Indhold. 0.1 Beskrivelse af regulatorer
|
|
- Ludvig Per Kjærgaard
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Indhold. Beskrivelse af regulatorer Overføringsfunktion for et reguleringssystem Specifikationer til beskrivelse af systemet Pitchregulering Krav til pitchregulator Valg af regulator Design af regulator Effektregulering af DC-motor Krav til effektregulering af DC-motor Overføringsfunktion for effektregulering af DC-motor Rodkurveundersøgelse Digital implementering af regulatorer Valg af samplefrekvens Diskretisering af overføringsfunktion Simulering Optimering af overføringsfunktion for effektregulering af DC-motor Delkonklusion I dette kapitel gennemgås principperne bag regulering af motorer, der opstilles krav til, og der designes de to regulatorer til henholdsvis pitchregulering af sevomotoren og effektregulering af DC-motoren.. Beskrivelse af regulatorer Regulatoren indgår som en del af et lukket kredsløb, se figur på den følgende side. Regulatoren reagerer på fejlen e s, der er differencen mellem referencesignalet r s og det tilbagekoblede signal. Styresignalet, u s, justeres, så fejlen bliver mindre, og når der ikke er nogen fejl, kører processen stationært. En regulator kan opbygges af et eller flere led afhængig af de krav, der stilles til reguleringen. De enkelte led vil blive beskrevet, derefter opstilles der krav til regulatoren, og der vælges den type regulator, der kan opfylde kravene.
2 INDHOLD G r ( s ) G m ( s ) r( s ) e( s ) + u( s ) c ( s ) Regulator M otor - H ( s ) S en s or Figur : Blokdiagram over regulatorprincip.. Overføringsfunktion for et reguleringssystem Der kan opstilles nedenstående overføringsfunktioner for et reguleringssystem i figur. Åbensløjfe overføringsfunktionen, G ol s, der defineres som produktet af alle overføringsfunktioner rundt i sløjfen: G ol s G r s G m s H s () Lukketsløjfe overføringsfunktionen, G cl s, der er overføringsfunktionen af det samlede lukketsløjfe system fra input, r s, til output, c s, idet T står for de enkelte blokkes overføringsfunktioners tæller, og N for nævner: G cl s c s r s G r s G m s G r s G m s H s T Gr s T Gm s N H s N Gr s N Gm s N H s T Gr s T Gm s T H s (2) Disse overføringsfunktioner anvendes i den efterfølgende dimensionering og design af regulatorne...2 Specifikationer til beskrivelse af systemet Der findes flere forskellige specifikationer, der kan beskrive systemets dynamik, stabilitet og stationære tilstand [?, side 8 - ]. Der anvendes følgende specifikationer til beskrivelse af systemet: Stigetiden, t r, er den tid, det tager for systemet at nå fra % til 9% af den ønskede sluttilstand. Indsvingningstiden, t s, er den tid, det tager systemets transienter at ligge indenfor et bånd omkring den ønskede sluttilstand. Den margin, som systemet må svinge omkring, vælges typisk til enten % 2% eller 5%. Oversvinget, M p, er den maksimale værdi, som systemet overstiger den ønskede sluttilstand. 2
3 .. BESKRIVELSE AF REGULATORER Stationærfejlen, e ss, angiver hvor meget systemet må afvige fra den ønskede sluttilstand. Tidsdomænespecifikationerne til dynamik og stabilitet fremgår af figur Mp +/ 2 % Amplitude.8.6 ts.4.2 tr Tid [s] Figur 2: Definition af t r, t s og M p e ss er et udtryk for lukketsløjfesystemets reguleringsnøjagtighed. Der kan opstilles et udtryk for stationærfejlen for referencesignalet, hvor formel på forrige side anvendes [?, side 23-3]. e ss lim s s c K s M c er ordenen af den inputfunktion, der påtrykkes. c er for et step, for en rampe og 2 for en parabel. K er den statiske sløjfeforstærkning, der fås, når polynomierne i G ol s normeres, så konstantleddene bliver, og M er antallet af integratorer i G ol s. Resultatet af formel 3 kan være, en konstant forskellig fra eller uendeligt. Det ses endvidere, at hvis der ønskes at den stationære fejl er for et step, skal der være mindst én integrator i G ol s. (3) P-, I- og D-regulatorer Den simpleste regulator er en P-regulator, hvor udgangssignalet, u, er proportionalt med indgangssignalet, e, med proportionalitetsfaktoren, k P : Ved Laplace-transformation fås: u k P e U s E s k P 3
4 INDHOLD En P-regulator kan reducere stigetiden og stationærfejlen, men kan forøge oversvinget. For at opfylde de stillede krav kan det være nødvendigt at give P-regulatoren en stor k P -værdi. Dette kan dog medføre, at systemet bliver ustabilt, og der kan stadig forekomme en vis stationær fejl [?, side ]. En måde at forbedre dette på er at tilføje et integrationsled, der integrerer over fejlsignalet, så regulatoren bliver en PI-regulator. Integratoren regulerer med voksende styrke, indtil motoren har den rigtige hastighed eller position. Udgangssignalet kan beskrives som: u t k P e k I t e τ dτ Ved Laplace-transformation fås: U s E s k P k I s k P τ i s τ i s τ i er integrationstiden, τ i k p k I. Regulatoren har et nulpunkt i s τ i og en pol i origo. PIregulatoren kan reducere stigetiden, forøge oversvinget og indsvingningstiden, hvis nulpunktet placeres uheldigt, og eliminerer stationærfejlen [?, side ]. For at kompensere for de ulemper, som de to ovennævnte reguleringsled har, kan der indsættes et differentationsled, så regulatoren kaldes en PID-regulator. Differentationsleddet medfører, at regulatoren kan reagere hurtigere på små ændringer. Regulatoren kan få en hurtigere stigetid, mindre oversving og ingen stationær fejl [?, side ]. Udgangssignalet kan beskrives som: t u t k P e k I e τ dτ k D de t dt (4) Ved Laplace-transformation fås: U s E s k P k I s k Ds k P τ i τ d s k τ d er differentationstiden, τ d D kp. Afhængig af de krav, der stilles til regulering af systemet kan regulatoren kombineres som en P-, PI-, PD- eller PID-regulator. Efter at have gennemgået de generelle principper bag regulering, vil pitch- og effektreguleringen blive designet..2 Pitchregulering De blokke som pitchreguleringssystemet indeholder, er beskrevet i kapitel?? på side??. I dette afsnit samles de enkelte blokkes overføringsfunktioner, og overføringsfunktionen for regulatoren designe. Pitchreguleringssystemets samlede overføringsfunktion skal til sidst opstilles som en differensligning, som kan implementeres i C67. På figur 3 på næste side ses det samlede pitchsystem med overføringsfunktionerne for de enkelte blokke. Pitchreguleringssystemet består af to tidskonstanter, τ p, der repræsenterer tidsforsinkelsen mellem PWM-signalet til servomotoren og pitchvinklen, og τ B, der repræsenterer tidsforsinkelsen mellem 4
