MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 29. august 2017 Oversigt nr. 1

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 29. august 2017 Oversigt nr. 1"

Transkript

1 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 9. august 017 Oversigt nr. 1 Lærebøgerne for kurset er [SA] Sheldon Axler, Linear algebra done right, 3. udgave, Springer 015. [AJ] Matrix factorizations, af Arne Jensen, Aalborg University, August 016. [Un] Notesæt om unitære or ortogonale operatorer og matricer. Sidstnævnte kan tilgås som en PDF-fil på kursets moodle-side. Tentativ lektionsplan Uge Dato Seance Emner (Opdateret pér /11) 36 5/9 1 kapitel 1: Vektorrum. Underrum. Direkte sum. 37 1/9 kapitel : Linearkombinationer og spæn. Lineær (u)afhængighed. Frembringersæt. Basis og dimension. Koordinater /9 3 kapitel 3.A 3.C: Lineære afbildninger. Nulrum og billeder. Dimensionssætningen. Matricer for lineære afbildninger. /9 4 kapitel 3.D: Inverterbarhed. Isomorfe vektorrum. kapitel 5.A: Invariante underrum: Egenværdier og egenvektorer. 39 6/9 5 kapitel 5.B: Egenværdier øvre trekantsmatricer. kapitel 5.C: Egenrum diagonalisering. 9/9 6 kapitel 6: Indre produkt rum. 40 3/ C: Ortogonalt komplement, ortogonal projektion. Minimering. 44 6/10 1. selvstudium: Polynomier i lineær algebra (kapitel 4). 41 Miniprojekt: Vektorrum af polynomier. 43 4/10 8 kapitel 10.A: Basis- og Koordinatskifte. kapitel 10.B(uddrag): Determinanter af matricer. Permutationer. 7/10 9 kapitel 7.A: Adjungeret operator. Normale operatorer /10 10 kapitel 7.B: Spektralsætningen. Ortogonal diagonalisering. /11. selvstudium: Kvadratrødder af matricer og operatorer. 3/11 11 kapitel 7.C: Positive operatorer. Isometrier. Unitære opr./ matricer. [AJ]: Faktorisering af matricer. 45 6/11 3. selvstudium: LU-faktorisering af matricer. 10/11 1 [AJ] afsnit 5: Singulær værdi dekomposition (SVD) /11 13 Afrunding af SVD. 47 1/11 4. selvstudium: Fuld SVD og anvendelser af SVD. 4/11 14 [AJ] afsnit 3: Cholesky faktorisering. Afrunding af kurset. Som supplerende litteratur kan jeg pege på: I. Lankham, B. Nachtergaele og A. Schilling, Linear algebra as an introduction to abstract mathematics, Lecture notes for MAT67, University of California Davis, update January, 016. Gilbert Strang: Linear algebra and its applications, Thomson Brooks/Cole, 006. I den første af disse er fremstillingen relativt tæt på tankegangen hos [SA]. 1

2 Hjemmeforberedelse til 1. gang. Læs først kapitel 1.A B i [SA] som en optakt, og sammenlign hvad der står om de komplekse tal C med hvad du lærte på 1. år. Prøv også at finde de 8 basale regneregler for vektorer i R n i din bog fra første studieår. Forsøg dernæst at læse om emnerne i afsnittene 1.A 1.C i [SA] sæt gerne en streg i margin ud for de ting du går i stå ved. (Nærlæsning færdiggøres efter forelæsningen). Første gang, tirsdag den 5. september kl Først mødes vi til forelæsning kl i auditorium 5.034, hvor jeg begynder med et par ord om organiseringen af kurset. Dernæst tager vi fat på stoffet, hvoraf jeg stiler mod at nå hele kapitel 1 (med vægt på det der er nyt i sammenligning med første studieår). Regneøvelserne bliver: Vektorrum: Bestem først x + y og (3 + i) x når vektorerne er givet i C 3 som x = 1 i, 1 y = 1 + i 1 + i 4 i Med sædvanlig addition og skalarmultiplikation, afgør om {(x, 0) x R} er et vektorrum over R. Er {(x, 1) x R}? Hvordan så med mængden {(x, 0) x R, x 0}? Eller {(x, ) x R, x 0}? Modsat vektor: Er det korrekt at ( v) = v? Nulreglen: Nulreglen udsiger at a v = 0 a = 0 eller v = 0. Find først det eller de steder i [SA], som giver den ene implikation. Bevis dernæst den omvendte implikation. NB: Retfærdiggør hvert argument ved at henvise til axiomerne for vektorrum på side 1. Underrum: Afgør om de følgende delmængder af C 3 er underrum: { (z 1, z, z 3 ) C 3 z 1 + z + 3z 3 = 0 } { (z 1, z, z 3 ) C 3 z 1 + z + 3z 3 = 4 } { (z 1, z, z 3 ) C 3 z 1 z z 3 = 0 } { (z 1, z, z 3 ) C 3 z 1 = 5z 3 } Sum af underrum: Antag at U er et underrum af V. Hvad er da definitionen af U + U? Er udsagnet U + U = U sandt eller falsk? Hjemmeopfølgning. Nærlæs de gennemgåede afsnit 1.B 1.C i detaljer brug papir og blyant til at kontrollere udregningerne/levere de manglende udregninger! Regn dernæst resten af opgaverne ovenfor.

3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 5. september 017 Oversigt nr. I bør nu nærlæse hele kapitel 1 hjemme. Og dernæst forsøge at regne nedenstående opgaver til. kursusgang: Hvis I kan det, vil det være fint(!), og hvis ikke, så vil I være klar til at bede om hjælp til dem straks fra øvelsernes begyndelse!. gang, tirsdag den 1. september kl Ved dagens forelæsninger vil vi stile mod at nå igennem kapitel iht. programmet. Vi vil gå kortfattet gennem.a, så repeter hjemmefra begreber fra 1. år som linearkombination spænd af vektorer, span(v 1, v,..., v k ) lineær (u)afhængighed. Dagens øvelser vedrører: Vektorrum: Regn 1.B.3 og 1.B.4 til at belyse axiomerne for vektorrum i Eventuelt opgave 1.B.5* (for de nørdede). Eksempler: Afgør om {( ) } a a+b a+b a a, b R udstyret med sædvanlig addition og multiplikation med tal af -matricer udgør et vektorrum over R. Fortsæt med at vise at V = {(x 1, x, x 3 ) R 3 x 1 7x + 3x 3 = 0} udgør et reelt vektorrum. (Vink: Hvad er den smarte indfaldsvinkel?) Underrum: Regn 1.C.3, 1.C.4, 1.C.5, 1.C.6, 1.C.9. Modeksempel: Gennemsku opgave 1.C.7 og fortsæt med 1.C.8. Direkte summer: Lav 1.C.0 og 1.C.1. Eventuelt 1.C.4*. Bevis-opgaver: Regn opgaverne 1.C.10, 1.C.19 og 1.C.3. 3

