Indre, ydre, rand og afslutning 2.2. Åbne og afsluttede mængder 2.3. Topologiske begreber. Ækvivalente metrikker 2.4.

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Indre, ydre, rand og afslutning 2.2. Åbne og afsluttede mængder 2.3. Topologiske begreber. Ækvivalente metrikker 2.4."

Transkript

1

2 MATEMATIK 2~ MATEMATISK ANALYSE Kapitel I. METRISKE RUM 1. Metriske rum. Normerede rum Metrik 1.2. Normeret rum Kugler i et metrisk rum 1.4. Kovergete følger Opgaver til 1 r. 1.1 r. 1.3 r. 1.6 r Topologiske begreber i et metrisk rum Idre, ydre, rad og afslutig 2.2. Åbe og afsluttede mægder 2.3. Topologiske begreber. Ækvivalete metrikker 2.4. Topologiske rum Opgaver til 2 r. 2.1 r. 2.3 r Kotiuerte afbildiger Kotiuitet af e afbildig i et pukt 3.2. Kotiuerte afbildiger 3.3. Lipschitz afbildig. Isometri 3.4. Kotiuitet af regeoperatioere 3.5. Kotiuerte reelle og komplekse fuktioer Opgaver til 3 r. 3.1 r r Kostruktioer med metriske rum Delrum 4.2. Produktrum 4.3. Rummet LE,F) Opgaver til 4 r. 4.1 r. 4.3 ::.4.5 r. 4.9

3 Fuldstædige metriske rum Cauchy følger. Fuldstædighed 5.2. Baach rum 5.3. Fuldstædiggørelse Opgaver til 5 I Kompakte mægder. Uiform kotiu~ E karakterisatio af afsluttede og begræsede mægder i ]Rk, 6.2. Kompakte mægder 6.3. Ækvivales af ormer på et edelig dimesioalt vektorrum 6.4. Abe overdækiger 6.5. Uiform kotiuitet Opgaver til I. 6.3 I. 6.6 I. 6.7 I Kapitel II. MAL- OG INTEGRALTEORI Idledig. Om itegralbegrebets udviklig O. Regig med ±oo Opgaver til O II. i Målelige mægder Idledede om lægde-, areal- og volumeproblemet 1.2. Begrebet a-algebra 1.3. Borel mægder Opgaver til 1 II II. 1.4 II. 1. 7

4 Målelige afbildiger Defiitioer og simple egeskaber Græseovergag med målelige fuktioer Regig med målelige fuktioer Delrum II '2.4 II. 2 5 II Opgaver til Mål Mål 3.2. "Næste overal t II Opgaver til II. 3.5 II Itegral Itegral af positive målelige fuktioer Itegral af reelle fuktioer Itegral af komplekse fuktioer Itegral over delmægde, Mål med tæthed Billedmål Summer LjEJa j. Itegral med reel parameter II Opgaver til Lebesgue målet i ]R.k Etydighedsbeviset 5.2. Lokalt itegrable fuktioer 5.3. Rado mål i ]R.k Lebesgue målets ivarias Målforholdet af e isomorfi af Eksempler Trasformatio af Lebesgue itegraler Det fuldstædige Lebesgue mål Opgaver til 5 II. 5.1 II. 5.4 II. 5.8 II. 5. 1'

5 Produktmål. 6 1 Målelighed i cartesisk produkt 6.2. Produktmål 6.3. Toellis og Fubiis sætiger 6.4. Eksempler Opgaver til 6 II. 6.1 II. 6.4 II II.6.14 II.6.18 \ 7. Fuktiosrummee ~ Fuktiosrummet se = ;ex,le,lj) Vektorrum med semiorm Fuktiosrummee f =;t X,IE,lJ), 1~p<00 p p Fuldstædighedssætige Fuktiosrummet! = e:t: Approksimatio i middel Opgaver til 7 X, le, lj) II.7.1 II.7.2 II.7.5 II.7.12 II.7.17 II.7.20 II.7.24 Kapitel III. KOMPLEKS FUNKTIONSTEORI Idledig 1. Holomorfe fuktioer Simple egeskaber Differetiabilitetes geometriske betydig år f' zo) * O - Cauchy-Riemas differetialligiger Potesrækker Opgaver til 1 III. i. 1 III.1.1 III.1.4 III. 1.5 III III Kurveitegraler og stamfuktioer Komplekse kurveitegraler 2.2. Stamfuktio Opgaver til 2 III.2.1 III.2.3 III cauchy's sætiger Cauchy's itegral sætig 3.2. Cauchy's itegralformel Opgaver til 3 III.3.1 III.3.6 III.3.11

6 - 5 - Avedelser af Cauchy's itegralformel Udviklig af holomorfe fuktioer i potesrække Opgaver til 4 Harmoiske fuktioer Morera's sætig og des avedelser Hele fuktioer. Liouville's sætig Argumet. Logaritme. Potes Argumetfuktio 5 2. Logaritmefuktio 5.3. Potes Opgaver til Residuesætige for meromorfe fuktioer Nulpukter 6.2. Isolerede sigulariteter 6.3. Meromorfe fuktioer 6.4. Residuesætige Avedelser af residuesætige Opgaver til

7 LITTERATURHENVISNINGER TIL KAPITLERNE I-III. Der fides et utal af lærebøger i emere, så vi idskræker os til at æve ogle få, hvor yderligere hevisiger ka fides. W. Rudi: Real ad complex aalysis. Lodo Fremragede bog, der ideholder både målteori og kompleks fuktiosteori. Fides i billig udgave. L. Gårdig: Ecouter with mathematics. New York Dee bog behadler emer fra både matematik 1 og 2 på e overskuelig måde ude at gå så meget i detaljer. De bedste bog om metriske- og topologiske rum er ok R. Egelkig: Geeral Topology. Warszawa Idefor mål- og itegral teori ka abefales H. Bauer: Wahrscheilichkeitstheorie. De Gruyter De fides også i egelsk udgave). I kompleks fuktiosteori ka abefales E. Hille: Aalytic fuctio theory 1,11. 2.udgave. New York Ideholder mage historiske oplysiger. G.J.O. Jameso: A first course o complex fuctios. Lodo Kort, hady bog af lidt større omfag ed dette kursus). A.I. Markushevich: New York Theory of fuctios of a complex variable. Opridelig 3 bid samlet i e stor bog).

8 Mat 2 MA 1984/ Kapitel I METRISKE RUM Metriske rum er e geerel ramme for studiet af kotiuitet, der er et fudametalt begreb i mage gree af matematik. Ituitivt er e afbildig f: X ~ Y kotiuert, hvis e lille ædrig i argumetet x E X ku fører til e lille ædrig i billedet fx) E Y. Hvis ma har et mål for afstad mellem pukter = elemeter) i X og tilsvarede et mål for afstad mellem pukter i Y, har ma mulighed for at tale om små ædriger, og dermed om kotiuitet. E mægde hvori ma på e rimelig måde ka tale om afstad mellem pukter kaldes et metrisk rum. Det viser sig, at e række begreber, som er kedt fra pla og rum,så som idre, ydre, rad osv., ka defieres i ramme af et metrisk rum. Puktere i et metrisk rum ka være adet ed sædvalige pukter i rummet. Det ka f.eks. være fuktioer eller geometriske figurer. 1. Metriske rum. Normerede rum Metrik. Begrebere metrik og metrisk rum er idført i 1906 af de fraske matematiker Maurice Frechet ). DEFINITION. Lad M være e ikke tom mægde. E fuktio d: MxM ~ Æ kaldes e metrik eller e afstadsfuktio i M såfremt følgede betigelser er opfyldt for vilkårlige elemeter af M M1) dx,y) > O og = O hvis og ku hvis x = Y, M2) dx,y) = dy,x) M3) dx,y) < dx,z) + dz,y). r Er der på M udvalgt e metrik d kaldes parret M,d) et metrisk rum. Elemetere i et metrisk rum kaldes ofte pukter. E metrik er altså e afbildig, der til to pukter x,y E M kytter et tal dx,y), der på grud af M2 ) ka omtales som afstade mellem x og y, og dee afstad er større ed ul udtage hvis x = y, hvor afstade sættes til ul. I stedet for

9 Mat 2 MA 1984/85 r. 1.2 dx,y) skrives udertide distx,y). Ulighede M3) kaldes trekatsulighede, idet de for 3 pukter x,y og z i plae med de sædvalige afstad udtrykker, at side i e trekat er højst summe af de to adre sider. Ma møder udertide det svagere begreb pseudometrik, hvor ma i stedet for M1) blot kræver at dx,y) ~ O og dx,x) =0. Det ka altså forekomme at x * y og dog dx,y) = O E ret liie, e pla og rummet er med de sædvalige betydig af ordet afstad et metrisk rum. Mere geerelt: For x = x 1 '..., x k ), Y = y 1 '...,y k) E JRk er dx,y) k 2\! = \ L x. -y.) } j=1 J J *) e metrik i JRk, jvfr. Mat 1. For e vilkårlig ikke tom delmæger de M c JRk M,d) altså et eksempel på et metrisk rum. Me- trikke *) kaldes de euklidiske eller de sædvalige afstad. E ikke tom delmægde M c ~ udstyres som metrisk rum ved fastsættelse dx,y) = Ix-yl, x,y E ~ idet M1)-M3) er kosekveser af velkedte egeskaber ved de umeriske værdi. Idetificeres ~ med JR2 på sædvalig måde er dee afstad lig med de euklidiske afstad. I praksis er der mage forskellige metrikker på e forelagt mægde. Som et eksempel, lad os betragte kugleoverflade st = {x E JR I x 1 + x 2 + x 3 = 1} i rummet

10 Mat 2 MA 1984/85 I. 1.3 Som afstad mellem x og y i ka beyttes de euklidiske afstad dx,y). E ade mulighed er at beytte afstade på kugleflade mellem x og y, altså lægde af de midste storcirkelbue mellem x og y, dvs. afstadsfuktioe dx,y) = Arccosx y), x,y E. Udtrykt på ade måde er dx,y) vikle E [O,rrl mellem vektorere x og y. Det er ituitivt klart, at d er e metrik på ~, kaldet de geodætiske afstad Normeret rum. Et vektorrum ka ofte orgaiseres til et metrisk rum på e særlig måde ved hjælp af e orm. Vi møder både reelle og komplekse vektorrum, og uder et vil vi tale om et vektorrum E, +,ll) over ll hvor ll agiver skalarlegemet, som er ete ll =]R eller ll = <1: DEFINITION. Ved e orm på et vektorrum E = E, +, JL) forstås e afbildig II II : E -)]R opfyldede N1) II x II > O og = O hvis og ku hvis x = O ulvektore), N2) II AX II = lal Ilxll for alle x E E, A E ll, N3 ) II x +y II ~ II x II + II y II for alle x,y E E. Parret E, II II) kaldes et ormeret vektorrum. I N2) er lal de umeriske værdi af tallet A tilhørede ete ]R eller <1:). Af N2) fås specielt II -x II = II x II, og hvis E er i8 et komplekst vektorrum II e x II = II x II for alle 8 E ]R. Ma møder udertide det svagere begreb semiorm, hvor ma i stedet for N1) blot kræver at II x II > O. Bemærk at N2) medfører at II O II = II O O II = I O III O II = O Det ka altså forekomme at x :j: O og dog lix II O Hvis II. II er e orm på E vil fastsættelse dx,y) = IIx-y II x,y E E defiere e metrik på E, idet M2) er e kosekves af N2) og M3) er e kosekves af N3), der også kaldes trekatsulighede:

11 Mat 2 MA 1984/85 r. 1.4 dx,y) = Ilx-yll = II x-z) + z-y)ll~ Ilx-zll + IIz-yll =dx,z) +dz,y). Ma taler om de af orme II II iducerede metrik på vektorrummet. EKSEMPEL 1. på mk er følgede udtryk ormer: II x 11 1 = k I: I x. I j=1 J 1 -orme), k 2\! II x 11 = I I: I x. I) 2-orme eller de euklidiske orm), 2 'j = 1 J II x II 00 = max I x 1 I,..., I x k I ) oo-orme eller maksimumsorme) At for II II 1 og er ormer følger umiddelbart, medes N3) II 11 følger af Cauchy-Schwarz's ulighed, jvfr. Mat 1. 2 på ~k ka ma ligeledes betragte k og II II 00 Hv i s z = z 1 '.., zk ) E ~ x 1 'Y1,x 2 'Y2,,x k 'Yk) E m 2k idet har ma k 2 2)! I: x. + y. ) j =1 J J ormere II 11 1, II 11 2 idetificeres med z. =x.+iy.,..,j=1,,k, J J J så II z 11 2 ka opfattes som de euklidiske orm på m 2k EKSEMPEL 2. Mægde FM,Æ) af reelle fuktioer f: M ~ m defieret på e ikke tom mægde M er et reelt vektorrum, år additio af fuktioer og multiplikatio med skalarer defieres ved f+g) x) = f x) + gx) x E M pf) x) = Af x) x E M, hvor f, g: M ~ m og A E m. Aalogt er mægde FM,CC) af komplekse fuktioer f: M-+~ et vektorrum over ~. For f: M ~ CC defieres II f II u = sup{ I f x) I I x E M}

12 Mat 2 MA 1984/85 I. 1.5 og vi har O < II f II < 00, og II f II = O etop hvis f er - u - u ulfuktioe, altså ulvektore i FM,æ). Fuktioe f: M -+ ll ll = JR eller æ) er begræset, dvs. har begræset værdimægde, etop hvis II f II < 00 Det er klart at u II Afll = IAlllfll, u u [ og for f,g E FM,JL), x E M i a> O f E F M, JL), A ll, idet a 00 = ), Oia=O gælder I f +g) x) I < I f x) I + I g x) I < II f II u + II g II u ' hvoraf Heraf følger at mægde.' BM,JL) = {f E FM,lL) I II f II u < oo} af begræsede fuktioer på M er et vektorrum over JL, og at II li er e orm herpå, de såkaldte uiforme orm. Dermed er u ehver mægde A af begræsede fuktioer på e mægde M et metrisk rum med metrikke d f, g) = II f-g II = sup{ I f x) -g x) I I x E M} u f,g E A Hvis M specielt er mægde {1,2,,k} ka e fuktio f: {1, o,k} -+ lli opfattes som et talsæt f1),,fk)) i JLk= mk eller æ k ), og derved ka vi opfatte fuktiosvektorrummet FM,lL) som ll k o Ehver fuktio er begræset og de uiforme orm af et elemet i JLk er II z II u = max I z 1 I,, I zk I), k z E ll, hvilket er maksimumsorme II z II fra Eksempel Hvis M = ID ka vi opfatte BM,æ) som mægde af begræsede komplekse talfølger z = z)>1 med de uiforme orm II z II u = sup{ I z I I E ID }, z E BJN,æ)

13 Mat 2 MA 1984/ Kugler i et metrisk rum. Begræsede mægder. Vi veder os u mod et vilkårligt metrisk rum M,d) og defierer for a E M, r > O kugle med cetrum a og radius r Ka,r) = {x E M I da,x) < r}. Bemærk at a E Ka,r), og år r 1 < r 2 vil Ka,r 1 ) ~ Ka,r2) Som umiddelbar avedelse af trekatsulighede vil vi vise følgede KUGLELEMMA. i) Hvis b E Ka,r) og O < s < r-da,b) så gælder Kb,s) ~ Ka,r). ii) Hvis Ka,r) Kb,s) '*' ø så er da,b) < r+s. b Bevis. i) Atag at x E Kb,s). Vi skal vise at da,x) < r, me det følger af trekatsulighede da,x) S. da,b) + db,x) < da,b) + s < r. ii) Vi vælger et pukt c E Ka,r) Kb,s) og udytter ige trekatsulighede da,b) < da,c) + d{c,b) = da,c) + db,c) < r+s. D

14 Mat 2 MA 1984/85 r. 1.7 For ehver ikke tom delmægde A c M,d) idføres diametere diam A af A ved diam A = sup{dx,y) x,y E A}. Der gælder O < diam A ~ 00, og diametere er O år A har etop et elemet. Mægde A kaldes begræset, hvis de er ideholdt i e kugle. Ved hjælp af trekatsulighede idses, at A er begræset etop hvis diam A < 00. Hvis emlig A ~Ka,r) gælder diam A < diam Ka,r) < 2r < 00, og hvis d = diam A < - - vil A ~ Ka,d+f:) for ethvert a E A og f: > O Hvis det metriske rum er JRk med de sædvalige afstad er Ka,r) = ]a-r,a+r[ i tilfældet k = 1, Ka,r) er e åbe cirkelskive i plae for k = 2 kugle for k = 3 og edelig e sædvalig åbe 00 EKSEMPEL. Diskret metrisk rum. E vilkårlig mægde M * ø ka altid forsyes med de såkaldte diskrete metrik dx,y) for for x=y. At trekatsulighede dx,y) ~ dx,z) +dz,y) er opfyldt ses således: Hvis x = y er der itet at vise, da vestre side er O" og hvis x * y må ete x * z eller y * z og dermed er vestre side 1 og højre side er ete 1 eller 2. Er M forsyet med de diskrete metrik taler vi om et diskret metrisk rum. Bemærk at Ka,r) hvis 0<r~1, hvis 1 < r. Ehver mægde i et diskret metrisk rum er begræset. Et diskret metrisk rum er helt uiteressat; det er ku ævt for at gøre læsere opmærksom på defiitioes rummelighed Kovergete følger. A1 Ved e puktfølge i e mægd~~rstås som bekedt e afbildig j): ID ~ M. Hvis ma sætter tyme at skrive puktfølge x )>1 x = j) ), eller blot er det ku x ), hvorved

15 Mat 2 MA 1984/85 I. 1.8 ma altså æver følges 'te elemet., I et metrisk rum har det meig at tale om koverges af puktfølger: DEFINITION. Lad x )>1 være e puktfølge i det metriske rum M,d) og lad a E-M. Vi siger at følge kovergerer mod a, og udtrykker det i symboler ved følgede skrivemåder x ~ a for lim x = a, lim x = a, ~ såfremt l im d x, a) = O, ~ altså såfremt afstade mellem x og a x ~ a Med kaldes a græsepukt for følge de logiske symboler udtrykkes x går mod O. x ). ~ a således: Hvis V E: > O 3 N E ]N V > N: d x, a) < E: - og ehver af- Hvis x ~ a vil ehver delfølge x ) p p>1 kortet følge x) ligeledes gå mod a.- +N >1 BEMÆRKNING. E følge har højst et græsepukt. Hvis emlig N 1,N 2 E]N så x ~ a og ka vi til E: > O fide dx,a) < E: dx,b) < E: for > N 1 ' for > N 2 ' og vælges et > maxn 1,N 2 ) giver trekatsulighede da,b) _< da,x ) +dx,b) < 2E:. Da E: > O er vilkårlig sluttes at da,b) = O, altså at a =b. EKSEMPEL. Lad det metriske rum være Æ k med de sædvalige metrik. E puktfølge x) i Æ k kovergerer mod x E Æ k hvis l, dx,x) k 2\! = \ I: x,-x,) ) ~ O j = 1 J J

16 Mat 2 MA 1984/ hvor x = x,..,x ), 1 k x.) ] _ >1 ~ x. for hvert ] x = x 1 ', x k ) j = 1,,k. altså etop hvis Det er cetralt at idse, at uiform koverges af fuktioer ka opfattes som puktfølge koverges i et metrisk rum. SÆTNING. Lad B M,:rr..), II ll u ) betege det ormerede rum af begræsede fuktioer på M. Om e puktfølge f) og e fuktio f i B M, TI..) gælder lim f = f ~ lim f x) = fx) uiformt på -?oo -?oo M. Bevis. At lim f = f betyder at II f-f II ~ -?oo u O, altså VE, eller > O 3N E ]N V > N: sup{ I f x) -f x) I I x E M} < E, VE, > O 3N E ]N V > N Vx E M: I f x) -f x) I < E,, u) idet Ifx)-f x)1 < E, - for alle x E M er esbetydede med at sup{ I f x) -f x) I I x E M} ~ E,. Udsaget u) er etop, hvad der forstås ved lim f x) = fx) ~oo uiformt på M. D

17 Mat 2 MA 1984/85 I.1.10 Opgaver til Vis, at Ka,r) = r>o 00 1 Ka,-) = =1 {a} i et metrisk rum Fid diam A for følgede delmægder af æ med de sædvalige afstad A = {cos x + i si x I x E ]R} 1.3. Vis lim f = O ~ i det oerede rum B ]R,]R), II II u), hvo r a) f x) 1 = six), x E ]R b) f x) = x 2 1+x 1.4. Vis, at der for vilkårlige fire pukter x,y,z,w i et metrisk rum M,d) gælder Idx,y) - dz,w) I ~ dx,z) + dw,y). Vis derved, at hvis lim x = x og lim y = y for pukt~ ~oo følger x ) og Y) i M, s å v i l l im d x,y ) = d x, y). ~ Teg Ka,r) i følgede metriske rum: a) [0,1J,JR 2 med de sædvalige afstad. b) JR 2,d ) hvor d x,y) = II x-yll = max IX 1 - Y1 1,lx 2 -Y2 1)) c) JR,d ) hvor d x,y) 1 II x-y111 = IX 1 - Y1 1 1 = + IX 2 - Y2 1) Beskriv de kovergete følger i et diskret metrisk rum Givet bevis for at de geodætiske afstad d Q på kugleoverflade 1.1) er e metrik Vis, at der ikke fides oge orm II. II på vektorrummet F JN,JR) af reelle talfølger x = - x )>1 med de egeskab, at der.om e følge x ) = - x,x-,.. ) E F JN, JR) 1 2 gælder

18 Mat 2 MA 1984/ Opg. 1. l im II x II - = O ~ V j E JN ~co lim x. = O ~co J Vik: Atag, at der fides og betragt følge II e 11-1 e 2 = 0,1,0, ),. e orm med de søgte egeskab e ) hvor e 1 = 1, O, O, ), > For x = x )>1 og y = Y )>1 i FJN,JR.) sættes = sup{mi Ix -y 1,1) I E JN} Vis, at d er e metrik på F :IN, JR.) og at ~) = x 1,x 2 '. ) kovergerer mod ~ = x 1,x 2, ) i det metriske rum hvis og ku hvis lim x. = x. for alle j E ~. ~ J J Ved e pseudometrik pa e mægde M forstås e afbildig d: MxM ~ JR., som for alle x,y,z E M opfylder M1) I : dx,y) > O, dx,x) = O, M2) dx,y) = dy,x) M3 ) dx,y) < dx,z) + dz,y). Vis, at hvis d er e pseudometrik på M så defieres der ved "x"'y ~ dx,y) = O" e ækvivalesrelatio i M. Lad [x] betege ækvivalesklasse ideholdede' x. Vis, at mægde MI'" = {[x]lx E M} af ækvivalesklasser er et metrisk rum ved fastsættelse Vis, at e følge x ) d[x],[y]) = dx,y). hvis og ku hvis ehver delfølge af der kovergerer mod a. i et metrisk rum kovergerer mod x ) har e delfølge, a Lad C 1 [a,p]) betege mægde af kotiuert differetiable fuktioer på [a,b]. Vis, at f "" II fl II er e semiorm, u og at f "" II f II = II f II + II fl II er e orm på vektorrum- 1 u u met C [a,b]). Vis, at f) kovergerer mod f i det ormerede rum uiformt på [a,b] og fl ~ fl C 1 [a, b], II. II), hvis og ku hvis uiformt på f [a,b]. ~ f

19 Mat 2 MA 1984/85 r Topologiske begreber i et metrisk rum. I det følgede vil vi defiere e række begreber, der kytter sig til et metrisk rum M,d). Begrebere er velkedte i tilfældet mk med de sædvalige metrik Idre, ydre, rad og afslutig. Lad A være e puktmægde i det metriske rum M, d), altså A c M Puktere i M falder da i forhold til A i tre dele, hvor dog e eller to ka være tom: det idre af A, det ydre af A og rade af A. Præcist: DEFINITION. Et pukt x E M kaldes et idre pukt i A, hvis der fides e kugle Kx,r) med cetrum i x, som er ideholdt i A, dvs. hvis 3 r > O: Kx,r) c A. Puktet x kaldes et ydre pukt for A, hvis der fides e kugle K x, r), som er disj ukt med A, dvs. hvis Puktet x 3 r > O: Kx,r) A = ø. kaldes et radpukt for A, hvis det hverke er idre eller ydre pukt for A. o Ved idet idre' A af A, det ydre af A og rade Cl A af A forstås heholdsvis ydre pukter og mægde af mægde af idre pukter, mægde af radpukter for A. /

20 Mat 2 MA 1984/85 r. 2.2 Vi oterer: 1. Et pukt x E M er ydre pukt for x er idre pukt for komplemetærmægde A hvis og ku hvis CA = M... A. 2. x E da ~ Vr > O: Kx,r) A * ø 1\ Kx,r) CA * ø. Thi højre side udtrykker at x pukt for A. o 3. da = d CA), M = A U CA) o U d A. hverke er idre eller ydre DEFINITION. Et pukt x E M kaldes kotaktpukt for mægde A ~ M, såfremt ehver kugle med cetrum x ideholder midst et pukt fra A, dvs. såfremt V r > O: Kx,r) A * ø. Mægde A af kotaktpukter for A kaldes afslutige af A. Et pukt x E A kaldes.!soleret pukt af A, hvis der fides e kugle med cetrum x, der ikke ideholder oget adet pukt af A, dvs. hvis 3 r > O: Kx,r) A {x} Idre pukter og radpukter for A A, medes ydre pukter ikke er det. Altså o A = A U da = A U da er kotaktpukter for Aderledes sagt: Afslutige A af A og det ydre CA)o af A er komplemetære - o o CA = CA), A = C CA) ). Der gælder videre o AcAcA, o A A... da = A... da, _ o da = A... A = A CA.

21 Mat 2 MA 1984/85 I. 2.3 EKSEMPEL. Lad det metriske rum være E med de sædvalige afo "ij2 stad. Om A = < gælder < = ø, = EJ a< = E. Ige af Q <'s pukter er isolerede. Om A.-?l gælder?l= ø,?l =?l og alle pukter i?l er isolerede pukter. I I 2.2. Abe og afsluttede mægder. DEFINITION. E mægde A c M x E A er idre pukt for A, kaldes åbe, hvis ethvert pukt o dvs. hvis A = A. ~ puktmægde A c M kaldes afsluttet eller lukket), hvis de ideholder alle sie kotaktpukter, dvs. hvis A = A. Bemærk at ø og M er både åbe og afsluttede. SÆTNING 1. Begrebere åbe og afsluttet er duale: E puktmægde A c M er afsluttet resp. åbe) hvis og ku hvis komplemetærmægde CA er åbe resp. afsluttet). Bevis. Formle CA = CA) o viser, at A = A etop hvis CA) o = CA, altså at A er afsluttet, etop hvis CA er åbe. Avedes dette. på CA i stedet for A fås, at A er åbe etop hvis CA er afsluttet. D I det følgede bruger vi ofte sprogbruge "e familie" eller "et system" af delmægder af e mægde i stedet for at sige e mægde af delmægder. Det er ofte bekvemt at skrive e familie af delmægder af M på forme Ai) iei. Her er uderforstået, at I er e mægde kaldet idexmægde for familie, og der foreligger e afbildig i ~ A. l af I id i mægde af delmægder af M. SÆTNING 2. Systemet G = GM) af åbe delmægder af M har følgede egeskaber: i) Ø,M E G ; ii) Hvis G 1,,G er edeligt mage mægder fra G, så tilhører fællesmægde G 1.. G ige G; G, iii) Hvis G,) 'El er e vilkårlig familie af mægder fra l l" så tilhører foreigsmægde u G, G l iei

22 Mat 2 MA 1984/85 r. 2.4 Bevis. ii). Vi skal idse at vilkårligt x E G.. G er 1 idre pukt. For i E {1,.,} vil specielt x E G., og da l G. er åbe fides r. > o så Kx,r.) cg.. Sættes l l l - l r = mir,,r ) vil 1 Kx,r) ~G1.. G' hvilket viser at x er idre pukt. iii). Vi skal idse at vilkårligt x E pukt i mægde. Til sådat x fides i O E I U G. er idre l iei så me da G. er åbe fides r > O så Kx,r) c G., me så lo - lo meget mere gælder K x,r) c U G., hvilket viser at x er idre pukt i U G.. o l iei iei l F = FM) Ved at udytte Sætig 1 fås et dualt udsag om systemet af afsluttede delmægder. SÆTNING 2'. ystemet F af afsluttede delmægder af M har følgede egeskaber: i) Ø,M E F ; ii) Hvis F,.., F 1 så tilhører foreigsmægde er edeligt mage mægder fra F 1 U U F ige F F, fra iii) Hvis Fi)iEI er e vilkårlig familie af mægder F, så tilhører fællesmægde F. ige F. iei l E kugle Ka,r) er e åbe delmægde, thi af Kuglelemmaet i 1.3 ses, at hvis x E Ka,r) så vil Kx,s) c Ka,r) blot s < r-da,x). Ehver edelig delmægde A er afsluttet, thi hvert x E CA er ydre pukt for A. Hvis emlig A={a,,a}, 1 hvor a,,a er forskellige, og x E CA sættes 1 r = mi { d x, a. ) I i l 1,,} og så er Kx,r) c CA. Edvidere er hvert pukt i A et isoleret pukt, thi for hvert i = 1,, gælder A K a., r) = {a. } år r = mi {d a., a.) I i * j}. l l l J

23 Mat 2 MA 1984/85 r. 2.5 Fællesmægde af uedeligt mage åbe mægder er ikke altid åbe. Overvej et eksempel). Det idre og afslutige af e mægde ka karakteriseres på følgede måde: SÆTNING 3. Lad A c M. o a) Det idre A af A åbe delmægde af A o åbe, så er G ca. er e åbe mægde. Det er de største i de forstad, at hvis G c A og G er b) Afslutige A af A er e afsluttet mægde. Det er de midste afsluttede delmægde af M omfattede A i de forstad, at hvis A c F og F er afsluttet, så er A c F. Bevis. De to udsag er duale og det ee fremgår af det adet ved overgag til komplemetærmægde. o For x E A fides r > O så Kx,r) c A. For hvert y E Kx,r) gælder Ky,r-dx,y» c Kx,r) ifølge Kuglelemmaet. o Altså er y også idre pukt af A, og dermed er Kx,r) c A, o hvilket viser at A er åbe. r > O x E G Hvis G c A og G er åbe vil der til x E G fides så Kx,r) c G og følgelig også er altså idre pukt af A, dvs. Kx,r) c A. o G c A. D Ethvert COROLLAR 1. Det ydre af e mægde A er åbe og rade JA af A er afsluttet. Bevis. Det ydre af A er lig med CA)o og dermed åbe. Formle JA = A CA viser at da er fællesmægde af to afsluttede mægder og dermed afsluttet ifølge Sætig 2'. D SÆTNING 4. Afslutige A af A består af de pukter x E M, der er græsepukt for e koverget puktfølge x ), hvis pukter alle tilhører A.

24 Mat 2 MA 1984/ Bevis. a) Lad A. Da gælder så d x,x ) < r b) Lad x E A x = lim x hvor x) x E A, thi for ethvert er e puktfølge fra r > O f ide s N E IN for ~ N, og dermed er Kx,r) A * ø. Da gælder A Kx,r) * ø for ethvert r > O. For ethvert E IN ka vi altså vælge x E A K x,l) FØlge x ) er da koverget med græsepukt x og alle des pukter tilhører A. D DEFINITION. E delmægde A c M,d) kaldes overalt tæt hvis A = M, altså hvis M er de midste afsluttede mægde, der ideholder A. afsluttede gælder, at A eller i kotrapoeret form Da de åbe mægder er komplemetære til de er overalt tæt etop hvis V G E G: A G = ø ~ G = ø V G E G: G * ø ~ A G * ø. Et metrisk rum M,d) kaldes separabelt,hvis der fides e tællelig *) overal-t tæt delmægde A af M. Idet ~ = IR er IR separabel t. Også separable metriske rum, idet e + ie, - e k og tætte umerable delmægder. '" k. ",k 'I-, ]R.. og 'I- er -k e + ie) er overal t 2.3. Topologiske begreber. Ækvivalete metrikker. DEFINITION. E mægde U i et metrisk rum M,d) siges at være e omeg af et pukt x E M såfremt x er idre pukt i U. Med U x) beteges mægde af omege af x. E mægde er åbe hvis og ku hvis de er omeg af alle sie pukter. *) Tællelig betyder edelig eller umerabel, og e mægde kaldes umerabel, hvis de er ækvipotet med ~T.

25 Mat 2 MA 1984/85 I. 2.7 Vi oterer: D omeg af x o ~ x E U ~ :3 r > O : Kx,r) c D - ~ :3 G E G: x E G c D. De sidste biimplikatio viser at omegssystemet Ux) af hvert pukt er etydigt fastlagt ud fra systemet G af åbe mægder og dermed er omege et topologisk begreb i de forstad, at det ku afhæger af systemet G af åbe mægder i det metriske rum. FØlgede begreber er alle topologiske: Idre pukt, ydre pukt, radpukt, kotaktpukt, isoleret pukt, afsluttet mægde, idre, ydre og rad af e mægde, følgekoverges, overalt tæt mægde, separabilitet. At f.eks. kotaktpukt og følgekoverges er topologiske begreber følger af biimplikatioere: x E A ~ VD E Ux): A U * ø, lim x =x~vu E Ux) :3N ElN V > N: x E U, ~, som gælder fordi K~,r) E Dx) for alle r > O, og til ehver omeg U af x fides r > O så Kx,r) c D. DEFINITION. To metrikker d,d på e mægde M kaldes 1 2 ækvivalete, hvis de fastlægger samme system af åbe mægder. Erstattes metrikke på e mægde med e ækvivalet får vi altså samme topologiske begreber. F.eks. ædres det idre af e mægde ikke. Som eksempel på begreber, der ikke er topolog~ske, ka æves "kugle" og "begræset mægde". E metrik d ka emlig altid erstattes af de ækvivalete metrik d x,y) = 1 midx,y),1) med hesy til hvilke alle mægder er begræsede, emlig af diameter < 1. At d opfylder trekatsulighede ses således: Hvis 1 dx,z) og dz,y) begge er < 1 har vi d 1 x,z) + d 1 z,y) = dx,z) + dz,y) ~ dx,y) > d 1 x,y),

26 Mat 2 MA 1984/85 I. 2.8 og hvis midst et af tallee dx,z) og dz,y) er større ed 1 har vi d 1 x,y) ~ 1 ~ d 1 x,z) + d 1 z,y) Dermed er d 1 e metrik, og hvis K 1 a,r) beteger kugle med hesy til metrikke d 1 gælder K 1 a,r) = { MKa,r), for r < 1 for r > 1, I \ hvilket viser at d og d 1 giver samme system af åbe mægder, altså at d og d 1 er ækvivalete. Geerelt gælder: M er ækvi- o SÆTNING 1. To metrikker d og d pa 1 2 valete hvis og ku hvis e mægde i) "la E M "Ir > O 3 s > O: K 1 a,r) :::> K 2 a,s) ii) Va E M Vr > O 3 s > O: K 2 a,r) :::> K 1 a,s), hvor K. a,r) = {x E M I d. a,x) < r}, i = 1,2. Bevis. Lad G., i=1,2 være systemet af åbe mægder i M,d.) Hvis d og d er ækvivalete, altså hvis. G = G er specielt K 1 a,r) E G 2 for alle a E M, r > O, altså er a et idre pukt af K 1 a,r) i M,d 2 ), og dermed fides s > O så K 2 a,s) ~ K 1 a,r). Betigelse ii) vises aalogt. Omvedt ka ma af i) slutte at G 1 ~ G 2 og tilsvarede af ii) slutte at G c 2 G, 1 så i) og ii) medfører at d 1 og d 2 er ækvivalete. o SÆTNING 2. Lad E være et vektorrum over ]L. To ormer II 11 og 1 II II 2 på E er ækvivalete i de forstad, at de tilhørede metrikker er ækvivalete, hvis og ku hvis i) 3 k > O Vx E E: II x 11 1 ~ k II x 11 2 ii) 3 l > O Vx E E: Ilxll2~ lil xl1 1

27 Mat 2 MA 1984/85 r. 2.9 Bevis. Af i) fra Sætig 2 sluttes r\ K 1 a,r) ::) K 2,a, kj' thi hvis II a-x 11 2 < ~ fider ma II a-x 11 1 ~ k II a-x II 2 < r. Dette * ) for passede s > O. Vi påstår u at IIx1l1~ ~ II x ll 2 for A- alle x E E, altså at i) fra Sætig 2 gælder med k tag emlig at der fadtes x E E så 1 = - s viser i) fra Sætig 1. Omvedt ka ma af dee betigelse slutte Ved udyttelse af ormbetigelse N2) fider vi ved divisio med II x ll 1 at I - 1 >.l II x s II x ll eller hvis y = x/ II x " 1 at liyll2< s. Dette viser at y E K 2 O,s)" og af * ) fås liyll1< 1 hvilket er i strid me~2) -ide"!: r-~ II y II 1 = II II ~ II II::: II ~ II II x II 1 = på tilsvarede måde ses at de to betigelser ii) fra Sætigere 1 og 2 er esbetydede. D EKSEMPEL. De tre ormer II 11, 1 II II 2 og II II på JRk, jvfr. = Eksempel 1 i 1.2, er ækvivalete på grud af de elemetære uligheder II x II < = - < kil x II = Vk lix II =

28 Mat 2 MA 1984/ Ved diskussio af topologiske begreber i Æ k ka vi derfor avede de orm, der er mest bekvem i de foreliggede situatio. Det er ofte emmere at beytte II. " ed 00 " "2 Ma ka vise, at alle ormer på et edelig dimesioalt vektorrum er ækvivalete, jvfr Topologiske rum. Som vi har idset er mage af de til et metrisk rum kyttede begrebsdaelser - emlig de topologiske - allerede fastlagt, år systemet af åbe mægder kedes. Teorie for metriske rum ka derfor idordes uder e mere alme teori for såkaldte topologiske rum, der er idført af Felix Hausdorff ) i Ved e topologi. på e ikke tor mægde M forstås et system G af delmægder af M med følgede egeskaber: T1) Ø,M E G T2) Hvis G,, G 1 er edeligt mage mægder fra G så tilhører fællesmægde G G 1 ige T3) Hvis Gi) iei er e vilkårlig familie af mægder fra G, så tilhører foreigsmægde U G. ige G. iei l Et topologisk rum er e mægde M forsyet med e topologi G og mægdere i G kaldes åbe mægder. Vi har set 2.2 S:Et.2), at systemet af åbe mægder i et metrisk rum er e topologi. Ækvivalete metrikker er etop sådae, der iducerer samme topologi. De fra et metrisk rum kedte topologiske egeskaber ka alle defieres i et topologisk rum. Topologie på et metrisk rum har e speciel egeskab, Hausdorff-egeskabe: Hvis jukte mægder og x 2 er forskellige pukter i M G 1 ' G 2 E G, så x 1 E G l' x 2 E G 2. G fides dis-

29 Mat 2 MA 1984/ Vi ka emlig sætte Gi = K Xi ' ~d x 1,x 2 ) ), i = 1,2. Hausdorff idskrækede sig til at betragte topologiske rum med Hausdorff-egeskabe, de såkaldte Hausdorff rum. Der er Hausdorff rum, hvor topologie ikke ka defieres ved e metrik. Et væsetligt problem i teorie for topologiske rum består i at karakterisere de topologier, der ka iduceres af e metrik. Dette metrisatiosproblem blev løst af 3 forskellige matematikere Big, Nagata og Smirov omkrig 1950.

30 Mat 2 MA 1984/85 I.2.12 Opg. 2 Opgaver til Bestem det idre, afslutige, rade og mægde af isolerede pukter for følgede Qelmægder af Æ 2 med de euklidiske afstad. a) A = Æ 2 b) A =llxll c) A = ~x II Om G E G, F E F gælder G'F E G, F'G E F o 2.3. Hvis der om to metrikker d,d pa M fides kostater 1 2 o A,B > O sa d ~ Ad 1 2, d 2 ~ Bd 1 ' så er d og d 1 2 ækvivalete. Overvej om d og d ka være ækvivalete 1 2 ude at der fides sådae kostater A og B Beskriv de topologiske begreber i et diskret metrisk rum Vis, at der for vilkårlige delmægder A,B af et metrisk rum M,d) gælder o o = A B AUB A U B) o = A U B o o ::> A U B AB og fid eksempler der viser, at der ikke behøver at gælde = i de tre sidste iklusioer. o Vis videre, at for A c B gælder A c Vis, at der for e vilkårlig familie mægder af M U A. = U A. iei l iei l gælder o \0 \ A.) = iei l A \0 \iei i) A c B af del-

31 Mat 2 MA 1984/85 I.2.13 Opg Lad M,d) være et metrisk rum. Vis, at følgede betigelser om e delmægde A c M og et pukt x E M er ækvivalete: i) x E A... {xh ii) Vr > O: K x,r) A ideholder uedelig mage pukter; iii) :3 x ) fra A... {x} så lim x = x. ~oo Et pukt x med disse egeskaber kaldes et fortætigspukt for A og mægde af fortætigspukter for A beteges A I. Vis, at A = AI U I A), hvor IA) er mægde af de isolerede pukter for A. Vis, at AI er e afsluttet mægde Lad M,d) være et metrisk rum. Vis, at Ka,r) = {xlda,x) ~ r} og at mægde på højre side er afsluttet. Givet eksempel hvor iklusioe ovefor er streg. Vis, at hvis M,d) er et ormeret vektorrum så gælder K a, r) = {x I d a, x) ~ r} = {x I " a-xii ~ r}) Lad 11 være mægde af absolut kovergete rækker, dvs. N = {a) E <t: I L la 1< oo} 1 Vis, at 11 og at er et vektorrum ved sædvalige regeoperatioer og 00 I Ck)IIt\ -S ~ ctv,) U 1 L la I 1 " a )" = sup{ I a I I E N} u 1~)~1 <:. tl\'q,..\/u,uu~', I.{ ~ ~J:;:.J.,1, 0,0 J.. ) er ormer på 11. Er de ækvivalete? Vis, at delmægde A = { a ) E 11 I :3N E N V > N; a = O} af - de "edelige rækker" er overalt tæt i l1''' '' 1) og i

32 Mat 2 MA 1984/ Opg Lad der være givet et primtal p og et tal c E ] 0,1 [. Et tal r E <l2 '- {O} ka på etydig måde skrives r a = b p hvor a, E ZZ, b E]N og p går hverke op i a eller b. Vis, at der ved fastsættelse Irl p = c for r ovefor, og 10lp = O defieres e afbildig 1 1 : ~ ~ [O,oo[ med egeskabere p I rs I = I r I I s I, p p p I r + s I < max I r I I I s I ), p - p p I pi = c. p Afbildige 1 1 kaldes e p-adisk absolut værdi. Vis, p at d r,s) = Ir-sl p er e metrik på <l2. UdersØg om p - følgere p), p ),!) er kovergete og fid evetuelle græsepukter. Vis, at hvis r ~ r * O, så er Irl p = Irlp fra et vist tri, og vis derved at K0,1) er både åbe og afsluttet. De ormaliserede p-adiske absolutte værdi opås svarede 1 til c = Vis, at der for alle re <l2'-{0} gælder p Irl p p 1 = TiT' hvor produktet er over alle primtal p ormaliserede p-adiske absolutte værdi. og 1 1 er de p E familie Ai)iEI af delmægder af et metrisk rum M,d) kaldes lokalt edelig såfremt v x E M:l U E iix): {ieiia. u*ø} er edelig, 1.

33 Mat 2 MA 1984/ Opg. 2 altså såfremt der til ethvert pukt x E M fides e omeg U af x der ku har pukter fælles med A. for edel lig mage i E I. Vis, at hvis Ai)iEI er e lokalt edelig familie af afsluttede mægder, så er U A. afsluttet. iei l Lad x) være e koverget følge med græseværdi x i et metrisk rum M,d). Vis, at F = {x I E N} U {x} er e afsluttet delmægde Lad A cæ k være e koveks mægde, dvs. for x,y E A er også liiestykket {,\x + 1-'\) Y 1'\ E [O,1]} fra x til y ideholdt i A. o o Vis, at A og A er kovekse A ka være tor).

34 Mat 2 MA 1984/85 r Kotiuerte afbildiger." 3.1. Kotiuitet af e afbildig i et pukt. Lad X,~) og Y,,\-) være metriske rum. Kugler i X og Y beteges Kxx,r) og K y y, r). E afbildig f: X ~ Y kaldes kotiuert i puktet a E X, hvis der til ethvert E > O, f ides et o > O, således at f K X a, o» c Ky f a), E), altså således at der for ethvert x E X gælder dxx,a) < o ~ dyfx),fa» < e. Skrevet med logiske symboler udtrykkes defiitioe således: VE E JR+ 30 E JR+ Vx E X: ~ a,x) < o ~ '\- f x), f a» < e LØst sagt kræves altså, at hvis x er ær ved a, så er fx) ær ved f a). Hvis afbildige ikke er kotiuert i puktet a, siges de at være diskotiuert i a. Kotiuitet ka i stedet defieres uder brug af begrebet koverget puktfølge, idet der gælder: SÆTNING. Afbildige f: X ~ Y er kotiuert i puktet a E X, hvis og ku hvis det for ehver puktfølge x ) i X gælder, at år x) er koverget med græsepuktet a, er følge fx» af billedpukter koverget med græsepuktet fa). Bevis. ~ 00. et o > O, 1) Vi atager Til ethvert så at f E > O dette o fides, da x ~ a at dxx,a) < o for alle dyfx ),fa» < E for alle for ~ 00 kotiuert i fides, da a og x ~ a for f er kotiuert i a, dyfx),fa» < E, å r d x for ~ 00, et E ]N, så O > O. FØlgel ig gælder Altså gælder x, a) < o. T i l f x ) ~ f a)

35 Mat 2 MA 1984/85 I ) Vi atager, at f ikke er kotiuert i a. Dette betyder, at der fides et således at der for ethvert o E lli+ fides et x E X dxx,a) < o og Svarede til o' = 1, 1 2' i hehold hertil. Herved hvilke der for ethvert 1 '3'... fås e E ]N vælges puktere puktfølge x ) gælder x 1,x 2,x 3, i X, for og FØlge x ) kovergerer altså mod a, medes følge fx )) af billedpukter ikke kovergerer mod fa). D 3.2. Kotiuerte afbildiger. Idet X,d ) og y,d x y ) er metriske rum, siges e afbildig f: X ~ Y at være kotiuert, hvis de er kotiuert i ethvert pukt a E X. Hvis afbildige ikke er kotiuert, siges de at være diskotiuert. E afbildig er altså diskotiuert, hvis de er diskotiuert i midst et pukt. FØlgede resultat viser, at kotiuitet er et topologisk begreb. SÆTNING 1. E afbildig f: X ~ Y er koti~ert, hvis og ku hvis origialmægde f- 1 G) af ehver åbe delmægde G af Y er e åbe delmægde af X. Bevis. 1) Atag, at f er kotiuert, og lad delmægde af Y. For ethvert pukt a E f- 1 G) G være e åbe gælder fa) EG. Da G er åbe, fides et E E lli+, så at K y f a), E) ~ G. Da f er kotiuert i a, fides et o E lli+, så at fkxa,o)) ~ Kyfa),E). FØlgelig gælder Kxa,o) ~ f- 1 G). Mægde f- 1 G) er altså åbe i X. 2) Atag, at f- 1 G) er åbe for ehver åbe delmægde G af Y. For ethvert pukt a E X og ethvert E E lli+ gælder -1 da, at f Kyfa),E)) er åbe. Der fides altså et o E lli+, -1 så at Kxa,o) ~ f Kyfa),E)). FØlgelig er fkxa,o)) ~ Kyfa),E). Altså er f kotiuert i puktet a. D

36 Mat 2 MA 1984/85 r. 3.3 Aalog til Sætig 1 er SÆTNING 1'. E afbildig f: X ~ Y er kotiuert, hvis og ku hvis origialmægde f- 1 F) af ehver afsluttet delmægde F af Y er e afsluttet delmægde af X. Bevis. 1) Atag, at f er kotiuert, og lad F være e afsluttet de lmægde af Y. Da er G = y, F åbe og følgelig f- 1 G) åbe. Me f- 1 F) = X'f- 1 G). Altså er f- 1 F) afsluttet. 2) Atag, at f- 1 F) er afsluttet for ehver afsluttet delmægde F af Y. For ehver åbe delmægde G af Y er F = Y'G afsluttet og følgelig f- 1 F) afsluttet. Me f- 1 G) = X'f- 1 F). Altså er f- 1 G) åbe. FØlgelig er f kotiuert. o Som avedelse af oveståede resultater ser ma, at hvis f: X,d) ~Æ er kotiuert så er mægdere {x E Xlfx) > a}, {x E Xla < fx) < b} åbe i X, og mægdere { x E X I f x) < a}, {x E X I a < f x) < b } er afsluttede i X. FØlgede resultat avedes ofte: SÆTNING 2. Lad f,g: X ~ Y være kotiuerte afbildiger. Hvis fx) = gx) for alle x i e overalt tæt delmægde A c X så er f = g. Bevis. For vilkårligt x E X fides e følge x ) fra A så x ~ x fordi x E A X jvfr. Sætig 4 i 2.2. Da fx ) = gx ) for alle E ]N ifølge forudsætige, ka vi af Sætige i 3 1 slutte at f x) = lim fx ) = lim gx ) = gx). ~oo ~oo Da x E X var vilkårlig er f = g. o

37 Mat 2 MA 1984/85 I. 3.4 SÆTNING 3. Hvis X,d X )' y,d y )' Z,d z ) er metriske rum og f: X ~ Y og g: Y ~ Z er kotiuerte, er de sammesatte afbildig gaf: X ~ Z ligeledes kotiuert. Bevis. For ehver delmægde Hvis C er åbe, er g-1 C) C af Z er gaf)-1c) =f- 1 g-1c)). åbe og følgelig f- 1 g -1 C)) åbe. D BEMÆRKNING. Der gælder aturligvis også e puktvis versio: Hvis f er kotiuert i X E X og g er kotiuert i o så er gaf kotiuert i X o Beviset føres f.eks. ved hjælp af Sætige i 3.1. Derimod vil de omvedte afbildig til e bijektiv kotiuert afbildig i almidelighed ikke være kotiuert. Lad X og Y være mægdere [0,1[ U [2,3] og [0,2] med de sædvalige metrik dx,y) = Ix-yl, være de ved y = f x) = {X x-1 for x E [0,1[ for x E [2,3] og lad f: X ~ Y 2 1 y / ~--+---~'--~I~--~ X O 123 bestemte afbildig. Da er f uert og bijektiv, me f- 1 kotiuert i puktet 1, idet i Y, me f ) = gerer ikke mod f 1) = 2 E bijektiv afbildig kotier dis ~ 1 kover- f: X,d X ) ~ y,d y ) så både f og er kotiuerte kaldes e homeomorfi. -1 f Ved e homeomorfi bevares alle topologiske begreber. F. eks. gælder om a E A ~ X, at a er idre pukt i A, hvis og ku hvis f a) er idre pukt i f A) Vi æver ude bevis følgede dybtliggede sætig fra 1911 af de holladske matematiker L.E.J. Brouwer ). SÆTNING 4. metrik d y = fx) X,d) på Lad. Hvis e åbe Y, d). X CÆ k være e åbe delmægde med de sædvalige f: X ~Æk er kotiuert og ijektiv, så er k delmægde af Æ og f er e homeomorfi af

38 Mat 2 MA 1984/85 r Lipschitz afbildig. Isometri. E afbildig f: X Y af det metriske rum X,d ~ x ) id i det metriske rum y,d y ) kaldes e Lipschitz afbildig med Lipschi tz) kostat C, hvis der for alle x,x 1 2 E X gælder Rudolf Lipschitz. Tysk matematiker ). Hvis C = 1 kaldes f afstadsformidskede. E Lipschitz afbildig er c kotiuert, idet ma til E > O ka vælge å = C. Afbildige f kaldes e isometri, hvis der for vilkårlige pukter x 1,x 2 E X gælder dy f x 1 ), f x 2)) = d x x 1 ' x 2). E isometri er ijektiv. Hvis e isometri desude er surjektiv er de iverse afbildig f- 1 : y ~ X ligeledes e isometri. E surjektiv isometri er således e homeomorfi. Der gælder følgede forbløffede sætig, vist af de polske matematikere Mazur og Ulam i SÆTNING 1. Lad E 1 og E 2 være ormerede reelle vektorrum. E surjektiv isometri.f: E 1 ~ E 2 tisk lieær. med fo) = O er automa- Det vil føre for vidt at komme id på beviset. I tilfældet E = E = Æ k med de euklidiske afstad er 1 2 forudsætige om surjektivitet automatisk opfyldt, og beviset let: SÆTNING 2. Lad f: Æ k ~ Æ k være e isometri med hesy til de euklidiske afstad. Så fides e vektor a E Æ k og e ortogoal matrix A så at f x) = a + Ax for k x E Æ Ma har altså, at f er e euklidisk isomorfi x ~ Ax efterfulgt af e traslatio x ~ x+a).

39 Mat 2 MA 1984/85 r. 3.6 Bevis. Sæt g x) = f x) - a, hvor a:= fo). Idet er g e isometri og go) = O. Heraf følger II gx) II = II gx)-go) II = II x-oll = II x II for k x Em., og da skalarproduktet x 1 x 2 af to vektorer er givet ved fider vi Dette udtrykker, at g bevarer skalarproduktet. Beteger e 1,,e k de sædvalige ortoormale basis i m. k gælder e.. e. = å.. og derfor også g e. ). g e.) = å.. så l J 1J l J 1J ge 1 ),,ge k ) er ligeledes e ortoormal basis. Skrives gx) som liearkombiatio af disse vektorer A. = gx) ge.) = x e. = x., l l l l er koefficietere A. givet ved l hvis x = x,,x ). Hvis A beteger de matrix, der har 1 k ge ),,ge ) som søjler, er A e ortogoal matrix, og ligg x) = Ax, hvor det 1 k igere '\. = x., i = at 1,.., k viser, l l sidste er matrix produktet af A og x skrevet som e søjle. Vi har hermed vist, at g er e euklidisk isomorfi, og at f x) = a + g x) = a + Ax. o orme på tal rummet eller :IT., = <t, betragtes maksimum II x II = = max { I x 1 I,..., I x k I } f or x = x 1 '..., x k ) E:IT., k. De j'te koordiat fuktio eller projektio

40 Mat 2 MA 1984/85 I. 3.7 er defieret ved TI j x 1,,x k ) = x j ' j= for x = x 1,,x k ) og y = Y1' 'Yk) 1,..., k. Idet der i, k gælder er TI. ITI. x)-ti. y) I = Ix.-y.1 < IIx-y II J J J J - 00 afstadsformidskede og dermed kotiuert. ~ afbildig f: M,d) ~,k af et metrisk rum M,d) id i talrummet,k har de k koordiatfuktioer f. = TI.of: M,d) ~ IL, j= 1,,k J J og ma har x E: M. VedrØrede kotiuitet gælder: f er kotiuert hvis og ku hvis hver koordiatfuktio f. er kotiuert. J pukt. Et tilsvarede udsag gælder om kotiuitet i et ekelt Bevis. Hvis f er kotiuert er de sammesatte afbildiger f j = TIjof kotiuerte, j = 1,,k. Hvis omvedt f 1,,f k alle er kotiuerte i puktet a E: M, og ~ > O er givet, så fides 01'.,ok > O så der for hvert j= 1,,k gælder dx,a) < o. '* If. x)-f. a) I < ~ J J J Med = mi01'..,ok) gælder da d x, a) < '* II f x) - f a) II = max { I f. x) - f. a) I I j = 1,, k} < ~ 00 J J D Tilsvarede er f: M,d) ~ ~ kotiuert hvis og ku hvis Ref og Imf er kotiuerte Kotiuitet af regeoperatioere. SÆTNING 1. De ved \

41 Mat 2 MA 1984/85 r. 3.8 defierede afbildiger af ]R. x IR id i IR eller ~x~ id i x1 ~ og de ved ~4: x,x ) ~ defierede afbildig af 1 2 x 2 :IR xlr,{ O}) id i IR eller ~x ~'{O}) id i ~ er kotiuerte. Bevis. Idet vi i ~x~ beytter de ved maksimumsorme II x 1, x 2 ) "= = max { I x 1 I, I x 2 l} bestemte metrik, ka påstadee for IR og ~ bevises samtidigt. Kotiuitete af summe følger af, at der for vilkårlige a = a 1,a 2 ) og x = x 1,x 2 ) gælder Tilsvarede følger kotiuitete af differese af, at Ved produktet har vi, idet vi sætter x-a = y = Y1'Y2) For II x-a II = II y II < 8 < 1 gælder altså = - I ~ 3 x) -~ 3 a) I < I a 1 I + I a 2 I + 1) 8, hvilket viser kotiuitete i det vilkårlige pukt a, idet vi for ethvert E E: IR+ ka vælge et 8 E: ] 0,1], så at I a 1 I + I a 2 I + 1) 8 < E. Ved kvotiete skal kotiuitete eftervises i et vilkårligt pukt a = ai,a 2 ), hvor a =1= 2 O. Idet vi atter sætter x-a = y = Y1,Y 2 ), og Øjes med at betragte sådae x, for og følgelig x = 2 a 2 +Y2 =1= O, hvilke II x-all = II yll < la 2 1 = = har vi = a i +Y1)a 2 -a 1 a 2 +Y2) a 2 +Y2)a 2 = Y1a2-a1Y2 a 2 +y 2 )a 2.

42 Mat 2 MA 1984/85 r. 3.9 For gælder altså la 1 1+la 2 1)o I tj) 4 x) -tj) 4 a) I < t I a 2 I I a 2 I ' hvilket viser kotiuitete i a, idet vi for ethvert ~ E Æ+ 1 ka vælge et o E ]O'2Ia21] så at I a 1 I + I a 2 I ) o < ~. D SÆTNING 2. De ved x i "x II bestemte afbildig af et ormeret rum E,+,L) er afstadsformidskede og dermed kotiuert. Speciel t er x i I x I kotiuert af ]R eller <I: id i ]R. Bevis. IfØlge N3) gælder "x" = "x-y+y" ~ "x-y II + "y" hvoraf "x" - "y" ~ "x-y". Ved ombytig af x og y ses at '" xii - II yll' ~ II x-y II. D Beyttes karakteriserige af kotiuitet ved kovergete 2 puktfølger, og det faktum, at e puktfølge «x'y)) i Æ eller <1: 2 er koverget med græsepuktet x,y), hvis og ku hvis talfølge x) er koverget med græseværdie x og tal følge Y) er koverget med græseværdie y, ser vi, at kotiuitete af regeoperatioere er esbetydede med følgede velkedte) sætig om regig med kovergete talfølger: Hvis de reelle eller komplekse talfølger x ) og Y) er kovergete med græseværdiere x og y, er talfølgere X+Y)' x-y ), xy ) kovergete med græseværdiere x-y, xy. Hvis Y og hvert Y er * O, er talfølge x koverget med græseværdie y Vi ser edvidere: Hvis de reelle eller komplekse talfølge x ) er koverget med græseværdie x, er tal følge Ixi) koverget med græseværdie lxi.

43 Mat 2 MA 1984/ Koti~erte reelle og komplekse fuktioer. Idet M,d) beteger et metrisk rum kaldes e kotiuert afbildig f: M ~ Æ eller f: M ~ ~ e kotiuert reel eller kompleks fuktio på M. Mægde af kotiuerte reelle fuktioer på M beteges C M,Æ) og mægde af kotiuerte komplekse fuktioer CM,~). Hvis det af sammehæge fremgår, hvilket af de to tilfælde tale er om, beyttes også de kortere betegelse C M). SÆTNING 1. Mægde C M,~) af kotiuerte komplekse fuktioer på det metriske rum M udgør e kommutativ) rig, der har mægde C M,Æ) af kotiuerte reelle fuktioer som delrig. Et elemet f i C M,~) har et reciprokt elemet, hvis og aturligvis ku hvis) fx) * O for alle x E M. Bevis. Problemet er at bevise, at f 1 hvis f 2 ikke atager værdie f 1 +f 2, f 1 -f 2, f 1 f 2, samt O) er kotiuerte, hvis f 2 f,f : M ~ ~ er kotiuerte. Dette følger af sætige om 1 2 sammesætig af kotiuerte afbildiger og sætige om regeoperatioeres kotiuitet, idet det bemærkes, at afbildige x ~ f x),f x)) af M id i ~x~ er kotiuert. D 1 2 Vi bemærker edvidere, at hvis f er kotiuert, er også fuktioe I f I, sammesat af x ~ f x) og I I, kotiuert. Hvis f,f : M ~ Æ er kotiuerte følger heraf, at også fuktioere f vf = max{f,f } og f Af = mi{f,f } er kotiuerte. Der gælder emlig og Hvis e følge f: M ~ ~ af kotiuerte fuktioer ko vergerer puktvis mod e fuktio f: M ~ L, altså hvis Vx M VE- > O JN E :IN V > N:! f x) -f x) I ~ E-, ka ma i almidelighed ikke slutte,at f er kotiuert, jvfr.

44 Mat 2 MA 1984/ Mat 1. Som et kuriosum ka æves, at Cauchy i si lærebog Cours d'aalyse 1821) hævder, at græsefuktioe er kotiuert. I et brev fra 1826 gør Abel opmærksom på fejle, der ok skyldes, at begrebere ikke har været tilstrækkeligt præciserede). Hvis kovergese derimod er uiform, altså hvis VE > O :IN E m V > N Vx E X: I f x) -f x) I < E, er græsefuktioe f kotiuert. Mere almideligt gælder SÆTNING 2. Lad f) være e uiformt koverget følge af fuktioer på et metrisk rum M,d) med græsefuktio f. Dersom hver fuktio er f kotiuert i er kotiuert i puktet Bevis. Lad E > O være givet. Vi skal bestemme der for x E KX O,8) gælder Ifx)-fx O ) I < E. 8 > O, så Da f) kovergerer uiformt mod f på M, ka vi bestemme N E m, så der for alle x E M gælder Udyttes deræst, at f N er kotiuert i x o ' ka vi bestemme 8 > O, så der for x E KXO,å) gælder For x E KX O,8) gælder altså D

45 Mat 2 MA 1984/ Opg. 3 Opgaver til Lad X,d x ) og y,d y betege systemet af omege af a E X. ) være metriske rum og lad Ua) Vis, at f: X ~ Y er kotiuert i a E X hvis og ku hvis v V E Ufa»: f- 1 V) E Ua). Vis, at f er kotiuert hvis og ku hvis VA c X: fa) c fa) Lad X,d x ) og y,d y ) være metriske rum. Vis, at hvis d er de diskrete metrik, så er ehver afbildig x f: X ~ Y kotiuert. Vis omvedt, at hvis f: X ~ Y er e kotiuert ijektiv afbildig og. dyer diskret, så er d x ækvivalet med de diskrete metrik. 3 3 Lad f: ]R ~]R være e C 1-fuktio med begræset differetialkvotiet. Vis, at f er e Lipschitz afbildig med kostat C = sup{ I f' x) I I x E ]R} Vis, at f: ]R ~]R2 givet ved fx) = x,lxl) er e isometri, år ]R2 er udstyret med maksimum orme. Hvad viser dette om Mazur-Ulam's sætig? 3.5. E familie B af åbe mægder i et metrisk rum y,d y ) kaldes e basis for systemet G af åbe mægder, hvis ehver ikke tom åbe mægde er foreigsmægde af mægder fra B. Vis, at mægde af kugler er e basis. Vis også, at hvis A er overal t tæt i Y, så er familie B = {K a, l) I a E A, E ]N} e basis. Vis, at f: X ~ Y for alle G E B, er kotiuert blot f- 1 G) E GX) hvor B er e basis for GY).

46 Mat 2 MA 1984/85 I.3.13 Opg Afstade fra et pukt x til e ikke tom mægde A i et metrisk rum M,d) defieres ved dx,a) = if{dx,a) la E A}. Vis, at fuktioe x ~ dx,a) af M,d) id i ~ er afstads formidskede og dermed kotiuert. Vis, at dx,a) = O hvis og ku hvis x E A. Vis, at ehver afsluttet mægde er fællesmægde af e følge af åbe mægder. Vis, at f: X,d x ) ~ y,d y ) er kotiuert i X o E X hvis og ku hvis der for alle delmægder A c X gælder 3.7. Lad M,d) være et metrisk rum. Vis, at der til et par F,F 1 2 af afsluttede, disjukte og ikke tomme delmægder fides e kotiuert fuktio f: M ~~ med egeskabere f x) = O for x E F 1 ' f x) = 1 for x E F 2 ' O<fx)<1 for x E M... F 1 UF 2) Vik. Sæt dx,f 1 ) f x) = dx,f1 )+dx,f 2 ) Vis, at der fides åbe disjukte mægder G 1,G 2 i M så F 1 ~ G 1 og F 2 ~ G Lad M,d) være et metrisk rum. Mægde af bijektive afbildiger f: M ~ M udgør e gruppe ved sammesætig som kompositio, Mis trasformatiosgruppe. Vis, at mægde af homeomorfier og mægde af isometrier af M udgør udergrupper af Mis trasformatiosgruppe.

47 Mat 2 MA 1984/85 r Kostruktioer med metriske rum Delrum. Lad M,d) være et metrisk rum og lad MI være e ikke tom delmægde af M Så er restriktioe af d til MlxM I aturligvis også e metrik på MI, og vi ka derfor betragte det metriske rum MI,d), som kaldes det metriske delrum af M. Vi siger at M I er forsyet med de iducerede eller edarvede metrik. Til det metriske rum M,d) er altså kyttet e skare af ye metriske rum MI,d), hvor ø:j: MI c M. tale om topologiske begreber i rummet MI,d), Dermed ka vi f.eks. om systemet GM I ) af åbe mægder i MI, og systemet FM I ) af afsluttede mægder i MI. Mægdere i GM I ) resp. FM I )) kaldes åbe resp. afsluttede) relativt til MI. SÆTNING. Med betegelsere ovefor gælder a) GM I ) = {MI GIG E GM)} b) FM I ) = {MI FIF E FM)} c) For A c MI gælder der om afslutige MI,d) at -MI A af A i -MI A = M I A Bevis. a) Lad K MI a,r) være kugle i MI,d) med cetrum i a E MI og radius r > O. så er KM I a, r) = {x E M I I d a, x) < r} = M I K a, r). Heraf ses, at MI G E G M I) for alle G E G M), thi for a E MI G vil a E G, og derfor fides r > O så Ka,r) c G, og altså K MI a,r) c MI G. - Atag omvedt, at GI E G M I). Til hvert x E GI r x > O o sa KM I x,r x ) c GI Mægde fides G = U Kx,r) xeg I x er åbe i M iflg. 2.2, Sætig 2 iii), og der gælder

48 Mat 2 MA 1984/ b) M I G = U KM I x, r x) = G I xeg I Hvis F E F M) er G = M'F E G M). Sættes F I =M I F og GI = MI G er F I = MI 'GI Da GI er åbe relativt til MI ifølge a), er F I relativt afsluttet. Hvis omvedt F I c MI er relativt afsluttet er GI = MI 'F I relativt åbe. FØlgelig fides e åbe mægde G i M så at GI = MI G. Sættes F = M'G er F afsluttet og F I = MI F. -MI c) For A C MI er MI A E F M I). Da A er de mid- ste mægde i F M I) der omfatter A 2.2 sæt. 3) fås -MI A c MI A. på de ade side fides ifølge b) ) F E F M) =M I så A = MI F, altså A c F. Me så er A c F, og derfor har vi A = MI F :J MI A. -MI D Af oveståede ses, at hvis MI er åbe i M, så er G M I) c GM) og G M I) = {G E G M) I G c M l}. på de ade side ka G M I) c G M) ku gælde,hvis MI er åbe i M, idet MI E GM I ). EKSEMPEL. Lad M = Æ have de sædvalig~ metrik og lad MI = [O,oo[ så er [O,a[ åbe relativt til [O,oo[ og [O,a] afsluttet relativt til [O,oo[ ~or alle a > Sættes MI = ]O,oo[ er ]O,a[ åbe relativt til JO,oo[ og JO,a] afsluttet relativt til ]O,oo[ for alle a > Iklusiosafbildige i = imi,m: MI ~ M givet ved i x) = x,år ø:l= MI c M, er kotiuert, idet i- 1 G) = MI G for G E GM). Afbildige er edda isometrisk. ø :1= XI C X. Hvis og y,d y ) f: X ~ Y være metriske rum, og lad er kotiuert i et pukt a E X I, er også restriktioe flx I : XI ~ Y kotiuert i a idet flx I = fo' lx I,X

49 Mat 2 MA 1984/ Hvis fx) c y' c Y ka vi betragte f som afbildig f: X -) y' Ma ser, at f: X -) y' er kotiuert i a E X hvis og ku hvis f: X -) Y er kotiuert i a produktrum. Er M,d ) og M,d ) to metriske rum, ka produktmægde M1xM2 gøres til et metrisk rum på følgede måde: For x = x,x ), y = Y1'Y2) E M1xM2 er 1 2 * ) d x, y) : = max d 1 x 1 ' Y 1), d 2 x 2 ' Y 2) ) e metrik på M xm. Betigelsere M1) og M2) er oplagte 1 2 og M3) eftervises således: Lad z = z1,z2) E M1xM2 være et tredie pukt. så giver trekatsulighede for d 1 at og aalogt og dermed er dx,y) < dx,z) + dz,y). Metrikke *) kaldes produktmetrikke af d og d og 1 2 M,d ) og M 1 1 2,d 2 ) M1 xm,d) kaldes det!!!etriske produktrum af 2 metriske rum. Kostruktioe udvides let til et produkt af Hvis M = M = m med de sædvalige metrik, er det metriske 1 2 produktrum lig med m 2 med de af maksimumsorme bestemte metrik.

50 Mat 2 MA 1984/85 r. 4.4 SÆTNING. Lad M 1 xm 2,d) være det metriske produktrum af M 1,d 1 ) og M 2,d 2 ). så gælder a) For G 1 E G M 1 ), G 2 E G M 2 ) er G 1 xg 2 EGM 1 xm 2 ) b) For F E F M ) og F E F M ) er F 1 xf 2 E FM xm ) 1 2. a a a c) For A c 1 M 1 ' A 2 ~ M er A xa ) = A xa og A xa = A xa d) E puktfølge vergerer mod gerer mod x 1 x x = i = x 1,x 2 ), =1,2, i M 1 xm 2 ko x 1,x 2 ) hvis og ku hvis x 1 ) kover M 1 og x 2 ) kovergerer mod x 2 i M 2. Beviset bygger på at for x = x 1,x 2 ) E M1xM2 og r > O gælder K x,r) = K 1 x 1,r) x K 2 x 2,r), hvor Kx,r) er kugle i produktrummet og i M.,d.), i=1,2. Beviset overlades som e Øvelse til læsere. l l a a a Det bemærkes, at formle A xa ) = A xa aturligvis skal fora a stås således, at A XA ) er det idre i rummet M xm A er 1 a det idre i M og A det idre i M. Det ville blive for tugt at lade dette fremgå af symbolere. Projektiosafbildigere K.x.,r) l l er kugle defieret ved er begge afstadsformidskede, og dermed kotiuerte. For x = x 1,x 2 ), y = Y1'Y2) E M1xM2 gælder emlig og aalogt for TI 2. Bemærk at

51 Mat 2 MA 1984/85 r. 4.5 For a E M 1 er ja: M ~ M xm givet ved jay) = a,y) e kotiuert afbildig, ja edda e isometri. Tilsvarede er afbildige x ~ x,b) e isometri af M 1 id i M xm 1 2 for fast b E M. 2 Ved sammesætig af e afbildig f: M xm ~ M med ja fås sitafbildige foja = fa, ): M ~ M 2 3 givet ved y ~ fa,y). Tilsvarede har vi for b E M 2 sitafbildige f,b): M ~ M 1 3 givet ved x ~ fx,b). Da sammesætig af kotiuerte afbildiger ige er kotiuert ses, at sitafbildigere af e kotiuert afbildig ige er kotiuerte Rummet LE,F). Lad E være et ormeret rum over ]L =]R eller t), hvor orme beteges II II. SÆTNING 1. De ved j)x,y) = x+y af ExE id i E 1jJA,x) = Ax af ]LxE id i E defierede afbildiger er kotiuerte. Bevis. Afbildige j) opfylder edda e Lipschitz betigelse med kostat 2, idet der for x,y) E ExE og a,b) E ExE gælder II j)x,y)-j)a,b) II = II x-a)+y-b) II ~ II x-all +11 y-bil ~ 2max{lIx-all,lly-bll). Vi viser deræst, at 1jJ er kotiuert i AO'X O ) E ]LxE, og beytter hertil udregige hvoraf Lad u c > O være g i vet. Hvis max I A- A O I, II x-x O II) < o < 1 fider vi

52 Mat 2 MA 1984/85 r. 4.6 hvis vi vælger Lad E,F være ormerede vektorrum over samme legeme L. Begge de optrædede ormer beteges II II, hvilket ikke skulle kue give aledig til misforståelse. For e lieær afbildig T: E ~ F, altså e afbildig *) der opfylder Tx+y) = Tx + Ty T AX) = ATx for alle x, y E E og A E L, idføres II T II = s u p { II Tx II I x E E, II x II < 1} E [O, = ]. SÆTNING 2. For e lieær afbildig T: E ~ F betigelser esbetydede: er følgede 1) T er kotiuert i O. 2) T QEfylder e Lipschitz betigelse. 3) lit II < =. Hvis de tre betigelser er opfyldt er II T II de midst mulige Lipschitz kostat. Bevis. 1) ~ 2). Hvis T er kotiuert i O) som afbildes i ulvektore i F, fides å > O, så der for x E E gælder r ", Heraf følger, at II x II < å ~ II Tx II < 1 II Tx II ~ "8 II x II for x E E. Dette er klart for x = O, og hvis x :j: O, vil y = x II x II opfylde II y II = å, hvoraf <5 å - II x II TX" = lix II > II Ty II = IITCI~II x) " = " <5 II Tx II. *) Ved lieære afbildiger skrives ofte Tx i stedet for T x).

53 Mat 2 MA 1984/85 r. 4.7 Liearitete viser u 1 II Tx - Tyll = II Tx-y) II ~"6 II x-yll, 1 altså at T opfylder e Lipschitz betigelse med kostat "6 2) ~ 3). Hvis 2) gælder med Lipschitz kostat C, har ma for II x II < 1 II Tx II = II Tx - TO II < C II x - O II C II x II < C, hvilket viser, at II T II < C < 00 3) => 1). Hvis 3) er opfyldt har vi for x E E med II x II < 1, at II Txll < IITII For x E E'-{O} har vi så eller II Tx II < II T II II x II som også gælder for x = O og viser, at T er kotiuert i O. Dee ulighed kombieret med liearitete viser, at T opfylder e Lipschitz betigelse med kostat II T II, og dermed er II T II de midst mulige Lipschitz kostat. o BEMÆRKNING. E lieær afbildig er altså kotiuert, etop hvis de er begræset på ehedskugle {x E E I II x II < 1}. E kotiuert lieær afbildig T: E ~ F kaldes ofte e begræset operator fra E til F. Mægde HomE,F) af lieære afbildiger T: E ~ F er på aturlig måde orgaiseret til et vektorrum over L ved defiitioere S+T) x) = Sx +Tx, A T) x) = A Tx), hvor S, T E Hor E, F), A E L, x E E.

54 Mat 2 MA 1984/ For x E E, II x II ~ 1 har vi II S+T) x) II = II Sx+Txll < II Sxll + II Txll < II S II + II T II II AT) x) II = I A I II Tx l! ~ I A I II T II, hvilket viser, at mægde LE,F) af kotiuerte lieære afbildiger er et uderrum i HomE,F) og ma ser, at T ~ II T II er e orm på LE,F). Af ulighede II Txll < II Til II xii følger, at hvis II T II = O så er Tx O for alle x E E, al t så T er ulvektore i LE,F)). Vi formulerer det viste i følgede SÆTNING 3. Mægde LE,F) af kotiuerte lieære afbildiger T: E ~ F er et ormeret rum ved fastsættelse II T II = sup{ II Tx II I II x II ~ 1}. For T E LE,F) og x E E gælder II Tx II < II T II II x II.

55 Mat 2 MA 1984/ Opg. 4 Opgaver til GeemfØr beviset for Sætige i 4.2. Vis, at e afbildig f: X ~ M1xM2 er kotiuert hvis og ku hvis f 1 = TI 1 o f og. f 2 = TI 2 o f begge er kotiuerte. Vis, at e mægde O ~ M 1 xm 2 hvis og ku hvis de er foreig af mægder af forme UxV med U E GM 1 ), V E GM 2 ). Vis edelig, ~t der om A. c M., i = 1,2 gælder l - l 4.2. Lad M,d) være et metrisk rum. Vis, at metrikke er kotiuert som afbildig af det metriske produktrum MxM id i JR. Sammelig med Opg.1.4.) 4.3. Lad X1xX2 være det metriske produktrum af og X 2,d X ) og tilsvarede Y1 xy 2 det metriske produktrum 2 af Y1,d y ) og Y2,d y ). Hvis f 1 : X 1 ~ Y1 og 1 2 Vis, at f 1 og f 2 er kotiuerte hvis og ku hvis f 1 xf 2 er kotiuert Lad M JR) betege vektorrummet af reelle x forsyet med maksimumsorme II a.. ) II = max { I a.. I I i, j = 1,..., }. 1J 1J matricer, Vis, at det: og at mægde delmægde af M JR) ~JR GL JR) M JR) er e kotiuert afbildig af regulære matricer er e åbe Vis, at matrix additio og multiplikatio er kotiuerte afbildiger fra M JR) x M JR) id i M JR), og at A ~ A- 1 er e homeomorfi af GL JR) på sig selv.

56 Mat 2 MA 1984/ opg Lad M,d) betege et metrisk rum, og lad F* betege mægde af ikke tomme afsluttede og begræsede delmæogder af o M. For A E F* og x E M sættes d x, A) = i f { d x, a) I a E A}. V i s, a t d x, A) = O h v i s og ku hvis x E A. Vis videre, at der ved fastsættelse DA,B) = max~sup LaEA defieres e metrik ke). Vis, at x ~ F*,D). L da,b), sup db,a)f beb D {x} på F* kaldet Hausdorff-metriker e isometri af M,d) id i Lad KA,r) = {x E Mldx,A) < r} for A E F*, og r > O Vis, at DA,B) = if{r>oia == K B,r) A B c KA,r)} X,d ), =1,2, være e følge af metriske rum. Lad = at produktmægde X = TI X beståede af alle føl- Vis, =1 ger x = x )>1, hvor x E X ka udstyres som et - metrisk rum ved fastsættelse d_x,_y) = sup{mid x,y ),.lo) E:N}, jvfr. Opg.1.9. Vis, at ~ = x 1,x 2, ) kovergerer i det metriske rum, hvis og ku mod x = x,x,... ) hvis lim x. x. i X.,d.) for ethvert j E:N. ~= J J J J 4.7. Lad M 1,d 1 ) og M 2,d 2 ) være metriske rum. Vis, at for x = x 1,x 2 ), y = Y1'Y2) E M 1 xm2 er e metrik på trikke. M 1 xm 2 ' som er ækvivalet med produktme Lad X,d x ) og y,d y ) være metriske rum, og lad FX,Y) betege mægde af afbildiger f: X ~ Y. Vis, at der ved fastsættelse

57 Mat 2 MA 1984/ opg. 4 d i s t f, g ) = s u p { dy f x),g x)) A 1 I x E X}, defieres e metrik på f ) i FX,Y) gælder, hvis og ku hvis f ~ f Fx,Y), og at f ~ f uiformt, at der om e følge i FX,Y),dist) dvs. v E; > O 3N E]N V > N Vx E X: dy f x),f x)) < E; Vis, at mægde CX,Y) af kotiuerte afbildiger af X id i Y er e afsluttet delmægde af FX,Y) E følge f : X,d x ) ~ y,d y ) af afbildiger siges at kovergere lokalt uiformt mod f: X ~ Y, såfremt der til hvert pukt x E X fides e omeg U af x, så f ~ f uiformt på U. Vis, at f er kotiuert, hvis hvert Avedelse: f er kotiuert. Sum-fuktioe for e potesrække er kotiuert i kovergescirkle.

58 Mat 2 MA 1984/85 r Fuldstædige metriske rum Cauchy følger. Fuldstædighed. Det er af stor betydig - speciel t ved eksistesbeviser - at ma ka afgøre om e reel eller kompleks tal følge x) er koverget ude at kede e evetuel græseværdi. Det bygger som bekedt på det almidelige kovergespricip, som siger, at ehver Cauchy følge er koverget. Begrebet Cauchy følge ka umiddelbart geeraliseres til metriske rum. DEFINITION. E pukt følge x ) Cauchy følge eller e fudame~alfølge i et metrisk rum kaldes e såfremt der gælder y E; > O 3N E JN Y, m > N: d x, x ) < E; - m- Som ved tal følger gælder umiddelbart, - at ehver koverget følge er e Cauchy følge, thi hvis lim x = x ka ma til E; > O -- ~= 1 fide N EJN så der for > N gælder dx,x ) < E; og 2 for,m > N gælder da ifølge trekatsulighede - dx,x ) < dx,x) +dx,x ) < -2E; + -2E; = E; m - m - DEFINITION. Et metrisk rum M,d) kaldes fuldstædigt, såfremt ehver Cauchy følge er koverget. Rummee ]R og et er fuldstædige metriske rum med de sædvalige metrik, me også JRk og et k med maksimum orme er fuldstædige. Hvis emlig x = x 1',X k)' -> 1 er e Cauchy følge i JRk eller et k sluttes af ulighede I x. -x. I < II x -x II ] m] m = at hver koordiatfølge x.) 1 er e Cauchy følge, og der] > med koverget. Sættes x. = 11m x. vil lim x = x = x,.,x 1 k ). ] ~= ] ~= Mægde af ratioale tal ~ med de sædvalige metrik, er som bekedt ikke fuldstædigt. F.eks. vil e følge af ratioale tal r) med e irratioal græseværdi, være e Cauchy følge

59 Mat 2 MA 1984/85 r. 5.2 i CJ2, som ikke er koverget i CJ2. Mere almideligt gælder SÆTNING 1. Lad M,d) være et fuldstædigt metrisk rum. For e ikke tom delmægde MI af M er delrummet MI,d) fuldstædigt, hvis og ku hvis MI M. er e afsluttet delmægde af Bevis. a) Atag først, at MI er e afsluttet delmægde af M og lad x) være e Cauchy følge fra MI. Så er x) også e Cauchy følge i M, og dermed fides x E: M, så dx,x) ~ O. AfSæt.4i 2.2fØlger at x E: M' = MI, og dermed er vist, at x) er koverget med græsepukt x i det me triske rum MI,d). b) Atag deræst, at MI,d) er et fuldstædigt metrisk rum. Til fides - ige på grud af Sætig 4 i e følge x) fra M I, så dx,x) ~ O. Dermed er x) e Cauchy følge, og da M I er forudsat fuldstædigt, fides x I E: M I, så d x I,x ) ~ O Da x) således har x og Xl som græse~ pukt sluttes x = X I, og vi har dermed vist MI C MI, altså at MI er afsluttet. D BEMÆRKNING. Beviset uder b) giver lidt mere ed formuleret i Sætig 1: Lad M,d) være et metrisk rum og MI,d) et fuldstædigt delrum. så er MI afsluttet i M. Begrebere Cauchy følge og fuldstædighed er ikke topologiske begreber. I det følgede eksempel agives e metrik dist på ]R, som er ækvivalet med de sædvalige metrik, me ]R,dist) er ikke fuldstædigt. Fuktioe Arcta:]R~]R er kotiuert og afbilder ]R TI TI bijektivt på ] -"2 ' 2[ Ved fastsættelse distx,y) I Arcta x - Arcta y I defieres e metrik på ]R, gælder at og idet der for O<r <; I Arcta x I

60 Mat 2 MA 1984/85 I. 5.3 K x,r) = {y EJRIArcta x - r < Arcta y < Arcta x + r} = ] ] ta Arcta x - r ), ta Arcta x + r) [ x-ta r 1 +x ta r x+ta r r, 1-x ta r l ' som er et åbet iterval omkrig x, ser ma af Sætig 1 i 2. 3, at dist er ækvivalet med de sædvalige metrik. FØlge 1,2,3, er e Cauchy følge i JR,dist) idet dist,m) I Arcta - Arcta m I, TI og Arcta ~ 2" for. ~ =, me følge er ikke koverget i JR, dist), thi så skulle de j o også være det i JR. Vi ser videre, at billedet af et fuldstædigt metrisk rum uder e homeomorfi ikke behøver at være fuldstædigt, idet Arcta er e homeomorf i af JR på ] -%,%[, som ikke er fuldstædigt ifølge Sætig 1. Derimod gælder følgede oplagte resultat... SÆTNING Lad f: X,d x ) Lo Y, dy) være e isometri af det ~ fuldstædig~ metriske rum X,d x ) id i Y, dy) så er billedet --- f X),dy) et fuldstædigt metrisk rum. Bevis. x) i idet Lad X Y ) være e Cauchy følge i FØlge fastlagt ved fx ) = Y er også e Cauchy-fØlge Da X,d x ) lim x = x, ~= d X x,x ) = dy f x ), f x )). m m er forudsat fuldstædigt fides x E X, så me så gælder lim y = lim fx ) = fx). o ~= ~ 5.2. Baach rum. For ormerede vektorrum ædres fuldstædighed ikke ved overgag til e ækvivalet orm. Hvis II "1 og ". "2 er ækvivalete ormer på vektorrummet E gælder emlig ifølge Sætig 2, 2.3, at

61 Mat 2 MA 1984/85 r. 5.4 for passede kostater k,l > O. Heraf ses umiddelbart, at X ) er e Cauchy følge med hesy til hvis og ku 1 hvis x ) er e Cauchy følge med hesy til II Fuldstædige ormerede vektorrum er studeret i e berømt moografi af de polske matematiker Stefa Baach ): Theorie des operatios lieaires. Warszawa 1932, og kaldes derfor Baach rum. SÆTNING 1. a) Vektorrummet BM, L) af begræsede fuktioer på e mægde M med de uiforme orm. er et Baach rum. ~ b) Hvis M er et metrisk rum er uderrummet CbM,~) af kotiuerte begræsede fuktioer afsluttet i BM,~) ~ dermed et Baach rum. Bevis. a) Lad f) være e Cauchy følge i BM,~). For hvert x M gælder If x) - f x) I < II f -f II, m - m u hvilket viser, at f x)) er e Cauchy følge i L, koverget. Ved fastsættelse og dermed x,-" lim f x) ~co defieres e fuktio f: M ~L Vi vil vise,dels at f er begræset, og dels at lim f f i de uiforme orm. Lad E > O være givet. Der fides N E ~ så der for,m > N og alle x E M gælder *) If x) -f x)1 < E. m - Holder vi > N og x E M fast, og lader m ~ co, må også græseværdie af vestre side i *) være < E, me dee græseværdi er If x)-fx) I ifølge Sætigere 1 og 2 i 3.4. Da

62 Mat 2 MA 1984/85 r. 5.5 x E M var vilkårlig sluttes, at II f - f II < c u- for > N specielt så og dermed er vist, at lim f = f b) Det er tilstrækkeligt at vise, at hvis f -) f ui formt på M, og hvis f er kotiuert for alle, så er f kotiuert, me dette er etop vist i Sætig 2 i 3.5. D Idet ehver kotiuert fuktio f: [a,b] -) li., er begræset ifølge e hovedsætig i Mat 1, i æste ), har vi specielt, af erte fuktioer f: [a,b] -) li., forme orm II f II = sup{ Ifx) I I x E [a,b]}. u beviset for dee sætig gives rummet C [ a,b],li.,) af kotiuer et Baach rum uder de ui- I d{fferetialligigsteori optræder e række vigtige Baach rum, dels forskellige rum af kotiuert differetiable fuktioer, dels Sobolev rummee, som det dog vil føre for vidt at komme id på her. Vi æver blot følgede vigtige SÆTNING 2. Mægde k C [a,b],li.,) af k gage kotiuert differetiable fuktioer f: [a, b] -) li.,, k = 0,1,2,..., Baach rum uder orme k. II f II = L II DJf II. O u J= er et Bevis. Det ses umiddelbart, at II II er e orm på vektorfra Ck[a,b]) kover- k rummet C [a,b]), og e følge f) gerer mod f i det ormerede rum, hvis og ku hvis Djf) kovergerer uiformt mod Djf for hvert j = 0,1,"',k Hvis f) er e Cauchy følge i Ck[a,b]), så er Djf) e Cauchy følge i C [ a,b]) for hvert j = 0,1,...,k eftersom II D j f - D j f II < II f -f II. m u m

63 Mat 2 MA 1984/ Da C[a,b)) er et Baach rum, fides fuktioer g, E C[a,b]), J s å l im II D j f - g,,, = O J' = O, 1,, k Af et vigtigt resulg tilhører C 1 [a,b]), ~co J u ' tat i Mat 1 MA XI sæt.4) følger u at j og og rummet: = gj+1 for j = 0,1,...,k-1, altså at f = go E Ck [a,b]) = g, for j = 0,1,...,k. Dermed er f) koverget i k J C [a,b]) med græsefuktio f. o Lad E og F være ormerede rum, og LE,F) det ormerede rum af kotiuerte lieære afbildiger T: E ~ F. SÆTNING 3. Hvis F er fuldstædigt er også LE,F) fuldstæ- ~igt. Bevis. for x Lad T ) være e Cauchy følge i L E,F). Idet der E E gælder II T x-t m xii - < "T -T m II IIxll ses, at T x) er e Cauchy følge i F for ethvert x E E Da F er forudsat fuldstædigt eksisterer lim T x. Ved fastsætteise l im T x defieres e a fbi ldig T: E ~ F, ~ som er lieær idet ~ T x+y) = lim T x+y) = lim T x+t y) = lim T x + lim T y = Tx + Ty, ~co ~ ~ ~co og T A.x) = lim T Ax) = lim AT x = A lim T x = ATx. ~co ~ ~ Udervejs er beyttet, at regeoperatioere i et ormeret rum er kotiuerte, jvfr Til E > O f ides N E JN, så der for,m > N gælder II T -T II < E m altså

64 MAT 2 MA 1984/ IITx-Txll<E m - for alle x E E med II x II < 1. For m ~ 00 fås heraf for > N og II x II < 1, at II T x - Tx II < E, - hvilket viser, at II T -T II < E < 00 for > N. Heraf ses for det første, at TN-T E LE,F), og dermed er T = T N - TN-T) E L E,F) og deræst, at T ~ T i det ormerede rum LE,F). D E lieær afbildig T: E ~L kaldes e liearform eller e lieær fuktioal på E. Mægde L E,:IL) af kotiuerte liearformer på E kaldes det duale rum til E, og beteges E*. Da:IL er fuldstædigt, har vi: SÆTNING 3. Det duale rum E* af kotiuerte liearformer på et ormeret rum E er et Baach rum uder orme II T II = sup { I Tx I I II x II < 1} FuldstædiggØrelse. Lad M,d) være et metrisk rum. Et fuldstædigt metrisk rum A A M,d) kaldes e fuldstædiggørelse af M,d), hvis der fides e isometr i <.p: M, d) ~ M, d) ) så <.p M) er overal t tæt i M. At der altid fides e fuldstædiggørelse vises i Opgave 5.2. To vilkårlige fuldstædiggørelser M,d) og M,d) er isometriske, jvfr. Opg.6.12, så ma ka tillade sig at tale om fuldstædiggørelse af et metrisk rum. Idet M,d) og <.p M),d) er isometriske, ka ethvert metrisk rum altså altid opfattes som et overalt tæt delrum af et fuldstædigt metrisk rum. Som geerelt pricip gælder, at hvis M,d) har yderligere struktur, f.eks. som ormeret rum, så ka fuldstædiggørelse M,d) udstyres med samme struktur, eksempelvis som et Baach rum med M,d) som tæt uderrum.

65 Mat 2 MA 1984/ Opg. 5 Opgaver til Et pukt a E M,d) kaldes fortætigspukt for e pukthvis ehver kugle med cetrum a følge x ) fra M ideholder x med vilkårligt højt idex dvs. hvis mægde { E ]N Ix E Ka,r)} er uedelig for ethvert r > O Vis, at hvis e Cauchy følge har et fortætigspukt, så er de koverget FuldstædiggØrelse. Lad M,d) være et metrisk rum og lad F være mægde af Cauchy følger x = x )>1 fra M. Vis, at for d x ' y ) ) > 1 er defieret. X :::: x ) e Cauchy følge i ]R, i F, er så Dx,y) :::: lim dx,y ) 2 0 Vis, at D er e pseudometrik på F jvfr. Opg.1.10). Lad A M F/~ være det i Opg.1.10 defierede metriske rum af ækvivalesklasser [x], x E F med metrikke d[x],[y]) = Dx,y). Ved til x E M at kytte ækvivalesklasse ideholdede de kostate følge x:::: x, x,... ) defieres e afbildig w: M,d) ~ A A M,d) Vis, at W er e isometri, og at WM) i A M "'- "'- Vis, at M, d) er fuldstædigt. er overalt tæt "'- Vik: Lad [x ] ) være e Cauchy følge fra M, idet x x 1,x 2'... ) E F Vælg for hvert E ]N et 1 - A d [x ], [y]) ~ O. Y E M så a [x ],W y ) ) < så er y :::: Y) f. F og Vis, at et diskret metrisk rum er fuldstædigt.

66 Mat 2 MA 1984/85 I.5.9 Opg Lad M,d) være et fuldstædigt metrisk rum. Vis, at for e dalede følge F 1 ~ F 2 => af afslutco tede ikke tomme mægder med diamf ) ~ O, vil F 1 være ikke tom og bestå af et pukt Lad M 1 xm 2,d) være det metriske produktrum af M 1,d1 ) og M 2,d 2 ). Vis, at M1xM2,d) er fuldstædigt, hvis og ku hvis M 1,d 1 ) og M 2,d 2 ) begge er fuldstædige * Hah' s sætig). Vis, at hvis M, d) er fuldstædigt, så er rummet F*,D) af afsluttede og begræsede ikke tomme delmægder med Hausdorff-metrikke ige fuldstædigt, jvfr. Opgave 4.5. Vik: Lad A) være e Cauchy = følge i F*,D). Sæt A = u A) og vis, at A er afsluttet og begræset. =1 p~ p Bestem til e > O e følge O < 1 < 2 <., så < e D A,A ) m 2 k for,m ~ k ' 5.7. og vælg vilkårligt. Bestem successivt a E A, 1 1 e a E A osv., så d ak' ak + 1) < k ' k = O, 1,... og vis, at a J er e Cauchy følge~ Vis derved, at A er ikke tom, og at D A,A) ~ O Baire's sætig. rum, og lad Lad M,d) være et fuldstædigt metrisk være e følge af åbe tætte delco Vis, at G mægder af M. er tæt i M. = =1 vik: Vis K x, r) G '*' ø for fast x E M, r > O 1 Gør rede for, at ma ka vælge x 1,x 2, E M og r 1,r 2,. E ]0,=[, så Kx 1,r 1 ) K x, r) G 1 ' < r c r 1 2 Kx 2,r 2 ) c Kx 1,r 1 ) G 2, r 2 r 1 < 2 r Kx + 1,r + 1 ) c Kx,r)G l' r +1 < + 2 og aved 5.4.

67 Mat 2 MA 1984/85 I.5.10 Opg Lad D: C 1 [a,b]) ~ C[a,b]) være differetiatiosafbildige f". f'. Vis, at II D II = 00 hvis C[a,b]) 1 og C r a, b] ) begge er forsyet med de uiforme orm. Vis, at II D II = 1, hvis C[a,b]) er forsyet med de C 1 uiforme orm, og [a,b]) med orme II f II = II f II + II Df II u u Lad C# JR.) betege vektorrummet af fx,y) på JR.2 der er periodiske i periode 2TT, dvs. c 1 -fuktioer x og i y med fx+2tt,y) = fx,y)? fx,y+2tt) 5. 1 O for alle x,y) EJR. 2. Vis, at er et Baach rum med orme II f II = II f II + II af II + II li II u, ax u ay u Betragt mægde C 1 [-1,1]) af c 1 -fuktioer f: [-1,1] ~JR. som et ormeret rum med de uiforme orm II fil. u Vis I at f x) =!x2 + *, =1, 2,... udgør e Cauchy følge i C1 [-1,1]) og slut, at rummet ikke er fuldstædigt. Vis, ~t e følge x ) i et metrisk rum M,d) er e Cauchy følge såfremt 00 L dx,x + 1 ) <. 00 =1 Vis ved et eksempel i M = JR., at dee betigelse ikke er Ødvedig, for at x ) Lad A M er e Cauchy følge. M være et ormeret rum. Vis, at fuldstædiggørelse fra Opgave 5.2 ka orgaiseres som et Baach rum, så "'- afbildige ~: M ~ M er lieær.

68 Mat 2 MA 1984/85 r Kompakte mægder. Uiform kotiuitet E karakterisatio af afsluttede ogbeg:r:æsede mægder i JRk. E af de fudametale sætiger i aalyse er følgede sætig af K. Weierstrass: E kotiuert reel fuktio på et begræset, afsluttet iterval i JR er begræset og har såvel e størsteværdi og e midsteværdi. Vi vil studere dee sætigs geeralisatio til talrummee JRk og til metriske rum, og derved give et bevis for hovedsætigere 1.a-1.c i Kapitel III i Mat 1 MA. I dee sammehæg spiller begrebet fortætigspukt - kedt for følger i JR og JR* - e cetral rolle. DEFINITION. Et pukt a i et metrisk rum M,d) kaldes fortætigspukt for e puktfølge x), såfremt ehver kug le K a, r) ideholder x for uedeligt mage, dvs. så fremt mægde { E ~ Ida,x ) < r} er uedelig for ethvert r > O Ækvivalet hermed er at x ) har e delfølge x ~>1 p - som kovergerer mod a. Heraf ses, at fortætigspukt er et topologisk begreb. SÆTNING. For e delmægde A cjr k er følgede to betigelser esbetydede: 1) A er afsluttet og begræset. 2) Ehver puktfølge fra A har et fortætigspukt i A 1 2 k Bevis. 1) ~ 2). Lad x x,x,...,x), =1,2,. være e puktfølge fra A som er forudsat begræset og dermed ideholdt i e kugle {x E JRk III x II 00 < r}.. Idet hver koordiatfølge x j ) >1 er begræset, emlig Ix J I < r, har de et fortætigs. 1 k pukt - x J. Imidlertid behøver x = x,..., x) ikke at være fortætigspukt for x) overvej dette!), og vi må bære os 1 mere sedigt ad. FØlge x) af første koordiater har e del

69 Mat 2 MA 1984/85 r. 6.2 følge x 1 ) 1 der kovergerer mod et fortætigspukt x De p 2 tilsvarede delfølge af ade koordiater x )p>1 er ligeledes begræset af r og har derfor e delfølge x ) q> 1 p - 2 der kovergerer mod et fortætigspukt gælder 2 x for 2 Pq x ). Så lim x 1 q--+oo Pq = x 1 2 = x og dermed er 1 2 x,x ) fortætigspukt for x ) k = 2. Hvis k = 3 må ræsoemetet fortsættes ved at i tilfældet x 3 udtydes til e koverget delfølge, og geerelt fore Pq tages k successive valg af delfølger, så vi eder med e følge 1 ~ m 1 < m 2 < af aturlige tal med egeskabe for lim x j k-+oo mk = x j 1 2 k j = 1,, k, hvorved x, x,., x) er fortætigspukt for x ), og det tilhører de afsluttede mægde A, da det er græsepukt for e puktfølge fra A. 2) ~ 1). Dette bevises idirekte. Vi atager altså, at A ~kke er afsluttet og begræset, og at ehver puktfølge fra A har et fortætigspukt i A. x E A... A Der er to muligheder: Hvis A.ikke er afsluttet fides --+oo lim x = x. e del følge også lim x = x, p--+oo p er e modstrid. og vi ka da fide e følge x ) fra A med Da x p x) har et fortætigspukt Xl E A fides så lim x = x I, me da lim x = x, må p--+oo --+oo p hvoraf x = x I, altså x E A, hvilket Hvis A er afsluttet me ubegræset, år vi til e modstrid på følgede måde. FØrst vælges x 1 E A. Da A er ubegræset ka vi vælge x 2 E A... KX 1,1) Da Kx 1,1) U Kx 2,1) er begræset, ka de ikke ideholde A) så vi ka vælge x 3 E A... KX 1,1) U Kx 2,1). Fortsættes på dee måde fider vi e følge x ) fra A med egeskabe j f

70 Mat 2 MA 1984/85 r. 6.3 altså x + 1 E A" U K x., 1 ) i=1 l dx,x ) > 1 m - =1,2,, for =1= m, me dee følge ka ikke have et fortætigspukt. D BEMÆRKNING. Af beviset ses at A cæ k er begræset, hvis og ku hvis ehver puktfølge fra A har e koverget delfølge. Specielt har vi Bolzao-Weierstrass' sætig: E begræset puktfølge i Æ k har e koverget delfølge Kompakte mægder. I tilkytig til Sætige i 6.1 giver vi følgede DEFINITION. E delmægde K af et metrisk rum M,d) kaldes kompakt, hvis ehver puktfølge fra K i K. K = M Da der ikke fides følger fra K = ø, har et fortætigspukt er ø kompakt. For er oveståede e defiitio af begrebet kompakt metrisk rum. Bemærk at K =1= ø er e kompakt delmægde af M, d), hvis og ku hvis delrummet K,d) er et kompakt metrisk rum. Med brug af de ye termiologi udsiger de foregåede sætig k simpelthe, at de kompakte delmægder af Æ er præcis de af- sluttede og begræsede delmægder af Æ k. metrisk med Æ 2k Da <e k er isogælder samme udsag om <e k De ade del af beviset for Sætige i 6.1 ka ude videre overføres til et vilkårligt metrisk rum, hvorfor der gælder: E kompakt delmægde af et metrisk rum er afsluttet og begræset. De første del af beviset udytter derimod specielle egeskaber ved talrummet, og gælder ikke i almidelighed. EKSEMPEL. Ehver edelig mægde i et metrisk rum M,d) er kompakt, thi hvis x) er e pukt følge fra e edelig mægde K, må midst et elemet være lig med x for uedeligt mage. I et diskret metrisk rum M, d), er der ikke adre kom-

71 Mat 2 MA 1984/85 r. 6.4 pakte mægder ed de edelige, da e puktfølge ku er koverget hvis de er kostat fra et vist tri. på de ade side, er ehver delmægde af et diskret metrisk rum, både afsluttet og begræset. Vi vil u vise hovedsætigere 1-5 om kompakte mægder og rum. SÆTNING 1. Hvis X, d x ) og y,d y ) er metriske rum, K e kompakt delmægde af X og f: K ~ Y e kotiuert afbildig, da er billedmægde fk) e komeakt delmæg:de af y. Bevis. Lad Y ) være e pukt følge fra f K). For hvert :IN ka vi vælge x K, så fx ) == Y ' og da K er kompakt fides x K, og e delfølge x af x ) så p lim x == x Af sætige i p-+oo 3.1 følger at lim fx == lim p-=x:> Y p~oo p p P fx) fk), hvilket viser, at fk) er kompakt. D == Hvis X == JRk og y == JRm gefider ma etop Hovedsætig 1.C fra Mat 1 MA. For e ikke tom, kompakt delmægde A af JR altså e ikke tom, afsluttet og begræset delmægde A af JR), må gælde sup A E A og if A A. E ikke tom, kompakt delmægde A af JR ideholder altså et største og et midste tal. Af Sætig 1 fremgår derfor følgede sætig, der ideholder de idledigsvis ævte sætig af Weierstrass: SÆTNING 2. E kotiuert reel fuktio på e kompakt delmægde af et metrisk rum er begræset og har såvel e størsteværdi og e midsteværdi. COROLLAR. Lad M,d) være et kompakt metrisk rum. Rummet C M,JL) af kotiuerte fuktioer f: M ~L er et Baach rum uder de uiforme orm II f II == sup{ I f x) I I x M} == max{ I f x) I I x M}. u

72 Mat 2 MA 1984/ Bevis. Rummet C M,JL) er idetisk med rummet CbM,JL) af kotiuerte begræsede fuktioer på M studeret i 5.2. D Vi vil u udersøge hvorda kompakthed opfører sig ved kostruktio af delrum og produktrum. SÆTNING 3. Lad M,d) være et kompakt metrisk rum. E ikke tor delmægde K c M er kompakt hvis og ku hvis K er afsluttet. Bevis. Vi har tidligere bemærket, at e kompakt mægde er afsluttet. Atag deræst, at K er afsluttet og lad x) være e puktfølge fra K. Da M er kompakt fides e delfølge x ) og x E M, så lim x = x, me da K er afsluttet, ~oo p p må x E K, hvilket viser, at K er kompakt. D SÆTNING 4. Lad M 1 xm 2,d) være det metriske produkt rum af M 1,d 1 ) og M 2,d 2 ). Så er M1xM2,d) kompakt hvis og ku hvis M 1,d 1 ) og M 2,d 2 ) begge er kompakte. Bevis. Atag først, at M 1,d 1 ) og M 2,d 2 ) lad x =x l x") =1,2, være e pukt følge ' ' M er kompakt, fides e koverget delfølge 1 er kompakte, og fra M 1 xm 2 Da Xl) af Xl) p med græseværdi Xl og da er kompakt, har x II ) koverget del følge x II Pq med græseværdi x". p. Da e Xl Pq som delfølge af Xl p også har græseværdie x I, sluttes af sætige i 4.2,at x Pq kovergerer mod Xl,X"). Atages billedrummet projektio Aalogt ses deræst, at produkt rummet M 1 = TT 1 M 1 xm 2 ) TT 1 x 1,x 2 ) =x 1 M 2 = TT 2 M 1 xm 2 ), af M1xM2 er kompakt, er uder de kotiuerte også kompakt ifølge Sætig 1. at være kompakt. D Vi har idset, at e kotiuert bijektiv afbildig, ikke behøver at være e horeomorfi. Hvis afbildige er defieret

73 Mat 2 MA 1984/85 r. 6.6 på et kompakt rum, gælder påstade imidlertid: SÆTNING 5. Lad f: X,d ) ~ y,d X y ) være e kotiuert bijektiv afbildig. Hvis X,d x ) er kompakt, er f e homeomorfi. Bevis. Lad g = f- 1 : y ~ X. Vi skal u vise, at g er kotiuert, og ifølge Sætig 1 I i 3.1 er det tilstrækkeligt at vise, at for ehver afsluttet mægde F c X er g -1 F) = f F) afsluttet i Y. IfØlge Sætig 3 er F kompakt og dermed er ff) kompakt, altså specielt afsluttet. D 6.3. Ækvivales af ormer på et edelig dimesioalt vektorrum. Ved valg af e basis er et k-dimesioalt vektorrum isomorft med JRk eller <t k, og da <t k opfattet som reelt vektorrum, er isomorft med JR2k, o og e orm pa <t k derved ka opfattes o som e orm pa JR2k er det ok at vise følgede: SÆTNING. Alle ormer på JRk er ækvivalete. Bevis. Det er tilstrækkeligt at vise, at e vilkårlig orm II II på JRk er ækvivalet med maksimumsorme II II altså 00 at derihehold til Sætig 2i 2.3 fides kostater ex,13 > så *) Ilxll < exllxll 00 og IIxll < I3llxll 00- for k x E JR. To vilkårlige ormer er altså begge ækvivalete med maksimumsorme, og dermed idbyrdes ækvivalete. Når vi i det følgede beytter begrebere brgræset mægde, afsluttet mægde, kompakt mægde og kotiuert fuktio, skal disse forstås i relatio til de ved maksimumsorme bestemte metrik i JRk. Lad e 1,, e betege basisvektorere 1,0,",0),.'.,,...,, k 1 ) i JRk. For x = x,,x 1 k ) E JRk gælder altså x = x 1 e x k e k ' og dermed ifølge N3) og N2) + II x k e k II = I x 1 I II e 1 II + + I x k I II e k II ~ ex II x II 00 ' hvor ex = II e 1 II + + II e k II er uafhægigt af x E JRk.

74 Mat 2 MA 1984/85 r. 6.7 For k x,y E JR gælder specielt IIIxll- Ilyiii < II x-yll < exll x-yll - 00 hvilket viser, at II II : JRk ~ JR opfylder e Lipschi tz betigelse, og dermed er kotiuert. Mægde k S = {x E JR I II x II = 1} er afsluttet og begræset, altså kom- 00 pak t, så ifølge Sætig 2 i 6.2 har II II e midsteværdi på S, dvs. der fides X o E S så if {IIxii I x E S} = II xoii, og da O ft S, er på forme x = A~ dermed har vi II x011 > O. Hvert med A II x II, 00 x E JRk" {O} ka skrives x ~ = II x II E S, og 00 II xii = II A~II = lal II ~ II> lal II xo" = lix lixo" eller IIxll 00 < I3llxll år 1 13 = II X o II Dee ulighed gælder trivielt for x = O og dermed er *) eftervist. D BEMÆRKNINGER. Da JRk og ~k udstyret med maksimumsorme er fuldstædige, gælder det samme, år vi beytter e vilkårlig ade orm. Vi har derfor: Ethvert edelig dimesioalt ormeret rum er et Baachrum. Da et fuldstædigt delrum er afsluttet har vi også, at ethvert edelig dimesioalt uderrum i et ormeret rum er afsluttet Abe overdækiger. I forbidelse med udersøgelser af det ma i dag kalder Lebesgue målet, og som vi skal studere i æste kapitel, opstillede de fraske matematiker E. Borel ) følgede resultat 1894):

75 Måt 2 MA 1984/85 r. 6.8 Hvis e følge af åbe delmægder af Æ overdækker et afsluttet begræset iterval, så vil allerede edeligt mage af de åbe mægder overdække itervallet. Lad os præcisere sprogbruge. E familie Ai) iei af delmægder af e mægde M siges at overdække e delmægde X ~ M, såfremt X c U A,. Ma siger også, at A1')l'EI er e over- - iei l dækig af X. Hvis I er edelig eller umerabel taler ma om e edelig eller umerabel overdækig. Hvis J c I og også Ai) iej overdækker X, siger ma, at overdækige A~) iei ka udtydes til overdækige A,) 'EJ Hvis alle mægdere l l A, i overdækige er åbe i et metrisk rum M) taler ma om l e åbe overdækig. Borel's sætig ka altså formuleres således: Ehver umerabel åbe overdækig af et afsluttet begræset iterval ka udtydes til e edelig overdækig. I 1920'ere blev ma klar over at åbe overdækiger spiller e cetral rolle for kompakthed, idet følgede hovedresultat blev bevist: SÆTNING. For e delmægde A af et metrisk rum M,d) er følgede betigelser esbetydede: 1) A er kompakt. 2 ) Ehver åbe overdækig af A ka udtydes til e edelig overdækig. 1 ~ Bevis. 2 ) => 1 ). Vi viser -., ~) =>.., I) Lad x ) være e følge af pukter fra A som ikke har oget fortætigspukt i A For ethvert y E A fides da e kugle Ky,r ), således y at mægde l {EJNlx EKy,r)} y er edelig. Familie Ky,r)) CA er e åbe overdækig af y yc. A, som ikke ka udtydes til e edelig overdækig, idet der for KY1,r ),,Ky,r ) gælder, at Y1 p yp JN=I={EJNlx EKY1,r )}U U{EJN!x EKy,r l}, Y1 p yp da højre side er e edelig mægde, og dermed ka KY1,r ),...,Ky,r ) ikke overdække A. Y 1 P yp

76 Mat 2 MA 1984/ ) ~ 2). Atag 1) opfyldt og lad Gi)iEI være e åbe overdækig af A. Det skal vises, at de ka udtydes til e edelig overdækig. Hvis A = ø, er sage klar. Vi atager derfor A * ø. Beviset består i to skridt. o) er kugle Kx,p) Der fides et p > O således at for ethvert x E A delmægde af e af mægdere I modsat fald fadtes for ethvert E ID et pukt x E A, 1 så at Kx, Il) ikke var delmægde af oget G.. IfØlge 1 ) l har følge x ) et fortætigspukt x E A. For et vist i E I gælder al tså x E G.. l at Kx,r) ~ G.. Da l vi fide et, så at 1 Kx,-) c Kx,r) c G., - - l mægde af oget G. l Da G. l { E IDI G. l er åbe, fides et r > O, så 1 x E K x, -2 r) } er uedelig, ka r. Da gælder x E K x, 2 r) og < 1 2 i strid med, at Kx,~) ikke er del [3) Vi vælger et vilkårligt pukt y 1 E A. Hvis A c K y 1,p), er A overdækket af e af mægdere Gi. I modsat fald vælges et pukt y 2 E A""" K y 1 ' p). Hvis A c KY1'P) U KY2'P) er A overdækket af to af mægdere Gi. Således fortsættes, og vi må ede med at få e overdækig af A med et edeligt atal af mægdere G.. Thi hvis processe l fortsatte i det uedelige, fremkom jo e følge Y af pukter fra A, for hvilke dist y,y ) > p for * m, og e så m - da følge ka åbebart ikke have oget fortætigspukt. D BEMÆRKNING. på grud af oveståede sætig vil ma i mage lærebøger se, at kompakthed er defieret ved overdækigsegeskabe 2), der er meget bekvem ved teoretiske overvejelser, \ og som har de yderligere fordel, at de umiddelbart ka be~. yttes som defiitio af kompakt mægde i et Hausdorff) topologisk rum. Betigelse 1): Ehver pukt følge fra A har et fortætigspukt i A, har umiddelbart meig i et topologisk rum og e mægde A med dee egeskab kaldes sekvetielt kompakt. For topologiske rum er 1) og 2) ikke lægere esbetydede. Det er let at bevise kompakthedsteories hovedsætiger ud fra overdækigsegeskabe, jvfr. Opgave 6.5.

77 Mat 2 MA 1984/85 I Uiform kotiuitet. Idet X,d x ) og y,d y ) er metriske rum siges e afbildig f: X ~ Y at være uiformt kotiuert eller ligeligt kotiuert), hvis der til ethvert E > O fides o > O således at der for vilkårlige x,x E X gælder 1 2 d X x 1 ' x 2 ) < o ~ dy f x 1 ), f x 2 )) < E Skrevet med logiske symboler udtrykkes defiitioe således: V E > 0:3 o > O Vx 1 ' x 2 E x: d x 1 ' x x 2) < o ~ dy f x 1 ), f x 2)) < E E uiformt kotiuert afbildig er øjesyligt kotiuert, medes det omvedte ikke behøver at være tilfældet. F.eks. er de ved fx) = x 2 defierede fuktio f: Æ ~Æ kotiuert, me ikke uiformt kotiuert, idet f + l) - f ) "2 > 2 for alle E ]N Hvis f opfylder e Lipschitz betigelse med kostat C er f uiformt kotiuert, idet ma til E > O ka vælge o Uiform kotiuitet er ikke et topologisk begreb, jvfr. Opgave Hvis X eller y derimod er et ormeret rum vil overgag til e ækvivalet orm ikke ædre på om'eafbildig er uiformt kotiuert. Begrebet uiform kotiuitet blev behadlet af de t y- ske matematiker E. Heie ), der i E C 1872 viste, at e kotiuert fuktio f: [a,b] ~ Æ på et afsluttet, begræset iterval er uiformt kotiuert. Dette resultat er ideholdt i følgede hovedresultat. SÆTNING 1. E kotiuert afbildig f: X,d x ) ~ y,d y ) af et kompakt metrisk rum X,d x ) id i et metrisk rum y,d y) er uiformt kotiuert. Bevis. Atag, at f ikke er uiformt kotiuert, altså

78 Mat 2 MA 1984/ Lad. > O være et tal, der opfylder oveståede udsag. Sæt- 1 1 tes successivt o = 1 '2"'"3 '... ser ma, at der eksisterer følger x' ) og x") fra X opfyldede d x' x") <..l X ' ' dy f x '),f x")) >. - Da det metriske produktrum 6.2 fides x',x") E XxX X' x") ' så x' ~ x' p og XxX er kompakt ifølge Sætig 4 i og e delfølge x' x") af ' p p x" ~ x". Idet p lim d x' x") X ' p~ p p = d x',x") x jvfr. Opgave 1.4 og 4.2), og d x' x") < sluttes X ' p p p dxx',x") = O altså x' = x". Af f's kotiuitet i puktet x' = x" følger deræst at lim fx' = lim f x" p~ p p~ p = f x' ) = f x"), hvoraf som ovefor uert. D lim dyfx~ ), fx" ) ) = p~ p p dy f x ' ),f x") ) = O Dette er imidlertid i modstrid med at dy f x' ),f x")) >. for - alle E :IN, og vi ka kokludere, at f er uiformt koti- Som e vigtig avedelse af uiform kotiuitet viser vi SÆTNING 2. Lad f: A ~ y,d y ) være e afbildig af e delmægde A i et metrisk rum X,d x ). Hvis i) y,d y ) er fuldstædigt, og ii) f er uiformt kotiuert på delrummet A,d x ), så ka f på e og ku e måde udvides til e kotiuert afbildig f: A ~ y,d y ). Udvidelse f er edda uiformt kotiuert.

79 Mat 2 MA 1984/85 I.6.12 Bevis. Vi foretager først e aalyse af situatioe og atager at f: A -+ Y, dy) er e kotiuert udvidelse af f, dvs. f x) = f x) for alle x E A. Til vilkårligt x E A... A fides e puktfølge x ) fra A så x -+ x og da 1 er kotiuert i x gælder fx) = lim 'fx ) = lim fx ). Dette viser, edda ude brug af forudsætigere i) og ii), at f er etydigt bestemt. Dette sidste er i Øvrigt også e kosekves af Sætig 2 i 3.2. For deræst uder vise eksistese af e brug af forudsætigere i) og ii) at udv"idelse f: A -+ Y bemærkes først: Hvis x E A og x ) er e vilkårlig følge fra A gåede mod x, så er f x )) e Cauchy følge i Y. Til E > O fides emlig et 6 > O i hehold til f's uiforme kotiuitet på A, gælder således at der for alle x 1,x 2 E A Da x) er koverget og dermed e Cauchy følge fides N E E, så der for,m ~ N gælder dxx,x ) < 6 hvoraf m dy f x ), f x )) < E m for,m > N. Da y,d y ) er forudsat fuldstædigt eksisterer lim fx ). -+ex> Dee græseværdi afhæger af x E A, me kue også tækes at afhæge af de fra A betragtede følge x), der kover gerer mod x. At det ikke er tilfældet ses således: Hvis x ) og y ) er to følger fra A, der begge kovergerer mod x vil de bladede følge x 1 'Y1,x 2 'Y2' også kovergere mod x me ifølge bemærkige ovefor, har alle tre følger e græseværdi i Y. Da de to første er delfølger af de sidste, må alle tre græseværdier være es. Det er u tilladeligt at defiere f: A -+ Y ved f x) = l im f x ), f o r x E A, x E A, x -+ x. -+= At fx) = fx) for x E A følger straks ved at betragte de

80 Mat 2 MA 1984/ kostate følge x,x,, og at f er uiformt kotiuert følger således: Til E > O fides o > O opfylde d x x,x") < o. I i hehold til *). Lad x I,x" E A Vælges x ') x") fra A så x' ~ x' x" ~ x" vil ' ' og altså fides N E ]N, så der for > N gælder d x x~,x~) < o. IfØlge *) gælder så og d x I x") ~ d x I x") X ' X ', dy f x '),f x")) < E for > N, hvoraf dyfx ' ),fx")) = 11m dyfx~),fx~)) < E o ~oo BEMÆRKNING. I forbidelse med Sætig 2 ka vi formulere følgede pricip: Egeskaber ved f forbliver gyldige for f. Som et eksempel herpå viser vi: SÆTNING 3. Lad f: A ~ F være e kotiuert lieær afbildig af et tæt uderrum A af et ormeret rum E id i et Baachrum F. De etydige kotiuerte udvidelse f: E ~ lieær og II f II = II f II. F af f er Bevis. IfØlge Sætig 2 i 4.3 opfylder f e Lipschitz betigelse med kostat II f II og er specielt uiformt kotiuert, så Sætig 2 ka avedes. At fx+y) = fx) +fy) ses u ved at vælge følger x ) og Y) fra A, så x ~ x, Y ~:y. Dermed gælder x +y ~ x+y, så fx+y) = lim f x +y ) = lim f x ) + f y )) ~ ~ = lim fx ) + lim fy ) = fx) + f y) ~oo ~oo \ og tilsvarede ses, at fax) Afx), altså er f lieær. Af ulighede II f x) II ~ II f II II x II for x E A, fås ved græseovergag II f x) II < II f II II x II for x E E, hvoraf II fil < II f II og de modsatte ulighed gælder, da f udvider f, altså II f II = II fil. o

81 Mat 2 MA 1984/ Opg. 6 Opgaver til Vis,atetkompakt metrisk rum er fuldstædigt Lad M,d) være et metrisk rum. Idet afstade mellem to ikke tomme delmægder A og B af M defieres ved da,b) = if{da,b) I a E A,b E B} og specielt dx,a) = d{x},a), skal ma v.ise følgede: 1) Hvis A er kompakt fides for hvert x E "M" et pukt a E A så dx,a) = dx,a). 2) Hvis A og B begge er kompakte fides a E A og b E B så da,b) = da,b). 3) Hvis M = JRk, og hvis A c lr k er afsluttet, B kompakt, sa. fides a E A, b E B så da,b) = da,b). c lr k ) Givet eksempel på to afsluttede disjukte mægder A,B i JR med da,b) = O Lad M,d) være et kompakt metrisk rum. Vis, at der fides a,b E M så da,b) = diam M Lad X,d x ) og K,d ) være metriske rum, og atag at K K er kompakt. For e kotiuert fuktio f: XxK ~ L betragtes for hvert x E X sitfuktioe f: K ~L x givet ved k,.,. f k) = fx,k). Vis, at f x tilhører x Baachrummet CK,L) Vis videre, at hvis X, så vil f ~ f uiformt på K gør x x og gør rede for, at det medfører, at x,.,. fx tiuert afbildig af X id i CK,L). x ~ x i det idirekte), er e ko-

82 Mat 2 MA 1984/ Opg Beyt overdækigs egeskabe til at vise hovedsætigere 1-3 i 6.2 om kompakte mægder Lad M,d) være et metrisk rum. Vis, at M er kompakt hvis og ku hvis fællesmægdepricippet er opfyldt: For ehver familie Fi)iEI af afsluttede mægder i M gælder, at hvis F. = ø, så fides edelig mage iei l idices i 1 '..., i E I, så.. F. l = ø 6.7. Lad M,d) være et kompakt metrisk rum og lad F 1 ~ F 2 ~... være e da~ede følge af afsluttede ikke tomme mægder. Vis, at F * ø. = Idet afstad mellem mægder er defieret i Opgave 6.2 J betragter vi for e afbildig f: X,d ) ~ y,d x y ) følgede betigelser: 1 ) f er uiformt kotiuert. 2) V f: > O :1 <5 > O VA c X: diam A < <5 => diam f A) < d. 3) VA,B ~ X: dxa,b) = O => dy f A), f B) ) = O) l * Vis, at 1 ) ~ 2), og at 1) => 3) Med betegelsere fra 6.8 skal ma vise Efremovich's sætig: 3) => 1). Vik: Atag, at f ikke er uiformt kotiuert. Udyt dette til at fide E > O, og følget' a) og b) O fra X, så der for alle E N gælder dxa,b ) < 1 Se på følgede 3 muligheder, idet ex =fa),f) =fb): 1) Der fides O E JN og 1 < 2 < 3 <... fra :IN så for k = 1,2,....

83 Mat 2 MA 1984/85 I.6.16 Opg. 6 2 ) Der fides så og < < < fra ]N f or k = 1,2, 3) og Vis, at ma i alle tre tilfælde ka fide e følge 1 < 2 < 3 <... fra ]N, så der for alle p, q E ]N gælder i: O da,[3 ) -> -4 p q og slut heraf, at 3) ikke er opfyldt. 6. ~ O L ad X, d ), = 1, 2, være e følge af kompakte metrivære det i Opgave 4.6 defierede = ske rum og lad X = X 1 metriske rum af følger x = x,x, ), hvor x E X 1 2 for alle. Vis, at X er et kompakt metrisk rum. Vik: Lad x ) være e følge fra X. Kostruer e delaf x ) så første koordiatere i x' ) - følge x' ) kovergerer. Kostruer deræst e delfølge x" ) af x' ) - - så 1. og 2. koordiatere kovergerer. Fortsæt og kostru- er i p'te tri e delfølge xp» af xp-1» så de - - p første koordiatfølger i xp) kovergerer. Betragt - deræst diagoalfølge x» som er e delfølge af - og vis, at alle des koordiatfølger kovergerer. x ), Lad f: ]a,b[ ~]R. være e kotiuert fuktio, idet -=<a<b<=. Vis, at følgede betigelse er ækvivalete: i) f er uiformt kotiuert. ii) f ka udvides til e kotiuert fuktio f: [a,b]~jr. i i i) l im_ f x) x~b og lim+ f x) x~a eksisterer.

84 Mat 2 MA 1984/85 I.6.17 Opg. 6 Vis, at i tilfældet a = - 00, b = 00 gælder iii) ~ i), me at i) ~ iii) er forkert edda med begræset f Lad M, d) være et metrisk rum og lad M, 1) og M,d) være fuldstædiggørelser af M. Vis, at M,d) A A M, d) og er isometriske, dvs. at der fides e surjektiv isometri af '" A M o pa M) Sæt distx,y) = I Arcta x - Arcta y I for x,y E JR. Vis, at x,.,. x ikke er uiformt kotiuert fra 2 JR,dist) til JR,I I), og at x,.,. x er uiformt kotiuert fra JR,I I) til JR, dist).

85 Mat 2 MA 1984/85 II.i.1 Kapitel II. MAL- OG INTEGRALTEORI Idledig. Når der i dette kapitel tales om itegralet af e fuktio eller skrives Jfx)dx, Jfx)d~x), Jfd~ o.lig., mees altid et tal, emlig e græseværdi for visse summer. Itegralteget J, idført af Leibiz 1675), er i Øvrigt afledt af bogstavet S for det latiske ord summa. For os er et iritegral således -, "hvad ma "'-også kalder et be- " b" stemt itegral. Gægse betegelser som Ja fx)dx, der skyldes Fourier 1816), vil aturligvis blive beyttet, år der er behov for at præcisere itegratiosområdet. Om itegralbegrebets udviklig. FØr Cauchy lod ma sig Øje med at sige, hvilke arealer ma skulle addere eller subtrahere for at opå itegralet Jb fx)dx a af e fuktio f: [ a, b],.,. ]R y Til tilærmet beregig af e såda arealstørrelse har vel ladmålere og matematikere til alle tider brugt middel summer S = L f';.) x.-x. 1). 1 l l 1-1=

86 Mat 2 MA 1984/85 II.i.2 y!f== x) med a == x < E;, < x < < x <: " ~ x.,;:;... ~ x = a l::.). Cau- = 1 = 1 =... ~ " i -1 = si l chy tager ikke lægere arealstørrelse for givet. Ha beviser, at hvis f: [a,b] ~ Æ er kotiuert, da fides et tal I således at VE; E:IR+ 38 E:IR : I S-I I < E; for ehver iddelig med + max. x, -x. 1) < 8 og d e f lerer, d erpa o Jb fx)dx som græsea l l l- værdie I for middelsummere. 1823). b Riema defierer J a fx)dx på samme måde, me for ehver fuk t io f : [ a, b ] r.oi Æ, hvor middelsummere har e græseværdi. 1854). Riema itegralet, som det u kaldes, vil vi dog foretrække at idføre som først gjort af Darboux 1873): Lad f: ]a,b] ~:IR være e begræset fuktio. Et tal U E:IR kaldes da e udersum for f, hvis der fides e iddelig a = x a < x 1 <.. < x i - 1 < xi < < x = b samt tal hvor Vx E ] x, l' x. ]: u, ;; f x), i=1,,, l- l l således at U = L u. x,-x, 1) i=1 l l l- Nedre Riema itegral af - Se figur p.3. f J b f x) dx, defieres u som -a Øvre græse for alle udersummer. Øvre Riema itegral af f, -b Ja fx)dx oversummer. defieres gaske aalogt som edre græse for alle

87 Mat 2 MA 1984/85 II. i. 3 y y=!x) u t a b mari Idet ehver udersum er midre eller lig ehver oversum, har b f fx)dx -a -b ;;;; fafx)dx Hvis der her gælder lighedsteg, siges f at være Riema itegrabel, de fælles værdi kaldes Riema itegralet af f og beteges fb f x) dx. a Riemasitegralbegreb har desværre e alvorlig magel: De Riema itegrable fuktioer udgør ikke oget velafrudet område ved græseovergag. Eksempelvis kue ma Øske sig bekvemme regler af form f ~ f = ~ ff =1 =1 J Betragt imidlertid for hvert q E c.d, O < q ;;;; 1,. fuktioe f : ]0,1] ~ [O,oo[ givet ved q f x) = q { 1 for x = q 0 for x * q. Alle fuktioere er Riema itegrable med ledes at 1 L f f x) dx = O, q O q itegralet O, me sum- og itegralteg ka ikke ombyttes; fuktioe L f q o saq

88 Mat 2 MA 1984/85 II. i. 4 er ikke Riema itegrabel. Det er de såkaldte Dirichlet fuktio, med værdi 1 i hvert ratioalt, O i hvert irratioalt pukt i itervallet ]0,1] Øvre Riema itegral er lig 1, edre Riema itegral lig O. Det er imidlertid lykkedes de fraske matematiker Lebesgue Itegrale, logueur, aire. These. Paris 1902) at idføre et yt itegralbegreb, der idfrier alle rimelige forvetiger vedrørede græseovergag. Lebesgue itegralet blevet afgørede geembrud, e væsetlig forudsætig for de matematiske aalyses udviklig i ideværede århudrede. på dette sted vil vi Øjes med at skitsere, hvorda Lebesgue defierede itegralet af e begræset fuktio f: ]a,b] ~ Æ. y y=x)!il "lt'!fi-f a b E Lebesgue middelsum har forme hvor L. me.),. 1 l l 1= Vx E ]a,b]: yo < fx) ~ y, ~ y. 1 ~. ~ y. ~ 1- l l ~ ~ y, E. = {x E ]a,b] l y. 1 < f x) ~ y.}, 1- l i=1,,, og m E. ) l betyder "de samlede lægde" af E. l

89 Mat 2 MA 1984/85 II. i.5 Ma bemærker, at der iddeles efter fuktiosværdier. Lebesgue idførte så itegralet Jb fx)dx som de evea tuelle græseværdi for middelsummer, svarede til max. y. -y. 1) -+ l l 1- O Til belysig af forskelle fra Rieras fremgagsmåde giver vi Lebesgue ordet Foredrag i Dask Matematisk Foreig, se Matematisk Tidsskrift B 1926, p.54 ff) Til Lebesgues itegraldefiitio kytter vi ogle bemærkiger. a peut dire ecore _ que, avec le procede de Riema, o essayait de sommer les tja. lems de la. ftrctt'o' e les preat das I'o'rdre Ol'! ils ~taiet fciuris par la variatio de x, o operait doe comme - le ferait u comme;;at sas methode qui compterait pieces et billets au hasard de l'ordre OU ils lui tomberaiet sous la mai; tadis que ous operos comme le commercat methodiqlle qui dit: j'ai 1Il El) pieces de I couroe valat I.1Jt El)' j'ai me 2 ) pieces de 2 couroes valat 2 'm{e 2 ), j'ai 1ll Ea) billets de 5 couroes valat S m E 2 ), etc., j'ai doe e tout: s = I m Ed + 2 1Jt.c"'z) + 5'111 Ea) +... '. Les deux procedes coduirot, certes, le comme;;at au mere resultat parceque, si riche qu'il soit, il'a qu'u ombre fii de billets il compter; mais pour ous, qui avos il additioer ue ifiite de valeuh, la differece etre les deux fac;;os de faire est capitale. 1. Mægdere E. ka være yderst komplicerede. Daelse af l Lebesgue middelsummer forudsætter derfor et ærmere studium af begrebet "samlet lægde", også kaldet Lebesgue mål, for vilde delmægder af ]R. 2. Uder forudsætig af et tilsvarede hold på areal, volume,..., ligeledes kaldet Lebesgue mål, for vilde delmægder af ]R2,]R3,.., ka Lebesgue itegralet for fuktioer af 2, 3 eller flere reelle variable idføres gaske som for fuktioer af 1 variabel. Ovefor erstattes blot itervallet ]a,b] med fuktioes defiitiosmægde.

90 Mat 2 MA 1984/85 II.i.6 3. Tæker ma sig e massefordelig på liie eller i plae, rummet,... ), får ma ved at lade me.) betyde de samlede masl se i E., me i Øvrigt gå frem som før, hvad der kaldes itel ---- gralet af f med hesy til de give massefordelig. Joha Rado 1913.) Videre: 4. Det er ku få, fudametale egeskaber ved lægde, areal, volume,..., der beyttes ved defiitioe af Lebesgue itegralet og ved bevisere vedrørede græseovergag med dette. Idet ma af et mål ~ i e abstrakt) mægde etop kræver disse egeskaber, ka så hovedtræk af teorie overføres til itegratio med hesy til et vilkårligt mål. Maurice Frechet 1915.) Nærmere om itegralbegrebets udviklig ka ma læse i I. Pesi: Classical ad moder itegratio theories Moskva 1966; Academic Press 1970). Se også Lebesgues oveævte foredrag samt N. Bourbaki: Elemets d'histoire des mathematiques Herma 1960) for kortere oversigter. Her går vi frem modsat de historiske udviklig, idet vi starter med de abstrakte mål- og itegralteori. Se 4. ovefor.) Selvom vi ikke havde adet sigte ed Lebesgue itegralet, ville dee fremgagsmåde dog have de fordel, at hovedtrækkee fremstår klarere, år teorie er befriet for irrelevate forudsætiger. på de ade side bør ma stedse have det kokrete hovedtilfælde i takere: Lebesgue itegralet i mk. Vi vil i Øvrigt ikke i detaljer følge Lebesgue i defiitioe af itegral, me beytte e af de mage mulige variater, der bl.a. tillader os straks at iddrage også ubegræsede fuktioer, defieret f.eks. på hele mk. E ade fordel ved de abstrakte teori er, at de omfatter grudlaget for sadsylighedsregig. E sadsylighed er et mål med total masse e. E stokastisk variabel er e målelig afbildig og middelværdi er itegralet med hesy til e sadsylighed. Lad os slutte dee historiske idledig med at sammelige talbegrebet med itegralbegrebet.

91 Mat 2 MA 1984/85 II. i. 7 Til praktiske formål er de ratioale tal tilstrækkelige. E regemaskie ka ku give os et ratioalt facit. Alligevel er det fra et teoretisk syspukt fudametalt af have alle reelle tal til rådighed. E begræset talmægde har et supremum, cauchy-følger er kovergete). I praksis møder ma hovedsagelig itegralet af kotiuerte fuktioer, evetuelt af stykkevis kotiuerte fuktioer. Alligevel er det fra et teoretisk syspukt fudametalt, at kue itegrere e større klasse af fuktioer - de Lebesgue itegrable - fordi dee klasse af fuktioer er lukket overfor græseprocesser, der svarer til at e voksede begræset talfølge er koverget. At stoppe ved Riema itegralet ville være som at øjes med e del af de reelle tal. Heri LEBESGUE ) Photographie datat d' el/viro" 1904)

92 Mat 2 MA 1984/85 II. O. 1 O. Regig med ± 00. Det er udertide bekvemt at udvide mægde Æ af reelle tal med to ekstra elemeter, som vj. vil betege 00 og Vi sætter Æ = [-00,00] = Æ U{-oo,oo}, i Mat 1 beteget Æ*). Når 00 idgår som led i e sum.l a., a. E Æ, me -00 l= 1 l l ikke gør det, sættes. L a. = 00 l= 1 l Når -00 idgår som led i e sum a., a. E i~1 Æ, me 00 l l ikke gør det, sættes. L a. = -00 l= 1 l E sum, hvor både 00 og -00 idgår som led, tillægges l:ge meig. F.eks. er ) ikke defieret. E differes b-a tolkes som b + -a). F.eks. er da ikke defieret. Ethvert produkt ab med a,b E Æ idet vi sætter O ± 00) = ± 00) 0 = O, c± 00) = ± oo)c ± 00 år O < c ;S 00, c± 00) = ± oo)c = + 00 år -00;S c < O. tillægges e meig, Multiplikatioe i m er da kommutativ og associativ. Der er ikke meget pæt at sige om regeoperatioere i m. I almidelighed arbejder vi da også i m eller i [0,00] Lad os dog til seere brug æve følgede regler: a+b = c ~ a=c-b år b Em og a,c E m, a+b ;S a + c ~ b ;S c år a Em og b,c E m, lim if a+b ) = a + lim if b lim sup a+b ) = a + lim sup b og år a Em og b 1,b 2, E m. Summer med O;Sa. ;S 00. J I m = [0,00] ka og vil vi boltre os, hvad agår multiplikatio og især additio. FØrst bemærkes, at begge + regeoperatioer ide for Æ+ er kommutative og associative, og at

93 Mat 2 MA 1984/85 II. 0.2 de distributive lov gælder. Herved vil vi dog ikke blive ståede. Vi defierer summe L a. af e vilkårlig familie aj')j'ej jej J af tal som supremum af alle edelige delsummer, altså L a, = j EJ J sup L a. jei* J hvor supremum tages over alle edelige delmægder 1* af ideksmægde J. Dette er aturligvis ku oget yt, hvis J er uedelig. Vi æver 3 vigtige resultater om summer: 1 0 Splittes J i gere uedelig mage) delmægder J k, k E K da er L a. lig summe af summere L a.. Mere formelt --- jej J jej k J skrevet L a. = L L a. jej J kek jej J k år J = U J med J k J k = ø kek k 1 2 = O, for det tilfælde at ø for et el- Vi reger L a. jeø J ler flere k.) For bevis, se Opgave Resultatet fider specielt avedelse på dqbbeltsummer:. For ehver familie af tal b hk E JR+ er b hk ) h,k)ehxk I almideliggøreise af de distributive lov gælder der i b L a. jej J L ba.). jej J hvis Edelig gælder: Hvis e sum L a., j EJ J La. <00, jej J har e edelig værdi, altså så er a. :jo O for ku tælleligt J mage idices j E J.

94 Mat 2 MA 1984/ Atag emlig L a. For hvert E ~ er der da j EJ J højst edelig mage j E J med a. > 1 atallet er begræset J af s. E sum L a., a. E Æ+, med JN som ideksmægde ka jejn J J tolkes som e ~ækkesum: Der gælder emlig s = L a. / j = 1 J L a. j EJN J for Summe beteges derfor også Eksempelvis er 00 1 L - = =1 00 L a.. j = 1 J L 1 = 00 EJN i 4.6.) Summer L a. jej J med a. J Æ, eller a. E <t, J behadles,i.,

95 Mat 2 MA 1984/85 II. O. 4 Opg. O Opgaver til O For e vilkårlig følge A 1,A 2, af mægder sættes lim if m Ar = U p A + p ' 1 0 Vis, at lim if A c lim supm A m m = m lim supm Ar = Up A + p 2 0 Vis, at lim if A ={xl 3'v'p: x m m lim sup A ={xl 'v'3p: x E m m E A } +p A + p },. Bemærk, at 3'v'p: x E A +p ~ x tilhører alle A m fra et vist tri, 'v'3p: x E A ~ x tilhører mægder A med vilkårligt +p m høje umre.) GØr rede for, at i lim if A t m m ved omordig af A 1,A 2,. og lim sup A m m bevares 0.2. Bestem limes iferior og limes superior se Opgave 0.1) for følgere c... og..., ø,x,ø,x,ø,x,, Ved idikatorfuktioe med grudmægde X) for e delmægde A af e give mægde X :j: ø forstås fuktioe 1 A: X,.,. {0,1}, hvor 1 A x) C for x E A for x E CA = X'A.

96 Mat 2 MA 1984/ opg. O o Lad A og B være delmægder af e grud) mægde X. Gør rede for, at 1 CA = 1-1 A ' 1 sup{1,1 } AUB A B = A B - 1 AB 1 AB = if { 1 A' 1 B} = A B - 1 AUB 2 0 Lad Aj)jEJ være e familie af delmægder af X. Gør rede for, at 1 = sup, 1 A, U,A, J J J J 1,A, J J = if. 1 A. J J 0.4. Lad A)E~ være e følge af delmægder af e grudmægde X. Gør rede for, at = 1 1 lm, l 'f lim if 1 1 A A 1 lm, sup A = lim sup 1 A Se Opgave 0.1.) o O.5. 1 Idet a E ]R + og ø c A c JR+ vise, at sup a + B) = a + sup B, sup ab = a sup B skal ma SUpA + B) = sup A + sup B supab) = sup A. sup B 2 Her er a + B = {a+blbe B} {ab A + B = {a+blae A, b E B}, AB 2 Gælder det samme med ifimum i stedet for supremum? = = ablb E B} {abla E A, b E B}

97 Mat 2 MA 1984/85 II. O. 6 Opg. O O. 6 Lad aj)jej være e familie af tal 1 Vis, at a, E [0,00]. J a. = J L a, + 'EJ J J 1 L a, 'EJ J J 2 år J 1,J 2 ~ J er disjukte, dvs. j1 J 2 = ø. Vik. Ma ka beytte Opgave 0.5.) 2 Vis, at a. = J L L a, k=1 jej J k år J,.,J c J er parvis disjukte , V1S, at L a. = jej J L L a, kek jej k J år J = U J k, hvor Jk)kEK er e familie af parkek vis disjukte mægder Gør rede for, at regle om dobbeltsummer i otere er et specialtilfælde af resultatet i Opgave Vi reger i JR+ = [0,00]. Gør rede for, at multiplikatioe er distributiv med hesy til additioe. a L jej b. = J L jej ab,, J L a, L b, = \iei i) jej j} L, ')EI J a,b, 1,J x l J hvor a E [0,00], medes ai)iei og bj)jej vilkårlige familier med a i E [O,00], b j E [O,00]. Vik. Ma ka beytte Opgave 0.5.) er {

98 Mat 2 MA 1984/85 I r Målelige mægder Idledede om lægde-, areal- og volumeproblemet. Problemet består i til passede delmægder holdsvis af ]R2, JR.3,... ) at kytte tal m A), A af ]R hesom med rimelighed ka kaldes lægde heholdsvis arealet, volumiet,... ) af A. Ud over kravet om, at kogruete mægder bør have samme lægde areal, volume,... ), havde ma tidligere fæstet sig ved additi vi tet: år e mægde A i ]R heh. ]R2, JR.3,... ) ka stykkes samme af edelig mage, parvis disjukte dele, der hver har e lægde areal, volume,... ), da bør A som lægde areal, volume,... ) have summe af delees. Emile Borel peger i stedet på umerabel additivitet: her tillades sammestykiger også af umerabelt mage, parvis disjukte dele; summe af lægdere arealere, volumiere,... ) er da e rækkesum. Le9os sur la theorie des foctios, Paris 1898.) Dee drejig er afgørede for Lebesgue itegralet. Hvis ma kue tillægge alle delmægder A i ]R heh. ]R2, JR.3,... ) e lægde area0olume,... ) og samtidig idfri Øsket om umerabel additivitet, og at kogruete mægder tillægges samme værdi, var situatioe optimal. Som atydet i Mat 1 SS, ka dette lade sig gøre, hvis ma bygger på Solovays model for mægdelære 1970). I dee model gælder bl.a. det umerable udvalgsaxiom, me udvalgsaxiomet gælder ikke. Udvalgsaxiomet ka formuleres således: For ehver familie Ai)iEI af ikke tomme mægder A. fides e fuktio f på I så fi) E A. for l l hvert i E I Hvis ma ku betragter umerable familier dvs. I forudsættes umerabel), får ma det umerable udvalgsaxiom. Øsker ma at operere i e versio af mægdelære, hvor udvalgsaxiomet gælder, og det gør ma ormalt, ka ma vise, at der er delmægder f. eks. af ]R, der ikke ka tillægges e lægde på foruftig måde. Se 5.8, Sætig 3). Dette betyder, at ma skal fide et passede stort system af mægder, som ka tillægges e lægde areal, volume,... ). Mægdere i systemet kaldes Lebesgue målelige. Af tekiske grude studerer ma først et midre system, hvis mægder kaldes Borel målelige eller blot Borel mægder.

99 Mat 2 MA 1984/85 II Begrebet a-algebra. E mægde Æ af delmægder af e mægde X kaldes e a-algebra i X, hvis i) ii) X E Æ CA = X, A E Æ, år A E Æ iii) U A E Æ, år A,A '... E Æ ON 1 2 Der gælder da tillige E ø E Æ A U B, A B, A' B E Æ, år A,B E Æ, A E Æ, år A 1 ' A 2 '.. E Æ EJN a-algebra er altså stabil over for de sædvalige mægdeoperatioer avedt på edelig eller umerabelt mage mægder. Påstadede fremgår af ø = CX = X'X AUB = AUBUØ U... U ø U..., AB = C CA U CB) A'B - A CB A EIN = C U CA) EJN Mægde PX) af alle delmægder af e mægde X er aturligvis e a-algebra i X, de størst mulige. Systemet {Ø,X} er de midste a-algebra i X. Ehver fællesmægde af a-algebraer i X er ige e g-algebra i X. Det verificeres umiddelbart. SÆTNING. Lad ID være e vilkårlig mægde af delmægder af e mægde X. Der fides da e midste a-algebra a ID) i X, der ideholder ID, dvs. i) a ID) er e a-algebra i X, ID '= a ID) ii) for ehver a-algebra ]F' i X med ID c ]F' gælder aid)cjf'.

100 Mat 2 MA 1984/85 II. 1.3 Bevis. Fællesmægde o ID) for alle o-algebraer ]F i X der ideholder ID, er selv e ry-algebra ideholdede ID, - og åbebart de midste. stregt taget burde først bemærkes, at der er oget at tage fællesmægde for, altså at der fides i hvert f ald e o-algebra ]F i X, der ideholder ID. Me det er oplagt: PX). o Bemærk, at beviset er et ret eksistesbevis. Det giver ikke oge eksplicit betigelse for, om e forelagt mægde A c X tilhører o ID) eller ej. Ma siger, at r) ID) er o-algebrae frembragt af ID, og ID kaldes et frembrige~ste!l! for o ID) Når ma i e mægde X har udvalgt e o-algebra Æ kaldes parret X, JE) et målbart rum, jvfr. termiologie topologisk rum, hvor ma på X har udvalgt et mægdesystem G med helt adre egeskaber, kaldet e topologi. Mægdere i Æ siges at være må~~lige eller mere præcist Æ-målelige. Cl. Eli!;. Pi fatl EMILE UOREL I H71-195'

Supplerende noter II til MM04

Supplerende noter II til MM04 Supplerede oter II til MM4 N.J. Nielse 1 Uiform koverges af følger af fuktioer Vi starter med følgede defiitio: Defiitio 1.1 Lad S være e vilkårlig mægde og (X, d et metrisk rum. E følge (f af fuktioer

Læs mere

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet.

Matematik A. Studentereksamen. Forberedelsesmateriale. Forsøg med digitale eksamensopgaver med adgang til internettet. Matematik A Studetereksame Forsøg med digitale eksamesopgaver med adgag til iterettet Forberedelsesmateriale Vejledede opgave Forår 0 til stx-a-net MATEMATIK Der skal afsættes 6 timer af holdets sædvalige

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj 2009

Analyse 1, Prøve maj 2009 Aalyse, Prøve 5. maj 009 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Kalkulus (006, Tom Lidstrøm). Direkte opgavehevisiger til Kalkulus er agivet med TLO, ellers er alle hevisiger til steder i de overordede

Læs mere

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner

Projekt 4.8 De reelle tal og 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner Projekter: Kapitel 4 Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Projekt 48 De reelle tal og hovedsætig om kotiuerte fuktioer Kotiuitet og kotiuerte fuktioer Ord som kotiuert og kotiuerlig

Læs mere

Elementær Matematik. Polynomier

Elementær Matematik. Polynomier Elemetær Matematik Polyomier Ole Witt-Hase 2008 Køge Gymasium Idhold 1. Geerelle polyomier...1 2. Divisio med hele tal....1 3. Polyomiers divisio...2 4. Polyomiers rødder....4 5. Bestemmelse af røddere

Læs mere

Den flerdimensionale normalfordeling

Den flerdimensionale normalfordeling De flerdimesioale ormalfordelig Stokastiske vektorer Ved e stokastisk vektor skal vi forstå e vektor, hvor de ekelte kompoeter er sædvalige stokastiske variable. For de stokastiske vektor Y = Y,..., Y

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5.

Sandsynlighedsteori 1.2 og 2 Uge 5. Istitut for Matematiske Fag Aarhus Uiversitet De 27. jauar 25. Sadsylighedsteori.2 og 2 Uge 5. Forelæsiger: Geemgage af emere karakteristiske fuktioer og Mometproblemet afsluttes, og vi starter på afsittet

Læs mere

Løsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)

Løsningsforslag til skriftlig eksamen i Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Løsigsforslag til skriftlig eksame i Kombiatorik, sadsylighed og radomiserede algoritmer (DM58) Istitut for Matematik & Datalogi Syddask Uiversitet Madag de 3 Jauar 011, kl. 9 13 Alle sædvalige hjælpemidler

Læs mere

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6.

vejer (med fortegn). Det vil vi illustrere visuelt og geometrisk for (2 2)-matricer og (3 3)-matricer i enote 6. enote 5 enote 5 Determiater I dee enote ser vi på kvadratiske matricer. Deres type er altså for 2, se enote 4. Det er e fordel, me ikke absolut ødvedigt, at kede determiatbegrebet for (2 2)-matricer på

Læs mere

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t.

cos(t), v(t) = , w(t) = e t, z(t) = e t. Aalyse Øvelser Rasmus Sylvester Bryder. og. oktober 3 Bevis for Cotiuity lemma Theorem. Geemgås af Michael Staal-Olse. Bevis for Lemma.8 Dee har vi faktisk allerede vist; se Opgave 9.5 fra Uge. Det er

Læs mere

og Fermats lille sætning

og Fermats lille sætning Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( { 0 }, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen

Denne kaldes også potensmængden over Ω og betegnes ofte 2 Ω. Notationen beror på, at man via relationen Idledig. De modere sadsylighedsteori, hvis aksiomatiske basis blev formuleret af russere A.N. Kolmogorov i 1933 i boge Grudbegriffe der Wahrscheilichkeitrechug, er bygget op omkrig et tripel ofte beteget

Læs mere

Sandsynlighedsteori 1.2

Sandsynlighedsteori 1.2 Forelæsigsoter til Sadsylighedsteori.2 Sved Erik Graverse Jauar 2006 Istitut for Matematiske Fag Det Naturvideskabelige Fakultet Aarhus Uiversitet. Mometproblemet. I dette afsit beteger X e stokastisk

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar 2008 1. Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

og Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN

og Fermats lille Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne sætning ..., 44, 20,4,28,52,... Hvad er matematik? 3 ISBN Projekt 0.4 Modulo-regig, restklassegruppere sætig ( p 0, ) og Fermats lille Vi aveder moduloregig og restklasser mage gage om dage, emlig år vi taler om tid, om hvad klokke er, om hvor lag tid der er

Læs mere

M Å L T E O R I S A N D S Y N L I G H E D S T E O R I 1. 1 F O R E L Æ S N I N G S N O T E R S V E N D E R I K G R A V E R S E N O G

M Å L T E O R I S A N D S Y N L I G H E D S T E O R I 1. 1 F O R E L Æ S N I N G S N O T E R S V E N D E R I K G R A V E R S E N O G F O R E L Æ S N I N G S N O T E R T I L M Å L T E O R I O G S A N D S Y N L I G H E D S T E O R I 1. 1 S V E N D E R I K G R A V E R S E N A U G U S T 2 0 0 5 I N S T I T U T F O R M A T E M A T I S K

Læs mere

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier

Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier Noter om polyomier, Kirste Rosekilde, Marts 2006 1 Polyomier Disse oter giver e kort itroduktio til polyomier, og de fleste sætiger æves ude bevis. Udervejs er der forholdsvis emme opgaver, mes der til

Læs mere

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning

Baggrundsnote til sandsynlighedsregning Baggrudsote til sadsylighedsregig Kombiatorik. Multiplikatiospricippet E mægde beståede af forskellige elemeter kaldes her e -mægde. Elemetere i e m-mægde og elemetere i e -mægde ka parres på i alt m forskellige

Læs mere

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal

FUNKTIONER del 1 Funktionsbegrebet Lineære funktioner Eksponentialfunktioner Logaritmefunktioner Rentesregning Indekstal FUNKTIONER del Fuktiosbegrebet Lieære fuktioer Ekspoetialfuktioer Logaritmefuktioer Retesregig Idekstal -klassere Gammel Hellerup Gymasium November 08 ; Michael Szymaski ; mz@ghg.dk Idholdsfortegelse FUNKTIONSBEGREBET...

Læs mere

Talfølger og -rækker

Talfølger og -rækker Da Beltoft og Klaus Thomse Aarhus Uiversitet 2009 Talfølger og -rækker Itroduktio til Matematisk Aalyse Zeos paradoks om Achilleus og skildpadde Achilleus løber om kap med e skildpadde. Achilleus løber

Læs mere

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder

De Platoniske legemer De fem regulære polyeder De Platoiske legemer De fem regulære polyeder Ole Witt-Hase jauar 7 Idhold. Polygoer.... Nogle topologiske betragtiger.... Eulers polyedersætig.... Typer af et på e kugleflade.... Toplasvikle i e regulær

Læs mere

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik

Noter om kombinatorik, Kirsten Rosenkilde, februar Kombinatorik Noter om ombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 Kombiatori Disse oter er e itrodutio til ombiatori og starter helt fra bude, så e del af det idledede er siert edt for dig allerede, me der ommer også hurtigt

Læs mere

Uge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) :

Uge 37 opgaver. Opgave 1. Svar : Starter med at definere sup (M) og inf (M) : Uge 37 opgaver Opgave Svar : a) Starter med at defiere sup (M) og if (M) : Kigge u på side 3 i kompedie og aveder aksiom (.3) Kotiuitetsaksiomet A = x i x 2 < 2 Note til mig selv : Har søgt på ordet (iequalities)

Læs mere

Bjørn Grøn. Analysens grundlag

Bjørn Grøn. Analysens grundlag Bjør Grø Aalyses grudlag Aalyses grudlag Side af 4 Idholdsfortegelse Kotiuerte og differetiable fuktioer 3 Differetial- og itegralregiges udviklig 5 3 Hovedsætiger om differetiable fuktioer 8 Opgaver til

Læs mere

Projekt 1.3 Brydningsloven

Projekt 1.3 Brydningsloven Projekt 1.3 Brydigslove Når e bølge, fx e lysbølge, rammer e græseflade mellem to stoffer, vil bølge ormalt blive spaltet i to: Noget af bølge kastes tilbage (spejlig), hvor udfaldsvikle u er de samme

Læs mere

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation.

De reelle tal. Morten Grud Rasmussen 5. november Se Sætning 3.6 og 3.7 for forskellige formuleringer af egenskaben og dens negation. De reelle tal Morte Grud Rasmusse 5. ovember 2015 Ordede mægder Defiitio 3.1 (Ordet mægde). pm, ăq kaldes e ordet mægde såfremt: For alle x, y P M gælder etop ét af følgede: x ă y, x y, y ă x @x, y, z

Læs mere

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter

Matematikkens mysterier - på et obligatorisk niveau. 7. Ligninger, polynomier og asymptoter Matematikkes mysterier - på et obligatorisk iveau af Keeth Hase 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Hvad er e asymotote? Og hvorda fides de? 7. Ligiger, polyomier og asymptoter Idhold 7.0 Idledig 7.1 Udsag

Læs mere

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith

Georg Mohr Konkurrencen Noter om uligheder. Søren Galatius Smith Georg Mohr Kokurrece Noter om uligheder Søre Galatius Smith. juli 2000 Resumé Kapitel geemgår visse metoder fra gymasiepesum, som ka bruges til at løse ulighedsopgaver, og ideholder ikke egetligt yt stof.

Læs mere

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504)

Gamle eksamensopgaver. Diskret Matematik med Anvendelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Gamle eksamesopgaver Diskret Matematik med Avedelser (DM72) & Diskrete Strukturer(DM504) Istitut for Matematik& Datalogi Syddask Uiversitet, Odese Alle sædvalige hjælpemidler(lærebøger, otater etc.), samt

Læs mere

Asymptotisk optimalitet af MLE

Asymptotisk optimalitet af MLE Kapitel 4 Asymptotisk optimalitet af MLE Lad Y 1, Y 2,... være uafhægige, idetisk fordelte variable med værdier i et rum (Y,K). Vi har givet e model (ν θ ) θ Θ for fordelige af Y 1 (og dermed også for

Læs mere

r n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n!

r n E[ X n ]/n! for alle r > 0 ifølge monoton konvergens, giver potensrækketeori, at ( ) er ækvivalent med, at ρ n E[ X n ]/n! Mometproblemet. Lad i dette afsit X betege e stokastisk variabel med mometer af ehver orde. Mometfølge (E[X ]) er derfor e vel defieret reel talfølge bestemt ved fordelige, og spørgsmålet om, de omvedt

Læs mere

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353

Tankegangskompetence. Kapitel 9 Algebraiske strukturer i skolen 353 Takegagskompetece Hesigte med de følgede afsit er først og fremmest at skabe klarhed over de mere avacerede regeregler i skole og give resultatet i de almee form, der er karakteristisk for algebra. Vi

Læs mere

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg

Matematik 2 AN. Matematisk Analyse. Metriske rum. Christian Berg Matematik 2 AN Matematisk Analyse Metriske rum Christian Berg 1997 Matematisk Afdeling Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 1997 Forord Nærværende notehæfte er oprindelig skrevet

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Følsomhed af Knapsack Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Følsomhed af Kapsack Problemet David Pisiger, Projektopgave 1 Dette er de første obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig

Læs mere

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger

Kvadratisk 0-1 programmering. David Pisinger Kvadratisk - programmerig David Pisiger 27-8 MAX-CUT problemet Givet e ikke-orieteret graf G = (V, E) er MAX-CUT problemet defieret som MAX-CUT = {< G > : fid et sit S, T i grafe G som maksimerer atal

Læs mere

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog

- et værktøj til fejlrettende QR-koder. Projekt 0.3 Galois-legemerne. Indhold. Hvad er matematik? A, i-bog Projekt 0.3 Galois-legemere GF é ëp û - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og... De kommutative, associative og distributive

Læs mere

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet

DATV: Introduktion til optimering og operationsanalyse, 2007. Bin Packing Problemet DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse, 2007 Bi Packig Problemet David Pisiger, Projektopgave 2 Dette er de ade obligatoriske projektopgave på kurset DATV: Itroduktio til optimerig og operatiosaalyse.

Læs mere

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.

Definition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0. Repetitio: Normalfordelige Ladmåliges fejlteori Lektio Trasformatio af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/udervisig/lf13 Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet

Læs mere

StudyGuide til Matematik B.

StudyGuide til Matematik B. StudyGuide til Matematik B. OVERSIGT. Dee study guide ideholder følgede afsit Geerel itroduktio. Emeliste. Eksame. Bilag 1: Udervisigsmiisteriets bekedtgørelse for matematik B. Bilag 2: Bilag 3: Uddrag

Læs mere

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n.

Om Følger og Rækker. Nyttige Grænseværdier. Nyttige Rækker. Carsten Lunde Petersen. lim. lim = 0. lim (1 + x n n )n = e x. n n n. IMFUFA Carste Lude Peterse Om Følger og Ræer Nyttige Græseværdier lim = 1 lim! = x = 0! lim lim (1 + x ) = e x! lim = e 1 Nyttige Ræer 1 p < p > 1 1 log p ( + 1) < p > 1 x = = x 1 x for x < 1 og Z, diverget

Læs mere

GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK

GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK GYLDENDALS MINILEX MATEMATIK Søre Halse Erik Laage-Peterse Jes Peter Touborg GYLDENDAL Gyldedals miilex Matematik. e-udgave, 2007 ISBN 978-87-62-5085-0 2005 Gyldedalske Boghadel,

Læs mere

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne.

3y MA, Steen Toft Jørgensen side 1/5 Helsingør Gymnasium. Definitioner, formler, sætninger og ideen i beviserne så det er muligt at huske beviserne. 3y MA, Stee Toft Jørgese side /5 Helsigør Gymasium Vektorregig i 3D Formålet er at skabe overblik over emet. Boge Mat3A af Jes Carstese, kapitel 3 og 4, side 83-5. Defiitioer, formler, sætiger og idee

Læs mere

Motivation. En tegning

Motivation. En tegning Motivatio Scatter-plot at det mådelige salg mod det måedlige reklamebudget. R: plot(salg ~ budget, data = salg) Økoometri Lektio Simpel Lieær Regressio salg 400 450 500 550 20 25 30 35 40 45 50 budget

Læs mere

R E E L L E F U N K T I O N E R.

R E E L L E F U N K T I O N E R. Købehavs Uiversitets Hateratiske Istitut M A T E M A T I K 2 1962-63 B. Jesse Forelæsiger over R E E L L E F U N K T I O N E R. Mat 2, 1962-63 MI Kap.l Idledig. l. Weierstrass 11 approksimatiossætig. l,

Læs mere

Den hurtige Fouriertransformation. Jean Baptiste Joseph Fourier ( )

Den hurtige Fouriertransformation. Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) De hurtige Fouriertrasformatio Jea Baptiste Joseph Fourier (768-83) Polyomier Polyomium: p + 2 3 4 ( x) = 5 + 2x + 8x + 3x 4x Geerelt: p(x) = eller! " i= a i x i p(x) = a + a x + a 2 x 2 +!+ a! x! 2 Evaluerig

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder, marts 0, Kirste Rosekilde Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og

Læs mere

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen

Forelæsningsnoter til Stokastiske Processer E05. Svend-Erik Graversen Revideret af Jan Pedersen Kapitel 12 og Appendix B og G af Jan Pedersen Forelæsigsoter til Stokastiske Processer E5 Sved-Erik Graverse Revideret af Ja Pederse Kapitel 12 og Appedix B og G af Ja Pederse 16. august 25 Forord Nærværede otesæt skal bruges i forbidelse med kurset

Læs mere

Undersøgelse af numeriske modeller

Undersøgelse af numeriske modeller Udersøgelse af umeriske modeller Formål E del af målsætige med dette delprojekt er at give kedskab til de begræsiger, fejl og usikkerheder, som optræder ved modellerig. I de forbidelse er følgede udersøgelse

Læs mere

antal gange krone sker i første n kast = n

antal gange krone sker i første n kast = n 1 Uge 15 Teoretisk Statistik, 5. april 004 1. Store tals lov Eksempel: møtkast Koverges i sadsylighed Tchebychevs ulighed Sætig: Store tals lov. De cetrale græseværdisætig 3. Approksimatio af sadsyligheder

Læs mere

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6

Formelskrivning i Word 2. Sådan kommer du i gang 4. Eksempel med skrivning af brøker 5. Brøker skrevet med småt 6. Hævet og sænket skrift 6 Dee udgave er til geemkig på ettet. Boge ka købes for kr. 5 hos EH-Mat. E y og udvidet udgave med title»symbol- og formelskrivig«er udkommet september 00. Se mere om de her. Idholdsfortegelse Formelskrivig

Læs mere

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager

Velkommen. Program. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R. Praktiske ting og sager Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Sadsylighedstætheder og kotiuerte fordeliger på R Helle Sørese Uge 6, madag Velkomme I dag: Praktiske bemærkiger Hvad skal vi lave på SaSt2? Sadsylighedstætheder

Læs mere

Noter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar

Noter om Kombinatorik 2, Kirsten Rosenkilde, februar Noter om Kombiatori, Kirste Roseilde, februar 008 1 Kombiatori Disse oter itroducerer ogle cetrale metoder som ofte beyttes i ombiatoriopgaver, og ræver et grudlæggede edsab til ombiatori (se fx Kombiatori

Læs mere

Kompendie Komplekse tal

Kompendie Komplekse tal Kompedie Komplekse tal Prebe Holm 08-06-003 "!#!%$'&($)+*-,. cos(s + t) )0/ si(s + t) Trigoometri er måske ikke så relevat, år ma såda umiddelbart sakker om komplekse tal. Me faktisk avedes de trigoometriske

Læs mere

Introduktion til uligheder

Introduktion til uligheder Itroduktio til uligheder Dette er e itroduktio til ogle basale uligheder om det aritmetiske geemsit, det geometriske geemsit, det harmoiske geemsit og det kvadratiske geemsit. Først skal vi ved fælles

Læs mere

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert.

Analyse 1, Prøve maj Lemma 2. Enhver konstant funktion f : R R, hvor f(x) = a, a R, er kontinuert. Alyse, Prøve. mj 9 Alle hevisiger til TL er hevisiger til Klkulus 6, Tom Lidstrøm. Direkte opgvehevisiger til Klkulus er givet med TLO, ellers er lle hevisiger til steder i de overordede fsit. Hevises

Læs mere

Regularitetsbetingelserne i simple modeller

Regularitetsbetingelserne i simple modeller Kapitel 7 Regularitetsbetigelsere i simple modeller I dette kapitel vil vi udersøge forskellige modeller med uafhægige, idetisk fordelte variable, rækkede fra det trivielle til det gaske geerelle. Målet

Læs mere

1. De karakteristiske egenskaber ved de tre mest almindelige talsystemer, og... 2

1. De karakteristiske egenskaber ved de tre mest almindelige talsystemer, og... 2 Projekt 0.3 Galois-legemere GF p - et værktøj til fejlrettede QR-koder Idhold. De karakteristiske egeskaber ved de tre mest almidelige talsystemer, og.... De kommutative, associative og distributive lov

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel og imagiærdel samt i... 8 Subtraktio,

Læs mere

Meningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017

Meningsmålinger KLADDE. Thomas Heide-Jørgensen, Rosborg Gymnasium & HF, 2017 Meigsmåliger KLADDE Thomas Heide-Jørgese, Rosborg Gymasium & HF, 2017 Idhold 1 Meigsmåliger 2 1.1 Idledig................................. 2 1.2 Hvorda skal usikkerhede forstås?................... 3 1.3

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Komplekse tal MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Komplekse tal a b. udgave 004 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for komplekse tal, regeregler, røddere i polyomier bl.a. med heblik på avedelser ved løsig af lieære

Læs mere

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende

Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-bogen, Matematik for lærerstuderende Forslag til besvarelser af opgaver m.m. i ε-boge, Matematik for lærerstuderede Dette er førsteudgave af opgavebesvarelser udarbejdet i sommere 008. Dokumetet ideholder forslag til besvarelser af de fleste

Læs mere

Matematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a

Matematik A. Højere handelseksamen. Tirsdag den 26. maj 2015 kl hhx151-mat/a Matematik A Højere hadelseksame hhx151-mat/a-26052015 Tirsdag de 26. maj 2015 kl. 9.00-14.00 Matematik A Prøve består af to delprøver. Delprøve ude hjælpemidler består af opgave 1 til 5 med i alt 5 spørgsmål.

Læs mere

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal

Komplekse tal Matematik og naturfag i verdensklasse, 2004. Komplekse tal Komplekse tl Mtemtik og turfg i verdesklsse, 004 Komplekse tl Dette mterile er ereget til udervisig i mtemtik i gymsiet. Der forudsættes kedsk til løsig f degrdsligiger, trigoometri og e lille smule vektorregig.

Læs mere

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

KOMPLEKSE TAL x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium KOMPLEKSE TAL x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Februar 09 ; Michael Symaski ; m@ghg.dk Idholdsfortegelse E kort historie om imagiært og virkeligt... Tallegemet De Komplekse Tal... Idførelse af realdel

Læs mere

Vejledende opgavebesvarelser

Vejledende opgavebesvarelser Vejledede opgavebesvarelser 1. Atal hæder er lig med K(52,5), altså 2598960. Ved brug af multiplikatiospricippet ka atal hæder med 3 ruder og 2 spar udreges som K(13, 3) K(13, 2), hvilket giver 22308.

Læs mere

Lys og gitterligningen

Lys og gitterligningen Fysik rapport: Lys og gitterligige Forfatter: Bastia Emil Jørgese.z Øvelse blev udført osdag de 25. jauar 202 samme med Lise Kjærgaard Paulse 2 - Bastia Emil Jørgese Fysik rapport (4 elevtimer), februar

Læs mere

Sprednings problemer. David Pisinger

Sprednings problemer. David Pisinger Spredigs problemer David Pisiger 2001 Idledig Jukfood A/S er e amerikask kæde af familierestaurater der etop er ved at etablere sig i Damark. E massiv reklamekampage med de to slogas vores fritter er de

Læs mere

Renteformlen. Erik Vestergaard

Renteformlen. Erik Vestergaard Reteformle Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 2010. Billeder: Forside: istock.com/ilbusca Side 4: istock.com/adresrimagig Desude ege illustratioer. Erik Vestergaard

Læs mere

j 0 1 -x dx = -log( 1-b) - k~1 -k-.

j 0 1 -x dx = -log( 1-b) - k~1 -k-. KBENHAVNS UNIVERSI'I'E'I' Naturvideskabelig embedseksame sommere 1975. MA'I'EMATIK 1 2 Skriftlig p~ve. Alle hjrelpemidlcr ka medbl~iges. Opgve r. 1 1 Lad b E [,1 [. Vis, st for =,1,2, grelder (b x+1 ~1

Læs mere

Program. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen

Program. Middelværdi af Y = t(x ) Transformationssætningen Program Statistik og Sadsylighedsregig 2 Trasformatio af kotiuerte fordeliger på R, flerdimesioale kotiuerte fordeliger, mere om ormalfordelige Helle Sørese Uge 7, osdag I formiddag: Opfølgig på trasformatiossætige

Læs mere

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n

Sætning: Middelværdi og varians for linearkombinationer. Lad X 1,X 2,...,X n være stokastiske variable. Da gælder. Var ( a 0 + a 1 X a n X n Ladmåliges fejlteori Lektio 3 Estimatio af σ Dobbeltmåliger Geometrisk ivellemet Lieariserig - rw@math.aau.dk Istitut for Matematiske Fag Aalborg Uiversitet Repetitio: Middelværdi og Varias Sætig: Middelværdi

Læs mere

Projekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning

Projekt 9.1 Regneregler for stokastiske variable middelværdi, varians og spredning Hvad er matematik? Projekter: Kaitel 9 Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Projekt 9 Regeregler for stokastiske variable middelværdi, varias og sredig Sætig : Regeregler

Læs mere

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion

Bølgefunktioner Alle partikler, som har en hvilemasse, er kendetegnet ved en kompleks bølgefunktion Modere Fysik 4 Side af 7 Schrödigerligige Forrige to gage: Idførelse af kvatiserigsbegrebet (for lyseergi og for elektroers eergi) samt partikel-bølge-dualitete, hvilket førte til e helt y teori, kvatemekaikke

Læs mere

Deskriptiv teori: momenter

Deskriptiv teori: momenter Kapitel 13 Deskriptiv teori: mometer Vi vil i dette og det følgede kapitel idføre e række begreber der bruges til at beskrive sadsylighedsmål på (R, B). Samtlige begreber udspriger i e eller ade forstad

Læs mere

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium

x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium SANDSYNLIGHEDSREGNING OG KOMBINATORIK x-klassere Gammel Hellerup Gymasium Idholdsfortegelse SANDSYNLIGHEDSREGNING... 3 SANDSYNLIGHEDSFELT... 3 DE STORE TALS LOV... 4 Sadsyligheder og frekveser:... 4 STOKASTISK

Læs mere

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006

Økonometri 1. Definition og motivation. Definition og motivation. Dagens program. Den multiple regressionsmodel 15. februar 2006 Dages program Økoometri De multiple regressiosmodel 5. februar 006 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.-3.3+appedix E.-E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af parametree

Læs mere

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i

hvor i er observationsnummeret, som løber fra 1 til stikprøvestørrelsen n, X i Normalfordeliger For at e stokastisk variabel X ka være ormalfordelt, skal X agive værdie af e eller ade målig, f.eks. tid, lægde, vægt, beløb osv. Notatioe er: Xi ~ N( μ, σ hvor i er observatiosummeret,

Læs mere

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18

Termodynamik. Indhold. Termodynamik. Første og anden hovedsætning 1/18 ermodyamik. Første og ade hovedsætig /8 ermodyamik Idhold. Isoterme og adiabatiske tilstadsædriger for gasser...3 3. ermodyamikkes. hovedsætig....5 4. Reversibilitet...6 5. Reversibel maskie og maksimalt

Læs mere

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse

MOGENS ODDERSHEDE LARSEN. Fourieranalyse MOGENS ODDERSHEDE LARSEN Fourieraalyse. udgave 7 FORORD Dette otat giver e kort idførig i teorie for fourierrækker og fouriertrasformatio. Det forudsættes i dette otat, at ma har rådighed over matematiklommeregere

Læs mere

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007

Mikroøkonomi, matematik og statistik Eksamenshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Mikroøkoomi, matematik og statistik Eksameshjemmeopgave 14. 20. december 2007 Helle Buzel, Tom Egsted og Michael H.J. Stæhr 14. december 2007 R E T N I N G S L I N I E R F O R E K S A M E N S H J E M M

Læs mere

I. Grupper. Bem. Det neutrale element e i ovenstående er nødvendigvis entydigt

I. Grupper. Bem. Det neutrale element e i ovenstående er nødvendigvis entydigt Mat 312 l.!s~itel I. Grupper Def. G mægde med kompositiosforskrift o. hvis G kaldes gruppe, 1) o associativ (.) : (a o b) a c == a o (b a c) Va,b,c E G) 2) :3 eutralt elemet e (.:J : e a g == gae == g

Læs mere

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,...

Projekt 0.4 Modulo-regning, restklassegrupperne ( lille sætning. {} 0, ) og Fermats { } ...,-44,-20,4,28,52,... Projekter: Kaitel 0. Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruer og Fermats lille sætig Projekt 0. Modulo-regig, restklassegruere ( {} 0, ) og Fermats lille sætig Vi aveder moduloregig og restklasser mage

Læs mere

A14 4 Optiske egenskaber

A14 4 Optiske egenskaber A4 4 Optiske egeskaber Brydigsideks Når lys træffer e græseflade mellem to materialer, kastes oget af lyset tilbage (refleksio), mes oget går igeem græseflade med foradret retig (brydig eller refraktio).

Læs mere

Projekt 9.10 St. Petersborg paradokset

Projekt 9.10 St. Petersborg paradokset Hvad er matematik? ISBN 978877066879 Projekt 9.0 St. Petersborg paradokset. De store tals lov & viderchacer I grudboges kapitel 9 omtales de store tals lov, som ka formuleres således: Hvis e spiller i

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden.

Længde [cm] Der er frit vandspejle i sandkassen. Herudover er sandkassen åben i højden cm i venstresiden og 0-20 cm i højresiden. Vadtrasportmodel Formål For beregig af vadtrasporte i sadkasse er der lavet e boksmodel. Formålet med boksmodelle er at beskrive vadtrasporte i sadkasse. Herover er formålet at bestemme de hydrauliske

Læs mere

9. Binomialfordelingen

9. Binomialfordelingen 9. Biomialfordelige 9.. Gekedelse Hvert forsøg ka ku resultere i to mulige udfald; succes og fiasko. I modsætig til poissofordelige er atallet af forsøg edeligt. 9.. Model X : Stokastisk variabel, der

Læs mere

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS

Trygve Haave1mo. (Fore1æs ninger ved Aarhus Universitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. T E O R I INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS Trygve Haave1mo. INDLEDNING TIL STATISTIK.KENS T E O R I (Fore1æs iger ved Aarhus Uiversitet, Efteraarssem.1938) Aarhus 1939. le INDHOLD..._..._... Grudlaget for de teoretiske Statistik. Kollektiv og ~a:dsylighed.

Læs mere

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik

Bachelorprojekt for BSc-graden i matematik D E T N A T U R V I D E N S K A B E L I G E F A K U L T E T K Ø B E N H A V N S U N I V E R S I T E T Bachelorprojekt for BSc-grade i matematik Mikkel Abrahamse & Sue Precht Reeh Ekstremal grafteori Vejleder:

Læs mere

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010

Finitisme og Konstruktivisme. 22. November 2010 Fiitisme og Kostruktivisme 22. November 2010 Frktler Hilbert Mdelbrot Feigebum Lorez Lorez-Ligigere σ = 10 β = 8/3 ρ =28 Logistisk vækst x -> rx(1-x) Mdelbrots frktl z -> P c (z) = z 2 +c 0-> P c (0) ->P

Læs mere

Matematik 6, Esben Kehlet Noter til Matematik 6

Matematik 6, Esben Kehlet Noter til Matematik 6 Matematik 6, 1962 63 Esbe Kehlet Noter til Matematik 6 Fuktioalaalyse Mat. 6, 1962-63 K Idholdsfortegelse I II III IV v VI Itegratio 1 Afsluttet begræset iterval 2 Åbet iterval Forskellige forberedelser

Læs mere

Kvantitative metoder 2

Kvantitative metoder 2 Dages program Kvatitative metoder De multiple regressiosmodel 6. februar 007 Emet for dee forelæsig er de multiple regressiosmodel (Wooldridge kap 3.- 3.+appedix E.) Defiitio og motivatio Fortolkig af

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Udtrykkelige mængder og Cantorrækker

Udtrykkelige mængder og Cantorrækker Udtrykkelige mægder og Catorrækker Expressible sets ad Cator series Matematisk speciale Simo Bruo Aderse 20303870 Vejleder: Simo Kristese Istitut for Matematik Aarhus Uiversitet 208 Abstract This thesis

Læs mere

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren

Kvantemekanik 4 Side 1 af 11 Energi og tid. Hamiltonoperatoren Kvateekaik 4 Side 1 af 11 ergi og tid Hailtooperatore Af KM3 fregik det, at ehver observabel er repræseteret ved e operator, f.eks. jf. udtryk (3.1) og (3.). Ispireret af det klassiske udtryk for kietisk

Læs mere

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f

GEOMETRI-TØ, UGE 6. . x 1 x 1. = x 1 x 2. x 2. k f GEOMETRI-TØ, UGE 6 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1 Lad f : R 2 R være tre gange kontinuert differentierbar

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. lager. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor lager området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros

Branchevejledning. ulykker indenfor. godschauffør. området. Branchearbejdsmiljørådet for transport og engros Brachevejledig ulykker idefor godschauffør området Brachearbejdsmiljørådet for trasport og egros Baggrud Udersøgelser på lager- og trasportområdet har vist, at beskrivelse af hædelsesforløbet ved udfyldelse

Læs mere

Notater til Analyse 1

Notater til Analyse 1 Alyse 1 Jørge Vesterstrøm Forår 2004 Notter til Alyse 1 Idhold Forord 1 1. Om dobbeltsummer 1 2. Eksistes f e ikke målelig mægde 2 3. Bevis for e del f Prop. 3.15 3 4. Riem-itegrlet og trppefuktioer 4

Læs mere

Sandsynlighedsregning i biologi

Sandsynlighedsregning i biologi Om begrebet sadsylighed Sadsylighedsregig i biologi Hvis vi kaster e almidelig, symmetrisk terig, er det klart for de fleste af os, hvad vi meer, år vi siger, at sadsylighede for at få e femmer er 1/6.

Læs mere