2. Syllogismerne og den klassiske logik
|
|
- Agnete Kjeldsen
- 8 år siden
- Visninger:
Transkript
1 2. Syllogismerne og den klassiske logik Tænk på det dygtigste menneske, du kender, foreslog logikeren A. N. Prior i et BBC-foredrag om logik i Der er noget vedkommende ikke kan gøre, fortsatte Prior. Beviset for det er simpelt: Personen kan enten binde en knude, som han ikke kan binde op igen, eller også kan han ikke. Hvis han ikke kan det, er der altså noget, han ikke kan gøre. Hvis han kan det, kan han altså ikke binde enhver knude op, som han kan binde. Under alle omstændigheder er der altså noget, han ikke kan gøre. - Det er da logik! Et af det moderne menneskes vigtigste idealer er rationaliteten. Et argument som Priors gør indtryk på os, og vi godkender på det grundlag (efter den sædvanlige nåh ja -oplevelse), at selv det dygtigste menneske har sine begrænsninger. Vi lægger i det hele taget stor vægt på at kunne tænke fornuftigt. Vi forlanger af vore medmennesker, at de skal træffe forstandige beslutninger, ligesom vi mener selv at gøre det. Men hvad vil det egentlig sige at afgøre og begrunde noget rationelt? Hvilke påstande er fornuftige eller logisk holdbare og hvilke ikke? Vi kan slet ikke klare os uden et begreb om det rationelle eller det fornuftige. Vi skal kunne argumentere for os. Det gælder ikke mindst i debatten om samfundsspørgsmål. Vi diskuterer om, hvad der i mangfoldige forskellige sammenhænge er det bedste, det retfærdige eller det nødvendige. Som regel vil vi hævde, at netop vor mening om sagen er den mest rimelige. For at overbevise andre om det, skal vi bruge gode argumenter. Et godt argument må være virkningsfuldt, d.v.s. det skal fungere, når man vil overbevise modparten. Et argument består af et antal præmisser og konklusion. Præmisserne skal have en sådan karakter, at de kan accepteres af tilhøreren. Argumentet er korrekt (gyldigt), hvis antagelse af præmisserne nødvendigvis medfører konklusionen. Betragt f. eks. argumentet: Alle fugle lægger æg Flagermus lægger ikke æg Nogle hvirveldyr, der kan flyve, er flagermus Ergo: Nogle hvirveldyr, der kan flyve, er ikke fugle 21
2 Dette argument vil nok kunne overbevise en person, som mener, at alle flyvende hvirveldyr er fugle, om at han bør skifte mening. Men det forudsætter, at han accepterer de tre præmisser og godtager, at konklusionen følger af præmisserne. Vi skal senere vende tilbage til det vanskelige forhold mellem logisk argumentation og personlig overbevisning. Her skal vi koncentrere os om selve den logiske gyldighed. Det er klart, at det i den forbindelse ville være velkomment, hvis der var hjælpemidler til rådighed, som kunne gøre det lettere at skelne mellem gyldige og ugyldige argumenter. Det viser sig, at Aristoteles såkaldte syllogistik kan netop siges at imødekomme et sådant behov. Lad os derfor se lidt nærmere på denne vigtige del af den klassiske logik. I den aristoteliske logik var syllogismen en logisk slutning fra to præmisser til én konklusion. I dens klassiske form kunne præmisserne i syllogismen opdeles i fire typer, eftersom der kunne være tale om bekræftende eller benægtende, og om universelle eller partielle udsagn. De bekræftende blev i middelalderen kaldt henholdsvis a- og i-udsagn efter vokalerne i det latinske affirmo (: jeg bekræfter ), mens de benægtende blev kaldt henholdsvis e- og o- udsagn efter det latinske nego (: jeg benægter ). Altså: a(s,p) alle S er P (universelt, bekræftende) i(s,p) nogle S er P (partielt, bekræftende) e(s,p) alle S er ikke P (universelt, benægtende) o(s,p) nogle S er ikke P (partielt, benægtende) Bemærk, at e(s,p) efter behag kan læses alle S er ikke P og (ækvivalent dermed) ingen S er P. Lad os tage nogle eksempler: a(svane,hvid) i(dansker,klog) e(kvadrat,cirkel) o(firkant,kvadrat) Alle svaner er hvide Nogle danskere er kloge Ingen kvadrater er cirkler Nogle firkanter er ikke kvadrater 22
