Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
|
|
- Philippa Lassen
- 6 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter. x antages at være en værdi af en stokastisk variabel X (X,..., X n ). Udfaldsrummet E R n er mængden af alle mulige udfald. Overheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ. 2 Hvad er en statistisk model? Afgrænsningen af de mulige sandsynlighedsfordelinger formaliserer vor forhåndsviden eller vore forhåndsantagelser om problemet. De enkelte fordelinger formaliserer den usikkerhed der er forbundet med observationerne. Mængden af mulige sandsynlighedsfordelinger formaliserer den uvidenhed vi har om de mekanismer, der har frembragt observationerne. Formålet med den statistiske analyse er at fjerne noget af uvidenheden om de bagvedliggende mekanismer, der har frembragt observationen. Statistisk model Mængden af sandsynlighedsfordelinger skal kunne indiceres ved en parameter θ Θ R d. Den statistiske model er givet ved (E, (P θ ) θ Θ ), hvor (P θ ) θ Θ er en familie af sandsynlighedsfordelinger på E. Parameterområdet Θ R d er en indeksmængde for familien af sandsynlighedsfordelinger i modellen, og θ Θ er parameteren. 3 4
2 Likelihoodfunktionen x 2 p(x,, x n ) P(A) A Antag at P θ er kontinuert med sandsynlighedstæthed p θ θ Θ. Fortolkning af sandsynlighedstætheden: For et (lille) δ > 0 gælder at sandsynlighedstætheden for en mængde af formen A [x, x + δ] [x n, x n + δ] hvor A E, er approksimativt givet ved x 2 + δ x 2 A p(x,..., x n ) P (A)/ A x x + δ x 5 6 Maximum likelihood estimator Tætheden kan opfattes som forholdet mellem sandsynlighedsmasse og volumen (for et lille område). Likelihoodfunktion: L : E Θ [0, ) L(x, θ) p θ (x) L(x, θ) er for fastholdt x et mål for hvor sandsynligt det er at få observationen x, når X s fordeling er P θ. Vi ønsker at vælge den sandsynlighedsfordeling i modellen, der passer bedst muligt med det observerede x. At vælge en fordeling på grundlag af observationen x kaldes at estimere (eller på dansk at skønne). Fordelingen P θ identificeres ofte med parameteren θ, så man estimerer parameteren θ. Maximum likelihood estimatoren fås ved at vælge den sandsynlighedsfordeling i modellen, der passer bedst med vores observation i følgende forstand: ˆθ ˆθ(x) Θ er maximum likelihood estimatoren for θ, hvis L(x, ˆθ) L(x, θ) θ Θ 7 8
3 Beregning af maximum likelihood estimatoren Antag at vi observerer x fra en Normalfordeling N(θ, ). Likelihoodfunktion: L(x, θ) 2π 0.6 exp (0.347 θ) } Maximum likelihood estimatoren findes ved at maksimalisere L som funktion af θ for fastholdt x, altså ved en funktionsundersøgelse af L. Det er ofte besværligt at arbejde direkte med L, og i stedet findes maximum af log-likelihooden l log L. De to funktioner L og l har samme maximum (overvej hvorfor!), og det er derfor ligegyldigt om man ser på den ene eller den anden. likelihood and log likelihood L θ 9 0 Log-likelihoodfunktion: l(x, θ) log(l(x, θ)) log( 2π 0.6) (x θ) Maximum er det samme for de to funktioner, likelihood og log-likelihood. likelihood and log likelihood L l log(l) likelihood and log likelihood L l log(l) θ θ 2
