Simulering af musklers strækrefleks
|
|
- Filippa Bundgaard
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Simulering af musklers strækrefleks Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005 Indhold 1. Introduktion 2. Teori 3. Analyse af muskel model 4. Analyse af spindel model 5. Simulering af strækrefleksen 1 Introduktion Simple bevægelser som sker uden hjernens medvirken kaldes reflekser. Disse ses, når vi f. eks. fanger et faldende objekt i hånden. Her trækker musklerne sig hurtigt sammen i en grad som lige netop er nok til at holde objektet stationært. Figur 1: Refleksbuen Som vist på ovenstående fig. 1, er der strækreceptorer i musklerne, som sender nerveimpulser tilbage til rygraden. Herfra sendes nerveimpulser tilbage til musklen, som derved trækker sig sammen. Trækker musklen sig for lidt sammen, vil musklen stadig udstrækkes, og strækreceptorerne sender flere impulser til musklen via rygraden. Herefter øges muskelkraften yderligere. Trækker musklen sig derimod for meget sammen afslappes strækreceptorerne og sender færre impulser til musklen via rygraden. Derved reduceres muskelkraften en smule. I dette projekt skal man ud fra givne mekaniske modeller for muskler og strækreceptorerne opstille matematiske modeller for disse og estimere de indgående modelparametre ud fra Mat1 04/05 side 1
2 målte data, som beskriver komponenternes karakteristika. Den samlede model for strækrefleksen benyttes til at simulere musklens reaktion på en ydre belastning ved hjælp af et computerprogram. Endelig undersøges følsomheden over for ændringen i modellens parametre. 2 Teori I eksperimenter, hvor musklen stadig sidder i et dyr eller menneske, er det sjældent muligt at måle en muskels længde direkte. Istedet måles den indirekte ved f.eks. at måle vinkeldrejningen i et led. I denne projektopgave vil vi undersøge hvorledes nedbøjning af en underarm foregår, når armen pludselig udsættes for en ydre belastning. Vi tænker os overarmen fikseret i vandret retning på bord, medens underarmen fastholdes, således at vinklen θ imellem overarm og underarm er på ca Underarmen påføres en pludelig belastning, hvorved vinklen forøges. Vi vil i det følgende opstille en matematisk model, der kan beskrive vinklen θ(t) som funktion af tiden t. Modellen bygger på et arbejde fra 1981 af John. F. Soechting et. al. [1] 2.1 Dynamisk model for underarm Figur 2: Belasningsmoment og drejningsvinkel I fig. 2 er vist underarmens belastning med en ydre vægt. En ligning til bestemmelse af drejningensvinklen θ(t), får vi ved at opstille impulsmomentsætningen omkring understøtningspunktet (albueleddet) M x (t) M(t) = J θ(t), (1) hvor M x (t) er momentet 1 fra belastningen. M(t) er momentet fra musklen på underarm. J er underarmens inertimoment 1 omkring albueleddet. θ(t) er vinklen imellem over- og underarm. 1 Christiansen, Both & Sørensen, MEKANIK, DTU 2000, p. 5-3 og p. 7-9 Mat1 04/05 side 2
3 2.2 Muskel signalets oprindelse Den neurale signalbane Figur 3: Snit gennem rygraden På fig. 3 ses et snit gennem rygraden. Strækreceptorens nerve (afferent axon) kommer ind bagest og forgrener sig i rygraden. En axon løber til hjernen og andre løber til motor-neuroner på samme og modsatte side. Figur 4: Motorisk enhed Motoraxonet leder impulser ud til musklen, hvor denne til sidst forgrener sig og innerverer mange muskelfibre, se fig. 4. En motoraxon og dens gruppe af muskelfibre kaldes en motorisk enhed. Man kan kun rekruttere muskelfibre i kvanter svarende til de motoriske enheder. Kraften kan dog gradueres kontinuert ved at ændre motoraxonernes impulsfrekvens [1]. Mat1 04/05 side 3