3 Traditionelt illustreres forholdet mellem de fire grundtyper af udsagn med nedenstående skema. Det fremgår heraf, at a- og o- udsagn er hinandens kontradiktioner (negationer). Det samme gælder for e- og i-udsagn. ALLE S ER P K O N T R Æ R E INGEN S ER P SUB- KON- RISKE SUB- AL- TRA TO- AL- TER- TER- NE- DIK- NE- REN- TRA TO- REN- DE KON- RISKE DE NOGLE S ER P S U B K O N T R Æ R E NOGLE S ER IKKE P I sin klassiske form involverer syllogismen i alt tre begreber: S (subjektet), P (prædikatet) og M (mellem-begrebet). Disse begreber kan være helt vilkårlige, men S skal være subjekt i konklusionen, og P er prædikat i konklusionen. Derimod er der flere muligheder for, hvad der skal være subjekt og prædikat i præmisserne. Den første præmis angår P og M, den anden S og M. De tre begreber kan derfor placeres på fire forskellige måder, de såkaldte figurer: 23
4 1.figur: y(m,p) x(s,m) Ergo: z(s,p) 3.figur: y(m,p) x(m,s) Ergo: z(s,p) 2. figur: y(p,m) x(s,m) Ergo: z(s,p) 4.figur: y(p,m) x(m,s) Ergo: z(s,p) Her står x, y og z for vilkårlige udsagnstyper, d.v.s. a, i, e eller o. Forskellen mellem de fire figurer er tydeligvis placeringerne af mellembegrebet, M. I 1. figur er M først subjekt og så prædikat, i 2. figur er M prædikat i begge præmisser, i 3. figur er M subjekt i begge præmisser, og i 4. figur er M først prædikat og så subjekt. Lad os f. eks. tage en e-i-o-syllogisme fra 3. figur, d.v.s. at i denne figur skal vi altså sætte y=e, x=i og z=o. Som S, M og P vælger vi henholdsvis logikstuderende, universitetsstuderende og folkeskoleelev. På den måde får vi syllogismen: e(universitetsstuderende,folkeskoleelev) i(universitetsstuderende,logikstuderende) Ergo: o(logikstuderende,folkeskoleelev). Oversat til almindelige sætninger lyder argumentet: Ingen universitetsstuderende er folkeskoleelever. Nogle universitetsstuderende er logikstuderende. Ergo: Nogle logikstuderende er ikke folkeskoleelever. Denne syllogisme er gyldig, idet konklusionen faktisk følger af præmisserne. Det er imidlertid vigtigt at understrege, at denne gyldighed ikke har noget at gøre med præmissernes (og dermed konklusionens) sandhed. Betragt de følgende argumenter: 24
5 Ingen universitetsstuderende er danskere. Nogle universitetsstuderende er logikstuderende. Ergo: Nogle logikstuderende er ikke danskere. Ingen universitetsstuderende er danskere. Nogle universitetsstuderende er analfabeter. Ergo: Nogle analfabeter er ikke danskere. Det er let at se, at disse to argumenter har samme struktur som argumentet ovenfor. Det er stadig en e-i-o-syllogisme fra 3. figur. Middelalderlogikerne kaldte den ferison for at huske de tre afgørende vokaler (e-i-o). En af forskellene mellem de tre nævnte udgaver af syllogismen er, at mens begge præmisser er sande i den første udgave, er henholdsvis én og to præmisser falske i de følgende udgaver. I alle tre tilfælde er konklusionen sand, men sådan behøver det bestemt ikke at være. Betragt f. eks.: Ingen danskere er skandinaver. Nogle danskere er svenskere. Ergo: Nogle svenskere er ikke skandinaver. Her er såvel de to præmisser som konklusionen falsk. Men det ændrer ikke ved det forhold, at syllogismen er gyldig og et eksempel på ferison. Tilsvarende er syllogismen: Alle rovdyr er svenske Alle svaner er rovdyr Ergo: Alle svaner er svenske gyldig, selv om alle tre involverede udsagn er falske. Syllogismen er et eksempel på en a-a-a-syllogisme (middelalderlogikerne kaldte den: barbara). Her er der altså tale om barbara i første figur. Syllogistikken er et glimrende eksempel på formel logik. Når argumenterne ovenfor er gyldige, skyldes det alene formen, ikke indholdet af det, der udsiges. En korrekt udfyldning f. eks. af omtalte barbara i første figur: 25
6 a(m,p) a(s,m) Ergo: a(s,p) eller ferison i 3. figur: e(m,p) i(m,s) Ergo: o(s,p) vil være et gyldigt argument uanset, hvad man vælger for M, P og S. I hver af de fire figurer kan hver af de tre udsagn udformes på fire forskellige måder. Det fører altså til i alt 256 mulige syllogismeskemaer. Problemet er nu at bestemme, hvilke af disse der er gyldige argumenter, og hvilke der er ugyldige. Svaret, som det blev givet i oldtiden og i middelalderen, er at 24 af dem er gyldige. Heraf blev 19 husket på den allerede antydede måde d.v.s. ved hjælp af ord, hvori de første 3 vokaler svarede til udsagnstyperne i syllogismen [Koch, 1968]: 1. figur: barbara, celarent, darii, ferio 2. figur: cesare, camestres, festino, baroco 3. figur: darapti, disamis, datisi, felapton, bocardo, ferison 4. figur: bramantip, camenes, dimaris, fesapo, fresison De sidste 5 af de syllogismer, som man regnede for gyldige, opstår, når man erstatter en universel konklusion med det tilsvarende partielle udsagn, d.v.s. hvis man antager, at følgende regler (såkaldt subalternation ; se figuren p. 23) er generelt gyldige: a(x,y) Ergo: i(x,y) e(x,y) Ergo: o(x,y). Dermed når man til følgende syllogismer: 26
