Hvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17
|
|
- Benjamin Mikkelsen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Hvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17
2 Hvad er kønetværk? Vi skal kun se på åbne kønetværk (ankomst fra eksterne kilder, hver kunde forlader systemet med sandsynlighed 1). Ideelt vil vi gerne, at hvert delsystem ligner de køsystemer, vi véd, hvordan vi analyserer (M/M-systemer, M/GI -systemer). Interessante spørgsmål 1 Hvordan ser ankomst/afgangsprocesser i delsystemer ud? 2 Hvilken indflydelse har det på beregninger, at delsystemer generelt afhænger af hinanden? 3 Hvordan beregnes performancestørrelser for (del)system? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 2 / 17
3 Hvad er kønetværk? Poisson afgangsproces hvornår? Burke s sætning: For et M/M(m, ) med ankomstintensitet a og trafiktilbud A, således at A/m < 1 (ligevægt), er afgangsprocessen også en Poisson proces med intensitet a. Desuden, hvis N(t) er antal kunder i systemet til tid t, og M(t) er afgangsprocessen til tid t, så er N(t) uafhængig af M(s) for alle s t. Med andre ord ankomst- og afgangsprocessen ser ens ud ( flow ind = flow ud ) vi kan ikke bruge observationer af afgangsprocessen nu til at sige noget om antallet af kunder i systemet nu. Endvidere for et M/GI (, 0)-køsystem (uendeligt mange ekspedienter) med ankomstintensitet a, er afgangsprocessen ligeledes en Poisson proces med intensitet a. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 3 / 17
4 Hvad er kønetværk? Eksempel: simpel tandemkø Hvert delsystem kan analyseres separat som M/M(1, ). Lad N i (t) = antal kunder i delsystem i til tid t. Eftersom N 2 (t) kun afhænger af ankomstproces før tid t, som er uafhængig af N 1 (t) iflg. Burke s sætning, er N 1 (t) faktisk uafhængig af N 2 (t) (gælder generelt i Jacksonnetværk som defineret senere slide 12). AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 4 / 17
5 Fra afgangsproces til ankomstproces Ankomstprocesser til delsystemer er typisk Sammensat af flere afgangsproc./eksterne ankomstproc. En procentdel af en afgangsproc./eksterne ankomstproc. Begge dele. Reminder fra 2. forelæsning Sum. Hvis N i uafhængige Poissonprocesser med int. a i, i = 1, 2, så er N 1 + N 2 en Poissonproces med intensitet a 1 + a 2. Udtynding. Lad N være en Poissonproces med intensitet a. Hvis Ñ er tælleprocessen, som fremkommer ved uafhængigt at inkludere hver enkelt ankomst i N med sandsynlighed p, så er Ñ en Poissonproces med intensitet ap. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 5 / 17
6 Fra afgangsproces til ankomstproces Sumproces har intensitet givet ved sum af afgangsintensiteter. Antag p p k 1 og sandsynlighed p j for at en ankomst tilknyttes delproces j. Da er de k Poisson delprocesser uafhængige med intensiteter p 1,..., p k, respektivt. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 6 / 17
7 Fra afgangsproces til ankomstproces Erlang ankomstprocesser Delproces j får præcis hver jte ankomst, j = 1,..., k. Dermed fås en Erlangproces af orden k m. intensitet a/k. Vanskeligt at benytte dette til eksakte beregninger pånær i meget simple kønetværk, fx simpel tandemkø. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 7 / 17
8 Fra afgangsproces til ankomstproces Eksakte beregninger opsummering Vi kan regne eksakt på åbne kønetværk, hvor Eksterne ankomstprocesser er Poisson. Delsystemer med m servere, uafhængige eksp. fordelte ekspeditionstider og uendeligt mange ventepladser. Tilfældig kundeallokering mellem delsystemer. (Der ingen løkker er, dvs. hver kunde besøger hvert delsystem højest én gang). Fremgangsmåde 1 Bestem ankomstintensitet for hvert delsystem vha. regnereglerne slide 6. 2 Regn på hvert delsystem som på M/M(m, ). 3 Sammensæt evt. performancestørrelser fra delsystemer. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 8 / 17
