x er opfyldt. Det kan vises, at T <. Punkt 2 i Sætning.28 giver alternative udtryk for T, og punkt giver følgende ulighed som kan bruges til at bevise denne Sætning.30 Lad S og T være lineære operatorer. Da vil T x T x, x X, (.7) ST S T. (.8) Bevis: For alle x X gælder der ifølge (.7), at ST x = S(T x) S T x S T x. Side 29
30 Speciale Afsnit.4: Operatornorm For x = 0 x = 0 giver dette 0 0, hvilket er sandt. For x > 0 omskrives til ST x x S T. Da denne ulighed gælder for alle x, x > 0, gælder den også, når der tages supremum over alle de x, der opfylder x > 0. Det vil sige, at { } ST x ST = sup x : x X, x 0 sup{ S T : x X, x 0} = S T, hvor der blev gjort brug af b fra sætning.28. Uligheden i (.8) gælder ikke for alle normer, hvilket følgende eksempel illustrerer. Eksempel.3 [ ] a b Lad A = max{ a, b, c, d }, hvor A =, og betragt matricerne c d A = B = [ ]. Da AB = [ ] 2 2, 2 2 haves således, at A = B = og AB = 2. Heraf ses, at uligheden AB A B ikke er opfyldt. Som korollar til Sætning.30 haves Korollar.32 Lad T være en lineær operator på et endeligdimensionalt komplekst vektorrum, så gælder T k T k, for k =,2,... Bevis: Bevis føres ved hjælp af induktion. Basistrin: For k = fås: T = T = T, hvilket vil sige, at uligheden er opfyldt, endda med lighed. For k = 2 fås: T 2 = T T T T = T 2, hvor uligheden følger af Sætning.30. Basistrinnet er således i orden. Induktionstrin: Antag, at T n T n, for et eller andet n >, så haves: T n+ = T n T T n T T n T = T n+, hvor den første ulighed følger af Sætning.30. Side 30
31 Afsnit.5: Perturbation af resolventen Speciale.5 PERTURBATION AF RESOLVENTEN Ved spektret σ(t ) for operatoren T, forstås mængden af alle egenværdier for T. Da T er en lineær operator og derfor kan repræsenteres entydigt ved en matrix, er egenværdierne for T netop egenværdierne for denne matrix. Da egenværdierne præcis er rødderne i det karakteristiske polynomium, følger det af algebraens fundamentalsætning, sætning.5, at der mindst er een egenværdi (dvs. spektret altid er ikke-tomt) og højst lige så mange egenværdier som graden af det karakteristiske polynomium. Komplementærmængden til spektret for T kaldes for resolventmængden hørende til T og betegnes ρ(t ). ρ(t ) er således mængden af alle komplekse tal, som er forskellige fra egenværdierne for T. Er ζ σ(t ), så er T ζ invertibel. Et sådant punkt kaldes regulært. ρ(t ) er dermed mængden af alle regulære punkter. Definition.33 Resolvent For ζ ρ(t ) defineres operatorværdifunktionen R(ζ) = R(ζ,T ) = (T ζ) som kaldes resolventen hørende til operatoren T. Sætning.34 R(ζ) er en meromorf funktion. Bevis: Da T er en lineær operator på et endeligdimensionalt komplekst vektorrum, kan T repræsenteres ved en kvadratisk (n n)-matrix, hvormed T ζ også kan repræsenteres ved en kvadratisk (n n)-matrix. [Lay, s. 98, Theorem 8] giver