Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. af Rasmus Axelsen

Transkript

1

2 Matema10k

3

4 Matema10k Matematik for hhx C-niveau af Rasmus Axelsen

5 Matema10k. Matematik for hhx C-niveau 1. udgave, 1. oplag, 2013 Forfatteren og Bogforlaget Frydenlund ISBN Redaktion: Morten Overgård Nielsen Korrektur: Peder Norup Grafisk tilrettelæggelse: Jan Gralle/Jimmy Staal Matematiske illustrationer: Jimmy Staal Grafisk produktion: Balto, Litauen Kopiering fra denne bog eller dele deraf er kun tilladt i overensstemmelse med overenskomst mellem Ministeriet for Børn og Undervisning og Copydan. Enhver anden form for kopiering er uden forlagets skriftlige samtykke forbudt ifølge gældende dansk lov om ophavsret. Undtaget herfra er korte uddrag i anmeldelser. Bogforlaget Frydenlund Alhambravej 6 DK-1826 Frederiksberg C Tlf post@frydenlund.dk Tilmeld dig forlagets nyhedsmail på På

6 5 Indhold Forord til eleven... 7 Forord til læreren Grafer, variable og funktioner 11 Koordinatsystemet Grafer Funktionsværdier Ligninger Nulpunkter Definitionsmængde og værdimængde. 19 Skæringspunkter og uligheder Ekstrema Monotoniforhold Funktioner og variabelsammenhænge 28 2 Lineære funktioner 35 Definition af den lineære funktion Betydningen af konstanterne a og b.. 37 Bevis for konstanternes betydning Bestemmelse af forskriften for den lineære funktion Anvendelser af lineære funktioner Skæringspunkter mellem linjer Andengradspolynomier 51 Konstanternes betydning Diskriminanten Toppunktet Nulpunkterne Anvendelse af andengradspolynomier i økonomi Andengradsligninger Skæringspunkter og andengradsuligheder Polynomier af højere grad Omvendte funktioner 73 Bestemmelse af den omvendte funktion 73 Omvendte funktioner og variabelsammenhænge Procent og indekstal 81 Procent Procentpoint Indekstal Eksponentielle funktioner 91 Eksponentielle funktioner Relativ tilvækst Bestemmelse af forskriften Logaritmer Eksponentielle ligninger Logaritmisk koordinatsystem Fordoblingskonstant Skæringspunkter mellem eksponentielle funktioners grafer Flere eksempler med eksponentielle funktioner Potensfunktioner 113 Potensvækst Skæringspunkter

7 6 8 Funktioner regression 123 Lineær regression Andre regressionsmodeller Anvendelse af regressionsmodeller Rentes- og annuitetsregning 133 Rentetilskrivning Gennemsnitlig og effektiv rente Annuiteter Restgældsberegning Amortisationsplaner Omkostninger ved lån Beskrivende statistik 157 Stikprøve og population Hyppighed og frekvens Middelværdi og spredning Gruppering af observationer Normalfordelingen Opsamling og eksempler Supplerende materiale 1: Parenteser, ligninger, uligheder og potenser 185 Parenteser og reduktion af udtryk Kvadratsætninger Ligninger Uligheder Potenser Supplerende materiale 2: Hvad er matematik? 197 Strukturen på matematisk viden Hvor kommer matematik fra? Anvendelsen af matematik Matematiske kompetencer Opgaver 205 Grafer, variable og funktioner Lineære funktioner Andengradspolynomier Omvendte funktioner Procentregning og indekstal Eksponentielle funktioner Potensfunktioner Funktioner regression Rentes- og annuitetsregning Beskrivende statistik Parenteser, ligninger, uligheder og potenser Stikordsregister 270

8 7 Forord til eleven Kære elev på hhx. Du sidder med din første matematikbog på hhx. Matematik er et velkendt fag fra grundskolen, men du vil opleve, at selvom der arbejdes med velkendte emner, så er formen en anden. Der vil blive bygget oven på den viden du har i forvejen, og velkendte ting siges måske på en anden måde. Matematik på hhx kan næsten opfattes om tre forskellige fag, idet man kan have A-, B- eller C- niveau. Du skal i løbet af det første halve år beslutte hvilket niveau du ønsker. Alle begynder på C-niveau, men der er i bogen også elementer, der peger frem mod B- og A-niveau. Spørg gerne din lærer flittigt om forskellen. Det er tanken at bogen her skal bruges baglæns. Du skal ikke altid læse foran i indholdet, men bagud i det, der er gennemgået i timerne. Bagest i bogen er der opgaver til samtlige kapitler og et stikordsregister, så du kan slå ord og symboler op. God læsning.