4 2.2.2 Musklens sammentrækningskraft Musklens sammentrækningskraft genereres af bøjelige arme i overlapningen mellem de tykke og tynde filamenter i muskelcellens myofibriler, se fig. 5. Figur 5: Myofibriler Figur 6: Elasticitet og friktion Udover en kraftgenerator indeholder musklen også elasticitet som antydet i fig. 6. Denne elasticitet er jævnt fordelt over hele musklens længde. Endelig frembringer de bøjelige fangarme en friktion, som er lille i en afslappet muskel (få påhæftede fangarme) og større i en anspændt muskel [1]. 2.3 Muskelmodellen Figur 7: Neuromuskulær refleksmodel Musklen kan modelleres med tre mekaniske komponenter, som vist i fig. 7 : 1. En kraftgenerator M 0 (t) som styres af motoraxonets impulsfrekvens. 2. En dæmper B, som repræsenterer viskøs dæmpning i myoplasmaet. Ved små variationer af muskelkraften kan dæmpningskoefficienten B antages at være konstant. 3. En fjeder k, som repræsenterer muskelvævets elasticitet. Mat1 04/05 side 4
5 Indføres hjælpevariablen θ 1 (t), se fig. 7, bliver de styrende ligninger for muskelmodellen og M(t) = k (θ(t) θ 1 (t)) (2) M(t) = M 0 (t) + B θ 1 (t) (3) hvor M 0 (t) er momentet, som musklen udøver under isometriske betingelser. Kraftgeneratoren M 0 (t) er repræsenteret som en funktion af tiden, da den styres af alfa motorneuronernes impulsfrekvens. 2.4 Musklens føleorganer Muskel receptorer Figur 8: Musklens receptorer Musklen indeholder to typer af føleorganer, se fig. 8: 1. Kraftreceptorer ( seneorgan ), som er placeret i musklens sener. 2. Længde- og hastighedsreceptorer ( spindel ), der sidder parallelt med muskelfibrene. Specielt om spindlerne gælder der at der findes spindler i én muskel at hver spindel indeholder 2-12 miniature muskelfibre, der er indkapslet i bindevæv (intrafusal fibers) I dette projekt vil vi udelade seneorganet. Mat1 04/05 side 5
6 2.4.2 Spindlens anatomi Figur 9: Aktivering af muskelspindel Når spindlerne strækkes ud, se fig.9, er det de myofibrilløse områder (equatorialregionerne), som strækkes. De spiralformede nervetråde strækkes, hvorved nerveimpulser genereres og sendes til rygraden. For at virke som længdereceptor skal ekvatorialregionen altid være udspændt uanset muskellængde Spindel model Figur 10: Muskel spindelmodel Det antages nu, at de afferente nerver, se fig. 3, genererer nerveimpulser med en frekvens, som er proportional med eqkvitorialregionens udspænding. Musklens aktive kraft er derfor proportional med nerveaxonets impulsfrekvens. Indføres hjælpevariablen θ 2 (t), se fig. 10, kan det neurale signal M 0 (t) fra spindlen skrives hvor β kaldes den afferente skalering. M 0 (t) = β(θ(t) θ 2 (t)) (4) Ved afkortning af muskellængden skal spindlernes polære regioner afkortes tilsvarende for at opretholde en udspændt equatorialregion. Dette sikres ved hjælp af de efferente axoner (gamma- og beta-axoner vist i fig. 9), som aktiverer de kontraktile elementer i spindlerne. Mat1 04/05 side 6
7 Polarregionerne modelleres, se fig. 10, med en kraftgenerator med værdien Γ 0 siddende parallelt med en viskøs dæmper med dæmpningskoefficienten B s, der repræsenterer friktionen, samt en fjeder med stivheden k sp, der repræsentere elasticiteten. Disse elementer er serieforbundet med en fjeder med stivheden k ss, der repræsenterer elasticiteten i equatorialregionen, se fig. 10. Disse sammenhænge kan udtrykkes ved ligningerne og M s (t) = k ss (θ(t) θ 2 (t)) (5) M s (t) = Γ 0 + B s θ 2 (t) + k sp θ 2 (t), (6) 3 Analyse af muskel model Den matematiske model, som vi skal arbjede med i de følgende afsnit, er nærmere behandlet i et afsnit i en lærebog om kontrolteori af Michael C.K.Khoo [2]. De grundlæggende ligninger (1-3) i muskelmodellen er givet på side 2 og på side Udled en differentialligning i albueleddets drejningsvinkel θ(t) udtrykt ved funktionerne M x (t) og M 0 (t). Vi indfører nu vinkelhastigheden ω(t) ved ligningen derved får differentialligningen fra spørgsmål 1 formen ω(t) = θ(t), (7) ω(t) + k B ω(t) + k J ω(t) = k J f (t), (8) hvor f (t) er en funktion, der afhænger af funktionerne M x (t) og M 0 (t). 