følgende formel til bestemmelse af den inverse matrix, til en invertibel kvadratisk matrix A A = adj A, det A hvor adj A er den transponerede af komplementmatricen til A. Da indgangene i adj A består af produkter og differenser af indgangene i A, følger det direkte, at adj A er analytisk, hvis A er analytisk. Bemærk, at en matrix kaldes analytisk, hvis alle dens indgange er analytiske. Det følger nu, at R(ζ) = R(ζ,T ) = (T ζ) = det(t ζ) C (ζ), hvor C (ζ) er den transponerede af komplementmatricen til (T ζ). Da det(t ζ) er et polynomium af grad n, følger det af ovenstående, at resolventen, i dette tilfælde, er givet ved en matrix, hvis indgange er rationale funktioner, hvilket igen betyder, at resolventen er en meromorf funktion, idet der kun er singulariteter i egenværdierne og disse er poler. Resolventen opfylder: Proposition.35 Første resolventligning For ζ og ζ 2 i ρ(t ) gælder R(ζ ) R(ζ 2 ) = (ζ ζ 2 )R(ζ )R(ζ 2 ) Side 3
32 Speciale Afsnit.5: Perturbation af resolventen Bevis: Der gælder R(ζ ) = R(ζ )(T ζ 2 )R(ζ 2 ) og R(ζ 2 ) = R(ζ )(T ζ )R(ζ 2 ). Første resolventligning fås nu ved subtraktion af ovenstående. Bemærk, at Første resolventligning også kan skrives på formen Af Første resolventligning følger direkte, at: for alle ζ i ρ(t ). Heraf følger Korollar.36 For alle ζ og ζ 2 i ρ(t ) gælder: R(ζ ) = [ (ζ 2 ζ )R(ζ )]R(ζ 2 ). (.9) R(ζ ) R(ζ 2 ) ζ ζ 2 = R(ζ )R(ζ 2 ) (.20) R(ζ )R(ζ 2 ) = R(ζ 2 )R(ζ ). Før yderligere resultater om resolventen præsenteres, introduceres følgende: Definition.37 Neumannrækken Lad T være en lineær operator, så kaldes summen for Neumannrækken. ( T ) = T n n=0 Det kan vises (se [Kato, s. 30, Example 4.5 (Neumann series)]), at der gælder Proposition.38 For T < er Neumannrækken absolut konvergent og der gælder ( T ) = T n n=0 ( T ) ( T ). Heraf følger Korollar.39 For ζ ρ(t ), hvor ζ > T er absolut konvergent og der gælder R(ζ) = ζ k+ T k k=0 R(ζ) ( ζ T ). (.2) Side 32
33 Afsnit.5: Perturbation af resolventen Speciale Bevis: For ζ ρ(t ), hvor ζ > T er ζ T <, hvormed Proposition.38 giver, at Desuden haves R(ζ) = ζ R(ζ) = (T ζ) = ζ ( ) ζ T = ζ ( ζ T ) = ζ ( k=0 ζ T ) ζ ( ) k ζ T = ζ k+ T k. k=0 ( ζ T ) = ( ζ T ). Bemærk, at Korollar.39 giver, at alle egenværdierne for T ligger indenfor eller på cirklen med centrum i origo og radius T. Der gælder desuden følgende Korollar.40 Givet et ζ 0 ρ(t ). For ζ ζ 0 < R(ζ 0 ) er Neumannrækken for resolventen givet ved R(ζ) = og denne er absolut konvergent. (ζ ζ 0 ) n R(ζ 0 ) n+ n=0 Bevis: Betragt den alternative form af resolventligningen (.9), med ζ = ζ 0 og ζ 2 = ζ Det følger af proposition.38, at er invertibel for R(ζ 0 ) = [ (ζ ζ 0 )R(ζ 0 )]R(ζ). (.22) [ (ζ ζ 0 )R(ζ 0 )] (ζ ζ 0 )R(ζ 0 ) < ζ ζ 0 R(ζ 0 ) < ζ ζ 0 < R(ζ 0 ). Dermed giver (.22) og Proposition.38 at R(ζ) er givet ved [ R(ζ) = [ (ζ ζ 0 )R(ζ 0 )] R(ζ 0 ) = (ζ ζ 0 ) n R(ζ 0 ) ]R(ζ n 0 ) = (ζ ζ 0 ) n R(ζ 0 ) n+ n=0 samt at denne række er absolut konvergent for For κ Ω, hvor Ω er åben, kaldes for en familie af operatorer. ζ ζ 0 < R(ζ 0 ). T (κ) = T + κt () + κ 2 T (2) +, n=0 Side 33