4 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 1. september 017 Oversigt nr. 3 Idag nåede vi til og med halvdelen af side 40 i [SA] plus side 44 om dimension. Forslag: Nærlæs selv beviset for.9 Criterion for basis. Luk bogen. Formuler.9 med papir og blyant og nedskriv selv et bevis for.9 på dansk. NB. Tallene a 1,..., a n i formel.30 kaldes v s koordinater mht. basen (v 1,..., v m ). 3. gang, tirsdag den 19. september. Vi gør først kapitel.b og.c færdigt. Dernæst gennemgår vi mest muligt af kapitel 3.A 3.C, som i nogen grad bør se velkendt ud. Men til forskel fra 1. år, hvor der blev lagt stor vægt på matricer, så vil vi nu fokusere på lineære afbildninger, da disse udgør det mere fundamentale begreb. Læg f.eks. mærke til at matricerne først kommer i afsnit 3.C. Som opgaver tager vi disse (hvor nem = kort svar findes ): Underrum (nemme): Med C(I, C) betegnes mængden af komplekse funktioner f : I C, der er kontinuerte (I R et interval). Godtgør at C(I, C) er et underrum af C I er C(I, R) også et vektorrum? Lineær (u)afhængighed: For hvilke tal λ R er sættet (( λ 1 lineært afhængigt i R 3? 1 ), ( 1 ) λ, 1 ( 1 ) 1 ) λ Og for hvilke λ er sættet (sin x, cos(x), λ) lineært afhængigt i C(R, R)? Regn så.a.7. (Nem: Opskriv en lineær relation mellem vektorerne, og... ) Fortsæt med.a.8 og.a.11 (brug en sætning). Evt..A.5*. ( ) ( ) ( 11 1 ) Basis: Vis at v 1 =, v =, v 3 = 1 udgør et lineært uafhængigt sæt i R 3 (brug gerne rækkeoperationer). Godtgør så at (v 1, v, v 3 ) endda er en basis for R 3. Find koordinaterne for w = (1,, 5) mht. denne basis. Dimension: Bestem dimensionen ( ) ( af) C 3 (nem). ( Eftervis at C 3 er frembragt af i0 ii ii ) vektorerne v 1 =, v =, v 3 = (nem). 0 Bevis eller modbevis: (v 1, v, v 3 ) udgør en basis for C 3. 0 Udtynding til basis: Vis at (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 1, ) og (1, 0, 1) udgør et frembringersæt for R 3. Udtynd dernæst sættet til en basis for R 3 ved at bruge metoden fra beviset for Udtyndingssætningen.31. Uendeligdimensionale rum: Lav.A.15. Fortsæt evt. med.a.14*; og.a.16*. Bevis-opgaver: Regn.A.1. Gå videre med.a

5 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 19. september 017 Oversigt nr. 4 Sidste gang nåede vi til og med side 6. Dog må I selv læse beviset for Hjemmeforberedelse: Læs resten af kapitel grundigt igennem, check detaljerne med papir og blyant. Regn dernæst følgende (uden at kigge i kapitel ): Sandt/falsk: Bevis eller modbevis følgende for det reelle vektorrum V = R 4 : (a) dim V = 4. (b) span((1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1) = V. (c) Sættet ((1, 1, 0, 0), (0, 1, 1, 0), (0, 0, 1, 1), ( 1, 0, 0, 1)) er lineært uafhængigt i V. (d) Ethvert sæt (v 1,..., v 4 ) af fire vektorer i V sådan at span(v 1,..., v 4 ) = V er lineært uafhængigt. (e) For hvert par v 1, v af llineært uafhængige vektorer i V eksisterer der vektorer u og w i V sådan at (v 1, v, u, w) er en basis for V. Læs dernæst kapitel 3 frem til side 6 check detaljerne med papir og blyant. 4. gang, fredag den. september. Først gennemgår vi resten af kapitel 3.B og 3.C 3.D, dog lidt summarisk i 3.C, da noget vil være tæt på et gensyn fra basis. Dernæst tager vi hul på kapitel 5.A om egenværdier mm. (dog ikke kvotient operatorer på side 137). Ved øvelserne ser vi på følgende emner: Supplering til basis: Lav først.c.1 med afsæt i.6. Gå videre til.b.3; ad (c): inddrag.34. Hvad er dim U? Lav så.b.4. Prøv også.c.4 om P(F), og angiv dimensionen af U. (Vink: Gæt en basis med 4 vektorer for U, og brug.c.1 til at bevise at du har gættet rigtigt.) Grassmanns dimensionsformel: Brug formlen i.43 til at regne.c.1. Lav dernæst.c.13. Linearitet: Vis at man som alternativ definition af linearitet kunne bruge formuleringen: T : V W er lineær hvis der for alle u, v V og λ, µ F gælder at T (λu + µv) = λt u + µt v. Udled at T S er lineær, når S : U V og T : V W begge er lineære afbildninger. Find stedet hvor dette står i [SA]! Regn så opgave 3.A.1 (nem). Dernæst 3.A.3 (brug en basis). null og range: Gennemsku 3.B.! Bevis-opgaver: Lav først.c.15 (nem). Fortsæt med.c.16*. 5

6 LINEÆR ALGEBRA M. ANV.. september 017 Oversigt nr. 5 Vi nåede idag at færdiggøre til og med afsnit 3.D i [SA] om isomorfe vektorrum. Læs selv beviset for (b) = (c) i hovedsætningen 3.9 indse at dagens opgave opgave.c.1 benyttes stiltiende! Nærstuder også hvordan (vores bevis for) 3.5 fra sidste gang bruges både i 3.59 og gang, tirsdag den 6. september. Vi begynder med at gennemgå kapitel 5.A om egenværdier og -vektorer samt egenrum for lineære operatorer (endomorfier). Repeter disse begreber inden forelæsningen. Da afsnit 5.B er noget tungt, bedes I også se nærmere på side 147, 150, 15 om øvre trekantsmatricer (hvad er det? hvorfor har de interesse?). Dernæst fortsætter vi i 5.C og diagonalisering af operatorer. Opgaverne tager vi indenfor emnerne: Linearitet: Regn 3.B.3 (nem). Fortsæt med 3.B Vektorrum: Genkender du rummet C M i tilfældet hvor M = {1,,..., n}? Genkender du også rummet C M, hvis M = {1,,..., m} {1,,..., n}? Forklar hvorfor matrixrummet F m,n er et vektorrum. Inverterbarhed: Hvilken sætning i bogen tillader en at slutte at T 1 eksisterer netop når matricen M(T ) 1 eksisterer? Hvordan ser man dernæst at M(T 1 ) = M(T ) 1? Brug dette til at vise: T L(V, W ) og S L(W, V ) opfylder ST = I hvis og kun hvis T S = I. (NB. dim V = dim W er nødvendigt, se 3.59.) Nulrum: Begynd med 3.B.15. Fortsæt med 3.B.13. Dimensionssætningen: 3.B Matricer: Lad T være den operator på C 3 der er givet ved Find så standard matricen for T. T (x, y, z) = (i y, x + i y + z, (1 + i)z). Betragt så basen ((1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)) for C 3 : Find da matricen M(T ) mht. denne basis. Fortsæt med 3.C. og 3.C.6*. Injektiv/surjektiv/inverterbar: Regn 3.D.1+9 og 3.D.13. Isomorfi: Regn 3.D.14 og 3.D.8*. 6

