Elementær Matematik. Polynomier

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Elementær Matematik. Polynomier"

Transkript

1 Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium

2 Idhold 1. Geerelle polyomier Divisio med hele tal Polyomiers divisio Polyomiers rødder Bestemmelse af røddere i et polyomium af grad større ed Kvalificeret rodgæt....7

3 Polyomiers divisio 1 1. Geerelle polyomier Et polyomium er et udtryk (e fuktio) af forme (1.1) P(x) = a x + a -1 x a 1 x + a 0 Hvor a, a -1, a -2,..., a 1, a 0 er reelle tal, som kaldes for polyomiets koefficieter. Ved polyomiets grad forstår ma det største for hvilket a 0. Med dee defiitio er for eksempel. P(x) = 2x - 3 et førstegradspolyomium med koefficietere a 1 = 2 og a 0 = -3. P(x) = - 21 x er et adegradspolyomium med koefficietere a 2 = - 2 1, a 1 = 0 ad a 0 = 2. P(x) = 5 (E kostat) er et ultegradspolyomium med a 0 = Øvelse Agiv grade og koefficietere for polyomiet: P(x) = -x x 3-6x Fuktioe P(x) = 0 kaldes for ulpolyomiet. Nulpolyomiet tillægges ikke oge grad. Der fides jo itet for hvilket a 0. Et polyomium, som ikke er ulpolyomiet, kaldes et egetligt polyomium. Læg mærke til, at ulpolyomiet ikke er det samme som et ultegradspolyomiet. Et ultegradspolyomium er e kostat forskellig fra ul. 2. Divisio med hele tal. Før vi forklarer, hvad ma forstår ved polyomiers divisio, vil vi se på almidelig divisio med hele tal. Når vi f.eks. skal dividere 17 med 3, betyder det matematisk at bestemme to tal, emlig 5 (kvotiete) og 2 (reste), således at der gælder divisiosligige: 17 = At dividere p (dividede) med d (divisor) betyder at bestemme to tal q (kvotiete) og r (reste), således at der gælder divisiosligige, og således, at grade af reste r er midre ed grade af divisor d. p = q d + r og r < d Hvis specielt r = 0, reste er lig med ul, siges divisioe at gå op.

4 Polyomiers divisio 2 Ved divisio med større tal, har ma e metode, som kaldes for divisiosalgoritme til at udføre divisioe. Vi viser edefor de mest almidelige variat af metode, idet vi vil dividere 406 med går 3 gage op i 40 og 3 13 = 39. Vi trækker 39 fra 40 og får reste 1. Vi trækker 6 ed, så der kommer til at stå 16, som ikke er midre ed 13. Vi fortsætter derfor divisioe: 13 går 1 gag op i 1 13 = = 3, som er midre ed divisor 13, og divisioe ka ikke fortsættes. Kvotiete ved divisioe er 31 og reste er 3, så vi ka opskrive divisiosligige: 406 = Det er lidt omstædeligt, at redegøre for, hvorfor divisiosalgoritme fører til de korrekte divisiosligig, så det udlader foreløbigt beviset, me tager det op ige, år vi ser på polyomiers divisio, der på mage måder mider om divisio med hele tal. Vi bemærker i øvrigt, at divisiosligige ka opskrives, selv om divisor er større ed dividede. I dette tilfælde bliver kvotiete emlig 0, og reste lig med dividede. F.eks. 7 divideret med 11 ka skrives: 7 = Polyomiers divisio. Vi formulerer u e sætig om polyomiers divisio: For to egetlige polyomier P(x) og D(x) af grad p og d, er det altid muligt at bestemme to polyomier Q(x) og R(x) af grad q og r, således at der gælder divisiosligige for polyomier P(x) = Q(x)D(x) + R(x), hvor r < d altså således at grade af reste R(x) er midre ed grade af divisor D(x). Ma aveder de samme betegelser divided, divisor, kvotiet og rest som for hele tal. Hvis R(x) = 0 (ulpolyomiet), siges divisioe at gå op, og ma siger da at P(x) er deleligt med D(x). For overskuelighedes skyld, vil vi geemføre divisiosalgoritme med et eksempel, me uderstrege, at de ka geemføres for vilkårlige polyomier. Som eksempel vælger vi: P(x) = 6x 4 + 5x 3-7x 2 + 7x + 1 og D(x) = 2x 2 + 3x -1 Vi laver da e opstillig, som ved divisiosalgoritme for hele tal. Algoritme bliver forklaret edefor.