5 .2. PITCHREGULERING T t ø r G ( s ) G r p ( s ) G ( s ) G a k ( s ) K rø j e p o s i t i o n r( s ) S erv o A erod y n am i + Regulator + - m otor k + K rø j e i n erti H ( s ) K rø j ev i n k el m å ler Figur 3: Blokdiagram for pitchreguleringssystemets overføringsfunktioner krøjemoment og krøjehastighed. Servomotorens overføringsfunktion, G p s, er blev fundet ved en test, som er beskrevet i appendiks?? på side??. Testen blev udført ved at ændre på PWM-signalet til servomotoren og derudfra måle, hvilke pitchvinkler dette ville give. Ud fra denne måling kan der optegnes en kurve for forholdet mellem dutycycle på PWM-signalet til servomotoren og pitchvinklen. indsæt kurve... Derefter kan der opstilles en overføringsfunktion, som indeholder τ p på 7 6. G p s 7 6 s τ p τ p 7 6 τ p s 8 og en forstærkning For at finde J og B i nacellens overføringsfunktion, G k s, blev der lavet en måling og en test, se appendiks?? på side??. For finde J blev nacellens vægt og radius målt og derudfra kunne en tilnærmet værdi beregnes. Testen for finde B, blev gennemført ved, at nacellen blev drejet og derudfra beregnet ud fra en udløbskurve. B er fundet til 5 og J er beregnet til 5. τ B er dermed beregnet til 3. Overføringsfunktionen for G k s er vist i formel 5: G k s Js B J J s For at finde overføringsfunktionen for aerodynamik, G a s, blev der lavet en række beregninger ved hjælp af Matlab, se?? på side??, Det blev også lavet målinger til at verificere disse og var afvigelse på cirka 4. Var det vurderet at det målte værdi vil være tætter på virkeligheden. Resultatet blev en overføringsfunktion kun indeholdende en forstærkning og er vist i formel 6: 3 (5) G a s 2 (6) Åbensløjfe overføringsfunktionen for det ukompenserede system uden regulator, kan opstilles som på formel 7: G s 7 2 s 2 5 s 3 s Det ukompenserede system har følgende poler, se tabel på den følgende side: (7) 5
6 INDHOLD.2. Krav til pitchregulator Pol s Pol s 2 3 Pol s Tabel : Åbensløjfe poler for ukompenseret system Når pitchreguleringssystemet skal varetage krøjningen af nacellen, skal kravet til oversvinget sættes højt, sådan der ikke tillades stor oversving M p. Det formodes, at et stort oversving vil resultere i store belastninger til de mekaniske dele i vindmøllen. Kravet til krøjehastigheden kan sættes lavt, fordi vindretningen sjældent ændrer sig hurtigt, derfor kan indsvingningstiden t s være stor. Der skal stilles et krav om en lav stationær fejl e ss, fordi en stationær krøjefejl kan resultere i en mindre energiproduktion. Indsvingningstid, t s 6s ved 2% Oversving, M p % Stationær fejl, e ss %.2.2 Valg af regulator For at systemet kan overholde kravet om ingen stationær fejl, skal det indeholde en integrator. Den stationære fejl kan blandt andet opstå på grund af tørfriktionen T tr i krøjesystemet. Systemet indeholder en naturlig integration, som skulle fjerne den stationære fejl, men ved simulering med en P-regulator viste det sig, at der stadig er en stationær fejl, hvis T tr ikke er lig med, se figur 4 på næste side. Den stationære fejl kan aflæses til 7 ved k P 25 og en T tr. For at undgå den stationære fejl vælges en PI-regulator..2.3 Design af regulator Designet af PI-regulatoren er baseret på frekvensresponsdesign [?, kap.6]. Her findes integrationstidskonstanten, τ i, og forstærkningen, k p, så kravene til M p, t s og e ss overholdes. For at kunne designe regulatoren omsættes kravet til M p til en fasemargin. Et oversving på % kræver minimum en fasemargin på cirka 6 for et andetordenssystem [?, 47]. Da dette system er et fjerdeordenssystem, kan denne fasemargin kun bruges som en rettetråd, og derfor vælges en fasemargin på minimum 75. Forholdet mellem det designede nulpunkt og den første pol efter origo, s 2 sættes til at være minimum 5, hvilket svarer til en fasemargin på 75 [?, 42]. Der vælges at sætte α til at være, som er to dekader under polen s 2. På den måde tages der højde for indvirkningen fra den sidste pol s 3, som vil få fasemarginen til at falde. Nu er k P den eneste ukendte parameter i regulatoren. For at finde k P tegnes Bodeplottet for åbensløjfe overføringsfunktionen, se figur 5 på side 8, hvor k P, se formel 8. G ol s k P 7 2s 56 s 4 5 5s s 2 (8) 6
7 .3. EFFEKTREGULERING AF DC-MOTOR krøjevinkel tid(s) Figur 4: Stationær fejl når tørfriktionen regnes med, ved step fra til Grænsefrekvensen bestemmes, hvor fasemarginen er størst. Ud fra bodeplottet aflæses forstærkningen F i grænsefrekvensen, og k P beregnes ved at sætte k P F. Ved grænsefrekvensen på cirka 22 rad s aflæses F til cirka 6 5 db 2. PI-regulatorens konstanter kan herefter opstilles som i tabel 2 τ i 33,3 k p 475 Tabel 2: Bodeplottet for det kompenserede åbensløjfesystem ses på figur 6 på side 9. PI-regulatorens overføringsfunktion vises i formel 9, og reguleringssystemets overføringsfunktion vises i formel. G r s 475 s 3 s (9).3 Effektregulering af DC-motor 7 2s 56 G cl s 475 s 4 5 5s s 2 () I dette afsnit opstilles først kravene til effektregulering af DC-motoren og derefter dimensioneres den valgte regulator ved hjælp af en rodkurveundersøgelse. Der skal designes en regulator, der kan 7
8 INDHOLD Bode Diagram Gm = 3.5 db (at 6.9 rad/sec), Pm = 75.5 deg (at.454 rad/sec) 5 Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/sec) Figur 5: Bodeplot for åbensløjfe overføringsfunktion med k P regulere DC-motoren til at køre med en konstant vinkelhastighed ud fra input fra omdrejningsmåleren i såvel generator- som motordrift. Et blokdiagram over regulatorsystemet kan ses på figur 7 på modstående side..3. Krav til effektregulering af DC-motor Nedenstående krav er ikke fastsat ud fra regulering af en rigtig vindmølle, men er fastsat i forhold til et design af regulering af den anvendte DC-motor. De fastsatte tidskrav er valgt på baggrund af nogle overvejelser om, at det ikke er nødvendigt at regulerere meget hurtigt, i ms, og at det heller ikke drejer sig om flere minutter, før motoren har reguleret sig ind. Tidskravene til t r og t s fastsættes på baggrund af motorens tidskonstant, τ motor, der i kapitel?? på side?? blev beregnet til 28s. Denne tidskonstant kommer fra motorens mekaniske pol. t r vælges til godt 3 gange denne værdi, og t s til godt 8 gange denne værdi. Kravet til stationærfejlen er sat ud fra nogle overvejelser om, at det forstyrrelsesinput, der kan påvirke effektreguleringen, typisk vil være, at vinden pludselig forsvinder eller dukker op. Det svarer til, at reguleringen skal kunne regulere tilfredsstillende på et step som input. Der kan opstilles følgende krav til regulatoren: 8
9 .3. EFFEKTREGULERING AF DC-MOTOR Bode Diagrams Gm= db (at rad/sec), Pm= deg. (at.2845 rad/sec) 5 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Figur 6: Bodeplot for kompenseret overføringsfunktion G ( s ) r G e ( s ) G m ( s ) r( s ) e( s ) u( s ) + E f f ek t- v ( s ) M otor ( s ) Regulator f ors tæ rk er m ed gear - H ( s ) S en s or Figur 7: Blokdiagram over regulatorprincip til effektregulering Stigetid, t r 4s Indsvingningstid, t s s ved 2% Oversving, M p % Stationær fejl, e ss 9
10 INDHOLD Valg af regulator Da der er et krav om e ss, er det ikke nok med en P-regulator. Til regulering af motoren vælges derfor en PI-regulator. D-reguleringen fravælges, da der ikke et behov for en hurtig regulering på små udsving, som D-reguleringen kan give. Der vil være en stor inerti i vingerne og nacellen, og det mekaniske system vil derfor ikke kunne nå at reagere på kortvarige ændringer i vindpåvirkningen som følge af for eksempel kastevinde og hurtige hastighedsvariationer i vinden. Dette vil heller ikke være ideelt, idet det kan give meget store kraftpåvirkninger på motor og vinger..3.2 Overføringsfunktion for effektregulering af DC-motor I dette afsnit opstilles overføringsfunktionerne for systemet, og med udgangspunkt i disse bestemmes parametrene til PI-regulatoren, der kan overholde de i afsnit.3. på side 8 opstillede krav. Nedenstående overføringsfunktioner indgår i lukketsløjfesystemet på figur 7 på foregående side: G r s k P τ i s τ i s G e s 4 G m s s H s Ved indsættelse i formel på side 2 og 2 på side 2 fås henholdsvis åbensløjfe og lukketsløjfe overføringsfunktionerne, hvori der indgår de ubekendte parametre til PI-regulatoren: k G ol s P τ i s τ i s 279s τ k P i s s 279s () G cl s ω s r s k P τ i s τ i s 279s k P τ i s k P τ s 2 τ i s k P s 23 2 k P τi (2) For at beregne k P og τ i gennemføres en rodkurveundersøgelse..3.3 Rodkurveundersøgelse I dette afsnit laves en rodkurveundersøgelse for at kunne fastlægge systemets overføringsfunktion ud fra de opstillede krav, samt de målte og beregnede værdier.i en rodkurveundersøgelse ses der på systemets åbensløjfeoverføringsfunktion, hvor systemets kendte poler indtegnes. Derefter vælges