7 1. figur: barbarix, feraxo 2. figur: camestrop, cesarox 4. figur: camenop Med disse tilføjelser bliver der 6 gyldige syllogismer i hver af de 4 figurer. Bemærk, at navnene på de ekstra syllogismer er afledt af navne i den førstnævnte navneserie ved at ændre sidste stavelses vokal og desuden indsætte et p eller et x for på den måde at angive, at syllogismen er fremkommet ved anvendelse af subalternation. Det bør bemærkes, at moderne logik ikke i almindelighed vil anerkende disse regler som gyldige. Det er ganske vist klart, at det umiddelbart forekommer rimeligt at slutte fra alle jyder er danskere til nogle jyder er danskere, men hvad med slutningen fra alle gyldne bjerge er gyldne til nogle gyldne bjerge er gyldne? Kan den slutning være korrekt, når der slet ikke findes gyldne bjerge? Hovedproblemet her er, om vi vil acceptere tomme udtryk som f. eks. gifte ungkarle i syllogismerne og godtage f. eks. udsagnet alle gifte ungkarle kan flyve som sandt. Hvis vi ikke vil acceptere den type udsagn som sande, må vi afvise de 5 ekstra syllogismer (og i øvrigt også darapti og felapton fra 3. figur samt bramantip og fesapo fra 4. figur) for ikke at komme ud i urimeligheder, som f. eks. følgende udfyldning af fesapo: Ingen mænd er gifte ungkarle Alle gifte ungkarle er mænd Ergo: Nogle mænd er ikke mænd e(mand,gift ungkarl) a(gift ungkarl,mand) Ergo: o(mand,mand) Hvis udsagn om tomme udtryk overhovedet kan accepteres som sande, kan man næppe komme uden om at antage de to præmisser ovenfor som sande. Da konklusionen er selvmodsigende, må fesapo (ligesom de øvrige nævnte) slettes fra listen over gyldige syllogismer, og man må nøjes med de tilbageværende 15 syllogismer. På den anden side kan man godt forstå oldtidens og middelalderens uvilje mod at acceptere udsagn om alle gifte ungkarle som sande. Der er jo ingen gifte ungkarle! Først når man tager hensyn 27
8 til matematikkens (senere) begreb om den tomme mængde, bliver det acceptabelt at operere med gifte ungkarle. Men helt let er det alligevel ikke altid. Skal vi f. eks. regne udsagnet alle gifte ungkarle er ugifte for sandt eller falsk? Eller endnu værre: Hvad med alle gifte ungkarle er både gifte og ugifte? Mere styr på syllogismerne (lidt matematisk afsnit, som kan springes over) Nu er det let at indse, at 4. figur i virkeligheden kan opfattes som 1. figur, hvori ordenen af præmisserne er ombyttet. Dermed ser man, at camenes og dimaris er ækvivalent med henholdsvis celarent og darii. Hertil kommer, at e(x,y) og e(y,x) er ensbetydende ligesom i(x,y) og i(y,x). Dermed bliver ferio, festino, ferison og fresison i virkeligheden én og samme syllogisme. Det samme gælder darii, disamis og datisi. Også celarent, cesare og camestres viser sig på denne måde at være én og samme syllogisme. Hvis man endvidere (jævnfør figuren side 23) bemærker, at o(x,y) er negationen af a(x,y), og at i(x,y) er negationen af e(x,y), viser det sig, at samtlige syllogismer kunne udledes af barbara og celarent i 1. figur. De ækvivalenser, som kan bruges hertil, er altså: e(x,y) e(y,x) ~a(x,y) o(x,y) ~e(x,y) i(x,y) hvor ~ danner negationen af et udsagn d.v.s. kontradiktionen af udsagnet. (Sammenlign med figuren på p. 23). Sagen er, at hvis syllogismen med p og q præmisser og r som konklusion er gyldig, så vil det for det første også være en gyldig syllogisme, der har præmisserne p og ~r og konklusionen ~q, og for det andet vil det være en gyldig syllogisme, der har præmisserne ~r og q og konklusionen ~p. Symbolsk kan dette skrives på følgende måde: Syllogismen (p & q) => r kan erstattes af en af syllogismerne (p & ~r) => ~q 28
