Technicolor ved LHC. Mads T. Frandsen

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Technicolor ved LHC. Mads T. Frandsen"

Transkript

1 Technicolor ved LHC Af er ph.d.-studerende ved Niels Bohr Institutet og High Energy Physics Center, Syddansk Universitet. nbi. dk Resumé I denne artikel vil jeg beskrive Technicolor som en mulig forklaring på mekanismen bag det elektrosvage symmetribrud i det tidlige univers. Det store LHC projekt ved CERN er netop bygget til at afdække denne mekanisme i løbet af de kommende år og til at be- eller afkræfte hvorvidt Technicolor eller en anden udvidelse af Standard Modellen, som f.eks Supersymmetri, ligger bag. En del af mit PhD projekt består netop i at undersøge hvor godt LHC vil kunne observere nogle bestemte Technicolor teorier der er udviklet her på Niels Bohr Institutet for få år siden og som nu undersøges intensivt flere steder i verden. Jeg viser tilsidst nogle af de første resultater fra denne undersøgelse. 1 Introduktion Det enorme LHC eksperiment ved CERN er bygget til at afsløre hvad der skete i et af historiens mest skelsættende øjeblikke, da universet undergik den såkaldte elektrosvage faseovergang og det elektrosvage symmetribrud fandt sted, ca sekunder efter Big Bang. Som vi forstår det idag var alle elementarpartiklerne masseløse før denne faseovergang. Da universet havde udvidet sig tilpas meget og den typiske energi i partikel kollisoner var nede omkring 1 TeV, altså ca sekunder efter Big Bang, gennemgik universet denne faseovergang til en ny fase hvor 7

2 Technicolor ved LHC Gamma 151 den elektrosvage symmetri var brudt og W og Z bosonerne var blevet massive. Hvis Standard Modellen er korrekt og Higgs partiklen stod bag faseovergangen var det også her at de andre massive elementarpartikler vi kender dvs alle fermionerne, quarkerne, elektronerne osv., fik deres masse. Hvis alle partikler i stedet var forblevet masseløse under universets udvidelse, hvis der altså ikke havde forekommet en sådan pludselig faseovergang, ville universet idag have været at sammenligne med en enorm diffus gas. Og i særdeleshed ville vi ikke have været her! Det er derfor en bogstaveligt talt skelsættende begivenhed som LHC vil forsøge at afdække. I denne artikel vil jeg beskrive, hvordan Standard Modellen og Higgs partiklen ikke rigtig giver en forklaring på, men nærmere en parametrisering af, den elektrosvage faseovergang. I stedet for vil jeg beskrive Technicolor som en mulig teori bag den elektrosvage faseovergang. Standard Modellen I et foregående nr. af Gamma beskrev jeg kort og hektisk Standard Modellen, Higgs mekanismen og Higgs partiklen. Her gentager jeg kort den beskrivelse. Standard modellen er en SU(3) c SU() W U(1) Y (.1) gauge teori hvor SU(3) c gauge teorien beskriver den stærke kernekraft der virker på quarkerne via de 8 kraftbærende gauge bosoner, kaldet gluonerne. SU() W U(1) Y gauge teorien beskriver den elektrosvage kernekraft via 3+1 kraftbærende gauge bosoner kaldet Weak og Hypercharge (!). De sidste to gauge symmetrier har vi imidlertid ikke direkte bevis for. De var kun symmetrier i den tidlige fase af universet før det elektrosvage symmetribrud. I den brudte fase som vi befinder os i idag, er denne del af gauge symmetrien brudt til det vi kender som elektromagnetisme SU() W U(1) Y U(1) EM, (.) hvor U(1) EM er den ubrudte gauge symmetri der beskriver elektromagnetisme. I universets nuværende fase er der altså i virkeligheden kun 8+1 8

3 Gamma 151 masseløse gauge bosoner, gluonerne og fotonen, mens de resterende 3 gauge bosoner fra det tidlige univers blev massive under faseovergangen, det er dem vi kalder W og Z bosonerne. Hvad der lå bag denne elektrosvage faseovergang er som nævnt et af de helt store ubesvarede spørgsmål i Standard Modellen; ubesvaret fordi denne faseovergang i Standard Modellen udelukkende er en partikels fortjeneste, Higgs partiklen, og vi har indtil nu ikke fundet noget bevis for dens eksistens. Umiddelbart er det ikke det eneste problem, for den måde hvorpå en evt. Higgs partikel ville forklare det elektrosvage symmetribrud er både mangelfuld og problematisk: 1) Higgs partiklen er en skalar elementarpartikel og ingen andre elementarpartikler har vist sig at være skalare partikler indtil nu - Det er lidt af et pseudo-argument, men det er stadig tankevækkende givet hvor mange forskellige elementarpartikler vi kender. ) Standard Modellen med Higgs partiklen er en (teknisk) unaturlig teori pga. hierarki problemet: Kvantefluktuationer vil tilsyneladende drive Higgs partiklens masse unaturligt stor, på en måde der synes at gøre teorien inkonsistent i sidste ende. 3) Ingen førende pop/rock artister støtter Higgs partiklen. Der er flere problemer som vi ikke behøver at komme ind på her. 3 Technicolor Hvis vi antager at Higgs partiklen virkelig ikke findes og det i stedet er en Technicolor teori der ligger bag det elektrosvage symmetribrud har vi ikke de ovennævnte problemer. 1) Technicolor involverer kun nye fermioner hvis egenskaber ikke er væsensforskellige fra de quarker vi allerede kender i naturen. ) Technicolor er teknisk naturlig og uden et hierarkiproblem pr. konstruktion fordi Technicolor er en ren gauge teori som altid er naturlig. Det vil vi vende tilbage til. 3) Coldplay støtter Technicolor! (For den stærkest mulige suggestive effekt af denne artikel anbefales det at afspille Life in Technicolor under læsningen.) For at anskueliggøre ideen i Technicolor er vi nødt til at genkalde et par egenskaber af QCD sektoren, dvs SU(3) c delen af Standard Modellen 9

4 Technicolor ved LHC Gamma 151 for sig selv og derefter Higgs-sektoren. 3.1 QCD sektoren Der er to relaterede egenskaber fra QCD vi er nødt til at beskrive for at kunne forstå Technicolor: Confinement og chiralt symmetribrud. Se også Kim Splittorffs artikel i Gamma 18. Isoleret fra resten af Standard Modellen er QCD beskrevet af en meget simpel Lagrange funktion bestående af fermioner (quarker) og gauge bosoner (gluoner). L = 1 4 F µνf µν + iū L γ µ D µ u L + iū R γ µ D µ u R + i d L γ µ D µ d L + i d R γ µ D µ d R F µν = µ A ν ν A µ + ig c [A µ, A ν ], D µ u L = µ u L + ig c A µ u L. (3.1) u L og u R er Weyl fermioner der tilsammen udgør u quarken og tilsvarende for de andre quarker, jeg har kun medtaget u og d quarkerne her. L(eft) og R(ight) referer til helicitet der er relateret til spin, spin op og spin ned. F µν er feltstyrke tensoren og A µ er potential feltet for gluonerne i analogi med potentialet i elektromagnetisme. g c er en koblingskonstant der bestemmer styrken af vekselvirkningen mellem gluonerne og quarkerne. I virkeligheden er g c (t) en funktion af energiskalaen t for en given vekselvirkning. Det viser sig at g c (t) < 1 ved høje energier, og g c (t) > 1 ved lave energier. Derfor gælder der at g c (t) 1 ved en bestemt energi som eksperimentelt kan bestemmes til Λ QCD 00MeV. Her bryder perturbationsteori baseret på den ovenstående Lagrange funktion sammen 1. Det er i overensstemmelse med eksperimenter fordi vi ikke observerer frie quarker, men derimod pioner og andre mesoner som protoner og neutroner ved lave energier. Via gluonerne er quarkerne bundet i disse tilstande ved lave energier dvs ca E < 1GeV. Dette fænomen er også en faseovergang og kaldes confinement faseovergangen fra en deconfined fase bestående af quarker og gluoner ved høje energier til en confined 1 Men det betyder ikke at Lagrangen ikke længere beskriver fysikken korrekt, man må blot anvende perturbative metoder... 10