11 .3. EFFEKTREGULERING AF DC-MOTOR en placering for PI-regulatorens nulpunkt, og der undersøges for hvilke værdier af k P, at lukketsløjfens poler overholder de opstillede krav. Nedenstående formler anvendes kun som retningslinier i forbindelse med dimensionering af PI-regulatoren, idet de kun er nøjagtige for andenordens systemer uden nulpunkter. Først beregnes de begrænsninger, som de opstillede krav giver til lukketsløjfepolernes placering. Dæmpningsfaktoren, ξ, findes ved hjælp af formel 3 ud fra kravet om M p % [?, side 47]: M p e πξ! ξ 2" ξ # (3) Ved indsættelse findes, at ξ skal være $ 6. I det komplekse plan indtegnes ξ som to rette linier i s-planets venstre halvplan med start i origo, og vinklen φ ξ sin ξ med imaginæraksen, se figur 8 på næste side. For ξ 6 er φ ξ % 37. Overføringsfunktionens poler skal ligge mellem cos 37' " sin 37' " ( 33. linerne med hældningskoefficienten, α & Indsvingningstiden, t s, skal være s ved 2%. Dette er bestemmende for placeringen af den negative realdel af polerne, σ ξω n. σ findes ved hjælp af formel 4: 2 e ξω n t s (4) ) σ 3 92 t s Ved indsættelse af t s findes σ $ 39s. Dette krav indtegnes som en lodret linie på figur 8 på næste side, og området for polplacering ligger til venstre for denne linie. Ud fra kravet til stigetid, t r formel [?, side 45]: 4s findes kravet til den naturlige egenfrekvens, ω n, ud fra følgende ω n * 8 t r (5) Kravet til ω n beregnes som ω n $ 45 rad s. ω n indtegnes som en halvcirkel i s-planets venstre halvplan med centrum i origo og radius 45, se figur 8 på den følgende side. Området for polplacering ligger til venstre for denne halvcirkel. Området for lukketsløjfens polplacering er nu fastlagt, og herefter kan k P og τ i bestemmes. Åbensløjfens overføringsfunktion er givet ved formel på forrige side. Integratoren giver en pol i origo, og motoren giver en pol i 782 rad s. Det vælges at placere nulpunktet i ω i 8 rad s, hvilket er en dekade højere end motorens pol, se figur 9 på den følgende side. For forskellige værdier af k P vil polerne bevæge sig rundt på halvcirklerne, se figur på side 3. For en forstærkning på under cirka bevæger de reelle poler sig imod hinanden. Ved en forstærkning på over bliver de to poler til et komplekst konjugeret polpar, hvor motorens pol har positiv imaginærdel, og integratoren har negativ imaginærdel. Det skal nu undersøges for hvilke værdier af k P, at systemet er stabilt, og de opstillede krav er overholdt. Nulpunktets placering giver en integrationstid, τ i ωi 25s. Ved indsættelse i formel på modstående side fås følgende udtryk for G ol s :
12 INDHOLD Im n O mr å d e f o r p o l p l a c e r i n g R e s i n - Figur 8: Område for polplacering Im R e 8, 7 82 Figur 9: Åbensløjfens poler og nulpunkter for ω i 8rad s G ol s k P s s 279s (6) Derefter beregnes for hvilken værdi af k P, at formel 6 har en forstærkning på, og der laves et bodeplot af G ol s for at se, om der er en fasemargin på mindst 45 ved denne forstærkning. Forstærkningen beregnes til k P 469, og som det fremgår af figur på side 4, er der en fasemargin på cirka 52, hvilket betyder, at systemet er stabilt. Derefter skal lukketsløjfens poler beregnes, og det skal kontrolleres, om de ligger i det gyldige område. Ved indsættelse af k P og τ i i formel 2 på side findes polerne som: s,+ 44 j 78 Som det fremgår af figur 2 på side 4, ligger polerne udenfor det gyldige område. Det er kravet til en dæmpningsfaktor større end 6, der ikke er overholdt. Det betyder, at der kommer et for stort oversving, hvilket kan ses på figur 3 på side 5, hvoraf det fremgår, at stepresponset har et oversving på cirka 8%. Det betyder, at der skal findes en anden værdi af k P, der kan opfylde alle de stillede krav. På figur på side 4 ses det, at der kan opnås en fasemargin på mindst 45 både ved at øge forstærk- 2
13 .3. EFFEKTREGULERING AF DC-MOTOR Imag Axis Real Axis Figur : Rodkurve for polplacering ved forskellige værdier af k P ningen, og ved at sænke forstærkningen. Øges forstærkningen, bliver knækfrekvensen, ω c, også større, hvilket stiller større krav til samplingsfrekvensen ved implementering af PI-regulatoren i C67, se afsnit.4. på side 7. Det vil ikke være muligt at opnå så høj en samplingsfrekvens, som en forøgelse af k P ville kræve, så derfor vælges det at finde en mindre værdi for k P. Da M p er cirka dobbelt så stor som krævet, prøves med k P 26. Herved opnås en fasemargin på cirka 62 ved en knækfrekvens på ω c 4832 rad s, se figur 4 på side 5. Lukketsløjfens poler ligger i: s 42 j 52 Denne placering ligger i det gyldige område, se figur 5 på side 6. Som det fremgår af figur 6 på side 6, er oversvinget nu på cirka 8%, og kravene til t r og t s er ligeledes overholdt. Herefter kan de faktiske værdier af t r, t s, ξ, σ og ω n beregnes. Systemets poler ligger i: s σ.- + ξ 2 Polernes realdel er udtryk ved σ, som er 42 for den valgte τ i og beregnede k P. Ved indsættelse i formel 4 på side fås t s 9 3s. Dæmpningsfaktoren beregnes som ξ 63 for M p 8% ved indsættelse i formel 3 på side. Polernes imaginærdel er givet ved ω n / + ξ 2. ω n beregnes til 67 rad s, og stigetiden beregnes til t r 2 7s ved indsættelse i formel 5 på side. Ovennævnte beregninger er kontrolleret i Matlab med kommandoen [Wn,Z,P] = damp(g cl ), hvorved der fås værdierne ω n 6659, ξ 6289 og s,+ 488 j
14 INDHOLD Bode Diagrams 4 Gm = Inf, Pm=5.74 deg. (at.7449 rad/sec) 2 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Figur : Bodeplot for åbensløjfe med k P 469 -,4 4 + j,7 8 Im,5 R e,5 Figur 2: Polplacering for lukketsløjfe med k P 469. Der er kun vist den ene pol. 4
15 .3. EFFEKTREGULERING AF DC-MOTOR.4 Mp = 8 %.2 Amplitude Tid [s] Figur 3: Steprespons på lukketsløjfe med k P 469 Bode Diagrams Gm = Inf, Pm=6.748 deg. (at.4838 rad/sec) 2 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Figur 4: Bodeplot for åbensløjfe med k P 26 5
16 INDHOLD Im -,4 2 + j,52,5 R e,5 Figur 5: Polplacering for lukketsløjfe med k P 26. Der er kun vist den ene pol..4.2 Mp = 8 % Amplitude.8.6 ts = 9,3 s.4.2 tr = 2,7 s Tid [s] Figur 6: Steprespons på lukketsløjfe med k P 26.4 Digital implementering af regulatorer Regulatorerne skal implementeres i C67. Derfor skal deres overføringsfunktioner omskrives til en rekursiv differensligning ved hjælp af bilinear z-transformation [?, side og ], og det skal beregnes hvilken frekvens, det tilbagekoblede signal fra omdrejningsmåler og positions- 6