2. Indfør vinkelhastigheden ω(t) i differentialligningen fra spørgsmål 1, og bring denne på formen givet ved ligning (8). Bestem derved f (t) udtrykt ved M x (t) og M 0 (t). 3. Opskriv karakterligningen for differentialligningen (8) og find rødderne. 4. Find den fuldstændige løsning til den homogene differentialligning hørende til ligning (8), når følgende talværdier er givet: J = 1/10, k = 80 og B = 2. Bestem dernæst den partikulære løsning, der opfylder (ω(0), omega(0) = 0) = (1,0), og plot løsningen ved hjælp af MAPLE. Systemet tænkes nu påvirket til tiden t = 0 med en ydre påvirkning, således at f (t) = E(t), hvor E(t) er en stepfunktion (Heavisides enhedsspring) givet ved Mat1 04/05 side 7
8 { 0, t < 0 E(t) = 1, t > 0. (9) Det inhomogene led i ligning (8) kan skrives q inh (t) = k J f (t) I ethvert interval, hvor q inh (t) er kontinuert, ved vi fra eksistens- og entydighedsætningen 2 for differentialligninger, at løsningen ω(t) er kontinuert og har kontinuerte afledede af 2. orden. Hvis f (t) = E(t), bliver q inh (t) stykvis kontinuert, hvilket betyder, at nogle af de afledede for ω(t) ikke behøver at være kontinuerte for t = 0. Vi antager, at der eksisterer en løsning ω(t) til differentialligningen (8) i hele intervallet < t < +. For at undersøge kontinuitets- og differentiabilitetsforholdene for t = 0, ser vi på løsningerne i hvert af intervallerne t < 0 og t > 0 ved at sætte ω(t) = { ω (t), t < 0 ω + (t), t > 0. Vi skal så bagefter stykke de to løsninger ω (t) og ω + (t) sammen for t = 0. Hvad sker der med løsningen ω + (t) for t = 0? For at besvare dette spørgsmål, integrerer vi differentialligningen (8) i et lille interval omkring t = Vis, at for f (t) = E(t) gælder følgende betingelser for ω (t) og ω + (t) ω + (0) = ω (0), ω + (0) = ω (0) ved at integrere differentialligningen (9) et passende antal gange i intervallet [ ε,+ε], ε > 0, omkring t = 0, og dernæst lade ε 0. Hvad bliver værdien af ω + (0) ω (0)? 6. Find for f (t) = E(t) løsningen (stepresponset) til den inhomogene ligning (8), når systemet er i hvile for t < 0, og når talværdierne fra spørgsmål 4 benyttes. Plot løsningen ved hjælp af MAPLE. I virkeligheden kendes kun værdien J = 0.1 for inertimomentet, medens værdierne af størrelserne k og B er ubekendte. Disse størrelser må derfor måles. I fig. 11 på næste side er vist det målte steprespons for ω(t), svarende til f (t) = E(t). 7. Benyt det målte steprespon fra fig. 11 til at estimere værdier for dæmpningen B og elasticitet k, når det antages, at inertimomentet. Vink: Udled et udtryk for værdien af stepresponset i maksimum og det tilhørende tidspunkt udtrykt ved k og B. 2 Helge Elbrønd Jensen, Matematisk Analyse 1, DTU 2000, sætning 5.1, p.5.2 Mat1 04/05 side 8