9 8 Forord til læreren Kære underviser på hhx. Denne bog er rettet mod undervisningen i matematik på C- niveau. Dette kræver en induktiv tilgang med udgangspunkt i elevernes forforståelse af faget. En matematikbog har flere funktioner, og det kan være svært at dække dem alle. En typisk matematikbog er meget deduktiv i sin tilgangsvinkel, matematikken præsenteres som en færdig struktur. Dette er godt når eleverne skal læse til eksamen, men ikke i det første møde med faget. Matematikbøger, der introducerer eleverne til faget induktivt, har ofte den mangel, at det kan være svært at danne overblikket og stringensen, når man går via eksempler og eksperimenter. Denne bog lægger sig fortrinsvis i den første tradition. Bogen skal ikke bruges til en direkte planlægning af undervisningen. Min anbefaling er at eleverne eksperimenterer i timerne og bruger bogen bagefter til at samle op på øvelser de skal altså læse bagud. Der er dog i begyndelsen af hvert kapitel et motiverende eksempel som kan bruges til at diskutere hvad der kommer. Bogen kan derfor heller ikke stå alene. I min egen undervisning er der mange induktive øvelser og arbejdsark. Bogen åbnes først når eleverne kommer hjem og skal samle op på dagens øvelser. Men hvorfor en gammeldags p-bog (papirbog), når tiden nu dikterer interaktivitet og i-bøger? Når eleverne møder mat C, er det et nyt fag. De skal også introduceres til et eller flere IT-værktøjer. I den verden er en almindelig bog let at forholde sig til der er rigeligt med andre sprog de skal lære i timerne. Min anbefaling er klart at eleverne hurtigst muligt inddrager værktøjer og gerne CAS-værktøjer. Det kan motivere mange og giver mulighed for at lade maskinen klare de besværlige udregninger, når fokus er et andet. Der er ikke referencer til et specifikt værktøj. Dette valg må den enkelte lærer selv træffe. Der henvises i stedet til graftegningsprogrammer eller CAS-programmer. I arbejdet med kapitel 8

10 9 og 10 er der givet data til en del af opgaverne, så dette kan trænes allerede på første år, for de elever der vælger B- og A-niveau. Matematik på C-niveau er fælles for alle, også for de elever, der senere skal fortsætte på B- og A-niveau. Disse har i høj grad brug for en stærk forståelse af grundlæggende symbolmanipulation. Dette er dog for mange C-elever meget demotiverende. Derfor anbefales det, at man begynder med kapitel 1, der uden de store krav til udregninger indfører eleverne til faget. Regneregler bør inddrages efter behov fra afsnittet Supplerende stof 1: Parenteser, ligninger, uligheder og potenser. Undervejs i bogen er der givet mange regneeksempler. Disse skal trænes, men for matematik C er det lige så centralt at man hele tiden supplerer med grafiske løsninger i det matematikprogram man nu bruger i undervisningen. Der er medtaget ganske få beviser i bogen. Alle elever skal have en fornemmelse af de tre niveauer inden de foretager det endelige valg af niveau. Derfor skal C-eleverne også møde beviser og diskutere hvorfor de er der. Afsnittet Supplerende stof 2: Hvad er matematik? kan inddrages i diskussioner om beviser. Man bør selv supplere med flere beviser til kommende mat B- og A-elever. Det er tanken at denne bog efterfølges af bøger til de to andre niveauer, således at disse også indeholder C-niveauets kernestof. Her vil matematikkens deduktive struktur yderligere fremhæves. Bogen har mange opgaver, der træner forskellige kompetencer på flere niveauer. Der er derfor også opgaver, der kan udfordre de stærkeste elever. Rasmus Axelsen, Vordingborg 2013