7 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 6. september 017 Oversigt nr. 6 Idag fik vi gennemgået kapitel 5.A og 5.B samt definitionen af egenrum i 5.C. På opfordring kommer her et løsningforslag til bevis-opgaven 3.D.14. Dette er for at I kan se et eksempel på hvordan det kan gøres. Forslaget er, at I først stopper læsningen af disse linier og af egen drift prøver at regne 3.D.14. Forslag. I 3.D.14 betragets den lineære afbildning T : V F n, der sender enhver vektor v V over i sin koordinatsøjle mht. en given basis B = (v 1,..., v n ) for V ; dvs. T v = [v] B = [c 1... c n ] T når v = c 1 v c n v n. Afbilningen er lineær, for hvis w = d 1 v d n v n så er v + w = (c 1 + d 1 )v (c n + d n )v n, hvilket viser at T (v+w) = [v+w] B = [c 1 +d 1... c n +d n ] T = [c 1... c n ] T +[d 1... d n ] T = [v] B + [w] B = T v + T w. Tilsvarende ses at T (av) = at v. Hvis T v = 0 så er alle v s koordinater lig nul, men så er v jo nul. Derfor er T injektiv. Givet u F n, så er u = [a 1... a n ] T for visse skalarer a j, og derfor kan vi betragte vektoren v = a 1 v a n v n. Fordi v s koordinater er entydigt bestemte viser dette at [v] B = u, dvs. at T v = u. Dermed er T surjektiv. I alt ses at T er lineær og inverterbar; T er derfor en isomorfi, som ønsket. 6. gang, fredag den 9. september 017. Stoffet til dagens forelæsning bliver først fremmest kapitel 5.C om diagonalisering af operatorer. Siden 6.A+6.B (dog ikke side ) om indre produkter og normer, ortogonalitet mm. Opgaverne til øvelserne: Egenværdier: Begynd med 5.A.30 (den er sød, bliv ikke forvirret). Fortsæt med 5.A.7, 5.A.1, 5.A.13*, 5.A.3*. Egenvektorer: 5.A.9. Invariante underrum: Regn 5.A Inverterbarhed: Regn både 5.B.14 og 5.B.15. Forstå også kommentaren til opgaven! Operatorer indsat i polynomier: Regn 5.B. brug gerne ideen fra beviset for 5.1. Desuden 5.B.5, 5.B.10 og 5.B.11. 7

8 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 9. september 017 Oversigt nr. 7 Idag nåede vi til og med side gang, tirsdag den 3. oktober. Vi fortsætter gennemgangen af kapitel 6 i [SA]. (Eventuelt dele af 10.A, hvis vi når så langt.) Opgaver i emnerne: Diagonalisering: Fibonacci-tallene F n er 1, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, 34, 55,... (kendt f.eks. fra da Vinci mysteriet af Dan Browne). Indse først, at talfølgen (F n ) kan fås ved gentagen anvendelse af T fra opgave 5.C.16 på (0, 1). Regn dernæst 5.C.16 ved at benytte definitioner og sætninger fra [SA]. Tillægsspørgsmål: Er T diagonaliserbar? Følg op* med at vise at Fibonacci-tallene højst overraskende opfylder at F n+1 λ + = for n. F n Vink: Analyser T n (0, 1) via koordinaterne c ± = ±λ ± 5 for v = (0, 1) mht. basen i (c); udnyt at λ λ + < 1 til at vise at λ n + T n (0, 1) 1 5 (1, λ + ). λ + er det gyldne snit, som har været kendt siden oldtiden: Det er forholdet mellem de to kanter x og y i et rektangel, som er naturligt i den forstand at y = x+y ; dvs. at mindste kant, x, forholder sig til den største, som denne x y forholder sig til summen. Indre produkt: Regn 6.A.1+. Udled polariseringsidentiteterne in opgave 6.A (Skal bruges senere i kurset.) Norm: Normer er defineret i opgave 6.A.1. Vis først at udtrykket (x 1, x ) = x 1 + x giver en norm på R. (Denne er af oplagte grunde kendt som Manhattan-normen!). Vis at denne norm ikke opfylder parallellogram identiteten. Regn så 6.A.1*. Ortogonal komplement: Vis påstanden om at U 1 U medfører U U 1. Giv dernæst et bevis for Ortonormale baser: Bestem en ortonormal basis for null T, når T er givet ved den 4 4-matrix hvori alle indgange er lig med 1. 8

9 LINEÆR ALGEBRA M. ANV.. oktober 017 Oversigt nr selvstudium, 6. oktober. Her skal I læse kapitel 4 i [SA] om polynomier: Dette vil danne nyttig baggrundsviden for både regning af opgaver, forståelse af beviser, og ikke mindst miniprojektet i uge 41. Mit forslag er, at I læser side grundigt hjemmefra: Er der noget nyt? Desuden at I læser om emnerne i resten af kapitel 4 inden den 6. oktober. Opgaverne 1 I skal lave er følgende: (1) Nærlæs beviset for sætning 4.7. Midt på side 10 nævnes trekantsuligheden hvor står den og hvordan udnyttes den konkret her? () Lige efter beviset side 10 nævnes et entydighedsresultat skriv dette ud som en sætning med alle detaljer. (Se evt. noter fra tidligere forelæsning.) (3) Nederst side 10: Hvorfor er det veldefineret at tale om graden af et polynomium p(z) = a + a 1 z + + a m z m? (Hvad er problemet?) (4) Check påstanden i boksen side 10 nederst. (Hvorfor kan man ikke bare give nulpolynomiet graden 0?) (5) I sætning 4.8 skal ligningen læses som en division af p med s (som producerer en kvotient q, med r til rest). Overvej det rimelige i den udlægning. (6) Læs beviset for eksistens- og entydighedsudsagnene i 4.8 og nyd hvordan lineær algebra indgår på fornem vis. Bemærk at om produktrum på side 91 9 er nødvendig baggrundsviden (som I også skal læse... ). (7) Læs og forstå 4.11 om rødder. Bevis så at der i 4.11 gælder at deg q deg p 1. (Brug entydighedresultatet fra side 10.) (8) Læs og forstå 4.1 med bevis. Gør især rede for påstanden Clearly...! (9) Læs optakten til og indholdet af Algebraens Fundamentalsætning (Hvis beviset ser flot ud, så vælg Kompleks funktionsteori på 4. semester... ) (10) Nærstuder induktionsbeviset for 4.14 (som også af og til bliver omtalt som Algebraens Fundamentalsætning). I sidste linie bør der nok stå the λ i s henholdvis the τ i s for i. (11) Fortsæt med om faktorisering af reelle polynomier. Eventuelt kan I begynde med 4.16 om andengradspolynomier bemærk hvordan den kendte løsningsformel udnyttes i beviset til at lave faktoriseringen (dette kan I få brug for i opgaverne!) Regn opgaverne (nemme). 9 1 Benjamin har lovet at bistå jer kl. 8-1 via lektiecafeen.

10 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 5. oktober 017 Oversigt nr. 9 Den 8. gang gennemgik vi skift af baser i almene vektorrum og de tilhørende formler for vektorers koordinatskifte og lineære operatorers matrixskifte. I kort form fandt vi ved overgang fra en basis B = (v 1,..., v n ) til en ny basis C = (w 1,..., w n ) for V, at der er en inverterbar basisskifte-matrix S givet ved [v 1 v... v n ] = [w 1 w... w n ]S. (1) Denne matrix S virker så også som koordinatskiftematrix og ved matrixskifte, idet [u] C = S[u] B for alle u V, () [T ] C = S[T ] B S 1 for alle T L(V ). (3) Dernæst gennemgik vi den oprindelige definition af determinanter ved hjælp af permutationer i Definition Defineret således, kan determinanten udregnes ved at udvikle efter en vilkårlig række, eller en vilkårlig søjle (en sætning der ikke findes i [SA]!) og derfor giver alle disse udviklinger samme tal. 3 3-reglen blev udledt som et specialtilfælde. Endelig så vi på eksamensopgave nr. 1 og nr. fra januar gang, fredag den 7. oktober. Her vil vi påbegynde kapitel 7A+B i [SA] om spektralsætningen. Denne store hovedsætning udsiger, at en operator T L(V ) er ortogonalt diagonaliserbar hvis og kun hvis T er normal (dvs. T T = T T ). Geometri: Lav 6.A.31 om Apollonius s identitet (nem). Koordinatskifte: Find matricen A for operatoren D givet ved differentiation i V = P (C), idet A = [D] B og B = (1, z, z ) betegner den naturlige basis for P (C). Find så matricen S, som skifter koordinater til basen C = (z, (z 1), (z ) ). Bestem endelig matricen B = [D] C, enten direkte eller via (3). Bevis at matricen S i (1) nødvendigvis er inverterbar. Udled omvendt, at for enhver inverterbar matrix S er sættet v 1,..., v n ) defineret ved (1) en basis. Ortogonalitet: Antag at V er et indre produkt rum med o.n.b. E = (e 1,..., e n ). Udled da færdige formler for [u] E og [T ] E samt for skiftematricen S i (1) og (3) når (w 1,..., w n ) også er en o.n.b. Regn så 6.C Ortogonal projektion: Regn 6.C.5 og 6.C.8. Determinanter: Brug definitionen til at verificere påstanden i om at matricen har determinant 3. Desuden kan I regne nr. fra februar 017, hvis der er tid til overs. 10

