Elementær Matematik. Differentialregning

Transkript

1 Eleetær Mtetik Dieretilrei Ole Witt-Hse Køe Gsiu 8

2 Idold Idold... Kp. Græseværdi o kotiuitet.... Græseværdi.... Rei ed ræseværdier.... Græseværdier ed uedeli...5. Kotiuitet...5. Sætier o kotiuerte uktioer...6 Kp. Dieretiilitet.... Dieretilkvotiet o tet.... Dieretilkvotiet or ole siple uktioer...4. Reereler or dieretitio Iiitesilrei. Dieretiler Historisk ote Dieretitio sest uktio Dieretitio ovedt uktio Dieretilkvotiet or ekspoetiel- o potesuktioer Det pproierede. rds poloiu Dieretitio si, cos o t...7 Kp. Mootoiorold.... Mootoe uktioer.... Loklt iu o loklt iiu or e uktio.... Middelværdisætie Hovedsæti o dieretilkvotiet o ootoiorold Besteelse ootoioroldee or e dieretiel uktio....6 Kp 4. Asptoter...9. Asptoter til rer or e uktio...9. Poloier o poloiusrøker or ±... Kp 5. Nuerisk løsi...4. liier...4. Bisektio...4. Reule lsi...4. Newto Rpsos etode...5 Kp 6. Fuktiosudersøelse...6. Udersø o te...6

3 Græseværdi o kotiuitet Kp. Græseværdi o kotiuitet. Græseværdi Mtetikke k rot set dele op i Aler o Alse. I lse veder oså ler, e tiløjer et væsetlit ere, so kldes ræseværdi. Græseværdiereet er elt ørede or udviklie dieretil- o iterlreie. Det er etop disse to disciplier, der er de est vedte i lle dre videsker, især sik, kei o økooi. Betrter vi uktioe, så er =. Tæker vi os, t vi lder ære si til r øjre ee værdiere, ;, ;, ;, osv. eller r vestre,9 ;,99 ;,999 ;,9999 osv. så vil ikke overrskede ære si til tllet. Hvor lt dette ed k lde, så spejler det e rudlæede eesker ved de reelle tl. De reelle tl lier "uedeli tæt". Der er ikke é "eterøler" til et reelt tl. Melle to orskellie reelle tl, lier der uedeli e reelle tl. Noet tilsvrede k sies o de rtiole tl, e der er llievel e orskel. Dee orskel er ere sutil. For de reelle tl ælder eli, t ræseværdie vis de ides or e øle reelle tl er ltid et reelt tl. Det er deriod reltivt let lve e øle rtiole tl decilrøker, so ærer si til, es so ekedt ikke er et rtioel tl. Vi kue oså æve, t so vist tidliere, så: e or Vi sier, t, r ræseværdie or åede od. Dette skrives tetisk:. or Det er lidt isvisede t sie, t k se dette på e r, ordi vi jo etop teer re, så or. Mes ræseværdie k ses elt l, så stiller se si elt derledes, vis uktioe ikke er deieret, der vor vi øsker t estee ræseværdie. Ser vi.eks. på uktioe: si ; Så er ikke deieret or =, e deror k odt tle o e evetuel ræseværdi or åede iod. Vi uderstreer, t ikke re k idsætte på ' plds, idet er udeieret, i de orstd, t det k være ræseværdi or lle tl r ius uedeli til uedeli. Hvis på rreere idsætter tl ær ved i si vil ide t jo tættere tllee er på plus/ius ul, jo tættere er på tllet. Dette k vi skrive solsk. si or

4 Græseværdi o kotiuitet Beærk, t e uktio ikke eøver t være deieret i det "pukt", vor vil estee ræseværdie, o det er etop i såde tilælde, t ræseværdiereet k vedes i e ikke triviel seæ. For t e teorie op, er det ødvedit t orulere e præcis deiitio ræseværdi. Til deiitioe, skl vi vede ereet setriske oee. M r i dee oridelse trditio or t etee et lille tl ed de ræske ostver ε eller δ. Tlæde ω : - <ε - ε < < + ε etees so e setrisk oe okri. E udprikket oe er e oe, vor r jeret. De k skrives so: ω' : < - < δ Forulerie t r ræseværdie, år år iod er d: Lieldi, vor lille e oe ω væler okri, så k estee e udprikket oe ω' okri, så år lot tilører ω' så tilører oee ω. Når skl orulere tetiske sætier, veder ote to vedier: For etvert ælder: Skrives solsk ed e lkvtor: : Der ides et or vilket det ælder: Skrives solsk ed e eksisteskvtor: : For solet. or vedes ote e ækvivlet skriveåde:. li Dette læses so "lies" er li ed, or åede od. Med vedelse lkvtor o eksisteskvtor, k vi u ive e ere kopkt deiitio ræseværdi..4 or : ' : ' li Det sidste læses so øler: For ever oe okri, eksisterer ides der e udprikket oe okri, så år lot tilører de udprikkede oe okri så tilører oee okri.

5 Græseværdi o kotiuitet Der ides e de ækvivlet oruleri deiitio ræseværdi or : Nedeor er vist eksepler på e uktio, der lle r e ræseværdi i. Beærk især, t uktiosværdie i er ude etdi. Evetuelt er uktioe slet ikke er deieret i. I de ørste iur, er ræseværdie i li ed uktiosværdie =. I de de iur er ikke deieret i. r ræseværdie or. I det tredje tilælde er. r ræseværdie or. Nedeor er vist iurer, vor ikke r oe ræseværdi or.. Rei ed ræseværdier Givet t o er deieret i e udprikket oe, o t de er eræsede i e udprikket oe okri. "Beræset" ideærer, t der ides e oe ω, o tl M o K, således: ω < K o < M edvidere, t de to uktioer r e ræseværdi or åede od. or o or

6 Græseværdi o kotiuitet 4 Vi vil d vise, t.6 or k k R k.7 or.8 or.9 or. or ælder så Hvis Vi vil ikke evise lle sætiere. Bevisere lier eet ide. Vi eviser ørst.7. Vi skl or et orelt estee et, således, t k vurderes so øler: = D o r ræseværdiere o, k vi estee et δ, således t: o Her øler < Hvorved sætie er evist. Vi viser deræst.9. Vi skl or et orelt estee et, således, t k vurderes so øler: = = M D o r ræseværdiere o, k vi estee et δ, således t: M o Her øler

7 Græseværdi o kotiuitet 5 M < M M Hvorved sætie er evist.. Græseværdier ed uedeli Vi vil kort itroducere ølede orulerier o skriveåder, so ote støder på. D etdie disse soler er ret idlsede, øres lot de orelle deiitio. år iod uedeli or åede od or K : K år iod ius uedeli or åede od - or K : K år iod or åede od uedeli or K : K år iod or åede od ius uedeli or - K : K. Kotiuitet Lidt løst oruleret, k sie, t kotiuitet e uktio etder t re æer se. E edu ere populær oruleri er, t E uktio = er kotiuet, "vis k tee re, ude t løte lte r ppiret" Dette svrer til de tetiske deiitio, vor deierer kotiuitete i et pukt. Ld være deieret i e oe ω okri. Hvis er edepuktet or et itervl, å idskræke si til e øjre oe eller e vestre oe. er kotiueret i or : : so udtrkker, t skl ve e ræseværdi i o uktiosværdie skl være li ed dee ræseværdi. Nedeor er vist de se uktioer, so vi etrtede i sittet o ræseværdi. De ørste er kotiuert i, De de r e ræseværdi, e de er ikke kotiuert, d de