9 8. Check (evt. ved brug af MAPLE), at de estimerede parameterværdier for B og k giver det målte steprespons Figur 11: Måling af steprespons fra muskel 4 Analyse af spindelmodel I det følgende vil vi alene betragte spindelen. De grundlæggende ligninger (4-6) i spindelmodellen er givet i afsnit Ved at eliminere størrelserne M s (t) og θ 2 (t) af ligningerne kan man opnå følgende ligningen i M 0 (t) hvor τ og η er konstanter defineret ved Ṁ 0 (t) + 1 τ M 0(t) = β ητ θ(t) + β θ(t) + β B s Γ 0, (10) τ = B s k ss + k sp, η = k ss + k sp k sp. (11) 9. Udled differentialligningen givet i (10). 10. Argumentér for, at man i studiet af en muskelrefleks kan se bort fra leddet med det efferente input Γ 0 til spindlen. Spindelen tænkes nu påvirket til tiden t = 0 med en ydre påvirkning, idet θ(t) pludselig springer med værdien 1, således at θ(t) = E(t), hvor E(t) er stepfunktionen givet i (9). Det inhomogene led q inh (t) i ligning (10) er givet ved Mat1 04/05 side 9
10 q inh (t) = β ητ θ(t) + β θ(t) q inh (t) ikke defineret for t = 0, da leddet θ(t) ikke eksisterer for t = 0. Det betyder, at M 0 (t) ikke er differentiable for t = 0.Vi ser derfor på løsningen M 0 (t) i hvert af intervallerne t < 0 og t > 0, og sætter M 0 (t) = { M0 (t), t < 0 M 0+ (t), t > Vis, at for θ(t) = E(t) springer funktionen M 0 (t) med beløbet β for t = 0, d.v.s., at der gælder følgende begyndelsesbetingelser. M 0+ (0) M 0 (0) = β. Vink: Benyt samme fremgangsmåde som spørgsmål 5, d.v.s.integrér differentialligningen (10) omkring t = 0. Udled dernæst et bogstavudtryk for stepresponset for M 0 (t) Figur 12: Måling af steprespons fra spindel I fig.12 er vist det målte steprespons for M 0 (t) svarende til θ(t) = E(t). 12. Sammenhold det udledte udtryk med det målte steprespons i fig. 12, og estimér derved værdier for β, η og τ. Mat1 04/05 side 10
11 5 Simulering af strækrefleksen Vi vil nu arbejde med den fulde model. Ud fra ligningerne (8) og (10) kan følgende system af samhørende differentialligninger opstilles i albueleddets drejningsvinkel θ(t) og belastningens drejningsmoment M x (t).... θ(t) + k B θ(t) + k J θ(t) = k ( M x (t) M 0 (t) + 1 ) BJ J Ṁx(t), (12) Ṁ 0 (t) + 1 τ M 0(t) = β ητ θ(t) + β θ(t). (13) Vi ser, at at koefficienterne til de ubekendte funktioner θ(t) og M 0 (t) og deres afledede er konstanter. Leddene med M x (t), der optræder på højre siden i ligning (12) repræsenterer det inhomogene led q inh (t), bestemt ved q inh (t) = k BJ M x(t) + B k Ṁx(t), (14) Vi tænker os nu, at belastningens drejningsmoment M x (t) for t = 0 momentant øges med 5Nm, svarende til at M x (t) = { 0, t < 0 5, t > 0. Indsættes udtrykket for M x (t) i (14) får vi { 0, t < 0 q inh (t) = 5 BJ k, t > 0. q inh (t) er ikke defineret for t = 0, da leddet Ṁ x (t) ikke eksisterer for t = 0. Det betyder, at nogle af de afledede for θ(t) ikke er differentiable for t = 0. Vi ser på løsningerne θ(t) og M 0 (t) i hvert af intervallerne t < 0 og t > 0, og sætter θ(t) = { θ (t), t < 0 θ + (t), t > 0, M 0 (t) = { M0 (t), t < 0 M 0+ (t), t > Vis, at funktionerne θ(t), θ(t) og M 0 (t) alle er kontinuerte for t = 0, d.v.s., at der gælder følgende begyndelsesbetingelser θ + (0) = θ (0), θ + (0) = θ (0), M 0+ (0) = M 0 (0). Vink: Benyt samme fremgangsmåde som spørgsmål 5, d.v.s.integrér differentialligningerne (12) og (13) et passende antal gange omkring t = 0. Vis endvidere, at θ(t) springer for t = 0, og bestem værdien for θ + (0) θ (0). Mat1 04/05 side 11
12 14. Løs differentialligningssystemet (12,13 ), og plot θ(t) som funktion af tiden. Vink: Benyt dsolve i MAPLE til at løse ligningssystemet numerisk. 15. Undersøg konsekvensen af at mindske eller øge β eller η med 50 % 16. Undersøg effekten af at ændre andre af modelparametrene. 6 Ekstra spørgsmål: Stabilitetsundersøgelse For at undersøge stabiliteten af muskel-spindel systemet omskrives det koblede differentialligningssystem givet i (8) og (10) til et system af 4 første ordens differentialligninger på formen ż(t) = Az(t) + R(t) (15) hvor z(t) er en vektor, der indeholder θ(t) og dens afledede. Systemmatricen A er en konstant 4 4 matrix, og R(t) er en søjlevektor, der kun afhænger af M x (t). 