34 Speciale Afsnit.5: Perturbation af resolventen Definition.4 Resolventen R(ζ,κ) = (T (κ) ζ) for T (κ) er defineret for alle ζ, der ikke er lig nogle af egenværdierne for T (κ). Betragtes en fast værdi af κ, giver Sætning.34, at R(ζ,κ) er en meromorf funktion af ζ. Faktisk gælder der følgende Sætning.42 R(ζ,κ) er holomorf (defineret og differentiabel overalt) i de to variable ζ og κ i ethvert område, hvor ζ ikke er lig nogle af egenværdierne for T (κ). Bevis: Vælg et fast κ 0 Ω. Derefter vælges et fast ζ 0 ρ(t (κ 0 )). For at lette notationen, antages, at κ 0 = 0. Der skrives R(ζ) = R(ζ,0). Da T (κ) er analytisk i κ, findes der et δ 0, så at {κ : κ < δ} Ω, således at der haves en konvergent potensrækkeudvikling T (κ) = T + Der skrives A(κ) = k= κk T (k). Sæt nu og bestem derefter δ 2 δ, således at κ k T (k), κ < δ. k= δ = 2 R(ζ 0 ) A(κ) < 2 R(ζ 0 ) for alle κ < δ 2. Sæt G = {(ζ,κ) : ζ ζ 0 < δ, κ < δ 2 }. Så gælder for alle (ζ,κ) G, at ((ζ ζ 0 ) A(κ))R(ζ 0 ) <. Der gælder T (κ) ζ = T ζ 0 (ζ ζ 0 ) + T (κ) T = T ζ 0 (ζ ζ 0 ) + A(κ) = T ζ 0 [(ζ ζ 0 ) A(κ)](T ζ 0 ) (T ζ 0 ) = [ ((ζ ζ 0 ) A(κ))(T ζ 0 ) ](T ζ 0 ) = [ ((ζ ζ 0 ) A(κ))R(ζ 0 )](T ζ 0 ). Heraf følger, at der for alle (ζ,κ) G haves at ζ ρ(t (κ)) og R(ζ,κ) = R(ζ 0 )[ ((ζ ζ 0 ) A(κ))R(ζ 0 )]. Side 34
35 Afsnit.5: Perturbation af resolventen Speciale Nu kan man gennemføre argumentet for, at R(ζ,κ) er separat analytisk i mængden G. Analyticitet i ζ: For et fastholdt κ, κ < δ 2, har man klart analyticitet, da det er resolventen for en operator. Analyticitet i κ: Her vælges et fastholdt ζ med ζ ζ 0 < δ. Der skal nu vises analyticitet i κ i cirkelskiven κ < δ 2. Dette gøres ved at vise kompleks differentiabilitet. Vælg et fastholdt κ med κ < δ 2. Her får man brug for følgende Lemma.43 X (I + X ) er en kontinuert afbildning (i operatornorm) for X <. Bevis: Lad x 0 være fastholdt og x 0 <. Der skal nu vises kontinuitet i x 0, dvs. det skal vises, at. For X < og Y < haves (I + X0 ) (I + Y ) < ε for X0 Y < δ(x 0 ). (I + X ) (I + Y ) = (I + X ) (I + Y (I + X ))(I + Y ) = (I + X ) (Y X )(I + Y ). Heraf fås (I + X0 ) (I + Y ) = (I + X0 ) (Y X 0 )(I + Y ) (I + X0 ) (Y X0 ) (I + Y ) Antag nu, at δ < 2 (I + X0 ). Skriv I + Y = I + X 0 + Y X 0 = (I + X 0 ) ( I + (I + X 0 ) (Y X 0 ) ). Det bemærkes, at (I + X0 ) (Y X 0 ) (I + X0 ) Y X0 < (I + X0 ) δ < 2. Sæt S = (I + X 0 ) (Y X 0 ), Side 35