8 Græseværdi o kotiuitet 6 ikke er deieret i. De tredje r oså e ræseværdi i, e de er ikke kotiuert, d ræseværdie i, ikke li ed uktiosværdie.. Sætier o kotiuerte uktioer Der ælder ole vitie sætier o kotiuerte uktioer. Bevisere or disse sætier er iidlertid ret "tekiske", så vi æver lot sætiere ude evis.. For e kotiuert uktio ælder det, t illedæde et itervl er et itervl.. Billedæde or et lukket itervl er et lukket itervl. A de sidste sæti øler æste uiddelrt.4 E kotiuert uktio r i et lukket itervl e størsteværdi o e idsteværdi..5 Hvis e kotiuert uktio r såvel e størsteværdi so e idsteværdi, så ter de lle værdier elle størsteværdie o idsteværdie. Nedeor er vist rere or ole uktioer, so illustrerer sætiere. til.5

9 Dieretiilitet Kp. Dieretiilitet. Dieretilkvotiet o tet For t orklre dieretiilitet e uktio er, så r vi ru or to ereer, eli, uktiostilvækst or e uktio = ud r et pukt : o tet til re or e uktio. Tet r idtil ku været idørt, so cirkeltet. M deierer i lidelied e cirkeltet, so e liie, der ku skærer cirkle i et pukt. E sekt deriod er e liie, der skærer cirkle i to pukter. M k u eerlisere tetereet til t otte lle kurver, o dered oså re or e uktio. Gee det ste pukt, vor øsker t estee tete tees e sekt. Sekte skærer kurve i det ste pukt o i et vrielt pukt. Hvis lder det vrile pukt evæe si e iod det ste pukt, vil sekte dreje okri det ste pukt o i lidelied ve e ræsestilli, år de to pukter lder se til et pukt. Dee ræsestilli vis de ides o er de se, år ærer si r ee sider kldes e tet til kurve i det ste pukt. Se iurere edeor. Vi stiller os u de opve, t estee ældiskoeiciete or tete i et pukt re or e uktio =. Ld det ste pukt være P =,. Vi iver u e tilvækst, vorved vi år puktet P= +, +. Fuktiostilvækste er, svrede til tilvækste. Liie, der orider P =, ed P= +, + er e sekt til re or = Hældiskoeiciete or sekte er or lle :. sekt Dee røk kldes or diereskvotiete. Tæker vi os u, t vi lder å iod, vil diereskvotiete til stdied være ældiskoeiciete or sekte.

10 Dieretiilitet Hvis sekte r e ræsestilli år år iod, så er tete dee ræsestilli or sekte. Hældiskoeiciete or tete vil d være ræseværdie or sektes ældiskoeiciet. Der vil d ælde:. t et ' li Græseværdie ' vis de eksisterer kldes or dieretilkvotiete i, o de læses " ærke " eller de ledede i. Uæi de eoetriske ortolki tete so ræsestilli or e sekt, deierer u i l lidelied..4 Ld være deieret i e oe. Hvis røke diereskvotiete r e ræseværdi or åede od, sies t være dieretiel i ed dieretilkvotiete li ed dee ræseværdi. ' li Vores pror er u, t estee dieretilkvotiete or lle de uktioer, vi keder, e ørst vil vi se på et ekelt eksepel, vor vi direkte veder deiitioe. Når skl ide dieretilkvotiete or e uktio, deler ote opve i tri, er vet -trisrele. Beste uktiostilvækste D diereskvotiete: Fid ræseværdie ' li, vis de eksisterer or..5 Eksepel. Ld = ½ - +. = er e prel ed toppukt i,. Vi vil estee e lii til tete til re or i =. Vi væler ørst t estee dieretilkvotiete or i et vilkårlit pukt. M veder -tris rele.. ½ ½. ½

11 Dieretiilitet. li li ½ A de sidste lii kokluderer vi, t ' = -. Vi ider d tetliie or =. Hældiskoeiciete er ' = -. o =. Tetliie liver d 5 iøle orle: - = -. - = -- eller = - + På iure edeor er re or o liie teet. M ser, t det er e tet i o - Liie or liie ee puktet,, o so r ældiskoeiciete er so ekedt: Tete ee,, o so r ældiskoeiciete ', er deror:..6 ' ' Før vi år i ed t estee dieretilkvotieter or orskellie uktioer, viser vi ølede ikke særli overrskede sæti:.5 Hvis er dieretiel i, så er oså kotiuert i. At er kotiuert i, k vi udtrkke or Vi sætter = + or or or At er dieretiel i, k vi udtrkke: ' or Her øler:

12 Dieretiilitet 4 ' or or so viser kotiuitete i. Dieretilkvotiet or ole siple uktioer Vi vil vise t uktioe = k kostt er dieretiel or lle o t ' =. Vi veder -trisrele: k k li Vi vil vise t uktioe = er dieretiel or lle o t ' =. Vi veder -trisrele. li Vi vil vise t uktioe = er dieretiel or lle o t ' =. Vi veder -trisrele: li Vi vil vise t uktioe ; er dieretiel o t ' Vi veder -trisrele: Δ Δ Δ li li Vi vil vise t uktioe ; er dieretiel or > o t Vi veder -trisrele: ' Δ

13 Dieretiilitet 5 Vi k ikke uiddelrt ide ræseværdie diereskvotiete, så vi lver ølede oskrivi, idet vi er ed i tæller o æver, o veder kvdrtsætie - + = -. or ordi er kotiuert! Vi år deror li li =. Reereler or dieretitio Ld der være ivet, t er dieretiel i ed dieretilkvotiete ' o t er dieretiel i ed dieretilkvotiete '. Der ælder således: ' or o ' or Vi vil d vise, t er dieretiel i ed. ' ' ', er dieretiel i ed. ' ' ', Disse to sætier k settes i orulerie: M k dieretiere ledvis. De æste sæti viser, t e ktor sættes udeor ved dieretitio Hvis k R, så er k dieretiel i ed. k ' k ', M k deriod ikke dieretiere "produktvis" eller "kvotietvis". Der ælder deriod: er dieretiel i ed

14 Dieretiilitet 6.4 ' ' ', Hvis så er dieretiel i ed.5 ' ' ', I evisere or disse sætier, år det ud på t oskrive dieres-kvotiete, så vi k udtte, t ' or o ' or Bevis or dieretiilite ' ' li li li Ved eviset r vi vedt t ræseværdie e su er li ed sue ræseværdiere. Beviset or - orløer elt lot. Bevis or dieretiilite k ved jælp tretrisrele. k k k k k k k ' li li k k Bevis or dieretiilite ved jælp tretrisrele. Vi k ikke uiddelrt ide ræseværdie, vis vi veder dette udtrk, så vi lver e oskrivi, idet vi dderer o sutrerer størrelse