17. Omskriv det koblede differentialligningssystem givet i (9) og (10) på formen givet i ligning (15) udtrykt ved bogstaverne k, J, B, β og η. 18. Opstil det karakteristiske polynomium p(λ) til for A på formen p(λ) = λ 4 + a 1 λ 3 + a 2 λ 2 + a 3 λ + a 4, (16) hvor koefficienterne a 1, a 2, a 3 og a 4 er udtrykt ved konstanterne k, J, B, β og η. Rødderne i det karakteristiske polynomium har i almindelighed den komplekse form λ = a + i b. Den tilhørende løsning til differentialligningssytemet vil da indeholde tidsfunktionen e (a+ib)t = e at (cos(bt) + sin(bt)) (17) Hvis Re(λ) = a > 0 vil løsningen ikke være begrænset når t, og differentialligningssystemet siges at være ustabilt. Omvendt, hvis Re(λ) = a < 0 vil løsningen gå mod nul når t, og differentialligningssystemet siges at være asymptotisk stabilt. 19. Benyt MAPLE til at finde et udtryk for rødderne λ i p(λ), og undersøg dernæst om der findes værdier for k, J, B, β og η, hvor løsningen θ(t) er ustabil? Vink: Man kan f.eks.holde tre af parametrene fast og lade MAPLE plotte realdelen af λ som funktion af de to resterende parametre. En mere systematisk måde at undersøge om et polynomium har rødderne beliggende i den venstre del af den komplekse plan er ved hjælp af Routh-Hurwitz metode. Ved denne metode kan man alene ud fra kendskabet til polynomiets koefficienter a 1, a 2, a 3 og a 4 sige noget om stabiliteten i systemet. Metoden er nærmere beskrevet i Matematisk Analayse Benyt Routh-Hurwitz metode til at sige noget om stabliliteten for løsningerne til differentialligningssystemet (15) og sammenlign med resultaterne fundne i spørgsmål M.P.Bendsøe,W.Kliem: Matematisk Analyse 3, DTU 2000, p Mat1 04/05 side 12
13 Litteratur [1] JF Soechting and F Lacquaniti, Journal of Neuroscience, Vol 1, , Copyright l 1981 by Society for Neuroscience [2] Michael C.K. Khoo, Physiological Control Systems. Analysis, Simulation, and Estimation. IEEE Press Series in Biomedical Engineering.Section 4.7. Mat1 04/05 side 13
Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer
Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system
Læs mereChapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning
Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereReaktionskinetik - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære differentialligninger. Køreplan
Reaktionskinetik - lineære og ikke-lineære differentialligninger Køreplan 1 Baggrund På 2. eller 4. semester møder kemi/bioteknologi studerende faget Indledende Fysisk Kemi (26201/26202). Her behandles
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereTemaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger
Temaøvelse i differentialligninger Biokemiske Svingninger Rev. 12. november 2009 I denne temaøvelse studerer vi en simpel model for gærglykolyse. Vi starter i Del 1 med at beskrive modellen. Denne model
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge Forår 0 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En differentialligning,
Læs mereKoblede differentialligninger.
2. 3. 4. Koblede differentialligninger. En udvidelse af Newtons afkølingslov løst numerisk ved hjælp af integralkurver. Sidste gang så vi på, hvordan vi kunne opstille og løse en model for afkølingen af
Læs mereLineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter
enote 13 1 enote 13 Lineære 2. ordens differentialligninger med konstante koefficienter I forlængelse af enote 11 og enote 12 om differentialligninger, kommer nu denne enote omkring 2. ordens differentialligninger.