11 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 7. oktober 017 Oversigt nr. 10 Idag gennemgik vi afsnit 7.A, med en afstikker undervejs til 6.4 om repræsentation af funktionaler. Bemærk i øvrigt, at sætning 7.10 kan formuleres præcist som M(T ) = M(T ), idet den adjungerede matrix M(T ) fås ved at transponere og konjugere M(T ). Dette er dog kun rigtigt, når matricerne beregnes med hensyn til en ortonormal basis. Mere præcist, for enhver ortonormal basis E = (e 1,..., e n ) for V, så gælder for alle operatorer T L(V ) med at [T ] E = (a i,j ) i=1,...,n, j=1,...,n ) at [T ] E = [T ] E = (a j,i ) i=1,...,n, j=1,...,n. 10. gang, tirsdag den 31. oktober. Her gennemgår vi kapitel 7.B om den reelle og komplekse spektralsætning. Opgaverne tages i emnerne: Adjungeret operator: Lav først 7.A.1. Brug så definitionen af den adjungerede til at regne 7.A.. Selvadjungerede operatorer: Hvilke af følgende matricer er selvadjungerede? ( ) i i 5 6 i 0 i,, ī 7 1 i i Analyser så om enhver operator T L(V ) opfylder 3 4 i i 6 i +5 9 i +8 1 T = R + i S for R = R, S = S. Normale operatorer: Hvilke af følgende matricer er normale? ( ) i 5 0 i,, ī 7 1 i i 0 7 i 0 0 Ortogonal diagonalisering: Hvilke af de ovenstående matricer er ortogonalt diagonaliserbare? Ortogonal komplement: Regn 7.A.3. Fortsæt med 7.A.4, eventuelt 7.A.5. 11

12 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 1. november 017 Oversigt nr. 11. selvstudium, den. november: Kvadratrødder af Positive Operatorer. Temaet er, at I skal lære at tage kvadratroden af en positiv operator, og at spektralsætningen er et meget bekvemt hjælpemiddel hertil. Allerførst: Når T er en operator på et indre produkt rum V af dimension n N, så siges R L(V ) at være en kvadratrod af T dersom R R = T. (4) I så fald tillader (!) man sig at skrive, at R = T. I det simple tilfælde at V = R ved vi jo godt at t kun er defineret for t 0. Derfor må vi også forvente at få brug for et positivitetsbegreb for operatoren T : Definition En operator T L(V ) kaldes positiv dersom T = T og I så fald skrives T 0. Dagens opgaver er følgende: T v, v 0 for alle v V. (5) (1) Lav først en analyse: Vis at hvis T har en kvadratrod R, som defineret i (4), så gælder nødvendigvis at T = T og at T 0; jvf. (5). () Og så til syntesen: Når V = C n og T v = Av, hvor A n,n betegner T s matrix mht. den naturlige basis, så søger vi R n,n sådan at R R = A. Begynd med tilfældet A = diag(λ 1,..., λ n ) =: D er en diagonalmatrix. Hvad skal der her gælde om tallene λ 1,..., λ n for at D = D og D 0? Kan du for sådanne D bestemme B n,n sådan at B B = D? Vis nu for almene A opfyldende A = A og A 0 at der eksisterer en kvadratrod af A, dvs. R n,n opfyldende R R = A. (Vink: Faktoriser A; husk at S i (3) kan vælges så S = S 1.) (3) Og så det almene tilfælde: Når T = T 0 på V, så findes en operator R på V sådan at R R = T. (Vink: Spektralsætningen og 3.60.) (4) Post festum-analysen: Udled at når R = T, så gælder endda at RR = T (vink: R = R følger af at M(R ) = M(R)). Vis at R 0 kan opnås. (5) Nedvarmning: Verificer at man for F = C kan nøjes med at skrive selve uligheden i Definition 7.31: Det følger da at T = T (vha. polarisering). Gennemregn også 7.3 og 7.34 i [SA]. Ser sidstnævnte ikke mystisk ud? Læs mere om positive operatorer og kvadratrødder på de første 3 sider i afsnit 7.C. NB. Hos Axler er en kvadratod defineret lidt anderledes ved at R = T men det er en ækvivalent definition, jvf og (4) ovenfor. Ved problemer: Spørg i Lektiecafeen eller nabogruppen, evt. næste kursusgang fredag den 3. 1

13 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 1. november 017 Oversigt nr. 1 Forslag til besvarelse. På oversigt nr. 10 skulle man afklare om enhver operator T på et komplekst indre produkt rum V kan skrives på formen T = R + i S for passende valgte selv-adjungerede operatorer R og S på V. Analyse: Formlen medfører at T = (R + i S) = R + īs = R i S pga. reglerne for adjungering. Ved addition ses så at T + T = R, mens subtraktion giver T T = i S. Eneste mulighed er altså R = 1 (T +T ) og S = 1 i (T T ). Syntesen: Indfører vi R og S i L(V ) ved formlerne ovenfor, så er det oplagt T = R + i S, og da regnereglerne for adjungering giver R = R hhv. S = S (verificer!), så har disse valg af R og S de ønskede egenskaber. (NB. I analogi med komplekse tal bruger man også notationen T Re = 1 (T +T ) og T Im = 1 i (T T ).) Sidste gang gennemgik vi afsnit 7.B. Vi fik formuleret og bevist Spektralsætningen 7.4. Den udsiger at T L(V ) er normal (dvs. T T = T T ), netop når T er ortogonalt diagonaliserbar (dvs. at V har en ortonormal basis af egenvektorer for T ). Dog ender beviset for at (c) = (a) noget komprimeret i [SA]. Som sagt, så følger T T = T T af at matrixtilordningen T M(T ) er injektiv som afbildning L(V ) C n,n, hvilket, da den er lineær, følger hvis M(T ) = 0 n,n = T = 0 (som ses let). Desuden fik vi også bevist den reelle spektralsætning 7.9, som udsiger at på komplekse indre produkt rum er ortogonal diagonalisering ensbetydende med at operatoren T er selvadjunderet; T = T. 11. gang, fredag den 3. november. Her ser vi på isometrier i afsnit 7.C, idet vi dog vil erstatte det meste af et lidt uddybende notesæt (se min web-side) om unitære/ortogonal operatorer og matricer. Disse benyttes i praksis når man gennmfører en ortogonal diagonalisering, så det vil vi studere i detaljer. Opgaverne bliver denne gang: Positive operatorer: Vis at S + T 0 når S 0 og T 0 (nem). Siden 7.C.1 og 7.C.6. Selvadjungerede operatorer: Lav 7.A.6 og 7.A.7. Normalitet: Lav ubetinget 7.B.15! Spektralsætningen: Regn først 7.B.4. Lav dernæst 7.B.5. Fortsæt med 7.B.6 og 7.B.7*. 13