5 Polyomiers divisio 3 Q 1 (x)+q 2 (x)+q 3 (x) 2x 2 + 3x -1 6x 4 + 5x 3-7x 2 + 7x + 1 3x 2-2x +1 6x 4 + 9x 3-3x 2 Q 1 (x)d(x) - 4x 3-4x 2 + 7x + 1 R 1 (x) = P(x) - Q 1 (x)d(x) - 4x 3-6x 2 + 2x Q 2 (x)d(x) 2x 2 + 5x + 1 2x 2 + 3x - 1 2x +2 R 2 (x) = R 1 (x) - Q 2 (x)d(x) Q 3 (x)d(x) R 3 (x) = R 2 (x) - Q 3 (x)d(x) Vi bemærker, at vi har stadset, år grade af reste R 3 (x) = 2x+2 er midre ed reste af divisor. For at lære at udføre algoritme, ka ma i første omgag se bort fra de tilføjelser, som er skrevet til højre for divisiosskemaet. Ma dividerer u højestegradsleddet i divisor 2x 2 op i højestegradsleddet i dividede 6x 4. 6x 4 divideret med 2x 2 er lig med 3x 2. Dee kvotiet kaldes Q 1 (x). Q 1 (x) multipliceres da med divisor, og resultatet skrives uder dividede. Q 1 (x)d(x) = 3x 2 (2 x 2 + 3x -1) = 6x 4 + 9x 3-3x 2 som subtraheres fra dividede. Herved fås reste R 1 (x) = -4x 3-4x 2 + 7x + 1 Bemærk at højestegradsleddet 6x 4 går ud ved subtraktioe, så R 1 (x) er midst e grad lavere ed dividede P(x). Ma getager u helt de samme procedure, blot med R 1 (x) i stedet for P(x). Q 2 (x) = - 4 x 3 :2x 2 = -2x Således fortsættes, idtil ma får e rest, som har lavere grad ed divisor. Det er tilstrækkeligt, at ma ka geemføre divisiosalgoritme for polyomier, me her vil vi u godtgøre (bevise), at divisiosligige faktisk er opfyldt, hvis vi vælger: P(x) = Q(x)D(x) + R(x) Q(x) = Q 1 (x)+q 2 (x)+q 3 (x) = 3 x 2-2x +1 og R(x) = R 3 (x) = 2x + 2 Af opstillige ovefor fremgår: R 1 (x) = P(x) - Q 1 (x)d(x) P(x) = Q 1 (x)d(x) + R 1 (x)

6 Polyomiers divisio 4 R 2 (x) = R 1 (x) - Q 2 (x)d(x) R 3 (x) = R 2 (x) - Q 3 (x)d(x) R 1 (x) = Q 2 (x)d(x) + R 2 (x) R 2 (x) = Q 3 (x)d(x) + R 3 (x) Idsætter ma u i ligigere til højre udtrykket for R 2 (x) i de ade ligig og deræst udtrykket for R 1 (x) i de første ligig fider ma: P(x) = Q 1 (x)d(x) + Q 2 (x)d(x) + Q 3 (x)d(x) + R 3 (x) P(x) = (Q 1 (x) + Q 2 (x) + Q 3 (x))d(x) + R 3 (x) Idsættes heri: Q(x) = Q 1 (x) + Q 2 (x) + Q 3 (x) og R(x) = R 3 (x) fider ma divisiosligige P(x) = Q(x)D(x) + R(x) hvor r < d Da divisiosalgoritme ka geemføres med vilkårlige polyomier, og da de altid ka fortsættes idtil grade af reste er midre ed grade af divisor, er sætige bevist. 3.1 Øvelse. Geemfør polyomiers divisio med følgede polyomier: a) (2x 3-11x 2 + 6x - 5) : (2x 2 - x + 1) b) (4x 5-2x 4-10x 2 + 8) : (x 3 + 2x - 3) c) (2x 3 + 5x 2-6x - 9) : (2x - 3) d) (3x 7 + 5x 5-2x 3 + 4x) : ( -3x 4 + x 2-5) 4. Polyomiers rødder. Et tal siges at være rod i polyomiet P(x), hvis P( ) = 0 altså hvis ligige P(x) = 0 har e løsig x =. Et førstegradspolyomium har etop é rod, idet det af P(x) = ax + b følger P(x) = 0 ax + b = 0 x = - b/a Som bekedt har et 2.gradspolyomium højst 2 rødder. Røddere fides på sædvalig vis ved at løse e 2.gradsligig. Der fides e løsigsformel for 3.gradsligiger, me løsigsformle er ret kompliceret og ivolverer såkaldte komplekse tal. For ligiger af grad højere ed 4 fides der ige løsigsformler. Det betyder imidlertid ikke, at ma altid er afskåret fra at løse sådae ligiger. Dette vil de følgede sætiger belyse.