36 Speciale Afsnit.5: Perturbation af resolventen så haves, idet S < 2, at hvormed Idet der gælder (I + S) = (I + S) k=0 ( S) k, k=0 S k < 2 k = 2. k=0 I + Y = (I + X 0 )(I + S) fås (I + Y ) = (I + S) (I + X 0 ) og dermed (I + Y ) < 2 (I + X0 ). Uligheden i uligheden bliver således (I + X0 ) (I + Y ) (I + X0 ) Y X0 (I + Y ) < (I + X0 ) Y X0 2 (I + X0 ) = 2 (I + X0 ) 2 Y X 0. Vælges nu δ(x 0 ) = ε 2 (I + X0 ) 2, er beviset ført. Tilbage til beviset: Det haves, at for alle κ med κ < δ 2 er ζ ρ(t (κ)) (det var på den måde mængden G var konstrueret). Specielt for κ = 0, altså ζ ρ(t ). Der haves og dermed Det skal altså vises, at T (κ) ζ = T ζ + A(κ) = (I + A(κ)R(ζ ))(T ζ ) R(ζ,κ) = R(ζ )[I + A(κ)R(ζ )]. f (κ) = [I + A(κ)R(ζ )] er analytisk for κ < δ 2. Der skal vises kompleks differentiabilitet i punktet κ valgt ovenfor. For h tilstrækkelig lille har vi f (κ + h) f (κ ) = ( [I + A(κ + h)r(ζ )] [I + A(κ )R(ζ )] ) h h = ([I + A(κ + h)r(ζ )] h ) (A(κ + h) A(κ ))R(ζ )[I + A(κ )R(ζ )]. Side 36
37 Afsnit.6: Singulariteter for resolventen Speciale Da A(κ) er differentiabel i κ, følger differentiabiliteten i κ af resolventen, ved at bruge kontinuiteten af den tidligere nævnte afbildning. Ved at lade h 0 fås således f (κ ) = [I + A(κ )R(ζ )] A (κ )R(ζ )[I + A(κ )R(ζ )] = f (κ )A (κ )R(ζ )f (κ )..6 SINGULARITETER FOR RESOLVENTEN Da resolventen har mindst én singularitet, kan der i henhold til Laurents sætning, sætning.4 udvikles en Laurentrække om hver singularitet. Laurentrækken for R(ζ) i ζ = λ h betragtes, idet det antages, at λ h = 0; det vil sige Koefficienterne A n er givet ved R(ζ) = n= ζ n A n. A n = ζ n R(ζ)dζ, (.23) Γ hvor Γ er en lille positivt orienteret cirkel, som omslutter ζ = 0, men ingen af de øvrige egenværdier for operatoren T. At A n har ovenstående form, ses ved indsættelse af R(ζ) i ovenstående udtryk, Γ ζ n ( k= ζ k A k )dζ = k= ( Γ ) ζ k n dζ A k = A n, idet Laurentrækken er uniformt konvergent på Γ, og der gælder, at Γ ζ k n dζ = {, n = k, 0, n k. (.24) Integralet i (.23) er uafhængigt af cirklen, blot den omkranser egenværdien ζ = 0 og ingen af de øvrige egenværdier. Cirklen Γ kan derfor erstattes af en lidt større cirkel Γ, uden at det ændrer værdien af integralet. Dermed fås ( A n A m = ( = ( = )( ) ζ n R(ζ)dζ ζ m R(ζ )dζ Γ Γ ) 2 ζ n ζ m R(ζ)R(ζ )dζdζ ) 2 Γ Γ Γ Γ ζ n ζ m (ζ ζ) [R(ζ ) R(ζ)]dζdζ, hvor det sidste lighedstegn følger af (.20). Følgende sætning er nyttig i forbindelse med videre omskrivninger af (.25) (.25) Side 37
38 Speciale Afsnit.6: Singulariteter for resolventen Sætning.44 Lad Γ være en positivt orienteret cirkel med centrum i ζ = 0, som er omsluttet af en anden positivt orienteret cirkel Γ med samme centrum. Da gælder der, at ζ n (ζ ζ) dζ = η n ζ n, Γ (.26) ζ m (ζ ζ) dζ = ( η m )ζ m, Γ hvor η j for j {n,m} er defineret som η j = {, j 0, 0, j < 0. Bevis: Det bemærkes, at ζ-værdierne ligger på cirklen Γ, mens ζ -værdierne ligger på cirklen Γ. Betragtes Γ ζ n (ζ ζ) dζ, (.27) ses det, at da ζ er en fast værdi, som ligger uden for cirklen Γ, har (ζ ζ) ingen singulariteter inden