14 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 3. november 017 Oversigt nr selvstudium: LU- og LDU-faktorisering af matricer. Emnet er beskrevet i afsnit af notesættet [AJ], som findes på kursets moodleside. Kort sagt skal I få at se, at når man laver rækkeoperationer (på en totalmatrix for et ligningssystem Ax = b), så bestemmer man implicit også en faktorisering af af koefficientmatricen som A = LU, hvorved L er en nedre trekantsmatrix, mens U er en øvre ditto. Dette er ikke bare sjov: Det er også yderst nyttigt, når ligningssystemer løses på en computer. Denne branche kaldes numerisk lineær algebra. Har man brug for at løse lineære ligningssystemer i industriel skala, så anbefales det at bruge en af software pakkerne på markedet. Hensigten for dagens selvstudim er meget enkel: Læs, lær og løs! Afsnit.1: Læs afsnittet og kontroller matrixprodukterne i (.4), (.6) og i linie lige under (.7). Afsnit.: Læs afsnittet og kontroller matrixproduktet midt på side 6. Indse at bemærkningen om gathered øverst side 6 ikke er helt korrekt. Vink: Se på 4 i indgang 3,1. Afsnit.3: Læs afsnittet og kontroller matrixprodukterne i Example.10. Mere LU-faktorisering: Regn opgave.1 og.. Regn også.4 for at se hvordan rækkeombytninger fører til LU-faktorisering af den permuterede matrix P A; jvf. midten af side 8. Lav også P W 3, P W 5 og P W 6. 14

15 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 8. november 017 Oversigt nr gang, fredag den 10. november. Vi gennemgår den såkaldte singulære værdi dekomposition (SVD) i afsnit 5 af notesættet [AJ]. Groft sagt giver SVD svaret på spørgsmålet: Hvad gør man når A ikke er diagonaliserbar? Opgaverne vedrører: Unitære matricer: Vis at at det(u)det(u) = 1 når U n,n er unitær (nem), sådan at det U = e i θ for et θ R, og specielt at det O = ±1, hvis O er ortogonal. Gennemsku at kravene U U = E = UU for unitaritet, se noter, er ensbetydende med at søjlerne i U udgør en o.n.b. for C n og med at rækkerne i U udgør en o.n.b. for C n. (Jvf. (II) (III) (IV) i noterne.) To matricer A, B C n,n kaldes unitært ækvivalente, dersom B = UAU for en unitær matrix U C n,n. Vis at dette er en ækvivalensrelation. ( ) ( ) ( ) Positive operatorer: Undersøg om matricerne,, giver positive operatorer på C. Kvadratrødder: Find kvadratroden R = A af matricen ( ) 6 + i. i 4 Bemærk at R skal have formen U diag(, 8)U for at være positiv. Facit: ( ) A = i. 3 1 i 4 Ortogonal diagonalisering: Diskuter teoretisk om hver af de følgende matricer er unitært ækvivalent med en diagonalmatrix. Faktoriser i så fald A på formen A = UDU : ( ) i i i,, i, i 3 i i 0 i 0. 15

16 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 15. november 017 Oversigt nr. 15 Sidste gang blev der sat tid af til at gennemgå en tidligere eksamensopgave. VI nåede derfor kun til at introducere SVD fra [AJ], at vise den første sætning i afnsit 5, og at formulere sætning gang, fredag den 17. november. Vi gør her afsnit 5 i [AJ] færdigt. Desuden tager vi fat på afsnit 3 om Cholesky faktorisering af matricer. Opgaverne: Unitær: Vis at når matricen U n,n = [u 1 u... u n ] er unitær, så gælder det samme om Ũ = [ei θ u 1 u... u n ]. Er der et tilsvarende resultat for en ortogonal matrix O = [o 1... o n ]? Singulære værdier: Udled vha. sætning 5.8 at der for en operator T L(V ) med singulære værdier s 1, s,..., s n gælder for alle v V at T v (max s j ) v. j Brug definitionen til at finde de singulære værdier for B = SVD: Find både den reducerede og den fulde SVD for ovenstående matrix B. (NB. Pæne tal!) Lad A være matricen for differentiationsoperatoren D på P (C) mht. basen (1, z, z ). Find så både den reducerede og den fulde SVD for A. Facit: A = fundamentale underrum: Beregn først de 4 matricer nævnt side 5 6 i [AJ] for den i opgave 5. givne matrix. Regn 5.1PW. Godtgør dernæst påstanden om de 4 ortogonale projektioner nævnt side

17 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 17. november 017 Oversigt nr. 16 Idag gennemgik vi resten af afsnit 5 i [AJ], dog uden at skrive sætning 5.11 og 5.13 op formelt set. Dette overlades til Selvstudium 4. Beviset for polar dekompositionen A = QS i sætning 5.17 blev givet i alle detaljer. Bemærk at forudsætningen i 5.17 om at A skal være selvadjungeret, som understreget idag, er unødvendig. Pensum. Pensum udgøres af de læste dele af de tre notesæt: I [SA] er det Kapitel 1,, 3.A 3.D, 3.E side 91 9, 4, 5, 6, 7.A 7.C, 10.A til og med side 98, og 10.B side Supplerende notesæt [Un] om unitære operatorer og matricer af 1. november (på mit websted). Afsnit 1 8 i [AJ]. Dog er afsnit 10.B om permutationer og determinanter [SA] kursorisk (dvs. at man skal kende begreber og resultater derfra, men bliver ikke prøvet i betragtningerne (=beviserne) i afsnittet). Desuden er afsnit 7 og 8 i [AJ] kursoriske. 17

18 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 17. november 017 Oversigt nr selvstudium, den 1. november: Reduceret og fuld SVD af matricer. I dagens selvstudium skal I stifte nærmere bekendtskab med den reducerede SVD: A = XΣY, som vi beviste ved dagens forelæsning. Ved at bruge de detaljerede oplysninger i Theorem 5.11 i [AJ] bør I kunne bestemme X, Y og Σ for konkrete matricer A. Desuden er der den fulde SVD: A = X f Σ f Yf, som er beskrevet i afsnit 5.4. Her skal man som sagt (modsat den reducerede SVD) undlade at ignorere visse vektorer i de ortonomale baser det giver så flere indgange i matricerne, især en masse nuller i Σ f. Man kan nok godt have brug for en fremgangsmåde. Den kunne se sådan ud: (i) Beregn A A (eller AA ) og find egenværdierne med λ j > 0; aflæs dernæst r = rang A som antallet af disse egenværdier. (ii) Bestem o.n.b. for V bestående af egenvektorer (v 1, v,..., v n ), for A A, sådan at λ 1 λ r > 0 = = 0. Indsæt i Y = [v 1... v r ]; hhv. i Y f = [v 1... v r... v n ]. (iii) Opskriv de singulære værdier σ j = λ j for λ j > 0 og sæt ind i diagonalmatricen Σ r,r ; suppler med 0-blokke til Σ f R m,n. (iv) Udregn w j = 1 σ j Av j for j {1,..., r} og indsæt i X = [w 1... w r ]; suppler med o.n.b. for null(a ) til X f. (v) Opskriv faktoriseringen A = XΣY, hhv. A = X f Σ f Y f. Dagens opgaver. Mit forslag er at I regner følgende: (1) Prøv først at bruge Theorem 5.11 og 5.13 til at regne detaljerne efter i Example Altså: Hvor kommer matricerne fra i disse faktoriseringer? () Regn opgave 5.1 (facit nedenfor!). Fortsæt evt. med opgave 5.. (3) Mindste kvadraters metode: Læs om hvordan SVD kan bruges her på side 8 9. (4) Læs mere om anvendelserne af SVD i billedkompression i afsnit 8 (fine billeder!) og om teorien bag i afsnit 7 af [AJ]. NB. Det ene facit i opgave 5.1 er TUNGT, nemlig ( ) 1 1 (5+ = 5) ( ) (5+ 5) 5 1 (5 5) (5+ 5) (5 5) 5 1 (5+ 5) 5 1 (5 5) Bemærk at de to yderste er unitære, da de har ortonormale søjler hhv. rækker. Desuden er X = Y fordi A A = AA her. 18.