5 Gamma 151 fase bestående af pioner og andre bundne tilstande ved lave energier. En meget simplificeret analogi kunne være når vand køles ned og molekylestrukturen ved tilpas lav temperatur bliver confined i en bestemt gitterstruktur også kendt som is. Pionerne, π +, π, π 0 som består af u og d quarker er bemærkelsesværdigt meget lettere end andre bundne tilstande som protonerne og neutronerne i den confined fase pga. en meget vigtig underliggende symmetri. QCD Lagrange funktionen har en SU() L SU() R symmetri, kaldet chiral symmetri, mellem u og d quarkerne. u L,R er jo blot komplekse (Grassman) tal (funktioner af rumtiden) så hvis vi skriver Lagrange funktionen L = 1 4 F µνf µν ) + i (ū L dl γ µ D µ u L d L + i ) (ū R dr γ µ D µ ses det at Lagrange funktionen er invariant under rotationerne u R, d R (3.) u L d L g L u L, d L (ū L dl ) (ū L dl ) g L (3.3) Bar symbolet i ū er dybest set bare kompleks konjugering, g L SU() L er en SU() matrice (L og R er blot symboler der viser at vi kan foretage rotationer med to vilkårlige separate SU() matricer) som kendt fra kvantemekanik og tilsvarende med R felterne. I confinement fasen hvor quarkerne er bundne er også den chirale symmetri brudt til en diagonal undergruppe SU() V af SU() L SU() R. Pionerne er lette fordi de er de partikelexcitationer der svarer til de i alt 3 brudte symmetriretninger, dvs de er såkaldte Goldstone bosoner. Faktisk ville pionerne være præcist masseløse hvis den chirale symmetri var eksakt i den ubrudte deconfined fase. Det har vi påstået den er i QCD set i isolation, men det er den ikke i naturen fordi quarkerne er koblet til resten af Standard Modellen. Men den approksimative chirale symmetri er stadig skyld i at pionerne er lette, ca 10 gange så lette som protonen og neutronen. Ved helt lave energier kan QCD derfor beskrives af en ny Lagrange funktion som består af et matrixfelt af pionerne og en yderligere skalar bunden tilstand (sigma mesonen) og som kender til den chirale symmetri, dvs transformerer under 11

6 Technicolor ved LHC Gamma 151 den chirale symmetri M = 1 (σ + i τ π), M g L Mg R L M = Tr[ µ M µ M] +... (3.4) τ er de tre Pauli matricer. Moralen af den ovenstående smøre er: Gauge teorier som QCD ovenfor har meget vigtige egenskaber: Confinement og chiralt symmetribrud. De genererer dynamisk en faseovergang ved lave energier der bryder den chirale SU() L SU() R symmetri og binder (confinement) fermionerne i bundne tilstande der svarer til pionerne, protonerne osv. i QCD. Det spektakulære er at en sådan gauge teori, i modsætning til vand der fryser til isfasen, er et fundamentalt system uden nogle frie parametre, så faseovergangen er i streng forstand forklaret når den er påvist i sådan en gauge teori i og med teorien. 3. Higgs sektoren Lad os nu betragte Higgs sektoren af Standard Modellen for at forstå hvordan en Technicolor teori lignende QCD vil kunne spille Higgs partiklens rolle bedre end Higgs partiklen selv. Higgs feltet i standard modellen er et komplekst skalart felt som er en doublet under SU() W dvs. i vektor repræsentationen af SU() W. Det har altså 4 frihedsgrader og vi kan beskrive det som en kompleks vektor eller som et x matrix felt H = 1 π + iπ 1 M = 1 (σ + i τ π). (3.5) σ iπ 3 τ er igen de tre Pauli matricer og σ, π 1,..., π 3 er nu de fire frihedsgrader i Higgs feltet, der allerede ligner hvad vi så i ovenstående afsnit. Koblingen af Higgs feltet til den elektrosvage kraft kan beskrives gennem den kovariante afledte D µ M = µ M igw µ M + ig MB µ, W µ = W a µτ a, B µ = B µ τ 3. (3.6) W og B beskriver de 3+1 elektrosvage gauge bosoner og g, g er de elektrosvage koblingskonstanter svarende til g c for QCD. Higgs sektoren af 1

7 Gamma 151 Standard Modellen kan beskrives koncist ved Lagrange funktionen L = Tr[D µ M D µ M] M H 4 Tr[M M] M H 8v Tr[M M], (3.7) hvor M H er Higgs partiklens masse. Den elektrosvage faseovergang kan nu forstås på følgende måde. hvis MH > 0 kan man overbevise sig om at Higgs feltet vil have middelværdien nul i universet som følge af det ovenstående potentiale < M j i >= 0. Dvs både Lagrange funktionen og grundtilstanden, universets vacuum er symmetrisk under den elektrosvage symmetri. Hvis imidlertid MH < 0 er potentialets minimum eller vacuum tilstanden givet ved < M j i >= vδ i j (3.8) hvor værdien af v 50 GeV er relateret til Fermi-konstanten er skalaen for W og Z bosonernes masse. Vacuumet i universet er nu ikke længere tomt men nærmere som om hele universet var blevet magnetiseret i en bestemt retning...det kan man så klø sig lidt i hovedet over hvad det skal betyde! I hvert fald er universets vakuum ikke længere invariant under elektrosvage rotationer. En anden vigtig symmetri af Higgs Lagrange funktionen kaldes Custodial symmetry. I grænsen hvor den elektrosvage kraft er nul, dvs g, g 0 har Higgs Lagrangen en SU() L SU() R global symmetri hvis MH > 0, men den er brudt til den diagonal undergruppe SU() V når MH < 0 (præcis samme mønster som det chirale symmetribrud i QCD!). Denne symmetri er meget vigtig fordi som konsekvens heraf er forholdet mellem W og Z bosonens M W M Z = g g +g masse bestemt, selvom størrelsen ikke er det (den er i stedet bestemt af værdien af v). I virkeligheden er g, g 0 og symmetrien er eksplicit brudt af den elektrosvage vekselvirkning (præcis ligesom den chirale symmetri i QCD i virkeligheden var eksplicit pga koblingen til resten af Standard Modellen!) til SU() L U(1) R som bryder til en diagonal U(1) V når MH < 0, men denne brudte symmetri bestemmer altså alligevel en meget vigtig relation mellem W og Z bosonernes masse. Endnu en lang smøre hvor moralen er: Higgs sektoren har nogle symmetrier og symmetribrud som er meget besnærende lig de symmetrier og symmetribrud vi finder i QCD. I QCD er det confinement faseovergangen og det relaterede chirale symmetribrud som sker dynamisk. I Higgs sektoren er det det elektrosvage symmetribrud som sker fordi Higgs partiklens 13