for cirklen Γ. Ydermere bemærkes det, at hvis n < 0 har ζ n ingen singulariteter i C. Dermed er integranden i (.27) analytisk og dermed holomorf inden for cirklen Γ, og der gælder derfor ifølge Cauchys integralsætning [AJ, s. 7, Corollary 4.5.], at ζ n (ζ ζ) dζ = 0, når n < 0. Γ Hvis n 0, gælder der, at ζ n har en singularitet i ζ = 0, som er inden for cirklen Γ. Dermed er ζ = 0 en pol af orden n + for integranden i (.27). Dette er samtidig den eneste pol indenfor cirklen Γ. Ifølge Cauchys residuesætning, [AJ, s. 30, Thereom 7.5 (Cauchy s residue theorem)], gælder der således, at Nu defineres Γ ζ n (ζ ζ) dζ = Res(ζ n (ζ ζ),0). H(ζ) = ζ n+ ζ n (ζ ζ) = (ζ ζ). Der haves ifølge metoden i punkt 3 fra [AJ, s. 3], at Res(ζ n (ζ ζ),0) = H (n) (0) n! = n!(ζ ζ) n n! = ζ n. ζ=0 Side 38
39 Afsnit.6: Singulariteter for resolventen Speciale Således haves Γ ζ n (ζ ζ) dζ = ζ n, når n 0, hvormed første del af (.26) er vist. Nu betragtes Γ ζ m (ζ ζ) dζ, (.28) hvor det bemærkes, at ζ nu er en fast værdi, som ligger inden for cirklen Γ. Derfor har (ζ ζ) en simpel pol i ζ = ζ. For m < 0, har ζ m ingen poler i C. Der vil således gælde, at Γ ζ m (ζ ζ) dζ = Res(ζ m (ζ ζ),ζ), og der gælder ifølge metoden i punkt fra [AJ, s. 30], at Res(ζ m (ζ ζ),ζ) = lim ζ ζ (ζ ζ)ζ m (ζ ζ) = ζ m. Altså haves ζ m (ζ ζ) dζ = ζ m, når m < 0. Γ Hvis m 0, har ζ m en pol af orden m + i ζ = 0, og integranden i (.28) har nu polerne ζ = ζ og ζ = 0. Derfor gælder der ifølge Cauchys residuesætning, [AJ, s. 30, Thereom 7.5 (Cauchy s residue theorem)], at Funktionen G(ζ ) defineres som Nu er Res(ζ m (ζ ζ),0) givet ved Dermed haves, at Γ ζ m (ζ ζ) dζ = Res(ζ m (ζ ζ),ζ) + Res(ζ m (ζ ζ),0). G(ζ ) = ζ m+ ζ m (ζ ζ) = (ζ ζ). Res(ζ m (ζ ζ),0) = G(m) (0) m! = ( )m m!(ζ ζ) m m! = ζ m. ζ =0 Γ ζ m (ζ ζ) dζ = ζ m ζ m = 0, når m 0, hvormed anden del af (.26) er vist. Side 39
40 Speciale Afsnit.6: Singulariteter for resolventen Der kan nu omskrives yderligere på (.25), således at der om A n A m gælder ( ) 2 A n A m = ζ n ζ m (ζ ζ) R(ζ )dζdζ Γ Γ ( ) 2 ζ n ζ m (ζ ζ) R(ζ)dζdζ Γ Γ = ζ m R(ζ ) ζ n (ζ ζ) dζdζ Γ Γ ζ n R(ζ) ζ m (ζ ζ) dζ dζ Γ Γ = η n ζ n m 2 R(ζ )dζ η m ζ n m 2 R(ζ)dζ Γ Γ = η n + η m ζ n m 2 R(ζ)dζ Γ = (η n + η m )A n+m+. Undervejs er det udnyttet, at integralet, som tidligere nævnt, er uafhængigt af cirklen, så længe den omslutter de samme egenværdier, samt (.23). Der gælder altså Når n = m =, opnås således, at hvilket er ækvivalent med A n A m = (η n + η m )A n+m+. (.29) A 2 = A ( A ) 2 = A (.30) Dermed er A en projektion, og den benævnes derfor P, dvs. P = A = R(ζ)d ζ. (.3) Ydermere haves der for n,m <, at ( A 2 ) 2 = A 3, ( A 2 ) 3 = A 2 ( A 2 ) 2 = A 2 A 3 = A 4,. Γ Sættes gælder der således, at A 2 = ζr(ζ)dζ = N, (.32) Γ A k = N k for k 2. Sættes A 0 = ζ R(ζ)dζ = D, Γ Side 40