Læs mereNøgleord og begreber. Definition 15.1 Den lineære 1. ordens differentialligning er
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereDesignMat Lineære differentialligninger I
DesignMat Lineære differentialligninger I Preben Alsholm Uge 9 Forår 2010 1 Lineære differentialligninger af første orden 1.1 Normeret lineær differentialligning Normeret lineær differentialligning En
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 15, 16, 17 Nøgleord og begreber 1. ordens lineær ligning Løsningsmetode August 2002, opgave 7 1. ordens lineært system Løsning ved egenvektor Lille opgave Stor opgave
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereDen homogene ligning. Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning. d n y dt n. an 1 + any = 0 (1.2) dt. + a1 d n 1 y dt n 1
1/7 Den homogene ligning Vi betragter den n te ordens, homogene, lineære differentialligning a 0 d n y dt n + a1 d n 1 y dt n 1 hvor a 0,..., a n R og a 0 0. Vi skriver ligningen på kort form som + + dy
Læs mereFørsteordens lineære differentialligninger
enote 16 1 enote 16 Førsteordens lineære differentialligninger I denne enote gives først en kort introduktion til differentialligninger i almindelighed, hvorefter hovedemnet er en særlig type af differentialligninger,
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,
Læs mereDet teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C
Det teknisk-naturvidenskabelige basisår Matematik 1A, Efterår 2005, Hold 3 Prøveopgave C Opgaven består af tre dele, hver med en række spørgsmål, efterfulgt af en liste af teorispørgsmål. I alle opgavespørgsmålene
Læs mereDESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til.
DESIGNMAT FORÅR 2012: UGESEDDEL 13 INSTITUT FOR MATEMATIK 1. Forberedelse Læs alle opgaverne fra tidligere ugesedler, og læg særlig mærke til dem du har spørgsmål til. 2. Aktiviteter mandag 13 17 2.1.
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereMatematik A STX 18. maj 2017 Vejledende løsning De første 6 opgaver løses uden hjælpemidler
ADVARSEL! Før du anvender løsningerne, så husk at læs betingelserne for løsningerne, som du kan finde på hjemmesiden. Indeholder: Matematik A, STX 18 maj Matematik A, STX 23 maj Matematik A, STX 15 august
Læs mereLektion 13 Homogene lineære differentialligningssystemer
Lektion 13 Lineære differentialligningssystemer Homogene lineære differentialligningssystemer med konstante koefficienter Inhomogene systemer To-kammer modeller Lotka Volterra (ikke lineært) 1 To-kammer
Læs mereOpholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer
Opholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Introduktion Strømningsmønsteret i kemiske reaktorer modelleres ofte gennem to ydertilfælde, Ideal stempelstrømning, hvor
Læs mereDesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof
DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P
Læs mereBASE. Besvarelse til individuel skriftlig test
BASE Besvarelse til individuel skriftlig test Tirsdag d. 21. marts 2006 Tinne Hoff Kjeldsen Bitten Plesner 1 Opgave 1 Vandet i en pool med et volumen på 10.000 gallon indeholder 0,01% klor. Til tiden t
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereTheory Danish (Denmark) Ikke-lineær dynamik i elektriske kredsløb (10 point)
Q2-1 Ikke-lineær dynamik i elektriske kredsløb (10 point) Læs venligst de generelle instruktioner i den separate konvolut før du starter på opgaven. Introduktion Bi-stabile ikke-lineære halvlederkomponenter
Læs mereDesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II
DesignMat Uge 5 Systemer af lineære differentialligninger II Preben Alsholm Efterår 21 1 Lineære differentialligningssystemer 11 Lineært differentialligningssystem af første orden Lineært differentialligningssystem
Læs mereLineære 1. ordens differentialligningssystemer
enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære
Læs mereLektion 12. højere ordens lineære differentiallininger. homogene. inhomogene. eksempler
Lektion 12 2. ordens lineære differentialligninger homogene inhomogene eksempler højere ordens lineære differentiallininger 1 Anden ordens lineære differentialligninger med konstante koefficienter A. Homogene
Læs mereBesvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1
Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.
Læs mereI kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen
S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary
Læs mereAffine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2
Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket
Læs mereGamle eksamensopgaver (DOK)
EO 1 Gamle eksamensopgaver ) Opgave 1. sommer 1994, opgave 1) a) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen x 6x + 9x =. b) Find den fuldstændige løsning til differentialligningen Opgave 2.
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereFysik 2 - Oscillator. Amalie Christensen 7. januar 2009
Fysik 2 - Oscillator Amalie Christensen 7. januar 2009 1 Indhold 1 Forsøgsopstilling 3 2 Forsøgsdata 3 3 Teori 4 3.1 Den udæmpede svingning.................... 4 3.2 Dæmpning vha. luftmodstand..................