19 LINEÆR ALGEBRA M. ANV.. november 017 Oversigt nr. 18 Facit:. I opgaven med at udføre SVD på matricen B på oversigt nr. 15 finder man følgende reducerede SVD: B = XΣY = Her kan de første to søjler af X ombyttes, hvis man også ombytter de to første søjler af Y. (Ellers kan man ikke opretholde at w j = 1 σ j Av j.) 14. gang, fredag den 4. november. Her gennemgås hovedpunkter fra afsnit 3 i [AJ]. Fokus vil ligge på indholdet i Proposition 3.7 og Theorem 3.11 om Cholesky faktorisering. Desuden afsnit 3.3 om udregning af Cholesky faktorisering, hvor udgangspunktet er LDU-faktoriseringen i Proposition.7. Desuden gennemregnes nogle eksempler på de gennemgåede matrix faktoriseringer. Vi ser også på følgende opgaver: SVD: Regn opgave 5., hvis du ikke nåede den i 3. selvstudium. Polar dekomposition: Bestem polar dekompositionen A = QS i Theorem 5.17 i [AJ] for matricerne A og B på oversigt nr. 15. Vink: Udnyt at de fulde SVD-faktoriseringer allerede kendes. Positivt definit: Løs opgave 3.1PW. Evt. også 3.1 og 3.3. Vis at for at A m,m har en Cholesky faktorisering (dvs. A = R R for R positivt definit ØT-matrix), så er det en nødvendig betingelse, at A selv er positivt definit. Cholesky: Find Cholesky-faktoriseringen af matricen A fra Example Facit står i Example 3.13 check om det er korrekt! ( ) 1 0 Betragt dernæst matricen A = Godtgør at A er positivt definit; 0 9 ) bestem dernæst Cholesky-faktoriseringen af A. (Facit: R =.) Samme opgave med matricen B = ( ). (

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 23. august 2018 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 23. august 2018 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 3. august 08 Oversigt nr. Lærebøgerne for kurset er [SA] Sheldon Axler, Linear algebra done right, 3. udgave, Springer 05. [AJ] Matrix factorizations, af Arne Jensen, Aalborg University,

Læs mere

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 2. september 2016 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 2. september 2016 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA 2. september 2016 Oversigt nr. 1 Lærebøgerne for kurset er [LNS]Linear algebra as an introduction to abstract mathematics, af I. Lankham, B. Nachtergaele og A. Schilling, Lecture notes for

Læs mere

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar)

Diagonalisering. Definition (diagonaliserbar) 1 Diagonalisering 2 Definition (diagonaliserbar) Lad A være en n n-matrix. A siges at være diagonaliserbar hvis A er similær med en diagonal matrix, dvs. A = PDP 1, hvor D er en n n diagonal matrix og

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Lineær Algebra eksamen, noter

Lineær Algebra eksamen, noter Lineær Algebra eksamen, noter Stig Døssing, 20094584 June 6, 2011 1 Emne 1: Løsninger og least squares - Løsning, ligningssystem RREF (ERO) løsninger Bevis at RREF matrix findes Løsninger til system (0,

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA M. ANV. 4. oktober 2017 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne de små opgaver i afsnittene 1 5 i løbet af de første 4 halve dage. Dernæst tilføjes

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer 1 Egenværdier og egenvektorer 2 Definition Lad A være en n n matrix. En vektor v R n, v 0, kaldes en egenvektor for A, hvis der findes en skalar λ således Av = λv Skalaren λ kaldes en tilhørende egenværdi.

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016

Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 2016 Besvarelser til Lineær Algebra med Anvendelser Ordinær Eksamen 206 Mikkel Findinge http://findinge.com/ Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan.

Læs mere

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier

1 Vektorrum. MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier MATEMATIK 3 LINEÆR ALGEBRA 6. oktober 2016 Miniprojekt: Lineær algebra på polynomier Grupperne forventes at regne en mængde af opgaver, som tilsammen dækker 100 point. De små opgaver giver hver 5 point,

Læs mere

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder

Sylvesters kriterium. Nej, ikke mit kriterium. Sætning 9. Rasmus Sylvester Bryder Sætning 9 Sylvesters kriterium Nej, ikke mit kriterium Rasmus Sylvester Bryder Inspireret af en statistikers manglende råd om hvornår en kvadratisk matrix er positivt definit uden at skulle ud i at bestemme

Læs mere

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra

Tidligere Eksamensopgaver MM505 Lineær Algebra Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet Tidligere Eksamensopgaver MM55 Lineær Algebra Indhold Typisk forside.................. 2 Juni 27.................... 3 Oktober 27..................

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Januar 08 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 2. september 2008 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [AB] K. G. Andersson og L.-C. Böiers:

Læs mere

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2009 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [P] Lawrence Perko: Differential equations

Læs mere

Ølopgaver i lineær algebra

Ølopgaver i lineær algebra Ølopgaver i lineær algebra 30. maj, 2010 En stor del af de fænomener, vi observerer, er af lineær natur. De naturlige matematiske objekter i beskrivelsen heraf bliver vektorrum rum hvor man kan lægge elementer

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 7 Preben Alsholm Efterår 2009 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = [ a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji

Læs mere

9.1 Egenværdier og egenvektorer

9.1 Egenværdier og egenvektorer SEKTION 9.1 EGENVÆRDIER OG EGENVEKTORER 9.1 Egenværdier og egenvektorer Definition 9.1.1 1. Lad V være et F-vektorrum; og lad T : V V være en lineær transformation. λ F er en egenværdi for T, hvis der

Læs mere

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver! LINEÆR ALGEBRA 28. januar 2005 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som

Læs mere

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum

Hilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær eksamen - 6. Juni 2016 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA], 2, 3, [S] 9.-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

6.1 Reelle Indre Produkter

6.1 Reelle Indre Produkter SEKTION 6.1 REELLE INDRE PRODUKTER 6.1 Reelle Indre Produkter Definition 6.1.1 Et indre produkt på et reelt vektorrum V er en funktion, : V V R således at, for alle x, y V, I x, x 0 med lighed x = 0, II

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2018 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 5. Juni 28 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version

Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Det Ingeniør-, Natur- og Sundhedsvidenskabelige basisår Matematik 2A, Forår 2007, Hold 4 Opgave A Kommenteret version Opgaven består af et antal delopgaver Disse er af varierende omfang Der er også en

Læs mere

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6

Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Symmetriske og ortogonale matricer Uge 6 Preben Alsholm Efterår 2010 1 Symmetriske og ortogonale matricer 1.1 Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Skalarprodukt og Cauchy-Schwarz ulighed Det sædvanlige

Læs mere

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer

DesignMat. Preben Alsholm. September Egenværdier og Egenvektorer. Preben Alsholm. Egenværdier og Egenvektorer DesignMat September 2008 fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum over L (enten R eller C). fortsat Eksempel : et Eksempel 4 () af I II uden I Lad V være et vektorrum

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016

Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen August 2016 Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 9. August 26 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

Oversigt [LA] 11, 12, 13

Oversigt [LA] 11, 12, 13 Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

Lineær algebra 1. kursusgang

Lineær algebra 1. kursusgang Lineær algebra 1. kursusgang Eksempel, anvendelse To kendte punkter A og B på en linie, to ukendte punkter x 1 og x 2. A x 1 x 2 B Observationer af afstande: fra A til x 1 : b 1 fra x 1 til x 2 : b 2 fra

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra

Reeksamen i Lineær Algebra Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 8 Dette eksamenssæt består af 9 nummererede sider med afkrydsningsopgaver.