15 Dieretiilitet 7 li li li ' ' li Vi r ved ræseovere vedt reerelere or ræseværdier, st t or Hvilket øler, t er kotiuert i, ordi er tet dieretiel i. Her ås reerele or dieretitio et produkt to uktioer ' ' ' Bevis or dieretiilite. Vi k ikke uiddelrt ide ræseværdie, vis vi veder dette udtrk, så vi sætter på e ælles røkstre, o sutrerer o dderer størrelse

16 Dieretiilitet 8 li li li li ' ' ', Vi r ved ræseovere vedt reerelere or ræseværdier, st t or, vilket øler t er kotiuert i, ordi er tet dieretiel i..6 Eksepel. Vi vil vede reerelere til t ide dieretilkvotiete or uktioe = ½ - +, so vi så på i eksepel.5, vor vi estete de ud r tretrisrele. Vi dieretierer ledvis o sætter kosttere udeor ved dieretitio. ' Hvilket er det se resultt, so vi tidliere dt direkte..7 Eksepel. Vi vil estee dieretilkvotiete or uktioe ;. Iøle reerele ' ' ' ed o ' ' år : 5 '.8 Eksepel. Vi vil estee dieretilkvotiete or uktioe ;. Iøle reerele ' ' ' Med o ' ' '.9 Eksepel. Vi vil vise, t dieretilkvotiete N ;, er '. Vi skl øre dette ved et såkldt iduktiosevis. Ld os te t er e orel, der æer. Det kue.eks. være sue lle ele positive tle r til. = Vi påstår, t:.

17 Dieretiilitet 9. Det ses uiddelrt, t orel er riti or =, idet =.. Vi ter u, t orle er riti or = p, o vis vi uder dee telse k vise t orle oså er riti or = p+, slutter vi,. t de er riti or lle positive ele tl. Hvis orle eli er ldi or =, r vi evist, t de oså er ldi or =, o vis de er ldi or =, så er de oså ldi or =, osv. I det kokrete tilælde er et ret let t evise : + = + +. Vi veder u tile til dieretitio N ;. Forle er riti or =, idet vi r vist t ' = = - o vi ter, t der ælder '. Vi dieretierer u eter produktrele. ' ' D orle er riti or =, k vi slutte, t de er riti or =.osv. Med dee orel er vi i std til t dieretiere et vilkårlit poloiu,.eks '. Eksepel. Vi vil estee dieretilkvotiete N ; ;. Vi veder røkrele ' N ; ; ' Beærk, t det er de se reereel, so vi vde or N ; 4. Iiitesilrei. Dieretiler 4. Historisk ote Historisk set er dieretilreie udviklet prllelt Newto o Leiitz. A dee rud ides der stdi to orskellie åder t etee dieretilkvotiete på. Skriveåde ' skldes Newto, idet do est vedte skriveåde t s or dieretilkvotiet st ed es til tide. Læses s-pukt. Dee ottio vedes stdi ldt sikere. Fr Leiitz ster eteelse iiitesilrei, so er sot ed "dieretil" o "iterlrei".

18 Dieretiilitet So erudet edeor eteede Leiitz ' d ed solet, vor d o d etees so d dieretiler eoldsvis = o. På dee åde liver dieretilkvotiete skrevet so e kvotiet elle to dieretiler. Hvis vi i diereskvotiete skriver i stedet or vilket ktisk er ere turlit, k ed dee ottio opskrive to idetiske deiitioer på dieretilkvotiet. ' li d li d d Beteelse r ltid været proletisk i itroducerede kurser i dieretilrei. Nole d d øer væler t sie, t er ét sol or ', o det ikke k skilles d i tæller o æver. For d dereter llievel, t skille solet d, år koer til iterlreie. d Hvis deriod optter solet, so e kvotiet elle d o d, så liver ødt til t d orklre, vorledes d o d skl opttes. Proleet lier i, t ved dieretitio, ser på ræseværdie oroldet elle uktiostilvækste = +- o tilvækste, so vi or korteds skld r kldt, år år iod ul. Altså ræseværdie or /, år o dered år iod. I ræse er såvel so li ed ul, o Leiitz, so er ee dieretilreies ædre, idørte eteelsere d o d or ræseværdiere o. d o d lev eteet so iiitesile, dvs. uedeli så tilvækster, svrede til de edelie tilvækster o. Græseværdiere o d o d er ee ul, e llievel reer ed de, so o de vr edelie størrelser. Leiitz reede selv uekret ed iiitesile størrelser, o det jorde tetikere i c. år eter, e odere tetikere r ikke været så eejstrede or t ree ed de lere rude. For eksepel ideærer det, t er o dividerer ed størrelser, der ktisk er ul, so o de vr edelie. Reerelere or iiitesile størrelser er do oså lidt derledes, ed rei ed reelle tl. Hvis der.eks. står d + d så er det li ed d, ordi d er øjere orde! M k iidlertid vise, t rei ed iiitesile størrelser koer ud på det se, so t ree ed edelie tilvækster, år til slut dividerer ed o ter ræseværdie or åede iod d. So st så der odere tetikere ikke rei ed iiitesile størrelser, e llievel r evret solere d o d. I de leste dre turvidesker, især i sik, reer uldstædi uekret ed iiitesile størrelser. Det er ordi det er lt urtiere o lettere ed de tuere, e ekskte ræseover.

19 Dieretiilitet 4.. Eksepler r tetikke. Vi vil estee dieretilkvotiete = ved iiitesilrei. Vi udreer deror d = +d -. d d d d d d d d Vi r i udtrkket oveor st lle "øjere ordes led" i d li ed ul. Resulttet er, so ser korrekt. 4.. Eksepler r sikke. Hvis s = st eteer positioe e prtikel på e kse o t eteer tide, k estee stiede okri s s t t s t ds tidspuktet t, so v vor uiddelrt slutter, ved t lde t, t v s' t. t t dt v dv Helt tilsvrede k or ccelertioe deiitioe slutte t t dt M deierer i tetikke dieretilet d e uktio =, so dieretilkvotiete e d. 4. d ' d Dette er e deiitio d, e vd er d? Her vier eleetære læreøer e del. I e tetik o, k ikke skrive t det er e iiitesil størrelse, so ør det i sik o lle dre turvideskeli seæe. Tricket k d være, t ider d or uktioe ==. Så ider : d = d d =, o d = d= d= d, iøle deiitioe. Altså d = d, er et sol, der er ivet ved si ee deiitioslii. Mtetisk set er dette elt kosistet, e eresæssit skl ok tæke på e iiitesil størrelse, år skriver d. Fordele ved t vede dieretiler er de, t e el del sætier liver idlsede, år veder dieretiler. Sætier, der ellers kræver et læere o ikke ltid ukopliceret evis. 5. Dieretitio sest uktio Ld der været ivet uktioere = o z =, således t V D. M k så de de sestte uktio Sæti. At u t er dieretiel i ed dieretilkvotiete ', t er dieretiel i = ed dieretilkvotiete ' = '. Vi vil d vise, t er dieretiel i ed dieretilkvotiete ' ' ' ' ' Ved rei ed dieretiler er sætie eet let t "evise". Der ælder eli: d ' d dz ' d dz ' ' d