4 Et andet eksempel, her eksponentialfordelingen. likelihood and log likelihood L*00 l log(l) θ Maximum af log-likelihood funktionen kan findes ved at differentiere med hensyn til θ (θ,..., θ d ). Score-funktionerne er således defineret som d dθ j l(θ), j,..., d Maximum likelihood estimatoren findes da som løsning til likelihoodligningerne d dθ j l(θ) 0, j,..., d ˆθ er en (afledt) stokastisk variabel med en fordeling. En god estimator, ˆθ, for en parameter θ skal være central, dvs. at Eˆθ θ, og skal have lille varians. 3 4 Hypotese Formålet med en statistisk analyse er ofte at undersøge en eller flere på forhånd opstillede hypoteser. Hypotesen skal kunne identificeres med nogle bestemte fordelinger i modellen. En hypotese svarer til en ny, mindre familie af sandsynlighedsfordelinger på udfaldsrummet E (P θ ) θ Θ0 Hypotesen betegnes ofte med H og skrives hvor (P θ ) θ Θ0 (P θ ) θ Θ H : θ Θ 0 Test Et test er en metode til at afgøre, om observationen x kan antages at svare til et P θ i hypotesen. Vi skriver M : θ Θ (den fulde model) H : θ Θ 0 (hypotesen) Alle mulige udfald (observationer) ordnes efter, hvor godt de stemmer overens med hypotesen. Hypotesen accepteres hvis observationen viser tilstrækkelig god overensstemmelse. Hypotesen forkastes hvis overensstemmelsen er for dårlig. 5 6
5 Kvotienttest Da (P θ ) θ Θ0 også er en statistisk model, kan vi definere likelihoodfunktionen under hypotesen L : E Θ 0 [0, ) L(x, θ) p θ (x) og beregne maximum likelihood estimatoren ˆθ 0 under hypotesen. Vi har L(x, ˆθ) L(x, θ) θ Θ Estimation i den fulde model og under hypotesen. θ^ Θ θ^0 Θ 0 L(x, ˆθ 0 ) L(x, θ) θ Θ 0 Desuden er L(x, ˆθ) L(x, ˆθ 0 ) (Hvorfor?) 7 8 Kvotientteststørrelsen for observationen x defineres ved Q(x) L(x, ˆθ 0 (x)) L(x, ˆθ(x)) pˆθ (x) 0(x) pˆθ(x) (x) En observation passer bedre med hypotesen jo større dens Q værdi er. Der gælder altid at Testsandsynlighed Vi ser på mængden x E : Q(x ) Q(x)} Q(X) Q(x)} Sandsynligheden for at få noget, der er mindre eller lige så sandsynligt som det observerede, hvis den rigtige fordeling er P θ, θ Θ 0, er P θ (Q(X) Q(x)}) Testsandsynligheden ɛ for observationen x er givet ved (Hvorfor?) 0 Q(x) ɛ(x) sup θ Θ 0 P θ (Q(X) Q(x)}) 9 20
6 Approximativ fordeling af kvotienttestsstørrelsen Bemærk at ɛ er bestemt af sandsynlighedsfordelingerne i hypotesen. Hvis testsandsynligheden er stor betyder det, at der eksistserer en fordeling i hypotesen, der giver vores observerede værdi (relativ) høj sandsynlighed. (Relativt til hvad?). Vi siger da at observationen bekræfter hypotesen. Betragt en statistisk model (E, (P θ ) θ Θ ) med en hypotese H: θ Θ 0, hvor Θ og Θ 0 er pæne mængder med fuld dimension, henholdsvis d og d 0. Når observationsantallet går mod uendelig under passende betingelser, gælder for θ i det indre af Θ 0, at 2 log Q(X) er approximativt χ 2 fordelt med d d 0 frihedsgrader, således at der gælder P θ (Q(X) Q(x)) F χ 2 d d0 ( 2 log Q(x)) hvor F χ 2 f er fordelingsfunktionen for χ 2 fordelingen med f frihedsgrader. Dette får vi stort set ikke brug for i det følgende Test for følge af hypoteser M H 0, H, H 2,..., H k, svarer til en følge af statistiske modeller (E, (P θ ) θ Θ0 ), (E, (P θ ) θ Θ ),..., (E, (P θ ) θ Θk ) hvor (P θ ) θ Θr } (P θ ) θ Θr } H r testes overfor H r ved at se på Q r (x) L(x, ˆθ r (x)) L(x, ˆθ, r, 2,..., k, r (x)) hvor Q r er kvotientteststørrelsen for test af H r under H r. Hvis Q 0k er kvotientteststørrelsen for test af hypotesen H k mod (E, (P θ ) θ Θ0 ), så gælder 2 log Q 0k (x) k r 2 log Q r(x). Det kan ses udfra log Q 0k log L(x, ˆQ k (x)) L(x, ˆQ 0 (x)) log L(x, ˆQ (x)) L(x, ˆQ 2 (x)) L(x, ˆQ 0 (x)) L(x, ˆQ (x)) L(x, ˆQ k (x)) L(x, ˆQ k (x)) log L(x, ˆQ (x)) L(x, ˆQ 0 (x)) + log L(x, ˆQ 2 (x)) L(x, ˆQ (x)) + + log k log Q r (x) r L(x, ˆQ k (x)) L(x, ˆQ k (x)) 23 24