17 5.4. DIGITAL IMPLEMENTERING AF REGULATORER giver skal samples med..4. Valg af samplefrekvens Der skal vælges en samplefrekvens, f sample, der er så høj, at den digitaliserede regulator ikke bliver for upræcis i forhold til en analog implementation af regulatoren. Derfor sættes samplefrekvensen ofte til tyve til fyrre gange lukketsløjfe 3dB båndbredden, ω BW [?, side 689]. ω BW findes som: ω BW % 2 ω c rad s (7) Formlen til beregning af samplefrekvensen er: f sample 4 ω BW 2 π Hz (8).4.2 Diskretisering af overføringsfunktion For at finde den diskrete ækvivalente overføringsfunktion anvendes Tustin s sætning til at bringe overføringsfunktionen over i z-domænet [?, side ]. Dette gøres ved at erstatte s med en diskret operator: D d z U z E z G r s 32 s4 2 t sample 65 z 7 z8 7 (9) t sample er sampleperioden. PI-regulator til pitchregulering ω c aflæses på Bodeplottet vist på figur 6 på side 9 til ω c med formel 8 til f sample 8Hz 2Hz. Diskretisering af overføringsfunktion: 28 rad s. Samplefrekvensen beregnes D d z 79z + 77z z + U z E z (2) Herefter kan z funktionen transformeres til en diskret differentialligning vist i formel 2 og 22 z + U z 9 79z + 77 E z (2) u k : u k + ; 79e k <+ 77e k + (22) Differentialligningen kan nu implementeres i C67 programmet. 7
18 ) INDHOLD PI-regulator til effektregulering af DC-motor For at beregne samplefrekvensen findes ω c ved hjælp af et Bodeplot for åbensløjfen til ω c 4832 rad s, se figur 4 på side 5. Der vælges en samplefrekvens på cirka 4 gange ω BW. Derved bliver f sample 6 2Hz, og den vælges til 6Hz. PI- regulatorens overføringsfunktion er: G r s < U s E s 325s 26 25s Den diskrete operator findes, idet t sample for en f sample på 6Hz er 67s: 2 z + 67 z 2 z + z Den diskrete overføringsfunktion findes ved indsættelse i formel 9 på foregående side: D d z D d z z " z " z " z " z + z Den diskrete overføringsfunktion konverteres til en diskret differensligning: + z U z z E z ) u k =+ u k + > 433e k =+ 87e k + ) u k? u k + 433e k =+ 87e k + Dermed er PI-regulatorens overføringsfunktion blevet omskrevet til en differensligning, der kan implementeres i software i C67, se kapitel?? på side??..4.3 Simulering Pitchregulering Det samlede system med lukketsløjfe overføringsfunktion vist i formel 23 simuleres i Simulink. Der laves en simulering på et step for henholdsvis kontinuert og diskret tid for at se, om de systemer reagerer ens. På figur 7 på modstående side vises en sammenligning af steprespons for to systemer. Det ses at oversvingent på det diskrete system er cirka 4%, mens det på det kontinuerte system er cirka 8%. Til gængæld har det diskrete system en større indsvingningstid, t s, cirka s længere end det kontinuerte system. T s 63s 386 s s 2 63s 362 (23) 8
19 .5. OPTIMERING AF OVERFØRINGSFUNKTION FOR EFFEKTREGULERING AF DC-MOTOR 2 8 Amplitude Tid [s] Simulering kontinuert tid Simulering diskret tid Figur 7: Stepresponsen for det kompenserede system Effektregulering af DC-motor Der er lavet en simulering på et step i Simulink af det samlede system i henholdsvis kontinuert og diskret tid for at se, hvordan de to systemer reagerer. Som det fremgår af figur 8 på næste side, er der meget god overensstemmelse mellem de to steprespons. Der er et lidt større oversving ved diskret tid, men det ligger stadig under %, og t r og t s er stort set ens for de to simuleringer..5 Optimering af overføringsfunktion for effektregulering af DC-motor Som det fremgår af målerapporten i appendiks?? på side??, er den diskrete differensligning, der blev fundet i formel 23 på forrige side meget langsommere under test end ved simulering i Simulink. Det har ikke været muligt at finde årsagen hertil ved en debugging af såvel overføringsfunktioner, hardware som software. For at få et hurtigere system vil der nedenfor blive designet en ny PI-regulator, der skal gøre det muligt at foretage nogle målinger på systemet. Kravene fra afsnit.3. på side 8 søges fortsat overholdt. Integratorens nulpunkt fastholdes i ω i 8 rad s. Ved hjælp af Matlab kommandoen RLOCFIND findes en ny værdi af k P 466, se figur 9 på næste side. Ved hjælp af et Bodeplot for G ol s ses det, at der er en fasemagin på cirka 6% ved ω c 2 rad s, se figur 2 på side 2. 9
20 INDHOLD.2.8 Amplitude Tid [s] Simulering kontinuert tid Simulering diskret tid Figur 8: Plot af steprespons for simulering i kontinuert og diskret tid 5 5 Imag Axis Real Axis Figur 9: Polplacering for ny overføringsfunktion 2
21 .5. OPTIMERING AF OVERFØRINGSFUNKTION FOR EFFEKTREGULERING AF DC-MOTOR Bode Diagrams 8 Gm = Inf, Pm=59.92 deg. (at.933 rad/sec) 6 4 Phase (deg); Magnitude (db) Frequency (rad/sec) Figur 2: Bodeplot for ny overføringsfunktion med k P 466 Ved hjælp af formel 8 på side 7 findes f sample bliver: 75Hz og den diskrete overføringsfunktion u k u k + 499e k =+ 44e k + (24) Der laves en simulering af et step på henholdsvis det kontinuerte og det diskrete system med de nye værdier sat ind, se figur 2 på den følgende side. Som det fremgår af figur 2 på næste side, er det nye reguleringssystem meget hurtigere end det gamle i simuleringen, se figur 8 på modstående side. Kravet om et oversving på under % er imidlertid ikke overholdt, og det vil sandsynligvis også giver problemer at implementere den nye diskrete overføringsfunktion med f sample 75Hz, idet omdrejningsmåleren ved en vinkelhastighed på 7 rad s giver 22 pulser s. Derfor er der ingen grund til at sample med end højere frekvens end højst 22Hz. f sample vælges til 2Hz, og der gennemføres en ny simulering af et step med den diskrete overføringsfunktion fra formel 24, se figur 22 på den følgende side. Som det fremgår af figur 22 på næste side, er oversvinget nu på cirka 9%, og systemet er blevet lidt langsommere end, når der samples med 75Hz, men tidsdomænekravene er overholdt. En anden mulighed var at finde en ny diskret overføringsfunktion for k P 466 og med f sample 2 Hz. Denne overføringsfunktions differensligning kan beregnes til: u k u k e k =+ 3728e k + Dette vil imidlertid ikke give en overføringsfunktion, der overholder de stillede krav. Som det 2
22 INDHOLD.2 Amplitude Tid [s] Simulering kontinuert tid Simulering diskret tid Figur 2: Plot af steprespons for ny overføringsfunktion med f sample 75Hz.2 Amplitude Tid [s] Simulering kontinuert tid Simulering diskret tid Figur 22: Plot af steprespons for ny overføringsfunktion med f sample 2Hz 22
23 .6. DELKONKLUSION fremgår af figur 23, vil det give et oversving på cirka 3%.4.2 Amplitude Tid [s] Figur 23: Plot af steprespons Simulering kontinuert tid Simulering diskret tid Det vælges derfor at implementere den diskret overføringsfunktion for PI-regulatoren fra formel 24 på side 2 med en f sample 2Hz. Alle test af effektreguleringssystemet vil blive testet med denne reguleringsalgoritme..6 Delkonklusion Skrive - skrive - skrive 23
Figur 1.1: Blokdiagram over regulatorprincip
Kapitel Design af effektregulering I dette kapitel gennemgås principperne bag regulering af motorer, der opstilles krav til, og der designes de to regulatorer til henholdsvis pitchregulering af sevomotoren
Læs mereIndhold. Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip
m M Indhold.1 Beskrivelse af regulatorer............................. 2.2 Krav til regulator................................. 2.3 Overføringsfunktion for det samlede system................... 4.3.1 Rodkurveundersøgelse..........................
