Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing. Projektopgaven 2007
|
|
- Marianne Søgaard
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing Projektopgaven 2007 Om selve opgaven Formålet med denne opgave er at give kursusdeltagerne et eksempel på et mindre beregningsproblem, som egner sig til at blive løst i programmeringsmiljøet MATLAB c. Desuden kræver opgaven lidt viden om matricer, ikke-lineære ligningssystemer og optimering. Opgaven skal løses i grupper à 2-3 personer, og besvarelsen dokumenteres via en rapport, der afleveres i 2 eksemplarer, og en udfyldt forside, der afleveres i 2 eksemplarer (3, hvis kvittering ønskes). Dokumentationen skal være DIKUs 1.dels-administration i hænde senest fredag den 16. marts kl Indledning Da jeg for en del år siden skulle lave en obligatorisk opgave på det daværende numeriske Datalogi V - kursus, fandt jeg en simplificeret opgave i fly-navigation via landbaserede radiofyr på Internettet ( Jeg blev interesseret i at finde ud af, hvor realistisk opgaven var, og fandt efterhånden en hel del information om de landbaserede navigations-hjælpemidler (NAVAIDS) på Internettet. Da man imidlertid kan købe bærbare satellit-navigations-modtagere fra ca kr. (og opefter), mens et fly-certifikat jo er noget dyrere, ville de fleste studerende dog nok anse en opgave i satellit-navigation for mere interessant, og derfor blev dét temaet for opgaven. (Materialet om fly-navigation med bl.a. diverse flykort over Sjælland kan s- tadig ses på Projektopgaven 2007 består af den daværende opgave, men selvfølgelig med andre spørgsmål og løsninger. Desuden adskiller den sig ved at skulle løses udelukkende ved brug af MATLAB c -systemet.
2 Af globale satellit-navigationssystemer findes der pt. to, nemlig det amerikanske GPS-system og det russiske GLONASS-system, mens EU-Kommisionen har planer om at sætte det europæiske GALILEO-system i drift i år Lad os se nærmere på det amerikanske GPS-system, der er finansieret og kontrolleret af Dept. of Defense i USA. Systemet består af tre dele: 2 Et antal satellitter (24 garanteres af US Defense. P.t. er der 29, der fungerer). Satellitternes baner sikrer, at der fra et vilkårligt punkt på jorden altid er mindst 4 (typisk 6 til 10) satellitter synlige,medmindre bygninger, trækroner eller lignen de skygger for sende-/modtagesignalerne. Et antal kontrolstationer fordelt rundt om på Jorden, hvor data fra satellitterne (om bl.a. tid og position) kontrolleres. Informationerne videresendes til hoved-kontrolstationen i Colorado Springs, og herfra sendes korrektionsdata via nogle af de andre stationer regelmæssigt op til satellitterne. Brugernes GPS-modtagere. For at mindske følsomheden over for ydre påvirkninger sendes informationen fra satellitterne på radiobølger af relativt høje frekvenser: 1575,42 MHz og 1227,60 MHz (MHz = millioner svingninger per sekund). Informationerne er: C/A-koden, som er et 1023-bit langt mønster, der gentages hvert millisekund, og som sendes via et periodisk 1,023 MHz signal moduleret på 1575,42MHz-bølgen. Hver satellit udsender sin egen C/A(Coarse Acquisition)-kode. P-koden, som er kryptograferet af det amerikanske forsvar, og som altså er forbeholdt det amerikanske militær og deres allierede. Navigationssignalet, der bl.a. indeholder information om tid og position for den satellit, hvis signal man modtager. Indtil maj 2000 var denne information dog kryptograferet via de data, som hoved-kontrolstationen sendte op til satellitterne. Formålet var SA(Selective Availability),dvs. at kun visse udvalgte skulle kunne benytte GPS-systemet til meget præcise positionsbestemmelser. Da SA næsten var uden effekt, hvis man anvendte DGPS-metoden, dvs. sammenholdt resultaterne fra to modtagere (een på kendt position, og een på ukendt), fjernede man dog i maj 2000 den nedsatte nøjagtighed af informationerne i navigationssignalet. Den simpleste måde at benytte GPS-systemet på, er dén som de billigste GPS-modtagere benytter, og dén som vi vil se nærmere på i denne opgave: Pseudo-range-bestemmelse via (forsinkelsen af) de modtagne C/A-signaler. Som det ses på nedenstående materiale fra K.Dueholms og M.Laurentzius bog GPS, giver denne teknik en positionsnøjagtighed på under 50 meter.