20 Dieretiilitet o ered 5. dz d ' ' ' ' ' dz d dz d d d Dieretitiosrele 5. kldes ote or kæderele, idet vi lot r idskudt d i tæller o æver. Rele udsier, t dieretierer ved ørst t dieretiere ed es til =, o dereter ultiplicerer ed dieretilkvotiete. 5.5 Eksepel. 5 Vi vil ide dieretilkvotiete 7. Fuktioe er sest = 5 o = -7. Vi ider deror: ' = '' = = = Meet urtit older op ed t idøre e jælpevriel, e dieretiere ed es til et uktiosudtrk, so o det vr e vriel. Dette er søt vist i det æste eksepel 5.6 Eksepel Vi vil estee dieretilkvotiete 4 6. Fuktioe er sest o 4 6. M dieretierer "uder". De ørste uktio er kvdrtrodsuktioe. De dieretierer "ed es til det der står uder kvdrtrode", so o det vr e ekelt vriel. Deræst er ed dieretilkvotiete et so står uder kvdrtrodsteet. ' Eksepel M koer ote ud or uktioer, der er sest ere ed to uktioer. Reele er iidlertid de se, dieretierer uktioere "uder" o er dieretilkvotietere se idtil år til. Vi vil estee dieretilkvotiete. Fuktioe er sest, d I dee rækkeøle, ed dieretilkvotieter:, o.. Vi år deror dieretilkvotiete: ' 6 Vi vil u ive et tetiske korrekt evis or kæderele. Beteelsere er de se, so i strte dette sit. For t lve et evis, er det ødvedit t ive deiitioe dieretiilitet e lidt de oruleri. Hertil r vi ru or et t ere, kldet e epsilo-uktio.

21 Dieretiilitet E epsilo-uktio skrives: ε eller ε er e uktio, der er deieret i e udprikket oe okri o so r ræseværdie i. Der ælder ltså: 5.8 or Ever uktio, so r dee eesk kldes e epsilo uktio. Vi k d oskrive lidt på deiitioe dieretiilitet. ' or ' or e eplilouktio er ' 5.9 ' ' ' Vi viser u diretiilitete på sædvli vis ved ørst t udree uktiostilvækste z. z o Dette idsættes i udtrkket or z. D er tet dieretiel i, k Δz skrives, ved vedelse e ε-uktio. z ' Hereter ider ed divisio ed. ' ' ' ' ' ' or z Vi r er vedt, t or, ordi = er kotiuert i, ordi er dieretiel i. Dette viser t ' ' li z

22 Dieretiilitet 4 6. Dieretitio ovedt uktio Lieso der ælder e reereel or dieretitio sest uktio, ælder der e reel or dieretitio ovedt uktio. Vi ider o, t vis er e ijektiv uktio r de e ovedt uktio reeorskrit, so etees -., o vor der ælder ølede: 6. = = - eller ved t otte o = - = = o = - r se riske illede., er jo det se pukt, d de to liier e esetdede, es rere or = o = - reår ide ved spejli i liie =. Ved dee spejli, vil, etop live ildet i,. Det er deror ikke særli overrskede, t vis = er dieretiel i o o ' o, så vil - være dieretiel i det tilsvrede =. D dieretilkvotiete o er ældiskoeiciete or tete, o d dee ældiskoeiciet k erees ud r to pukter so - / -, så å kue ide ældiskoeiciete or spejlie dee tet i =, so å være tete til = - i ved t tte o på o. Dette er søt illustreret på iure edeor. Ud r e eoetrisk etrti, urde der så ælde: - = - / - = / o Dette vil vi u evise, idet vi viser sætie: Ld = være e ijektiv uktio, so er dieretiel i ed. De ovedte uktio = - er d dieretiel i ed: 6. ' vor ' Ved vedelse rei ed dieretiler er sætie æste triviel, idet: d d ' o ' d d d ' d d ' vor d Bevis: Vi ider o r sittet o dieretitio sest uktio, t er dieretiel i = +- = + vor er e epsilouktio, dvs. or. Vi vil u skrive i stedet or. er det se so. Liie liver d er dieretiel i

23 Dieretiilitet 5 = + ' li For de ovedte uktio = - vil tilsvrede ælde vis de er dieretiel i.:. ' li vor = Vi vil d evise, vis vi ter. Vi der diereskvotiete or - ud r puktet. ' ' eller ved t orkorte røke ed Vi eærker or det ørste, t ævere ikke k live ul or tilstrækkelie så, det iøle telse o or. Edvidere ælder det, t or, d - er kotiuert. De ovedte uktio til e kotiuert uktio er kotiuert. Vi ider deror. li li o dered ' ' ' ' vor = Hvored sætie er evist. 6.4 Eksepel Vi vil u vede sætie på uktioe: = = l, so r de ovedte uktio = e. I iterlreie viser, t l er e stuktio til, vilket etder, t 6. l'= ; > Vi skl vede dette resultt, år vi skl ide dieretilkvotiete = - = e, o vor = l = /, o old så st! ' ' e o deror e, so er de ovedte uktio til l. e ' e eller e ' e Fuktioe = e r de elt specielle eesk, t de er si ee dieretilkvotiet. Det er de eeste uktio, so r dee eesk. 6.5 Øvelser:. Fid de ovedte uktio til = or >. Fid deræst dieretilkvotiete til dee uktio.. = t er ooto i itervllet ]-/, /[, o de r deror e ovedt uktio i dette itervl, so kldes or = t -. Vis t t - =. = si er ooto i itervllet ]-/, /[, o de r deror e ovedt uktio i dette itervl, so kldes or

24 Dieretiilitet 6 = si -. Vis t si - = 6. Dieretilkvotiet or ekspoetiel- o potesuktioer E ekspoetilutio er dieretiel or lle ed 6.6 ' l Dette øler oskrivie e l ' e l l l E potesutio vor er dieretiel or lle ed 6.7 ' Dette øler oskrivie e l ' e l Beærk især, t rele or dieretitio e potesukto er de se, so vi tidliere udledte or eltllie ekspoeter. 7. Det pproierede. rds poloiu Dee lidt oruroliede oruleri, er iidlertid lot over e de åde t orulere tetliie på. Udspuktet er iidlertid lidt derledes. Vi eridrer r sit 5. o, vorledes k orulerer dieretiilitete e uktio ved jælp e epsilo uktio. er dieretiel i <=> ' Hvor er e epsilo uktio: or. Hvis er "lille" er "lille" øjere orde, o k i de ørste tilærelse til t eree + vede udtrkket: 7. ' Det er i lidelied dette udtrk eteer so det pproierede. rds poloiu, idet til tilærer pproierer + i oee. Idører iidlertid i udtrkket = + o = -. år tetliie i. 7. '