7 Eksempel: eksponentialfordelingen Antag x 0 er en observation fra en eksponentialfordeling med ukendt skalaparameter λ. Udfaldsrum: E [0, [ Parameterrum: Θ ]0, [ Statistisk model: ([0, [, (P λ ) λ ]0, [ ), hvor P λ har tæthed Likelihoodfunktion: p λ (x) λ e x/λ, x 0 L : [0, [ ]0, [ [0, [ L(x, λ) λ e x/λ Estimation af λ i eksponentialfordelingen Log-likelihooden bliver log p λ (x) log λ x λ Score-funktionen (her er kun en score-funktion - hvorfor?) bliver d log p λ (x) dλ λ + x λ 2 λ og likelihood-ligningen giver estimatoren Hvad nu hvis x 0? ( x ) λ λ + x λ 2 0 ˆλ x hvis x > likelihood for eksponentialfordelingen x0 x0. x0.5 x Hvis x 0 er L(0, λ) λ, dvs der er ingen værdier af λ i parameterområdet for hvilke L(0, λ) antager sin maximumværdi. Maximum likelihood estimatoren er således ikke defineret for x 0. MEN, heldigvis er P λ (X 0) 0 når λ > 0. Maximum likelihood estimatoren er derfor defineret med sandsynlighed. Vi antager fremover at x > λ Maximum likelihood estimatoren ˆλ(X) er en afledt stokastisk variabel, eksponentialfordelt med skalaparameter λ, da ˆλ X
8 Test i eksponentialfordelingen Funktionsundersøgelse af Q(x) Hypotese: Kvotientteststørrelse: Q(x) L(x, ˆλ 0 ) L(x, ˆλ) Testsandsynlighed: H : λ λ 0 L(x, λ 0) L(x, x) λ 0 e x/λ0 x e x/x x λ 0 e x/λ 0 ɛ(x) P λ0 (Q(X) Q(x)) P λ0 ( X λ 0 e X/λ0 x λ 0 e x/λ0 ) P λ0 (x 0 : x e x /λ 0 x ) e x/λ0 λ 0 λ 0 Q(x) x λ 0 e x/λ0 dq(x) dx λ 0 e x/λ0 }} >0 ( xλ0 ) Q(x) er voksende for x < λ 0 og aftagende for x > λ 0. Derudover er Q(0) 0 og lim x Q(x) 0. Definer q Q(x), da har ligningen Q(x ) q højst to løsninger, x og x 2, hvor x λ 0 x 2. Hvis x λ 0 da er x x. Hvis x λ 0 da er x 2 x Heraf følger x 0 : Q(x ) q} 0 x x } x 2 x } Lad os tegne det i R (se program med kommentarer på hjemmesiden): x <- seq(0,0,0.) Qtest <- function(x,lambda0) (x/lambda0)*exp(-x/lambda0) } lambda0 <- 3 plot(x,qtest(x,lambda0lambda0),type"l",ylab"q(x)") abline(vlambda0,lty2) xobs <- qtest <- Qtest(xobs,lambda0) lines(rep(xobs,2),c(-,qtest),lty2) axis(,atc(xobs,lambda0),labelsc("xobs",expression(lambda)), cex.axi.5) abline(hqtest,lty2) axis(2,atqtest,labels"q(xobs)",cex.axi.5) Vi har x x. Lad os finde x 2 : findx2 <- function(x) abs(qtest(x,lambda0lambda0)-qtest) } x2 <- optimize(findx2,lowerlambda0,upper0)$minimum lines(rep(x2,2),c(-,qtest),lty2) axis(,atx2,labels"x2",cex.axi.5) 3 32
9 Testsandsynligheden bliver: Q(x) Q(xobs) ɛ(x) P λ0 (x : Q(x ) q) P λ0 0 x x } + P λ0 x 2 x } x e x /λ 0 dx + e x /λ 0 dx 0 λ 0 x 2 λ 0 ] x [ ] [ e x /λ 0 + e x /λ 0 0 x 2 e x/λ0 + e x2/λ0 Hvis for eksempel λ 0 3 og x fås x x og x (udregnet i R), og xobs λ x x2 Fortolkning? ɛ(x) e /λ0 + e 6.7/λ Sammenligning af eksponentialfordelinger Statistisk model: ([0, [ 2, (P λ,λ 2 ) (λ,λ 2) ]0, [ 2) Lad være en observation af x (x, x 2 ) hvor P λ,λ 2 (x, x 2 ) λ e x λ Likelihoodfunktion under den fulde model: λ 2 e x 2 λ 2 X (X, X 2 ) der er ekponentialfordelte med skalaparametre λ og λ 2. Vi ønsker at teste hypotesen H : λ λ 2 L : [0, [ 2 ]0, [ 2 [0, [ L(x, x 2, λ, λ 2 ) λ e x λ Maximum likelihood estimator: λ 2 e x 2 λ 2 (ˆλ, ˆλ 2 ) (x, x 2 ) hvis x > 0 og x 2 >