9 (~r & q) => ~p. På den måde kan syllogistikken præsenteres som et deduktivt system med udgangspunkt i de to almene syllogismer i første figur, barbara og celarent. Et sådant system kaldes et axiom-system med de nævnte to syllogismer som axiomer og med de beskrevne udledningsregler. Allerede Aristoteles selv var opmærksom på dette. (Se nærmere herom i [Parry & Hacker p. 271 ff.]). Faktisk må man sige, at Aristoteles syllogistik repræsenterer det tidligst kendte axiomatiske system. Senere blev den axiomatiske metode meget udbredt i den græske matematik - ikke mindst med Euklid. Også i middelalderen var man klar over, at syllogismerne udgør et axiomatisk system. De gyldige syllogismers navne er konstrueret således, at de afspejler deduktionen (dvs. beviset) for den pågældende syllogisme. Eksempelvis betyder det første bogstav i camenes, at man ved udledningen skal tage udgangspunkt i celarent. Dernæst betyder bogstavet m, at man skal foretage en ombytning (mutatio) af præmisserne for gennemføre udledningen af camenes. - Navnene på syllogismerne viser i øvrigt, at man i middelalderen opererede med de fire basale syllogismer i 1. figur som axiomer. Det har man muligvis valgt af pædagogiske grunde, idet udledningerne dermed bliver noget kortere end tilfældet er i Aristoteles eget system med kun to axiomer. Sammensætning af syllogismer Vi har ovenfor kun set på de klassiske syllogismer med 2 præmisser, men det er klart, at syllogismer kan kobles sammen til mere komplicerede argumenter. Lad os tage et eksempel fra Holbergs Erasmus Montanus: Hvo drikker vel, sover gierne vel Hvo som sover vel, synder ikke Den som synder ikke, er lyksalig Ergo den som drikker vel, er lyksalig [Holberg, 1970, p.160] Argumentet kan gengives semi-symbolsk på følgende måde: 29
10 a( person, som drikker, person, som sover vel ) a( person, som sover vel, syndfri person ) a( syndfri person, lyksalig person ) Ergo: a( person, som drikker, lyksalig person ) Dette argument kan opfattes som sammensat af to barbara-syllogismer fra 1. figur, og det er derfor åbenbart gyldigt, selv om man ikke af den grund behøver at godtage hverken præmisser eller konklusion som sande. En anden berømt syllogisme fra Erasmus Montanus: En Steen kand ikke flyve (Morlille) kand ikke flyve Ergo: Morlille er en Steen er ikke gyldig, da det kan opfattes som en e-e-a-syllogisme fra 2. figur. Derimod er følgende eksempel på en cesare fra 2. figur en gyldig syllogisme: En Steen kand ikke... tale Morlille kand tale Ergo Morlille er ingen Steen [Holberg, 1970, p ] 30
11 Venn-diagrammer Man kan spørge, hvordan man kan komme frem til de gyldige syllogismer. Skal man virkelig lære remsen udenad, som de skulle det i middelalderen? Nej, der er heldigvis senere udviklet andre metoder, som kan bruges til at undersøge disse klassiske slutninger. Bl. a. har logikeren J. Venn i sin Symbolic Logic fra 1881 beskrevet en glimrende måde, hvorpå man kan vurdere syllogismer ved hjælp af diagrammer. Allerede Leonhard Euler ( ) havde foreslået en grafisk metode til behandling af syllogismer, men Venns diagrammer er lettere at benytte end Eulers, så vi skal her holde os til en let moderniseret udgave af denne analysemetode. Udgangspunktet er, at termerne i syllogismerne repræsenteres som mængder, og at de fire grundlæggende typer af udsagn, som kan dannes ud fra to vilkårlige begreber, f. eks. A og B, kan repræsenteres grafisk på følgende måde: A B A B - + Alle A er B svarende til: a(a,b) Nogle A er B svarende til: i(a,b) A B A B - + Ingen A er B Nogle A er ikke B svarende til: e(a,b) svarende til: o(a,b) Her symboliserer et +, at vi ved, at der findes elementer i den pågældende delmængde, mens - betyder, at vi ved, at den pågældende delmængde er tom. Delmængder i diagrammet, som hverken indeholder + eller -, ved vi ikke noget om. 31