3 3 Bestemmelse af position (X,Y,Z) via modtagne C/A-signaler Da radiobølger bevæger sig med lysets hastighed: ,458 m/msek (eller km/sek) (i vakuum), vil den bølge, der bærer C/A-signalet, typisk være msek om at nå GPS-modtageren fra satellitten, der er i ca km s højde. Da signalet gentages hvert millisekund, vil de (billige) GPS-modtagere, der kun undersøger forsinkelsen af de modtagne C/A-signaler, dog ikke kunne se hvor mange hele millisekunder signalet har været undervejs. Derfor må brugeren indtaste et gæt på sin position, der afviger højst 149 km (< 0.5 msek) fra den eksakte: Gættet forsinkelse: afstand fra satellit til gættet position ,458 = x x,ỹỹỹỹỹ msek Målt tidsforskydning af C/A-signal = 0,yyyyy msek Målt forsinkelse: Round[ x x,ỹỹỹỹỹ - 0,yyyyy] + 0,yyyyy = xx,yyyyy msek Hvis urene i GPS-modtagerne var ligeså præcise som atom-urene i satellitterne (så det modtagne C/A-signal kunne sammenholdes med et synkront genereret C/A-signal i modtageren), og radiobølgerne bevægede sig i vakuum, ville vi nu have næsten den eksakte afstand (299792,458*(xx,yyyyy ± 5*10 6 ) meter) til den satellit, hvis C/A-signal vi modtager. Ud fra afstanden til tre satellitter, ville vores eksakte position så kunne bestemmes.
4 Navigationssignalet fra satellitterne indeholder information, som modtageren kan benytte til at modellere den forsinkelse af C/A-signalet, der skyldes at bærebølgen skal igennem atmosfæren (og altså ikke vakuum). Effekten af de relativt unøjagtige Quartz-ure i GPS-modtagerne klares derimod ved at måle afstanden til mindst 4 satellitter, og løse følgende beregningsproblem mht. position (X,Y,Z) og bias = , 458 (modtagerurets fejl i msek): 4 Satellit-positioner: (X1,Y1,Z1), (X2,Y2,Z2), (X3,Y3,Z3), (X4,Y4,Z4),... Målte afstande: ,458 gange xx 1,yyyyy 1, xx 2,yyyyy 2, xx 3,yyyyy 3, xx 4,yyyyy 4,... Minimér funktionen f(x, Y, Z, bias) = [ (Xi X) 2 + (Y i Y ) 2 + (Zi Z) , 458 xx i, yyyyy i + bias ] 2 i 1 Det ville dog være noget besværligt for brugeren, hvis ind- og uddata skulle være i de såkaldte kartesiske ECEF(Earth Centered Earth Fixed)-koordinater (X,Y,Z). I GPS-modtagerne er der derfor indbygget transformationer mellem ECEF-koordinater og de tilsvarende geodætiske koordinater (φ,λ,h), der relaterer til hhv. breddegrad, længdegrad og højde over jordoverfladen. Sådanne transformationer afhænger dog af, hvilket datum ( jordmodel ) der anvendes, og vi vil derfor se nærmere på WGS84, som er det datum, der anvendes i GPS-systemet. (WGS84-modellen er mere eller mindre præcis, afhængig af hvor på Jorden man befinder sig, og derfor kan GPS-modtagere som regel også programmeres til at benytte lokalt mere nøjagtige modeller.) WGS84-modellen I WGS84 modelleres jordoverfladen ved en omdrejningsellipsoide, fremkommet ved at en ellipse roteres rundt om Z-aksen, så ækvator bliver en cirkel. Jordoverfladen består således af de punkter (X 0,Y 0,Z 0 ), der opfylder ligningen: X 2 0/a 2 + Y 2 0/a 2 + Z 2 0/(a (1 fl)) 2 = 1, hvor længderne a og a*(1-fl) af halvakserne er givet ved a = m fl = 1/298, (fl = flattening ) De punkter (X h,y h,z h ), der ligger i en afstand h uden for ellipsoiden, kan dog ikke beskrives ved en omkringliggende omdrejningellipsoide. Man introducerer derfor vinklerne