10 Hypotese: λ λ 2 λ ]0, [ Kvotientteststørrelse: Likelihoodfunktion under hypotesen: Log-likelihood: L : [0, [ 2 ]0, [ [0, [ L(x, x 2, λ) x λ 2 e +x 2 λ l log L(x, x 2, λ) 2 log λ x + x 2 λ Score-funktion: dl dλ 2 λ + x + x 2 λ 2 Maximum likelihood estimator: ˆλ x + x 2 2 x hvis x + x 2 > 0 Q(x, x 2 ) L(x, x 2, ˆλ) L(x, x 2, ˆλ, ˆλ 2 ) L(x, x 2, (x + x 2 )/2)) L(x, x 2, x, x 2 ) ((x +x 2)/2) 2 e (x+x2)/((x+x2)/2) 4x x 2 (x + x 2 ) 2 x e x/x x 2 e x2/x Resultater om normalfordeling X N(µ, σ 2 ). N har tæthed ϕ µ,σ 2(x) exp } (x µ)2 2πσ 2 2σ2 EX µ, Var(X) σ 2 X µ N(0, ) σ Hvis X og X 2 er uafhængige, X r N(µ r, σr), 2 da er X + X 2 N(µ + µ 2, σ 2 + σ2) 2 Hvis X,..., X n er uafhængige og X r N(µ, σ 2 ), da er X n (X X n ) N(µ, σ2 n ) Test i normalfordelingen Observation af x (x,..., x n ) R n X (X,..., X n ) X r N(µ, σ 2 ) er uafhængige, identisk normalfordelte variable med µ R og σ 2 > 0. X har tæthed ϕ µ,σ 2(x) n exp } 2πσ 2 2σ 2 (x s µ) 2 ( 2πσ 2 ) n exp 2σ 2 } (x s µ)
11 Statistisk model og maximum likelihood estimatoren Vi antager µ ukendt og σ 2 σ 2 0 kendt. Den statistiske model bliver (R n, (N µ ) µ R ) hvor N µ har tæthed } ϕ µ (x) ( exp 2πσ0 2 )n 2σ0 2 (x s µ) 2 Likelihoodfunktionen for µ bliver derfor L : R n R [0, ) L(x, µ) ϕ µ (x) Estimation af µ i normalfordeling med kendt varians Log-likelihooden bliver log ϕ µ (x) n log ( ) 2πσ0 2 2σ0 2 (x s µ) 2 Score-funktionen (her er kun en score-funktion - hvorfor?) bliver d log ϕ µ (x) dµ σ 2 0 (x s µ) og likelihood-ligningen giver estimatoren (er det et maximum?) σ0 2 (x s ˆµ) 0 ˆµ n x s x 4 42 Estimation af µ i normalfordeling med kendt varians Vi får således at maximum likelihood estimatoren er gennemsnittet af målingerne. Vi så tidligere at hvis X,..., X n er uafhængige og X r N(µ, σ 2 ), da er X n (X X n ) N(µ, σ2 n ) Vi får derfor direkte fordelingen af maximum likelihood estimatoren ˆµ N(µ, σ2 0 n ) Vi kunne også direkte have maximeret likelihooden. Der gælder (x s µ) 2 ((x s x) + ( x µ)) 2 (x s x) 2 + ( x µ) (x s x)( x µ) (x s x) 2 + n( x µ) 2 + 2( x µ) (x s x) (x s x) 2 + n( x µ) 2 (x s x)
12 Test af hypotesen H : µ µ 0. Kvotientteststørrelse: Q(x) L(x, ˆµ 0) L(x, ˆµ) exp } n ( 2πσ0 2)n 2σ0 2 (x s µ 0 ) 2 exp } n ( 2πσ0 2)n 2σ0 2 (x s x) 2 } exp 2σ0 2 ((x s µ 0 ) 2 (x s x) 2 ) exp } 2σ0 2 n( x µ 0 ) 2 Da hypotesen er simpel, har vi at ɛ(x) P µ0 (Q(X) Q(x)) P µ0 ( 2 log Q(X) 2 log Q(x)) ( P µ0 σ0 2 n( X µ 0 ) 2 ) σ0 2 n( x µ 0 ) 2 ( X µ0 P µ0 σ 0 / n x µ ) 0 σ 0 / n ( X µ0 2P µ0 σ 0 / n x µ ) 0 σ 0 / n ( ( )) x µ0 2 Φ σ 0 / n da X µ 0 σ 0 / n er standard normalfordelt
Tidlige eksempler. Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning Repetition Statistik Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne New England Journal of Medicine gav i 2000 et
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne 7. undervisningsuge, mandag 1 Estimation og konfidensintervaller
Læs merePraktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser
Uge 36 Velkommen tilbage Praktiske ting og sager: Forelæsninger tirsdag og torsdag kl. -2 i Kirkesalen, Studiestræde 38 Øvelser Hold -4 og 6: mandag og onsdag kl. 8-; start 3. september Hold 5: tirsdag
Læs mereEstimation og konfidensintervaller
Statistik og Sandsynlighedsregning STAT kapitel 4.4 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Estimation og konfidensintervaller Antag X Bin(n,
Læs mereAgenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede
Agenda Sandsynlighedsregning. Regneregler (kap. 3-4) Fordelinger og genkendelse af fordelinger (kap. 3-5) Simultane, marginale og betingede fordelinger (kap. 4) Middelværdi og varians (kap. 3-4) Fordelingsresultater
Læs mereTema. Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber.
Tema Dagens tema: Indfør centrale statistiske begreber. Model og modelkontrol Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse. konfidensintervaller Vi tager udgangspunkt i Ex. 3.1 i
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 1. IH kapitel 6
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 IH kapitel 6 Overheads til forelæsninger. Uge 41/2005 1 Test i Polynomialfordelingen Forsøg: n uafhængige gentagelse af forsøg med m udfald. Vi observerer x = x 1,...,
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. Repetition og eksamen. Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Overheads til forelæsninger, mandag 7. uge 1 Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Eksempel: kobbertråd
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve med kendt varians Sandsynlighedsregning og Statistik SaSt) Helle Sørensen Først lidt om de sidste uger af SaSt. Derefter statistisk analyse af en enkelt
Læs mereProgram. 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18
Program 1. Repetition 2. Fordeling af empirisk middelværdi og varians, t-fordeling, begreber vedr. estimation. 1/18 Fordeling af X Stikprøve X 1,X 2,...,X n stokastisk X stokastisk. Ex (normalfordelt stikprøve)
Læs mereForelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup)
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 5: Kapitel 7: Inferens for gennemsnit (One-sample setup) Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske
Læs mereTeoretisk Statistik, 9 marts nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts.
Teoretisk Statistik, 9 marts 2005 Empiriske analoger (Kap. 3.7) Normalfordelingen (Kap. 3.12) Opsamling på Kap. 3 nb. Det forventes ikke, at alt materialet dækkes d. 9. marts. 1 Empiriske analoger Betragt
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereDagens program. Praktisk information:
Dagens program Praktisk information: Husk hjemmeopgaven i statistik Hypoteseprøvning kap. 11.2,11.3 og 11.8 Eksempel på test Styrkefunktionen kap. 11.2 Stikprøvens størrelse kap. 11.3 Likelihood ratio
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereOmrådeestimator. X x. P θ. ν θ. Θ C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ). . p.1/30
Områdeestimator X (Ω, F) (X, E) x 01 01 P θ ν θ θ Θ 0000 1111 000000 111111 0000 1111 0000 1111 C(x) En områdeestimator er en afbildning C : X P(Θ).. p.1/30 Konfidensområde En områdestimator C : X P(Θ)
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereUge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 2004
1 Uge 10 Teoretisk Statistik 1. marts 004 1. u-fordelingen. Normalfordelingen 3. Middelværdi og varians 4. Mere normalfordelingsteori 5. Grafisk kontrol af normalfordelingsantagelse 6. Eksempler 7. Oversigt
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereLineære normale modeller (1) udkast. 1 Flerdimensionale stokastiske variable
E6 efterår 999 Notat 8 Jørgen Larsen 22. november 999 Lineære normale modeller ) udkast Ved hjælp af lineær algebra kan man formulere og analysere de såkaldte lineære normale modeller meget overskueligt
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereOm hypoteseprøvning (1)
E6 efterår 1999 Notat 16 Jørgen Larsen 11. november 1999 Om hypoteseprøvning 1) Det grundlæggende problem kan generelt formuleres sådan: Man har en statistisk model parametriseret med en parameter θ Ω;
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereBinomial fordeling. n f (x) = p x (1 p) n x. x = 0, 1, 2,...,n = x. x x!(n x)! Eksempler. Middelværdi np og varians np(1 p). 2/
Program: 1. Repetition af vigtige sandsynlighedsfordelinger: binomial, (Poisson,) normal (og χ 2 ). 2. Populationer og stikprøver 3. Opsummering af data vha. deskriptive størrelser og grafer. 1/29 Binomial
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereKombinant. En kombinant er en afbildning. hvor (Y, K) er endnu et målbart rum. Typisk taler vi om reelle kombinanter, hvor Y = R.
Kombinant Lad (ν θ ) θ Θ være en statistisk model på (X, E). En kombinant er en afbildning hvor (Y, K) er endnu et målbart rum. R : X Θ Y Typisk taler vi om reelle kombinanter, hvor Y = R. Som regel forsøger
Læs mereNanostatistik: Test af hypotese
Nanostatistik: Test af hypotese JLJ Nanostatistik: Test af hypotese p. 1/50 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereTema. Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. Hypotese og test. Teststørrelse.
Tema Model og modelkontrol ( Fx. en normalfordelt obs. række m. kendt varians) Estimation af parametre. Fordeling. (Fx. x. µ) Hypotese og test. Teststørrelse. (Fx. H 0 : µ = µ 0 ) konfidensintervaller
Læs mereStatDataN: Test af hypotese
StatDataN: Test af hypotese JLJ StatDataN: Test af hypotese p. 1/69 Repetition n uafhængige gentagne målinger: Fordelingsundersøgelse: Pindediagram / Histogram qq-plot Parameter: egenskab ved fordeling
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereMotivation. Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser
Motivation Konfidensintervaller og vurdering af usikkerhed på estimerede størrelser Rasmus Waagepetersen October 26, 2018 Eksempel: En landmåler får til opgave at måle længden λ fra A til B. Entreprenøren
Læs mereI dag. Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt)
I dag Statistisk analyse af en enkelt stikprøve: LR test og t-test, modelkontrol, R Sandsynlighedsregning og Statistik (SaSt) Helle Sørensen Repetition vha eksempel om dagligvarepriser Analyse med R: ttest
Læs mereLandmålingens fejlteori - Repetition - Kontinuerte stokastiske variable - Lektion 3
Landmålingens fejlteori Repetition - Kontinuerte stokastiske variable Lektion 4 - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf10 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 29. april
Læs mereHøjde af kvinder 2 / 18
Hvorfor er normalfordelingen så normal? og er den nu også det? Søren Højsgaard (updated: 2019-03-17) 1 / 18 Højde af kvinder 2 / 18 Inddeler man i mindre grupper kan man forestille sig at histogrammet
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereNanostatistik: Konfidensinterval
Nanostatistik: Konfidensinterval JLJ Nanostatistik: Konfidensinterval p. 1/37 Fraktilpåmindelse u p : Φ(u p ) = p, Φ( z ) = 1 Φ( z ) t p [f] : F t[f] (t p [f]) = p, F t[f] ( t ) = 1 F t[f] ( t ) F-fordeling:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1 Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler Lineære transformationer
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereStatistik i basketball
En note til opgaveskrivning jerome@falconbasket.dk 4. marts 200 Indledning I Falcon og andre klubber er der en del gymnasieelever, der på et tidspunkt i løbet af deres gymnasietid skal skrive en større
Læs merePoul Thyregod, introslide.tex Specialkursus vid.stat. foraar Lad θ = θ(β) R k for β B R m med m k
Dagens program: Likelihoodfunktion, begreber : Mandag den 4. februar Den generelle lineære model score-funktion: første afledede af log-likelihood har middelværdien nul observeret information: anden afledede
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Normalfordelingen og transformation af kontinuerte fordelinger Helle Sørensen Uge 7, mandag SaSt2 (Uge 7, mandag) Normalford. og transformation 1 / 16 Program Paretofordelingen,
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereFor nemheds skyld: m = 2, dvs. interesseret i fordeling af X 1 og X 2. Nemt at generalisere til vilkårligt m.