Læs mere

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra

To find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

Teoretiske Øvelsesopgaver:

Teoretiske Øvelsesopgaver: Teoretiske Øvelsesopgaver: TØ-Opgave 1 Subtraktion division i legemer: Er subtraktion division med elementer 0 i legemer veldefinerede, eller kan et element b have mere end ét modsat element -b eller mere

Læs mere

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02)

Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM02) SYDDANSK UNIVERSITET ODENSE UNIVERSITET INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI Skriftlig eksamen Vejledende besvarelse MATEMATIK B (MM2) Fredag d. 2. januar 22 kl. 9. 3. 4 timer med alle sædvanlige skriftlige

Læs mere

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017

Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen Juni 2017 Besvarelser til Lineær Algebra Ordinær Eksamen - 12. Juni 2017 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende

Læs mere

LiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5

LiA 5 Side 0. Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 0 Lineær algebra Kursusgang 5 LiA 5 Side 1 Ved bestemmelse af mindste kvadraters løsning til (store) ligningssystemer vil man gerne anvende en metode der opfylder to krav: antallet af regneoperationer

Læs mere

Lineær Algebra F08, MØ

Lineær Algebra F08, MØ Lineær Algebra F08, MØ Vejledende besvarelser af udvalgte opgaver fra Ugeseddel 3 og 4 Ansvarsfraskrivelse: Den følgende vejledning er kun vejledende. Opgaverne kommer i vilkårlig rækkefølge. Visse steder

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@mathaaudk http://peoplemathaaudk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12 september 2008 1/12 Lineære ligningssystemer Et lineært ligningssystem

Læs mere

Symmetriske matricer

Symmetriske matricer Symmetriske matricer Preben Alsholm 17. november 008 1 Symmetriske matricer 1.1 Definitioner Definitioner En kvadratisk matrix A = a ij kaldes symmetrisk, hvis aij = a ji for alle i og j. Altså hvis A

Læs mere

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering

Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Lineær algebra: Egenværdier, egenvektorer, diagonalisering Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 2011 Egenvektorer og egenværdier Mål: Forståelse af afbildningen x Ax fra R n R n for en n n-matrix

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag den. januar,. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Om første og anden fundamentalform

Om første og anden fundamentalform Geometri, foråret 2005 Jørgen Larsen 9. marts 2005 Om første og anden fundamentalform 1 Tangentrummet; første fundamentalform Vi betragter en flade S parametriseret med σ. Lad P = σu 0, v 0 være et punkt

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion

Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet. [LA] 13 Ortogonal projektion Oversigt [LA] 11, 12, 13 Nøgleord og begreber Ortogonalt komplement Tømrerprincippet Ortogonal projektion Projektion på 1 vektor Projektion på basis Kortest afstand August 2002, opgave 6 Tømrermester Januar

Læs mere

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof

DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof DesignMat Uge 1 Repetition af forårets stof Preben Alsholm Efterår 008 01 Lineært ligningssystem Lineært ligningssystem Et lineært ligningssystem: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1n x n = b 1 a 1 x 1 + a x + +

Læs mere

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3

Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Oversigt [LA] 1, 2, 3, [S] 9.1-3 Nøgleord og begreber Koordinatvektorer, talpar, taltripler og n-tupler Linearkombination Underrum og Span Test linearkombination Lineær uafhængighed Standard vektorer Basis

Læs mere

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2010 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2010 Oversigt nr. 1 LINEÆR ALGEBRA OG DYNAMISKE SYSTEMER 1. september 2010 Oversigt nr. 1 I PE-kurset i skal vi bruge [A] Sheldon Axler: Linear algebra done right, 2nd ed., Springer. [P] Lawrence Perko: Differential equations

Læs mere

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion

Lidt alment om vektorrum et papir som grundlag for diskussion Definition : vektorrum, vektorer Et vektorrum er en mængde af elementer med operationerne sum (+) og numerisk multiplikation (), så følgende regler gælder for alle a, b, c og for alle reelle tal s, t R.

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Reeksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet. februar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling

Forelæsningsnoter til. Lineær Algebra. Niels Vigand Pedersen. Udgivet af. Asmus L. Schmidt. Københavns Universitet Matematisk Afdeling Forelæsningsnoter til Lineær Algebra Niels Vigand Pedersen Udgivet af Asmus L Schmidt Københavns Universitet Matematisk Afdeling August Revideret 9 ii udgave, oktober 9 Forord Gennem en særlig aftale varetages

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Egenværdier og egenvektorer

Egenværdier og egenvektorer enote 9 enote 9 Egenværdier og egenvektorer Denne note indfører begreberne egenværdier og egenvektorer for lineære afbildninger i vilkårlige generelle vektorrum og går derefter i dybden med egenværdier

Læs mere

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1

Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 2005 i Matematik H1 Besvarelse af Eksamensopgaver Juni 5 i Matematik H Opgave De fire vektorer stilles op i en matrix som reduceres: 4 4 4 8 4 4 (a) Der er ledende et-taller så dim U =. Som basis kan f.eks. bruges a a jfr.

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet

Eksamen i Lineær Algebra. Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Tekniske Fakultet for IT og Design samt Det Ingeniør- og Naturvidenskabelige Fakultet 4. januar 9 kl. 9:-: Dette eksamenssæt består af 8 nummererede sider

Læs mere

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen

2. gang. Det bliver den 18. februar, idet jeg er på ferie den 11/2. Med venlig hilsen Jon Johnsen LINEÆR ALGEBRA 31. januar 2003 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003. Udtrykt meget groft gennemgås kapitel 1 3. Som regel

Læs mere

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer

Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer Chapter 4 Modulpakke 3: Lineære Ligningssystemer 4. Homogene systemer I teknikken møder man meget ofte modeller der leder til systemer af koblede differentialligninger. Et eksempel på et sådant system

Læs mere

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra

Module 1: Lineære modeller og lineær algebra Module : Lineære modeller og lineær algebra. Lineære normale modeller og lineær algebra......2 Lineær algebra...................... 6.2. Vektorer i R n................... 6.2.2 Regneregler for vektorrum...........

Læs mere

Lineær Algebra, TØ, hold MA3

Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lineær Algebra, TØ, hold MA3 Lad mig allerførst (igen) bemærke at et vi siger: En matrix, matricen, matricer, matricerne. Og i sammensætninger: matrix- fx matrixmultiplikation. Injektivitet og surjektivitet

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 6. juni, 26. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af nummererede sider med ialt 5 opgaver. Alle opgaver er multiple

Læs mere

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver!

Sandt/falsk-opgave: Diskuter opgave 23 side 12 i gruppen, men husk at begrunde jeres svar, som teksten før opgave 23 kræver! LINEÆR ALGEBRA 30. januar 2004 Oversigt nr. 1 I kurset i skal vi bruge D. C. Lay: Linear algebra and its applications, 3. udgave Addison Wesley 2003; i store træk bliver det kapitel 1 3 og 5.1 5.3. Som

Læs mere

Reeksamen i Lineær Algebra

Reeksamen i Lineær Algebra Reeksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Torsdag den 8. august, 2. Kl. 9-3. Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2

z 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2 M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning

Læs mere

Prøveeksamen A i Lineær Algebra

Prøveeksamen A i Lineær Algebra Prøveeksamen A i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet og Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Der må gøres brug af bøger, noter mv Der må ikke benyttes lommeregner,

Læs mere

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær.

DesignMat Uge 2. Preben Alsholm. Efterår Lineære afbildninger. Preben Alsholm. Lineære afbildninger. Eksempel 2 på lineær. er DesignMat Uge 2 er er lineær lineær lineær lineære er I smatrix lineære er II smatrix I smatrix II Efterår 2010 Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge).