5 λ [ π, π]: længdegraden gående fra -180 øst til 180 øst. λ er omdrejningsvinklen omkring Z-aksen. 5 φ [ π 2, π 2 ]: breddegraden gående fra -90 nord til 90 nord. φ er den vinkel med X-Y-planet, som skal benyttes ved ortogonal projektion af (X h,y h,z h ) ned på ellipsoiden. De geodætiske koordinater (φ, λ, h) kan nu benyttes til at beskrive punkterne (X h,y h,z h ): X h Y h = (ν(φ) + h) cos(φ) cos(λ) = (ν(φ) + h) cos(φ) sin((λ) Z h = (ν(φ)(1 fl) 2 + h) sin(φ) hvor ν(φ) = a 2 / a 2 cos(φ) 2 + a 2 (1 fl) 2 sin(φ) 2 = a/ 1 fl(2 fl) sin(φ) 2 Længde- og breddegrader angives ofte i grader( ), bueminutter( ) og buesekunder( ), hvor xx yy zz tolkes som xx+(yy+zz/60)/60 grader. F.eks. s- varer positionen ( Nord, Øst) ude i Kastrup Lufthavn til de geodætiske koordinater: φ = [55 + (37 + 5/60)/60] π/180 λ = [12 + ( /60)/60] π/180 h = 0 i hhv. radianer, radianer og meter, og derfor til de kartesiske koordinater (X h, Y h, Z h ) = ( , , ) i meter. (Dvs. Kastrup Lufthavn er ca km fra Jordens midte!)
6 Spørgsmål 6 1) Ude på en ø i Illinois målte man følgende fra 6 satellitter i GPS-systemet: Satellit-positionerne (i ECEF-koordinater og i meter): ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , ) Målte tidsforskydninger af C/A-signalerne (i msek): hhv. 0, , , , ,79280 og 0, Øen er mindre end 149 km fra positionen (40 Nord, 92 Vest). Fra hvilken position blev målingerne foretaget, og hvad hed øen? (Tip: benyt View Maps-faciliteten på Internet-siden til sidstnævnte spørgsmål) Til hjælp er der på/home/disk05/datjs/dirscicomp2 følgende M-filer: obj.m : den funktion f, der skal minimeres (dog mangler xx i,yyyyy i erne at blive sat ind i filen). objg.m : gradienten af den funktion f, der skal minimeres, dvs. dens afledede mht. X, Y, Z og bias (dog mangler xx i,yyyyy i erne at blive sat ind i filen). hessian.dat : Hessian-matricen for f i minimumspunktet. Man må gerne benytte en passende funktion i MATLAB c -systemet til at minimere f, men bør da skrive hvilket software, der anses for bedst egnet til dette minimeringsproblem! (Tips: Anvend format long e og start evt. MATLAB c -funktionen op flere gange med bedre og bedre startgæt) Filen hessian.dat skal benyttes til a) At få gradienten til at ligne 0-vektoren mest muligt. b) At afgøre om det stationære/kritiske punkt er et minimumspunkt. c) At vurdere (via Heath, Kapitel 6), hvor langt vi kan være fra det korrekte minimumspunkt for f som følge af unøjagtig f-beregning. De geodætiske koordinater (φ, λ, h) skal findes via en iterativ metode, hvor normen af fejl-vektoren ses at konvergere kvadratisk mod 0.