8 Technicolor ved LHC Gamma 151 masse M H som ændrer sig fra MH > 0 til M H < 0 og et Higgs felt som på mystisk vis gennemtrænger universets vakuum! 3.3 Technicolor Nu gør vi en meget nærliggende observation: Vi så at QCD netop har en SU() L SU() R global symmetry og vi så at QCD selv bryder denne symmetri dynamisk til en diagonal undergruppe SU() V ved lave energier 00 MeV. Vi kan antage at der findes en QCD lignende teori/kraft mere i universet, Technicolor, og at den elektrosvage gauge gruppe er en undergruppe i den globale symmetrigruppe SU() L SU() R af denne teori. Den globale symmetri bryder dynamisk ved lave energier til SU() V og når det sker bryder den electrosvage undergruppe dynamisk også til U(1) EM. W og Z bosonerne vil automatisk få det korrekte masseforhold fra Technipionerne pga den chirale symmetri i denne teori og vi har virkelig forklaret symmetribruddet fordi det fulgte af en egenskab i en fundamental parameterløs teori, Technicolor teorien. Vi skal altså blot antage at den nye Standard Model har en ny Technicolor gauge gruppe, f.eks SU(3) c SU() W U(1) Y SU() T C (3.9) Lagrange funktionen fra den nye Technicolor sektor vil rumme en del der til forveksling ligner Higgs Lagrange funktionen ovenfor, men nu vil vi tænke på π 1,..., π 3 som Technipioner. Higgs partiklen vil være en bunden tilstand af Techniquarker, analogen til den partikel vi i QCD kaldte sigma partiklen. Ideen i Technicolor er altså en simpel og vigtigst af alt dynamisk forklaring på det elektrosvage symetribrud. I modsætning til Higgs forklaringen hvor ingenting forklarer hvorfor Higgs partiklen pludselig får en middelværdi. Det er samtidig en type teori som vi allerede ved naturen benytter sig af i andre tilfælde hvor der er behov for symmetribrud: Det chirale symmetri brud i QCD og også f.eks. Cooper pairing i superledning sker ved en analog type dynamik. 14

9 Gamma Minimal Walking Technicolor og LHC signaler I virkeligheden kræver det lidt arbejde at finde realistiske Technicolor modeller set i lyset af indirekte constraints på Technicolor teorier fra det foregående LEP eksperiment ved CERN og Tevatron eksperimentet ved Fermilab. Jeg undersøger to bestemte Technicolor teorier kaldet (Next to) Minimal Walking Technicolor som blev konstrueret her på NBI [1] Der foregår i øjeblikket meget forskning, bla. ved hjælp af (super-)computer simulationer i USA og Storbritanien, i at forstå disse teorier. En del af denne forskning er opsummeret i et antal præsentationer ved en nylig konference afholdt på Syddansk Universitet []. I denne sidste del af artiklen vil jeg kort beskrive de første LHC resultater for disse teorier [3] baseret på en Lagrange funktion [4] i stil med den skitseret i Eq. (3.4) der beskriver disse teorier ved den energi som er relevant for LHC. Her kan interesserede læsere finde flere detaljer og referencer om modellerne. Pointen er at hvis ikke LHC vil kunne observere signaler fra sådanne teorier så er det ikke særlig frugtbart at spekulere på hvorvidt de kan beskrive det elektrosvage symmetribrud eller ej. Det første skridt er da at undersøge hvorvidt disse teorier overhovedet kan skelnes fra Standard Modellen ved LHC og i næste omgang hvorvidt de kan skelnes fra andre bud på teorien bag det elektrosvage symmetribrud som f.eks. Supersymmetri. Her vil vi kun bekymre os om det første. Den simpleste af de to technicolor teorier forudsiger eksistensen af en Higgs partikel og nogle nye tunge vektor bosoner R 1 ±,0 og R ±,0 der er analoger til W ±, Z vektor bosonerne, men tungere. Disse nye partikler er altså alle sammen bundne tilstande af techni-quarker. Udover de nye partikler er der to vigtige frie parametre: en ny masseskala M A og en ny effektiv kobling mellem de bundne tilstande g. Massen af R 1, er således bestemt af M A mens massen af W ±, Z er bestemt af v præcis som i Standard Modellen. Fig. 3.1 viser hvilke værdier af g og M A som er tilladte (det midterste område) bl.a. i lyset af LEP og Tevatron. F.eks. er det stribede område ikke tilladt, for så skulle signaler fra teorien allerede være set ved Tevatron. Fig. 3. viser massen af R 1, som funktion af g og M A. S er en anden parameter som ikke er fri. Problemet med at observere en teori der ligger ud over Standard Modellen er at i langt de fleste tilfælde, og også her, vil de nye partikler henfalde så hurtigt at de ikke kan observeres direkte ved LHC. Derfor er vi nødt 15

10 Technicolor ved LHC Gamma 151 Figur 3.1: Tilladte værdier af g og M A (Den store indrammede midterste region) og værdier der allerede kan udelukkes (de ydre regioner) af f.eks data fra det tidligere Tevatron eksperiment ( regionen til venstre for den stejle kurve i nederste venstre hjørne) samt det tidligere LEP eksperiment ved CERN (regionen under den fladere kurve i nederste venstre hjørne Mass Spectrum (TeV) R ±,0 Mass Spectrum (TeV) R ±, S=0.3 g = R ± 1, S=0.3 g = R ± 1,0 M A (TeV) M A (TeV) Figur 3.: Masse spektret M R ±,0 som funktion af M A for g = (venstre) og g = 5 1, (hoejre). De fulde linier er for R 1,, ± mens de punkterede linier er for R1,. 0 16

11 Gamma 151 Number of events/0 100 fb -1 S= g = M ll (GeV) Number of events/0 100 fb -1 S= g = M ll (GeV) Figur 3.3: Dilepton invariant mass distribution M ll for pp R1, 0 l + l signal and background processes. We consider g =, 5 respectively and masses M A = 0.5 Tev (purple), M A = 1 Tev (red), M A = 1.5 Tev (green) and M A = Tev (blue). til at identificere nogle processer hvor de nye partikler spiller en indirekte rolle. F.eks vil de nye partikler påvirke produktionen af elektron-positron par i proton-proton kollisionerne ved LHC. Når de to protoner kollidere kan R1, 0 blive produceret af kollisionsenergien og derefter henfalde til et elektron-positron par. Den samme process vil foregå i Standard modellen når en Z partikel produceres og henfalder til et sådant par. I fig. 3.3 viser jeg hvordan produktionen vil se ud i Standard Modellen (grå flade) som funktion af elektron-positron parrets invariante masse og hvordan det vil se ud i Technicolor modellen for 4 forskellige værdier af M A = 0.5, 1, 1.5, TeV og g =, 5. Moralen er at hvis Technicolor modellen er realiseret i naturen vil der være et overskud af producerede elektron-positron par med invariant masse omkring massen af de nye R 1, partikler. Det er de store farvede toppe på figuren. Det kan også ses at dette signal er meget mindre ved højere værdier af koblingen g på den højre figur, men så er der andre processer der vil udvise et tydeligere signal som vist til højre figur 3.4. hvor det ikke er elektron-positron par. Men produktion af elektron-positron par sammen med en muon og muon-neutrino par der plottes. Igen er detaljerne ikke så vigtige men mere moralen: At LHC vil være i stand til at observere disse teorier i langt størstedelen af parameter- 17