11 10

12 1Grafer, variable og funktioner 1 Grafer, variable og funktioner En stor del af denne bog handler om arbejdet med funktioner og deres grafer. I matematikken skal der ikke kun udregnes facit på regnestykker. Både den matematik man møder i matematiktimerne, og den del man ser i hverdagen, bruger grafiske fremstillinger. Mange gange kan en grafisk fremstilling fremstille resultater meget overskueligt frem for en masse tal og udregninger. Dette vil du møde både i matematiktimerne, i andre fag og i aviser og på fjernsyn. Grafer er et vigtigt redskab i matematik og til forståelse af andres udregninger. Da der ikke er udregninger på grafen, så er den nemmere at forstå, men det er vigtigt at man er grundig og entydig når man laver og aflæser på grafer. Man kan nemt blive snydt af en grafisk fremstilling. Vi indfører i dette kapitel begreber til at kunne beskrive grafer. I de følgende kapitler lægger vi i højere grad vægt på beregninger også, men de vil hele tiden suppleres med en grafisk forståelse hentet fra dette kapitel. Eksempel 1 Betragt følgende graf på næste side:

13 Årstal Grafen viser betalingsbalancen i Danmark i perioden Hvordan kan man beskrive denne graf? Hvilke interessante træk ved grafen kan man fremhæve? Koordinatsystemet Et almindeligt koordinatsystem består af to talakser, førsteaksen (x-aksen) og andenaksen (y-aksen). De krydser som regel hinanden i punktet (0, 0). Et punkt i koordinatsystemet består af en første- og andenkoordinat, så punktet A(5, 2) placeres 5 hen ad førsteaksen og 2 op ad andenaksen. Punktet A og to andre er vist i koordinatsystemet her:

14 1 Grafer, variable og funktioner 13 y 6 5 B( 1,3) A(5,2) x C(2, 3) 4 I koordinatsystemet ovenfor er der lige store enheder på begge akserne. I mange andre sammenhænge er dette ikke tilfældet. Meget ofte er enhederne forskellige, andre gange er der måske slet ikke tal på førsteaksen. Det har stor betydning hvordan man i disse tilfælde indretter sine koordinatakser. Betragt følgende to grafer: Nkr-kurs Årstal Nkr-kurs Årstal Begge grafer viser kursen på den norske krone i forhold til den danske krone fra 1991 til Når akserne ikke skærer hinanden i (0,0), så markeres dette med en zigzagget linje på aksen. Begge grafer er korrekte gengivelser af de givne tal, men man kan nemt

15 14 komme til forskellige konklusioner, alt afhængigt af hvilken graf man betragter. Den første graf viser en relativt stabil kronekurs, hvorimod den anden antyder meget voldsomme udsving i kursen. Det er derfor altid meget vigtigt at være opmærksom på koordinataksernes begyndelsespunkt. En anden ting der kan ændre på udseendet af en graf, er enhederne. På ovenstående akser er enhederne forskellige på første- og andenaksen. Man behøver ikke at lave ens enheder, men man skal være opmærksom på at udseendet af grafen ændres. De næste to grafer viser samme funktion med henholdsvis ens og forskellige enheder på akserne. y y x x Når du i de efterfølgende kapitler arbejder med grafer, så vil du ofte opleve at dit eget billede er anderledes end sidemandens, eller bogens. Det betyder ikke nødvendigvis at der er gjort noget forkert, men blot at enhederne er forskellige.

16 1 Grafer, variable og funktioner 15 Grafer Graferne i det forrige afsnit bygger på tal fra en tabel. I matematik vil vi i langt højere grad arbejde med grafer for funktioner. Funktioner er en måde at beskrive sammenhænge i tal eller at lave en matematisk model over en virkelig situation. Fordelen er at man med funktionen kan lave flere beregninger og prøve at forudsige hvad der sker for de tal der ikke nødvendigvis er i en tabel. Graferne nedenfor viser omsætningen for en virksomhed. Til venstre er grafen tegnet ud fra en tabel (et sildeben). Til højre er lavet en model en funktion, der beskriver tallene (de røde punkter er tallene fra tabellen). År efter Omsætning i mio. kr Omsætning Omsætning År efter År efter 1998 Funktioner En funktion er en matematisk måde at beskrive sammenhænge mellem tal. Hvis vi med et matematisk udtryk med god tilnærmelse beskriver en sammenhæng fra virkeligheden, kalder vi funktionen for en matematisk model. Indtil videre har vi ikke præcist forklaret hvad en funktion er, blot at man kan tegne grafen for den. Skal man være helt korrekt, så er en funktion følgende:

17 16 Definition 1 En funktion er en regel, der til hver x-værdi knytter netop én y-værdi. y-værdien kalder vi for funktionsværdien y = f (x). y f (x) x x Funktionsværdier kan være givet i tabeller, på en graf eller ved en forskrift der viser hvordan den beregnes. I de følgende kapitler vil funktioner som regel været givet ved en forskrift, så der kan regnes på den. Samtidigt vil graferne blive tegnet, så man kan få en grafisk forståelse for hvad udregningerne betyder. Funktionsværdier Hvis man har en funktionsforskrift, kan man beregne funktionsværdier ved at sætte tal ind på x s plads i forskriften. Har man blot en graf, kan man aflæse funktionsværdier. Skal man aflæse værdien f (5), går man ud til 5 på førsteaksen og op eller ned til man rammer grafen. Funktionsværdien f (5) kan således aflæses på andenaksen.

18 1 Grafer, variable og funktioner 17 y f x f (5) = 23 betyder at x er5,ogat y er En funktionsværdi er med andre ord en y-værdi der hører til en x-værdi. I ovenstående eksempel er f (5) y-værdien 23, og man skriver f (5) = 23. Hvis man på en omsætningsgraf er interesseret i hvad omsætningen er efter 2 år, så vil man aflæse funktionsværdien f (2). Oms. i mio. kr f (2) = f En omsætningsgraf En omsætningsgraf er en graf der på y-aksen har omsætningen. På x-aksen kan være tiden (f.eks. år), salgspris eller afsætningen Antal år efter 1998

19 18 På figuren ses det at funktionsværdien er f (2) = 337. Dette betyder at omsætningen er 337 mio. kr. 2 år efter Ligninger Er man i stedet interesseret i at gå den anden vej på grafen, f.eks. at bestemme årstallet for en bestemt omsætning, så skal man begynde på andenaksen og finde på x-aksen hvor man rammer grafen. Hvis man for eksempel vil undersøge hvornår omsætningen er 400 mio. kr., så gør man som på grafen her. Oms. i mio. kr. 500 f (x) = 400 f Antal år Bemærk at der på denne graf er to steder hvor omsætningen er 400 mio. kr. Det er efter 1 år og efter 4 år. Matematisk set har man løst ligningen f (x) = 400. Som løsning af problemet vil man skrive f (x) = 400 x = 4 eller x = 8. En ligning kan have en eller flere løsninger. I dette tilfælde er der to løsninger. Ligningen er kun fuldstændig løst hvis alle løsninger er angivet.

20 1 Grafer, variable og funktioner 19 Nulpunkter Når man arbejder med funktioner, så er der en bestemt type ligning som er specielt interessant at løse, nemlig ligningen f (x) = 0. Man ønsker ofte at finde ud af hvornår funktionen antager værdien nul. Det vil sige at man vil bestemme de punkter hvor y-koordinaten er nul. Disse punkter kaldes nulpunkter. Da y-værdien pr. definition er nul, angiver man ofte kun x-værdien. Funktionen for grafen herunder har nulpunkterne x = 3 og x = 4. y 6 f Nulpunkt 4 Nulpunkt x = 3 x = x Definitionsmængde og værdimængde Når man betragter en funktion (givet som en graf eller ved en forskrift), er det vigtigt at vide hvor stor en del af akserne grafen breder sig over. Definitionsmængden for funktionen f noteres Dm( f ) og er alle de tal som man kan sætte ind på x s plads i forskriften. Den kan aflæses på førsteaksen ved at se på hvor langt grafen strækker sig i førsteaksens retning. I eksemplet her er definitionsmængden alle tal i intervallet mellem 5 og 8. Derfor skriver vi Dm(f ) = [ 5;8].

21 20 y Dm(f ) = [ 5;8] f x 5 Intervaller Vi kan skrive intervaller ved hjælp af intervalklammer. Hvis vi skriver [0,3], betyder det at det er intervallet der går fra og med 0 til og med 3. Både 0 og 3 er derfor med i intervallet. Vi kalder intervallet for lukket. Hvis vi skriver ]0,3[, betyder det at det er intervallet der går fra 0 til 3. Hverken 0 eller 3 er med i intervallet. Vi kalder intervallet for åbent. Man kan også skrive et interval, f.eks. [2,6[. Her er 2 med i intervallet, men 6 er ikke med. Du kan selv vælge om du skriver komma eller semikolon (;) mellem tal i et interval, men hvis der indgår kommatal, så er det nødvendigt at adskille tallene med semikolon, f.eks. [3; 5, 8]. Dvs. intervallet fra og med 3 til og med 5,8. Hvis man skriver f.eks. [0, [, betyder det at intervallet indeholder alle tal fra og med 0. Tegnet betyder uendelig.

22 1 Grafer, variable og funktioner 21 Tal og variable For at kunne lave matematik skal man have styr på tal. Der er mange kategorier af tal. De har hver deres navne. De første tal et barn overhovedet lærer, er tælletallene. Disse kaldes også de naturlige tal: 1,2,3,4,... De naturlige tal skrives ofte N. Det næste man kan tilføje, er de negative heltal. Tilsammen kaldes alle de hele tal for Z.... 3, 2, 1,0,1,2,3,... De hele tal, betegnet med Z. Men man kan ikke nøjes med hele tal. Der vil også være alle decimaltallene. De tal hvor der kun er et endeligt antal decimaler (for eksempel 3, 25), eller hvor decimalerne gentager sig efter et mønster i det uendelige (for eksempel 0, ), kan skrives som en brøk. De to nævnte tal kan skrives 3,25 = 13 4 og 0, = 1 3. Bemærk at de hele tal også kan betragtes som brøker idet 5 = 5 1. Alle brøker benævnes med bogstavet Q...., 14 8, 0,3333, 1 5, 2 3,3,25, 4,... Brøkerne Q. 1 Der er også nogle decimaltal hvor der er uendelig mange decimaler der ikke gentager sig. Disse tal kan ikke skrives som brøker. Det er tal som 2 1,4142, π 3, Tilsammen udgør tallene (hele tal, brøker og decimaltal der ikke kan skrives som brøker) tallene på en tallinje. Disse kaldes samlet de reelle tal, R. 4, 5 7, 2 5,1, 2,π,7,25,... Alle tallene på tallinjen R. At tallene har disse bogstaver, kommer af tysk N (Natürliches zahlen), Z (Zahlen), Q (Quotienten, kvotient = brøk).

23 22 Værdimængden noteres Vm( f ) og er mængden af alle funktionsværdierne. Det er altså alle de y-værdier man kan aflæse på grafen. I eksemplet fra før er Vm(f ) = [11;23]. y Vm(f ) = [11; 23] f x 5 De lukkede punkter på grafen angiver at endepunkterne hører med til grafen. Hvis endepunkterne ikke hører med til grafen, angiver vi dette med åbne punkter, og Dm(f ) og Vm(f ) kan blive åbne intervaller. Hvis der ikke er angivet slutpunkter på grafen, fortæller dette at grafen fortsætter ud over det der er tegnet. Typisk vil den fortsætte til uendeligt, markeret med tegnet der betyder uendeligt. y 8 y 8 6 f 6 f 4 Vm(f ) = ]2;7] 4 Vm(f ) = [1;6] 2 2 Dm(f ) = ] 2;6[ Dm(f ) = [ 3; [ x x

24 1 Grafer, variable og funktioner 23 I en konkret situation vil der ofte ud af sammenhængen være begrænsninger på definitionsmængden. Eksempel 2 En forretning sælger sko og vil bestemme den salgspris pr. sko der giver det største samlede overskud. Hvis x er salgsprisen og f (x) er overskuddet, så er det klart at x erne er begrænset af at salgsprisen ikke kan være negativ det giver ikke mening at sælge en sko for 5 kr. I teorien kan prisen sættes til hvad som helst, men i praksis vil prisen måske ligge et sted imellem 50 kr. og 2000 kr. Vi vil i dette tilfælde skrive at Dm(f ) = [50;2000]. Overskud f Salgspris Værdimængden vil her være Vm(f ) = [ 21000;23000]. Det størst mulige overskud er altså kr., og det størst mulige underskud er kr. Skæringspunkter og uligheder Når man sammenligner to funktioner, så kan det være interessant at finde ud af hvornår den ene er større end den anden. For at gøre dette bestemmes først skæringspunkterne det vil sige der hvor de er lige store. Vi betragter graferne nedenfor. Den blå graf er omsætningen af en vare, og den røde er de samlede omkostninger