Læs mereFordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker
Fordybelsesprojekt Matematik 2, forår 2005 Potensrækker Arne Jensen 7. 11. marts 2005 1 Indledning I forbindelse med kurset i Reelle og Komplekse Funktioner afholdes et fordybelsesprojekt med et omfang
Læs mereDosering af anæstesistoffer
Dosering af anæstesistoffer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Formål Formålet med opgaven er at undersøge hvordan man kan opnå kendskab til koncentrationen af anæstesistoffer i vævet på en person
Læs mereNøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [LA] 14, 15 Nøgleord og begreber Separable ligninger 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens lineært system Opgave Calculus 2-2005
Læs merePolynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6
Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereFra spild til penge brug enzymer
Fra spild til penge brug enzymer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2010 Denne projektplan er udarbejdet af Per Karlsson og Kim Knudsen, DTU Matematik, i samarbejde med Jørgen Risum, DTU Food. 1 Introduktion
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær Eksamen Juni 2019
Besvarelser til Calculus Ordinær Eksamen - 14. Juni 2019 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs merePrøveeksamen MR1 januar 2008
Skriftlig eksamen Matematik 1A Prøveeksamen MR1 januar 2008 Tilladte hjælpemidler Alle sædvanlige hjælpemidler er tilladt (lærebøger, notater, osv.), og også elektroniske hjælpemidler som lommeregner og
Læs mereKomplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013
Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereC R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen
Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereVektorfelter. enote Vektorfelter
enote 24 1 enote 24 Vektorfelter I enote 6 indføres og studeres vektorer i plan og rum. I enote 16 ser vi på gradienterne for funktioner f (x, y) af to variable. Et gradientvektorfelt for en funktion af
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier
Læs mereKonstruktion af Splines
Konstruktion af Splines Svend Daugaard Pedersen 29 maj 2011 Indhold 1 Hvad er en spline? 1 2 Matematisk behandling af en spline 1 3 Den naturlige spline 2 4 Andre splines 4 5 Tilpasset spline 4 6 Afslutning
Læs mereHjernens glukoseomsætning
Hjernens glukoseomsætning Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Indhold 1. Introduktion 2. Teori 3. Matematisk model 4. Teoretiske overvejelser 5. Behandling af måledata 6. Bestemmelse af modelparametrene
Læs merePrøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar
Første studieår Introduktion til matematiske metoder Prøveeksamen december 2010 matematik studiet med svar Varighed: 4 timer Tilladte hjælpemidler: Lærebøger, notater mv. må medbringes. Ikke tilladte hjælpemidler:
Læs mereDynamik. 1. Kræfter i ligevægt. Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik.
M4 Dynamik 1. Kræfter i ligevægt Overvejelser over kræfter i ligevægt er meget vigtige i den moderne fysik. Fx har nøglen til forståelsen af hvad der foregår i det indre af en stjerne været betragtninger
Læs mereTræning med elastik. Øvelser for albue, hånd og skulder
Træning med elastik Øvelser for albue, hånd og skulder Finn Johannsen, speciallæge i reumatologi, fysiurgi og idrætsmedicin Speciallægepraksis, Stavnsholtvej 33, 3520 Farum Træning med elastik Træning
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereDesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.
er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).
Læs mereTaylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel
enote 4 1 enote 4 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 19 og enote 21 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier i
Læs mereOversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2
Oversigt [S] 7.3, 7.4, 7.5, 7.6; [DL] 1, 2 Her skal du lære om Separable ligninger Logistisk ligning og eksponentiel vækst 1. ordens lineær ligning August 2002, opgave 7 Rovdyr-Byttedyr system 1. ordens
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereHøjere Teknisk Eksamen maj 2008. Matematik A. Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING. Undervisningsministeriet
Højere Teknisk Eksamen maj 2008 HTX081-MAA Matematik A Forberedelsesmateriale til 5 timers skriftlig prøve NY ORDNING Undervisningsministeriet Fra onsdag den 28. maj til torsdag den 29. maj 2008 Forord
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 019 Opgave 1 (6 point) En
Læs mereEksamen i Calculus. 14. juni f (x, y, z) = 1 + x 2 + y 2. x 2 + y 2 1 Hele rummet uden z aksen
Eksamen i Calculus Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design, Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 14. juni 19 Opgave 1 (6 point) En funktion
Læs mereKønsproportion og familiemønstre.