12 Technicolor ved LHC Gamma 151 Number of events/0 100 fb S=0.3 g = M T 3l (GeV) Number of events/0 100 fb S=0.3 g = M T 3l (GeV) Figur 3.4: M T 3l mass distribution for pp R± 1, ZW ± 3lν signal and background processes. We consider g =, 5 respectively and masses M A = 0.5 Tev (purple), M A = 1 Tev (red), M A = 1.5 Tev (green) and M A = Tev (blue). rummet, det vil sige de tilladte værdier af parametrene, f.eks massen af R 1, partiklerne. Her er det vigtigt at huske at disse parametre principielt er bestemt af den underliggende Technicolor teori, men vi har desværre ikke idag de fornødne redskaber, udover meget tidskrævende computersimulationer (som er undervejs) til at beregne deres værdi præcist fordi det er et ikke-perturbativt problem. Alligevel er der mange metoder der kan give forskellige estimater af disse parametres værdier, som jeg ikke vil komme ind på her. Men ved at måle placeringen af de toppe set på figurene vil LHC kunne bestemme værdien disse parametre og forhåbentlig bestemme den eksakte underliggende teori. 4 Konklusion Jeg har i denne artikel forsøgt at beskrive hvordan Technicolor teorier giver en naturlig og dynamisk forstaålse af det elektrosvage symmetribrud, i modsaæning til baåe Standard Modellen alene eller f.eks Supersymmetriske versioner af Standard Modellen. Dernæst har jeg meget kort anskueliggjort at disse teorier faktisk kan falsificeres eller verificeres ved LHC. Med LHC s færdiggørelse er vi gået ind i en ekstremt spændende 18

13 Gamma 151 tid, der forhåbentlig vil lede os til at forstå det elektrosvage symmetribrud og dermed massens oprindelse - og Technicolor er igen blevet et meget aktivt forskningsområde. Der er imidlertid stadig meget der mangler i vores teoretiske forståelse af gauge teorier som QCD og Technicolor idag, udover skrible- og grublerier er simulationer og numeriske løsninger af disse teorier i øjeblikket med til at forbedre denne forstålse og det har aldrig før været mere velmotiveret at forsøge at løse disse problemer. Ydermere er de potentielle LHC signaler af disse teorier ikke nær så godt studerede som f.eks. i Supersymmetriske teorier så også her er der nok at tage fat på mens ingeniørerne får lappet LHC! Litteratur [1] F. Sannino and K. Tuominen, Orientifold theory dynamics and symmetry breaking, Phys. Rev. D 71, (005) [arxiv:hep-ph/040509]. [] [3] A. Belyaev, R. Foadi, M. T. Frandsen, M. Jarvinen, A. Pukhov and F. Sannino, arxiv: [hep-ph]. [4] R. Foadi, M. T. Frandsen, T. A. Ryttov and F. Sannino, Minimal Walking Technicolor: Set Up for Collider Physics, Phys. Rev. D 76, (007) [arxiv: [hep-ph]]. [5] R. Foadi, M. T. Frandsen and F. Sannino, Constraining Walking and Custodial Technicolor, Phys. Rev. D 77, (008) [arxiv: [hep-ph]]. 19

FYSIK? JA, HVORFOR FYSIK? JEG HAR TÆNKT OVER DET

FYSIK? JA, HVORFOR FYSIK? JEG HAR TÆNKT OVER DET FYSIK? JA, HVORFOR FYSIK? JEG HAR TÆNKT OVER DET IGEN OG IGEN, LIGE SIDEN JEG SOM 16 ÅRIG FALDT PLA- DASK FOR FYSIK, PARTIKLERNE OG DET STORE UNIV- ERS. IKKE NOK MED, AT JEG KAN HUSKE, HVILKET ÅR JEG FANDT

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Kapitel 6. CERN og partikelfysikken. Af Peter Hansen. CERNs fødsel

Kapitel 6. CERN og partikelfysikken. Af Peter Hansen. CERNs fødsel Kapitel 6 CERN og partikelfysikken Af Peter Hansen CERNs fødsel I 2008 vil den største atomknuser, som verden endnu har set, begynde at kollidere protoner mod hinanden med hver en energi på 7 TeV, dvs.

Læs mere

Rela2vitetsteori (iii)

Rela2vitetsteori (iii) Rela2vitetsteori (iii) Einstein roder rundt med rum og.d Mogens Dam Niels Bohr Ins2tutet Udgangspunktet: Einsteins rela2vitetsprincip Einsteins postulater: 1. Alle iner*alsystemer er ligeværdige for udførelse

Læs mere

Quark Gluon Plasmaet den perfekte væske vi ikke kan forstå

Quark Gluon Plasmaet den perfekte væske vi ikke kan forstå Quark Gluon Plasmaet den perfekte væske vi ikke kan forstå P. Christiansen (Lunds Universitet) 2. september 2014 Resumé Ved Large Hadron Collider på CERN er 1 måned om året afsat til et tungionsprogram

Læs mere

Studieretningsprojekter i machine learning

Studieretningsprojekter i machine learning i machine learning 1 Introduktion Machine learning (ml) er et område indenfor kunstig intelligens, der beskæftiger sig med at konstruere programmer, der kan kan lære fra data. Tanken er at give en computer

Læs mere

Dansk referat. Dansk Referat

Dansk referat. Dansk Referat Dansk referat Stjerner fødes når store skyer af støv og gas begynder at trække sig sammen som resultat af deres egen tyngdekraft (øverste venstre panel af Fig. 6.7). Denne sammentrækning fører til dannelsen

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393.

Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Broer, skak og netværk Side 1 af 6 Broer, skak og netværk Carsten Thomassen: Naturens Verden 10, 1992, s. 388-393. Eksempler på praktiske anvendelser af matematik og nogle uløste problemer Indledning Figur

Læs mere

Kvant 2. Notesamling....Of doom!

Kvant 2. Notesamling....Of doom! Kvant 2 Notesamling...Of doom! Indhold 1 To-partikelsystemer 1 2 Brint 1 3 Perturbation 2 3.1 Udartet perturbationsteori...................... 3 3.2 Zeeman-effekt............................. 4 3.3 Tidsafhængig

Læs mere

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang.

Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Den tekniske platform Af redaktionen Computeren repræsenterer en teknologi, som er tæt knyttet til den naturvidenskabelige tilgang. Teknologisk udvikling går således hånd i hånd med videnskabelig udvikling.

Læs mere

I dagligdagen kender I alle røntgenstråler fra skadestuen eller tandlægen.