41 Afsnit.6: Singulariteter for resolventen Speciale gælder der tilsvarende, at A n = D n+ for n 0. Laurentrækken for R(ζ) i ζ = 0 bliver dermed R(ζ) = n= ζ n A n = ζ A + ζ n A n + ζ n A n n= n= n=0 = ζ P ζ n N n + ζ n D n+. Betragtes nu Laurentrækken for resolventen i det generelle tilfælde hvor ζ = λ h, λ h 0, er singulariteten, fås R(ζ) = (ζ λ h ) P h n=0 (ζ λ h ) n N n h + (ζ λ h ) n D n+ h. (.33) n= Indsættes først n = og m = 2 og derefter n = 2 og m = i (.29), ses, at der gælder, at n=0 P h N h = ( A )( A 2 ) = A A 2 = A 2 = N h, N h P h = ( A 2 )( A ) = A 2 A = A 2 = N h. Tilsvarende gælder der for n = og m = 0 samt n = 0 og m =, at Af dette, og dermed P h D h = ( A )A 0 = 0, D h P h = A 0 ( A ) = 0. P h N j h = (P hn h )N j h N j h P h = N j h P h D j h = (P hd h )D j h D j h P h = D j h = N h N j h = N j h, (N h P h ) = N j N h h = N j h, = 0D j h = 0, (D h P h ) = D j 0 = 0, h samt (.30), P h P h = P h, ses det, at udtrykket i (.33) er en dekomposition af operatoren R(ζ) i henhold til dekompositionen X = M h M h, hvor M h = P h X og M h = (I P h)x. Leddet (ζ λ h ) P h (ζ λ h ) n N n h n= er principaldelen af Laurentrækken i en isoleret singularitet i ζ = λ h. Da resolventen er meromorf, ifølge Sætning.34, giver [Conway, s. 09,.8 Corollary] at principaldelen i Laurentrækken for resolventen er en endelig sum. Dette medfører så, at N h er en nilpotent operator. Det vil sige, at der ifølge [Axler, s. 67, 8.8 Corollary] gælder, at N m h h = 0, m h = dim M h = dimp h. Side 4
42 Speciale Afsnit.6: Singulariteter for resolventen Dette medfører, at leddet i udtryk (.33) kan reduceres til (ζ λ h ) P h (ζ λ h ) n N n h n= (ζ λ h ) m h P h (ζ λ h ) n N n h. (.34) n= Sætning.45 Operatorerne P h opfylder P h P k = δ hk P h, s P h = I, h= P h T = T P h. FiXme Dødelige: (skal den med?) Bevis: Det bemærkes, at P h = R(ζ h )dζ h, Γ h hvor Γ h er en positivt orienteret cirkel, som omkranser egenværdien λ h, jævnfør definitionen af P h i (.3) samt (.23). Cirklerne Γ h overlapper ikke hinanden for forskellige h og ligger heller ikke inden i hinanden for forskellige h, se Figur Dermed gælder, at ( P h P k = )( R(ζ h )dζ h ) R(ζ k )dζ k Γ h Γ k ( ) 2 = R(ζ h )R(ζ k )dζ k dζ h Γ h Γ k ( ) 2 = (ζ k ζ h ) (R(ζ k ) R(ζ h ))dζ k dζ h Γ h Γ k ( ) 2 = (ζ k ζ h ) R(ζ k )dζ k dζ h Γ h Γ k ( ) 2 (ζ k ζ h ) R(ζ h )dζ k dζ h Γ h Γ k ( ) 2 = R(ζ k ) (ζ h ζ k ) dζ h dζ k Γ k Γ h ( ) 2 R(ζ h ) (ζ k ζ h ) dζ k dζ h. Γ h Γ k Det bemærkes, at der ifølge [AJ, s. 28, Proposition 7.3] gælder, at Γ k (ζ k ζ h ) dζ k = 0, Side 42
Kompleks Funktionsteori
Kompleks Funktionsteori Formelræs Holomorfe funktioner Sætning. (Caucy-Riemans ligninger). Funktionen f : G C, f = u+iv er holomorf i z 0 = x 0 + iy 0 hvis og kun hvis i punktet (x 0, y 0 ). du dx = dv
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs merePolynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.
Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereJeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som
Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereSUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005
SUPPLERENDE OPGAVER TIL KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI F2005 0. maj, 2005 version nr. 8 JØRGEN VESTERSTRØM Indledende bemærkninger De foreliggende opgaver udgør et supplement til lærebogens opgaver. Afsnitsnummereringerne
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereDesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier
DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016
Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs mereTaylors formel. Kapitel Klassiske sætninger i en dimension
Kapitel 3 Taylors formel 3.1 Klassiske sætninger i en dimension Sætning 3.1 (Rolles sætning) Lad f : [a, b] R være kontinuert, og antag at f er differentiabel i det åbne interval (a, b). Hvis f (a) = f
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereSylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder
Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme
Læs mereKvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer
enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,
Læs mereModulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereMATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel
Juni 2000 MATEMATIK 11 Eksamensopgaver Juni 1995 Juni 2001, 4. fjerdedel Opgave 1. (a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen y 8y + 16y = 0. (b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen
Læs merez j 2. Cauchy s formel er værd at tænke lidt nærmere over. Se på specialtilfældet 1 dz = 2πi z
Matematik F2 - sæt 3 af 7 blok 4 f(z)dz = 0 Hovedemnet i denne uge er Cauchys sætning (den der står i denne sides hoved) og Cauchys formel. Desuden introduceres nulpunkter og singulariteter: simple poler,
Læs mereMat H /05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb
Mat H 1 2004/05 Note 2 10/11-04 Gerd Grubb Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for ekstremum, konkave og konvekse funktioner. Fremstillingen i Kapitel 13.1 2 af Sydsæters bog [MA1] suppleres her med
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mereFormelsamling - MatF2. Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009
Formelsamling - MatF2 Therkel Zøllner og Amalie Christensen 27. juni 2009 1 Indhold 1 Kompleks variabel teori 3 1.1 Komplekse funktioner 825-830........................... 3 1.2 Powerserier af komplekse
Læs mereAnalytisk perturbationsteori
master 2009/6/2 23:09 page # f Analytisk perturbationsteori for lineære operatorer JUNI 2009 Speciale af Mette Kristensen AALBORG UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATISKE FAG FREDRIK BAYERS VEJ 7 G, 9220 AALBORG
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes
Læs mereLineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mereMere om differentiabilitet
Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget
Læs mereLineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering
Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix
Læs meren=1 er veldefineret for alle følger for hvilke højresiden er endelig. F.eks. tilhører følgen
2 Hilbert rum 2. Eksempler på Hilbert rum Vi skal nu først forsøge at begrunde, at de indre produkt rum af funktioner eller følger, som blev indført i Kapitel, ikke er omfattende nok til vores formål.
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereJ n (λ) = dvs. n n-jordan blokken med λ i diagonalen. Proposition 1.2. For k 0 gælder. nullity (J n (λ) λi) k 1) 1 for 1 k n. n for k n.