Københavns Universitet Afdeling for Anvendt Matematik og Statistik Projektopgave forår 2005 Kønsproportion og familiemønstre. Matematik 2SS Inge Henningsen februar 2005 Indledning I denne opgave undersøges,
Læs mereLineære ligningssystemer
enote 6 1 enote 6 Lineære ligningssystemer Denne enote handler om lineære ligningssystemer, om metoder til at beskrive dem og løse dem, og om hvordan man kan få overblik over løsningsmængdernes struktur.
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereNoter til Computerstøttet Beregning Taylors formel
Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mere12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen
SEKTION 12.1 CAYLEY-HAMILTON-SÆTNINGEN 12.1 Cayley-Hamilton-Sætningen Sætning 12.1.1 (Cayley-Hamilton) Lad A Mat n,n (C). Så gælder p A (A) =. Sætningen gælder faktisk over et vilkårligt legeme, men vi
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereReeksamen i Calculus
Reeksamen i Calculus Torsdag den 11. august 2011 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereImpuls og kinetisk energi
Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse
Læs mereEgenværdier og egenvektorer
enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier
Læs mereDifferentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1
Differentialligninger med TI Nspire CAS version 3.1 Der er tilføjet en ny graftype til Graf værkstedet kaldet Diff lign. Denne nye graftype er en implementering af differentialligningerne som vi kender
Læs mereMatematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011
Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til
Læs mereLokalt ekstremum DiploMat 01905
Lokalt ekstremum DiploMat 0905 Preben Alsholm Institut for Matematik, DTU 6. oktober 00 De nition Et stationært punkt for en funktion af ere variable f vil i disse noter blive kaldt et egentligt saddelpunkt,
Læs mereFunktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007
Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.
Læs mereUge 11 Lille Dag. Opgaver til OPGAVER 1. Det ortogonale komplement
OPGAVER 1 Opgaver til Uge 11 Lille Dag Opgave 1 Det ortogonale komplement a) I R 2 er der givet vektoren (3, 7). Angiv en basis for det ortogonale komplement. b) Find i R 3 en basis for det ortogonale
Læs mereDer hænger 4 lodder i et fælles hul på hver side af en vægtstang. Hvad kan du sige med hensyn til ligevægt?:
1 At skabe ligevægt Der er flere måder hvorpå man med lodder som hænger i et fælles hul på hver sin side af en vægtstang kan få den til at balancere - at være i ligevægt. Prøv dig frem og angiv hvilke
Læs mereMatematik A-niveau Delprøve 1
Matematik A-niveau Delprøve 1 Opgave 1 løsning: Andengradsligningen løses: x 2 + 2x 35 = 0 Den løses for diskriminanten. d = b 2 4ac Tallene indsættes. d = 2 2 4 1 ( 35) = 144 Vi regner for x. x = b ±
Læs mereDesignMat Uge 11 Lineære afbildninger
DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen
Læs mereRKS Yanis E. Bouras 21. december 2010
Indhold 0.1 Indledning.................................... 1 0.2 Løsning af 2. ordens linære differentialligninger................ 2 0.2.1 Sætning 0.2............................... 2 0.2.2 Bevis af sætning
Læs mereMaj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål)
Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her
Læs mereDesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof
DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Tirsdag den 27. maj 2014 kl Digital eksamensopgave med adgang til internettet. 2stx141-MATn/A
Matematik A Studentereksamen Digital eksamensopgave med adgang til internettet 2stx141-MATn/A-27052014 Tirsdag den 27. maj 2014 kl. 09.00-14.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereEksempel på 2-timersprøve 2 Løsninger
Eksempel på -timersprøve Løsninger Preben lsholm Februar 4 Opgave Maplekommandoerne expand( (z-*exp(i*pi/))*(z-*exp(-i*pi/))*(z-exp(i*pi/))*(z-exp(-i*pi/))): sort(%); resulterer i polynomiet z 4 z + z
Læs mereHans J. Munkholm: En besvarelse af
Hans J. Munkholm: En besvarelse af Projekt for MM501, Lineære differentialligninger November-december 2009 Nummererede formler fra opgaveformuleringen Her samles alle opgavens differentialligninger og
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 2
Opgaver uge 2 I denne uge kigger vi nærmere på Cauchy-Riemann betingelserne, potensrækker, konvergenskriterier og flertydige funktioner. Vi skal også se på integration langs en ve i den komplekse plan.
Læs mere