12 Med sådanne diagrammer kan man nu undersøge syllogismerne. Lad os tage et eksempel. Lad os igen se på ferison i 3. figur, d.v.s. det syllogistiske argument med følgende struktur: e(m,p) i(m,s) Ergo: o(s,p) Vi vil nu analysere denne syllogisme i Venn-diagrammet. De tre termer S, P og M bliver repræsenteret ved 3 mængder. Præmisserne fører til følgende tegn: S P Forklaringen er denne: Den første præmis, e(m,p) d.v.s. ingen M er P, betyder, at fællesmængden mellem M og P er tom og derfor skal forsynes med -. I diagrammet er denne fællesmængde delt i to. Vi sætter - begge steder! Den anden præmis, i(m,s) d.v.s. nogle M er S, betyder, at fællesmængden mellem M og S ikke er tom og derfor skal forsynes med et +. Den ene del af denne fællesmængde er allerede forsynet med et -. Derfor skal der være et + i den anden del af fællesmængden. (Bemærk man altid bør placerede - før +, når en Venn-diagram skal udfyldes.) Det anbragte + betyder, at der findes elementer af S, som ikke tilhører P, d.v.s. at o(s,p) kan konkluderes, og at syllogismen ferison i 3. figur er gyldig. M 32
13 Øvelse 1 Nedenfor er der i 10 tilfælde givet et par præmisser. Afgør, evt. med Venn-diagrammer, hvad man i hvert af tilfældene logisk kan slutte (måske intet!)? Man må gerne bytte om på rækkefølgen af præmisserne! 1) alle bornholmere er danskere alle personerne i rummet er bornholmere 2) nogle danskere er bornholmere alle personerne i rummet er bornholmere 3) nogle danskere er ikke bornholmere alle personerne i rummet er bornholmere 4) ingen bornholmere er svenskere alle personerne i rummet er bornholmere 5) alle bornholmere er danskere ingen af personerne i rummet er ikke bornholmere 6) alle bornholmere er danskere nogle af personerne i rummet er bornholmere 7) ingen bornholmere er svenskere ingen af personerne i rummet er bornholmere 8) ingen bornholmere er svenskere nogle af personerne i rummet er ikke bornholmere 9) ingen bornholmere er ikke danskere nogle af personerne i rummet er bornholmere 10) nogle danskere er ikke bornholmere nogle af personerne i rummet er danskere 33
14 Øvelse 2 Bestem figur-nummer for følgende syllogismer og opskriv argumenterne med a,i,e og o. Undersøg med Venn-diagrammer om syllogismerne er gyldige. Sammenlign også med den middelalderlige liste over gyldige syllogismer. Alle spillerne på landsholdet er danskere. Nogle danskere er jyder. Ergo: Nogle spillere på landsholdet er jyder. Alle spillerne på landsholdet er danskere. Alle danskere er skandinaver. Ergo: Nogle skandinaver er spillere på landsholdet. Alle spillerne på landsholdet er danskere. Ingen danskere er svenskere. Ergo: Ingen svenskere er spillere på landsholdet. Nogle spillere på landsholdet er jyder. Alle jyder er danskere. Ergo: Nogle danskere er ikke spillere på landsholdet. Ingen af spillerne på landsholdet er svenskere. Alle svenskere er skandinaver. Ergo: Nogle skandinaver er spillere på landsholdet. Ingen af spillerne på landsholdet er svenskere. Nogle svenskere er rødhårede. Ergo: Nogle rødhårede er ikke spillere på landsholdet. 34
Syllogistik teoretisk set
Syllogistik teoretisk set Peter Øhrstrøm August 2009 Syllogistikken som den er overleveret til os kommer først og fremmest fra middelalderlogikken, som systematisk og pædagogisk bearbejdede Aristoteles
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mere01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Læs mereLæs selv om LOGIK. Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre
Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre Læs selv om LOGIK Erik Bjerre og Pernille Pind Forlaget Pind & Bjerre 2 Logik Sandt eller falsk? Lyver han? Taler hun sandt? Det ville
Læs mereARGUMENTER OG ARGUMENTATION
ARGUMENTER OG ARGUMENTATION Når vi kommunikerer, udveksler vi meddelelser, men også meninger med hinanden. Meningsudveksling på ord foregår ved hjælp af påstande, argumenter og vurderinger. Men hvad vil
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereHvad er formel logik?
Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt
Læs merenu været studeret i mere end to tusinde år, og litteraturen om det er meget stor.
7. Logik til hverdag Hvis et argument skal virke i en given situation, fordrer det ikke bare, at det er et logisk gyldigt argument. Gyldigheden skal også være indlysende. Argumentet skal være overbevisende.