7 Polyomiers divisio Sætig: er rod i P(x) hvis og ku hvis P(x) er deleligt med x- Bevis: Ifølge vores sætig om polyomiers divisio, ka vi dividere P(x) med x -, hvad ete er rod i P(x) eller ej. Divisiosligige bliver: P(x) = Q(x)(x - ) + R(x) Reste R(x) må være e kostat, idet restpolyomiet er e grad lavere (evetuelt ulpolyomiet) ed x -, som har grade 1. Vi sætter derfor R(x) = R "Hvis og ku hvis..." betyder, at de to udsag er esbetydede, og sætige derfor skal vises begge veje. Vi viser først " " P( ) = 0 Q( )( - ) + R = 0 R = 0 R = 0, så P(x) er deleligt med x -. Vi viser deræst " " og atager altså at P(x) er deleligt med x -. Hvis dette er tilfældet er reste R = 0, så der gælder ligige P(x) = Q(x)(x - ) Ved at idsætte x =, ses umiddelbart at P( ) = Q( )( - ) = 0, så er rod i P(x). Sætige ka bladt adet avedes til at bestemme samtlige rødder i et polyomium af grad større ed 2. Dette vil vi vede tilbage til. Vi er u i stad til at bevise sætige: 4.2 Sætig: Et polyomium af 'te grad har højst rødder. Lad P(x) være et polyomium af 'te grad. Hvis P(x) har rode 1 er P(x) deleligt med x - 1. P(x) = (x - 1 )Q 1 (x) Q1(x) er da et polyomium af grad - 1. Hvis Q 1 (x) har rode 2 er Q 1 (x) deleligt med x - 2 Q 1 (x) = (x - 2 ) Q 2 (x) Idsættes dette i udtrykket for P(x), får ma P(x) = (x - 1 )(x - 2 ) Q 2 (x) Her er Q 2 (x) et polyomium af grad -2. På dee måde fortsætter idtil ete Q-polyomiet er af grad 0 (og derfor ikke har oge rødder) eller, at ma efter at have fudet p-rødder, får et polyomium Q p (x), som ikke har oge rødder. P(x) = (x - 1 )(x - 2 )... (x - p-1 )(x - p )Q p (x)

8 Polyomiers divisio 6 Q p (x) er et polyomium af grad - p > 0, som ifølge atagelse ikke har oge rødder. Det er u emt at idse, at alle tallee 1, 2,..., p-1, p er rødder i P(x). Hvis ma idsætter et af disse tal i højreside af udtrykket for P(x), vil etop e af faktorere være ul. Omvedt ka ma idse, at P(x) ikke ka have adre rødder, idet idsætter ma emlig et tal som er forskelligt fra 1, 2,..., p-1, p, fider ma: P( ) = ( - 1 )( - 2 )... ( - p-1 )( - p )Q p ( ) Alle faktorere er forskellige fra ul, da var ataget forskellig fra alle røddere og Qp( ) 0, da Qp(x) ifølge atagelse ikke havde oge rødder. P(x) har derfor etop røddere 1, 2,..., p-1, p og ige adre. Da - p > 0 er p <. At er atallet af rødder p er midre ed polyomiets grad, følger det, at et polyomium af 'te grad højst har rødder. Som e kosekves af dee sætig følger umiddelbart: 4.3 Sætig: Nulpolyomiet er ikke et egetligt polyomium. Nulpolyomiet har emlig uedelig mage rødder, og ka derfor ikke være (fremstilles ved ) et polyomium af grad. 4.4 Sætig: Idetitetssætige for polyomier To polyomier er idetiske (fuktioer), hvis og ku hvis de har alle koefficieter es. Dee sidste sætig ka syes overflødig, me de er faktisk vigtig. Ma kue emlig forestille sig at samme fuktio kue fremstilles ved et polyomium på flere forskellige måder. Vi atager derfor at et polyomium ka fremstilles på to måder: P(x) = Q(x) a x + a -1 x a 1 x + a 0 = b m x m + b -1 x b 1 x + b 0 Ved at flytte leddee på højre side over på de vestre, og samle leddee med es poteser af x, fider ma så. Hvis m, har vi ataget at >m. a x + a -1 x -1 + (a m - b m ) x m +.(a m-1 - b m-1 ) x m (a 1 - b 1 ) x + a 0 b 0 = 0 Da dette polyomium fremstiller ulpolyomiet er alle koefficieter = 0. (Nulpolyomiet er ikke et egetligt polyomium). Der må således gælde: a = 0, a -1 = 0, a m - b m = 0, a m-1 - b m-1 = 0,, a 1 - b 1 = 0, a 0 b 0 = 0 Hvoraf følger, at samtlige koefficieter er idetiske, hvormed sætige er bevist. 5. Bestemmelse af røddere i et polyomium af grad større ed 2 Der fides ige formler til bestemmelse af røddere i et polyomium af grad større ed 4. Udledige af formle for røddere i et 3.grads polyomium er lagt over gymasiepesum.

9 Polyomiers divisio 7 Vi skal derimod vise, at hvis ma ka "gætte" -2 rødder i et 'te grads polyomium, ka ma bestemme samtlige rødder. Vi illustrerer dette ved et par eksempler. 5.1 Eksempel. Løs ligige 2x 3-5x 2 + 7x -10 = 0 Vi vil om et øjeblik agive e metode til "kvalificeret" rodgæt, me foreløbig vil vi gætte på +1, +2, +½,..?. Vi fider P(1) = = -6 ; P(-1) = = -24 ; P(2) = = 0! 2 er altså rod i polyomiet. Me så er polyomiet deleligt med (x-2) ifølge sætig 4.1. Polyomiers divisio giver: x - 2 2x 3-5x 2 + 7x -10 2x 2 - x +5 2x 3-4x 2 Polyomiet ka da skrives (divisiosligige): -x 2 + 7x -10 2x 3-5x 2 + 7x -10 = (x - 2) (2x 2 - x +5) -x 2 + 2x 5x x - 10 Idet 2.gradsligige ikke har løsiger. P(x) = 0 (x - 2) (2x 2 - x +5) = 0 0 x - 2 = 0 v 2x 2 - x +5 = 0 x = 2 6. Kvalificeret rodgæt. For polyomier med heltallige koefficieter, fides der et par yttige regler, som vi afører edefor. 6.1 Sætig: Hvis p er e heltallig rod i et polyomium P(x) = a x + a -1 x a 1 x + a 0 med heltallige koefficieter, så går p op i a 0. Bevis: Hvis p er rod gælder: P(p) = 0 a p + a -1 p a 1 p + a 0 Ved at sætte p udefor e paretes i de første led og flytte ao over på de ade side fås: p(a -1 p.1 + a -2 p a 1 ) = a 0 På højre side står et helt tal og på vestreside står produktet af det hele tal p og et helt tal. Heraf slutter vi at p går op i a 0. Hvis ma vil udersøge om et polyomium med heltallige koefficieter har heltallige rødder, ka ma altså idskræke sig til at udersøge de heltal, som går op i kostatleddet a Eksempel. Vi vil løse ligige: -3x 3-9x 2 + 3x + 9 = 0 Hvis polyomiet har heltallige rødder, skal de søges bladt divisorere i 9, som er 1, 3, 9 Ved idsætig ses at x = 1 er rod. Ved divisio med x - 1 fås:

10 Polyomiers divisio 8 Ifølge divisiosligige er x - 1-3x 3-9x 2 + 3x + 9-3x 2-12x - 9-3x 3 + 3x 2-12x 2 + 3x x x - 9x + 9-9x x 3-9x 2 + 3x + 9 = (x - 1) (-3x 2-12x - 9) Og de oprideligig er derfor ifølge ulregle esbetydede med x - 1 = 0-3x 2-12x - 9 = 0 x = 1 x 2 + 4x + 3 = 0 x = 1 x = -1 x = -3 Røddere i 2.gradsligige er fudet på sædvalig vis eller ved rodgæt (-1-3 = -4 og (-1)(-3) = 3 ). Sætige om heltallige rødder i et polyomium ka skærpes til: 6.3 Sætig: Hvis q p er rod i et polyomium, P(x) = a x + a -1 x a 1 x + a 0 med heltallige koefficieter, og hvor q p er e uforkortelig brøk, så går p op i a0 og q går op i a Beviset for dee sætig forløber efter helt de samme retigsliier, som beviset for de simplere sætig, bortset fra e ekelt talteoretisk detalje. p er rod i q p q a x p q a 1 1 x... a1x a 0 p q 1 a ( ) a 1( )... a1 a0 0 (Vi gager igeem med q ) 1 1 a p a 1 p q... a1 pq a0q (Vi flytter p ude for e paretes på vestre side) p( a p a 1 p q... a1q ) a0 q På højre side står et helt tal, som på vestre side er skrevet som p gage et helt tal. Altså må p gå op i højreside a 0 q. Idet p/q er ataget uforkortelig, er p og q idbyrdes primiske. Her af slutter vi, at p må gå op i a 0. Beholder vi i stedet a p på vestreside og flytter de øvrige led over på højreside og sætter de fælles faktor q ude for e paretes, fider ma. 1 1 a p a 1 p q... a1 pq a0q a p q( a 1 p... a1 pq a0q )

11 Polyomiers divisio 9 På samme måde som før, ka vi se, at a er skrevet, som et produkt af q og et helt tal. Altså går p q op i a p. Da p og q er idbyrdes primiske, går q op i a, hvormed begge sætiges dele er bevist. 6.4 Eksempel. Vi vil løse ligige: 2x 3-11x x - 3 = 0 Vi gætter på ratioale rødder af forme p/q. Ifølge sætige ovefor, skal der gælde p = 1, 3 og q = 1, 2 og derfor: p/q = 1, 1/2, 3, 3/2. Ige egative tal ka være rod i ligige, for idsættes et egativt tal bliver alle led egative. 1 er ikke rod, me vi fider P(½) = 2 (½) 3-11(½) (½) - 3 = 0, så ½ er rod. Ved polyomiers divisio: Løsige til ligige er således: x -½ 2x 3-11x x - 3 2x 2-10x+6 2x 3 - x 2-10x x -3-10x 2 + 5x 6x -3 6x x 2-10x+6 = 0 x 2-5x+3 = 0 d = = 13 x = (5 13)/ x x x Bemærk, at sætige om ratioale rødder i et polyomium med heltallige koefficieter ikke udsiger oget om, hvorvidt sådae rødder fides, me hvis der fides ratioale rødder, så gælder sætige. Sætige ka i øvrigt udvides til at gælde for alle polyomier med ratioale koefficieter, idet koefficietere ka gøres heltallige ved at multiplicere med fællesævere for de brøker, der udgør koefficietere.

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Lidt Om Fibonacci tal

Lidt Om Fibonacci tal Lidt om Fioi tl Lidt Om Fioi tl Idhold. Defiitio f Fioi tllee.... Kivl... 3. Telefokæder....3 4. E formel for Fioi tllee...4 Ole Witt-Hse 008 Lidt om Fioi tl. Defiitio f Fioi tllee Fioi tllee er opkldt

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene

Projekt 2.3 Det gyldne snit og Fibonaccitallene Projekter: Kapitel Projekt.3 Det glde sit og Fiboaccitallee Forslag til hvorda klasses arbejde med projektet ka tilrettelægges: Forløbet:. Præsetatio af emet med vægt på det glde sit.. Grppere arbejder

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

Estimation og test i normalfordelingen

Estimation og test i normalfordelingen af Birger Stjerholm Made Samfudlitteratur 07 Etimatio og tet i ormalfordelige Dee tekt ideholder et overblik over ogle grudlæggede pricipper for etimatio og tet i ormalfordelige i hyppigt forekommede ituatioer:

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Claus Munk. kap. 1-3

Claus Munk. kap. 1-3 Claus Muk kap. 1-3 1 Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Pris og kurs Effektive reter 2 1 Obligatioer Grudlæggede Itro Debitor

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 1-3. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro. Obligationer Grundlæggende Intro Dages forelæsig Grudlæggede itroduktio til obligatioer Claus Muk kap. - 3 Betaligsrækker og låeformer Det daske obligatiosmarked Effektive reter 2 Obligatioer Grudlæggede Itro Obligatioer Grudlæggede Itro

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen

Rettevejledning til HJEMMEOPGAVE 1 Makro 1, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørensen Rettevejledig til HJEMMEOPGAVE Makro, 2. årsprøve, foråret 2007 Peter Birch Sørese Opgave... Udsaget er forkert. De omtalte skatteomlægig må atages at øge beskæftigelse p.gr.a. e positiv substitutioseffekt

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

Løsninger til kapitel 7

Løsninger til kapitel 7 Løsiger til kapitel 7 Opgave 7.1 a) HpoStat giver resultatet: Pop. varias er ukedt, me 30, så Normalf. bruges approksimativt = 54,400 s 1.069,90 = 00,000 0,95 49,868 58,93 Dette betder, at med 95% sikkerhed

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel

Cykelfysik. Om udveksling og kraftoverførsel Cykelfysik 1/7 Cykelfysik Om udvekslig og kaftoveføsel Idhold 2. Kaftoveføsel og abejde...2 3. Abejde ved cykelkøsel...4 4. Regeeksemple fo e acecykel...5 5. Det e hådt at køe op ad bakke...6 6. Simple

Læs mere

Den hurtige Fouriertransformation

Den hurtige Fouriertransformation Polyomier De hurtige Fouriertrasformatio Polyomium: Geerelt: p + 2 3 4 ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x p(x) =! " eller x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) 2 Evaluerig

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Statistik Lektion 8. Parrede test Test for forskel i andele Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Statistik Lektio 8 Parrede test Test for forskel i adele Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og kviders

Læs mere

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15

Vejledende besvarelser til opgaver i kapitel 15 Vejledede besvarelser til opgaver i apitel 5 Opgave a) De teststatistier, ma aveder til at teste om to middelværdier er es, består af et estimat på forselle mellem middelværdiere,, divideret med et udtry

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og

TIMEGLASSETS FASER: Introen er et foto og nogle spørgsmål til hele kapitlet. Meningen med introen er, at du og TIMEGLASSETS FASER: INTRO Itroe er et foto og ogle spørgsmål til hele kapitlet. Meige med itroe er, at du og di klasse skal få e ide om, hvad kapitlet hadler om, og hvad I skal lære. Prøv at svare på spørgsmålee

Læs mere

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs.

Januar2003/ AM Rentesregning - LÅN & OPSPARING 1/8. Aftager med...% Gange med (1...%) r:=...% Før aftager med...% og bliver til Efter, dvs. Jaua2003/ AM Retesegig - LÅN & OPSPARING 1/8 PROCENT Po cet betyde p. 100" altså hudededele p% = p 100 Decimaltal Ved omskivig fa pocet til decimaltal flyttes kommaet to pladse mod veste 5%=0,05 0,1%=0,001

Læs mere

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer

Statistik Lektion 7. Hypotesetest og kritiske værdier Type I og Type II fejl Styrken af en test Sammenligning af to populationer Statistik Lektio 7 Hpotesetest og kritiske værdier Tpe I og Tpe II fejl Strke af e test Sammeligig af to populatioer 1 Tri I e Hpotesetest E hpotesetest består af 5 elemeter: I. Atagelser Primært hvilke

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ.

Men tilbage til regression og Chi-i-anden. test. Begge begreber refererer til normalfordelingen med middelværdi μ og spredning σ. χ test matematkudervsge χ - test gymasets matematkudervsg I jauar ummeret 8 af LMFK bladet havde jeg e artkel, hvor jeg harcelerede ldt over, at regresso og sær χ fordelg havde fudet dpas matematkudervsge

Læs mere

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb:

Hvis man vil lægge 15% til 600, så kan det gøres ved at udregne, hvor meget 15% af 600 er lig med og lægge det til det oprindelige beløb: 0BRetesegig BTæk i femskivigsfaktoe! I dette tillæg skal vi se, at begebet femskivigsfaktoe e yttigt til at fostå og løse foskellige poblemstillige idefo pocet- og etesegig. 3B. Lægge pocet til elle tække

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller

Stikprøvefordelinger og konfidensintervaller Stikprøvefordeliger og kofidesitervaller Stikprøvefordelige for middelværdi De Cetrale Græseværdi Sætig Egeskaber Ved Estimatore Kofidesitervaller t-fordelige Estimator og estimat E stikprøve statistik

Læs mere

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk!