Læs mereIndhold. Figur 1: Blokdiagram over regulatorprincip
Indhold.1 Beskrivelse af regulatorer............................. 2.2 Krav til regulator................................. 2.2.1 Integrator anti-windup.......................... 4.3 Overføringsfunktion
Læs mereFigur 1.1: Blokdiagram over regulatorprincip
Indhold 1 Design af regulator til DC-motor 2 1.1 Besrivelse af regulatorer............................. 2 1.2 Krav til regulator................................. 3 1.2.1 Integrator anti-windup..........................
Læs mereC R. Figur 1 Figur 2. er eksempler på kredsløbsfunktioner. Derimod er f.eks. indgangsimpedansen
Kredsløbsfunktioner Lad os i det følgende betragte kredsløb, der er i hvile til t = 0. Det vil sige, at alle selvinduktionsstrømme og alle kondensatorspændinger er nul til t = 0. I de Laplace-transformerede
Læs mere3 Overføringsfunktion
1 3 Overføringsfunktion 3.1 Overføringsfunktion For et system som vist på figur 3.1 er overføringsfunktionen givet ved: Y (s) =H(s) X(s) [;] (3.1) Y (s) X(s) = H(s) [;] (3.2) Y (s) er den Laplacetransformerede
Læs mereSignalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer)
Signalbehandling og matematik 1 (Tidsdiskrete signaler og systemer) Session 1. Sekvenser, diskrete systemer, Lineære systemer, foldning og lineære tidsinvariante systemer Ved Samuel Schmidt sschmidt@hst.aau.dk
Læs mereElektroniske Kredsløb og Dynamiske Systemer
Elektroniske Kredsløb og Dynamiske Systemer Lektion 4: Regulering Jan Bendtsen May, 29 EKDS mm. 4 Regulering slide i Basal regulering Hvorfor regulering? PID regulatorer i analog Ziegler-Nichols-tuning
Læs mereSkriftlig prøve i KDS
Kredsløbsteori & dynamiske systemer for EIT2/16 Opgavesæt 02 160728HEb Kredsløbsteori & dynamiske systemer Skriftlig prøve i KDS Omprøve d. 16. august 2016 kl. 09.00-13.00. Ved bedømmelsen vægtes de 4
Læs mereØvelsesvejledning. Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre.
ELT2, Passive filter, frekvenskarakteristikker Øvelsesvejledning Frekvenskarakteristikker Simulering og realisering af passive filtre. Øvelsen består af 3 dele: 1. En beregningsdel som du forventes at
Læs mereREGULERING AF ROBOTARM
Nicolaj Lindhard Jørgensen, s062032 Lasse Thorup Olesen, s062016 REGULERING AF ROBOTARM Bachelorprojekt, forår, 2009 Nicolaj Lindhard Jørgensen, s062032 Lasse Thorup Olesen, s062016 REGULERING AF ROBOTARM
Læs mere1 Forord 2. 2 Indledning Baggrund Initierende problem... 4
Indhold 1 Forord 2 2 Indledning 3 2.1 Baggrund....................................... 3 2.2 Initierende problem.................................. 4 3 Analyse 5 3.1 Beskrivelse af vindmølle...............................
Læs mereJ. Christian Andersen DTU Electrical Engineering Automation and Control 326/008. DTU Electrical Engineering, Technical University of Denmark
J. Christian Andersen DTU Electrical Engineering Automation and Control 326/008 1 31/10/17 Reguleringsmiraklet Hvad er en regulator?? 31/10/17 Hvad er en regulator? Noget der styrer eller sikrer at en
Læs mereTotal systembeskrivelse af AD1847
Total systembeskrivelse af AD1847 Af Anna Hampen Jens Jørgen Nielsen Johannes Bjerrum Johnny Nielsen 3.semester HIH Anna Hampen, Jens Nielsen, Johannes Bjerrum, Johnny Nielsen 1 Indholdsfortegnelse Indledning...3
Læs mereElektroniske Kredsløb og Dynamiske Systemer
Elektroniske Kredsløb og Dynamiske Systemer Lektion 15: Regulering Jan Bendtsen April 14, 2008 EKDS mm. 12 Regulering slide 1 i Basal regulering Hysterese-regulering PID regulatorer i analog Ziegler-Nichols-tuning
Læs mereIndsvingning af 1. ordens system
Indsvingning af 1. ordens system Formål Formålet med øvelsen er at eftervise at en forøgelse af belastningen af et procesrør giver en hurtigere indsvingning af systemet. Forsøgsopstilling Procesrør Strømforsyning
Læs mereDæmpet harmonisk oscillator
FY01 Obligatorisk laboratorieøvelse Dæmpet harmonisk oscillator Hold E: Hold: D1 Jacob Christiansen Afleveringsdato: 4. april 003 Morten Olesen Andreas Lyder Indholdsfortegnelse Indholdsfortegnelse 1 Formål...3
Læs mereMassefylden af tør luft ved normalt atmosfærisk tryk ved havets overade ved 15 C bruges som standard i vindkraftindustrien og er lig med 1, 225 kg
0.1 Vindens energi 0.1. VINDENS ENERGI I dette afsnit... En vindmølle omdanner vindens kinetiske energi til rotationsenergi ved at nedbremse vinden, således at hastigheden er mindre efter at rotorskiven
Læs mereFysik 2 - Den Harmoniske Oscillator
Fysik 2 - Den Harmoniske Oscillator Esben Bork Hansen, Amanda Larssen, Martin Qvistgaard Christensen, Maria Cavallius 5. januar 2009 Indhold 1 Formål 1 2 Forsøget 2 3 Resultater 3 4 Teori 4 4.1 simpel
Læs mereFigur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol
0.. AERODYNAMIK 0. Aerodynamik I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,
Læs mereDavid Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1
1 Pendul David Kallestrup, Aarhus School of Engineering, SRP-forløb ved Maskinteknisk retning 1 1.1 Hvad er et pendul? En matematiker og en ingeniør ser tit ens på mange ting, men ofte er der forskelle
Læs mere1. INDLEDNING...1. 1.1 Projektafgrænsning...1. 1.2 Kravspecifikation... 1 2. BESKRIVELSE AF SYSTEMET...2
Abstrakt Abstrakt I dette projekt er der arbejdet med simulering og regulering af et XY-maskinbord. Vigtige elementer i arbejdet var opstilling af de matematiske ligninger for en simplificeret model af
Læs mereMatematik F2 Opgavesæt 6
Opgave 4: Udtryk funktionen f(θ) = sin θ ved hjælp af Legendre-polynomierne på formen P l (cos θ). Dvs. find koefficienterne a l i ekspansionen f(θ) = a l P l (cos θ) l= Svar: Bemærk, at funktionen er
Læs mereBilagsrapport til READY: VPP Styring
Bilagsrapport til READY: VPP Styring Indhold: 13 sider Esben Holm, Neogrid Technologies ApS 3. december 214 Indhold Indhold i Indledning............................................ 1 1 Varmepumpe VPP....................................
Læs mereP-regulering med bias - PID-regulator
P-regulering med bias - PID-regulator Formål Formålet med øvelsen er at finde ud af hvordan den stationære fejl ændres ved forskellige belastninger og forstærkninger, samt hvilken indflydelse bias har
Læs mereSYNOPSIS: Mads Smed Christensen. Rasmus Juul. Andreas Emil Kunwald. Emil Brink Kruse Olsen. Nelson Sabbath Vuga. Jonas Weiss Mortensen
Titel: Regulering af Robotarm Semester: 4. Semester Semester tema: Regulering af energiomsættende systemer Projektperiode: 04.01.11 til 24.05.11 ECTS: 17 Vejleder: Anders Hedegaard Hansen Projektgruppe:
Læs mereSampling. Reguleringsteknik for Grundfos Lektion 6. Jan Bendtsen
Sampling Reguleringsteknik for Grundfos Lektion 6 Jan Bendtsen Indhold Basal sampling A/D-konvertering Nyquist-frekvens Kvantisering Aliasing Feedbacksystemer Eksempel: servokontrol af motor Strøm til
Læs mereKapitel 10. B-felt fra en enkelt leder. B (t) = hvor: B(t) = Magnetfeltet (µt) I(t) = Strømmen i lederen (A) d = Afstanden mellem leder og punkt (m)
Kapitel 10 Beregning af magnetiske felter For at beregne det magnetiske felt fra højspændingsledninger/kabler, skal strømmene i alle ledere (fase-, jord- og eventuelle skærmledere) kendes. Den inducerede
Læs merePlc'en som regulator i hydrauliske servosystemer
Plc'en som regulator i hydrauliske servosystemer Peter Windfeld Rasmussen For 20 år siden så de første digitale eller computerstyrede sevosystemer dagens lys i forskellige laboratorier. Det var store sager,
Læs mereBremseventiler - hvor skal blenden sidde
Bremseventiler - hvor skal blenden sidde Af Peter Windfeld Rasmussen Bremseventiler anvendes i hydrauliske systemer -som navnet siger- til at bremse og fastholde byrder. Desuden er det med bremseventilen
Læs mereAnalogregnemaskinen. Datahistorisk Forening 30/8 2007
Analogregnemaskinen Datahistorisk Forening 30/8 2007 Analogregnemaskiner bygger på ÆKVIVALENSRELATION: Ækvivalensen mellem en fysisk størrelse og en skalaaflæsning Eksempel: Fysisk længder ~ talværdier
Læs mereEksamen i Matematik F2 d. 19. juni Opgave 2. Svar. Korte svar (ikke fuldstændige)
Eksamen i Matematik F2 d. 9. juni 28 Korte svar (ikke fuldstændige Opgave Find realdelen, Re z, og imaginærdelen, Im z, for følgende værdier af z, a z = 2 i b z = i i c z = ln( + i Find realdelen, Re z,
Læs mereModellering og styring af mobile robotter
Modellering og styring af mobile robotter Dina Friesel Kongens Lyngby 2007 IMM-PHD-2007-70 Technical University of Denmark Informatics and Mathematical Modelling Building 321, DK-2800 Kongens Lyngby, Denmark
Læs mereIntroduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)
Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer
Læs mereEMSD 7 Gr. 15 Aalborg Universitet
Elektro Mekanisk System Design EMSD 7 Gr. 15 Aalborg Universitet Institut for EnergiTeknik Pontoppidanstræde 101, 9220 Aalborg Øst Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet Aalborg Universitet M-sektoren
Læs mereEksamen i Signalbehandling og matematik
Opgave. (%).a. Figur og afbilleder et diskret tid signal [n ] og dets DTFT. [n] bruges som input til et LTI filter med en frekvens amplitude respons som vist på figur. Hvilket af de 4 output signaler (y
Læs mereAnalog Øvelser. Version. A.1 Afladning af kondensator. Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 %
A.1 Afladning af kondensator Opbyg følgende kredsløb: U TL = 70 % L TL = 50 % Når knappen har været aktiveret, ønskes lys i D1 i 30 sekunder. Brug formlen U C U start e t RC Beskriv kredsløbet Find komponenter.
Læs mereSkråplan. Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen. 2. december 2008
Skråplan Esben Bork Hansen Amanda Larssen Martin Sven Qvistgaard Christensen 2. december 2008 1 Indhold 1 Formål 3 2 Forsøg 3 2.1 materialer............................... 3 2.2 Opstilling...............................
Læs mereAnvendelse af den diskrete fouriertransformation
KAPITEL SYV Anvendelse af den diskrete fouriertransformation En meget anvendt beregningsprocedure inden for digital signalbehandling er den diskrete fouriertransformation (i det følgende forkortet til
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Forår - 6. Juni 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Læs mereIntroduktion til cosinus, sinus og tangens
Introduktion til cosinus, sinus og tangens Jes Toft Kristensen 24. maj 2010 1 Forord Her er en lille introduktion til cosinus, sinus og tangens. Det var et af de emner jeg selv havde svært ved at forstå,
Læs mereForside ligger i andet dokument
Forside ligger i andet dokument 1 Side 2 ligger i andet dokument 2 Indholdsfortegnelse Resume / Abstrakt... 5 Indledning... 6 Baggrund... 7 Krav til system... 8 4 rotor helikopter teori... 9 Hardware...
Læs mereDSP Digitale signal behandling Lkaa
DSP Digitale signal behandling 213 Lkaa Ugens progam Mandag Tirsdag Onsdag Torsdag Fredag Digitale signaler FFT Filter Ålborg Flyvevåbnet R&S Ålborg FPGA og DSP samt rundvisni ng Filter signal FIR filter
Læs mereVektorfunktioner. (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium
Vektorfunktioner (Parameterkurver) x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium Indholdsfortegnelse VEKTORFUNKTIONER... Centrale begreber... Cirkler... 5 Epicykler... 7 Snurretoppen... 9 Ellipser... 1 Parabler...
Læs merePendulbevægelse. Måling af svingningstid: Jacob Nielsen 1
Pendulbevægelse Jacob Nielsen 1 Figuren viser svingningstiden af et pendul i sekunder som funktion af udsvinget i grader. For udsving mindre end 20 grader er svingningstiden med god tilnærmelse konstant.