Læs mereFilosofisk logik og argumentationsteori. Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet
Filosofisk logik og argumentationsteori Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet Nogle vigtige kendetegn på god videnskab rationalitet systematik éntydighed (klarhed) kontrollérbarhed
Læs mereOpgaver i logik, torsdag den 20. april
Opgaver i logik, torsdag den 20. april Opgave 1 Oversæt følgende udsagn til logiske udtryk. c) Hvis Jones ikke bliver valgt til leder af partiet, så vil enten Smith eller Robinson forlade kabinettet, og
Læs mereLogisk set. Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet. Sokrates dialoger blev beskrevet af Platon ( f.kr.
Logisk set Peter Øhrstrøm Institut for Kommunikation Aalborg Universitet Glimt af logikkens historie Sokrates dialoger blev beskrevet af Platon (427-347 f.kr.) logos dialog Aristoteles (384-322 f.kr) analytikken
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs merePositive ~ Negative sider ved Computerspil
Positive ~ Negative sider ved Computerspil 1 POSITIVE - NEGATIVE SIDER VED COMPUTERSPIL Aalborg Universitet 2005 P3 Humanistisk Informatik 3.Semester Tinne Ringgren Larsen ~ Søren Egeberg Christensen ~
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs mereDen sproglige vending i filosofien
ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,
Læs mereHjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996
Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs merePythagoras Sætning. Frank Nasser. 20. april 2011
Pythagoras Sætning Frank Nasser 20. april 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereMandags Chancen. En optimal spilstrategi. Erik Vestergaard
Mandags Chancen En optimal spilstrategi Erik Vestergaard Spilleregler denne note skal vi studere en optimal spilstrategi i det spil, som i fjernsynet går under navnet Mandags Chancen. Spillets regler er
Læs mereHvad er matematik? C, i-bog ISBN 978 87 7066 499 8
Et af de helt store videnskabelige projekter i 1700-tallets Danmark var kortlægningen af Danmark. Projektet blev varetaget af Det Kongelige Danske Videnskabernes Selskab og løb over en periode på et halvt
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 12. april 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mere4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter
Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi
Læs mereBaggrundsnote om logiske operatorer
Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første
Læs mereMatematiske metoder - Opgaver
Matematiske metoder - Opgaver Anders Friis, Anne Ryelund 25. oktober 2014 Logik Opgave 1 Find selv på tre udtalelser (gerne sproglige). To af dem skal være udsagn, mens det tredje ikke må være et udsagn.
Læs mereOpgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel
Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og
Læs mereVinkelrette linjer. Frank Villa. 4. november 2014
Vinkelrette linjer Frank Villa 4. november 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereAndengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011
Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merex-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
VIDENSKABSTEORI (STATISTIK) EKSPERIMENTELT ARBEJDE x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indhold INDHOLDSFORTEGNELSE INDHOLDSFORTEGNELSE... 2 INDLEDNING... 3 VIDENSKABSTEORI... 4 DEDUKTION OG INDUKTION...
Læs mereMatematisk induktion
Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag
Læs mereProjekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet
Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereLøsning af simple Ligninger
Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Pythagoras Sætning... 8 Retvinklede trekanter. Beregn den ukendte side markeret med et bogstav.... 9 Øve vinkler
Læs mereMetoder og erkendelsesteori
Metoder og erkendelsesteori Af Ole Bjerg Inden for folkesundhedsvidenskabelig forskning finder vi to forskellige metodiske tilgange: det kvantitative og det kvalitative. Ser vi på disse, kan vi konstatere
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereAnalytisk plangeometri 1
1 Analytisk plangeometri 1 Kære 1. x, Vi begynder dag vores forløb om analytisk plangeometri. Dette bliver en udvidelse af ting i allerede kender til, så noget ved I i forvejen, mens andet bliver helt
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereEksempler på elevbesvarelser af gådedelen:
Eksempler på elevbesvarelser af gådedelen: Elevbesvarelser svinger ikke overraskende i kvalitet - fra meget ufuldstændige besvarelser, hvor de fx glemmer at forklare hvad gåden går ud på, eller glemmer
Læs mereHer er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?
Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange
Læs mereDet er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal.
Tre slags gennemsnit Allan C. Malmberg Det er en af de hyppigst forekommende udregninger i den elementære talbehandling at beregne gennemsnit eller middeltal af en række tal. For mange skoleelever indgår
Læs mereLogik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.
Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2
Læs mereMatematik i AT (til elever)
1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.