25 Dieretiilitet 7 Tidliere vedte det pproierede. rds poloiu til t eree tilærede uktiosværdier. 7. Eksepel Vi øsker t estee e tilæret værdi or 4,, o vi veder 7,. 4, 4, 4 '4,,,5,5 4 Et opsl på e loereer viser, t et øjtit resultt er, Dieretitio si, cos o t = si er deieret på ele de reelle kse. Vi vil vise, t si er dieretiel or lle, o t si ' = cos For t evise dieretiilitete si er det do ørst ødvedit t vise, t si 8. or Dette vises d eoetrisk vej, idet vi på iure edeor r teet e eedscirkel ed cetru i O, vor vi r st viklere o -, st teet lvteter i de to retispukter P o P. Tetere skærer ide på -kse i puktet Q på rud setrie okri -kse. cos Hvert stkkere P Q o P Q er li ed t, so det ses ud r de retviklede trekt OP R. For e cirkel ælder det, t perietere or e idskreve polo er idre e cirkles perieter, so ie er idre ed perietere or e oskreve polo. Aveder dette på cirkelue r P til P, so r læde, år or < < uliede: 8. si t si t si si cos si si cos si Hvis - < <, så er uliede uordret idet si- = -si o cos- = cos, så cos si cos si

26 Dieretiilitet 8 Hvis vi lder å iod ul, vil uliede ælde uder ele ræseovere, idet der do odt k ælde liedste i ræse. licos si li li si li si A de sidste ulied reår t år iod, år år iod. Vi vil u vise t si er dieretiel i. Diereskvotiete er si si cos si cos si Vi r ved de ørste oskrivi vedt de loritiske orel or dditio/sutrktio to sius-uktioer: u v u v siu si v cos si. I det sidste led ltter vi ktore ed i ævere so. cos si cos si si cos Det sidste udtrk k vi ide ræseværdie, vis vi veder t, si or si på rud, t or si 8. li licos li cos cos Hvilket viser, t si er dieretiel or lle o t si ' = cos. Vi k u vise dieretiilitete cos ved oskrivie: cos si sius-uktioe so e sest uktio. o dieretiere 8.4 cos ' si ' cos si Hvilket viser, t cos er dieretiel or lle o t cos ' = - si.

27 Dieretiilitet 9 Vi k d vise t t er dieretiel i ele si deiitiosæde o t ' t. cos Vi viser dette ved t vede røkrele or dieretitio på cos cos si si t ' cos cos si cos si t cos cos t 8.5 Eksepel Nedeor vises dieretilkvotiete ole uktioer, der er sestte uktioer ed de triooetriske. Vi ter, t eider si i deiitiosæde or uktioe.. si ' si cos. si ' cos. si ' cos si 4. lcos ' si t cos

28 Poloier Kp. Mootoiorold. Mootoe uktioer E uktios ootoiorold drejer si o, vorvidt e uktio er voksede eller tede eller ie delee. Vi ider o ole deiitioer r. Deiitio: E uktio er voksede i et itervl I, vis der or lle, I ælder: < < Deiitio: E uktio er tede i et itervl I, vis der or lle, I ælder: < > Geoetrisk etder dette, t re or evæer si eoldsvis "opd" eller "edd". Edvidere ider vi o ereere iu o iiu, oså kldet størsteværdi o idsteværdi. Miu o iiu or e uktio, skrives o i. Deiitio: = sies t være størsteværdi eller iu or e uktio i et itervl I, vis der or lle I ælder: Miiu deieres elt tilsvrede. = i er iiu or i et itervl I, vis der or lle I ælder: Ikke lle uktioer r et iu eller iiu, o e uktio k odt ve iu eller iiu i lere orskellie pukter. Eksepel: = ; R, r iiu =, e de r itet iu. = / ; > r verke iu eller iiu. er edd eræset, es ikke er eræset. Der ælder iidlertid ølede vitie sæti, so r været otlt i idledie til dieretilreie, e ikke evist. Et tetisk evis ville kræve e dere orståelse de reelle tl. E koveret øle reelle tl r ltid etop et reelt tl so ræseværdivi udelder deror eviset, e sætie er illustreret edeor ved e række eksepler. Sæti: Hvis e uktio er kotiuert i et lukket itervl I = [, ], så r såvel e størsteværdi so e idsteværdi i itervllet.

29 Poloier De ørste iur oplder etielsereor såvel so i. De de iur r ie størsteværdi, ordi de ikke er overlt kotiuert, o de sidste iur r ie idsteværdi, ordi itervllet ikke er lukket.. Loklt iu o loklt iiu or e uktio Vi skl u deiere ereere loklt iu o loklt iiu. Til dette r vi ru or edu et ere, eli e oe okri et pukt. E oe okri, skrives. Deiitio: E oe okri er et itervl, so r so idre pukt. dvs. ikke et edepukt. Eksepel: Hvis = -, så er itervllere ]-½,-½], ]-, -,75[ o [-,5, -,5] lle oee okri. Deiitio: E uktio r loklt iu loklt iiu i, vis der ides e oe okri, så er iu iiu i dee oe. Altså, der ides e oe,okri, således t Bereere loklt. o loklt i. er illustreret edeor. r loklt i. i, 4, 6 o 8. r loklt. i, 5, 7. r lolt. i 7.

30 Poloier r lolt i. i. Vi vil d vise ølede eet vitie sæti. Ld være e uktio, der er dieretiel i e oe okri. Hvis r loklt. eller loklt i. i, så er ' =. Bevis: Vi eviser sætie or loklt i i, eviset or loklt orløer elt lot. Hvis r loklt i, så vil der or pssede så værdier e tilvækst ælde: > + < + Her ider vi: + - Uæit 's orte. Her øler ved divisio ed : or o or Bee røker er iidlertid diereskvotiete / or eoldsvis > o <. D er orudst dieretiel i, r disse to røker se ræseværdi or. Det øler iidlertid uliedere oveor, t li o li o ered Hvored sætie er evist. ' li li Sætie r e sipel eoetrisk ortolki, idet ' = etder, t re or r e vdret tet i Når ' = sies uktioe t ve ekstreu i. Vi r set, t r ekstreu i et loklt. eller loklt i., e det viser si, t der oså er to dre ulieder. A sætie øler, t vi k estee puktere, vor e dieretiel uktio r loklt. eller loklt i. ved t løse liie. ' = ed es til