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat

Kursusgang 3 Matrixalgebra fortsat Kursusgang 3 fortsat - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 12. september 2008 1/31 Nødvendige betingelser En nødvendig betingelse

Læs mere

Lineær Algebra - Beviser

Lineær Algebra - Beviser Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner

Læs mere

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl

Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl Oktober 2016 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan måde,

Læs mere

Lineær Algebra, kursusgang

Lineær Algebra, kursusgang Lineær Algebra, 2014 12. kursusgang Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet LinAlg November 2014 Om miniprojekt 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer.

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Tirsdag den 4 januar, 2 Kl 9-3 Nærværende eksamenssæt består af 8 nummererede

Læs mere

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer

Kvadratiske matricer. enote Kvadratiske matricer enote enote Kvadratiske matricer I denne enote undersøges grundlæggende egenskaber ved mængden af kvadratiske matricer herunder indførelse af en invers matrix for visse kvadratiske matricer. Det forudsættes,

Læs mere

Underrum - generaliserede linjer og planer

Underrum - generaliserede linjer og planer 1 Om miniprojekt 2 2 Kirchoffs love. Opstil lineære ligningssystemer og løs dem. 0-1-matricer. Systematisk information om grafer/netværk (som i Dagens anvendelse kursusgang 9): Flyforbindelser. Skemalægning.

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt bestaår af 9 nummererede sider med ialt 15 opgaver.

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt

Symmetriske matricer. enote Skalarprodukt enote 19 1 enote 19 Symmetriske matricer I denne enote vil vi beskæftige os med et af de mest benyttede resultater fra lineær algebra den såkaldte spektralsætning for symmetriske matricer. Den siger kort

Læs mere

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger

DesignMat Uge 11 Lineære afbildninger DesignMat Uge Lineære afbildninger Preben Alsholm Forår 008 Lineære afbildninger. Definition Definition Lad V og W være vektorrum over samme skalarlegeme L (altså enten R eller C for begge). Afbildningen

Læs mere

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet

Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemer - nogle konklusioner efter miniprojektet Ligningssystemet Ax = 0 har mere end en løsning (uendelig mange) hvis og kun hvis nullity(a) 0 Løsningerne til et konsistent ligningssystem Ax

Læs mere

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen

I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen S.&P. DIFFERENTIALLIGNINGER 2. februar 2006 Oversigt nr. 1 I kurset Samhørende og partielle differentialligninger vil vi i foråret 2006 benytte bogen [EP] Elementary differential equations with boundary

Læs mere

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet

Figur. To ligninger i to ubekendte. Definition Ved m lineære ligninger med n ubekendte forstås. Definition 6.4 Givet ligningssystemet Oversigt [LA] 6, 7, 8 Nøgleord og begreber Lineære ligningssystemer smængdens struktur Test løsningsmængde Rækkereduktion Reduceret matrix Test ligningssystem Rækkeoperationsmatricer Rangformlen Enten-eller

Læs mere

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013

LinAlg 2013 Q3. Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 LinAlg 2013 Q3 Tobias Brixen Mark Gottenborg Peder Detlefsen Troels Thorsen Mads Buch 2013 1 Lineær algebra Dispositioner - Dispo 0 2013 Contents 1 Løsninger, og MKL, af lineære ligningssystemer 3 2 Vektorrum

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3

Oversigt [LA] 10, 11; [S] 9.3 Oversigt [LA] 1, 11; [S] 9.3 Nøgleord og begreber Repetition: enhedsvektor og identitetsmatrix Diagonalmatricer Diagonalisering og egenvektorer Matrixpotens August 22, opgave 2 Skalarprodukt Længde Calculus

Læs mere

Matricer og lineære ligningssystemer

Matricer og lineære ligningssystemer Matricer og lineære ligningssystemer Grete Ridder Ebbesen Virum Gymnasium Indhold 1 Matricer 11 Grundlæggende begreber 1 Regning med matricer 3 13 Kvadratiske matricer og determinant 9 14 Invers matrix

Læs mere

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum)

Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet. Forelæsningsnote 8. (NB: Noten er ikke en del af pensum) Københavns Universitet, Det naturvidenskabelige Fakultet Lineær Algebra LinAlg Forelæsningsnote 8 NB: Noten er ikke en del af pensum Eksempel på brug af egenværdier og egenvektorer Måske er det stadig

Læs mere

Lineær algebra Kursusgang 6

Lineær algebra Kursusgang 6 Lineær algebra Kursusgang 6 Mindste kvadraters metode og Cholesky dekomposition Vi ønsker at finde en mindste kvadraters løsning til det (inkonsistente) ligningssystem hvor A er en m n matrix. Ax = b,

Læs mere

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010

2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 1 of 7 31-05-2010 13:18 2010 Matematik 2A hold 4 : Prøveeksamen juni 2010 Welcome Jens Mohr Mortensen [ My Profile ] View Details View Grade Help Quit & Save Feedback: Details Report [PRINT] 2010 Matematik

Læs mere

MATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1

MATEMATIK 4 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 OPR. I HILBERTRUM 6. februar 2001 Oversigt nr. 1 Lærebogen for kurset er [P] Functional analysis in applied mathematics and engineering, CRC Press 1999. Jeg regner med at vi gennemgår kapitel 1 6 med tillæg

Læs mere

Anvendt Lineær Algebra

Anvendt Lineær Algebra Anvendt Lineær Algebra Kursusgang 4 Anita Abildgaard Sillasen Institut for Matematiske Fag AAS (I17) Anvendt Lineær Algebra 1 / 32 Vægtet mindste kvadraters metode For et lineært ligningssystem (af m ligninger

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote 7 enote 7 Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses Der bruges egenværdier og egenvektorer i løsningsproceduren,

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske tekst på bagsiden, hvis du følger den danske version af prøven. Eksamen i Lineær Algebra Første

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Onsdag

Læs mere

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer

Indhold. 5. Vektorrum og matricer Koordinattransformationer Indhold Lineære afbildninger og matricer Talrummene R n, C n Matricer 8 3 Lineære afbildninger 4 Matrix algebra 8 5 Invers matrix 6 6 Transponeret og adjungeret matrix 9 Række- og søjleoperationer Lineære

Læs mere

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6

Polynomier. Indhold. Georg Mohr-Konkurrencen. 1 Polynomier 2. 2 Polynomiumsdivision 4. 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 Indhold 1 Polynomier 2 Polynomier 2 Polynomiumsdivision 4 3 Algebraens fundamentalsætning og rødder 6 4 Koefficienter 8 5 Polynomier med heltallige koefficienter 9 6 Mere om polynomier med heltallige koefficienter

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra

(Prøve)eksamen i Lineær Algebra (Prøve)eksamen i Lineær Algebra Maj 016 Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Nærværende eksamenssæt består af 10 nummererede sider med ialt

Læs mere

Ekstremum for funktion af flere variable

Ekstremum for funktion af flere variable Ekstremum for funktion af flere variable Preben Alsholm 28. april 2008 1 Ekstremum for funktion af flere variable 1.1 Hessematricen I Hessematricen I Et stationært punkt for en funktion af flere variable

Læs mere

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank

LinAlgDat 2014/2015 Google s page rank LinAlgDat 4/5 Google s page rank Resumé Vi viser hvordan lineære ligninger naturligt optræder i forbindelse med en simpel udgave af Google s algoritme for at vise de mest interessante links først i en

Læs mere

Eksamen i Lineær Algebra

Eksamen i Lineær Algebra To find the English version of the exam, please read from the other end Eksamen i Lineær Algebra Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet & Det Sundhedsvidenskabelige Fakultet Fredag

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere