Overgangsbetingelser for D- og E-felt

Transkript

1 lektomgnetisme 5 Side f 9 lektosttisk enegi Ovegngsetingse fo D- og -ft I det flg. undesøges, hvd de ske med D- og -ftvektoene ved ovegngen mlem to diektik: D-ft: Den Gussiske flde S e en cylinde med lille gundflde ΔS, infinitesiml høde og demed umfng d. ρ og ρ infinitesimlt e ldningstæthedene i hhv. diektikum og, og σ e oveflddningstætheden ved gænseflden. ˆn D D n ΔS ds ' d D ΔS nˆ = nˆ D n D nˆ da = D nˆ da+ D nˆ da+ D nˆ da = D nˆ da+ D n da S ΔS ΔS ds' indl ΔS ˆ ΔS ( ) in i ˆ { } = D Δ S+ D Δ S = D D ΔS, D D n, i,. n n n n d d Q = ρ + ρ + σδ S = σδ S. å ikke ndet ngives, e de he og femove undefostået tle om indleede oveskudsldninge. Hvis de hvde væet tle om såv indleede som polistionsldninge, ville nottionen hve væet σ tot ndvidee e det he undefostået, t de e tle om ldningstæthede inden fo det infinitesimle umfng d. Thoms B. Lynge, Institut fo Fysik og noteknologi, AAU 4//7

2 lektomgnetisme 5 Side f 9 lektosttisk enegi Demed fås ifølge Guss lov: D D = σ. (5.) n n Så ved en skp ovegng f ét diektikum til et ndet e diskontinuiteten i D- ftvektoens nomlkomposnt således givet ved oveflddningstætheden f de indleede ldninge 3. Dette e i god oveensstemmse med, t D-fte skes f indleede ldninge. I en lede i sttisk ligevægt e som ekendt =, men pemittiviteten og demed D- ftet e ikke entydigt defineet, men sættes D =, fås fo en ovegng f en lede til et diektikum: svende til hvo ˆn Dn e ettet f ledeen ind i diektikumet. = σ, (5.) Dn ˆ = σ, (5.3) Bemæk nlogien mlem udtyk (.9), (3.) og (4.6) 4 : ρ, ( indl), ρp, ε tot = D= ρ P= smt mlem udtyk (.3), (3.) og (5.3): σ ˆ =, ˆ = ˆ ( indl) = ε tot n D n σ, P n σ P. Bemæk, t udtyk (5.) også gælde i gænsen ΔS, sådn t D og D konstnte henove hhv. og ΔS. ΔS uden tilnæmse kn ntges t væe 3 I den viste figu e σ således positiv. 4 I udtyk (3.) indgå et minustegn, fodi P, i modsætning til D og, e ettet f minus til plus. Thoms B. Lynge, Institut fo Fysik og noteknologi, AAU 4//7

3 lektomgnetisme 5 Side 3 f 9 lektosttisk enegi -ft: l e et ektng med lille sidængde Δl og infinitesiml høde dl '. A B dl ' D C dl Jf. opg. D e = dl = dl + dl = dl + dl = Δ l + Δl ABCDA AB CD AB CD = Δ l = Δl, Δlˆ, ( ) ( t t) svende til it i t = t Δl t t ( ). (5.4) Så tngentilkomposnten f -ftvektoen e kontinuet ved en ovegng f ét diektikum til et ndet. Thoms B. Lynge, Institut fo Fysik og noteknologi, AAU 4//7

4 lektomgnetisme 5 Side 4 f 9 lektosttisk enegi lektosttisk enegi f en smling punktldninge To punktldninge: ed q f to punktldninge q, q fostås efinde sig uendigt lngt f hinnden. Δ i fohold til en sitution, hvo og q kn således eegnes ved t se på en sitution, hvo flyttes f uendigt lngt væk til sin plds i fohold til q q (le omvendt), så q d q q ˆ O ifølge udtyk (.): = = = = 4πε 4 4 πε πε F d ˆ d d : Så den ektosttiske enegi f de to punktldninge e ltså hvis q og q h smme fotegn (fstødning), > hvis q og q h modst fotegn (tiltækning), < = 4πε. (5.5) fo (nulpunkt vlgt, hvo de to punktldninge ikke påvike hinnden). 5 Bemæk, t udtyk (5.5), som gælde i vkuum, ifølge udtyk (4.3) kn genelisees til et vilkåligt lineæt, isotopt diektikum ved t esttte ε med ε. 5 Den potentile enegi f en ekton i et tom med tomnumme Z e således Ze = 4πε og e demed minde, o tættee ektonen e på kenen, idet ektonens potentile til t opnå kinetisk enegi i kft f sin tiltækning til kenen e minde, o tættee ektonen e på kenen. Af smme gund e et legemes potentile enegi i tyngdeftet, = mgh, minde, o tættee det e på oden. pot Thoms B. Lynge, Institut fo Fysik og noteknologi, AAU 4//7

5 lektomgnetisme 5 Side 5 f 9 lektosttisk enegi Te punktldninge: Beegnet ud f den sitution, hvo føst plcees i fohold til, og q denæst q 3 plcees i fohold til og q, fås 3 3 = + + 4πε 4πε 4πε 3 3 q q = πε 4πε 4πε 4πε 4πε 4πε = 3 3 i 4πε. (5.6) i= i i : punktldninge: = i 4πε. (5.7) i= i i Hvis ϕ i etegne det ektosttiske potentil i punktet i, hvo den i te punktldning efinde sig, skt f de kn udtyk (5.7) skives øvige punktldninge: q ϕi = 4πε, (5.8) i i= i = qϕ i i. (5.9) På næ den fkto, som koigee fo t lle veksvikninge live tlt med to gnge, e udtyk (5.9) på smme fom som udtyk (.). Thoms B. Lynge, Institut fo Fysik og noteknologi, AAU 4//7

6 lektomgnetisme 5 Side 6 f 9 lektosttisk enegi lektosttisk enegi f en ldningsfoding Betgt et system estående f et ntl ledee (skveede) ngt inden i et lineæt, isotopt diektikum: S e såv intene som ekstene S S ε oveflde kendetegnet ved indleet ldningstæthed σ. e diektikumets umfng kendetegnet ved indleet ldningstæthed ρ. Den ektosttiske enegi f denne kontinuete ldningsfoding findes (nok engng) ved t. Indde i små diskete volumen- og ovefldeemente, de hve isæ sve til punktldninge med ldning hhv. Δ q= ρδ og Δ q= σδ A.. Behndle disse små ldningspotione som punktldninge f. udtyk (5.9). 3. Lde Δ og ΔA. Heved fås = ( ) ( ) ( ) ( ) ρ ϕ d + σ ϕ da S ρ( ' ) σ ( ' (5.) ), ϕ ( ) = d' + ', 4πε ' 4πε da S ' hvo det ektosttiske potentil e en geneliseing f udtyk (.8) til et diektikum med pemittivitet ε. D ldningstætheden e nul inden i ledene, kn i udtyk (5.) udvides til t omftte he systemet, svom ε kun e defineet fo diektikumet. Thoms B. Lynge, Institut fo Fysik og noteknologi, AAU 4//7

7 lektomgnetisme 5 Side 7 f 9 lektosttisk enegi I det følgende omskives udtyk (5.) til et udtyk, hvoi idgene f ledee og diektikum holdes dskilt. Ledenes idg e gennem oveflde fælles med diektikumet, så fo ledee med potentil yde oveflde fås ϕ, oveflde S og oveflddning Q og fo S ' etegnende systemets σ ϕ σ ϕ σ ϕ S S' S = ( ) ( ) = ( ) ( ) + ( ) da da da S' S ' ( ) ( ) ( ) = σ ϕ da+ ϕ σ da ( ) ( ) = = σ ϕ da+ ϕ Q = S, og demed = ( ) ( ) ( ) ( ) ρ ϕ d + σ ϕ da+ S' Q ϕ. (5.) = Så hvis l ldning sidde på oveflden f ledee: = Qϕ. (5.) = Thoms B. Lynge, Institut fo Fysik og noteknologi, AAU 4//7

8 lektomgnetisme 5 Side 8 f 9 lektosttisk enegi Dics dtfunktion Dics dtfunktion e i én dimension defineet på flg. måde: { } δ ( x) = x \, + δ ( xdx ) =. (5.3) δ ( x) x = x Fo t undesøge egenskene f δ ( x) etgtes integlet f ( x) δ ( x x) dx: Fo x ; fås ifølge udtyk (5.3): x + f ( x) δ( x x ) dx= lim f( x) δ( x x ) dx ε x ε x + ε = f ( x ) lim δ ( x x ) dx ε x ε ε = f( x ). δ ( x x ) f ( x) x x Fo x ; fås f( x) δ ( x x ) dx=, så f( x) δ ( x x ) dx= f ( x) fo x ;, (5.4) fo x ; svende til t Dics dtfunktion, såfemt integlet løe henove x, udvælge funktionsvædien i x. Thoms B. Lynge, Institut fo Fysik og noteknologi, AAU 4//7

9 lektomgnetisme 5 Side 9 f 9 lektosttisk enegi Ovenstående kn umiddt genelisees til te dimensione fo δ δ( x x ) δ( y y ) δ( z z, (5.5) svende til ( ) δ (5.6) f d = f,. ( ) d =,, ( ) δ ( ) ( ) ) Dic-epæsenttion f punktldninge: n punktldning q plceet i punktet kn epæsentees ved ldningstætheden ρ = qδ, (5.7) idet ( ) ( ) d q d q d = q, ρ ( ) = δ ( ) = δ ( ) smtidigt med t ldningen q e koncenteet i. Fo punktldninge gælde ( ) = qiδ ( i) ρ i=. (5.8) h. udtyk (5.8) e det således muligt t epæsentee en smling punktldninge som en kontinuet ldningsfoding. De led i eks. udtyk (.8) og (.8), som eskive punktldningenes idg kn således uddes, nå lot ρ inkludee den kontinuete ldningsfoding fo disse punktldninge. Begeet kontinuet ldningsfoding e således ikke et ltentiv til, men en geneliseing f egeet punktldning. Thoms B. Lynge, Institut fo Fysik og noteknologi, AAU 4//7