7 2) De målte tidsforskydninger af C/A-signalerne er afrundet til 5 decimaler, og der ligger faktisk en anden ø ca. 200 m fra den beregnede position. Kan vi være sikre på, at vi ikke befinder os på den anden ø? Tip: Vi skal vurdere, hvor meget nulpunktet i gradienten ændrer sig, når de 6 xx i,yyyyy i er varierer ± Dvs. gradienten betragtes som en funktion af 10 variable: V = (X,Y,Z,bias) T og v = (xx 1,yyyyy 1,..,xx 6,yyyyy 6 ) T. Taylor s Sætning giver da, at 0 = f([v T,v T ]) f([ṽ T,ṽ T ]) [ ( f)i V j ] ( ( f) i V Ṽ v j v ṽ [ ] [ ] ( f)i ( f)i = (V Ṽ) + (v ṽ). V j v j Bemærk, at hessian.dat indeholder den første af de to matricer, og at vi ønsker( at vurdere ) ((f.eks. ) max-)normen af V Ṽ. Tip: f v j V i = f V i v j. ) 7
Mikkel Gundersen Esben Milling
Mikkel Gundersen Esben Milling Grundregel nr. 1 En GPS kan og må ikke erstatte navigation med kort og kompas! Kurset Basal brug af GPS Hvad er en GPS og hvordan virker systemet Navigation og positionsformater,
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 4
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Afleveringsopgave 4 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte forsider
Læs mereGPS og geometri - 1 Baggrund. lineære og ikke-lineære ligninger. Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007
GPS og geometri - lineære og ikke-lineære ligninger Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2007 1 Baggrund GPS (Global Positioining System) er et system, der ved hjælp af 24 satellitter i kredsløb om jorden,
Læs mereMatematikken bag satellitnavigation GPS - GLONASS - GALILEO
GPS - GLONASS - GALILEO Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematik, Aarhus Universitet Disposition 1 Retningsbestemt navigation 2 Hyperbel navigation - DECCA og LORAN 3 Militær og kommerciel baggrund GALILEO
Læs mereGeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter
GeoCaching hvordan man finder det... ved hjælp af satelitter Andreas Ulovec, Universität Wien 1 Introduktion Masser af mennesker bruger GPS til at bestemme deres egen geografiske placering, eller til at
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing. Ugeseddel 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet DATALOGI V - Introduktion til Scientific Computing Ugeseddel 3 Meddelelser: Bemærk venligst, at jeg den 23/2 starter med at forelæse over ca. 25
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereEn studerende der har gennemført Geodæsi elementet af kurset vil kunne følgende:
Geodæsi Lars Stenseng stenseng@space.dtu.dk Læringsål En studerende der har genneført Geodæsi eleentet af kurset vil kunne følgende: Beskrive den grundlæggende virkeåde for GNSS systeer Beskrive de tre
Læs mereMatematiklærerdag 11. marts 2005
Global Position System - Galileo Matematiklærerdag 11. marts 2005 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet matematikdag.tex Global Position System - Galileo Johan
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 3
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 3 Eventuelle besvarelser laves i grupper af 2-3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mere5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34. (ew@le34.dk)
5 spørgsmål om koordinatsystemer du ville ønske, du aldrig havde stillet! Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34 (ew@le34.dk) 5 spørgsmål om koordinatsystemer du vil ønske du aldrig havde stillet! 1. Hvorfor
Læs mereLineær algebra 4. kursusgang
Lineær algebra 4. kursusgang Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte) Ax = b. Ligningssystemet antages at være inkonsistent (ingen løsninger) fordi tallene er fremkommet
Læs mereKursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester
Kursus i Landmåling, Cad og GIS (LCG) Vej og Trafik, 5. semester og Byggeri og Anlæg, 1. semester LCG-2 Introduktion til GPS 1. Observationsteknikker og GPS-koncepter 2. Absolut positionering baseret på
Læs mereOpgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have).
Flemming Sigh, Odense Katedralskole, 23-08-2011. 1 / 5 Opgave: "GPS og koordinater" (Geo-øvelse i Kongens Have). 1. Indstillinger på GPS eren. a) Valg af koordinater. I Google Earth kan du få et overblik
Læs mereAnvendt Lineær Algebra
Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 3 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 38 Vi betragter et lineært ligningssystem (af m ligninger med n ubekendte)
Læs mereEPIRB. 11.1 COSPAS/SARSAT-systemet
117 (Emergency Position Indicating Radio Beacon) er en nødradiobøje, og GMDSS udrustede skibe skal være udstyret med mindst en. Der er defineret 3 forskellige, som arbejder på hver sin måde. Fælles for
Læs mereMatematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder.
2. Matematiske hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder. 2.1 I Figur 1.1 i kapitel 1 er der vist et ideelt Kartesiske eller Euklidiske koordinatsystem, med koordinater ( X, Y, Z) = ( X 1, X 2, X
Læs mereDanske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i. Begreber
Danske koordinatsystemr (referencesystemer) MicroStation V8i Begreber 1 Columbus tog fejl! - jorden er flad når vi tegner i MicroStation!!! Geodætiske begreber definition af jorden Jordens overflade Jordens
Læs mereKortprojektioner L mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort.
Kortprojektioner L4 2016 3.mm Længde og vinkelmåling på flader. Konforme og arealtro kort. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider
Læs mereLiA 2 Side 0. Lineær algebra 3. kursusgang
LiA 2 Side 0 Lineær algebra 3. kursusgang LiA 2 Side 1 Højdeforskelle. D C 0.7 0.7 0.8 E LiA 2 Side 2 Vi har tre punkter C, D og E. Højderne er h C, h D, h E. (I det følgende benævnes disse også x, y,
Læs mereNewton-Raphsons metode
Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereTyngdepunkt og Masse Midtpunkt.