Læs mereHi-Fi forstærker med digital styring
Hi-Fi forstærker med digital styring POWER VOLUME VÆLGER BAS DISKANT MUTE OP NED MUTE Klass #39 P3 PROJEKT 008 GRUPPE 39 INSTITUT FOR ELEKTRONISKE SYSTEMER AALBORG UNIVERSITET DEN. 7 DECEMBER 008 Titel:
Læs mereFigur 1: Kraftpåvirkning af vingeprol
0.1 Aerodynamik 0.1. AERODYNAMIK I dette afsnit opstilles en matematisk model for de kræfter, der virker på en vingeprol. Disse kræfter kan få rotoren til at rotere og kan anvendes til at krøje nacellen,
Læs mereTo find the English version of the exam, please read from the other end! Eksamen i Calculus
To find the English version of the exam, please read from the other end! Se venligst bort fra den engelske version på bagsiden hvis du følger denne danske version af prøven. Eksamen i Calculus Første Studieår
Læs mere(c) Opskriv den reelle Fourierrække for funktionen y(t) fra (b), og afgør dernæst om y(t) er en lige eller ulige funktion eller ingen af delene.
MATEMATIK 3 EN,MP 4. februar 2016 Eksamenopgaver fra 2011 2016 (jan. 2016) Givet at 0 for 0 < t < 1 mens e (t 1) cos(7(t 1)) for t 1, betragt da begyndelsesværdiproblemet for t > 0: y (t) + 2y (t) + 50y(t)
Læs mere2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk
Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk 3 Lineære funktioner En vigtig type funktioner at studere er de såkaldte lineære funktioner. Vi skal udlede en række egenskaber
Læs mereKortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 21. juni 2017
Kortfattet svar til eksamen i Matematik F2 d. 2. juni 27 Opgave Bestem for følgende tilfælde om en funktion f(z) af z = x + iy er analytisk i dele af den komplekse plan, hvis den har real del u(x, y) og
Læs mereProjekt. HF-forstærker.
Projekt. HF-forstærker. Rapport. Udarbejdet af: Klaus Jørgensen. Gruppe: Brian Schmidt, Klaus Jørgensen Og Morten From Jacobsen. It og Elektronikteknolog. Erhvervsakademiet Fyn. Udarbejdet i perioden:
Læs mereBedste rette linje ved mindste kvadraters metode
1/9 Bedste rette linje ved mindste kvadraters metode - fra www.borgeleo.dk Figur 1: Tre datapunkter og den bedste rette linje bestemt af A, B og C Målepunkter og bedste rette linje I ovenstående koordinatsystem
Læs mereNote om Laplace-transformationen
Note om Laplace-transformationen Den harmoniske oscillator omskrevet til et ligningssystem I dette opgavesæt benyttes laplacetransformationen til at løse koblede differentialligninger. Fordelen ved at
Læs mereEn sumformel eller to - om interferens
En sumformel eller to - om interferens - fra borgeleo.dk Vi ønsker - af en eller anden grund - at beregne summen og A x = cos(0) + cos(φ) + cos(φ) + + cos ((n 1)φ) A y = sin (0) + sin(φ) + sin(φ) + + sin
Læs mereImpuls og kinetisk energi
Impuls og kinetisk energi Peter Hoberg, Anton Bundgård, and Peter Kongstad Hold Mix 1 (Dated: 7. oktober 2015) 201405192@post.au.dk 201407987@post.au.dk 201407911@post.au.dk 2 I. INDLEDNING I denne øvelse
Læs mereSpektrumrepræsentation
Spektrumrepræsentation (Kapitel 3) Jens D. Andersen Datalogisk Institut Københavns Universitet p.1/35 $ $ $ Spektrumrepræsentation Matematisk repræsentation af en sinusoide: hvor "! er en fasor. Mere komplicerede
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2004
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2004 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mere1 v out. v in. out 2 = R 2
EE Basis 200 KRT3 - Løsningsforslag 2/9/0/JHM Opgave : Figur : Inverterende forstærker. Figur 2: Ikke-inverterende. Starter vi med den inverterende kobling så identificeres der et knudepunkt ved OPAMP
Læs mereDigitale periodiske signaler
KAPITEL FEM Digitale periodiske signaler For digitale signaler, som er periodiske, gælder det, at for alle n vil hvor det hele tal er perioden. g(n + ) = g(n), (5.) Af udtrykkene ses det, at periodiske
Læs mereProjektopgave Observationer af stjerneskælv
Projektopgave Observationer af stjerneskælv Af: Mathias Brønd Christensen (20073504), Kristian Jerslev (20072494), Kristian Mads Egeris Nielsen (20072868) Indhold Formål...3 Teori...3 Hvorfor opstår der
Læs mereStudieretningsopgave
Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...
Læs mereDimensionering af samling
Bilag A Dimensionering af samling I det efterfølgende afsnit redegøres for dimensioneringen af en lodret støbeskelssamling mellem to betonelementer i tværvæggen. På nedenstående gur ses, hvorledes tværvæggene
Læs mereTRANSFORMEREN SPÆNDINGSFALD OG VIRKNINGSGRAD. Spændingsfald Virkningsgrad
TRANSFORMEREN SPÆNDINGSFALD OG VIRKNINGSGRAD Spændingsfald Virkningsgrad Spændingsfald: Spændingsfald over en transformer beregnes helt som spændingsfald over enhver anden impedans! Man er dog nødt til
Læs mereU Efter E12 rækken da dette er den nærmeste I
Transistorteknik ved D & A forold. 4--3 Afkoblet Jordet mitter: Opbygning og beregning af transistorkobling af typen Jordet mitter ud fra følgende parameter erunder. Alle modstande vælges / beregnes ud
Læs mereAf: Valle Thorø Fil.: Oscilloscopet Side 1 af 10
Oscilloscopet Kilde: http://www.doctronics.co.uk/scope.htm Følgende billede viser forsiden på et typisk oscilloskop. Nogle af knapperne og deres indstillinger forklares i det følgende.: Blokdiagram for
Læs mereArbejdet på kuglens massemidtpunkt, langs x-aksen, er lig med den resulterende kraft gange strækningen:
Forsøgsopstilling: En kugle ligger mellem to skinner, og ruller ned af den. Vi måler ved hjælp af sensorer kuglens hastighed og tid ved forskellige afstand på rampen. Vi måler kuglens radius (R), radius
Læs mereDer er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6.
Der er facit på side 7 i dokumentet. Til opgaver mærket med # er der vink eller kommentarer på side 6. 1. Figuren viser grafen for en funktion f. Aflæs definitionsmængde og værdimængde for f. # Aflæs f
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereMX2 Applikationsguide
Applikationsguide v1.0 Applikationsguide Indholdsfortegnelse 1. PID REGULERING PÅ VENTILATION OG REN VANDSPUMPE... 4 1.1. VALG AF REGULERINGSMETODE (PARAMETERA044)...4 1.2. AKTIVERING AF PID REGULERING
Læs mereØvelse i Feed forward af 1. ordens system med PLC
Øvelse i Feed forward af 1. ordens system med PLC Formål Forsøgsopstilling 1 Feed forward af 1. ordens system Overløbs- / trykudligningsslange Procesrør Formålet med øvelsen er at lave en proportional-regulator
Læs mereBesvarelse til eksamen i Matematik F2, 2012
Besvarelse til eksamen i Matematik F2, 202 Partiel besvarelse - har ikke inkluderet alle detaljer! Med forbehold for tastefejl. Opgave Find og bestem typen af alle singulariteter for følgende funktioner:
Læs mereRapport uge 48: Skråplan
Rapport uge 48: Skråplan Morten A. Medici, Jonatan Selsing og Filip Bojanowski 2. december 2008 Indhold 1 Formål 2 2 Teori 2 2.1 Rullebetingelsen.......................... 2 2.2 Konstant kraftmoment......................
Læs mereProjekt. Analog Effektforstærker.