Læs mereHer følger en række opmærksomhedsfelter i relation til undervisningens form og elevens læring:
BRØK 1 Vejledning Udvidelsen af talområdet til også at omfatte brøker er en kvalitativt anderledes udvidelse end at lære om stadigt større tal. Det handler ikke længere bare om nye tal af samme type, som
Læs mereOpinion Tekster med holdninger og meninger
Opinion Tekster med holdninger og meninger Leder En leder eller en ledende artikel er som regel skrevet af avisens chefredaktør eller et medlem af chefredaktionen. Den er som regel anbragt på samme side
Læs mereTest grafisk afledede Højere partielle afledede Differentiationsordenen er ligegyldig Partielle differentialligninger Test Laplaces ligning
Oversigt [S] 2.7, 3.1, 3.4, 11.3 Nøgleord og begreber Differentiabel funktion i en variabel Partielle afledede i flere variable Notation og regneregler for partielle afledede Test partielle afledede Grafisk
Læs mereKorncirkler og matematik
Korncirkler og matematik I den følgende opgave vil jeg undersøge om korncirkler indeholder matematiske figurer nærmere bestemt det gyldne snit, det gyldne rektangel og den gyldne spiral. Før jeg starter
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereRETORIK OG ARGUMENTATION
RETORIK OG ARGUMENTATION Akademiet for talentfulde unge 2014 præsen TATION PROGRAM 16.00-16.15: Introduktion 16.15-17.00: Oplæg 1: Overbevisende kommunikation v/sofie 17.00-17.45: Aftensmad 17.45-18.30:
Læs mereVidenskabsteori - Logik og videnskabelig argumentation. Mette Dencker
Videnskabsteori - Logik og videnskabelig argumentation Mette Dencker 1 Dagens program Logik Argumentation Toulmins argumentationsmodel Opgaver 2 Logik I hvad er logik? At tænke (ræsonnere) korrekt Vurdering
Læs mereHenrik Bulskov Styltsvig
Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition
Læs mereFibonacci følgen og Det gyldne snit
Fibonacci følgen og Det gyldne snit af John V. Petersen Indhold Fibonacci... 2 Fibonacci følgen og Binets formel... 3... 4... 6... 6 Bevis for Binets formel... 7 Binets formel fortæller os, at...... 9...
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereAfstande, skæringer og vinkler i rummet
Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereKommentarer til matematik B-projektet 2015
Kommentarer til matematik B-projektet 2015 Mandag d. 13/4 udleveres årets eksamensprojekt i matematik B. Dette brev er tænkt som en hjælp til vejledningsprocessen for de lærere, der har elever, som laver
Læs mereMatematisk argumentation
Kapitlets omdrejningspunkt er matematisk argumentation, der især bruges i forbindelse med bevisførelse altså, når det drejer sig om at overbevise andre om, at matematiske påstande er sande eller falske.
Læs mereOrdbog over Symboler
Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereErrata pr. 1. sept Rettelser til Ypsilon 1. udgave, 1. oplag
Errata pr. 1. sept. 2009 Rettelser til Ypsilon 1. udgave, 1. oplag Rettelserne herunder er foretaget i 2. oplag af bogen. Desuden forekommer der mindre rettelser i 2. oplag, som ikke er medtaget her, da
Læs mereRetningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde
Retningslinjer for bedømmelsen. Georg Mohr-Konkurrencen 2010 2. runde Det som skal vurderes i bedømmelsen af en besvarelse, er om deltageren har formået at analysere problemstillingen, kombinere de givne
Læs mereCosinusrelationen. Frank Nasser. 11. juli 2011
Cosinusrelationen Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra F+E+D preben bernitt 1 brikkerne. Tal og algebra E+D 2. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2010 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er
Læs mereVisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra
Artikel i Matematik nr. 2 marts 2001 VisiRegn: En e-bro mellem regning og algebra Inge B. Larsen Siden midten af 80 erne har vi i INFA-projektet arbejdet med at udvikle regne(arks)programmer til skolens
Læs mereAnalytisk geometri. Et simpelt eksempel på dette er en ret linje. Som bekendt kan en ret linje skrives på formen
Analtisk geometri Mike Auerbach Odense 2015 Den klassiske geometri beskæftiger sig med alle mulige former for figurer: Linjer, trekanter, cirkler, parabler, ellipser osv. I den analtiske geometri lægger
Læs mereTue Tjur: Hvad er tilfældighed?
Tue Tjur: Hvad er tilfældighed? 16. 19. september 1999 afholdtes i netværkets regi en konference på RUC om sandsynlighedsregningens filosofi og historie. Som ikke specielt historisk interesseret, men nok
Læs mereForløb om undervisnings- differentiering. Elevark
Program for løft af de fagligt svageste elever Intensivt læringsforløb Lærervejledning Forløb om undervisnings- differentiering Elevark Dato September 2018 Udviklet for Undervisningsministeriet Udviklet
Læs mereØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI
ØVEHÆFTE FOR MATEMATIK C GEOMETRI Indhold Begreber i klassisk geometri + formelsamling... 2 Ensvinklede trekanter... 7 Pythagoras Sætning... 10 Øve vinkler i retvinklede trekanter... 15 Sammensatte opgaver....