31 Poloier Ser vi.eks. på iure side 8 er ikke dieretiel i 4 o 5, så disse ekstreuspukter k ikke estees ved t løse liie ' =. Til eæld ses, t ' =, vor der verke er loklt. eller i. I dette tilælde sies t ve e vdret vedetet. Oveståede sæti, k dres i vedelse, år øsker t estee værdiæde or e kotiuert uktio i et lukket itervl. A sætie o. o i. or e kotiuert uktio i et lukket itervl øler eli, t vi ku eøver t udree uktiosværdie i edeståede tper pukter: Edepuktere or itervllet [,]: o. Pukter vor ' = :,,... Pukter, vor ikke er dieretiel, e vor odt k ve loklt eller loklt i. Eksepel:. Vi vil estee værdiæde or uktioe = - ; [,]. = o = - ' = / - ; ' = / - = = 4 = er dieretiel or >, så V = [-, 8 ]. Ld os te, t r = e, o øsker t lve e rektulær idei ed det størst ulie rel. Kldes de ee sidelæde på ideie or, er de de sidelæde -/ = -. Arelet A ideie er A = - = - ; < < A = A =. A' = - ; A' = = ½ A er overlt dieretiel, så A = A½ = 4. Hvis skl ide værdiæde i et ået itervl, er situtioe ikke eet orskelli r oveståede, idet så lot skl ide ræseværdie vis de eksisterer i edepuktere or det åe itervl. Der ælder eli sætie:.4 Billedæe et itervl or e kotiuert uktio er et itervl. Vi illustrerer sætie ed et pr eksepler.. Vi vil estee værdiæde or = e -, vor [, [. Vi dieretierer deror o løser ' =. ' e e e ' ; 4e ; o or Værdiæde er deror [,4e - ]. Middelværdisætie Rolles sæti: Hvis e uktio er kotiuert i det lukkede itervl [,] o dieretiel i det åe ],[ således t = =, så ides der idst et pukt c, vor 'c =.

32 Poloier 4 Oveor er Rolles sæti illustreret ved eksepler. Bevis: D er kotiuert i [,] r åde e størsteværdi o e idsteværdi i itervllet. Hvis åde o i er i edepuktere er de ee, o = er kostt li ed i [,]. Her øler, t ' = i [,], o sætie er trivielt opldt i dette tilælde. Hvis ikke åde o i er i edepuktere er idst e de i et idre pukt c ],[. Her r iidlertid loklt ekstreu, o iøle e tidliere sæti er 'c =, voreter sætie er vist. Rolles sæti er i si selv ikke så iteresst, e de vedes til t evise de eet vitie iddelværdisæti. Middelværdisætie: Ld e uktio være kotiuert i det lukkede itervl [,] o dieretiel i det åe ],[. Der ides d idst et idre pukt c ],[, vor ' c Geoetrisk udtrkker iddelværdisætie, t der ides idst et idre pukt i itervllet [,], vor re or r e tet, so er prllel ed liie der orider edepuktere, o, or re. Dee liies ældiskoeiciet er eli li ed øjre side liie oveor.

33 Poloier 5 Bevis: Vi idører e jælpeuktio l, so er de lieære uktio, so orider edepuktere, o, or re. Det er et t opstille et reeudtrk or l, e det er ikke ødvedit or eviset. Der ælder trivielt, t l = o l=. Vi ser d på uktioe = - l. O dee uktio ælder = -l = o = -l =. er kotiuert i [,], d åde o l er det. O er dieretiel i ],[, d åde o l er det. oplder således etielsere or Rolles sæti i itervllet [,], o der ides deror idst et c ],[, således t 'c =. Vi ider ved dieretitio ' = ' - l ' = ' 'c = ' c ' c vored sætie er evist 4. Hovedsæti o dieretilkvotiet o ootoiorold Ved vedelse iddelværdisætie er vi u i std til t evise e ovedsæti o seæe elle ootoiorold o orteet or dieretilkvotiete or dieretile uktioer. I det ølede vil vi ed I o I etee et itervl o det tilsvrede åe itervl. Hvis I = [,] er I = ],[ 4. Sæti: Ld e uktio være kotiuert i et itervl I o dieretiel i det tilsvrede åe itervl I. Hvis der or lle I ælder: ' > ' < ' = => voksede i I => tede i I => kostt i I Bevis: Vi eviser ku sæties. del.. o. del evises elt lot. Ld o være vilkårlie tl i itervllet I, o <. Iøle iddelværdisætie vedt ed = o =, ides der idst et c ], [, således t: ' c

34 Poloier 6 D ' > i I iøle telse, ælder der t 'c >. Uæi elieede o, vil der deror ælde uliede A dee ulied k d slutte: - > - > Hvis røke o ævere er positive, så er tællere oså positiv. Eller ved t oskrive lidt: < < vilket er deiitioe på t er voksede, vored sætie er evist. 4. Besteelse ootoioroldee or e dieretiel uktio. Ld være e vilkårli uktio, der er deieret o dieretiel i et itervl, evetuelt på ær et edelit tl pukter, vor de ete ikke er deieret eller ikke dieretiel. For t udersøe ootoioroldee, er det iøle ovedsætie tilstrækkelit t udersøe orteet or '. I prksis øres dette ltid ved t: Udree ' Løse liie: ' = Lve e ortesvritio or '. Ld os te t e uktio i et itervl [,] ikke er deieret i o 5, o t ' = r løsiere =, =, = 4,o = 6. Vi lver d e ortesliie, so vist edeor: ': o - + o o o > : Ove over ortesliie er skitseret res orlø okri ulpuktere or '. Forteee or ootoitervllere er udet ete ved t etrte uktiosudtrkket or ', eller ved t idsætte e værdi i itervllet o udree '. Vi k d iøle de oreåede sæti slutte, t: er voksede i itervllere [, ], [ 4, 5 [, ] 5, ]. er tede i itervllere [, [ o ], 4 ]. r loklt i o r loklt i i 4.

35 Poloier 7 r e vdret vedetet i o i Eksepel Vi vil estee ootoioroldee or uktioe e ; D =R. Vi udreer dieretilkvotiete iøle produktrele: ' e e e ' Fortesliie liver deror: ' A ortesvritioe or ' slutter vi, t er tede i itervllere [-, ] o [, [ er voksede i itervllet [, ] D > or lle, o = ses, t r loklt o lolt iiu or =, r loklt or =. Edvidere ses det, vilket erudes edeor t or - o or Værdiæde or er deror [, [ Nedeor er vist et oto re: Fktisk r vi ikke ørt et orelt evis or t e - år iod or åede od uedeli, e dette k evises. Vi ser ørst på edeståede eksepel.

36 Poloier 8 Eksepel l 4. Vi vil estee værdiæde or ;. Vi dieretierer o sætter ' = l l ' ; ' l e Vi ser, t ' > or ],e [, så er voksede ],e ], tilsvrede er tede [e, [. r dered si størsteværdi or = e o e = /e <. l Vi ser d på ; l l l e or l or l Hereter k vi vise, t or or > ved oskrivie: l l l or i det or Vi ser d på uktioe: or, år e l l l l e, år Når de turlie lorite e uktio år iod ius uedeli, år selve uktioe od. Vi slutter d, t or, år e Ved jælp oskrivie l e er det lie så let t vise, t or, år o. Resulttere k løst oruleres so, t e potesuktio ltid vider over e loriteuktio o t e ekspoetiluktio ltid vider over e potesuktio. Dette k id ielle være lidt overrskede. Ser vi.eks. på, så vil dette iøle sætie å iod ul or.. Vi vil udersøe, vor stor skl være or t røke er idre ed. Ved t løse liie. lo lo lo. lo lo. på e rreer,. ider t = 78,7.