Test i to populationer. Hypotesetest for parrede observationer Test for ens varians Gensyn med flyskræk! Test i to populatioer Hypotesetest for parrede observatioer Test for es varias Gesy med flyskræk! Afhægige og uafhægige stikprøver Ved e uafhægig stikprøve udtages e stikprøve fra hver gruppe.. Mæd og

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

Viden Om Vind oftere, stop i tide

Viden Om Vind oftere, stop i tide Vide Om Vid oftere, stop i tide Spørgsmål og svar Idhold Risici og relevas 2 Steffe Aderse Sadsyligheder 5 Per Hedegård Spørgsmål til eksperte 7 Thomas Aderse Til 8 Rasmus Østergaard Pederse E sikker strategi

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik.

29. januar Epidemiologi og biostatistik Forelæsning 2 Uge 1, torsdag 2. februar 2006 Michael Væth, Afdeling for Biostatistik. Epidemiologi og biostatistik Forelæsig Uge 1, torsdag. februar 006 ichael Væth, Afdelig for Biostatistik. Sammeligig af to middelværdier sikkerhedsitervaller statistisk test Sammeligig af to proportioer

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

Induktionsbevis og sum af række side 1/7

Induktionsbevis og sum af række side 1/7 Iduktosbevs og sum af række sde /7 Skrver ma,,,...,,..., =, 2, 3,... 2 3 taler ma om e talfølge, eller blot e følge. Adre eksempler på følger er, -,, -,, -,..., (-) +,..., =, 2, 3,..., 2, 3, 4,...,,...,

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 7

BEVISER TIL KAPITEL 7 BEVISER TIL KAPITEL 7 A. Komplemetærhædelse Det er klart, at e hædelse A og de komplemetære hædelse A udgør hele udfaldsrummet U, dvs. A A = Da fås P(U = U P(A A = P (A + P(A = da de to hædelser er dsjukte

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Opsparing og afvikling af gæld

Opsparing og afvikling af gæld Opspaig og afviklig af gæld Opspaig Eksempel 1 Lad os state med at se på et eksempel. 100 Euo idbetales å i tæk på e koto, de foetes med 3 % p.a. Vi ha tidligee beeget e såda kotos udviklig skidt fo skidt:

Læs mere

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q

Situationen er illustreret på figuren nedenfor. Her er også afsat nogle eksempler: Punktet på α giver anledning til punktet Q 3, 45926535 8979323846 2643383279 50288497 693993750 5820974944 592307864 0628620899 8628034825 34270679 82480865 3282306647 0938446095 505822372 535940828 4874502 84027093 85205559 6446229489 549303896

Læs mere

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev!

Information til dig, der er elev som tekstil- og beklædningsassistent. og/eller beklædningshåndværker. Hej elev! Iformatio til dig, der er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Hej elev! Til dig som er elev som tekstil- og beklædigsassistet og/eller beklædigshådværker Idustri Hej elev!

Læs mere

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit

Grundlæggende matematiske begreber del 1 Mængdelære Talmængder Tal og regneregler Potensregneregler Numerisk værdi Gennemsnit Grudlæggede mtemtiske begreber del 1 Mægdelære Tlmægder Tl og regeregler Potesregeregler Numerisk værdi Geemsit x-klssere Gmmel Hellerup Gymsium 1 Idholdsfortegelse MÆNGDELÆRE... 3 TAL... 9 De turlige

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller

STATISTIKNOTER Simple normalfordelingsmodeller STATISTIKNOTER Simple ormalfordeligsmodeller Jørge Larse IMFUFA Roskilde Uiversitetsceter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Uiversitetsceter, Postboks 260, DK-4000 Roskilde. Jørge Larse: STATISTIKNOTER: Simple

Læs mere

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse

Modul 14: Goodness-of-fit test og krydstabelanalyse Forskigsehede for Statistik ST01: Elemetær Statistik Bet Jørgese Modul 14: Goodess-of-fit test og krydstabelaalyse 14.1 Idledig....................................... 1 14.2 χ 2 -test i e r c krydstabel.............................