1 Uge 11 Teoretisk Statistik 8. marts 2004 Kapitel 3: Fordeling af en stokastisk variabel, X Kapitel 4: Fordeling af flere stokastiske variable, X 1,,X m (på en gang). NB: X 1,,X m kan være gentagne observationer
Læs mereSandsynlighed og Statistik
36 Sandsynlighed og Statistik 6.1 Indledning Denne note beskriver de statistiske begreber og formler som man med rimelig sandsynlighed kan komme ud for i eksperimentelle øvelser. Alt er yderst korfattet,
Læs mereUge 48 II Teoretisk Statistik 27. november 2003. Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro
Uge 48 II Teoretisk Statistik 7. november 003 Numerisk modelkontrol af diskrete fordelinger: intro Eksempel: kvalitetskontrol Goodness-of-fit test: generel teori Endeligt udfaldsrum Udfaldsrum uden øvre
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2. IH kapitel 12. Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 12 Overheads til forelæsninger, mandag 6. uge 1 Fordelingen af én (1): Regressionsanalyse udfaldsvariabel responsvariabel afhængig variabel Y variabel 2
Læs mereDen lineære normale model
Den lineære normale model Ingredienser: V : N-dimensionalt vektorrum. X : Ω V : stokastisk variabel. L : ægte underrum af V, dimension k., : fundamentalt indre produkt på V. Vi laver en hel familie af
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Estimation: Kapitel 9.7-9.10 Estimationsmetoder kap 9.10 Momentestimation Maximum likelihood estimation Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1
Læs mereSTATISTIKNOTER. Mindre matematisk-statistisk opslagsværk, indeholdende bl.a. ordforklaringer, resuméer og tabeller. Jørgen Larsen
STATISTIKNOTER Mindre matematisk-statistisk opslagsværk, indeholdende bla ordforklaringer, resuméer og tabeller Jørgen Larsen IMFUFA Roskilde Universitetscenter Februar 1999 IMFUFA, Roskilde Universitetscenter,
Læs mereStatistik for ankomstprocesser
Statistik for ankomstprocesser Anders Gorst-Rasmussen 20. september 2006 Resumé Denne note er en kortfattet gennemgang af grundlæggende statistiske værktøjer, man kunne tænke sig brugt til at vurdere rimeligheden
Læs mereMat2SS Vejledende besvarelse uge 11
MatSS Vejledende besvarelse uge Eksamen V99/00 opg. a Kønsfordelingen 996 den samme for de tre skoler Mænd Kvinder I alt København 5 = n x 56 = x 8 = n Odense 9 = n x 06 = x 5 = n Århus 0 = n x 40 = x
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Lineære transformationer, middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 8, onsdag SaSt2 (Uge 8, onsdag) Lineære transf. og middelværdi 1 / 15 Program I formiddag: Fordeling
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007. Dagens program
Dagens program Hypoteser: kap: 10.1-10.2 Eksempler på Maximum likelihood analyser kap 9.10 Test Hypoteser kap. 10.1 Testprocedure kap 10.2 Teststørrelsen Testsandsynlighed 1 Estimationsmetoder Kvantitative
Læs mere1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed...
Indhold 1 Sandsynlighed 1 1.1 Sandsynlighedsbegrebet................................. 1 1.2 Definitioner........................................ 2 1.3 Diskret fordeling.....................................
Læs mereEt statistisk test er en konfrontation af virkelighenden (data) med en teori (model).
Hypotesetests, fejltyper og p-værdier og er den nu også det? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet (updated: 2019-03-17) 1 / 40 Statistisk test Et statistisk test er en konfrontation
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte
Læs mereProgram: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke.
Program: 1. Repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. Konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke. 1/23 Opsummering af fordelinger X 1. Kendt σ: Z = X µ σ/ n N(0,1)
Læs meren r x rs x r = 1 n r s=1 (x rs x r ) 2, s=1
(a) Denne opgave bygger på resultaterne fra 2 forsøg med epo-behandling af for tidligt fødte børn, idet gruppe 1 og 3 stammer fra første forsøg, mens gruppe 2 og 4 stammer fra det andet. Det må antages,
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 19. december 2018 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 9. december 08 Kursus nr : 0405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereenote 2: Kontinuerte fordelinger Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher enote 2: Continuous Distributions
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 33B, Rum 9 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk Efterår
Læs mereTrin 1: Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse
Statistik 7. gang 9. HYPOTESE TEST Hypotesetest ved 6 trins raket! : Trin : Formuler hypotese Spørgsmål der ønskes testet vha. data H 0 : Nul hypotese Formuleres som en ligheds hændelse H eller H A : Alternativ
Læs mereStatistiske principper
Statistiske principper 1) Likelihood princippet - Maximum likelihood estimater - Likelihood ratio tests - Deviance 2) Modelbegrebet - Modelkontrol 3) Sufficient datareduktion 4) Likelihood inferens i praksis
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen T-test Normalfordelingen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige
Læs mereSandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 5. forelæsning Bo Friis Nielsen Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner afsnit 3.5 og 4.1 Poissonfordelingen
Læs mereDANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side 1 af 17 sider. Skriftlig prøve, den: 30. maj 2016 Kursus nr : (navn) (underskrift) (bord nr)
DANMARKS TEKNISKE UNIVERSITET Side af 7 sider Skriftlig prøve, den: 0. maj 206 Kursus nr : 02405 Kursus navn: Sandsynlighedsregning Varighed : 4 timer Tilladte hjælpemidler: Alle Dette sæt er besvaret
Læs mereLidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen
IMM, 2002-10-10 Poul Thyregod Lidt om fordelinger, afledt af normalfordelingen 1 Introduktion I forbindelse med inferens i normalfordelinger optræder forskellige fordelinger, der er afledt af normalfordelingen,
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mereNormalfordelingen. Statistik og Sandsynlighedsregning 2
Normalfordelingen Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Repetition og eksamen Erfaringsmæssigt er normalfordelingen velegnet til at beskrive variationen i mange variable, blandt andet tilfældige fejl på
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs merePreben Blæsild og Jens Ledet Jensen
χ 2 Test Preben Blæsild og Jens Ledet Jensen Institut for Matematisk Fag Aarhus Universitet Egå Gymnasium, December 2010 Program 8.15-10.00 Forelæsning 10.15-12.00 Statlab: I arbejder, vi cirkler rundt
Læs mereBetingning med en uafhængig variabel
Betingning med en uafhængig variabel Sætning Hvis X er en reel stokastisk variabel med første moment og Y er en stokastisk variabel uafhængig af X, så er E(X Y ) = EX. Bevis: Observer at D σ(y ) har formen
Læs mereEt firma tuner biler. Antallet af en bils cylindere er givet ved den stokastiske variabel X med massetæthedsfunktionen
STATISTIK Skriftlig evaluering, 3. semester, mandag den 6. januar 004 kl. 9.00-13.00. Alle hjælpemidler er tilladt. Opgaveløsningen forsynes med navn og CPR-nr. OPGAVE 1 Et firma tuner biler. Antallet
Læs mereKarakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning
E6 efterår 1999 Notat 10 Jørgen Larsen 20. oktober 1999 Karakteristiske funktioner og Den Centrale Grænseværdisætning Karakteristiske funktioner som er nære slægtninge til Fourier-transformationen) er
Læs mereKapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller
Kapitel 4 Sandsynlighed og statistiske modeller Peter Tibert Stoltze stat@peterstoltze.dk Elementær statistik F2011 1 / 22 Generalisering fra stikprøve til population Idé: Opstil en model for populationen
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2005 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereModule 4: Ensidig variansanalyse
Module 4: Ensidig variansanalyse 4.1 Analyse af én stikprøve................. 1 4.1.1 Estimation.................... 3 4.1.2 Modelkontrol................... 4 4.1.3 Hypotesetest................... 6 4.2
Læs meret-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program ( ): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t.
t-fordeling Boxplot af stikprøve (n=20) fra t(2)-fordeling Program (8.15-10): 1. repetition: fordeling af observatorer X, S 2 og t. 2. konfidens-intervaller, hypotese test, type I og type II fejl, styrke,
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1TS Teoretisk statistik Den skriftlige prøve Sommer 2003 3 timer - alle hjælpemidler tilladt Det er tilladt at skrive
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereRegneregler for middelværdier M(X+Y) = M X +M Y. Spredning varians og standardafvigelse. 1 n VAR(X) Y = a + bx VAR(Y) = VAR(a+bX) = b²var(x)
Formelsamlingen 1 Regneregler for middelværdier M(a + bx) a + bm X M(X+Y) M X +M Y Spredning varians og standardafvigelse VAR(X) 1 n n i1 ( X i - M x ) 2 Y a + bx VAR(Y) VAR(a+bX) b²var(x) 2 Kovariansen
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereStatDataN: Plot af data
StatDataN: Plot af data JLJ StatDataN: Plot af data p. 1/39 Repetition binomial(n,p): P(X = k) = ( n) k p k (1 p) n k n uafhængige kast med en mønt, X= antal krone X binomial(n, p), Y binomial(m, p), uafhængige
Læs mereStatistisk model. Definition: En statistisk model består af et repræsentationsrum (X, E) og en familie P af sandsynlighedsmål
Statistisk model Definition: En statistisk model består af et repræsentationsrum (X, E) og en familie P af sandsynlighedsmål på (X, E). Modellen er parametriseret hvis der findes en parametermængde Θ og
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET.
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. Eksamen i Statistik 1 Tag-hjem prøve 1. juli 2010 24 timer Alle hjælpemidler er tilladt. Det er tilladt at skrive med blyant og benytte viskelæder,
Læs mereEKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer sider
EKSAMEN Flerdimensional Analyse Sommer 2008 5 sider Formaliteter Eksamen er en 24-timers eksamen, der udleveres mandag den 23/6-2008 klokken 0.00 og afleveres tirsdag den 24/6-2008 inden klokken 0.00.
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mere