. Jordan normalform Målet med dette notat er at vise hvorledes man ud fra en given matrix beregner dens Jordan normalform. Definition.. For n og λ C sættes λ 0... 0. 0 λ... J n λ).......... 0....... λ
Læs mere9.1 Egenværdier og egenvektorer
SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der
Læs mereMatricer og lineære ligningssystemer
Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereπ er irrationel Frank Nasser 10. december 2011
π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereForedrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 10. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 10. september 2018 Oversigt Relle tal Notation Tal Største og mindste element, mindste overtal og største undertal
Læs mereqwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå
qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd
Læs mereDesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer
DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum
Læs mereKomplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet
Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 5. Juni 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merei x-aksens retning, så fås ). Forskriften for g fås altså ved i forskriften for f at udskifte alle forekomster af x med x x 0
BAndengradspolynomier Et polynomium er en funktion på formen f ( ) = an + an + a+ a, hvor ai R kaldes polynomiets koefficienter. Graden af et polynomium er lig med den højeste potens af, for hvilket den
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mere1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier
MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,
Læs mere3.1 Baser og dimension
SEKTION 3 BASER OG DIMENSION 3 Baser og dimension Definition 3 Lad V være et F-vektorrum Hvis V = {0}, så har V dimension 0 2 Hvis V har en basis bestående af n vektorer, så har V dimension n 3 Hvis V
Læs mereAnalyse 1, Prøve 4 Besvarelse
Københavns Universitet Prøve ved Det naturvidenskabelige Fakultet juni 2011 1 Analyse 1, Prøve 4 Besvarelse Lad Opgave 1 (50%) M = {T R 2 T er en åben trekant} og lad A : M R være arealfunktionen, dvs.
Læs mereMASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merePolynomier af én variabel
enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af
Læs mereNoter om komplekse tal
Noter om komplekse tal Preben Alsholm Januar 008 1 Den komplekse eksponentialfunktion Vi erindrer først om den sædvanlige og velkendte reelle eksponentialfunktion. Vi skal undertiden nde det nyttigt, at
Læs mereVejledende besvarelse på august 2009-sættet 2. december 2009
Vejledende besvarelse på august 29-sættet 2. december 29 Det følgende er en vejledende besvarelse på eksamenssættet i kurset Calculus, som det så ud i august 29. Den tjener primært til illustration af,
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereSvar til eksamen i Matematik F2 d. 23. juni 2016
Svar til eksamen i Matematik F d. 3. juni 06 FORBEHOLD FOR FEJL! Bemærk, i modsætning til herunder, så skal det i besvarelsen fremgå tydeligt, hvordan polerne ndes og hvordan de enkelte residuer udregnes.
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merez + w z + w z w = z 2 w z w = z w z 2 = z z = a 2 + b 2 z w
Komplekse tal Hvis z = a + ib og w = c + id gælder z + w = (a + c) + i(b + d) z w = (a c) + i(b d) z w = (ac bd) + i(ad bc) z w = a+ib c+id = ac+bd + i bc ad, w 0 c +d c +d z a b = i a +b a +b Konjugation
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Januar 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Januar 19 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereProjekt 3.5 faktorisering af polynomier
Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan
Læs mereKursusgang 3 Matrixalgebra Repetition
Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem
Læs mereFunktioner af to variable
enote 15 1 enote 15 Funktioner af to variable I denne og i de efterfølgende enoter vil vi udvide funktionsbegrebet til at omfatte reelle funktioner af flere variable; vi starter udvidelsen med 2 variable,
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereDiMS 2010 Uge 7,
DiMS 2010 Uge 7, 18.10.10 24.10.10 Læsevejledning Emnerne i denne uge er polynomier og komplekse tal. De kan ikke siges at henhøre under diskret matematik som sådan og er ikke dækket af KBR, så vi skal
Læs mereTeoretiske Øvelsesopgaver:
Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere
Læs mereØlopgaver i lineær algebra
Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer
Læs mereMatematik for økonomer 3. semester
Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben
Læs mereLineær Algebra F08, MØ
Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder
Læs mereBesvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018
Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mere