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereUndervisningsmiljøvurdering
Undervisningsmiljøvurdering på Margrethe Reedtz Skolen 2014 Afviklet på Margrethe Reedtz Skolen i marts 2014 Spørgsmål af Anette Næsted Nielsen og Morten Mosgaard Tekst og grafik af Morten Mosgaard Ryde
Læs mereReplique, 5. årgang 2015. Redaktion: Rasmus Pedersen (ansvh.), Anders Orris, Christian E. Skov, Mikael Brorson.
Replique, 5. årgang 2015 Redaktion: Rasmus Pedersen (ansvh.), Anders Orris, Christian E. Skov, Mikael Brorson. Tidsskriftet Replique udkommer hver måned med undtagelse af januar og august. Skriftet er
Læs mereF I N N H. K R I S T I A N S E N TES REGNING MED REGNEARK KUGLE SIMULATIONER G Y L D E N D A L LANDMÅLING
F I N N H. K R I S T I A N S E N RÆSONNEMENT & 1BEVIS 4 2 TES REGNING MED REGNEARK KUGLE G Y L D E N D A L 5 LANDMÅLING SIMULATIONER Faglige mål: Gennemføre simple matematiske ræsonnementer. Håndtere simple
Læs mereSkriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)
Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug
Læs mereGeometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit
Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer
Læs mereArgumentationsteknik og retorik en forberedelse til projektopgaven
Argumentationsteknik og retorik en forberedelse til projektopgaven Side 1 af 9 Rem tene, verba sequentur! Behersk emnet, så kommer ordene af sig selv! Indledning: Argumentation kan defineres som ræsonnementer,
Læs mereSpilstrategier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Vindermængde og tabermængde 2. 2 Kopier modpartens træk 4
Indhold 1 Vindermængde og tabermængde 2 2 Kopier modpartens træk 4 3 Udnyt modpartens træk 5 4 Strategityveri 6 5 Løsningsskitser 7 Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende
Læs mereEksamen i Diskret Matematik
Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:
Læs mereSPROGNOTER for mindrebemidlede
AALBORG UNIVERSITET CENTER FOR LINGVISTIK HANS GÖTZSCHE SPROGNOTER for mindrebemidlede Emne: SPROG og TEKSTLIG FREMSTILLING version opd/prt 2011-09-07 Teori og eksempler: ORD OG SÆTNING BLIVER TIL TEKST
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereThomas Thomsen STANDARD RAPPORT. Adaptive General Reasoning Test
Adaptive General Reasoning Test STANDARD RAPPORT Dette er en fortrolig rapport, som udelukkende må anvendes af personer med en gyldig certificering i anvendelse af værktøjet AdaptGRT fra DISCnordic. VIGTIGT
Læs mere3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper.
3 Algebraisk Specifikation af Abstrakte Datatyper. Specifikation kontra program. Bestanddele af en algebraisk specifikation. Klassificering af funktioner i en ADT. Systematisk definition af ligninger.
Læs mereArgumentation og begrundelse
Argumentation og begrundelse Indledning Begrundelse og argumentation o Erkendelsesteori o Begrundelse. o Slutningsformer. o Et indlæg vedrørende praktisk argumentation. Forelæsningsnote i videnskabsteori
Læs mereFormalia AT 2 på Svendborg Gymnasium og HF
Formalia AT 2 på Svendborg Gymnasium og HF AT 2 ligger lige i foråret i 1.g. AT 2 er det første AT-forløb, hvor du arbejder med et skriftligt produkt. Formål Omfang Produktkrav Produktbedømmelse Opgavens
Læs mereErik Rasmussen, Niels Bohr og værdirelativismen: svar til Ougaard
politica, 47. årg. nr. 4 2015, 598-603 Kasper Lippert-Rasmussen Erik Rasmussen, Niels Bohr og værdirelativismen: svar til Ougaard Morten Ougaard mener, det er en væsentlig mangel ved min bog, Erik Rasmussen,
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereSANDELIG! INDHOLD. Dette materiale er ophavsretsligt beskyttet og må ikke videregives
SANDELIG! STAKKELS PLUTO I 1930 opdagede en astronom fra den amerikanske delstat New Mexico et ganske lille objekt. Ved nærmere efterforskning viste det sig at bevæge sig i en bane omkring solen, der lå
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mere3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden
Dette er den tredje af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 3. Om skalamønstrene og den indfoldede orden Lad os begynde
Læs mere