9 Fra afgangsproces til ankomstproces Eksempel: kønetværk uden løkker Antag at hvert delsystem er et M/M(1, )-system. Ekspeditionsintensiteter b 1 = 3, b 2 = 2.5, b 3 = 0.5, b 4 = 4. Dvs./ delsystemer med ankomst/ekspeditionsintensiteter 1 : a = 2, b = 3, 3 : a = = 0.2, b = : a = = 1.8, b = : a = 2, b = 4. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 9 / 17
10 Fra afgangsproces til ankomstproces Eksempel: kønetværk uden løkker Hvad er den gennemsnitlige produktionstid (i ligevægt)? Gnsnt. antal kunder n i i delsystem i (i ligevægt); vi véd at n i = hvor A i trafiktilbud i delsystem i. Dvs. 1 : n 1 = (2/3)2 1 2/3 = 1.33, 2 : n 2 = (1.8/2.5) /2.5 = : n 3 = (0.2/0.5) /0.5 = : n 4 = (2/4)2 1 2/4 = 0.5. Dvs. samlet gnsnt. produktionstid (vha. Little s formel) V = 1 a (n 1 + n 2 + n 3 + n 4 ) = 1.98 A2 i 1 A i, AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 10 / 17
11 Kønetværk med løkker (feedback) Eksempel på kønetværk med løkke/feedback. Antag at delsystemer kan modelleres som G/M(m, )-systemer og at ekstern ankomstproces er Poisson. Bemærk at intern ankomstproces (dvs. når feedback medregnes) ikke er en Poissonproces! Kan systemerne stadig analyseres som separate M/M(m, )-køsystemer? Ja ifølge Jackson s sætning. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 11 / 17
12 Jacksonnetværk Et Jacksonnetværk er et åbent kønetværk af G/M(m, )-køer, hvor eksterne ankomstprocesser er uafhængige Poisson, og kunder fra et køsystem allokeres tilfældigt til næste køsystem indtil kunden forlader køsystemet. Jackson s sætning Et Jacksonnetværk kan analyseres ved at 1 Bestemme ankomstintensiteter a i til hvert delsystem ved at udnytte, at flow ind = flow ud for hvert delsystem i ligevægt. 2 Behandle hvert delsystem som om det var et M/M(m, )-system med ankomsintensitet a i uafhængigt af de øvrige delsystemer. 3 Evt. kombinere performancestørrelser på tværs af delsystemer. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 12 / 17
13 Jacksonnetværk Eksempel: beregninger i Jacksonnetværk Præcis samme teknik, som I brugte i Opgave 2 til 2. opgaveregning. 1 : a 1 = λ a 4 4 : a 4 = a 3 + a 2 2 : a 2 = 0.5a 1 5 : a 5 = 0.8a 4 + λ 2 = λ 1 + λ 2. 3 : a 3 = 0.5a a 5 = 10 AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 13 / 17
14 Jacksonnetværk Eksempel: beregninger i Jacksonnetværk Antag at eksempelnetværk er et Jacksonnetværk med M/M(1, )-delsystemer og ekspeditionsintensiteter b 1 = = b 5 = 12/time Gnsnt. antal kunder n i i delsystem i (i ligevægt); vi véd at n i = hvor A i trafiktilbud i delsystem i. Dvs. 1 : n 1 = (11.25/12) /12 = 14.06, 3 : n 3 = (5.63/12) /12 = : n 2 = (5.63/12) /12 = : n 4 = (11.25/12) /12 = : n 5 = (10/12)2 1 10/12 = Dvs. samlet gnsnt. produktionstid (vha. Little s formel) V = 1 λ 1 + λ 2 (n 1 + n 2 + n 3 + n 4 + n 5 ) = 3.3 A2 i 1 A i, idet λ 1 + λ 2 er intensiteten for alle ankomster ( samlet throughput ). AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 14 / 17
15 Jacksonnetværk Karakteristiske størrelser i Jacksonnetværk Poisson eksterne ankomstprocesser med intensiteter λ 1,..., λ l. Sæt λ = λ λ l (samlet throughput). Antag k delsystemer med ankomstintensiteter a i ; gennemsnitlige ekspeditionstider b i ; m i ekspedienter; N i (t) kunder til tid t. Ekspedientbelastning ved delsystem i; med trafiktilbud A i = a i /b i ρ i = A i m i, (skal være mindre end 1 for ligevægt!). Gennemsnitligt antal besøg til delsystem i: v i = a i /λ. Gennemsnitligt antal kunder i system: L = k i=1 EN i. Gennemsnitlig opholdstid i system: V = 1 k λ i=1 EN i. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 15 / 17
16 Rekapitulation: dimensionering og analyse Vi kan regne eksakt på åbne kønetværk m. M/M(m, ) delsystemer og tilfældig allokering til delsystemer. Velegnet til initiel dimensionering og analyse. Bemærk Analysen forudsætter eksponentialfordelte ventetider. Ofte er ventetidernes varians mindre end eksponentialfordelingens. Det betyder, at analysen giver konservative performancemål. Eksempelvis vil den faktiske gennemsnitlige ventetid være mindre end analysens resultat, jf. PK-formlen V = 1 1 A ( 1 + VarS ) 2 b 1 A (ES) 2. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 16 / 17
17 Kort om M/GI (, 0)-delsystemer Vi kan faktisk også regne eksakt på åbne kønetværk med M/GI (, 0)-delsystemer; uden løkker(!!!). Mindre interessante i dimensioneringssammenhæng pga. uendeligt mange ekspedienter per delsystem dvs. kunder bliver altid straksekspederet. For antal kunder i delsystem i gælder N i Poisson(A i ). Heraf eksempelvis antal kunder i delsystem i Dvs. EN i = A i gennemsnitligt antal kunder EN1 + + EN k = A A k ; gennemsnitligt produktionstid: V = λ 1 (A A k ). AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 17 / 17
Stokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 8. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 HVAD ER KØNETVÆRK? Åbent kønetværk Lukket kønetværk HVAD ER KØNETVÆRK? 2 Vi skal
Læs mereNotation for parallelforbundne ekspeditionssystemer
Køsystemer notation Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X /Y (m, q). Ankomstproces X og ekspeditionstidsproces Y kan antage værdier: M: Uafhængige og eksponentialfordelte ventetider. Dvs.
Læs mereVi har beskæftiget os indgående med ankomst- og servicetidsprocesser. Disse karakteriserer input til et køsystem. Andre karakteriserende størrelser?
Dagens emner Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer. Little s formel. Repetition af hopdiagrammer og Markovprocesser. Fødsels- og dødskøsystemer. AGR/PSE (I17) VS7-5.
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 7. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OVERBLIK Sidste gang: M/M/(m, n m)-køsystemet: ligevægtsfordeling; performancestørrelser;
Læs mereMatematisk model for køsystem
Matematisk model for køsystem Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde). Kødisciplin (rækkefølge for service). Ekspeditionstidsproces S 1, S 2,... (servicetid per kunde). Dagens emne: ankomstprocesser.
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 6. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 KØSYSTEMER NOTATION Notation for parallelforbundne ekspeditionssystemer X/Y(m, q).
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 5. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 DAGENS EMNER Kvalitative egenskaber og karakteristiske størrelser i generelle køsystemer.
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 2. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 STOKASTISK MODEL FOR KØSYSTEM Population Ankomst Kø Ekspedition Output Ankomstproces
Læs mereModeller for ankomstprocesser
Modeller for ankomstprocesser Eric Bentzen Institut for Produktion og Erhvervsøkonomi Handelshøjskolen i København November 2007 1 . Afsnit Indhold Side 1 Indledning 3 2 Ankomstprocessen 3 3 Servicesystemet
Læs mereKræver generelt at diverse ventetider er eksponentialfordelte. Faste rammer for serverdiscipliner mv. Svært at modellere ikke-standard køsystemer.
Opsamling eksakte modeller Fordele Praktiske til initierende analyser/dimensionering Ofte nemme at regne på. Kan bruges til at løse optimeringsopgaver, som ellers ville kræve snedige simulationsdesigns.
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 9. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 OPSAMLING EKSAKTE MODELLER Fordele: Praktiske til initierende analyser/dimensionering
Læs mere1 Palm teori. Palm teori 1
Palm teori 1 1 Palm teori Lad X = {X(t)} t 0 være en stokastisk proces defineret på et måleligt rum (Ω, F), og lad T = {T n } n N0 være en voksende følge af ikke-negative stokastiske variable herpå. Vi
Læs mereStokastiske processer og køteori
Info Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Jesper Møller Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet http://www.math.aau.dk/ jm JM (I17) VS7-1. minimodul 1 / 40 Info Praktisk information
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 3. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 SIDSTE GANG Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde) til køsystem. Modellér
Læs mereLidt supplerende køteori (ikke pensum)
H.Keiding: Operationsanalyse MØK 205II Note om køteori, side. Lidt mere om M/M/ Lidt supplerende køteori (ikke pensum).. Rate-equality. I den første note endte vi de generelle betragtninger med en hurtig
Læs mereLøsning til prøveeksamen 1
IMM - DTU 020 Probability 2006-2-8 BFN/bfn Løsning til prøveeksamen Spørgsmål ) For en indikatorvariabel I A for hændelsen A gælder E(I A ) = P(A) (se for eksemepl side 68). Således er E(X) = P(N ) = =
Læs mereBetingning med en uafhængig variabel
Betingning med en uafhængig variabel Sætning Hvis X er en reel stokastisk variabel med første moment og Y er en stokastisk variabel uafhængig af X, så er E(X Y ) = EX. Bevis: Observer at D σ(y ) har formen
Læs mereStokastiske processer og køteori
Stokastiske processer og køteori 1. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1 PRAKTISK INFORMATION Hjemmeside: http://www.math.aau.dk/~gorst/vs7 Litteratur: 1.
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereTeoretisk Statistik, 13 april, 2005
Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Negativ binomialfordeling, Afsnit 4.4 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereUdvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer
Chapter 2: Genstandsområde: Køteori Analyse af køsystemer Formål: Udvikling af operations karakteristika/performance mål for køsystemer > ssh for 0 enheder i system > gns # enheder i køen > gns # enheder
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 7. november 2015 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Slide 3/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion
Læs mereEn oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger
Institut for Økonomi Aarhus Universitet Statistik 1, Forår 2001 Allan Würtz 4. April, 2001 En oversigt over udvalgte kontinuerte sandsynlighedsfordelinger Uniform fordeling Benyttes som model for situationer,
Læs mereFornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve
Fornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve May 9, 2003 For at få kredit for kurset Fornyelsesteori med anvendelser kræves at afleveringsopgave 1 og 2 samt nedenstående punktprøve besvares tilfredsstillende.
Læs mereBernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Bernoulli og binomial fordelingerne Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition Lov om total sandsynlighed Bayes sætning P( B A) = P(A) = P(AI B) + P(AI P( A B) P( B) P( A B) P( B) +
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Hypergeometrisk fordeling, Afsnit 4.3 Multinomial fordeling, Afsnit 4.8 Geometrisk fordeling og Negativ binomialfordeling (Inverse Sampling), Afsnit 4.4 Approksimation
Læs mereSandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 6. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfn@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 4.2, 4.3 og 4.4 Poissonprocessen/eksponentialfordelingen
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematik Intro Mads Friis, stud.scient 27. oktober 2014 Slide 1/25
Slide 1/25 Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 Slide 2/25 Om undervisningen Hvorfor er vi her? Hvad kommer der til at ske? 1) Teoretisk gennemgang ved tavlen. 2) Instruktion i eksempler. 3) Opgaveregning. 4) Opsamling.
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereEksempler Determinanten af en kvadratisk matrix. Calculus Uge
Oversigt [LA] 8 Her skal du lære om 1. Helt simple determinanter 2. En udvidelse der vil noget 3. Effektive regneregler 4. Genkend determinant nul 5. Produktreglen 6. Inversreglen 7. Potensreglen 8. Entydig
Læs mereAntag X 1, X 2,..., X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X 1 )=σ 2 1,..., Var(X n )=σ 2 n.
Simple fejlforplantningslov Landmålingens fejlteori Lektion 6 Den generelle fejlforplantningslov Antag X, X,, X n er n uafhængige stokastiske variable, hvor Var(X )σ,, Var(X n )σ n Lad Y g(x, X,, X n ),
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereVK#Galla#04/05# #2018#ankomster#
VK#Galla#04/05# #2018#ankomster# Tidspunkt# Par#og#Klasse# # 15.00.00# Karen&Holm&Jørgensen&(3.A)&&&Sara&Krarup&Møller&(3.E)&# 15.00.40# Christina&Skøtt&Juul&(3.E)&&&Trine&Nyborg&(3.E)&# 15.01.20# Julie&Munk&Vestergaard&(3.E)&&&Julie&Lund&Fisker&(3.E)&#
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereOversigt. Kursus 02402 Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Eksponential fordelingen
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 305/324 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs merePrincipper for Samtidighed og Styresystemer
Principper for Samtidighed og Styresystemer kursusintroduktion og Introduktion til Styresystemer René Rydhof Hansen Februar 2008 PSS 08 (Forelsning 00) Kursus intro./intro. styresystemer Februar 2008 1
Læs mereVægte motiverende eksempel. Landmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl. Vægtet model. Vægtrelationen
Vægte motiverende eksempel Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@mathaaudk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Højdeforskellen mellem punkterne P
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereOperationsanalyse MØK
Operationsanalyse MØK 2015II Eksamensopgave, Rettevejledning, side 1 Operationsanalyse MØK Eksamensopgave, 4. januar 2016 Rettevejledning 1. Vi har at gøre med et transportproblem, der kan skrives på formen
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Kontinuerte fordelinger Ventetider i en Poissonproces Beskrivelse af kontinuerte fordelinger: - Median og kvartiler - Middelværdi - Varians Simultane fordelinger 1 Ventetider i en Poissonproces
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereCIVILINGENIØREKSAMEN Side 1 af 16 sider. Skriftlig prøve, den: 28. maj 2010 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
CIVILINGENIØREKSAMEN Side af 6 sider Skriftlig prøve, den: 8. maj 00 Kursus nr : 005 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret af: navn underskrift bord nr Der
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 12. Oktober, 2007 Kontinuerte fordelinger Vi har hidtil set på fordelinger af stokastiske variable der højst kan antage tælleligt mange værdier (diskrete stokastiske
Læs mereTØ-opgaver til uge 45
TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf13 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/1 Vægtet
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.
For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν
Læs mereVejledende løsninger til opgaver i kapitel 6
Vejledende løsninger til opgaver i kapitel Opgave 1: a) Den stokastiske variabel, X, der angiver, om en elev består, X = 1, eller dumper, X =, sin eksamen i statistik. b) En binomialfordelt variabel fremkommer
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion4 - Vægte og Fordeling af slutfejl
Landmålingens fejlteori Lektion 4 Vægtet gennemsnit Fordeling af slutfejl - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/36 Estimation af varians/spredning Antag X 1,...,X n stokastiske
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereRepetition. Diskrete stokastiske variable. Kontinuerte stokastiske variable
Normal fordelingen Normal fordelingen Egenskaber ved normalfordelingen Standard normal fordelingen Find sandsynligheder ud fra tabel Transformation af normal fordelte variable Invers transformation Repetition
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Fordeling af slutfejl - Lektion 8
Landmålingens fejlteori Repetition - Fordeling af slutfejl Lektion 8 - tvede@math.aau.dk http://www.math.aau.dk/ tvede/teaching/l4 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 15. maj 2008 1/13 Fordeling
Læs mereStatistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning
Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, efteråret 2013 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,
Læs mereStatistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning
Side 1 af 6 Statistik vejledende læreplan og læringsmål, foråret 2015 SmartLearning Litteratur: Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø: Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave,
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs meredpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer
Øvelse 1 dpersp Uge 40 - Øvelser Internetalgoritmer (Øvelserne 4 og 6 er afleveringsopgaver) a) Hver gruppe får en terning af instruktoren. Udfør 100 skridt af nedenstående RandomWalk på grafen, som også
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereOperationsanalyse, Ordinær Eksamen 2017I Rettevejledning
Operationsanalyse, Ordinær Eksamen 207I Rettevejledning Opgave A Ifølge de givne oplysninger skal der ialt udbringes 000 kg gødning i årets løb. Det fremgår videre af teksten, at der ønskes udbragt en
Læs mereNoget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet
Random Walk-kursus 2014 Jørgen Larsen 14. oktober 2014 Noget om en symmetrisk random walks tilbagevenden til udgangspunktet Dette notat giver et bevis for at en symmetrisk random walk på Z eller Z 2 og
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereStatistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics
Statistik noter - Efterår 2009 Keller - Statistics for management and economics Jonas Sveistrup Hansen - stud.merc.it 22. september 2009 1 Indhold 1 Begrebsliste 3 2 Forelæsning 1 - kap. 1-3 3 2.1 Kelvin
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige
Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = 1 n hvor z i = xi 2 + yi 2. n z i = 1 n i=1 n i=1 x 2 i + y 2 i Indfør tabellen samt vægtene Da er a k = #{i
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereBinomialfordelingen. X ~ bin(n,p): X = antal "succeser" i n uafhængige forsøg, der alle har samme sandsynlighed p for at ende med succes.