37 Asptoter 9 Kp 4. Asptoter. Asptoter til rer or e uktio E sptote er ltid e ret liie, so uktioe "i e eller de ræse" tilærer si til. M deler sptoter op i tilælde: Lodrette sptoter, vdrette sptoter o skrå sptoter. E vdret sptote r liie =. Vdrette o skrå sptoter orekoer ku or eller -. Hvis der o e uktio = ælder, t orskelle elle o, år iod ul or åede od uedeli eller ius uedeli, så r e vdret sptote: Opskrevet ere orelt, så skl der ælde, år = r e vdret sptote or. - or eller - Tilsvrede sier, t = r e skrå sptote = + or, vis. - + or eller - Beærk, t det er orskelle elle o e lieær uktio, der skl å iod ul. Der iver ikke ei t sie t to uktioer ærer si til ide, vis de ee år iod uedeli eller ius uedeli. E lodret sptote, k ku orekoe i et pukt, vor = ikke er deieret. Dette skrives. or + eller or - eller - or + eller - or - So eksepel, skl vi se på re or uktioe ; Vist edeor So det ses re, "ser" re or = si op d liie =. Edvidere "ser" re si or store o så, si ls ed liie =. Dette vil udtrkke eter t ve ørt evis or det. Gre or = r e lodret sptote ed lii =. Gre or = r e vdret sptote ed lii = or eller - Der ides to udetle reler, år vi skl ide ræseværdier or e røk. Hvis eller - o er eræset år verke od uedeli eller ius uedeli, så år røke od..4 Hvis, o ikke år iod, så år røke od uedeli eller ius uedeli..

38 Asptoter Ved t vede disse to reler, k vi se t: or r øjre or r vestre Hvor vi slutter, t re or = r e lodret sptote ed lii =. For de vdrette sptote lver vi opskrivie, idet vi dividerer ed i tæller o æver or Hvor vi slutter, t = r e vdret sptote ed lii = or Vi vil u se på et eksepel på e uktio, der r e lodret o e skrå sptote.

39 Asptoter Oveor er vist re or uktioe 4 ; 8 Tællere er or = -4 li ed 6, så -4 er ikke et ulpukt or tællere. Her øler det: 4 8 or 4 8 or Hvor vi slutter, t re or = r e lodret sptote ed lii = - 4. Gre idikerer, t uktioe oså r e skrå sptote. For t estee dee, oreter vi poloius divisio. Vi viser ikke udreie, e vi år kvotiete ½ - o reste 6. Føleli er: Vi lver dereter de siple oskrivi:

40 Asptoter or 8 6 Forskelle elle o de lieære uktio år iod or åede od plus eller ius uedeli, vilket vi slutter: Gre or = r e skrå sptote or. Poloier o poloiusrøker or ± Vi vil ørst vise, t et poloiu rd > vil å iod eller - ku æit orteet or øjesterdsleddet. Ld... ed Hvis vi sætter ude or e pretes, år vi ølede oskrivi;.... ed Hvis ±, vil orteet or det der står ide i pretese være det se, so orteet or, idet lle de øvrie led vil å iod ul. Poloiet vil deror "opøre si so" or ±. Vi ser d på e poloiusrøk, vor rde tællere er større e rde ævere ed Vi dividerer d i tæller o æver ed. Hered år vi. ed Nævere vil å iod or ±, o tællere vil "opøre si so" or ±. Hvis specielt tælleres rd er e større es æveres rd, vil poloiusrøke opøre si so et ørsterdspoloiu e lieær uktio, vilket etder, t poloiusrøke vil ve e skrå sptote. Det vr etop det, so vr tilældet ed det det de idledede eksepler. Hvis æveres rd er li ed tællerees rd, ltså vis =, er poloiusrøke:

41 Asptoter Vi dividerer røke i tæller o æver ed o år: or år ltså iod e kostt, vilket etder, t r e vdret sptote. or Hvis æveres rd er større ed tælleres rd, ltså vis >, oreter vi de se oskrivi so i. ed Når < er lle ekspoetere etive i udtrkket oveor. Dette etder ie t lle leddee vil å iod or ±. Vi slutter deror. Hvis æveres rd er større ed tælleres rd >, r poloiusrøke e vdret sptote = or ±. Dette vr etop tilældet i det ørste de idledede eksepler.

42 Nuerisk løsi liier 4 Kp 5. Nuerisk løsi. liier Der er e liier, der ikke r e ltisk løsi. Hvilket er det se so, t der ikke ides e løsisorel. Liier rd >, k pricipielt løses, e der er ie kedt løsisorel or liier rd > 4. I siet lærer so ekedt ku løsisorler or ørsterdsliier o derdsliier. I tetikke tler o trcedete tl. Hvilket etder tl, so ikke er rod i et poloiu ed eltllie eller rtiole koeicieter. So eksepler på trcedete tl er π o e, voriod.eks. er et irrtiolt tl dvs. ikke e røk, e ikke et trcedet tl, idet er rod i poloiet -. Trcedete uktioer er.eks. si, cos, t, l o e. E rtioel uktio er et poloiu eller e poloiusrøk ed eltllie eller rtiole koeicieter. Til liier, der pricipielt ikke k løses ltisk ører de trcedete liier. Hvilket vil sie liier, der åde ideolder e rtiol uktio o e trcedet uktio.. Eksepel E sipel trcedet lii kue.eks. være e = +. De leste odere rreere, r e etode til t løse såde liier, o vis orsøer ider =,46. Bisektio Bisektio, etder t lvere, o det er oså etode til uerisk ulpuktsesteelse. Ld os te t r e kotiuert uktio = i et itervl [, ] o der ælder <, således t o r orskellit orte. Så å = i idst et pukt elle o. Vi ter t < M udreer u uktiosværdie i idtpuktet [, ] = ½+. Hvis =, r udet ulpuktet ellers, vis > lier der et ulpukt i itervllet [, ] ellers lier der et ulpukt i itervllet [, ]. Hereter eter processe ed det e itervl, o såd ortsætter, idtil r lokliseret ulpuktet tilstrækkelit øjtit. Eter lverier itertioer, er ulpuktet estet ed e øjtied på -/. Bisektio er let t vede på e coputer, e er reltiv lso, t vede uelt.. Reule lsi Forudsætiere er de se so or isektio, e idee er de t tilærer uktioe ed e lieær uktio i itervllet [, ] o esteer de lieære uktios skærispukt ed. kse. De lieære uktio, so år ee, o, er I dee lii sætter vi = o ider ørste tilærelse til skærispuktet:

43 Nuerisk løsi liier 5 På se åde so ør, vis =, r udet ulpuktet ellers, vis > lier der et ulpukt i itervllet [, ] ellers lier der et ulpukt i itervllet [, ]. Her eter eter processe ed det e itervl, o såd ortsætter, idtil r lokliseret ulpuktet tilstrækkelit øjtit. Reule lsi kovererer lt urtiere e isektio, o dee etode vedes e coputere o rreere. M stdser i rele, år r udet to værdier, vis std er idre ed de øskede øjtied.. Newto Rpsos etode Dee etode er eet elet, e kræver kedsk til uktioes dieretilkvotiet. De kræver ikke, t keder uktioe i to værdier, vor <, e de kræver t r et æt, der ikke lier "lt or lt r" ulpuktet. Idee er sipel. M tilærer uktioe ed det pproierede. rds poloiu tetliie, o ider ulpuktet or dee so e tilærelse til ulpuktet or. M iver e tilvækst, o esteer, således t rer ulpuktet i dee pproitio ' ' M sætter så. Hvis =, er ulpuktet udet, eller eter ' processe or t estee et. M sætter så ' ' ', o såd ortsættes, idtil r opået e tilstrækkeli øjtied. Newto Rpsos etode kovererer urtit, år lot er i ærede ulpuktet, o ' er orskelli r i. Eller ikke koer i ærede et ulpukt or '. I dette tilælde k live klet edo eet lt væk r ulpuktet.