Projekt. Analog Effektforstærker. Udarbejdet af: Klaus Jørgensen. Gruppe: Klaus Jørgensen Og Morten From Jacobsen. It og Elektronikteknolog. Erhvervsakademiet Fyn Udarbejdet i perioden: 7/0-03 /-03 Vejledere:
Læs mereUdledning af Keplers love
Udledning af Keplers love Kristian Jerslev 8. december 009 Resumé Her præsenteres en udledning af Keplers tre love ud fra Newtonsk tyngdekraft. Begyndende med en analyse af et to-legeme problem vil jeg
Læs mereTilslutning- og programmeringseksempler
VLT MicroDrive FC 051 Indholdsfortegnelse Forord... 3 Oversigt effekt og styre kreds VLT MicroDrive... 4 Initialisering af frekvensomformeren... 5 Tilslutning af motorbeskyttelse... 6 Start/stop med analog
Læs mereSPEED-Commander Frekvensomformer. Program nr. 1 Software version 5.0.3. PI-regulering
SPEED-Commander Frekvensomformer Driftsvejledning Bemærk: Speciel Software Program nr. 1 Software version 5.0.3 PI-regulering Til parameterliste og tilslutninger af styreklemmer anvendes vedhæftede programbeskrivelse.
Læs mereOpholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer
Opholdstidsfordeling i Kemiske Reaktorer Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 Introduktion Strømningsmønsteret i kemiske reaktorer modelleres ofte gennem to ydertilfælde, Ideal stempelstrømning, hvor
Læs mereMatematik 1 Semesteruge 5 6 (30. september oktober 2002) side 1. Komplekse tal Arbejdsplan
Matematik Semesteruge 5 6 (30. september -. oktober 2002) side Komplekse tal Arbejdsplan I semesterugerne 5 og 6 erstattes den regulære undervisning (forelæsninger og fællestimer) af selvstudium med opgaveregning
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereNærføring mellem banen Nykøbing F-Rødby og 132 kv kabelanlægget Radsted-Rødsand 2
Dette dokument beskriver en nærføringssag med de forskellige aktiviteter, der er foretaget. En dyberegående teori omkring formler og tilnærmelser, som er anvendt kan studeres i Nærføringsudvalgets håndbog
Læs mereInstallationsguide. ECL Comfort 310, applikation A333 Ekstrakt. 1.0 Indhold. 1.0 Indhold... 1
1.0 Indhold 1.0 Indhold... 1 2.0 Indstillinger... 2 2.1 Reguleringsparametre, cirkulationspumpe(r)................. 2 2.2 Pumpekontrol...................................................... 6 3.0 Blandet...
Læs mereSampling og aliasing. Datalogisk Institut Københavns Universitet. Kapitel 4 c Jens D. Andersen
Sampling og aliasing (Kapitel 4) Jens D. Andersen Datalogisk Institut Københavns Universitet p.1/32 Sampling og aliasing Konvertering af signaler mellem analog (kontinuerttids-) og digital (diskrettids-)
Læs mereKREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB
EE Basis, foråret 2010 KREDSLØBSTEORI 10 FORELÆSNINGER OM ELEKTRISKEKREDSLØB Jan H. Mikkelsen EE- Basis, Kredsløbsteori, F10, KRT4 1 Emner for idag Kondensatorer Spoler TidsaGængige kredsløb Universalformlen
Læs mereErhvervsakademiet Fyn Signalbehandling Aktivt lavpas filter Chebyshev Filter
Erhvervsaademiet Fyn Signalbehandling Ativt lavpas filter --3 Chebyshev Filter Udarbejdet af: Klaus Jørgensen & Morten From Jacobsen. It- og Eletronitenolog, Erhvervsaademiet Fyn Udarbejdet i perioden:
Læs mereBeregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion
VVS-branchens efteruddannelse Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Beregning til brug for opmåling, udfoldning og konstruktion Med de trigonometriske funktioner, kan der foretages
Læs mereBesvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 2016
Besvarelser til Calculus Ordinær eksamen - Efterår - 8. Januar 16 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har
Læs mereFononiske Båndgab. Køreplan Matematik 1 - FORÅR 2005
Fononiske Båndgab Køreplan 01005 Matematik 1 - FORÅR 2005 1 Baggrund Bølgeudbredelse i materialer og medier (som f.eks. luft) er et fænomen, der kendes af alle og som observeres i forskellige former i
Læs mereMATEMATIK 3 EN,MP 17. september 2014 Oversigt nr. 1
MATEMATIK 3 EN,MP 7. september 204 Oversigt nr. Her bringes en samling af de gamle eksamensopgaver: (jan. 204) Betragt begyndelsesværdiproblemet y (t) + 7y (t) + 2y(t) = e t sin(2t) for t > 0, y(0) = 2,
Læs mereLineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger
enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.
Læs mereDen todimensionale normalfordeling
Den todimensionale normalfordeling Definition En todimensional stokastisk variabel X Y siges at være todimensional normalfordelt med parametrene µ µ og når den simultane tæthedsfunktion for X Y kan skrives
Læs mereLASTSPIL 37 kw AC KRØLL CRANES A/S. INF. REF dk SIDE 1/9
LASTSPIL 37 kw AC SIDE 1/9 TEGNING SIDE 2/9 JUSTERINGSVEJLEDNING FOR AC LASTSPIL FUNKTIONSBESKRIVELSE AF LASTSPIL Lastspillet er drevet af en kortslutningsmotor monteret med encoder for hastighedskontrol.
Læs mereFysik 2 - Oscillator. Amalie Christensen 7. januar 2009
Fysik 2 - Oscillator Amalie Christensen 7. januar 2009 1 Indhold 1 Forsøgsopstilling 3 2 Forsøgsdata 3 3 Teori 4 3.1 Den udæmpede svingning.................... 4 3.2 Dæmpning vha. luftmodstand..................
Læs merei(t) = 1 L v( τ)dτ + i(0)
EE Basis - 2010 2/22/10/JHM PE-Kursus: Kredsløbseori (KRT): ECTS: 5 TID: Mandag d. 22/2 LØSNINGSFORSLAG: Opgave 1: Vi ser sraks, a der er ale om en enkel spole, hvor vi direke pårykker en kend spænding.
Læs mereECL Comfort 310, applikation A333 Ekstrakt
Betjeningsguide ECL Comfort 310, applikation A333 Ekstrakt 1.0 Indhold 1.0 Indhold...1 2.0 OverblikoverIndstillinger...2 3.0 Indstillinger...3 3.1 Reguleringsparametre,cirkulationspumpe(r)... 3 3.2 Pumpekontrol...
Læs mereSizeWare. Bruger Manual. JVL Industri Elektronik A/S. Skive. Tandrem. Spindel. JVL Industri Elektronik A/S - Bruger Manual - SizeWare LB0041-02GB
SizeWare Bruger Manual ä Skive ä Tandrem ä Spindel JVL Industri Elektronik A/S LB0041-02GB Revised 23-3-99 1 2 Copyright 1997, JVL Industri Elektronik A/S. Der tages forbehold for ændringer af indholdet
Læs mereAnvendelse af matematik til konkrete beregninger
Anvendelse af matematik til konkrete beregninger ved J.B. Sand, Datalogisk Institut, KU Praktisk/teoretisk PROBLEM BEREGNINGSPROBLEM og INDDATA LØSNINGSMETODE EVT. LØSNING REGNEMASKINE Når man vil regne
Læs mereDimensioner 1. Bestilling. Ød 1 L 1. kanalsystemer måling og indregulering. Ødi. Ød1
Dimensioner Ød Ødi Beskrivelse FMU er en flowmåler beregnet for stationær installation. Ved at måle trykdifferencen over måleudtagene, kan man via diagrammet på blænden aflæse volumenstrømmen. en, der
Læs mereMåling af turbulent strømning
Måling af turbulent strømning Formål Formålet med at måle hastighedsprofiler og fluktuationer i en turbulent strømning er at opnå et tilstrækkeligt kalibreringsgrundlag til modellering af turbulent strømning
Læs mere