Uge 9 Teoretisk Statistik 23. februar 24 1. Binomialfordelingen 2. Den hypergeometriske fordeling 3. Poissonfordelingen 4. Den negative binomialfordeling 5. Gammafordelingen Binomialfordelingen X ~ bin(n,p):
Læs mereFagplan for statistik, efteråret 2015
Side 1 af 7 M Fagplan for statistik, efteråret 20 Litteratur Kenneth Hansen & Charlotte Koldsø (HK): Statistik I økonomisk perspektiv, Hans Reitzels Forlag 2012, 2. udgave, ISBN 9788741256047 HypoStat
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereBetingede sandsynligheder Aase D. Madsen
1 Uge 12 Teoretisk Statistik 15. marts 2004 1. Betingede sandsynligheder Definition Loven om den totale sandsynlighed Bayes formel 2. Betinget middelværdi og varians 3. Kovarians og korrelationskoefficient
Læs mereSkriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00
Skriftlig Eksamen ST501: Science Statistik Mandag den 11. juni 2007 kl. 15.00 18.00 Forskningsenheden for Statistik IMADA Syddansk Universitet Alle skriftlige hjælpemidler samt brug af lommeregner er tilladt.
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereUniversity of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version
university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,
Læs mereC) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b2.
C) Perspektiv jeres kommunes resultater vha. jeres svar på spørgsmål b1 og b. 5.000 4.800 4.600 4.400 4.00 4.000 3.800 3.600 3.400 3.00 3.000 1.19% 14.9% 7.38% 40.48% 53.57% 66.67% 79.76% 9.86% 010 011
Læs mere02402 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel 4
0202 Vejledende løsninger til hjemmeopgaver og øvelser i kapitel Hjemmeopgaver Vejledende løsning.2 Eksperimentet kan beskrives ved binomialfordelingen, X b(x; n, p), hvor n = og p = 1 2. Dermed kan man
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Approksimation af binomialsandsynligheder, Afsnit 4.5 Poisson fordeling og Poisson process, Afsnit 4.6 Kontinuerte fordelinger, Afsnit 5.1-5.2: - Fordelingsfunktion - Tæthedsfunktion - Eksempel:
Læs mereStatistik Lektion 1. Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik
Statistik Lektion 1 Introduktion Grundlæggende statistiske begreber Deskriptiv statistik Introduktion Kursusholder: Kasper K. Berthelsen Opbygning: Kurset består af 5 blokke En blok består af: To normale
Læs mereLøsning til eksamen 16/
1 IMM - DTU 245 Probability 24-5-11 BFN/bfn Løsning til eksamen 16/12 23 Spørgsmål 1) 2 44% Man benytter formlen for skalering og positionsskift i forbindelse med varians og standardafvigelse, samt formlen
Læs mere1. Forord:... 2. LivingLean i dagligdagen er... 3. 2. LivingLean NCC intro... 4
1. Forord:... 2 LivingLean i dagligdagen er.... 3 2. LivingLean NCC intro... 4 Tillid og samarbejde... 4 Værdi og spild... 5 Opstart nye pladser... 6 3. Værktøjskassen... 7 Tavlemøder... 7 5S... 8 Værdistrømsanalyser...
Læs merematx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring
mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten
Læs mereEksempel 9.1. Areal = (a 1 + b 1 )(a 2 + b 2 ) a 1 a 2 b 1 b 2 2a 2 b 1 = a 1 b 2 a 2 b 1 a 1 a 2 = b 1 b 2
Oversigt [LA] 9 Nøgleord og begreber Helt simple determinanter Determinant defineret Effektive regneregler Genkend determinant nul Test determinant nul Produktreglen Inversreglen Test inversregel og produktregel
Læs mereStatistik for ankomstprocesser
Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden
Læs mere