I dagligdagen kender I alle røntgenstråler fra skadestuen eller tandlægen. GAMMA Gammastråling minder om røntgenstråling men har kortere bølgelængde, der ligger i intervallet 10-11 m til 10-16 m. Gammastråling kender vi fra jorden, når der sker henfald af radioaktive stoffer

Læs mere

Universet bliver mørkere og mørkere

Universet bliver mørkere og mørkere Universet bliver mørkere og mørkere Af Signe Riemer-Sørensen, School of Physics and Mathematics, University of Queensland og Tamara Davis, School of Physics and Mathematics, University of Queensland samt

Læs mere

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb

Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Projekt 7.4 Kvadratisk programmering anvendt til optimering af elektriske kredsløb Indledning: I B-bogen har vi i studieretningskapitlet i B-bogen om matematik-fsik set på parallelkoblinger af resistanser

Læs mere

Brug af Vegas Pro farve anvendelsesområder

Brug af Vegas Pro farve anvendelsesområder Brug af Vegas Pro farve anvendelsesområder Gary Rebholz Vegas Pro software med fire sofistikerede video anvendelsesområder, som du kan bruge til at analysere din video og få indblik i farvekorrektion filtrering,

Læs mere

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision

Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Lys på (kvante-)spring: fra paradox til præcision Metrologidag, 18. maj, 2015, Industriens Hus Lys og Bohrs atomteori, 1913 Kvantemekanikken, 1925-26 Tilfældigheder, usikkerhedsprincippet Kampen mellem

Læs mere

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter

1. Kræfter. 2. Gravitationskræfter 1 M1 Isaac Newton 1. Kræfter Vi vil starte med at se på kræfter. Vi ved fra vores hverdag, at der i mange daglige situationer optræder kræfter. Skal man fx. cykle op ad en bakke, bliver man nødt til at

Læs mere

Projektopgave Observationer af stjerneskælv

Projektopgave Observationer af stjerneskælv Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der

Læs mere

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2...

Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... Introduktion til kvantemekanik Indhold En statistisk beskrivelse... 3 Bølgefunktionen... 4 Eksempel... 4 Opgave 1... 5 Tidsafhængig og tidsuafhængig... 5 Opgave 2... 6 Hvordan må bølgefunktionen se ud...

Læs mere

SDU og DR. Sådan virker en atombombe... men hvorfor er den så kraftig? + + Atom-model: - -

SDU og DR. Sådan virker en atombombe... men hvorfor er den så kraftig? + + Atom-model: - - SDU og DR Sådan virker en atombombe... men hvorfor er den så kraftig? Atom-model: - - - + + - + + + + + - - - Hvad er et atom? Alt omkring dig er bygget op af atomer. Alligevel kan du ikke se et enkelt

Læs mere

Telefonservicemåling for Landsskatteretten Navneopkaldsmåling

Telefonservicemåling for Landsskatteretten Navneopkaldsmåling Afrapportering af: Telefonservicemåling for Landsskatteretten Navneopkaldsmåling November 2009 Side 1 Indholdsfortegnelse: Ledelsesresumé 3 Facts om målingen og begrebsdefinitioner 6 Brug af smileys 6

Læs mere

Stokastiske processer og køteori

Stokastiske processer og køteori Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering

Læs mere

Ordliste. Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter

Ordliste. Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter Ordliste Teknisk håndbog om magnetfelter og elektriske felter Afladning Atom B-felt Dielektrika Dipol Dosimeter E-felt Eksponering Elektricitetsmængde Elektrisk elementarladning Elektrisk felt Elektrisk

Læs mere

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit

Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Matematik Geometriske konstruktioner: Ovaler og det gyldne snit Ole Witt-Hansen, Køge Gymnasium Ovaler og det gyldne snit har fundet anvendelse i arkitektur og udsmykning siden oldtiden. Men hvordan konstruerer

Læs mere

Hvilke ord 'trigger' dine kunder?

Hvilke ord 'trigger' dine kunder? Hvilke ord 'trigger' dine kunder? Af Rikke Moos, Webskribenten Du kender talemåden: vælg dine ord med omhu. Et fornuftigt råd, der er værd at følge, hvis du vil undgå at blive misforstået af andre. Men

Læs mere

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori

Cresta Asah Fysik rapport 16 oktober 2005. Einsteins relativitetsteori Einsteins relativitetsteori 1 Formål Formålet med denne rapport er at få større kendskab til Einstein og hans indflydelse og bidrag til fysikken. Dette indebærer at forstå den specielle relativitetsteori

Læs mere

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde

Spilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der

Læs mere

Eksponeringskompensation

Eksponeringskompensation Eksponeringskompensation EC = Exposure Compensation Eksponeringskompensation; måles altid i EV-steps. Bruges når man ønsker at ændre kameraets automatiske eksponering, således at man gerne vil have det

Læs mere

Lean Production: Virker det og kan virkningen måles

Lean Production: Virker det og kan virkningen måles Lean Production: Virker det og kan virkningen måles Lean er det seneste skud på stammen af ledelsesteknikker. En række private og offentlige virksomheder er begejstrede gået i krig med at indføre Lean.

Læs mere

Om at forstå ting, der er vanskelige at forstå

Om at forstå ting, der er vanskelige at forstå Om at forstå ting, der er vanskelige at forstå (under udgivelse i Døvblindenyt (Dk), aprilnummeret) Flemming Ask Larsen 2004, kognitiv semiotiker MA, rådgiver ved Skådalen Kompetansesenter, Oslo. e-mail:

Læs mere

Domænerne og den systemiske teori

Domænerne og den systemiske teori Domænerne og den systemiske teori Upubliceret artikel af Kit Sanne Nielsen og Sune Bjørn Larsen Juli 2005 I denne artikel vil vi gøre et forsøg på at gennemgå teorien om domænerne og den systemiske teoris

Læs mere

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer:

Fig. 1 En bue på en cirkel I Geogebra er der adskillige værktøjer til at konstruere cirkler og buer: Euclidean Eggs Freyja Hreinsdóttir, University of Iceland 1 Introduction Ved hjælp af et computerprogram som GeoGebra er det nemt at lave geometriske konstruktioner. Specielt er der gode værktøjer til

Læs mere

Fysik A - B Aarhus Tech. Niels Junge. Bølgelærer

Fysik A - B Aarhus Tech. Niels Junge. Bølgelærer Fysik A - B Aarhus Tech Niels Junge Bølgelærer 1 Table of Contents Bølger...3 Overblik...3 Harmoniske bølger kendetegnes ved sinus form samt følgende sammenhæng...4 Udbredelseshastighed...5 Begrebet lydstyrke...6

Læs mere

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET

MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET MODUL 3 OG 4: UDFORSKNING AF RUMMET Hubble Space Telescope International Space Station MODUL 3 - ET SPEKTRALT FINGERAFTRYK EM-STRÅLINGS EGENSKABER Elektromagnetisk stråling kan betragtes som bølger og

Læs mere

Om at finde bedste rette linie med Excel

Om at finde bedste rette linie med Excel Om at finde bedste rette linie med Excel Det er en vigtig og interessant opgave at beskrive fænomener i naturen eller i samfundet matematisk. Dels for at få en forståelse af sammenhængende indenfor det