C.C.Tscherning, Niels Bohr Instituttet Tyngdepunkt og Masse Midtpunkt.. Masse-midtpunkt: Definitioner: Ligevægtspunkt for summen af alle masse-dele Tyngdepunkt: Punkt, hvor drejningsmomentet er nul (ligevægt
Læs mere1. Jordkloden 1.1. Inddelinger og betegnelser
1. Jordkloden 1.1 Inddelinger og betegnelser 1! Bredde Grad! [ ]! =! 10.000 / 90! =! 111 km 1! Bredde Minut! [ ]! =! 111 / 60! =! 1,850 km * 1! Bredde Sekund! [ ]! =! 1850 / 60! =! 31 m 1! Sømil *!!! =!
Læs merehimlen - og hvad så? Anna B.O. Jensen
Nye GNSS satellitter på himlen - og hvad så? Anna B.O. Jensen DdL Fagligt Møde, 31. januar 2014 Hvem er foredragsholderen? Uddannet: Landinspektør i 1994 Ph.d. i geodæsi fra Københavns Universitet Ansat:
Læs mereKøbenhavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Afleveringsopgave 1
Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet 1 Lineær Algebra (LinAlg) Afleveringsopgave 1 Eventuelle besvarelser laves i grupper af - 3 personer og afleveres i to eksemplarer med 3 udfyldte
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET.. Beregn den retningsafledede D u f(0, 0).
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) JANUAR 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x, y) = x cos(y) + y sin(x). ) Angiv gradienten f. 2) Lad u betegne
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereIntroduktion til GPS. Søren P. Petersen / dvl-lyngby.dk
Introduktion til GPS Søren P. Petersen / dvl-lyngby.dk Hvad bruges en håndholdt GPS til? Måle tilbagelagt distance og fart Optage spor og markere punkter Navigere til et punkt efter et spor efter en rute
Læs mereLysets hastighed. Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.12.2009
Lysets hastighed Navn: Rami Kaddoura Klasse: 1.4 Fag: Matematik A Skole: Roskilde tekniske gymnasium, Htx Dato: 14.1.009 Indholdsfortegnelse 1. Opgaveanalyse... 3. Beregnelse af lysets hastighed... 4 3.
Læs mereAndengradsligninger i to og tre variable
enote 0 enote 0 Andengradsligninger i to og tre variable I denne enote vil vi igen beskæftige os med andengradspolynomierne i to og tre variable som også er behandlet og undersøgt med forskellige teknikker
Læs mereAAU Landinspektøruddannelsen
AAU Landinspektøruddannelsen Universal Mercator Projektion Mads Hvolby, Nellemann & Bjørnkjær 2003 UTM Projektion Indhold Forord Generelt UTM-Projektiionen UTM-Nettet Specifikationer for UTM-Projektionen
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.
Opsamling Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe den første opgave af hvert emne over.. Brøkregning, parentesregneregler, kvadratsætningerne, potensregneregler og reduktion Udregn nedenstående
Læs merePensum i forbindelse med DTUsat-II opsendelses event og tracking.
Pensum i forbindelse med DTUsat-II opsendelses event og tracking. Satellitbaner En satellit i bane omkring et andet himmellegeme er i frit fald. Ved hjælp af Keplers love kan baneradius og omløbstid bestemmes.
Læs mereStx matematik B maj 2009
Ib Michelsen Svar stxb maj 2009 1 Stx matematik B maj 2009 Opgave 1 Bestem f ' ( x), idet f (x )=2 x 3 +4 x 2 f ' ( x)=(2 x 3 +4 x 2 )'=(2 x 3 )'+(4 x 2 )'=2 ( x 3 )' +4 ( x 2 )'=2 3 x 3 1 +4 2 x 2 1 =6
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereTidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra
Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................