44 Ideks 6 Kp 6. Fuktiosudersøelse. Udersø o te Før idørelse rreere i siet ottede e uktiosudersøelse lle ølede edeståede pukter. Hvd år det sidste pukt o tei re, så er det tilseldede ikke læere oet krv, t selv skl kue tee uktiosre på et stkke kvdreret ppir. Det er på si vis lidt uderlit, lt de stud, t lle de øvrie pukter etop er orudsætie or dette. Vi ter, t der er orelt e uktio =. Opve k lde: Udersø, ed elik på ole åske lle edeståede pukter.. Deiitiosæde D.. Nulpukter o orte or. Dette ideærer, t løse liie =, o lve e ortesliie, so.eks. skitseret ede or. På ortesliie skl sættes ulpukter o de pukter, vor ikke er deieret. : o > : + etder, t er positiv. - etder, t er etiv. M eøver ikke, t skrive i ord, t er positiv i itervllere ]-, [ osv.,e å odt. Bedre, e det er eller ikke oet krv, t skrive, t d er kotiuert, k de ikke skite orte elle ulpukter, o pukter, vor de ikke er deieret.. Evetuelle lodrette, vdrette eller skrå sptoter, st i øvrit uktioes opørsel or o -, vis disse ræser er i deiitiosæde. Hvis = oveor r e lodret sptote i, så k ortesvritioe or, uiddelrt se, t - or - o or + 4. Mootoiorold. Dette er eskrevet udørlit i kp. M skl er ive de itervller, vor er voksede o vor er tede evt. kostt. Hvis liver edt o t ive lokle o i, skl oså det. 5. Te re. Dette skl øres på ølede åde. Først tees evetuelle sptoter, or t å overlik over, vorledes uktioe opører si i ræsere. Fuktioes iuspukter o iiuspukter, skl være ed so støttepukter. Keder eli o i, st sptotere, er det so reel et, t å et overlik over uktioes udseede. Advrsel! Grreere k odt ide på t oride to støtte pukter, på ver si side et pukt, vor ikke er deieret. E såd r er ikke, på oveståede pukt til 4, o iver deror ie poit i edøelse.

45 Ideks 7 6. Værdiæde. V. For uktioer, der er deieret overlt, k uiddelr læse værdiæde pukt o 4. I dre tilælde, k læse værdiæde re, idet do skl ive de udreede o i værdier, ikke værdier so læses på re. 7. Eksepel. Udersø o te re or = D =R.. Nulpukter o orte: = = dee lii er løst på side 45. Getet er Hvis poloiet r eltllie rødder, skl de søes ldt divisorere i 9, so er,, 9 Ved idsæti ses t = er rod. Ved divisio ed - ås: Iøle divisiosliie er = O de opridelii er deror iøle ulrele esetdede ed - = = = = = = - = - = = A dee ktoriseri or, er det reltivt et, t estee ortesvritioe or. Eller k lot udree e uktiosværdi elle ulpuktere, o se o de er positiv eller etiv. : > : - -. Asptoter. Gre or r ie sptoter, e - or o or - 4. Mootoiorold. Vi udreer ' = ' = = =,55, 55 6 Fortesvritioe or ', k lettest estees ved t eærke, t ' er et derdspoloiu, der veder reee edd. ': > : -,55,55 A ortesvritioe or ', ses t:

46 Ideks 8 er voksede i itervllet er tede i itervllere r loklt i i,, o, o r loklt i Nedeor er udersøt o teet ed et tetikpror. = er løst. ' er udreet ltisk, o ' = er løst. De lokle o i er udet. Edeli er udet tetliie i =,5. 7. Eksepel 7 Udersø o te re or =. D = { - } = R\{ }.

47 Ideks Nulpukter o orte. = 7 =,77, 7 4 Fortesvritioe, k ltid ides ved t udree e værdi o øre o > eller <, e k oså kosttere, t tællere er et derdspoloiu, vor reee veder opd, så det er etivt elle røddere o ellers positivt. Edvidere er ævere etiv or < o positiv or >. : o > : -.77,7. Asptoter. D er et ulpukt or ævere, so ikke oså er et ulpukt or tællere, år od uedeli eller ius uedeli or åede iod. A ortesvritioe ses iidlertid. - or - o or + Gre or = r e lodret sptote ed lii =. For t udersøe skrå sptoter, oreter vi poloiers divisio A divisiosliie øler: Gre or r e skrå sptote or ± ed lii = Mootoiorold: ' 5 ' 4 5 or ': o > :,5,5,5 A ortesvritioe or ' ses, t er voksede i itervllere ]- ;,5] o [,5; [ er tede i itervllere [,5;.5[ o ],5;,5] r loklt i,5.,5 =,5. r loklt i i,5.,5 = 6,5 A ortesvritioe ses, t uktioe ikke ter oe værdier i itervllet ],5; 6,5[. Dette ses oså lettest re. Værdiæde or er deror: V = R\],5; 6,5[ = ]- ;,5] U [6,5; [.

48 Ideks 4 7. Eksepel si Vi vil udersøe uktioe i itervllet [,π]. Dette er eli et periodeitervl or uktioe, idet cos si er periodisk ed periode π, o cos + π = - cos, så cos er uordret. D + cos > or lle, er deieret i ele periodeitervllet.. Nulpukter o orte: = si = = = π = π : > : π. Gre r ie sptoter

49 Ideks 4 4. Mootoiorold. cos cos si cos si cos cos 4cos cos ' cos cos ' 6cos cos 6cos cos cos ' cos cos,955,864 ': > A ortesvritioe or ' ses :,96,9 π er voksede i itervllere [;,959] o [,864; π] er tede i itervllet [,959;,864] r loklt i,9555 o loklt i i,864. Vi vil orsøe t eree uktioes o i ekskt. i det si cos i [, ], så cos cos si si si cos, erved ås de to ekstreuspukter cos cos o. cos si si cos o cos cos D = π = er uktioes værdiæde,

50 Ideks Eksepel Vi vil udersøe uktioe l ; Nulpukter o orte l. Asptoter. : o > : l l or o or Gre or = r e lodret sptote ed lii = o e vdret sptote ed lii = 5. Mootoiorold l l ' ': + - ' l e o > : e er voksede i itervllet ]; e] o tede i itervllet [e, [ Her ses t de å ve størsteværdi i e. e =. Føleli er værdiæde e, e

51 Ideks 4