Læs mere

Vores logaritmiske sanser

Vores logaritmiske sanser 1 Biomat I: Biologiske eksempler Vores logaritmiske sanser Magnus Wahlberg og Meike Linnenschmidt, Fjord&Bælt og SDU Mandag 6 december kl 14-16, U26 Hvad er logaritmer? Hvis y = a x så er x = log a y Nogle

Læs mere

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet

Fra Støv til Liv. Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Fra Støv til Liv Af Lektor Anja C. Andersen Dark Cosmology Center, Niels Bohr Institutet, Københavns Universitet Observationer af universet peger på, at det er i konstant forandring. Alle galakserne fjerner

Læs mere

Et tidsmikroskop. - oplev verden på et nanosekund. Når man kigger på verden, opdager man noget

Et tidsmikroskop. - oplev verden på et nanosekund. Når man kigger på verden, opdager man noget 14 TEMA: TRE TIGERSPRING FOR MATERIALEFORSKNINGEN Hvis man skal forstå forskellen på en glas og en væske er det ikke nok at vide, hvordan atomerne sidder placeret, man skal også vide hvordan de bevæger

Læs mere

Programmering C Eksamensprojekt. Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen

Programmering C Eksamensprojekt. Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen Programmering C Eksamensprojekt Lavet af Suayb Köse & Nikolaj Egholk Jakobsen Indledning Analyse Læring er en svær størrelse. Der er hele tiden fokus fra politikerne på, hvordan de danske skoleelever kan

Læs mere

Team Optimering. Ledergrupper og teams på alle niveauer

Team Optimering. Ledergrupper og teams på alle niveauer Team Optimering Ledergrupper og teams på alle niveauer Teamoptimering hvordan kommer dit team til at præstere på topniveau. Uddannelsen handler om at optimere et team til at yde det bedste, skabe bevidsthed

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta! Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller

Komplekse tal. x 2 = 1 (2) eller Komplekse tal En tilegnelse af stoffet i dette appendix kræver at man løser opgaverne Komplekse tal viser sig uhyre nyttige i fysikken, f.eks til løsning af lineære differentialligninger eller beskrivelse

Læs mere

Kul, olie, gas og CO2

Kul, olie, gas og CO2 Kul, olie, gas og CO2 Prisudvikling i lyset af den finansielle krise Henrik Gaarn Christensen Senior Portfolio Manager Energy Markets Dong Energy Brændslernes udvikling siden 27 5 1 15 2 25 jan-7 mar-7

Læs mere

Et bachelorprojekt om roterende vand

Et bachelorprojekt om roterende vand Et heldigt tilfælde Niels Bohr Institute University of Copenhagen 9 November 2007 Oversigt 1 1 1 2 Tilfældighed Efteråret 2004 Kryptering med kaotiske kredsløb Sandriller Mogens Høgh Jensen, NBI Clive

Læs mere

Upload af billeder til hjemmesiden m.m.

Upload af billeder til hjemmesiden m.m. Upload af billeder til hjemmesiden m.m. Fremgangsmåde VVS-inst.dk Upload af billeder m.m., Side 1 Så går vi i gang Åben Firefox browseren Gå ind på denne adresse, for at komme til hjemmeside programmet.

Læs mere

FRAKTALER. Hans Fogedby Institut for fysik og astronomi

FRAKTALER. Hans Fogedby Institut for fysik og astronomi FRAKTALER Hans Fogedby Institut for fysik og astronomi OVERSIGT Hvad er en fraktal Lidt historie Fraktaler i matematikken Den fraktale dimension Fraktaler i fysikken Fraktaler i biologien Fraktaler som

Læs mere

På jagt efter motivationen

På jagt efter motivationen På jagt efter motivationen Handlekraftig selvoverskridelse i meningsfuldhedens tjeneste Af Jakob Skov, Villa Venire A/S april 2011 Motivationsbegrebet fylder til stadighed mere i dagens virksomheder og

Læs mere

Honey og Munfords læringsstile med udgangspunkt i Kolbs læringsteori

Honey og Munfords læringsstile med udgangspunkt i Kolbs læringsteori Honey og Munfords læringsstile med udgangspunkt i Kolbs læringsteori Læringscyklus Kolbs model tager udgangspunkt i, at vi lærer af de erfaringer, vi gør os. Erfaringen er altså udgangspunktet, for det

Læs mere

Helhedssyn og det tværfaglige arbejde. Oplæg ved Morten Ejrnæs, lektor Ålborg Universitet

Helhedssyn og det tværfaglige arbejde. Oplæg ved Morten Ejrnæs, lektor Ålborg Universitet tværfaglige arbejde. Oplæg ved Morten Ejrnæs, lektor Ålborg Universitet Integrationsfaggruppen inviterer til konference og generalforsamling 22. marts 2010. Den tværfaglige integrationsindsats Overvejelser

Læs mere

DET GODE MØDE. 2010 Mike Hohnen

DET GODE MØDE. 2010 Mike Hohnen DET GODE MØDE 2010 Mike Hohnen Det gode møde 2010 Mike Hohnen Der bruges mange ressourcer på møder 1 i ordets bredeste fortand. Fra daglige driftsmøder til kæmpestore kongresser med op til flere hundrede

Læs mere

Komplekse tal og Kaos

Komplekse tal og Kaos Komplekse tal og Kaos Jon Sporring Datalogisk Institut ved Københavns Universitet Universitetsparken 1, 2100 København Ø August, 2006 1 Forord Denne opgave er tiltænkt gymnasiestuderende med matematik

Læs mere

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen

Programmering. Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Programmering Det rent og skært nødvendige, det elementært nødvendige! Morten Dam Jørgensen Oversigt Undervisningen Hvad er programmering Hvordan er et program organiseret? Programmering og fysik Nobelprisen

Læs mere

Lærer Asger Spangsberg Christensen

Lærer Asger Spangsberg Christensen Undervisningsbeskrivelse (kan hentes som pdf via dette link): Termin Sommer 2015 Institution Horsens HF & VUC Uddannelse Hfe Fag og Fysik B (stx-bekendtgørelse) niveau Lærer Asger Spangsberg Christensen

Læs mere

Playmakeruddannelsen et bud på uddannelse af fremtidens kommunale medarbejdere. lea@viauc.dk

Playmakeruddannelsen et bud på uddannelse af fremtidens kommunale medarbejdere. lea@viauc.dk I Playmakeruddannelsen et bud på uddannelse af fremtidens kommunale medarbejdere Dogmeudfordring Styring Medborgerskabelse Viden der virker Ledelse og engagement Mål og resultater Tillid og ansvar Innovation

Læs mere

Guide til lektielæsning

Guide til lektielæsning Guide til lektielæsning Gefions lærere har udarbejdet denne guide om lektielæsning. Den henvender sig til alle Gefions elever og er relevant for alle fag. Faglig læsning (=lektielæsning) 5- trinsmodellen

Læs mere

Korsedderkoppens hjulspind

Korsedderkoppens hjulspind Korsedderkoppens hjulspind Korsedderkoppen (Araneus diadematus) er uden tvivl én af vores lettest genkendelige arter. Dens størrelse og det hvide korsformede mønster på bagkroppen gør en artsbestemmelse

Læs mere

Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme

Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme Individer er ikke selv ansvarlige for deres livsstilssygdomme Baggrunden Både i akademisk litteratur og i offentligheden bliver spørgsmål om eget ansvar for sundhed stadig mere diskuteret. I takt med,

Læs mere

Tillæg til partikelfysik

Tillæg til partikelfysik Tillæg til partikelfysik Erik Vestergaard Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 015 Forsidebillede er fra CERN s Photo Service og viser CMS detektoren hos CERN. CMS står for Compact

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 19. marts 2015 Dias 1/22 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted

Mini SRP. Afkøling. Klasse 2.4. Navn: Jacob Pihlkjær Hjortshøj, Jonatan Geysner Hvidberg og Kevin Høst Husted Mini SRP Afkøling Klasse 2.4 Navn: Jacob Pihlkjær Lærere: Jørn Christian Bendtsen og Karl G Bjarnason Roskilde Tekniske Gymnasium SO Matematik A og Informations teknologi B Dato 31/3/2014 Forord Under

Læs mere

Indledning. Søren Mønsted: Visionsfilm som projektmål 24. november 2004. Side 1

Indledning. Søren Mønsted: Visionsfilm som projektmål 24. november 2004. Side 1 Indledning Alle projekter har et mål. Hvad enten det drejer sig om et personligt projekt om at holde op med at ryge, projektet med at bygge en bro eller projektet med at arrangere en havefest for hele

Læs mere

Hvorfor guld er det ædleste metal et studie med tæthedsfunktionalteori

Hvorfor guld er det ædleste metal et studie med tæthedsfunktionalteori Hvorfor guld er det ædleste metal et studie med tæthedsfunktionalteori Af Lasse B. Vilhelmsen og Anton M.H. Rasmussen, Institut for Fysik og Astronomi, Aarhus Universitet De fleste er klar over, at guld

Læs mere

Rygning på arbejdspladsen

Rygning på arbejdspladsen Rygning på arbejdspladsen Ledernes Hovedorganisation August 2005 Sammenfatning Undersøgelsen viser, at der er sket et dramatisk skifte i rygepolitikken på danske arbejdspladser. Det viser denne spørgeskemaundersøgelse

Læs mere

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF

Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Tips og vejledning vedrørende den tredelte prøve i AT, Nakskov Gymnasium og HF Den afsluttende prøve i AT består af tre dele, synopsen, det mundtlige elevoplæg og dialogen med eksaminator og censor. De

Læs mere

# '#%!! ' '!" "',.) '+ /0. ( ) ()1&&2. Side 2 af 59

# '#%!! ' '! ',.) '+ /0. ( ) ()1&&2. Side 2 af 59 !"# #%& # #%!!!" ()! ) ( (*+,*- ( )+( ",.) + /0. ( ) ()1&&2 Side 2 af 59 1. COMPLIANCE I HISTORISK PERSPEKTIV... 5 2. DEFINITIONER OG BEGREBER... 7 2.1. COMPLIANCE... 7 2.2. COMPLIANCE VS. CONCORDANCE

Læs mere

Invarianter. 1 Paritet. Indhold

Invarianter. 1 Paritet. Indhold Invarianter En invariant er en størrelse der ikke ændrer sig, selv om situationen ændrer sig. I nogle kombinatorikopgaver hvor man skal undersøge hvilke situationer der er mulige, er det ofte en god idé

Læs mere

Indhold. Dansk forord... 7

Indhold. Dansk forord... 7 Indhold Dansk forord........................................... 7 Kapitel 1: Hvad er positiv motivation?...................... 13 Kapitel 2: Forståelse af motivationens hvorfor og hvad : introduktion til

Læs mere

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i.

Tænk på a og b som to n 1 matricer. a 1 a 2 a n. For hvert i = 1,..., n har vi y i = x i β + u i. Repetition af vektor-regning Økonometri: Lektion 3 Matrix-formulering Fordelingsantagelse Hypotesetest Antag vi har to n-dimensionelle (søjle)vektorer a 1 b 1 a 2 a =. og b = b 2. a n b n Tænk på a og

Læs mere

How to do in rows and columns 8

How to do in rows and columns 8 INTRODUKTION TIL REGNEARK Denne artikel handler generelt om, hvad regneark egentlig er, og hvordan det bruges på et principielt plan. Indholdet bør derfor kunne anvendes uden hensyn til, hvilken version

Læs mere

Martin Geisler. Uge 49, 2001

Martin Geisler. Uge 49, 2001 Min dintprog-browser Martin Geisler Uge 49, 2001 Resumé Dette dokument beskriver tankerne bag min dintprog-browser, en browser skrevet i Java der skal kunne fortolke en mindre delmængde af HTML 4, kaldet

Læs mere

Vejledning - Udarbejdelse af gevinstdiagram

Vejledning - Udarbejdelse af gevinstdiagram Vejledning - Udarbejdelse af gevinstdiagram Januar 2014 INDHOLD 1. INDLEDNING... 1 1.1 FORMÅL... 1 1.2 VEJLEDNINGENS SAMMENHÆNG MED DEN FÆLLESSTATSLIGE IT-PROJEKTMODEL... 1 1.3 GEVINSTDIAGRAMMET... 2 1.4

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning.

Når enderne af en kobbertråd forbindes til en strømforsyning, bevæger elektronerne i kobbertråden sig (fortrinsvis) i samme retning. E2 Elektrodynamik 1. Strømstyrke Det meste af vores moderne teknologi bygger på virkningerne af elektriske ladninger, som bevæger sig. Elektriske ladninger i bevægelse kalder vi elektrisk strøm. Når enderne

Læs mere

Arbejde med Vegas Pro digital skiltnings værktøjer

Arbejde med Vegas Pro digital skiltnings værktøjer Arbejde med Vegas Pro digital skiltnings værktøjer Gary Rebholz Disse dage, digital skiltning er overalt. Utvivlsomt du har set det, selvom du måske ikke har identificeret, hvad du oplevede som digital

Læs mere

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse

Forberedelse. Forberedelse. Forberedelse Formidlingsopgave AT er i høj grad en formidlingsopgave. I mange tilfælde vil du vide mere om emnet end din lærer og din censor. Dæng dem til med fakta. Det betyder at du skal formidle den viden som du

Læs mere

IZAK9 lærervejledning

IZAK9 lærervejledning IZAK9 lærervejledning Immersive learning by Copyright Qubizm Ltd. 2014 1 Indholdsfortegnelse Introduktion... 3 Øvelser og organisering... 3 Hvordan er opgaverne udformet?... 4 Opgaveguide Videofilm på

Læs mere

Hubble relationen Øvelsesvejledning

Hubble relationen Øvelsesvejledning Hubble relationen Øvelsesvejledning Matematik/fysik samarbejde Henning Fisker Langkjer Til øvelsen benyttes en computer med CLEA-programmet Hubble Redshift Distance Relation. Galakserne i Universet bevæger

Læs mere

Unity Guide 1 CONTENTS

Unity Guide 1 CONTENTS Unity Guide 1 CONTENTS Unity interface... 2 Components... 4 Materials... 7 Scripts opbygning... 8 Terrain... 8 Animations... 9 Particle system... 11 Audio... 11 Sprites... 12 GUI... 14 UNITY INTERFACE