Læs mereOm TAPAS. TAPAS - Testbed i Aarhus for Præcisionspositionering og Autonome Systemer
Om TAPAS TAPAS - Testbed i Aarhus for Præcisionspositionering og Autonome Systemer Et samarbejde mellem Styrelsen for Dataforsyning og Effektivisering, DTU Space og Aarhus Kommune Indledning Testbed for
Læs mereAalborg Universitet - Adgangskursus. Eksamensopgaver. Matematik B til A
Aalborg Universitet - Adgangskursus Eksamensopgaver Matematik B til A Undervisningsministeriet Universitetsafdelingen ADGANGSEKSAMEN Til ingeniøruddannelserne Matematik A xxdag den y.juni 00z kl. 9.00
Læs mereGradienter og tangentplaner
enote 16 1 enote 16 Gradienter og tangentplaner I denne enote vil vi fokusere lidt nærmere på den geometriske analyse og inspektion af funktioner af to variable. Vi vil især studere sammenhængen mellem
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereTror du Jorden er flad? Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34
Tror du Jorden er flad? Erik Wirring Landinspektørfirmaet LE34 (ew@le34.dk) https://twitter.com/flatearthorg?lang=da Verden som vi ser på den til dagligt i vores CAD system ( The Flat Earth made at
Læs mere(Prøve)eksamen i Lineær Algebra
(Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt
Læs mereAflevering 4: Mindste kvadraters metode
Aflevering 4: Mindste kvadraters metode Daniel Østergaard Andreasen December 2, 2011 Abstract Da meget få havde løst afleveringsopgave 4, giver jeg har en mulig (men meget udførlig) løsning af opgaven.
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk Mekanik 2 Skriftlig eksamen 16. april 2009 Tilladte hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner Besvarelsen må
Læs merePositionering Nokia N76-1
Nokia N76-1 2007 Nokia. Alle rettigheder forbeholdes. Nokia, Nokia Connecting People, Nseries og N76 er varemærker eller registrerede varemærker tilhørende Nokia Corporation. Andre produkter og firmanavne,
Læs mereEKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET
EKSAMENSOPGAVELØSNINGER CALCULUS 2 (2005) AUGUST 2006 AARHUS UNIVERSITET H.A. NIELSEN & H.A. SALOMONSEN Opgave. Lad f betegne funktionen f(x,y) = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3. ) Angiv gradienten f. 2) Angiv
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs mereBesvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7
Besvarelser til de to blokke opgaver på Ugeseddel 7 De anførte besvarelser er til dels mere summariske end en god eksamensbesvarelse bør være. Der kan godt være fejl i - jeg vil meget gerne informeres,
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. , og et punkt er givet ved: P (2, 1).
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant a) Beregn konstanten b således,
Læs mereKortprojektioner L mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger.
Kortprojektioner L4 2016 2.mm Analytisk beskrivelse af egenskaber ved kort Første fundamentalform og forvanskninger. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 April 2016 Lisbeth
Læs mereMatematik A. Højere handelseksamen
Matematik A Højere handelseksamen hhx1-mat/a-160801 Fredag den 16. august 01 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøven består af to delprøver. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.
Læs mereDette miniprojekt omhandler en anvendelse af Lineær Algebra til computergrafik og planeters omløbsbaner.
Lineær algebra Beskrivelse Denne dag vil bestå af to miniprojekter, hvor underviser vil give en kort præsentation af hvert emne et om formiddagen og et om eftermiddagen, og herefter være til rådighed til
Læs mereGeodæsi og Geostatistik
1 Noter til Geofysik 5 Geodæsi og Geostatistik C.C.Tscherning Niels Bohr Institutet Forår 2009. Indhold: 2 1. Indledning 1.1. Hvad er geodæsi? 2. Matematiske Hjælpemidler. Koordinater. 2.1 De mange bredder
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende
Læs merea) angiv en parameterfremstilling for den plan, der indeholder landingsbanen ikke som del af besvarelsen
Opgave 1 Lufthavnen Airtowns landingsbane kan tilnærmelsesvist beskrives som (del af) en plan. Med et passende indlejret koordinatsystem (hvor koordinatværdierne kan tolkes som målt i km, -planen er den
Læs mereMatlab script - placering af kran
Matlab script - placering af kran 1 Til at beregne den ideelle placering af kranen hos MSK, er der gjort brug af et matlab script. Igennem dette kapitel vil opbygningen af dette script blive gennemgået.
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Villa. september 04 Dette dokument er en del af MatBog.dk 008-0. IT Teaching Tools. ISBN-3: 978-87-9775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereReeksamen i Lineær Algebra
Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.