Læs mere

Yngre Lægers medlemsundersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 2016

Yngre Lægers medlemsundersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 2016 Ygre Læger, 23. maj 216 Ygre Lægers medlemsudersøgelse om det lægelige arbejdsmarked, 216 - svarfordeliger på ladspla Idholdsfortegelse 1. Idledig... 2 2. Baggrudsvariable... 2 3. Vide om arbejdspladse

Læs mere

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem

Introduktion til optimering og operationsanalyse. Asymmetric Traveling Salesman Problem Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse Asymmetric Travelig Salesma Problem David Pisiger, Efterår 2003 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt

Dårligt arbejdsmiljø koster dyrt Dårligt arbejdsmiljø F O A f a g o g a r b e j d e koster dyrt Hvad koster et dårligt arbejdsmiljø, og hvad ka vi gøre for at bedre forholdee for de asatte idefor Kost- og Servicesektore? Læs her om de

Læs mere

Facilitering ITU 15. maj 2012

Facilitering ITU 15. maj 2012 Faciliterig ITU 15. maj 2012 Facilitatio is like movig with the elemets ad sailig the sea Vejvisere Velkomst de gode idflyvig Hvad er faciliterig? Kedeteg ved rolle som facilitator Facilitatores drejebog

Læs mere

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab

Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistik ved Bachelor-uddaelse i folkesudhedsvideskab Græseværdisætiger Det hadler om geemsit Statistikere elsker geemsit Det er oplagt e god ide at tage geemsit. Hvis jeg f.eks skal gætte på vægte af

Læs mere

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark

Matematisk Modellering 1 Hjælpeark Matematisk Modellerig Hjælpeark Kaare B. Mikkelse 2005090 3. september 2007 Idhold Formler 2 2 Aalyse af k ormalfordelte prøver 2 2. Modelcheck............................................ 2 2.2 Test af

Læs mere

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft

Prisfastsættelse af digitale goder - Microsoft Iteretøkoomi: risfastsættelse af digitale goder Afleveret d. 9 maj 003 Af Julie ech og Malee Aja org risfastsættelse af digitale goder - Microsoft Af Julie ech og Malee Aja org.0.0 DIGITALE GODER....0.0

Læs mere

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H

ORDEN OG UDVALG: KUNSTEN AT TÆLLE KOMBINATORIK N H ORDEN OG UDVALG: UNSTEN AT TÆLLE OMBINATORI Edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt I et edeligt symmetrisk sadsylighedsfelt ( P ) U, ka sadsylighede for e give hædelse H, hvor altså H U, som bekedt bereges

Læs mere

Differentiation af potensfunktioner

Differentiation af potensfunktioner Hvd er mtemti? B, i-bog ISBN 978 87 766 494 3 Hjemmesideevisig: Differetitio f potesfutioer, Kpitel 4, side 76 Differetitio f potesfutioer. Pscls tret og biomilformle Vi strter med t mide om t poteser

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage

Dagens forelæsning. Claus Munk. kap. 4. Arbitrage. Obligationsprisfastsættelse. Ingen-Arbitrage princippet. Illustration af arbitrage Dages forelæsig Ige-Arbirage pricippe Claus Muk kap. 4 Nulkupoobligaioer Simpel og geerel boosrappig Forwardreer Obligaiosprisfassæelse Arbirage Værdie af e obligaio Nuidsværdie af obligaioes fremidige

Læs mere

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E

Nanomaterialer i virkeligheden F O A F A G O G A R B E J D E F O A F A G O G A R B E J D E Naomaterialer i virkelighede Arbejdsmiljøkoferece i Kost- og Servicesektore 9. september 2013 Naomaterialer i virkelighede Idhold Gå ikke i paik eller baglås. I ka sagtes

Læs mere

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen

Bilag 5: DEA-modellen Bilaget indeholder en teknisk beskrivelse af DEA-modellen Bilag 5: DEA-odelle Bilaget ideholder e teis besrivelse af DEA-odelle FRSYNINGSSERETARIATET FEBRUAR 2013 INDLEDNING... 3 INPUTSTYRET DEA-MDEL... 3 UTPUTSTYRET DEA-MDEL... 7 SALAAFAST... 12 2 Idledig Data

Læs mere