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet

Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen. Syddansk Universitet * Trafikmodellering* Claus Michelsen & Jan Alexis Nielsen Syddansk Universitet * Inspireret af Swetz, F. & Hartzler, J. S. (eds) 1991, Yellow Traffic Lights, in Mathematical Modeling in the Secondary School

Læs mere

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0

Hypotesetest. Altså vores formodning eller påstand om tingens tilstand. Alternativ hypotese (hvis vores påstand er forkert) H a : 0 Hypotesetest Hypotesetest generelt Ingredienserne i en hypotesetest: Statistisk model, f.eks. X 1,,X n uafhængige fra bestemt fordeling. Parameter med estimat. Nulhypotese, f.eks. at antager en bestemt

Læs mere

Partiklers energitab ved passage gennem stof

Partiklers energitab ved passage gennem stof Partiklers energitab ved passage gennem stof Skrevet af Heidi Lundgaard Sørensen, Shuhab Hussain, Martin Spangenberg og Rastin Matin. Vejleder: Lektor Hans Bøggild. Afleveringsdato: 31. marts 2008. Resumé

Læs mere

Undervisningsbeskrivelse

Undervisningsbeskrivelse Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin maj-juni 15 Institution VUC Thy-Mors Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold stx Fysik niveau B Knud Søgaard

Læs mere

1 Start samtalen med pigerne idag! EnRigtigMand.dk. Alle rettigheder forbeholdes

1 Start samtalen med pigerne idag! EnRigtigMand.dk. Alle rettigheder forbeholdes 1 Start samtalen med pigerne idag! Start samtalen en kort introduktion Denne bog er skrevet med ét formål. Formålet er at give dig de redskaber der skal til, for at møde mennesker. Hverken mere eller mindre.

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Tale er sølv og tavshed er guld eller er det omvendt?

Tale er sølv og tavshed er guld eller er det omvendt? Tale er sølv og tavshed er guld eller er det omvendt? Af seniorkonsulent hos Wilke, Søren Pedersen (sp@wilke.dk) Amerikansk forskning viser, at Word of Mouth er en af de potentielt stærkeste markedsføringsparametre,

Læs mere

Hold kontakten med dit netværk!

Hold kontakten med dit netværk! Hold kontakten med dit netværk! - Outlook er dit netværksprogram Outlook er mere end blot et mailprogram Du kan bruge Outlook til meget mere end blot at sende og modtage mails med. Eksempelvis, så er Outlook

Læs mere

Vejledning for LOF s afdelingshjemmeside - redigeret i Umbraco

Vejledning for LOF s afdelingshjemmeside - redigeret i Umbraco Vejledning for LOF s afdelingshjemmeside - redigeret i Umbraco Adresse: http://dinafdeling.lof.dk/ Rediger hjemmeside i Umbraco: http://dinafdeling.lof.dk/umbraco/ HUSK ingen www i adressen, skriv blot

Læs mere

Liv i Universet. Anja C. Andersen, Nordisk Institut for Teoretisk Fysik (NORDITA)

Liv i Universet. Anja C. Andersen, Nordisk Institut for Teoretisk Fysik (NORDITA) Liv i Universet Anja C. Andersen, Nordisk Institut for Teoretisk Fysik (NORDITA) Er der liv andre steder i universet end her på Jorden? Det er et af de store spørgsmål, som menneskeheden har stillet sig

Læs mere

Vejledning - Udarbejdelse af gevinstdiagram

Vejledning - Udarbejdelse af gevinstdiagram Vejledning - Udarbejdelse af gevinstdiagram Maj 2015 INDHOLD 1. INDLEDNING... 1 1.1 FORMÅL... 1 1.2 VEJLEDNINGENS SAMMENHÆNG MED DEN FÆLLESSTATSLIGE IT-PROJEKTMODEL... 1 1.3 GEVINSTDIAGRAMMET... 2 1.4

Læs mere

Kan man måle ensomhed? CFK Folkesundhed og Kvalitetsudvikling & Institut for Psykologi, Syddansk Universitet. Kan man måle ensomhed?

Kan man måle ensomhed? CFK Folkesundhed og Kvalitetsudvikling & Institut for Psykologi, Syddansk Universitet. Kan man måle ensomhed? Kan man måle ensomhed? Mathias Lasgaard Lektor, ph.d. CFK Folkesundhed og Kvalitetsudvikling & Institut for Psykologi, Syddansk Universitet www.regionmidtjylland.dk Kan man måle ensomhed? Ja Ensomhed man

Læs mere

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter

Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Oktober 2012 Vejledende opgaver i kernestofområdet i fysik-a Elektriske og magnetiske felter Da læreplanen for fysik på A-niveau i stx blev revideret i 2010, blev kernestoffet udvidet med emnet Elektriske

Læs mere

Artikel trykt i Controlleren. Gengivelse af denne artikel eller dele heraf er ikke tilladt ifølge dansk lov om ophavsret.

Artikel trykt i Controlleren. Gengivelse af denne artikel eller dele heraf er ikke tilladt ifølge dansk lov om ophavsret. Controlleren Artikel trykt i Controlleren. Gengivelse af denne artikel eller dele heraf er ikke tilladt ifølge dansk lov om ophavsret. Børsen Ledelseshåndbøger er Danmarks største og stærkeste videns-

Læs mere

Hvad bør en option koste?

Hvad bør en option koste? Det Naturvidenskabelige Fakultet Rolf Poulsen rolf@math.ku.dk Institut for Matematiske Fag 9. oktober 2012 Dias 1/19 Reklame først: Matematik-økonomi-uddannelsen Økonomi på et solidt matematisk/statistisk

Læs mere

Introduktion til EXCEL med øvelser

Introduktion til EXCEL med øvelser Side 1 af 10 Introduktion til EXCEL med øvelser Du kender en almindelig regnemaskine, som kan være til stort hjælp, når man skal beregne resultater med store tal. Et regneark er en anden form for regnemaskine,

Læs mere

Temaopgave i statistik for

Temaopgave i statistik for Temaopgave i statistik for matematik B og A Indhold Opgave 1. Kast med 12 terninger 20 gange i praksis... 3 Opgave 2. Kast med 12 terninger teoretisk... 4 Opgave 3. Kast med 12 terninger 20 gange simulering...

Læs mere

Pay-per-view Fremtidens TV?

Pay-per-view Fremtidens TV? Pay-per-view Fremtidens TV? Claus Thustrup Kreiner, Lektor ved Økonomisk Institut, Københavns Universitet Søren Kyhl Finansiel konsulent og ph.d. studerende ved Økonomisk Institut, Københavns Universitet

Læs mere

Matematik i AT (til elever)

Matematik i AT (til elever) 1 Matematik i AT (til elever) Matematik i AT (til elever) INDHOLD 1. MATEMATIK I AT 2 2. METODER I MATEMATIK OG MATEMATIKKENS VIDENSKABSTEORI 2 3. AFSLUTTENDE AT-EKSAMEN 3 4. SYNOPSIS MED MATEMATIK 4 5.

Læs mere

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010

Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Introduktion til MatLab Matematisk Modellering af Dynamiske Modeller ved Kasper Bjering Jensen, RUC, februar 2010 Computere er uvurderlige redskaber for personer der ønsker at arbejde med matematiske modeller

Læs mere