Læs mereKapitel 1 side 11. USA kan forstyrre signalet. Broer skygger for signalet. Har brug for fem satellitter. Andre fejlkilder
Kapitel 1 side 11 Fejl på satellitkompasset Et satellitkompas er afhængigt af signalet fra satellitterne. Hvis der bliver problemer med signalet, kan satellitkompasset vise forkert. Broer skygger for signalet
Læs mereVærktøjskasse til analytisk Geometri
Værktøjskasse til analytisk Geometri Frank Nasser 0. april 0 c 008-0. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereLiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5
LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer
Læs mereOversigt Matematik Alfa 1, August 2002
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs merex 2 + y 2 dx dy. f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ) + 2 1) Angiv en ligning for tangentplanen til fladen z = f(x, y) i punktet
Eksamensopgaver fra Matematik Alfa 1 Naturvidenskabelig Kandidateksamen August 1999. Matematik Alfa 1 Opgave 1. Udregn integralet 1 1 y 2 (Vink: skift til polære koordinater.) Opgave 2. Betragt funktionen
Læs mereAALBORG UNIVERSITET LANDINSPEKTØR- MATEMATISK GRUNDLAG LISBETH FAJSTRUP. IVER OTTOSEN. - om formiddagen i hvert fald. Ellers er den parallelforskudt:
Generelt om kurset: Kurset består af flere elementer: Forelæsninger - to timer, Øvelser: Opgaveregning. Arbejde hjemme med Litteraturen Repetitionsopgaver - matematik fra gymnasiet eller første studieår,
Læs mereHvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. 1, og et punkt er givet ved: (2, 1)
Plangeometri Hvis man ønsker mere udfordring, kan man springe de første 10 opgaver over. Opgave 1 To linjer er givet ved ligningerne: x y 0 og x b y 4 0, hvor b er en konstant. a) Beregn konstanten b således,
Læs mereMatematik A. Studentereksamen. Skriftlig prøve (5 timer) Fredag den. december kl... STX MAA LQGG
Matematik A Studentereksamen Skriftlig prøve (5 timer) STX MAA 581710_STX093-MAA.indd 1 LQGG Fredag den. december kl... 03/11/09 10:53:00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består
Læs mereVektorer og lineær regression
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 03 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden
Læs mereKortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2016 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2016 Lisbeth Fajstrup
Læs mereDTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet. Den oprindelige definition af DTU-LOK er desværre gået tabt.
Notat DTU Campus Service DTU - BYGHERRERÅDGIVNING IKT Beskrivelse af DTU LOK koordinatsystemet 17. februar 2015 Projekt nr. 210914 Dokument nr. 1212704515 Version 5 Udarbejdet af MMKS 1 INDLEDNING Da DTU
Læs mereIntroduktion til Astronomi
Introduktion til Astronomi Hans Kjeldsen Kontor: 1520-230 Email: hans@phys.au.dk Tlf.: 8942 3779 Introduktion til Astronomi 1 Introduktion til Astronomi Studieretning Astronomi 3. år Valgfag Relativistisk
Læs mereKortprojektioner L mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation.
Kortprojektioner L4 2017 6.mm Referencesystemer. Ellipsoider og geoider. Ombecifring. Helmerttransformation. Lisbeth Fajstrup & Iver Ottosen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 maj 2017
Læs mereVektorer og lineær regression. Peter Harremoës Niels Brock
Vektorer og lineær regression Peter Harremoës Niels Brock April 2013 1 Planproduktet Vi har set, at man kan gange en vektor med et tal. Et oplagt spørgsmål er, om man også kan gange to vektorer med hinanden.
Læs mereNote om interior point metoder
MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereMASO Uge 8. Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning. Jesper Michael Møller. Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 8 Invers funktion sætning og Implicit given funktion sætning Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen Uge 43 Formålet med MASO Oversigt Invertible og lokalt invertible
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple
Læs mereTerrænbane DGI skydning Elektronisk Kortlægning
Terrænbane DGI skydning Elektronisk Kortlægning Bjarne R. Olesen DGI skydning - IT Styregruppen 1.1 Revisions Historik Date of this revision: 08-01-2015 Revision Revisions Dato Ændringer Ændring mærket
Læs mereKortprojektioner L mm Problemformulering
Kortprojektioner L4 2016 1.mm Problemformulering Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet L4 april 2016 Lisbeth Fajstrup (AAU) Kortprojektioner L4 2016 April 2016 1 / 36 Kursusholder
Læs mereFejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder
Fejlkorligerende køder Fejlkorrigerende koder Olav Geil Skal man sende en fødselsdagsgave til fætter Børge, så pakker man den godt ind i håb om, at kun indpakningen er beskadiget ved modtagelsen. Noget
Læs mereEksamen i Lineær Algebra
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første
Læs mereUTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark
UTM/ETRS89: Den primære kortprojektion i Danmark Geodætisk systembeskrivelse Geomatics Notes 1 Version 1 2017-04-01 Geomatics Notes 1. Version 1, 2017-04-01 Geodætisk systembeskrivelse: UTM/ETRS89: Den
Læs mereDæmpet harmonisk oscillator
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
Læs mereCalculus Uge
Oversigt [S], [LA] Nøgleord og begreber Egenvektorer, egenværdier og diagonalisering Dobbelt integral og polært koordinatskift Ortogonal projektion og mindste afstand Retningsafledt og gradient Maksimum/minimums
Læs mereMASO-Eksempler. x n. + 1 = 1 y n
3. oktober EXPL 1 Eksempel 1. Et par talfølger: (1 ( (3 (4 (5 (6 (7 (8 MASO-Eksempler,,,,,,..., n =, 1, 1, 1, 1, 1, 1,..., n = 1 1,, 1,, 1,, 1,..., n = (1 + ( 1 n /,, 1,,,, 3,..., n = n(1 + ( 1 n /4, 1,
Læs mereKØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE
KØBENHAVNS UNIVERSITET NATURVIDENSKABELIG BACHELORUDDANNELSE Fysik 2, Klassisk mekanik 2 - ny og gammel ordning Skriftlig eksamen 25. januar 2008 Tillae hjælpemidler: Medbragt litteratur, noter og lommeregner
Læs mereMODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING
MODUL 1-2: ELEKTROMAGNETISK STRÅLING MODUL 1 - ELEKTROMAGNETISKE BØLGER I 1. modul skal I lære noget omkring elektromagnetisk stråling (EM- stråling). I skal lære noget om synligt lys, IR- stråling, UV-
Læs mereArbejdsopgaver i emnet bølger
Arbejdsopgaver i emnet bølger I nedenstående opgaver kan det oplyses, at lydens hastighed er 340 m/s og lysets hastighed er 3,0 10 m/s 8. Opgave 1 a) Beskriv med ord, hvad bølgelængde og frekvens fortæller
Læs mereMatematik B. Højere forberedelseseksamen
Matematik B Højere forberedelseseksamen hfe32-mat/b-2908203 Torsdag den 29. august 203 kl. 9.00-3.00 Opgavesættet er delt i to dele. Delprøven uden hjælpemidler består af opgave -6 med i alt 6 spørgsmål.
Læs mereErik Vestergaard 1. Opgaver. i Lineære. funktioner. og modeller
Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Opgaver i Lineære funktioner og modeller Erik Vestergaard www.matematikfsik.dk Erik Vestergaard, Haderslev. www.matematikfsik.dk Teknik. Aflæse forskrift fra graf...
Læs mereSfærisk Geometri. Ikast Ib Michelsen
Sfærisk Geometri Ikast 2018 Ib Michelsen Ib Michelsen Matematik A: Sfærisk Geometri Sidst ændret: 25-11-2018 Udskrevet: C:\Users\IbM\Dropbox\3uy\SfGe\SG0.odt 12 sider Indholdsfortegnelse Indledning...4
Læs mereGPS trackeren virker ved hjælp af GSM netværket og GPS satellitterne, og kan bruges til at overvåge og bestemme hvor en enhed befinder sig henne.
GPS Tracker 1 Om GPS trackeren GPS trackeren virker ved hjælp af GSM netværket og GPS satellitterne, og kan bruges til at overvåge og bestemme hvor en enhed befinder sig henne. Hvor kan GPS trackeren bruges?
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereEksamen maj 2019, Matematik 1, DTU
Eksamen maj 2019, Matematik 1, DTU NB: Nedenstående udregninger viser flere steder mere end én metode. Det er der IKKE tid til eksamen! Ligeledes er der ikke krav om eller tid til at illustrere med plots.
Læs mereLokationsbestemmelse. Mikkel Baun Kjærgaard ISIS Software Katrinebjerg Department of Computer Science University of Aarhus
Lokationsbestemmelse Mikkel Baun Kjærgaard ISIS Software Katrinebjerg Department of Computer Science University of Aarhus Projekt Fokus på fremtiden arkitektur, applikationer og grænseflader til trådløs
Læs mere